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深圳罗湖区明珠学校数学圆几何综合专题练习（解析版）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．2．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB +∠CKB ＝90° ∴OK ⊥ACAC ＝2CK ，CK ＝BC •sin ∠OBC ＝245∴AC ＝485【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10433与△ABC 的边相切．②点F 1136572【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos302FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===，3tan30(2)3EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)23m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4， 如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin60OB ON ==4310AO ∴=- 4312AP ∴=-43212m ∴+= 3103m ∴=-综上所述,当m =1或4或4310O 与△ABC 的边相切。
《深圳中考专项复习》第23讲之几何动态问题【考点介绍】2020年的深圳中考第一次出现以纯几何动点动态问题作为两题解答压轴题之一，考查二次函数与几何知识的综合运用，难度极大，其中第（2）小题中等难度，第（3）小题高难度。
【最近五年深圳中考实题详解】1.(2020∙深圳)背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E ，A ，D 在同一条直线上），发现BE=DG 且BE ⊥DG 。
小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG 吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG 和菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG 与∠BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG 仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且AEAG =ABAD =23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图3），连接DE ，BG 。
小组发现：在旋转过程中， BG 2+DE 2是定值，请求出这个定值【解析】（1）全等中的典型模型“手拉手模型”，由A E=AG,∠EAB=∠GAD，AB=AD 可证△EAB ≌△GAD ，则BE=DG ；（2）题目背景图由正方形改为菱形，三角形全等所需要的“等边”条件仍存在，故仍是全等中的典型模型“手拉手模型”，依解题思路的延续性，套用（1）的思路解题即可。
仍可由A E=AG,∠EAB=∠GAD，AB=AD 可证△EAB ≌△GAD ，B CHAE F G 图4则BE=DG；（3）题目背景图由菱形改为矩形，三角形全等所需要的“等边”条伯已经不存在，故采用三角形相似知识解题，但“解题思路的延续性”这种分析方法却不会变，只是由“△EAB≌△GAD”转化成了“△EAB∽△GAD”，从这个相似的解题寻找解题的突破口。
《深圳中考专项复习》第17讲之几何证明计算题【考点介绍】在深圳中考卷第20题或21题位置，有一道8分左右的计算题，轮流出现的是三种计算解答题：几何证明计算题、三角函数应用题、反比例函数与一次函数交点问题，中等难度。
【最近五年深圳中考实题解题思路分析】1.(2020∙深圳)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E（1）求证：AE=AB（2）若AB=10，BC=6，求CD的长【解析】（1）有切线必接OC,则OC⊥CD,由CD⊥AE,可得OC//AE,则∠OCB=∠E,由OC=OB得∠ABE=∠OCB，∴∠E=∠OBC,∴AE=AB.（2）圆常用添辅助线方法：连接AC，由AB是直径可得∠ACB=90°,由AB=10、BC=6及勾股定理可得AC=8，由AB=AE=10，.AC⊥BE可得EC=BC=6，在Rt△ACE中，利用数学典型模型“双垂模型”的等面积法可得AC=2452.(2018∙深圳))已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图1，菱形ADFE为△ABC的亲密菱形。
如图书2，在△CFE中，CF=6，CE=12,∠FCE=45°，AD长为半径做弧，交EF于点B，AB//CD. 以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于12(1)求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；(2)求四边形ACDB的面积.解析：中等难度题型，以阅读理解题型考查菱形的证明与计算、尺规作图。
(1)证明：由尺规作图痕迹可得：AC=CD，AB=DB，BC是∠FCE的角平分线，则：∠ACB=∠DCB，又∵AB//CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA，∴四边形ACDB 是菱形.∵∠ACD与∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点在EF上，∴四边形ACDB为△CFE的亲密菱形.(2)解：设菱形ACDB的边长为x，∵AB//CE，∴FAFC=ABCE，即6−x6=x12,解得：4x=,过A点作AH⊥CD于点H，在直角△CAH中，∠FCE=45°，AH=AC∙sin45°=4×√22=2√2,∴菱形ACDB的面积为：4×2√2=8√2.【针对练习巩固】1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．2．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．（1）求∠AEG的度数；（2）求证：四边形BEGF是平行四边形．3．如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．（1）求证：△ABN≌△ADN；（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．4．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．5．如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．6．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ．BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ．连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若AB ＝√5．OE ＝2，求线段CE 的长．7．等腰△ABC 中，AB ＝BC ＝8，∠ABC ＝120°，BE 是∠ABC 的平分线，交AC 于E ，点D 是AB 的中点，连接DE ，作EF ∥AB 于点F ．（1）求证四边形BDEF 是菱形；（2）如图以DF 为一边作矩形DFHG ，且点E 是此矩形的对称中心，求矩形另一边的长．8．如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径两弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF为半径画弧，两弧交于一点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．（1）AB AF （选填“＝”，“≠”，“＞”，“＜”）：AE ∠BAD 的平分线．（选填“是”或“不是”） （2）在（1）的条件下，求证：四边形ABEF 是菱形．（3）AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF ＝10，则AE 的长为 ，∠ABC ＝ °． 9.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，D F⊥AE 于点F ，连接DE. （1）求证：△ABE ≌△DFA（2）如果AD=10,AB=6,求sin ∠EDF 的值.EFCD AB10．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB̂的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E 是OB 上一点，且OE EB=23，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）当OB ＝2时，求BH 的长．11．四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ＝CD ． （1）如图1，求证∠ABC ＝2∠ACD ；（2）过点D 作⊙O 的切线，交BC 延长线于点P （如图2）．若tan ∠CAB ＝512，BC ＝1，求PD 的长．12.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ，OC ＝5，BC 与⊙O 交于点D ，点E 是BD ̂的中点，EF ∥BC ，交OC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）CG ∥OD ，交AB 于点G ，求CG 的长．13．如图，▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BO 交边AD 于点O ，OD ＝4，以点O 为圆心，OD 长为半径作⊙O ，分别交边DA 、DC 于点M 、N ．点E 在边BC 上，OE 交⊙O 于点G ，G 为MN ̂的中点． （1）求证：四边形ABEO 为菱形；（2）已知cos∠ABC＝1，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．314．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝4，求AB的长．515.如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；̂的长（结果保留π）．（2）若AD＝2√3，求AM16.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．（1）求证：直线CD与⊙O相切；̂上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧AE17．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；【答案详解】1.【解析】(1)先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，再依AF//BC可得四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC，∴四边形ADCF是菱形；BC的中点，依直角三角形斜边中线的性质得AD＝CD＝12（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S△ABC＝12AB•AC＝12×12×16＝96．2．【解析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴∠AEG的度数为90°；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．证明：延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．3．如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．（1）求证：△ABN≌△ADN；（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．【解析】（1）△ABN和△ADN中，不难得出AB＝AD，∠DAC＝∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠1＝∠2．又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN（SAS）．（2）通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由①可得∠MDA＝∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH＝∠ABC＝60°．在Rt△AMH中，MH＝AM•sin60°＝4×sin60°＝2√3．∴点M到AD的距离为2√3．，∴AH＝2．∴DH＝6+2＝8．在Rt△DMH中，tan∠MDH＝MHDH．由（1）知，∠MDH＝∠ABN＝α，∴tanα＝√344．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠OEB ＝∠OFD ＝90°，∴△OEB ≌△OFD （AAS ），∴OE ＝OF ；（2）解：由（1）得：OE ＝OF ，∵OF ＝2，∴OE ＝2，∵BE ⊥AC ，∴∠OEB ＝90°，在Rt △OEB 中，tan ∠OBE ＝OE BE＝25．5．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠EAC ＝∠FAC ＝30°，又∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ＝12AC ，∵点H 为对角线AC 的中点，∴EH ＝FH ＝12AC ，∴CE ＝CF ＝EH ＝FH ，∴四边形CEHF 是菱形；（2）∵CE ⊥AB ，CE ＝4，△ACE 的面积为16，∴AE ＝8，∴AC ＝√CE 2+AE 2＝4√5，连接BD ，则BD ⊥AC ，AH ＝12AC ＝2√5，∵点H 为对角线AC 的中点，∴D 、H 、B 在同一直线上，∵∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∠BAH ＝∠EAC ，∴△ABH ∽△ACE ，∴BH CE =AH AE ，∴BH4=2√58， ∴BH ＝√5，∴BD ＝2BH ＝2√5，∴菱形ABCD 的面积＝12AC •BD ＝12×2√5×4√5＝20．6．【解析】（1）先判断出∠OAB ＝∠DCA ，进而判断出∠DAC ＝∠DAC ，得出CD ＝AD ＝AB ，即可得出结论；证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠OAB ＝∠DCA ，∵AC 为∠DAB 的平分线，∴∠OAB ＝∠DAC ，∴∠DCA ＝∠DAC ， ∴CD ＝AD ＝AB ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ＝AB ，∴▱ABCD 是菱形；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，根据相似三角形的性质即可得出结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC＝2，∴OB＝√AB2−AO2＝1，∵∠AOB＝∠AEC＝90°，∠OAB＝∠EAC，∴△AOB∽△AEC，，∴ABAC =OBCE，∴√54=1CE，∴CE＝4√55．7．【解析】（1）先证明四边形BDEF是平行四边形，再根据DE＝12AB＝BD，即可得到四边形BDEF是菱形；证明：（1）∵AB＝BC，BE是∠ABC的平分线，∴E是AC的中点，且BE⊥AC，又∵点D是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BF，又∵EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，又∵Rt△ABE中，点D是AB的中点，∴DE＝12AB＝BD，∴四边形BDEF是菱形；（2）先证明四边形BEFH是平行四边形，得到BE＝FH，再根据BE＝12BC＝4，即可得到FH＝4．解：连接EH，∵点E是此矩形的对称中心，∴D，E，H在同一直线上，∵DE∥BF，∴EH∥BF，∵BE⊥DF，FH⊥DF，∴BE∥FH，∴四边形BEFH是平行四边形，∴BE＝FH，∵∠ABC＝120°，BE平分∠ABC，∴∠EBF＝60°，又∵∠BEC＝90°，∴∠C＝30°，∴BE＝12BC＝4，∴FH＝4．8．【解析】（1）利用基本作法得到AB＝AF，AE平分∠BAD的平分线；（2）先证明BA＝BE，从而得到AF＝BE，所以四边形ABEF为平行四边形，然后判断四边形ABEF是菱形；证明：∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠FAE，∵AF∥BE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝EB，而AF＝AB，∴AF＝BE，AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，而AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；（3）利用菱形的性质得到AB ＝10，OA ＝OE ，OB ＝OF ＝5，AE ⊥BF ，则可判断△ABF 为等边三角形，从而得到∠BAF ＝60°，所以∠ABC ＝120°，然后通过计算OA 的长得到AE 的长．解：∵四边形ABEF 是菱形；而四边形ABEF 的周长为40，∴AB ＝10，OA ＝OE ，OB ＝OF ＝5，AE ⊥BF ， ∴△ABF 为等边三角形，∴∠BAF ＝60°，∴∠ABC ＝120°，∵OA ＝√3OB ＝5√3，∴AE ＝2OA ＝10√3．9.【解析】（1）证明：在矩形ABCD 中，BC=AD ，AD//BC ，∠B=90°,∴∠DAF=∠AEB,∵DF ⊥AE,AE=BC,∴∠AFD=90°=∠B,AE=AD,∴△ABE ≌△DFA ；（2）由△ABE ≌△DFA 可知AB=DF=6，在Rt △ADF 中，AF=√AD 2−DF 2=√102−62=8，∴EF=AE-AF=AD-AF=2, 在Rt △DFE 中，DE=√DF 2+EF 2=√62+22=2√10，∴sin ∠EDF=EFDE=2√10=√101010．【解析】（1）先判断出∠AOC ＝90°，再判断出OC ∥BD ，即可得出结论；证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，点C 是的中点，∴∠AOC ＝90°，∵OA ＝OB ，CD ＝AC ，∴OC 是△ABD 是中位线，∴OC ∥BD ，∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，∴AB ⊥BD ， ∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线；（2）先利用相似三角形求出BF ，进而利用勾股定理求出AF ，最后利用面积即可得出结论． 解：由（1）知，OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE ，∴OCBF =OEEB ，∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4，OEEB =23， ∴2BF =23，∴BF ＝3，在Rt △ABF 中，∠ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5， ∵S △ABF ＝12AB •BF ＝12AF •BH ，∴AB •BF ＝AF •BH ，∴4×3＝5BH ，∴BH ＝125．11．【解析】（1）证明：∵AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴∠ADC+2∠ACD ＝180°， 又∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABC+∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝2∠ACD ；（2）解：连接OD 交AC 于点E ，∵PD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DP ，∴∠ODP ＝90°，又∵AD ̂=CD ̂， ∴OD ⊥AC ，AE ＝EC ，∴∠DEC ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ECP ＝90°， ∴四边形DECP 为矩形，∴DP ＝EC ，∵tan ∠CAB ＝512，BC ＝1，∴CBAC =1AC =512， ∴AC ＝512，∴EC ＝12AC ＝65，∴DP ＝65．12.【解析】证明：（1）连接OE ，交BD 于H ，∵点E 是BD ̂的中点，OE 是半径，∴OE ⊥BD ，BH ＝DH ，∵EF ∥BC ，∴OE ⊥EF ， 又∵OE 是半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ，∴OB ＝3，∴BC ＝√0B 2+OC 2＝√34，∵S △OBC ＝12×OB ×OC ＝12×BC ×OH ，∴OH ＝√34=15√3434，∵cos ∠OBC ＝OB BC=BH OB，∴√34=BH 3，∴BH ＝9√3434，∴BD ＝2BH ＝9√3417，∵CG ∥OD ，∴OD CG=BD BC，∴3CG =9√3417√34，∴CG ＝173．13．【解析】 （1）证明：∵G 为的中点，∴∠MOG ＝∠MDN ．∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AO ∥BE ，∠MDN+∠A ＝180°，∴∠MOG+∠A ＝180°，∴AB ∥OE ，∴四边形ABEO 是平行四边形． ∵BO 平分∠ABE ，∴∠ABO ＝∠OBE ，又∵∠OBE ＝∠AOB ，∴∠ABO ＝∠AOB ，∴AB ＝AO ， ∴四边形ABEO 为菱形；（2）如图，过点O 作OP ⊥BA ，交BA 的延长线于点P ，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，设AE 交OB 于点F ， 则∠PAO ＝∠ABC ，设AB ＝AO ＝OE ＝x ，则∵cos ∠ABC ＝13，∴cos ∠PAO ＝13，∴PAAO=13，∴PA ＝13x ，∴OP ＝OQ ＝2√23x 当AE 与⊙O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F 为切点，∴在Rt △OBQ 中，由勾股定理得：(43x)2+(2√23x)2=82，解得：x ＝2√6（舍负）．∴AB 的长为2√6．14．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD ⊥CE ，垂足为D ，AC 平分∠DAB ． （1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝4，cos ∠CAB ＝45，求AB 的长．