专题训练7数学最值问题

专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。

题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。

例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。

2023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8B.45C.10D.45-22(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()A.334B.32C.3D.5433(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()A.213-2B.45-2C.43-2D.215-24(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.2035(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为()A.5B.42C.210D.107(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为()A.4B.42C.25D.58(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1)，连接PD，则2PD+ PC的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+2329(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M 为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-210(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP =x，PB+PE=y，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,422二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN的距离最短，则最短距离是米．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则2PC-PD的最大值是．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD= 4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3cm．点P,Q分别为AB,AD 上的两个定点且BP=AQ=1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为cm．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1，DF=2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC周长的最小值是．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A-1,0两点，交y轴于点C．，B4,0(1)求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是；(3)点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB:y=-x+6分别与x,y轴交于A,B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C-3,0．(1)请直接写出直线BC的关系式：(2)在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD=S△AOD若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D11,0，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA,QD．请直接写出QB-QD的最大值：．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BP CQ的值．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt△ABC中，∠A= 90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN．(1)观察猜想线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2，BC=4，请直接写出PM与PN的积的最大值．25(2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习)在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中A-1，1，，B4，3C4，-1处各有一颗棋子．(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形(BC为底边)，请在图中画出该图形的对称轴．(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且PQ=1(P在Q的左边)，依次连接A，P，Q，B，使得AP+PQ+QB的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．1126(2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末)已知△CDE 与△ABC 有公共顶点C ，△CDE 为等边三角形，在△ABC 中，∠BAC =120°．(1)如图1，当点E 与点B 重合时，连接AD ，已知四边形ABDC 的面积为23，求AB +AC 的值；(2)如图2，AB =AC ，A 、E 、D 三点共线，连接AE 、BE ，取BE 中点M ，连接AM ，求证：AD =2AM ；(3)如图3，AB =AC =4，CE =2，将△CDE 以C 为旋转中心旋转，取DE 中点F ，当BF +34AF 的值最小时，求tan ∠ABF 的值．。

