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【奇数.偶数.质数.合数知识点归纳】奇数和偶数知识要点：：1.偶数：自然数中，能被2整除的数叫做偶数。
2.奇数：自然数中，不能被2整除的数叫做奇数。
3.0也是偶数。
4.一个整数是偶数还是奇数，是这个整数自身的一种性质，这种性质，叫做奇偶性。
5.在这一讲中，我们向大家介绍奇数和偶数的三个最常见的性质：性质1：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
性质2：相邻的两个自然数总是一奇一偶。
性质3：有趣的运算规律：（1）偶数±偶数=偶数（2）奇数±奇数=偶数（3）偶数±奇数=奇数（4）偶数×偶数=偶数（5）偶数×奇数=偶数（6）奇数×奇数=奇数★以上性质可以推广到“多个整数”的运算：（1）任意个偶数之和或差，结果必是偶数；（2）奇数个奇数之和或差，结果必是奇数；（3）偶数个奇数之和或差，结果必是偶数；（4）任意个奇数之积必是奇数；（5）在连乘中，有一个或一个以上因数是偶数，其积必为偶数。
质数和合数知识要点1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）、1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；4、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
数论：1、奇偶;2、整除;3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6平方；7、进制；8、位值。
一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：（1）奇数土奇数=偶数偶数土偶数= 偶数奇数土偶数=奇数偶数土奇数二奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数x奇数二奇数偶数x偶数二偶数奇数X偶数二偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。
二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3 （9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被 3 （9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7X11X13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321判定N是否被11整除。
9 8 7-333第一歩:第二歩6 54因为654不能被11整除，所以N不能被11整除例：N= 215332判定N是否被7、11、13整除。
由于117= 13X 9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N 能 被13整除，不能被7、11整除此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被 7或11或13整除时，可用减 法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。
奇偶数的性质与应用一、基本概念和知识1.奇数与偶数整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k来（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）来表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质对于两个数：⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；注：加减运算符号不改变结果的奇偶性⑵奇⨯偶=偶数，奇⨯奇=奇数，偶⨯偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数对于多个数：⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶）【例1】1+3+5+…+2009的和是奇数？还是偶数？【巩固】7+9+11+…+2017的和是奇数？还是偶数？【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？【例3】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。
求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。
【巩固】已知a、b、c是三个连续自然数，其中a是偶数。
根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是哪一位同学？巩固图【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3⨯3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４⨯４的方格表中（每个小方格只填一个数），使得每一行中的四个数之和都是偶数？【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。
请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。
【例6】下表中有18个数，选出5个数，使它们的和为28，你能否做到？为什么？例6图【巩固】能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=38〖答案〗【例1】奇数【巩固】偶数【例2】 75【巩固】150【例3】证明：∵a、b、c中有两个奇数、一个偶数，∴a、c中至少有一个是奇数，∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。
全国初中数学竞赛辅导（初1）第15讲奇数与偶数教师版第⼗五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．⽤整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表⽰为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表⽰为2k的形式，其中k 是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1 奇数≠偶数．性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5 若⼲个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质 6 如果若⼲个整数的乘积是奇数，那么其中每⼀个因⼦都是奇数；如果若⼲个整数的乘积是偶数，那么其中⾄少有⼀个因⼦是偶数．性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数⼀定是⼀奇⼀偶．性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平⽅除以8余1，偶数的平⽅是4的倍数.性质10 整数a和|a|有相同的奇偶性性质11 两个连续的整数中，必有⼀个是奇数，⼀个是偶数，两个相邻整数之和是奇数，之积是偶数.性质12 如果若⼲个整数之和是奇数，那么其中⾄少有⼀个是奇数；如果奇数个整数之和是偶数，那么其中⾄少有⼀个是偶数．下⾯我们给出性质7⾄性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为⼀奇⼀偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数⼀定是⼀奇⼀偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定⼀奇⼀偶，从⽽它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1 在1，2，3，…，1998中的每⼀个数的前⾯，任意添上⼀个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2 设1，2，3，…，9的任⼀排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是⼀个偶数．证法1 因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有⼀个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4⽭盾)，从⽽由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中⾄少有⼀个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9⾄少有⼀个是偶数，从⽽(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3 有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每⼀个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。