【解析】（1）证明：连接OC ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠CAD ＝∠CAB ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∴AD ∥OC ，∵AD ⊥DE ，∴OC ⊥DE ，∴直线CE 是⊙O 的切线； （2）连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ，∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB ，∴△DAC ∽△CAB ，∴ADAC =ACAB ，∵cos ∠CAB ＝ACAB =45， ∴设AC ＝4x ，AB ＝5x ，∴44x =4x5x ，∴x ＝54，∴AB ＝254．15.如图，在▱ABCD 中，∠D ＝60°，对角线AC ⊥BC ，⊙O 经过点A ，B ，与AC 交于点M ，连接AO 并延长与⊙O 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，AB ＝EB ． （1）求证：EC 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝2，求AM ̂的长（结果保留π）．【解析】（1）证明：连接OB，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝2√3，∴OA＝OHsin60°＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴AM̂的长度＝60π×4180=4π3．16.【解析】（1）证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：则∠OEC＝90°，∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，∴∠OEC＝∠OBC，∵CO平分∠BCD，∴∠OCE＝∠OCB，∴△OCE≌△OCB（AAS），∴OE＝OB，又∵OE⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：则四边形ABFD是矩形，∴AB＝DF，BF＝AD＝1，∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD、BC是⊙O的切线，由（1）得：CD是⊙O的切线，∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，∴CD＝ED+EC＝3，∴DF＝√CD2−CF2＝√32−12＝2√2，∴AB＝DF＝2√2，∴OB＝√2，∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BCH，∵∠APE＝∠ABE，∴∠APE＝∠BCH，∴tan∠APE＝tan∠BCH＝OBBC =√22．17．【解析】（1）证明：如图，连接BC，OB．∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠CBO，∵∠C＝∠BAD，∠PBD＝∠DAB，∴∠CBO＝∠PBD，∴∠OBP＝∠CBD＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）解：∵CD⊥AB，∴PA＝PB，∵OA＝OB，OP＝OP，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AMO＝90°，∴OM＝√OM2−AM2＝√52−42＝3，∵∠AOM＝∠AOP，∠OAP＝∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴OAOP =OMOA，∴5OP=35，∴OP＝253，∵PN⊥PC，∴∠NPC＝∠AMO＝90°，∴AMPN =OMOP，∴4PN=3253，∴PN＝1009。
2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：圆等几何解答题（原卷版）一、圆1. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）如图，点P 是O 的直径AB 延长线上一点，AO AP =，点O 旋转到点C ，连接CO 交O 于点D ，60AOD ∠=︒．（1）求证：DP 是O 的切线；（2）若2AB =，求阴影部分的面积．2. （2023年广东省深圳市坪山区中考一模）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径作O ，交AC 于点F ，过C 点作CD AC ⊥交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB ED =．（1）求证：BE 为O 的切线；（2）若2,tan 2AF A ==，求BE 的长．3. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当12CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．4. （2023年广东省深圳市光明区中考一模）如图，AB 是O 的直径，弦AC BC =，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF CE =，连接AF 交O 于点D ，连接BD ，BF ．（1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若AF 长为BD 的长．5. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）如图，O 是ABC 的外接圆，连接OA ，过点C 作一条射线CD ．（1）请从以下条件中：①CD OA ∥，=45ABC ∠︒；②BCD BAC ∠=∠；③CB 平分ACD ∠．选择一组能证明CD 是O 的切线的条件，并写出证明过程；（2）若2OA =，22.5OAB ∠=︒，AB CB =，求 BC 的长度．（结果保留π）二、三角形1. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）如图，已知射线BC ⊥AB ，以AB 为斜边作Rt △ABD ，延长AD 到E ，使得AD ＝DE ，连接BE ，BF 平分∠CBE 交AE 于点F ．（1）求证：BD ＝DF ；（2）若AB ＝2，以AE 为边向下作∠AEG ＝45°，交射线BC 于点G ，求BG 的长．三、特殊四边形1. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上一点，且EA EF =，DA DF =，连接AF 、DE 交于点G ，且BAF ADE ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）当4BF =，12CD =时，求DF 的长．2. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）（1）如图1，纸片ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，沿AE 剪下ABE ，将它平移至DCE ' 的位置，拼成四边形AEE D '，则四边形AEE D '的形状为 ．（从以下选项中选取）A. 正方形 B ．菱形 C ．矩形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '上取一点F ，使8EF ＝， 剪下AEF △，将它平移至DE F ''△的位置，拼成四边形AFF D '．①求证：四边形AFF D '是菱形；②连接DF ，求sin ADF ∠的值．3. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）操作：如图1，点E 矩形ABCD 边CD 上，沿AE 折叠，使点E 与点A 重合，得多边形AC FBNM '（图2），思考：若6AB =，10AD =．（1）求图1中CE 的长；（2）求证：AC F ECD ''≅ ．（3）探究：若用一张A4（AD =）纸进行上述操作，判断C F '与BF 的数量关系．在2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：圆等几何解答题（解析版）一、圆1. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）如图，点P 是O 的直径AB 延长线上一点，AO AP =，点O 旋转到点C ，连接CO 交O 于点D ，60AOD ∠=︒．（1）求证：DP 是O 的切线；（2）若2AB =，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（26π【解析】【分析】（1）连接AD ，根据题意推出AOD △是等边三角形，根据等边三角形的性质得到60DAO ADO ∠=∠=︒，AO AD =，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出30ADP ∠=︒，则90PDO ∠=︒，根据切线的判定定理即可得解；（2）根据阴影部分的面积ODP OAD S S =-扇形 求解即可．【小问1详解】证明：如图，连接AD ，根据题意得，60AOD ∠=︒，AO OD = ，AOD ∴ 是等边三角形，60DAO ADO ∴∠=∠=︒，AO AD =，AO AP = ，AP AD ∴=，APD ADP ∴∠=∠，DAO APD ADP ∠=∠+∠ ，30ADP ∴∠=︒，90PDO ADP ADO ∴∠=∠+∠=︒，PD OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DP ∴是O 的切线；【小问2详解】解：2AB = ，1AO DO ∴==，22OP AO ∴==，DP ∴===，11122ODP S DP OD ∴=⋅== 26013606OAD S ππ⋅⨯== 扇形，∴阴影部分的面积6ODP OAD S S π=-=扇形 ．【点睛】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键．2. （2023年广东省深圳市坪山区中考一模）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径作O ，交AC 于点F ，过C 点作CD AC ⊥交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB ED =．（1）求证：BE 为O 的切线；（2）若2,tan 2AF A ==，求BE 的长．【答案】（1）见解析（2）154【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A =∠ABC ，∠D =∠EBD ，根据等腰三角形的性质得到∠A =∠ABC ，∠D =∠DBE ，推出∠CBE =90°，于是得到结论；（2）连接BF ，根据圆周角定理得到BF ⊥AC ，根据三角函数的定义得到BF =4，设CF =x ，列出关于x 的方程并求解，再根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AC =BC ，EB =ED∴∠A =∠ABC ，∠D =∠EBD∵CD ⊥AC∴∠A +∠D =90°∴∠ABC +∠EBD =90°∴∠CBE =90°∵BC 是⊙O 的直径．∴BE 是⊙O 的切线．【小问2详解】解：连接BF∵BC 是⊙O 的直径．∴∠BFC =∠BFA =90°在Rt △ABF 中，tan A =22BF BF AF == ∴BF =4设CF =x ，则AC =BC =x +2在Rt △BCF 中，222BC CF BF =+即222(2)4x x +=+∴x =3∴CF =3，BC=5∵∠ACB =∠AFB =90°∴BF ∥CD∴∠1=∠2又∵∠CFB =∠EBC =90°∴△CFB ∽△EBC ∴FC FB BE BC=∴345BE = ∴BE =154【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．3. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当12CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB；（3）【解析】【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin OC，∴OC，∴AB=2OC；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=12∠AOC=12（180°﹣60°）=60°，∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=12DC，∴12CD +OD =DH +FD ．根据两点之间线段最短可得：当F 、D 、H 三点共线时，DH +FD （即12CD +OD ）最小，此时FH =OF •sin ∠FOH =6，则OF =AB =2OF =∴当12CD +OD 的最小值为6时，⊙O 的直径AB 的长为考点：1．圆的综合题；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的判定与性质；4．菱形的判定与性质；5．锐角三角函数的定义；6．特殊角的三角函数值．4. （2023年广东省深圳市光明区中考一模）如图，AB 是O 的直径，弦AC BC =，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF CE =，连接AF 交O 于点D ，连接BD ，BF ．（1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若AF 长为BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OC 、OF ，证明四边形OFBC 是平行四边形，则BF ∥OC ，根据AC =BC ，得到OC ⊥AB ，∠ABF =∠BOC =90°，可证明BF 是⊙O 的切线；（2）由AB是⊙O的直径得∠ADB=∠ACB=90°，则∠CAB=∠CBA=45°，可证明FB=OB=OA=1AB，根据勾股定理求出AB、BF的长，再根据三角形的面积公式即可求出BD的长．2【小问1详解】证明：如图，连接OC、OF，∵EF=CE，OE=BE，∴四边形OFBC是平行四边形，∴BF∥OC，∵AC=BC，OA=OB，∴OC⊥AB，∴∠ABF=∠BOC=90°，∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，∴直线BF是⊙O的切线；【小问2详解】如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵OC=OB，∴∠OCB =∠OBC =45°，∴∠BFO =∠OCB =45°，∵OF ∥BC ，∴∠BOF =∠OBC =45°，∴∠BFO =∠BOF ，∴FB =OB =OA =12AB ，∵FB 2+AB 2=AF 2，且AF ，∴（12AB ）2+AB 2=（）2，∴AB ，∴FB =12AB ，∴⊙O ，∵S △ABF =12AB •BF =12AF •BD ，∴=5×BD ，∴BD ．【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）如图，O 是ABC 的外接圆，连接OA ，过点C 作一条射线CD ．（1）请从以下条件中：①CD OA ∥，=45ABC ∠︒；②BCD BAC ∠=∠；③CB 平分ACD ∠．选择一组能证明CD 是O 的切线的条件，并写出证明过程；（2）若2OA =，22.5OAB ∠=︒，AB CB =，求 BC 的长度．（结果保留π）【答案】（1）见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）选择①连接OC ，由=45ABC ∠︒可得=90AOC ︒∠，由CD OA ∥可得90OCD AOC ∠=∠=︒，进而可得证明CD 是O 的切线，选择②连接CO 并延长交圆于点E ，证明CEB CAB ∠=∠，从而证明90OCD ∠=︒，即可得出结论，③CB 平分ACD ∠，无法得出结论；（2）连接OB ，易得22.5OAB OBA ∠=∠=︒，进而求出135AOB ∠=︒，即可求出由 AB的长度，而AB CB =，故 AB CB=，由此即可解题．【小问1详解】解：选择①CD OA ∥，=45ABC ∠︒，连接OC ，如解①图；∵ AC AC =，∴290AOC ABC ∠=∠=︒，∵CD OA ∥，∴90OCD AOC ∠=∠=︒，∵OC 是圆的半径，∴CD 是O 的切线，选择②BCD BAC ∠=∠，如解②题，连接CO 并延长交圆于点E ，连接BE ，∵ BC BC =，∴BAC E ∠=∠，∵BCD BAC∠=∠∴BCD E∠=∠∵CE 是O 的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90ECB E ∠+∠=︒，∴90BCD ECB ∠+∠=︒∴CD 是O 的切线，【小问2详解】连接OB ，如图，∵OA OB =，∴22.5OAB OBA ∠=∠=︒，∴18022.522.5135AOB ∠=︒-︒-︒=︒，∴ AB 的弧长为：135231802ππ⨯=，∵AB BC =，∴ AB BC =，∴ BC 的长度32π．【点睛】本题主要考查了切线的判定、弧长公式和圆周角定理等，解题的关键是掌握有切点连半径证垂直．三、三角形1. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）如图，已知射线BC ⊥AB ，以AB 为斜边作Rt △ABD ，延长AD 到E ，使得AD ＝DE ，连接BE ，BF 平分∠CBE 交AE 于点F ．（1）求证：BD ＝DF ；（2）若AB ＝2，以AE 为边向下作∠AEG ＝45°，交射线BC 于点G ，求BG 的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】(1)首先可证得BD 垂直平分AE ，可得AB =BE ，A BEA ∠=∠，可得2180AEB ABE ∠=︒-∠，再根据BF 平分∠CBE ，可得12EBF CBF CBE ∠=∠=∠，据此即可求得45DFB DBF ∠=∠=︒，即可证得结论；(2)首先可证得90BHG ∠=︒，进而证得BEG BGE ∠=∠，BE BG =，再根据AB BE =，即可求得BG 的长．【小问1详解】证明：BC AB ⊥90ABC ∴∠=︒Rt ABD 的斜边是AB90ADB ∴∠=︒BD AD ∴⊥又AD DE =BD ∴垂直平分AEAB BE ∴=A BEA ∴∠=∠180A AEB ABE ∠∠+∠=︒＋ 180AEB AEB ABE ∴∠+∠+∠=︒2180AEB ABE ∠=︒-∠∴BF 平分EBC ∠12EBF CBF CBE ∴∠=∠=∠FB BEA E D BF =∠+∠∴∠12BEA CBE =∠+∠()122BEA CBE =∠+∠()11802ABE CBE =︒-∠+∠()11802ABE CBE =︒-∠-∠⎡⎤⎣⎦()11802ABC =︒-∠()1180902=⨯︒-︒45=︒90ADB ∠=︒90∴∠=︒FDB 180180904545DBF FDB DFB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒DFB DBF ∴∠=∠BD DF∴=【小问2详解】解：如图：延长BF 交EG 于点H45DFB EFH ∠=∠=︒ ，45AEG ∠=︒180180454590FHE FEH EFH ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒90BHG ∴∠=︒90BEH FBE ∴∠+∠=︒，90CBF BGE ∠+∠=︒FBE CBF ∠=∠BEG BGE ∴∠=∠BE BG ∴=AB BE =2BG BE AB ∴===【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，角平分线的定义，作出辅助线是解决本题的关键．三、特殊四边形1. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上一点，且EA EF =，DA DF =，连接AF 、DE 交于点G ，且BAF ADE ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）当4BF =，12CD =时，求DF 的长．【答案】（1）见解析（2）20【解析】【分析】（1）根据EA EF =，DA DF =可得DE 垂直平分AF ，进而得90ADE FAD ∠+∠=︒，结合BAF ADE ∠=∠得90BAD ∠=︒，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；（2）设DA DF x ==，则4CF x =-，在Rt CDF △中，根据勾股定理列方程求出x 的值即可得出结论．【小问1详解】EA EF = ，DA DF=DE ∴垂直平分AFDE AF∴⊥90AGD ∴∠=︒90ADE FAD ∴∠+∠=︒ADE BAFÐ=ÐQ 90BAF FAD ∴∠+∠=︒即90BAD ∠=︒∴平行四边形ABCD 为矩形．【小问2详解】设DA DF x ==，在矩形ABCD 中，90C ∠=︒，BC AD=4BF = 4CF x ∴=-在Rt CDF △中，222+=CD CF DF 即()222124x x +-=解得：20x =即20DF =【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定定理和勾股定理是解答本题的关键．2. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）（1）如图1，纸片ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，沿AE 剪下ABE ，将它平移至DCE ' 的位置，拼成四边形AEE D '，则四边形AEE D '的形状为 ．（从以下选项中选取）A. 正方形 B ．菱形 C ．矩形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '上取一点F ，使8EF ＝， 剪下AEF △，将它平移至DE F ''△的位置，拼成四边形AFF D '．①求证：四边形AFF D '是菱形；②连接DF ，求sin ADF ∠的值．【答案】（1）C（2）①证明见详解；②；【解析】【分析】（1）根据ABCD Y 可得AD EC ∥，结合 AE BC ⊥可得，90EAD AEC AEB ∠===︒，再根据ABE 平移得到DCE ' ，可得90CE D '∠=︒，即可得到答案；（2）①根据平移可得AF DF '=，AF DF ' ，即可得到四边形AFF D '是平行四边形，根据60106AE =÷=，结合8EF ＝根据勾股定理可得AF ，即可得到证明；②根据10AD ＝，8EF ＝即可得到1082FE '=-=，结合6AE =即可得到DF ，根据AD EF 可得FE D ADF '∠=∠，即可得到答案；【小问1详解】解：∵ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，∴60106AE =÷=，∵四边形ABCD 平行四边形，∴AD EC ∥，∵AE BC ⊥，∴90EAD AEC AEB ∠===︒，∵ABE 平移得到DCE ' ，∴90CE D '∠=︒，∴四边形AEE D '的形状为矩形，故选C ；【小问2详解】①证明：∵AEF △平移得到DE F ''△，∴AF DF '=，AF DF ' ，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵60106AE =÷=，8EF ＝，∴10AF ==，∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；是②∵10AD ＝，8EF ＝，∴1082FE '=-=，∵6AE =，∴DF ==，∵AD EF ，∴FE D ADF '∠=∠，∴sin =sin DE ADF FE D DF ''∠∠===．【点睛】本题考查平移的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角函数，平行四边形的性质，解题的关键是根据平移及平行四边形的性质得到相应的条件．3. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）操作：如图1，点E 矩形ABCD 边CD 上，沿AE 折叠，使点E 与点A 重合，得多边形AC FBNM '（图2），思考：若6AB =，10AD =．（1）求图1中CE 的长；（2）求证：AC F ECD ''≅ ．（3）探究：若用一张A4（AD =）纸进行上述操作，判断C F '与BF 的数量关系．【答案】（1）83（2）见解析（3）C F BF '=【解析】【分析】（1）由折叠知10AD AD '==，由勾股定理得8BD '=，求证ED C D AB '' ，从而CE CD BD AB'='，求解CE ；（2）由AB CD ∥得AED FAE ∠=，结合折叠的性质导出FAC CED ''∠=∠，用ASA在求证AC F ECD ''≅ ；（3）令AB m =，由勾股定理得BD m '=，(1)CD m '=-，由（1）ED C D AB ''得ED D CD A AB ''='，求得(2ED m '=-，由（2）AC F ECD ''≅ ，得(1)C F m '=-，(2AF m =-，从而得证C F BF '=．【小问1详解】由折叠的性质可得，10AD AD '==，∵90B Ð=°，6AB =，∴8BD '=，∴1082CD BC BD ''=-=-=，∵90AD B ED C ''∠+∠=︒，90AD B BAD ''∠+∠=︒，∴ED C BAD ''∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C ∠=∠=︒，∴ED C D AB '' ，∴CECD BD AB '='，∴286CE=，∴83CE =．【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴AED FAE ∠=，由折叠的性质得出AED AED '∠=，EAC AEC '∠=∠，∴FAE AED '∠=∠，EAC FAE AEC AED ''∠-∠=∠-∠，即FAC CED ''∠=∠，又∵AC EC '=，C C '∠=∠，∴()AC F ECD ASA ''≅ ．【小问3详解】探究：C F BF '=．理由：由AD =，令AB m =，则AD =，∴BD m'===(1)CD BC BD m m ''=-=-=-，∵ED C D AB '' ，∴ED D C D A AB''='，=，∴(2ED m '=-，∵AC F ECD ''≅ ，∴(1)C F CD m ''==-，(2AF ED m '==-∴(2(1)BF AB AF m m m =-=--=-．∴C F BF '=．【点睛】本题主要考查全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、折叠及轴对称的知识；能够由折叠转化为等角及相等线段、根据相似三角形的性质作线段的求解是解题的关键．。