初二数学专题——最值问题一．将军饮马（共7小题）1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ∆的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( )A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC2．如图，在Rt ABO ∆中，90OBA ∠=︒，(4,4)A ，点C 在边AB 上，且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP EP +最小值的是( )A ．AB B ．DEC ．BD D ．AF4．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE ∆是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为( )A．B．C．3D5．如图，在边长为2的等边ABC∆中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE DE+的最小值为．6．如图，在矩形ABCD中，5AB=，3AD=，动点P满足13PAB ABCDS S∆=矩形，则点P到A、B两点距离之和PA PB+的最小值为()A B C．D7．如图，矩形ABCD中，4AB=，6BC=，点P是矩形ABCD内一动点，且12PAB PCDS S∆∆=，则PC PD+的最小值为．二．垂线段最短（共4小题）8．如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，AD是BAC∠的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC PQ+的最小值是()A ．125B ．4C ．245D ．59．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为( )A ．403B ．154C ．245D ．610．如图，在锐角ABC ∆中，AB =45BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是 ．11．如图，30BAC ∠=︒，M 为AC 上一点，2AM =，点P 是AB 上的一动点，PQ AC ⊥，垂足为点Q ，则P M P Q+的最小值为 ．三．胡不归（共4小题）12．已知等边ABC ∆中AD BC ⊥，12AD =，若点P 在线段AD 上运动，当12AP BP +的值最小时，AP 的长为( )A ．4B ．8C ．10D ．1213．如图，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，3AC =，D 为AB 的中点，E 为线段AC 上任意一点（不与端点重合），当E 点在线段AC 上运动时，则12DE CE +的最小值为 ．14．如图，在ABC ∆中，15A ∠=︒，2AB =，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，A P P B +的最小值是( )A B C D ．215．如图，已知点A 坐标为，1)，B 为x 轴正半轴上一动点，则AOB ∠度数为 ，在点B 运动的过程中12AB OB +的最小值为 ．参考答案与试题解析一．将军饮马（共7小题）1．【解答】解：如图连接PC，AB AC=，BD CD=，AD BC∴⊥，PB PC∴=，PB PE PC PE∴+=+，PE PC CE+，P∴、C、E共线时，PB PE+的值最小，最小值为CE的长度，故选：B．2．【解答】解：在Rt ABO∆中，90OBA∠=︒，(4,4)A，4AB OB∴==，45AOB∠=︒，13ACCB=，点D为OB的中点，3BC∴=，2OD BD==，(2,0)D∴，(4,3)C，作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，(0,2)E，直线OA的解析式为y x=，设直线EC的解析式为y kx b=+，∴243bk b=⎧⎨+=⎩，解得：142kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线EC的解析式为124y x=+，解124y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得，8383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 8(3P ∴，8)3， 故选：C ．3．【解答】解：如图，连接CP ，由AD CD =，45ADP CDP ∠=∠=︒，DP DP =，可得ADP CDP ∆≅∆， AP CP ∴=，AP PE CP PE ∴+=+，∴当点E ，P ，C 在同一直线上时，AP PE +的最小值为CE 长， 此时，由AB CD =，ABF CDE ∠=∠，BF DE =，可得ABF CDE ∆≅∆， AF CE ∴=，AP EP ∴+最小值等于线段AF 的长，故选：D ．4．【解答】解：设BE 与AC 交于点()F P '，连接BD ，点B 与D 关于AC 对称，P D P B ∴'='，P D P E P B P E BE ∴'+'='+'=最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD PE +最小，为BE 的长度； 正方形ABCD 的面积为12，AB ∴=．又ABE ∆是等边三角形，BE AB ∴==故所求最小值为故选：A ．5．【解答】解：作B 关于AC 的对称点B '，连接BB '、B D '，交AC 于E ，此时BE ED B E ED B D +='+='，根据两点之间线段最短可知B D '就是BE ED +的最小值， B 、B '关于AC 的对称，AC ∴、BB '互相垂直平分，∴四边形ABCB '是平行四边形， 三角形ABC 是边长为2， D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，AD ∴1BD CD ==，2BB AD '== 作B G BC '⊥的延长线于G ，B G AD ∴'=在Rt △B BG '中，3BG ==， 312DG BG BD ∴=-=-=，在Rt △B DG '中，B D '=故BE ED +6．【解答】解：设ABP ∆中AB 边上的高是h ．13PAB ABCD S S ∆=矩形， ∴1123AB h AB AD =， 223h AD ∴==， ∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离． 在Rt ABE ∆中，5AB =，224AE =+=，BE ∴=，即PA PB +故选：D ．7．【解答】解：如图，作PM AD ⊥于M ，作点D 关于直线PM 的对称点E ，连接PE ，EC ．设AM x =．四边形ABC 都是矩形，//AB CD ∴，4AB CD ==，6BC AD ==， 12PAB PCD S S ∆∆=， ∴11144(6)222x x ⨯⨯=⨯⨯⨯-，2x ∴=，2AM ∴=，4DM EM ==，在Rt ECD ∆中，EC =， PM 垂直平分线段DE ，PD PE ∴=，PC PD PC PE EC ∴+=+， 45PD PC ∴+，PD PC ∴+的最小值为二．垂线段最短（共4小题）8．【解答】解：如图，过点C 作CM AB ⊥交AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ AC ⊥于点Q ， AD 是BAC ∠的平分线．PQ PM ∴=，这时PC PQ +有最小值，即CM 的长度， 6AC =，8BC =，90ACB ∠=︒，10AB ∴=． 1122ABC S AB CM AC BC ∆==， 6824105AC BC CM AB ⨯∴===， 即PC PQ +的最小值为245． 故选：C ．9．【解答】解：如图所示：在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ．在Rt ABC ∆中，依据勾股定理可知10BA =． 245AC BC CH AB ==， EF CE EF EC +='+，∴当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小，最小值为245 故选：C ．10．【解答】解：如图，在AC 上截取AE AN =，连接BE ． BAC ∠的平分线交BC 于点D ，EAM NAM ∴∠=∠，在AME ∆与AMN ∆中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AME AMN SAS ∴∆≅∆，ME MN ∴=．BM MN BM ME BE ∴+=+．BM MN +有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE AC ⊥，又AB =45BAC ∠=︒，此时，ABE ∆为等腰直角三角形， 4BE ∴=，即BE 取最小值为4，BM MN ∴+的最小值是4．故答案为：4．11．【解答】解：作点M 关于AB 的对称点N ，过N 作NQ AC ⊥于Q 交AB 于P ， 则NQ 的长即为PM PQ +的最小值， 连接MN 交AB 于D ，则MD AB ⊥，DM DN =， NPB APQ ∠=∠，30N BAC ∴∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，2AM =，112MD AM ∴==，2MN ∴=，cos 2NQ MN N ∴=∠==三．胡不归（共4小题）12．【解答】解：如图，作BE AC ⊥于点E ，交AD 于点P ，ABC ∆是等边三角形，AD BC ⊥，30DAC ∴∠=︒12PE AP ∴=当BP AC ⊥时，12AP BP PE BP +=+的值最小， 此时，283AP AD ==．故选：B ．13．【解答】解：如图，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，3AC =，作//CG AB30GCA CAB ∴∠=∠=︒过点D 作DF CG ⊥交AC 于点E ，12EF CE ∴= 所以12DE CE DE EF DF +=+=最小， 30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，3AC =，3cos30AB ∴==︒D 为AB 的中点，12CD AD AB ∴==60DCF ∠=︒3cos602DF DC ∴=⋅︒= 所以12DE CE +的最小值为32． 故答案为32． 14．【解答】解：如图，在ABC ∆内作30MBA ∠=︒过点A 作AE BM ⊥于点E ，BM 交AC 于点P ，15BAC ∠=︒，45APE ∴∠=︒EP AP ∴=当BP AE ⊥AP PB PE PB +=+的值最小， 最小值是BE 的长，在Rt ABE ∆中，30ABE ∠=︒，2AB =cos30BE AB ∴=⋅︒=．∴AP PB + 故选：B ．15．【解答】解：过A 作AC x ⊥轴于点C ，延长AC 到点D ，使AC CD =，过D 作DE OA ⊥于点E ，与x 轴交于点F ，点A 坐标为1)，1AC CD ∴==，OC =tanAC AOB OC ∴∠===， 30AOB ∴∠=︒，60DAE ∴∠=︒，12EF OF =，sin 60DE AD ∴=⋅︒当点B 与点F 重合时，1122AB OB AF OF DF EF DE +=+=+==根据垂线段最短定理知，此时12AB OB +=故答案为30︒。

