云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试 理科数学
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玉溪一中高2013届高三上学期期中考试数学（理科）一、选择题：第小题5分，共60分。
1.复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数21z z 的虚部为 （ ） A.2 B.-2i C.-2 D.2i 【答案】A【解析】123(3)(1)24=121(1)(1)2z i i i i i z i i i ++++===+--+，所以虚部为2，选A.2. 设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,3,4A =,{}2,5B =,则()U B C A =（ ） A.{}5B. {}125， ，C. {}12345， ， ， ，D.∅【答案】B【解析】{1,5}U C A =，所以()={1,5}{2,5}={1,2,5}U B C A ，选B. 3、函数()cos()26y x x ππ=++-的最大值为 ( ) A.413 B.413 C.213 D.13【答案】C【解析】1()cos()sin 262y x x x x xππ=++-=++1sin 2x x +,===，选C. 4、椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B.221128x y += C.22184x y += D.221124x y +=【答案】C【解析】因为椭圆的焦距是4，所以24,2c c ==又准线为4x =-，所以焦点在x 轴且24a c-=-，解得28a =，所以222844b a c =-=-=，所以椭圆的方程为22184x y +=，选C.5、已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( )A. 3B. 2C. 1D.21【答案】A【解析】函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为3'2x y x =-，由31'22x y x =-=，得260x x --=，解得3x =或1x =-（舍去），选A. 6、已知某程序框图如图所示，则输出的i 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】解：第一次循环，=13,5S i ⨯=；第二次循环，=135,7S i ⨯⨯=；第三次循环，=1357100,9S i ⨯⨯⨯>=，此时退出循环，输出9i =，故选C ．7、某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ）A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种【答案】A【解析】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有39504A =种排法，其中上午连排3节的有33318A =种，下午连排3节的有33212A =种，则这位教师一天的课表的所有排法有504-18-12=474种，故选A ．8、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.12πB.C.3πD. 【答案】C【解析】由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE 与底面垂直，∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC 根据直角三角形的勾股定理知AC ==，所以外接球的面积为243ππ=，选C.9．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α；③若,,l m n αββγγα=== ，则l ∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα=== 且n ∥β,则l ∥m . 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确；②中当直线l α⊂时，不成立；③中，还有可能相交一点，不成立；④正确，所以正确的有2个，选B.10．已知向量(1,2),(4,)a x b y =-= ，若a b ⊥，则93x y +的最小值为（ ）A．．12 C ．6 D．【答案】C【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b = ，即4(1)20x y -+=，所以22x y +=。
则2293333236x y x y x+=+=，当且仅当233,21x y x y ===取等号，所以最小值为6，选C.11.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）【答案】B【解析】因为函数为增函数，所以1a >，又函数(||1)f x +为偶函数。
当0x >时，(||1)(1)log (1af x f x x +=+=+，当0x <时，(||1)(1)log (1)a f x f x x +=-+=-+，选B. 12.已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则22d d +的最小值 ( )A．22+ B．12+ C．22- D．12- 【答案】D【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。
因为点P 到y 轴的距离为1d ，所以到准线的距离为11d +，又11d P F +=,所以12122111d d d d P F d +=++-=+-，焦点到直线的距离2d ===，而2PF d d +≥=，所以12211d d PF d +=+-≥-，选 D.ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13. 341()x x-展开式中常数项为 【答案】4-【解析】展开式的通项为341241441()()(1)k kk k k k k T C x C x x--+=-=-，由1240k -=，得3k =，所以常数项为3344(1)4T C =-=-。
14.已知函数2()321f x x x =++,若11()2()f x dx f a -=⎰,则___________a =.【答案】1a =-或13a =- 【解析】因为112321111()(321)()4f x dx x x dx x x x ---=++=++=⎰⎰，所以2()4f a =，即()2f a =，所以2()3212f a a a =++=，即23210a a +-=，解得1a =-或13a =-。
15．若变量x 、y 满足2040x y x y y a ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若2x y -的最大值为1-，则a =【答案】1-【解析】令2x y z -=，则=2y x z -，因为2x y -的最大值为1-，所以21x y -=-，由图象可知当直线经过点C 时，直线的截距最小，此时z 有最大值，由2120x y x y -=-⎧⎨++=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，即=1a -。
16．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________ ； 【答案】20【解析】因为项数是偶数，所以由题意知13115n a a a -+++= ，2435n a a a +++= ，两式相减得21431()()()351520n n a a a a a a --+-++-=-= ，即202nd =，所以4040202n d ===。
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17．（本小题满分12分）已知函数21()2cos ,()22f x x x x R =--∈ （Ⅰ）当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的最小值和最大值；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向量(1,sin )m A = 与向量(2,sin )n B =共线，求,a b 的值。
18．（本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者。
（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。
（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率19．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB BC AA === ∠ACB=90°,Ｍ是1AA 的中点，Ｎ是1BC 的中点 （Ⅰ）求证：MN ∥平面111A B C ； （Ⅱ）求点1C 到平面BMC 的距离；（Ⅲ）求二面角11B C M A --的平面角的余弦值大小。
20．（本小题满分12分）已知椭圆22149x y +=上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且2PM MQ =，点M 的轨迹为C.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，－2）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点4(0,)17-且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+（O 为原点），问是否存在这样的直线l ， 使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由21．（本小题满分13分）设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)在x ∈[－1，1]内没有极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意的a ∈[3,6]，不等式()1f x ≤在x ∈[－2,2]上恒成立，求m 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为x y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）．（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正 半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．23．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》 已知函数()25f x x x =---． （I ）证明：3()3f x -≤≤；（II ）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集．高2013届高三上学期期中考试题解析一、选择题：第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在答题卷相应位置上.）三、解答题17．1cos 21()222x f x x +=--12cos 212x x =--sin(2)16x π=--。