专题13 几何探究型问题1．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG．①当tan∠ACF17时，求所有F点的坐标__________（直接写出）；②求BGCF的最大值．2．（2019•广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C 重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．3．（2019年广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷）如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A，3），AC⊥OA与x轴的交点为C．动点M A向点O运动．同时，动点N以每秒3个单位长度由点O向点C运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．（1）写出∠ACO的值；（2）用t表示出四边形AMNC的面积；（3）求点P的坐标，使得以O、N、M、P为顶点的四边形是特殊的平行四边形？4．（广东省汕头市龙湖区2019年中考数学一模试卷）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与E 重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）△DEF在平移的过程中，AP=CE=__________（用含t的代数式表示）；当点D落在Rt△ABC的边AC上时，求t的值．（2）在移动过程中，当0<t≤5时，连接PE，①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．5．（2019年广东省汕头市澄海区中考数学一模试卷）如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，AD=8 cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2 cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．6．（广东省珠海市香洲区2019年5月份中考数学模拟试卷）如图1，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=3 cm，AE=4 cm，把四边形BCDE沿DE所在直线折叠，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F．（1）证明：FA=FM；（2）求四边形DEMF面积；（3）如图2，点P从点D出发，沿D→N→F路径以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△DPF的面积与四边形DEMF的面积相等．7．（广东省湛江市四校2019届中考模拟二数学试题）如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°<α<90°），得到正方形ADEF，ED 交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ．（1）求证：△ACQ≌△ADQ；（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．。
深圳深圳市新安中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．（1）问题发现如图1，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，40AOB COD ∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M .填空：①ACBD的值为______；②AMB ∠的度数为______．（2）类比探究如图2，在OAB 和OCD 中，90AOB COD ∠=∠=︒，30OAB OCD ∠=∠=︒，连接AC 交BD 的延长线于点M .请判断ACBD的值及AMB ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将OCD 绕点O 在平面内旋转，,AC BD 所在直线交于点M ，若1OD =，3OB =，请直接写出当点A 与点O D 、在同一条直线上时AD 的长．解析：（1）①1；②40︒；（2）3ACBD=90AMB ∠=︒．理由见解析；（3）2或4．【分析】（1）①证明△COA ≌△DOB （SAS ），得AC=BD ，比值为1；②由△COA ≌△DOB ，得∠CAO=∠DBO ，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA 的值，再求∠AMB 的值即可； （2）根据锐角三角比可得OD OBOC OA=，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC ∽△BOD ，根据相似撒尿性的性质求解即可；（3）当点A 与点O D 、在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD 的长． 【详解】（1）①∵40AOB COD ∠=∠=︒， ∴∠BOD=∠AOC ， 又∵OA OB =，OC OD =， ∴△BOD ≌△AOC ， ∴BD=AC ， ∴ACBD=1；②∵40AOB ∠=︒， ∴∠OAB+∠OBA=140°， ∵△BOD ≌△AOC ， ∴∠CAO=∠DBO ，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°， ∴∠AMB=40︒； （2）如图2，3ACBD=90AMB ∠=︒．理由如下：Rt COD 中，30DCO ∠=︒，90DOC ∠=︒，3tan 30OD OC ∴=︒=同理得：3tan 30OB OA =︒=OD OB OC OA∴=， 90AOB COD ∠=∠=︒， AOC BOD ∴∠=∠， AOC BOD ∴△∽△，3AC OCBD OD∴==∠CAO=∠DBO ， ∵∠BEO+∠DBO=90°， ∴∠CAE+∠AEM=90°， ∴∠AMB=90°；（3） ∵∠A=30°，3OB = ∴OA=tan 30OB=3． 如图3，当点D 和点A 在点O 的同侧时， ∵1OD =， ∴AD=3-2=2；如图4，当点D 和点A 在点O 的两侧时， ∵1OD =，，OA=3 ∴AD=3+1=4．综上可知，AD 的长是2或4． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC ∽△BOD ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 2．问题背景（1）如图（1），ABD △，AEC 都是等边三角形，ACD △可以由AEB △通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用（2）如图（2）．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AC ，AB 为边，作等边ACD △和等边ABE △，连接ED ，并延长交BC 于点F ，连接BD ．若BD BC ⊥，求DFDE的值． 拓展创新（3）如图（3）．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AB =，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AP ，连接PB ，直接写出PB 的最大值．解析：（1）旋转中心是点A ，旋转方向是顺时针，旋转角是60︒；（2）23；（3）1．【分析】（1）由等边三角形得出60BAD ∠=︒，60CAE ∠=︒，AD AB =，AC AE =，证明()ACD AEB SAS ≌，由旋转性质即可得；（2）证明()ADE ACB SAS ≌，由全等三角形的性质得90ADE ACB ∠=∠=︒，DE CB =，得出30BDF ∠=︒，由30直角三角形性质得12BF DF =，则可计算得答案； （3）过点A 作AE AB ⊥，且使AE =AD ，连接PE ，BE ，由直角三角形的性质求出BE 、PE 的长即可得解． 【详解】解（1）∵ABD △，AEC 都是等边三角形，∴60BAD ∠=︒，60CAE ∠=︒，AD AB =，AC AE =，BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE ∴∠=∠， ()ACD AEB SAS ∴≌，ACD ∴可以由AEB △绕点A 顺时针旋转60︒得到，即旋转中心是点A ，旋转方向是顺时针，旋转角是60︒； （2)ACD 和ABE △都是等边三角形，AC AD ∴=，AB AE =，60CAD BAE ∠=∠=︒，CAB DAE ∴∠=∠，()ADE ACB SAS ∴≌，90ADE ACB ∴∠=∠=︒，DE CB =，90ADE ∠=︒，90ADF ∴∠=︒， 60ADC ACD ∠=∠=︒，30DCF CDF ∴∠=∠=︒，CF DF ∴=，BD BC ⊥，30BDF ∴∠=︒，设BF =x ，则CF =DF =2x ，DE =3x ， ∴2233DF x DE x ==； （3）90ACB ∠=︒，∴点C 在以AB 为直径的圆上运动，取AB 的中点D ，连接CD ，112CD AB ∴==， 如图，过点A 作AE AB ⊥，且使AE =AD ，连接PE ，BE ， ∵将线段AC 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AP ，90PAC ∴∠=︒，PA =AC ． 90EAD ∠=︒， PAE CAD ∴∠=∠， ()CAD PAE SAS ∴≌，∴PE =CD =1． ∵AB =2，AE =AD =1，∴BE =22AE AB +=2212+=5， 51BP BE PE ∴≤+=+，∴BP 的最大值为5+1．【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 3．（基础巩固）（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△． （尝试应用）（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AEAF的值． （拓展提高）（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．解析：（1）见解析；（2）54；（3）113AB = 【分析】（1）由,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠证明A DCE ∠=∠，再根据相似三角形的判定方法解题即可；（2）由菱形的性质，得到AB AD =，60A ∠=︒，继而证明ABD △是等边三角形，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质，设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=-可整理得到54x y =，据此解题； （3）在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，由矩形的性质，得到120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质解题即可．【详解】解：（1）证明：∵,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠， ∴DCE A αα∠+=∠+，即A DCE ∠=∠， ∵ABC CED α∠=∠=， ∴ABC CED ∽△△； （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB AD =， ∴60A ∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∴60EPF A ADB ABD ∠=∠=∠=∠=︒， 由（1）得，EPD PFB ∽， ∴DE PD PEPB BF PF==， 设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=- ∴323a x a xa a y y-==-， 可得3ay xy ax -=①，32ax xy ay -=②， ①－②，得332ay ax ax ay -=-， ∴54x y =， ∴AE AF 的值为54； （3）如图，在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，设AB =CD =m ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴90A D ∠=∠=︒，∴120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒， 60BPE DFC ︒∠=∠=1,sin 60233AB BE CF AE BE ∴====︒= DF ， 223PE AE ∴=-= 443PF DF ∴=-=由（1）可得，BEP PFC∽，∴BE EPPF FC=，∴22332433m mm m-=-，整理，得22380m m+-=，解得113m=-或311m=--（舍去），∴113AB=-．【点睛】本题考查相似三角形的综合题、等边三角形的性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值．方法归纳：利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE．问题解决：（1）图1中tan∠BPD的值为________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；思维拓展：（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．解析：（1）2；（22；（32【分析】（1）由题意可得BE∥DC，则∠ABE=∠DPB，那么∠BPD就变换到Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（2）过点A作AE//CD，连接BE，那么∠BPD就变换到等腰Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）以BC为边长构造网格，然后把PC平移到AN，则∠CPD就变换成Rt△ADN中的∠NAD，再由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1）由勾股定理可得：22222222112AE BE=+=+=，∵CD//BE ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠ABE ＝2222AE BE ==； （2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，由图可知E 点在格点上，且∠AEB ＝90°， 由勾股定理可得：22221251310AE AB =+==+=，， ∴cos ∠BPD ＝cos ∠BAE ＝5510522102101010AE AB ⨯====⨯（3）如图3构造网格，过点A 作AN //PC ，连接DN ，由图可知N 点在格点上，且∠AND ＝90°，由勾股定理可得：22221310,2425,DN AD =+==+= ∴sin ∠CPD ＝sin ∠NAD ＝1010552210225255DN AD ⨯====⨯，【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．5．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB=∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展；如图2，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt △ABD 绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10417或12﹣372．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，设EB=ED′=x ， 由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2， 解得：x=4.5， 过点D′作D′F ⊥CE 于F ， ∴D′F ∥AC ， ∴△ED′F ∽△EAC ， ∴D F ED AC AE ''=， 即4.544 4.5D F '=+， 解得：D′F=3617， ∴S △ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S △BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117， 则S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′=15﹣8117=10417； （ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，在Rt △AED′中，根据勾股定理得：7， ∴S △AED′=12AE×ED′=12737S 矩形ECBD′=CE×CB=（47）×3=12﹣7， 则S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′37+12﹣737【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题． 6．已知△ABC 是等腰三角形，AB=AC ．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．解析：（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.【分析】试题（1）由DE∥BC，得到DB ECAB AC=，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．【详解】（1）∵DE∥BC，∴DB ECAB AC=，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=22，在△PEA中，PE2=（22）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.7．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：BCE 1S2=S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18yx=；【探究应用2】见解析；【迁移拓1927【分析】（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝12AD＝3，求出平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝12BD×AM＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝，CE ，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示：则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3BP ＝23x ，∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ，∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ，连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0,0.5)，点A 的坐标为(1,0)，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ，易知AOC CMB ∆∆≌，得到点B 的坐标为(0.5,1.5)．（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,)(0)m m >，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ．