(通用版)中考数学二轮复习 专题9 几何问题探究课件

如图1,☉O和☉I分别是△ABC的外接圆和内切圆,☉I与AB相切于点F,设☉O的半 径为R,☉I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三 条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr. 下面是该定理的证明过程(部分): 延长AI交☉O于点D,过点I作☉O的直径MN,连接DM,AN. ∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等). ∴△MDI∽△ANI.∴ IM＝ID，
与内心之间的距离为
cm.
【解析】(1)∵O,I,N三点共线,∴OI+IN=ON, ∴IN=ON-OI=R-d; 答案:R-d
(2)BD=ID. 理由如下: 如图3,过点I作☉O的直径MN,连接AI交☉O于D,连接MD,BI,BD, ∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI. ∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI,∴∠BID=∠DBI,∴ BD=ID.
【题组过关】
1.(202X·临沂中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书大约在一
千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问
人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车;若
每辆车乘坐2人,则有9人步行.问人与车各多少?设有x人,y辆车,可列方程组为
人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,
使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中,不是轴对称
图形的是
(C)
【规律方法】中心对称图形绕着某个点旋转180°后与自身重合;轴对称图形沿 着某条直线进行对折,直线两旁的部分能够完全重合.

∴在△DBE 和△CFD 中,
∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF, ∴EB=AD.
第6页/共53页
考情搜索
题型1
题型2
题型3
(3)
.
理由如下: 作DF∥BC交AC于点F,如图3所示: 同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF, ∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC, ∴△ADF是等腰直角三角形,
第4页/共53页
考情搜索
题型1
题型2
题型3
【答案】 (1)作DF∥BC交AC于点F,如图1所示. ∴∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE, ∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A, ∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,∴AD=DF, ∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,
∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,AF=AE,
又∵AD为公共边,
∴△DAF≌△DAE,即DF=DE.⑤
将③⑤代入④式,
得DE2=BD2+CE2.
第18页/共53页
考情搜索
题型1
题型2
题型3
解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接AF,EF,CF,如图3所示.
∴AD=AF,DE=EF,⑥
(3)如图 3,若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N,CN=1,CE= ,求 的值.
第8页/共53页
考情搜索
题型1
题型2
题型3
图1
图2
图3
第9页/共53页
考情搜索
题型1

使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55
cm，且tanEFC=
4 3
.
(1)
求证：AFB∽FEC；
(2)
求矩形ABCD的周长。
B
D E
FC
练习5 如图，将矩形纸片ABCD
E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.
(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。
(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A¹， ΔA¹MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
练习7 如图，把一张边长为a的正 A E
方形的纸进行折叠，使B点落在AD 上，问B点落在AD的什么位置时，
M
折起的面积最小，并求出这最小值。
B
解： 如图，设MN为折痕，折起部
分为梯形EGNM，B、E关于MN对
AE
称，所以BE⊥MN，且BO3 =EO，设
8
AE=x，则BE= 。
MO
由Rt△MOB∽
，得：
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
（1）求对角线OB所在直线的解析式；
y
B C

(2)Ⅰ)证明：如图②，连接 OR. ∵PR 与 QR 分别为线段 OA 与 OB 的中垂线， ∴AR＝OR＝BR，∴∠ARC＝∠ORC，∠ORD＝∠BRD. 在四边形 OCRD 中， ∠OCR＝∠ODR＝90°，∠MON＝150°， ∴∠CRD＝30°. ∴∠ARB＝2∠CRD＝60°. ∴△ABR 为等边三角形．
又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE， ∴∠ABC－∠CBE＝∠BAC－∠BAD， 即∠ABF＝∠CAF，∴∠ACG＝∠CAF，∴AF∥CG， ∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°， ∴CF⊥CG，∠CFG＝30°，∴FG＝2CG， ∴FG＝2BF， ∵FD∥CG， ∴BFFG＝BDDC＝12，
【分层分析】(1)根据等边三角形的性质，结合题中所给线段关系即可得 证； (2)由(1)中结论可判断△ABE 中有两个特殊角，通过作垂线构造两个特殊 直角三角形再求出 AE 的长； (3)F 点在等边三角形内部时，考虑构造等边三角形，延长 BE 至 G，使得 FG＝FA，由(1)中所证全等结合等边三角形的性质可得∠BAD＝∠CBE，∠ AFG＝60°，则△AFG 为等边三角形，从而可证得△BAF≌≌△CAG，所以∠ ABF＝∠AACCGG，由等角转换得∠ABF＝∠CAF，从而得∠ACG＝∠CAF，所以 AF∥CG，此时F BFFG＝BFDBCD G，结合 30°角的 Rt△GFC 即可得证线段关系．
(3)解：连接 AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°， D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD＝ 22AB， ∠BAD＝∠CAD＝45°. ∵AF⊥BE，∴∠AFB＝∠ADB＝90°， ∴A，B，D，F 四点共圆，∴∠BFD＝∠BAD＝45°.∵∠EFC＝45°， ∴∠DFC＝180°－∠EFC－∠BFD＝90°，由(2)知△CEF∽△BEC，∴∠ECF