![[初二]竞赛专题选讲之——奇数、偶数](https://img.taocdn.com/s1/m/2dd00305cc1755270722082a.png)
初中数学竞赛专题选讲奇数 偶数一、内容提要1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n 是偶数，2n －1或2n+1是奇数。
如果n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。
可表示为：整数ìïïíïïî奇数偶数或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
二、例题例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k 为整数，那么2k －1是任意奇数，（2k －1）2－1＝4k 2－4k ＋1－1＝4k(k －1)∵k(k －1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k －1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数例2 已知：有n 个整数它们的积等于n ，和等于0求证：n 是4的倍数证明：设n 个整数为x 1,x 2,x 3,…x n 根据题意得1231230n n x x x x n x x x x ì=ïïíï++++=ïî ①② 如果n 为正奇数，由方程（1）可知x 1,x 2,x 3,…x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n 一定是偶数；当n 为正偶数时，方程（1）左边的x 1,x 2,x 3,…x n 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
合数质数奇偶数
合数的定义：在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除的数。
如4，6，9，10等都是合数。
合数的特点：合数至少有三个正数因子。
如9的正数因子有1、3和它本身。
质数的定ye义：大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
如2、3、5、7等都是质数。
2是最小的质数。
1既不是质数也不是合数。
0既不是质数也不是合数。
质数的特点：质数只有两个正因数，即1和它本身。
如2的因数只有1和2本身；3的因数只有1和3本身。
如何判断一个数是质数还是合数。
检查这个数是否有除了1和本身外的因数。
确认这个数只能1和本身整除。
奇数：是指不能被2整除的整数，如1、3、5等。
奇数的数学表达式为2k+1,其中k为整数。
偶数：能被2整除的整数，如：2、4、6、8等。
偶数的表达形式为2k,其中k为整数。
奇数和偶数的性质：1. 两个奇数相加得到一个偶数；一个奇数和一个偶数相加得到一个奇数；两个奇数相乘得到一个奇数；个奇数和一个偶数相乘得到一个偶数。
判断一个数是奇数还是偶数，可以通过取模运算，将该书除以2取余，余数为1，则为奇数，余数为0则为偶数。
3.数论——因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、最大公约数与最小公倍数3.1因数、约数和倍数：如果如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数，c就是a或b 的倍数。
倍数和因数是相互依存的。
因数相对乘法而言，不一定是整数，如0.9×8＝7.2。
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的约数）。
约数是建立在整除关系上的。
一个数的约数是有限的，其中最小1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数是无限，其中最小的倍数是它本身。
没有最大倍数。
3.2奇数和偶数及奇偶性问题自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
奇偶性问题：奇±奇=偶奇×奇=奇奇±偶=奇奇×偶=偶偶±偶=偶偶×偶=偶3.3质数和合数及分解质因数：一个数，如果只有1和它本身两个约数能整除它，这样的叫做质数。
100 以内的质数有：2、3、5、7、11 、13 、17 、19 、23 、29 、31 、37 、41 、43 、47 、53 、59 、61 、67 、71 、73 、79 、83 、89 、97 。
如果除了1和它本身还有别的约数的整数，这样的数叫做合数，例如，4、6、8、9、12 都是合数。
1不是质数也不是合数。
数论只是研究正整数，不包括0。
两个质数只有1这1个公因数，则这两个数互质。
天然互质的情况：连续的两个自然数；连续两个奇数；两个质数；1和任何一个大于1的自然数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如28 分解质因数：28=2×2×7。
注意数论中，分解质因数必须写成指数形式，如28=22×7。
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 a×p22a×...×p k ak，这被称为唯一分解定理。
奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题. 例1 1+2+3+⋯+1993的和是奇数？还是偶数？例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？例4 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。
例5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。
例6 用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=1995a×b×c×d-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。
例7 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
例8 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。
例9 在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