（1）求点B 的坐标．（用含m 的代数式表示）（2）求出BC 所在直线的函数表达式．（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 在y 轴上，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，连结BO 、BA ，则BO BA +的最小值为_______．解析：【探究】（1）点B 坐标为(,1)m m +；（2）1y x m m=+；【拓展】5． 【分析】探究:（1）证明△AOC ≌△CMB （AAS ），即可求解；（2）根据点B 的坐标为（m ，m+1），点C 坐标()0,m ，即可求解；拓展：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，即可求解．【详解】解：探究：（1）过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ．BMC 90∠∴=︒，MCB B 90∠∠∴+=︒．线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，BCA 90CB CA ∠∴=︒=，．MCB ACO 90∠∠∴+=︒．B ACO ∠∠∴=．ACO 90∠=︒，ΔAOC ΔCMB ∴≌，MC OA,MB OC ∴==．点C 坐标()0,m ，点A 坐标()1,0，∴点B 坐标为()m,m 1+（2）∵点B 的坐标为（m ，m+1），点C 为（0，m ），设直线BC 为：y=kx+b ，1b m km b m =⎧⎨+=+⎩，解得：1k m b m ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴1y x m m=+； 则BC 所在的直线为：1y x m m=+； 拓展：如图作BH ⊥OH 于H ．设点C 的坐标为（0，m ），由（1）知：OC=HB=m ，OA=HC=1，则点B （m ，1+m ），则：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，相当于在直线y=x 上寻找一点P （m ，m ），使得点P 到M （0，-1），到N （1，-1）的距离和最小，作M 关于直线y=x 的对称点M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，M′N=22--++=，(11)(01)5故：BO+BA的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中拓展，将BO+BA的值转化点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，是本题的新颖点9．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB=，如图，试确定线段AE的延长线上，且ED EC与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE_____DB（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：如图2，题目中，AE与DB的大小关系是：AE____DB（填“>”“<”或“=”）．理由如下：（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．解析：（1）=；（2）=；（3）3或1【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E 在BA 的延长线上，D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．【详解】解：（1）如图 1 ，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ，ABC ∆为等边三角形，60AFE ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒，∠A=60°，∴AEF ∆为等边三角形，120EFC EBD ∴∠=∠=︒，EF AE =，ED EC =，EDB ECB ∴∠=∠，ECB FEC ∠=∠，EDB FEC ∴∠=∠，在BDE ∆和FEC ∆中，EBD EFC EDB FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDE FEC AAS ∴∆≅∆，BD EF ∴=，AE BD ∴=，故答案为：=；（2）如图1，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，∵等边三角形ABC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC ，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠BED=∠ECF ，在△DEB 和△ECF 中，DEB ECF DBE EFC DE CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD=EF=AE ，即AE=BD ，故答案为：=．（3）CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图2过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ， 则AM ∥EN ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=12BC=12，∵DE=CE ，EN ⊥BC ，∴CD=2CN ，∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，∵EN ⊥DC ，AM ⊥BC ，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM 和△EBN 中， ABM EBN AMB ENB AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AMB ≌△ENB （AAS ），∴BN=BM=12，∴CN=1+12=32，CD=2CN=3；②如图3，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=12BC=12，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴AB BMAE MN=，∴1122MN =，∴MN=1，∴CN=1-12=12，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF ，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD 值，注意，不要漏解啊．10．综合与实践如图①，在中Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，过点C 作CD AB ⊥于D ，将CDB △绕点D 逆时针方向旋转，得到C DB ''△，连接B C '，C A '，记旋转角为α． （1）问题发现如图②，当90α=︒时，B C AC '='__________；如图③，当180α=︒时，B C AC '='__________． （2）拓展探究试判断：当0360α︒≤≤︒时，B C AC ''的大小有无变化？请仅就图④的情形给出证明． （3）问题解决如图⑤，当CDB △绕点D 逆时针旋转至点C '落在边AC 上时，求线段B C '的长．解析：（1）34，34；（2）无变化，理由详见解析；（3）2125B C '=． 【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB 的值，再根据三角形面积求出CD 的值，再次利用勾股定理求出AD 、BD 的值，再分情况进一步得出,AC B C ''的值即可；（2）根据旋转的性质可得出95B D BD '==，125C D CD '==，再证明CDB ADC ''△∽△即可得出结论；（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，证DEC ADC ∽△△，推出3625CE =，得出72225CC CE '==，继而得到2825AC AC CC ''=-=，再根据34B C AC '='，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =∴5AB =∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ∴125CD =∴16169,5555AD BD AB AD ===-=-= 当90α=︒时， 34,55B C CD B D CD BD AC AD C D AD CD ''''=-=-==-=-= ∴34B C AC '=' 当180α=︒时，3,4B C BC AC AC ''===== ∴34B C AC '=' 故答案为：34；34； （2）无变化．证明：∵在Rt ABC △中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒， ∴5AB ==．∵CD AB ⊥，∴90BDC ∠=︒．∵90BDC ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BDC BCA ∽△△． ∴BD CD BC BC AC AB ==，即33445BD CD CD ===． ∴95BD =，125CD =． ∴165AD AB BD =-=． 由旋转可知95B D BD '==，125C D CD '==，90B DC BDC ''∠=∠=︒． ∴34B D CDCD AD '=='． ∵90B DC ADC ''∠=∠=︒，∴CDB ADC ''∠=∠．∴CDB ADC ''△∽△． ∴34B C CD AC AD '=='． （3）如图，过点D 作DE AC ⊥于E ．∵DC DC '=， ∴12CE CC '=． ∵90DEC ADC ∠=∠=︒，DCE ACD ∠=∠，∴DEC ADC ∽△△．∴CE CD CD AC =，即1251244CE =． ∴3625CE =． ∴72225CC CE '==． ∴2825AC AC CC ''=-=． ∵34B C AC '='， ∴321425B C AC ''==．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积公式、旋转的性质、相似三角形的判定及性质等多个知识点，综合性较强，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，会利用相似三角形的性质解题，此题结构精巧，考查范围广．11．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AE DF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______． 解析：（1330°；（213339+13339-【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； （2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，3cos 2BE AB ABD BF DB ∴∠===， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，故答案为：32，30； （2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又3BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠， 30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，3BE ∴=，2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，2216313DE BD BE ∴=-=-=，30DEA ∠=︒，11322DG DE ∴==， 由（2）可得：32AE BE DF BF ==， ∴32131AE=+， 3932AE +∴=， ADE ∴∆的面积11393131333922228AE DG ++=⨯⨯=⨯⨯=； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积11393131333922AE DG --=⨯⨯= 13339+13339-【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．12．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．（探究）在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．（应用）P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【详解】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．试题解析：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE•h≥1，∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴当点P不可能在DE的上方；③∵MN=1，且O（0，0），a（4，0），∴P与O或A重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考点：二次函数综合题．13．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，7C与点M重合时AC的长．解析：（1）①1；②40°；（2）3，90°；（3）AC 的长为33或23．【分析】（1）①证明△COA ≌△DOB （SAS ），得AC=BD ，比值为1；②由△COA ≌△DOB ，得∠CAO=∠DBO ，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°-140°=40°；（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC ∽△BOD ，则3AC OC BD OD=＝，由全等三角形的性质得∠AMB 的度数；（3）正确画图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC ∽△BOD ，则∠AMB=90°，3AC BD ＝，可得AC 的长． 【详解】（1）问题发现：①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ，∴1AC BD，= ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°-140°=40°，（2）类比探究：如图2，3AC BD =，∠AMB=90°，理由是： Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴3033OD tan OC ︒＝＝， 同理得：3033OB tan OA ︒＝＝， ∴OD OB OC OA＝， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴3AC OC BD OD=＝ ，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM ）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°； （3）拓展延伸：①点C 与点M 重合时，如图3，同理得：△AOC ∽△BOD ，∴∠AMB=90°，3AC BD＝ 设BD=x ，则3，Rt △COD 中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x-2，Rt △AOB 中，∠OAB=30°，7，∴7在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，3)2+(x −2)2＝7)2，x 2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，x 1=3，x 2=-2，∴AC=33； ②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，3AC BD＝， 设BD=x ，则AC=3x ，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，(3x )2+（x+2）2=(27)2.x 2+x-6=0，（x+3）（x-2）=0，x 1=-3，x 2=2，∴AC=23；.综上所述，AC 的长为33或23．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC ∽△BOD ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．14．问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N ．判断线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F ．求∠AEF 的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P'处．若正方形ABCD 的边长为4 ，AD 的中点为S ，求P'S 的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B'C '恰好经过点A ，C'N 交AD 于点F ．分别过点A 、F 作AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为G 、H ．若AG ＝52，请直接写出FH 的长．解析：问题情境：DN MB EC +=.理由见解析；问题探究：（1）45AEF ∠=︒；（2）P S '2514. 【分析】问题情境：过点B 作BF ∥MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，证出四边形MBFN 为平行四边形，得出NF ＝MB ，证明△ABE ≌△BCF 得出BE ＝CF ，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，证出△DHQ 是等腰直角三角形，HD ＝HQ ，AH ＝QI ，证明Rt △AHQ ≌Rt △QIE 得出∠AQH ＝∠QEI ，得出△AQE 是等腰直角三角形，得出∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA ＝∠ADO′＝45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，过点P′作P′H ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接PC ，证明△APB ≌△CPB 得出∠BAP ＝∠BCP ，证明Rt △PGN ≌Rt △NHP'得出PG ＝NH ，GN ＝P'H ，由正方形的性质得出∠PDG ＝45°，易得出PG ＝GD ，得出GN ＝DH ，DH ＝P'H ，得出∠P'DH ＝45°，故∠P'DA ＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S 作SK ⊥DO'，垂足为K ，即可得出结果；问题拓展：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，则EG ＝AG ＝52，PH ＝FH ，得出AE ＝5，由勾股定理得出BE ＝22AE AB -＝3，得出CE ＝BC ﹣BE ＝1，证明△ABE ∽△QCE ，得出QE ＝AE ＝203，AQ ＝AE+QE ＝203，证明△AGM ∽△ABE ，得出AM ＝258，由折叠的性质得：AB'＝EB ＝3，∠B'＝∠B ＝90°，∠C'＝∠BCD ＝90°，求出B'M ＝2'278AM AB -=，AC'＝1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF ＝25253,DF 4777=-=，证明△DFP ∽△DAQ ，得出FP ＝57，得出FH ＝FP ＝15FP 214=． 【详解】问题情境：因为四边形ABCD 是正方形，所以90ABE BCD AB BC CD DC AB ∠=∠=︒==，，∥.过点B 作BF MN ∥分别交AE CD 、于点G F 、.所以四边形MBFN 为平行四边形.所以NF MB =.所以90BF AE BGE ∠=︒⊥，，所以90CBF AEB ∠+∠=︒，又因为90BAE AEB ∠+∠=︒，所以CBF BAE ∠=∠.ABE BCF △△≌，所以BE CF =.因为DN NF CF BE EC ++=+，所以DN NF EC +=，所以DN MB EC +=.问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI AB ∥，分别交AD BC 、于点H I 、.易得四边形ABIH 矩形. 所以HI AD HI BC ⊥⊥，且HI AB AD ==.因为BI 是正方形ABCD 的对角线，所以45BDA ∠=︒.所以DHQ 是等腰直角三角形，HD HQ =.所以AH QI =.因为MN 是AE 的垂直平分线，所以AQ QE =.所以Rt Rt AHQ QIE △≌△.所以AQH QEI ∠=∠.所以90AQH EQI ︒∠+∠=.所以90AQE ∠=︒.所以AQE 是等腰直角三角形，45EAQ AEQ ∠=∠=︒，即45AEF ∠=︒.（2）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，由题意易得APN 的直角顶点P 在OB 上运动. 设点P 与点B 重合，则点P '与点D 重合；设P 与点O 重合，则点P 的落点为O '.易知45ADO '∠=︒.当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作CD 的垂线，垂足为G ，过点P '作P H CD '⊥，垂足为点H .易证：Rt PGN Rt NHP '△△≌，所以PG NH G H P N '==，，因为BD 是正方形ABCD 的对角线，所以45PDG ∠=︒，易得PG GD =，所以GN DH =.所以DH H P '=.所以45P DH '∠=︒，故45P DA '∠=︒.所以点P '在线段DO '上运动.过点S 作SK DO '⊥，垂足为K ，因为点S 为AD 的中点，所以2DS =，则P S '的最小值为2.问题拓展：解：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，如图4：。