初中数学最值问题专题中考数学最值问题【例题1】(经典题)⼆次函数y=2(x ﹣3)2﹣4得最⼩值为 .【例题2】(2018江西)如图,AB 就是⊙O 得弦,AB=5,点C 就是⊙O 上得⼀个动点,且∠ACB=45°,若点M 、N 分别就是AB 、AC 得中点,则MN 长得最⼤值就是 .【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,OC ＝3. (1)求抛物线得解析式及顶点D 得坐标;(2)过点A 作AM ⊥BC ,垂⾜为M ,求证:四边形ADBM 为正⽅形;(3)点P 为抛物线在直线BC 下⽅图形上得⼀动点,当△PBC ⾯积最⼤时,求P 点坐标及最⼤⾯积得值; (4)若点Q 为线段OC 上得⼀动点,问AQ ＋QC 就是否存在最⼩值?若存在,求岀这个最⼩值;若不存在,请说明理由.练习1、(2018河南)要使代数式有意义,则x 得( )A 、最⼤值为B 、最⼩值为C 、最⼤值为D 、最⼤值为2、(2018四川绵阳)不等边三⾓形?ABC 得两边上得⾼分别为4与12且第三边上得⾼为整数,那么此⾼得最⼤值可能为________。

3、(2018齐齐哈尔)设a 、b 为实数,那么a ab b a b 222++--得最⼩值为_______。

4、(2018云南)如图,MN 就是⊙O 得直径,MN=4,∠AMN=40°,点B 为弧AN 得中点,点P 就是直径MN 上得⼀个动点,则PA+PB 得最⼩值为 .5、(2018海南)某⽔果店在两周内,将标价为10元/⽄得某种⽔果,经过两次降价后得价格为8、1元/⽄,并且两次降价得百分率相同.(1)求该种⽔果每次降价得百分率;(2)从第⼀次降价得第1天算起,第x 天(x 为正数)得售价、销量及储存与损耗费⽤得相关信息如表所⽰、已知该种⽔果得进价为4、1元/⽄,设销售该⽔果第x (天)得利润为y (元),求y 与x (1≤x ＜15)之间得函数关系式,并求出第⼏天时销售利润最⼤？(3)在(2)得条件下,若要使第15天得利润⽐(2)中最⼤利润最多少127、5元,则第 15天在第14天得价格基础上最多可降多少元？6、(2018湖北荆州)某玩具⼚计划⽣产⼀种玩具熊猫,每⽇最⾼产量为40只,且每⽇产出得产品全部售出,已知⽣产x 只玩具熊猫得成本为R(元),售价每只为P(元),且R 、P 与x 得关系式分别为R x =+50030,P x =-1702。