《第一章学习总结》
第一章为绪论章节，主要介绍的一些相关的知识点以及一些公式，主要内容：误差、算法的知识，四种算法的来源，绝对误差、相对误差与有效数字三者之间的关系，以及绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限的求解有效数字的判定。
二元函数及多元函数的误差估计。
我认为相对有些难度的是1.3节的向量范数和矩阵范数，计算题相对容易些，一些相关的证明分析题不是有很好的思路，感觉有些乱，知识点都没有系统的串起来，一些程序的编写方法及技巧正在慢慢的学习中，由于以前接触的少，MATLAB相关知识了解的不够深入。
自己存在的问题由于大半年都没有上课了，刚来这个学校又不是很适应，上课的时候会有点走神，不过现在已经开始适应了，渐渐进入状态。
摘 要在科学工作中经常出现这类问题，我们关注求解非线性方程或非线性方程组——求x 使得f （x ）=0或求得X= 使得F （X ）=0。
这些方程中，至少一个变量以任意的非线性方程形式出现。
在实变量变量的实值函数这种最简单的情况下，提出的一般问题是：已知函数f ：R →R ，求x 的解使得f （X ）=0这里主要讨论解决这类问题的一般方法和过程。
在许多应用中可以发现非线性方程的例子。
例如在光的衍射理论中，我们需要用到方程：X-tanX=0在行星轨道的计算中我们需要开普勒方程：X-asinX=b其中a 和b 任意取值。
在科学研究和科学计算中常常碰到以上的非线性方程求解问题。
非线性方程的解一般不能解析求出。
所以数值解法显得非常重要,而数值解法在实际中的实现则更为重要。
本文将介绍几种数值解法以及Matlab 中的实现程序。
为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的Matlab 程序，并进行了近似计算。
结果表明，牛顿迭代法收敛最快。
关键词:非线性方程;Matlab 程序;二分法;迭代法;简单迭代法;弦截法。
()T1n x x x ⋅⋅⋅2，，非线性方程数值解法1 二分法设f (x)在[a,b]连续,假定f (a)<0,f (b)>0,取中点 ,检查f (x0)符号。
若f (x0)=0,则x0就是一个根;若f (x0)>0,记a为a1,x0为b1,则得有根区间[a1,b1];若f(x0)<0,记x0为a1,b为b1,则得有根区间[a1,b1]。
后两种情况都得到有根区间[a1,b1],它的长度为原区间的一半。
对[a1,b1],令 ,再用同样的方法,可得新的有根区间[a2,b2],它的长度为[a1,b1]的一半,如此反复进行下去，其中每一个区间是前一区间的一半。
有这就是方程的根。
而即为方程的近似根,且有估计误差下面用二分法求在区间[1,2]上的根.因为二分法只能求单根,首先可以搜索函数(2.2)在区间[1,2]的根的情况。
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