中考能力训练 几何综合测试一、选择题：（每小题3分，共30分）1.已知一个三角形的任何一个角的平分线垂直于这个角所对的边，•则这个三角形是（ ）． A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形2.如图，设F 为正方形ABCD 上一点，CE ⊥CF 交AB 的延长线于E ，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF 的面积为50，则△CBE 的面积为（ ）． A ．20B ．24C ．25D ．263.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论正确的是（ ） A ．∠BAE=30°B ．△ABE ≌△AEFC ．CE 2=AB ·CF D ．CF=13CD 4．如图，在△ABC 中，AB=BD=BC ，AD=CD ，则∠ADB 的度数是（ ） A ．36° B ．45°C ．60°D ．72°5.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则AC 的长是（ ） AB ．3C ．45D6.如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M应是F ，G ，H ，K 四点中的（ ） A ．FB ．GC ．HD ．K7.等边△ABC 的边长为1，O 为三角形内一点，作OD ∥BC 交AB 于D ，作OE ∥AC 于E ，•作OF ∥AB交AC 于F ，则OE+OD+OF 等于（ ）． A ．12B ．1C ．32D ．28．已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，，则BD ：BC 的值为（ ）． ABCD ．9.如图，王华晚上由路灯A 下的B 处到C 处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走3米到达E 处，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，•那么路灯A 的高度AB 等于（ ）A ．4.5米B ．6米C ．7.5米D ．8米10.如图，△ABC 中，边BC=12cm ，高AD=6cm ，边长为x•的正方形PQMN 的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则正方形边长x 为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm二、填空题：（每小题3分，共15分）第2题图第3题图第4题图11.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，有下列条件：①AC=BD ；②AC ⊥BD ；③AD=DC ；④∠C=∠D ．•在上述四个条件中，能使四边形EFGH 是菱形的有______ _（把你认为正确的条件的序号都填上）．12.李想同学利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为2.0m 时，•其影长为1.6m ，同一时刻，当他测量教学楼的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经测量，地面部分影长为 6.4m ，墙上影长为1.2m ，那么这棵大树高约为____m ．13.如图，在△ABC 中，M 是BC 边的中点，AP 平分∠A ，BP ⊥AP 于点P ．若AB=•12，•AC=22，则MP 的长为____ __． 14.如图13，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC•延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，BC=________，△ADE 与△ABC 的周长之比为_______，•△CFG 与△BFD 的面积之比为_________．15.如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于M ，交AB 于点N ，交CB 的延长线于点P ．•若PB=BC ，MN=1，PN=3，则MD 的长为 _．三、计算与简答题（每小题6分，共30分）16.如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）17.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E ． （1）求证：△CDE ∽△FAE ；（2）当E 是AD 的中点，且BC=2CD 时，求证：∠F=∠BCF ．18.某种吊车的车身高EF=2m ，吊车臂AB=24m ，现要把如图①的圆柱形的装饰物吊到14m 高的屋顶上安装．吊车在吊起的过程中，•圆柱形的装饰物始终保持水平，如图②，若吊车臂与水平方向的夹角为59°，问能否吊装成功． （sin59°=0.8572，cos59°=0.5150，tan59°=1.6643，cot59°=0.6009）第13题图 第14题图 第15题图A DBE第16题图i =1:3C19.已知Rt△ABC中，∠C=90°．（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED．（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：△_______∽△_________；△______≌△________．并选择其中一对加以证明．20.如图，P是正方形ABCD内的一点，•在正方形ABCD•外有一点E，•满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．（1）求证：△CPB≌△AEB且PB⊥BE；（2）若PA：PB=1：2，∠APB=135°，求AP：AE的值．四、解答证明题：（21题12分，22题13分）21.如图①，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．（1）如图②，动点P，Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC•运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止．设P，Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y1（cm2），求y2（cm2）关于t（秒）的函数关系式；（2）如图③，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD•上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t 秒时，四边形PADE的面积为y2（cm2），求y2（cm2）关于t（秒）•的函数式，并写出自变量t的取值范围．①②③22.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BE DG+的值．。
2024年广东省深圳市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C ．2．如图，实数a ，b ，c ，d 在数轴上表示如下，则最小的实数为（）A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】A【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．【详解】解：由数轴知，0a b c d <<<<，则最小的实数为a ，故选：A ．3．下列运算正确的是（）A ．()523m m -=-B ．23m n m m n ⋅=C ．33mn m n-=D ．()2211m m -=-【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式．根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解．【详解】解：A 、()6523m m m -=≠-，故该选项不符合题意；B 、23m n m m n ⋅=，故该选项符合题意；C 、33mn m n -≠，故该选项不符合题意；D 、()2221211m m m m -=-+≠-，故该选项不符合题意；故选：B ．4．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A ．12B ．112C ．16D ．145．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，根据CD AB ⊥，56∠=∠，则1250∠=∠=︒，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．【详解】解：如图：∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，∴CD AB ⊥，56∠=∠，∴152690∠+∠=∠+∠=︒，则1250∠=∠=︒，∵光线是平行的，即DE GF ，∴2450∠=∠=︒，故选：B ．6．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质解决问题的关键是掌握角平分线的判定定理．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断AD 平分BAC ∠；在图③中，利用作法得AE AF AM AN ==，，可证明AFM AEN ≌，有AMD AND ∠=∠，可得ME NF =，进一步证明MDE NDF △≌△，得DM DN =，继而可证明ADM ADN △≌△，得MAD NAD ∠=∠，得到AD 是BAC ∠的平分线；在图②中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线．【详解】在图①中，利用基本作图可判断AD 平分BAC ∠；在图③中，利用作法得AE AF AM AN ==，，在AFM △和AEN △中，AE AF BAC BAC AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AFM AEN ≌，∴AMD AND ∠=∠，AM AE AN AF -=- ME NF∴=在MDE 和NDF 中AMD AND MDE NDF ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS MDE NDF ≌，∴DM DN =，∵,AD AD AM AN ==，∴()SSS ADM ADN ≌，∴MAD NAD ∠=∠，∴AD 是BAC ∠的平分线；在图②中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线．则①③可得出射线AD 平分BAC ∠．故选：B ．7．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x 间，房客y 人，则可列方程组为（）A ．()7791x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．()7791x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．()7791x y x y-=⎧⎨-=⎩D ．()7791x y x y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x 间，房客y 人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．【详解】解：设该店有客房x 间，房客y 人；根据题意得：()7791x yx y +=⎧⎨-=⎩，故选：A ．8．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m 的测量仪EF 测得的仰角为45︒，小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得的仰角为53︒，则电子厂AB 的高度为（）（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）A ．22.7mB ．22.4mC ．21.2mD ．23.0m【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形，与俯角有关的解直角三角形，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG 、EFBM 、CDBN 是矩形，再设m GM x =，表示()5m EM x =+，然后在Rt tan AMAEM AEM EM∠=，，以及Rt tan AN ACN ACN CN ∠= ，，运用线段和差关系，即∵MEF EFB CDF ∠=∠=∠∴四边形EFDG 是矩形∵90MEF EFB B ∠=∠=∠=∴四边形EFBM 是矩形同理得四边形CDBN 是矩形故选：A二、填空题9．已知一元二次方程230x x m -+=的一个根为1，则m =．【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m -+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m -+=，130m ∴-+=，解得，2m =．故答案为：2．10．如图所示，四边形ABCD ，DEFG ，GHIJ 均为正方形，且10ABCD S =正方形，1GHIJ S =正方形，则正方形DEFG 的边长可以是．（写出一个答案即可）∴正方形DEFG 的边长GH DE CD <<，即13DE <≤，∴正方形DEFG 的边长可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．11．如图，在矩形ABCD 中，BC =，O 为BC 中点，4OE AB ==，则扇形EOF 的面积为．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，tan 3AOC ∠=，且点A 落在反比例函数3y x =上，点B 落在反比例函数()0ky k x=≠上，则k =．【答案】8【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为D E 、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得232A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，52OA =，再求得点()42B ，，利用待定系数法求解即可．【详解】解：过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为D E 、，如图，∵4tan 3AOC ∠=，∴43AD OD =，∴设4AD a =，则3OD a =，∴点()34A a a ，，∵点A 在反比例函数3y x=上，∴343a a ⋅=，∴12a =（负值已舍），则点232A ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2AD =，32OD =，∴2252OA OD AD =+=，∵四边形AOCB 为菱形，13．如图，在ABC 中，AB BC =，tan 12B ∠=，D 为BC 上一点，且满足5BD CD =，过D 作DE AD ⊥交AC 延长线于点E ，则CEAC=．∵85BD DC =，AB BC =，设13AB BC x ==，∴85BD x DC x ==，，∵5tan 12B ∠=，AH CB ⊥，∴cos DM CD =⋅∵DE AD ⊥,CM ∴MC DE ∥，∴CE DM ==三、解答题14．计算：()1012cos 45 3.1414π-⎛⎫-⋅︒+-+ ⎪⎝⎭．15．先化简，再求值：221111a aa a-+⎛⎫-÷⎪，其中1a=+16．据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数：学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50，50学校B：(1)学校平均数众数中位数方差A①________4883.299B 48.4②________③________354.04(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由．【答案】(1)①48.3；②25；③47.5(2)小明爸爸应该预约学校A ，理由见解析【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性：（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法，进行求解即可；（2）根据方差判断稳定性，进行判断即可．【详解】（1）解：①()1283040454848484848505048.310++++++++++=；②数据中出现次数最多的是25，故众数为25；③数据排序后，排在中间两位的数据为45,50，故中位数为：()1455047.52+=；填表如下：学校平均数众数中位数方差A 48.34883.299B 48.42547.5354.04（2）小明爸爸应该预约学校A ，理由如下：学校A 的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的进行锻炼．17．背景【缤纷618，优惠送大家】今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．素材如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m ，每增加一辆购物车，车身增加0.2m ．问题解决任务1若某商场采购了n 辆购物车，求车身总长L 与购物车辆数n 的表达式；任务2若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m ，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？任务3若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？18．如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若56AB =5BE =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)35【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：（1）连接BO 并延长，交AD 于点H ，连接OD ，易证BO 垂直平分AD ，圆周角定理，切线的性质，推出四边形BHDE 为矩形，即可得证；（2）由（1）可知5DH BE ==，勾股定理求出BH 的长，设O 的半径为r ，在Rt AOH △中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）证明：连接BO 并延长，交AD 于点H ，连接OD ，∵AB BD =，OA OD =，∴BO 垂直平分AD ，∴BH AD ⊥，AH DH =，∵BE 为O 的切线，∴HB BE ⊥，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠=︒，19．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x ，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD 的读数为x ，CD 读数为y ，抛物线的顶点为C ．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y 01 2.254 6.259（Ⅱ）描点：请将表格中的(),x y 描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y 与x 的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线()2y a x h k =-+的顶点为C ，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB ，竖直跨度为CD ，且AB m =，CD n =，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数()2y a x h k =-+平移，使得顶点C 与原点O 重合，此时抛物线解析式为2y ax =．①此时点B '的坐标为________；②将点B '坐标代入2y ax =中，解得=a ________；（用含m ，n 的式子表示）方案二：设C 点坐标为(),h k ①此时点B 的坐标为________；②将点B 坐标代入()2y a x h k =-+中解得=a ________；（用含m ，n 的式子表示）(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy 中有A ，B 两点，4AB =，且AB x ∥轴，二次函数()211:2C y x h k =++和()222:C y a x h b =++都经过A ，B 两点，且1C 和2C 的顶点P ，Q 距线段AB 的距离之和为10，若AB x ∥轴且4AB =，求a 的值．观察图象知，函数为二次函数，20．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．(1)如图1所示，四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，AF =2CE =，则AE =________；AB =________；(2)如图2，若四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，且AB BD =，猜想AF 与CD 的关系，并说明理由；(3)①如图3所示，在ABC 中，5BE =，212CE AE ==，BE AC ⊥交AC 于点E ，请画出以BC 为边的垂中平行四边形，要求：点A 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若ABC 关于直线AC 对称得到AB C 'V ，连接CB '，作射线CB '交①中所画平行四边形的边于点P ，连接PE，请直接写出PE的值．第二种情况：作ABC ∠的平分线，取CH CB =线BA 上取AF AB =，连接DF 故A 为BF 的中点；第三种情况：作AD BC ∥，交BE 的延长线于点在DA 延长线上取点F ，使则A 为DF 的中点，同理可证明12AD BC =，从而②若按照图1作图，∠=∠，由题意可知，ACB ACP四边形ABCD是平行四边形，ACB PAC∴∠=∠，∴∠=∠，PAC PCA延长CA 、DF 交于点G ，同理可得：PGC 是等腰三角形，连接PA ，GF BC ∥ ，故答案为：3414PE =或3412．【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的。