全国初中数学竞赛辅导(初1)第15讲奇数与偶数全国初中数学竞赛辅导(初1)第15讲奇数与偶数第十五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即为±1，±3，±5，?就是奇数，0，±2，±4，±6，?就是偶数．用相乘的术语来说就是：能够被2相乘的整数就是偶数，无法被2相乘的整数就是奇数．通常奇数可以则表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以则表示为2k的形式，其中k就是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1奇数≠偶数．性质2奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5若干个奇数的乘积就是奇数，偶数与整数的乘积就是偶数．性质6如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．性质7如果两个整数的和(或差)就是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)就是奇数，那么这两个整数一定就是一奇一偶．性质8两个整数的和与高的奇偶性相同．性质9奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.性质1至性质6的证明就是很难的，下面我们得出性质7至性质9的证明．性质7的证明设立两个整数的和就是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2言，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶．性质8的证明设两个整数为x，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x就是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1就是两个已连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积就是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．基准1在1，2，3，?，1998中的每一个数的前面，任一迎上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果就是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+?+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．基准2设1，2，3，?，9的任一排序为a1，a2，?，a9.澄清：(a1-1)(a2-2)?(a9-9)就是一个偶数．证法1因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(a9-9)＝(a1+a2+?+a9)-(1+2+?+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，?，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶数．证法2由于1，2，?，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少存有一个就是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少存有一个就是偶数，从而(a1-1)(a2-2)?(a9-9)就是偶数．例3有n个数x1，x2，?，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也就是偶数．由于x1，x2，?，xn。
偶数奇数质数合数知识点总结一、偶数1. 定义- 能被2整除的整数叫做偶数。
例如：0、2、4、6、8、10等都是偶数。
2. 表示方法- 一般可以用2n（n为整数）来表示偶数。
3. 性质- 偶数 + 偶数 = 偶数，例如2+4 = 6。
- 偶数 - 偶数 = 偶数，例如8 - 2 = 6。
- 偶数×偶数 = 偶数，例如2×4 = 8。
二、奇数1. 定义- 不能被2整除的整数叫做奇数。
例如：1、3、5、7、9等都是奇数。
2. 表示方法- 一般可以用2n + 1（n为整数）来表示奇数。
3. 性质- 奇数+奇数 = 偶数，例如1+3 = 4。
- 奇数 - 奇数 = 偶数，例如7 - 3 = 4。
- 奇数×奇数 = 奇数，例如3×5 = 15。
- 奇数+偶数 = 奇数，例如3+2 = 5。
- 奇数 - 偶数 = 奇数，例如5 - 2 = 3。
- 偶数 - 奇数 = 奇数，例如4 - 1 = 3。
三、质数1. 定义- 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数。
例如：2、3、5、7、11等都是质数。
2. 性质- 质数只有两个因数，1和它本身。
- 2是最小的质数，也是唯一的偶质数。
- 除了2以外，所有的质数都是奇数。
四、合数1. 定义- 一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数就叫做合数。
例如：4、6、8、9、10等都是合数。
2. 性质- 合数至少有三个因数。
- 1既不是质数也不是合数。
数学奥赛辅导第一讲奇数、偶数、质数、合数知识、方法、技能Ⅰ.整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m+4的形式（m∈Z）.（3）任何一个正整数n，都可以写成l的形式，其中m为非n m2负整数，l为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.Ⅱ.质数与合数、算术基本定理大于1的整数按它具有因数的情况又可分为质数与合数两类.一个大于1的整数，如果除了1和它自身以外没有其他正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数.显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数.定理：（正整数的惟一分解定理，又叫算术基本定理）任何大于1的整数A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A 可以写成标准分解式：n a n a a p p p A 2121⋅= （*）.其中i n p p p p ,21<<< 为质数，i α为非负整数，i =1，2，…，n .【略证】由于A 为一有限正整数，显然A 经过有限次分解可分解成若干个质数的乘积，把相同的质因子归类整理可得如（*）的形式（严格论证可由归纳法证明）.余下只需证惟一性.设另有j m n q q q q q q q A m,,212121<<<⋅= 其中βββ为质数，i β为非负整数，j=1，2，…，m .由于任何一i p 必为j q 中之一，而任一j q 也必居i p 中之一，故n=m .又因),,2,1(,,2121n i q p q q q p p p i i n n ==<<<<<则有，再者，若对某个i ，i i βα≠（不妨设i i βα>），用i i p β除等式n n n a n a a p p p p p p βββ 21122121⋅=两端得：.11111111n i i n i i n i i n i p p p p p p p ββββεβαα +-+--⋅=此式显然不成立（因左端是i p 的倍数，而右端不是）.故i i βα=对一切i =1，2，…，n 均成立.惟一性得证.推论：（合数的因子个数计算公式）若nn p p p A ααα 2121=为标准分解式，则A 的所有因子（包括1和A 本身）的个数等于).1()1)(1(21+++n ααα（简记为∏=+ni i 1)1(α）这是因为，乘积2222212111()1()1(21nn p p p p p p p p ++++++⋅++++ αα )nn p α++ 的每一项都是A 的一个因子，故共有∏=+ni i 1)1(α个. 定理：质数的个数是无穷的.【证明】假定质数的个数只有有限多个,,,21n p p p 考察整数.121+=n p p p a 由于1>a 且又不能被),,2,1(n i p i =除尽，于是由算术基本定理知，a 必能写成一些质数的乘积，而这些质数必异于),,2,1(n i p i =，这与假定矛盾.故质数有无穷多个.赛题精讲例1．设正整数d 不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得a b －1不是完全平方数. （第27届IMO 试题）【解】由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数. 用反证法，假设它们都是完全平方数，令2d －1=x 2 ①5d －1=y 2 ②13d －1=z 2 ③x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入③、④，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.