深圳深圳市高级中学中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编一、中考几何压轴题 1．几何探究： （问题发现）（1）如图1所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形，BD 、CE 的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由； （拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A 自由旋转，若22BC =，当B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．2．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若3AFEF =，求CD CG的值．（1）尝试探究在图1中，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_________，CG 和EH 的数量关系是_________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若()0AF m m EF =>，则CDCG的值是_________（用含有m 的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，//DC AB ，点E 是BC 的延长线上的一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD =，BCb BE=，()0,0a b >>，则AF EF 的值是________（用含a 、b 的代数式表示）．3．（1）（操作）如图，请用尺规作图确定圆的圆心P ，保留作图痕迹，不要求写作法；（2）（探究）如图，若（1）中的圆P 的半径为2，放入平面直角坐标系中，使它与x 轴，y 轴分别切于点B 和C ，点A 的坐标为()8,0，过点A 的直线与圆P 有唯一公共点D （与B 不重合）时，求点D 的坐标；（3）（拓展）如图3，点M 从点()8,0A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向点O 运动，同时，点N 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上运动，设运动时间为t （08s t <<），过点M ，N ，O 三点的圆，交第一象限角平分线OG 于点E ，当t 为何值时，MN 有最小值，求出此时OMEN S 四边形，并探索在变化过程中OMEN S 四边形的值有变化吗？为什么？4．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．如图，G ，H 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG =CH ，E ，F 分别是边AB 和CD 的中点求证：四边形EHFG 是平行四边形 证明：连接EF 交AC 于点O ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB =CD ，AB ∥CD又∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点 ∴AE =CF 又∵AB ∥CD ∴∠EAO =∠FCO 又∵∠AOE =∠COF ∴△AOE ≌△COF请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在△ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将△DEF 绕点O 旋转180°得到△DGF ，若四边形DEFG 的面积为8，则△ABC 的面积为 ．（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．5．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，DEF 的顶点E ，F 分别在AB ，BC 上（可与点A ，B ，C 重合），且满足45EDF ∠=︒．DEF 的高线DG 交线段EF于点G （可与E ，F 重合），设DGk AD=．（1）求k 的值．（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形ABCD ”改为“长8AB =、宽6AD =的矩形ABCD ”（其他条件不变）．（2）判断k 的值是否改变．若改变，请求出k 的取值范围；若不改变，请证明． （深入探究）在（模型构建）的基础上，设DEF 的面积为S ． （3）①求S 的最小值；②当S 取到最小值时，直接写出DG 与GB 的数量关系．6．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则线段BD 、CE 之间的数量关系是_________，CEB ∠=_________︒； （2）拓展探究：如图②，当ACB AED α∠=∠=时，点B 、D 、E 不在同一直线上，连接CE ，求出线段BD 、CE 之间的数量关系及BD 、CE 所在直线相交所成的锐角的大小（都用含α的式子表示），并说明理由： （3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，10AC =，2AE =，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当CE 所在的直线垂直于AD 时，请你直接写出BD 的长． 7．综合与实践动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．若2n =，则AG BG =______，AGE BGFS S =△△______； 尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）． 8．问题发现：（1）正方形ABCD 和正方形AEFG 如图①放置，AB ＝4，AE ＝2.5，则DGCF＝___________． 问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在矩形的内部，∠BPC ＝135°，求AP 长的最小值． 问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，已知AB ＝6，AC ＝CD ，∠ACD ＝90°，∠ACB ＝45°，则对角线BD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．在ABC 中，AB AC =，点D ､E 分别是BC AC ､的中点，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD AE ､． 观察猜想（1）如图①，当60BAC ∠=︒时，填空： ①AEBD=______________； ②直线BD AE ､所夹锐角为____________； 类比探究（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试判断AEBD的值及直线BD AE ､所夹锐角的度数，并说明理由； 拓展应用（3）在（2）的条件下，若2DE =CDE △绕着点C 在平面内旋转，当点D 落在射线AC 上时，请直接写出2AE 的值．10．探究：如图1和图2，四边形ABCD 中，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝45°．（1）①如图1，若∠B 、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，直接写出线段BE 、DF 和EF 之间的数量关系 ；②如图2，若∠B 、∠D 都不是直角，但满足∠B +∠D ＝180°，线段BE 、DF 和EF 之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2．点D 、E 均在边BC 边上，且∠DAE ＝45°，若BD ＝1，求DE 的长．11．如图1，已知直角三角形ABC ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，点D 是AC 边上一点，过D 作DE AB ⊥于点E ，连接BD ，点F 是BD 中点，连接EF ，CF ． （1）发现问题：线段EF ，CF 之间的数量关系为______；EFC ∠的度数为______； （2）拓展与探究：若将AED 绕点A 按顺时针方向旋转α角()030α︒<<︒，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）拓展与运用：如图3所示，若AED 绕点A 旋转的过程中，当点D 落到AB 边上时，AB 边上另有一点G ，AD DG GB ==，3BC =，连接EG ，请直接写出EG 的长度．12．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明．13．爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM 、BN 是△ABC 的中线，AM ⊥BN 于点P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a ，AC=b ，AB=c ．（特例研究）（1）如图1，当tan ∠PAB=1，c=42时，a=b= ； （归纳证明）（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2、b 2、c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论； （拓展证明）（3）如图4，▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的三等分点，且AD=3AE ，BC=3BF ，连接AF 、BE 、CE ，且BE ⊥CE 于E ，AF 交BE 相较于点G ，AD=35，AB=3，求AF 的长． 14．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ．AE ＜AB ，连接BE 与DG ，请判断线段BE 与线段DG 之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ，AE ＜AB ，AB ＝10，将正方形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，当∠ABE ＝15°，且点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出AE 的长 ；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A 的两个矩形ABCD 和矩形AEFG ，AD ＝413，AB ＝439，AG ＝4，AE ＝43，将矩形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，连接BD ，DE ，点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，连接MN ，当点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出MN 的长15．问题发现：（1）如图1，ABC 与DCE 同为等边三角形，连接,BD AE 则BD 与AE 的数量关系为________；直线BD 与AE 所夹的锐角为_________；类比探究：（2）BC A △与DCE 同为等腰直角三角形，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；拓展延伸：（3）ABC 中90,30BAC C ∠=︒∠=︒，DE 为ABC ∆的中位线，将CDE △绕点C 逆时针自由旋转，已知2AB =，在自由旋转过程中，当ADE 、、在一条直线上时，请直接写出AD 的值．16．综合与实践问题情境：△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是射线AD 上的一个动点(不与点A 重合)将线段AE 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AF ，连接CF 交线段AB 于点G ，交AD 于点H 、连接EG ．特例分析:(1)如图1，当点E 与点D 重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答： ①求证：AF=CD ；②用等式表示线段CG 与EG 之间的数量关系为：_______； 拓展探究:(2)如图2，当点E 在线段AD 的延长线上，且DE=AD 时，“博睿”小组发现CF=2EG ．请你证明；(3)如图3，当点E 在线段AD 的延长线上，且AE=AB 时，EGCF的值为_______；推广应用:(4)当点E在射线AD上运动时，AE mAD n=，则EGCF的值为______用含m.n的式子表示)．17．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB和CD的中点．图18.2.12求证：四边形EHFG是平行四边形．证明：连结EF交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．又∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF．又∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．又∵∠AOE＝∠COF,∴AOE COF≅．请补全上述问题的证明过程．．．．．．．．．．．．．（探究）如图①，在ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO 的中点，连结DE、EF，将DEF绕点O旋转180°得到DGF△，若四边形DEFG的面积为8，则ABC的面积为．（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为．18．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．19．（1）尝试探究：如图①，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且EF ∥AB ．①AFBE 的值为_________；②直线AF 与直线BE 的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的CEF ∆绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AFBE 的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若3BC =，2CE =，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长．20．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1．（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3）或．【分析】（1）证明△ABD ≌△ACE （SAS ），即可得出；（2）当在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，，证明△ABD ∽△ACE ，求出BD 与CE 的比例 解析：（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3）2142BD +=或1422BD -=． 【分析】（1）证明△ABD ≌△ACE （SAS ），即可得出BD CE =；（2）当在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，30DAE BAC ∠=∠=︒，证明△ABD ∽△ACE ，求出BD 与CE 的比例；（3）分两种情况求出BD 的长即可．【详解】（1）相等;提示：如图4所示．∵△ADE 和△ABC 均为等边三角形，∴,AD AE AB AC ==60∠∠︒DAE BAC == ∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠∴BAD CAE ∠=∠在△ABD 和△ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴BD CE =．（2）不成立；理由如下：如图5所示．在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，∵30DAE BAC ∠=∠=︒∴DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠60AED ACB ∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠ ∵3sin 602AD AB AE AC ==︒= ∴△ABD ∽△ACE ∴32BD AB CE AC == ∴32BD CE =故（1）中的结论不成立；（3）214BD +或142BD -=． 提示:分为两种情况：①如图6所示．易证：△ABD ≌△ACE （SAS ）∴,45BD CE ADB AEC =∠=∠=︒∴454590DEC ∠=︒+︒=︒∴CE BD ⊥ 由题意可知：122DE BC ==设BD CE x ==,则2BE x =在Rt △BCE 中,由勾股定理得：222CE BE BC += ∴((222222x x += 解之得:214x +=214x -=∴2142BD +=；②如图7所示．易证：△ABD ≌△ACE （SAS ），CE BD ⊥设BD CE x ==，则2BE x =+在Rt △BCE 中，由勾股定理得：222CE BE BC +=∴()()222222x x ++= 解之得：1422-=x （2142x --=舍去） ∴1422BD -=. 综上所述，2142BD +=或1422BD -=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想考虑问题．2．（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E 点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最解析：（1）3AB EH =；2CG EH =；32；（2）2m ；（3）ab ． 【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，3AF EF=是一个确定的数值．如答图1，过E 点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，AF m EF =不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．【详解】解：（1）依题意，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，如图1所示．则有ABF EHF ， ∴3AB AF EH EF==， ∴3AB EH =． ∵ABCD ，//EH AB ， ∴//EH CD ，又∵E 为BC 中点，∴EH 为BCG 的中位线，∴2CG EH =．3322CD AB EH CG CG EH ===． 故答案为：3AB EH =；2CG EH =；32． （2）如图2所示，作//EH AB 交BG 于点H ，则EFH AFB △△． ∴AB AF m EH EF==， ∴AB mEH =．∵AB CD =，∴CD mEH =．∵////EH AB CD ，∴BEH BCG △△． ∴2CG BC EH BE==， ∴2CG EH =． ∴22CD mEH m CG EH ==． 故答案为：2m ．（3）如图3所示，过点E 作//EH AB 交BD 的延长线于点H ，则有////EH AB CD ． ∵//EH CD ，∴BCD BEH △△， ∴=CD BC b EH BE=， ∴CD bEH =． 又AB a CD =， ∴AB aCD abEH ==．∵//EH AB ，∴ABF EHF ， ∴==AF AB abEH ab EF EH EH=． 故答案为：ab ．【点睛】本题的设计独特：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．3．（1）见解析；（2）；（3）当时，有最小值，此时；的值不变，见解析【分析】（1）在圆上任意取两条弦AC 、BC ，作AC 、BC 的垂直平分线，则它们的交点为P 点；（2）由题意得与相切于点，根据切线长解析：（1）见解析；（2）1618,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）当4t =时，MN 有最小值，此时16OMEN S =四边形；OMEN S 四边形的值不变，见解析【分析】（1）在圆上任意取两条弦AC 、BC ，作AC 、BC 的垂直平分线，则它们的交点为P 点； （2）由题意得AE 与P 相切于点D ，根据切线长定理和勾股定理求得10AE =，再证明ADF AEO ∽△△，利用相似三角形的性质即可求解；（3）根据勾股定理得()2228MN t t =-+22216642(4)32t t t =-+=-+，得到当4t =时，2MN 有最小值，即MN 有最小值．四边形OMEN 是正方形，即可求得此时OMEN S 四边形，根据MON MEN OMEN S S S =+四边形△△利用三角形面积公式，即可求解．【详解】（1）如图，点P 即为所作；（2）如图，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，连接PC ，PB ，由题意得：P 与坐标轴相切，∴90OBP OCP COB ∠=∠=∠=︒，∴四边形OBPC 是矩形，∵2PC PB ==，∴四边形OBPC 是正方形，∴2OC OB ==，则6AB =，由题意得AE 与P 相切于点D ，∴6AB AD ==，设EC ED x ==，在Rt OAE △中，90AOE ∠=︒，8AO =，2EO x =+，6AE x =+，由勾股定理得：222OE OA AE +=，即：()()222286x x ++=+，解得4x =，∴10AE =， 由题意可得ADF AEO ∽△△， ∴AD DF AF AE EO AO==， 即：61068DF AF ==， ∴185DF =，245AF =， 则2416855OF =-= ∴161855D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）如图，在Rt OMN △中，90MON ∠=︒，8OM t =-，ON t =，则()2228MN t t =-+22216642(4)32t t t =-+=-+，当4t =时，2MN 有最小值，即MN 有最小值．此时，4OM ON ==，∵OG 平分第一象限，∴∠EON =∠EOM =45︒，∴△EON ≅△EOM ，∴∠ENO =∠EMO ，∵四边形OMEN 是圆内接四边形，∴∠ENO +∠EMO =180︒，∴∠ENO =∠EMO =90︒，又OM =ON ，∴四边形OMEN 是正方形，∴4416OMEN S =⨯=四边形；在这个变化过程中，16OMEN S =四边形没有变化，理由如下：∵OG 平分第一象限，∴EMN 是等腰直角三角形， ∴NE ME = 则()()2222221118222NE MN OM ON t t ⎡⎤==+=-+⎣⎦， ∴MON MEN OMEN S S S =+四边形△△21122ON OM NE =⋅+()()2211188222t t t t ⎡⎤=-+⨯-+⎣⎦ 16=．【点睛】本题考查了坐标与图形，圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数最值的求解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，学会利用参数构建方程解决问题．4．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先由旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而可解析：教材呈现：见解析；探究：16；拓展：【分析】教材呈现：先根据三角形全等的性质可得,OE OF OA OC ==，再根据线段的和差可得OG OH =，然后根据平行四边形的判定即可得证；探究：先由旋转的性质可得4DGF S =，再根据等底同高可得2ADE DOE EOF S S S ===，从而可得4AOE S =，然后根据三角形中位线定理即可得；拓展：先根据正方形的性质和面积可得4,90AB BC B ==∠=︒，从而可得4,2AC GH AE ===，再根据等腰直角三角形和勾股定理可得OE =角形的面积公式可得EGH S =【详解】 解：教材呈现：补充完整证明过程如下：∴OE ＝OF ，OA ＝OC ，又∵AG ＝CH ，∴OA －AG ＝OC －CH ，即OG ＝OH ，∴四边形EHFG 是平行四边形；探究：如图，连接OE ，BO ， 由旋转的性质得：118422DGF DEF DEFG S S S ===⨯=四边形， 点O 是AC 的中点，点D 是AO 的中点，点F 是CO 的中点，AD OD OF CF ∴===，由等底同高得：114222ADE DOE EOF DEF SS S S ====⨯=， 224AOE ADE DOE S S S ∴=+=+=，又点E 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，∴S △BEO =S △AEO =4，∴S △ABO = S △BEO +S △AEO =8，22816ABC AOB S S ∴==⨯=，故答案为：16；拓展：如图，过点E 作EO GH ⊥于点O ，四边形ABCD 是面积为16的正方形，4,90AB BC B ∴==∠=︒，在Rt △ABC 中，由勾股定理得22224424A C B B A C =+=+=，∵AC 为正方形的对角线，∴∠EAO =45°，点E 是AB 的中点，122AE AB ∴==， ∵EO GH ⊥，∴45AEO EAO ∠=∠=︒，∴AO =EO ，在Rt △AEO 中由勾股定理的AO 2+EO 2=AE 2，即2OE 2=4解得2OE =，GH AB =，4GH ∴=，11422222EGH S GH OE ∴=⋅=⨯⨯=， 由教材呈现可知，四边形EHFG 是平行四边形，则四边形EHFG 的面积为222242EGH S=⨯=，故答案为：42．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造等腰直角三角形是解题关键．5．（1）=1；（2）改变， ；（3）①= ；②GB=（）DG ．【分析】（1）利用三点共线，可以求出k=1；（2）当点G 与点E 重合时，DG 取最小值，当点F 与点C 重合时，DG 取最大值，进而求出k 的取解析：（1）k =1；（2）改变，≤≤1021035k ；（3）①S =38 ；②GB=（21-）DG ．【分析】（1）利用三点共线，可以求出k =1；（2）当点G 与点E 重合时，DG 取最小值，当点F 与点C 重合时，DG 取最大值，进而求出k 的取值范围；（3）①设BE =m ，BF =n ，利用一元二次方程的根与系数的关系进行和不等式进行求解； ②根据①求出的EF =222-，由于ΔDEF 为等腰三角形，EF 为底，所以G 为EF 中点，易得GB =21-，进而可以求出GB =（21-）DG ．【详解】如图1所示，把ΔDAE ，ΔDCF 分别沿着DE 、DF 翻折，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DAB =∠DCB =90°’，AD =CD ,∴∠ADE +∠CDF =∠ADC -∠EDF =90°-45°=45°，∴翻折后，AD ，CD 重合．设重合线为AG'，则∠DG'E =∠DG'F =90°，∴DG'⊥EF ，且E 、G'、F 三点共线，则G'在EF 上。
深圳深圳市松岗中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．（探究函数y=x+的图象与性质）（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是；（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．[拓展运用]（4）若函数y=，则y的取值范围．解析：（1）x≠0；（2）C（3）4；4；（4）y≥13【解析】试题分析：根据反比例函数的性质，一次函数的性质；二次函数的性质解答即可.试题解析：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；（2）函数y=x+的图象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13∵（﹣）2≥0，∴y≥13．考点：1.反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质.2．问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值．方法归纳：利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE．问题解决：（1）图1中tan∠BPD的值为________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；思维拓展：（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．解析：（1）2；（22；（32【分析】（1）由题意可得BE∥DC，则∠ABE=∠DPB，那么∠BPD就变换到Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（2）过点A作AE//CD，连接BE，那么∠BPD就变换到等腰Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）以BC为边长构造网格，然后把PC平移到AN，则∠CPD就变换成Rt△ADN中的∠NAD，再由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1）由勾股定理可得：22222222112AE BE=+=+=，∵CD//BE，∴tan ∠BPD ＝tan ∠ABE ＝2222AE BE ==； （2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，由图可知E 点在格点上，且∠AEB ＝90°， 由勾股定理可得：22221251310AE AB =+==+=，，∴cos ∠BPD ＝cos ∠BAE ＝5510522102101010AE AB ⨯====⨯（3）如图3构造网格，过点A 作AN //PC ，连接DN ，由图可知N 点在格点上，且∠AND ＝90°，由勾股定理可得：22221310,2425,DN AD =+==+=∴sin ∠CPD ＝sin ∠NAD ＝1010552210225255DN AD ⨯====⨯，【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．ABC 和DCE 都是等边三角形，DCE 绕点C 旋转，连接,AE BD ．猜测发现 ：（1）如图1，AE 与BD 是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．问题解决 ：（2）若B C E 、、三点不在一条直线上，且30,4,3ADC AD CD ∠=︒==，求BD 的长．拓展运用 ：（3）若B C E 、、三点在一条直线上（如图2），且ABC 和DCE 的边长分别为1和2，ACD △的面积及tan ADC ∠的值．解析：（1）AE =BD ，理由见解析；（2）5；（33tan ADC ∠3【分析】 （1）根据等边三角形的性质，容易证明△BCD ≌△ACE ，从而问题即可解决；（2）根据∠ADC=30゜及△DCE 是等边三角形，可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90゜，从而可计算出AE ，再由（1）即可得BD 的长；（3）过A 点作AF ⊥CD 于F ，根据ABC 和DCE 都是等边三角形，可得∠ACD=60゜，于是在直角△ACF 中利用三角函数知识可求得AF 的长，从而可求得△ACD 的面积；在△ACF 中还可求得CF 的长 ，从而可得DF 的长，这样在直角△ADF 中即可求得结论．【详解】（1）AE =BD ．理由如下：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴,,60AC BC DC EC ACB DCE ==∠=∠=︒，∴ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠，在BCD △和ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴() ACE BCD SAS ≅△△，∴AE BD =；（2）如图3，由（1）得：BD AE =，∵DCE 是等边三角形，∴60,3CDE CD DE ∠=︒==，∵30ADC ∠=︒，∴306090ADE ADC CDE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt ADE △中，4,3AD DE ==， ∴2222435AE AD DE =++，∴5BD =；（3）如图2，过A 作AF CD ⊥于F ，∵B C E 、、三点在一条直线上，∴180BCA ACD DCE ∠+∠+∠=︒，∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴60BCA DCE ∠=∠=︒，∴60ACD ∠=︒，在Rt ACF 中，sin AF ACF AC ∠=， ∴33sin 1AF AC ACF =⨯∠==11cos 122CF AC ACF =⨯∠=⨯=， ∴1133222ACD S CD AF =⨯⨯=⨯=13222FD CD CF =-=-=， 在Rt AFD 中，3tan AF ADC DF ∠== 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，带有一定的综合性．4．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=，将边AB 绕点A 逆时针旋转至'AB ，记旋转角为α．过点D 作DF BC ⊥于点F ，过点B 作BE ⊥直线'B D 于点E ，连接EF ． （探索发现）(1)填空：当60α=时，'EBB ∠ = ．'EF DB 的值是 （验证猜想）(2)当0360α<<时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（拓展应用）(3)在(2)的条件下，若22AB =BDE ∆是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF 的长．解析：（1）3032）当0360α<<时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）线段EF 的长为3333【分析】(1)当60α=时，点B ′与点C 重合，BE ⊥ CD ，由四边形ABCD 为菱形，可求∠ABE =90°，由120BAD ∠=，可求∠ABC =60°，'EBB ∠=30°，由DF ⊥BC ，DC ∥AB ，∠FDC =∠EBC =30°，由sin ∠FDC =sin ∠EBC =CF CE DC BC=，可得CF =CE ，可求∠CEF =∠FDC =30°即可； (2)当0360α<<时， (1)中的结论仍然成立．先求'60EB B ∠=︒，再证'EBB CBD ∠=∠．最后证'DBB FBE ∆∆∽即可；(3) 连接AC ，BD 交于点O ．先求6OB =23DE ='2EB =．分两种情况：①如图先求'232B D =，再证△B′BD ∽△EBF ，可得3EF B D ′②如图先求'32B D =．再证△B′BD ∽△EBF ，3EF B D ′ 【详解】(1)当60α=时，点B ′与点C 重合，∵BE ⊥ CD ，四边形ABCD 为菱形，CD ∥AB ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE =90°，∵120BAD ∠=，AD ∥BC ，∴∠ABC =180°-∠BAD =180°-120°=60°，∴'EBB ∠=∠ABE -∠ABC =90°-60°=30°，∵DF ⊥BC ，DC ∥AB ，∴DF ⊥AD ，∠CDA =180°-∠BAD =60°，∴∠FDC =90°-∠CDA =30°，∠FCD =90°-∠FDC =60°，∴∠FDC =∠EBC =30°，∴sin ∠FDC =sin ∠EBC =CF CE DC BC=， ∵DC =BC ，∴CF =CE ，∴∠CFE =∠CEF =12∠FCD =30°，∴∠CEF =∠FDC =30°，∴DF =FE ，∵cos ∠FDC =32DF DC =， ∴'EF DB =32DF DC =， 故答案为30，32． (2)当0360α<<时， (1)中的结论仍然成立．证明：如图1，连接BD ．'AB AD AB ==，1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-，1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+． '180''180(90)(30)6022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒， '30EBB ∴∠=︒． 11(180)3022CBD ABC BAD ∠=∠=︒-∠=︒． 'EBB CBD ∴∠=∠．'''EBB FBB CBD FBB ∴∠+∠=∠+∠，即'DBB EBF ∠=∠．3cos BF DBF BD ∠==3cos ''BE EBB BB ∠== 'BF BE BD BB ∴=． 'DBB FBE ∆∆∽．3''EF BE DB BB ∴==，(3)线段EF 的长为3333连接AC ，BD 交于点O ．AC DB ⊥，1602BAO BAD ∠=∠=︒，sin 6OB AB BAO ∴=⋅∠=226BD OB ∴== ∵DE =BE ，∠DEB =90°，∴∠EDB =∠EBD =45°，2sin 63DE BE BD DBE ∴==⋅∠== 'AB AD AB ==，∠B′EB =90°，1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-，1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+． '180''180(90)(30)6022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒， '30EBB ∴∠=︒． 3'tan '232EB BE EBB ∴=⋅∠==． 分两种情况：①如图，''232B D DE B E =+=，∵∠B′BE =∠DBF =30°，∴cos ∠B ′BE =cos ∠DBF =3EB FB B B DB =' 又∵∠B′BE +∠EBD =∠EBD +∠DBF ，∴∠B′BD =∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ， ∴3=EB FB EF B B DB B D =''， 33(232)33EF B D '∴===．②如图，''232B D DE B E =-=-．∵∠B′BE =∠DBF =30°，∴cos ∠B′BE =cos ∠DBF =3=2EB FB B B DB ='， 又∵∠B′BE -∠FBB′=∠DBF-∠FBB ′，∴∠B′BD =∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴3==2EB FB EF B B DB B D =''， 33(232)3322EF B D '∴=⨯=⨯-=-．综上所述，线段EF 的长为33+33【点睛】本题考查图形旋转变换，菱形性质，锐角三角函数值，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，掌握图形旋转变换，菱形性质，锐角三角函数值，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质是解题关键．5．（问题原型）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AC 为直径作O ．求证：点B 、D 在O 上．请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．（发现结论）矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．（结论应用）如图，已知线段2AB=，以线段AB为对角线构造矩形ACBD．求矩形ACBD面积的最大值．（拓展延伸）如图，在正方形ABCD中，2AB=，点E、F分别为边AB、CD的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与正方形ABCD的对角线AC交于M、N两点，当MN的长最大时，矩形EGFH的面积为_____________________解析：问题原型：见解析；结论应用：见解析；发现结论：2；拓展延伸：2【分析】问题原型：运用矩形对角线互相平分且相等，即可求证四点共圆；结论应用：根据结论矩形面积最大时为正方形，利用对角线的长求得正方形的面积；拓展延伸：由上一问的结论，可知四边形EGFH为正方形, 证明四边形AEOH是正方形，继而求得面积【详解】解：【问题原型】∵AC为O直径，∴OA为O半径.=.令OA r∵四边形ABCE为矩形，∴AC BD =，12OA OC AC ==，.12OB OD BD == ∴OB OD OA r ===.∴点B 、D 在O 上.【结论应用】 连续CD 交AB 于点O ，过点D 作DE AB ⊥于点E .∴DE OD ≤.由【发现结论】可知，点D 在以AB 为直径的圆上，即112OD OA AB ===， ∴当1DE OD ==即AB CD ⊥时，矩形ACBD 的面积最大.2AB CD ==∴矩形ACBD 的面积最大值为22112222AB =⨯=. 【拓展延伸】 如图，连接GH ,设AC 与EF 的交点为O四边形ABCD 是正方形2AB ∴=,90BAD ADC ∠=∠=︒，//AE DF点E 、F 分别为边AB 、CD 的中点1AE EB CF FD ∴====,2EF =∴四边形AEFD 是矩形//EF AD ∴EF AB ⊥，由【结论应用】可知，2EF =时，矩形EGFH 的面积最大为2122EF = 此时四边形EGFH 为正方形，此时MN 最大，EF GH ∴⊥,112EO OF OH OG EF ===== ∴四边形AEOH 是正方形∴112AE AH AB === ∴2222112EH AE AH =++∴正方形EGFH 的面积为：22(2)2EH ==【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，灵活运用矩形，正方形的性质和判定是解题的关键．6．在ABC 中，点D ，E 分别是AB AC ，边上的点，//DE BC ．基础理解：（1）如图1，若43AD BD ==，，求AE AC的值； 证明与拓展：（2）如图2，将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，连接11,BD CE ；①求证：11BD AD CE AE =； ②如图3，若90,6,BAC AB AC AD ADE ∠=︒<=，在旋转的过程中，点1D 恰好落在DE 上时，连接1113,4BD EE CE =，则11E D E 的面积为________． 解析：（1）47；（2）①见详解；②13.44 【分析】（1）利用平行线分线段定理，直接求解即可；、（2）①先推出11AD AB AE AC=，从而得11ABD ACE ∽，进而即可得到结论；②先推出AE =AE 1 =8，DE =D 1E 1=10，过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM = 3.6，D 1E =2.8，再证明∠D 1EE 1=90°，进而即可求解．【详解】解：（1）∵//DE BC ，43AD BD ==，， ∴AE AC =44437AD AB ==+； （2）①∵将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，∴1AD =AD ，1AE =AE ，∠BAD 1=∠CAE 1，∵//DE BC ，∴AD AE AB AC =，即AD AB AE AC=， ∴11AD AB AE AC=， ∴11ABD ACE ∽， ∴1111BD AD AD CE AE AE==； ②由①可知11ABD ACE ∽， ∴111134BD AD CE AE ==， ∵将ADE 绕点A 逆时针旋转，得到11AD E △，点1D 恰好落在DE 上，∴AD 1=AD =6，∠D 1AE 1=∠DAE =90°，∴AE =AE 1=43AD 1=8，DE =D 1E 1=226810+=， 过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM =D 1M =AD ×cos ∠ADE = AD ×AD DE =6×610=3.6，∴D 1E =10-3.6 ×2=2.8，∵∠D 1AE 1=∠DAE =90°，∴∠DAD 1=∠EAE 1，又∵AD 1=AD ，AE =AE 1，∴∠ADE =11118018022DAD EAE AEE ︒-∠︒-∠==∠， ∴∠AED +1AEE ∠=∠AED +∠ADE =90°，即：∠D 1EE 1=90°，∴22110 2.89.6EE -，∴11E D E 的面积=12D 1E ∙EE 1=12×2.8×9.6=13.44．故答案是：13.44．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．7．情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′= ▲ °．问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.解析：情境观察：AD（或A′D），90问题探究：EP=FQ. 证明见解析结论： HE=HF. 证明见解析【详解】情境观察AD （或A′D ），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE ，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG ⊥BC ，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP .∵EP ⊥AG ，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt △ABG ≌Rt △EAP . ∴AG=EP .同理AG=FQ. ∴EP=FQ拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q.∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG ⊥BC ，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP .∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG ∽△EAP ，同理△ACG ∽△FAQ ，∵AB= k AE ，AC= kAF ，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH. ∴HE=HF8．如图，E F ，分别为ABC 中AC AB ，上的动点（点、、A B C 除外），连接EB FC ，交于点P ，6BC =.我们约定：线段BC 所对的CPB ∠，称为线段BC 的张角.情景发现（1）已知三角形ABC 是等边三角形，AE BF =，①求线段BC 的张角CPB ∠的度数；②求点P 到BC 的最大距离；③若点P 的运动路线的长度称为点P 的路径长，求点P 的路径长.拓展探究（2）在（1）中，已知A BC '是圆P 的外切三角形，若点A '的运动路线的长度称为点A '的路径长，试探究点A '的路径长与点P 的路径长之间有何关系？请通过计算说明.解析：（1）①BPC ∠＝120°，②点P 到BC 的最大距离3PN =433π；（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）.