例2．设a 、b 、c 、d 为奇数，bc ad d c b a =<<<<并且,0，证明：如果a +d =2k ，b+c=2m ，k,m为整数，那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证：.22m k >从而add a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得 因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然，a b a b -+,为偶数，a b m k --2为奇数，并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a 不是4的倍数），因此,如果设f e a b m k ⋅=--2，其中e,f 为奇数，那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b efm k 222≤-<-≤-=- 得e=1， 从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之，得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数，故只能a =1.例3．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数. （第26届IMO 预选题）【证明】由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.例4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].如果)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，如果))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.如果2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.如果用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m ,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因而l n =1；当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）若.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）若.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n例5．设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.【证明】对k 用数学归纳法.当k=2时，因),12(312-+++=n n 命题在立.假设k=m 时成立，即,)12()3()1(2n na n a a a n m +=-++++++= （a 为某非负数） 则,)()(2221n n n na n n n na n n n m m +-+=+=⋅=+若记n n na b -+=2（显然b 为非负偶数），于是1),12()3()1(21+=-++++++=+=+m k n b b b n nb n m 即 时，命题成立，故命题得证.例6．在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2…A n A 1，则所有顶点i A 的坐标（i i y x ,）符合).,,2,1(,n i Z y x i i =∈并且C n i C Y X i i ,,2,1(22 ==+为一固定的正整数），其中),,,,,2,1(,111111y y x x n i y y Y x x X n n i i i i i i ===-=-=++++ 则由已知有∑==n i i X1,0 ① ∑==n i i Y1,0 ②2222222121n n Y X Y X Y X +==+=+ ③不妨设i i Y X 和中至少有一个为奇数（因为设m t X i m i ,2=是指数最小的，t i 为奇数，用2m 除所有的数后，其商仍满足①、②、③式），于是它们的平方和C 只能为4k+1或4k+2.当C=4k+2时，由③知，所有数对i i Y X 与都必须是奇数，因此，根据①、②式知，n 必为偶数.当C=4k+1时，由③知，所有数对i i Y X 与都必一奇一偶，而由①知，X i 中为奇数的有偶数个（设为2u ），余下的n －2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由②知，这种奇数的Y i 也应有偶数个（设为u n 22-=ν），故)(2ν+=u n =偶数. 综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.例7．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.（第26届IMO 预选题）【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设 ,11753254321 ααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由,144)1)(1)(1)(1(4321=++++ αααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα,考虑144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n下面讲一个在指定集合内的“合数”的问题.这种合数与通常的合数有区别，题中的“素元素”是指在该集合内的素数，也与通常的素数有区别.例8．设n>2为给定的正整数，{}.,1*N k kn V n ∈+=试证：存在一数,n V r ∈这个数可用不只一种方式表示成数集V n 中素元素的乘积. （第19届IMO 试题）【证明】由于V n 中的数都不小于),2(1>+n n 因而n V n n n n ∈-⋅---)12()1(,)12(,)1(22.显然)12()1(,)1(2-⋅--n n n 是V n 中的素元素.又若（2n －1）2不是V n 中素元素，则有,)12()1()1(,12-=+⋅+≥≥n bn an b a 使由此有,44b a abn n ++=-于是,31≤≤ab 从而b=1,a =1;b=1,a =2,b=1,a =3,对此就有,8,28,2=n 故n=8.这说明 ，当2)12(,8-≠n n 时就是V n 中素元素. 当)]12)(1[()12()1(,.)12()1(,82222--=--=∈--=≠n n n n r V r n n r n n 且显然令时)].12)(1[(--n n 当n=8时，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33∈V 8.综上知，命题得证.例9．已知n ≥2，求证：如果n k k ++2对于整数k （30n k ≤≤）是质数，则n k k ++2对于所有整数)20(-≤≤n k k 都是质数.（第28届（1987）国际数学奥林匹克试题6）【证】设m 是使n k k ++2为合数的最小正整数.若n m m p n m n ++-≤<2,23是令的最小质因子，则n m m p ++≤2. （1）若m ≥p ，则p|(m －p)2+(m －p)+n. 又(m －p)2+(m －p)+n ≥n ＞p ，这与m 是使n k k ++2为合数的最小正整数矛盾.（2）若m ≤p －1，则n m p m p n m p m p +---=+--+--))(1()1()1(2被p 整除，且.)1()1(2p n n m p m p >≥+--+--因为n m p m p +--+--)1()1(2为合数，所以.12,1+≥≥--m p m m p 由 ,122n m m p m ++≤≤+ 即 ,01332≤-++n m m 由此得363123n n m <-+-≤ 与已知矛盾.所以，对所有的n k k n k n ++-≤<2,23为质数.。