【分析】（1）①利用等边三角形的性质证△AEB 与△BCF 全等，得到∠EBA ＝∠BCF ，利用三角形的内角和定理即可求出∠CPB 的度数；②由题意可知当PO ⊥BC 于点N 时，点P 到BC 的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P 到BC 的最大距离；③由题意知点P 的路径长为弧BC 的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果； （2）由题意可知张角∠CPB 的度数始终为120°，可得∠CBP ＋∠BCP ＝60°，因为圆P 是△A'BC 的内切圆，由此可推出A'是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，其半径为3240°，根据弧长公式可直接求出其长度，并计算出点A'的路径长是点P 的路径长的2倍．【详解】解：（1）①∵ABC 是等边三角形， ∴60CBAA AB BC ∠∠︒=＝＝，， ∵AE BF =，∴AEB BCF △≌△，∴EBABCF ∠∠＝. ∵60180EBA EBC EBC BCF BPC ∠+∠︒∠+∠+∠︒＝，＝， ∴180180BPC EBC BCF EBC EBA ∠︒-∠-∠=︒-∠-∠＝， 180********ABC ︒-∠=︒-︒︒＝＝. ②（2）如图所示，由于BPC ∠始终为120︒，故过点B C P 、、作圆O,∴120BOC ∠︒＝. 当PO BC ⊥于点N 时，点P 到BC 的距离最大.∵OB OC =， ∴11 60,322BOP BOC NB BC ∠∠=︒==＝， ∴3,3ON OB ==∴点P 到BC 的最大距离2333PN =③由②可知点P 的路径为BC 的长度，即x（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2:1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍），理由：由（1）中题意可知张角CPB ∠的度数始终为120︒，可得60CBP BCP ∠+∠=︒， 又因为圆P 是A BC '△的内切圆，所以120CBA BCA ''∠+∠=︒，所以 60CA B ∠'=︒，所以A '是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，由题意可得等边三角形ABC 外接圆的半径为23，点A '的路径是优弧BAC 的长度，即以240︒的圆心角，半径为23的弧长，如图，所以点A '的路径长=24023831801803n r πππ⋅==， 点A '的路径长与点P 的路径长的比值是：843:32:133ππ=， 所以点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆的有关性质，弧长公式等，解题的关键是能够根据题意画出图形.9．问题背景 如图1，点E 在BC 上，AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC ，求证：=AE BE DE DC．尝试应用 如图2，在▱ABCD 中，点F 在DC 边上，将△ADF 沿AF 折叠得到△AEF ，且点E 恰好为BC 边的中点，求FC FD 的值． 拓展创新 如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，∠AFE ＝∠D ，AE ⊥FE ，FC ＝2．EC ＝6．请直接写出cos ∠AFE 的值．解析：（1）见解析；（2）12FC FD =；（3）cos ∠AFE =25． 【分析】(1) 根据相似三角形的判定定理证△ABE ∽△ECD 即可；(2) 在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE ，证△AGE ∽△ECF ，列比例式即可；(3) 作FM =FD ，FN ⊥AD ，同（2）构造△AMF ∽△FCE ，证△AEF ∽△FHD ，求出AM 长即可．【详解】解：（1）∵ AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC∴∠B =∠C =90° ，∠BAE +∠AEB =90°，∠CED +∠AEB =90°，∴∠BAE =∠CED ，∴△ABE ∽△ECD∴AE BE DE DC =． （2）在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE又∵∠B +∠C =180° ，∠BGE +∠AGE =180°∴∠AGE =∠C∵∠B =∠D =∠AEF又∵∠B +∠BAE =∠AEF +∠FEC∴∠BAE =∠FEC ，∴△AGE ∽△ECF∴FC EF EG AE =，即FC EG EF AE =∵EF =FD ， ∴FC EG FD AE = ∵GE =BE ，AE =BC =2BE ， ∴12FC BE FD BC == （3）cos ∠AFE =25如图：作FM =FD ，FN ⊥AD ，由（2）同理可证△AMF ∽△FCE ，∴3FM EC AM FC== 设AM =x ，FM =FD =3x ，则AD =CD =32x +，MD =22x +，ND =1x +∵∠AEF =∠FND =90°，∠AFE ＝∠D ，∴△AEF ∽△FND ，∴EF AF ND FD =，即EF ND AF FD =， ∵FC EF AM AF =， FC ND AM FD ∴= ∴213x x x +=， 解得，5x =，经检验，是原方程的解；∴ cos ∠AFE =25EF FC AF AM ==． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是依据已知条件构造相似三角形，列比例式解决问题．10．（1）问题发现如图1，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，40AOB COD ∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M .填空：①AC BD 的值为______；②AMB ∠的度数为______．（2）类比探究如图2，在OAB 和OCD 中，90AOB COD ∠=∠=︒，30OAB OCD ∠=∠=︒，连接AC 交BD 的延长线于点M .请判断AC BD的值及AMB ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将OCD 绕点O 在平面内旋转，,AC BD 所在直线交于点M ，若1OD =，3OB =，请直接写出当点A 与点O D 、在同一条直线上时AD 的长．解析：（1）①1；②40︒；（2）3AC BD =90AMB ∠=︒．理由见解析；（3）2或4．【分析】（1）①证明△COA ≌△DOB （SAS ），得AC=BD ，比值为1；②由△COA ≌△DOB ，得∠CAO=∠DBO ，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA 的值，再求∠AMB 的值即可；（2）根据锐角三角比可得OD OB OC OA =，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC ∽△BOD ，根据相似撒尿性的性质求解即可；（3）当点A 与点O D 、在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD 的长．【详解】（1）①∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴∠BOD=∠AOC ，又∵OA OB =，OC OD =， ∴△BOD ≌△AOC ，∴BD=AC ，∴AC BD=1； ②∵40AOB ∠=︒，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD ≌△AOC ，∴∠CAO=∠DBO ，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=40︒；（2）如图2，3AC BD =，90AMB ∠=︒．理由如下： Rt COD 中，30DCO ∠=︒，90DOC ∠=︒，3tan 303OD OC ∴=︒=， 同理得：3tan 303OB OA =︒=， OD OB OC OA∴=， 90AOB COD ∠=∠=︒，AOC BOD ∴∠=∠，AOC BOD ∴△∽△，3AC OC BD OD∴==，∠CAO=∠DBO ， ∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3） ∵∠A=30°，3OB =，∴OA=tan 30OB =3． 如图3，当点D 和点A 在点O 的同侧时，∵1OD =，∴AD=3-2=2；如图4，当点D 和点A 在点O 的两侧时，∵1OD =，，OA=3∴AD=3+1=4．综上可知，AD 的长是2或4．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC ∽△BOD ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．11．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AE DF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______． 解析：（1330°；（213339+13339-【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得3AE BE DF BF =BDF BAE ∠=∠，即可求解； （2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得3AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥， 3cos 2BE AB ABD BF DB ∴∠===， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，故答案为：32，30； （2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又3BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴3AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，3BE ∴=，2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，2216313DE BD BE ∴=-=-=，30DEA ∠=︒，11322DG DE ∴==， 由（2）可得：32AE BE DF BF ==， ∴32131AE=+， 3932AE +∴=， ADE ∴∆的面积11393131333922228AE DG ++=⨯⨯=⨯⨯=； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积11393131333922228AE DG --=⨯⨯=⨯⨯=； 故答案为：133398+或133398-． 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．12．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a （x ﹣2）2﹣经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．（探究）在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．（应用）P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【详解】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．试题解析：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE•h≥1，∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴当点P不可能在DE的上方；③∵MN=1，且O（0，0），a（4，0），∴P与O或A重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考点：二次函数综合题．13．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC=．解析：（1）①四边形CEGF是正方形；22）线段AG与BE之间的数量关系为2；（3）5【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG 2CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG ，只需证ACG ∽BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AGGH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AGAHAC CH =可得a 的值．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE =，GE ∥AB ，∴2AG CGBE CE ==，故答案为2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CECG 2CBCA 2，∴CG CE =2CACB =∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CA BE CB== ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则a ， 则由AG GH AC AH == ∴AH=23a ， 则DH=AD ﹣AH=13a ，， ∴由AG AH AC CH =2a = 解得：故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.14．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =；②推断：GF AE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长．解析：（1）①证明见解析；②解：结论：1GF AE=．理由见解析；（2）结论：FG k AE =．理由见解析；（3）955PC =． 【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得AB=DA ，∠ABE=90°=∠DAH ．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO ，于是△ABE ≌△DAH ，可得AE=DQ ．②证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题．（2）结论：FG k AE=如图2中，作GM ⊥AB 于M ．证明：△ABE ∽△GMF 即可解决问题． （3）如图2-1中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．利用相似三角形的性质求出PM ，CM 即可解决问题．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB DA =，90ABE DAQ ∠==∠．∴90QAO OAD ∠+∠=．∵AE DH ⊥，∴90ADO OAD ∠+∠=．∴QAO ADO ∠=∠．∴ABE ∆≌DAQ ∆()ASA ，∴AE DQ =．②解：结论：1GF AE=． 理由：∵DQ AE ⊥，FG AE ⊥，∴//DQ FG ，∵//FQ DG ，∴四边形DQFG 是平行四边形，∴FG DQ =，∵AE DQ =，∴FG AE =，∴1GF AE =． 故答案为1． （2）解：结论：FG k AE =． 理由：如图2中，作GM AB ⊥于M ．∵AE GF ⊥，∴90AOF GMF ABE ∠=∠=∠=，∴90BAE AFO ∠+∠=，90AFO FGM ∠+∠=，∴BAE FGM ∠=∠，∴ABE ∆∽GMF ∆，∴GF GM AE AB=， ∵90AMG D DAM ∠=∠=∠=，∴四边形AMGD 是矩形，∴GM AD =，∴GF AD BC k AE AB AB===． （3）解：如图2﹣1中，作PM BC ⊥交BC 的延长线于M ．∵//FB GC ，//FE GP ，∴CGP BFE ∠=∠，∴3tan tan 4BE CGP BFE BF∠=∠==，∴可以假设3BE k =，4BF k =，5EF AF k ==， ∵23FG AE =，FG = ∴AE =∴222(3)(9)k k +=，∴1k =或﹣1（舍弃），∴3BE =，9AB =，∵:2:3BC AB =，∴6BC =，∴3BE CE ==，6AD PE BC ===，∵90BEF FEP PME ∠=∠=∠=，∴90FEB PEM ∠+∠=，90PEM EPM ∠+∠=，∴FEB EPM ∠=∠，∴FBE ∆∽EMP ∆， ∴EF BF BE PE EM PM ==， ∴5436EM PM==， ∴245EM =，185PM =， ∴249355CM EM EC ===-=，∴PC ==【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．15．如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ，（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．解析：(1)AF=EF ；(2)成立，理由见解析；(3)12【分析】(1) 延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，证明△ACF ≌△EDG ，进而得到△GEF 为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF ；(2)证明原理同(1)，延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，证明△ACF ≌△EDG ，进而得到△GEF 为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF ；(3)补充完整图后证明四边形AEGC 为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【详解】解：(1)延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，如下图所示∵ABC EBD △≌△，∴DE=AC ，BD=BC ，∴∠CDB=∠DCB ，且∠CDB=∠ADF ，∴∠ADF=∠DCB ，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE ，又延长DF 使得FG=DC ，∴FG+DF=DC+DF ，∴DG=CF ，在△ACF 和△EDG 中，AC ED ACF EDG CF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACF ≌△EDG(SAS)，∴GE=AF ，∠G=∠AFC ，又∠AFC=∠GFE ，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF ；(2)仍旧成立，理由如下：延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，如下图所示设BD 延长线DM 交AE 于M 点，∵ABC EBD △≌△，∴DE=AC ，BD=BC ，∴∠CDB=∠DCB ，且∠CDB=∠MDF ，∴∠MDF=∠DCB ，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE ，又延长DF 使得FG=DC ，∴FG+DF=DC+DF ，∴DG=CF ，在△ACF 和△EDG 中，AC ED ACF EDG CF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACF ≌△EDG(SAS)，∴GE=AF ，∠G=∠AFC ，又∠AFC=∠GFE ，∴∠G=∠GFE∴GE=EF ，∴AF=EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF ；(3)如下图所示：∵BA=BE ，∴∠BAE=∠BEA ，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG ，∴AE //CG ，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四边形AEGC 为矩形，∴AC=EG ，且AB=BE ，∴Rt △ACB ≌Rt △EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG ，又∵ED=AC=EG ，且EB=EB ，∴Rt △EDB ≌Rt △EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE ，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt △ABC 中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：212AB BC ==．故答案为：12．【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF 到G 点并使FG=DC ，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线．16．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____；（2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 解析：（1）相等，60；（2）MNP △是等边三角形，理由见解析；（3）MNP △面积的3【分析】（1）根据＂120,,A AB AC ∠==,AD AE =点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点＂，可得MN //BD ，NP //CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出MNP ∠．（2）先求出ABD ACE △≌△，得出ABD ACE ∠=∠，根据MN //BD ，NP //CE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN ，再等量代换求出MNP ∠，即可求解．（3）根据BD AB AD ≤+，可知BD 最大值，继而求出MNP △面积的最大值．【详解】()1由题意知：AB=AC ，AD=AE ，且点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点， ∴BD=CE ，MN //BD ，NP //CE ，MN=12BD ，NP=12EC∴MN=NP又∵MN //BD ，NP //CE ，∠A=120︒，AB=AC ，∴∠MNE=∠DBE ，∠NPB=∠C ，∠ABC=∠C=30根据三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP ，∠ENP=∠NBP+∠NPB ，∠NPB=∠C ，∠MNE=∠DBE ，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C =60． ()2MNP 是等边三角形．理由如下：如图，由旋转可得BAD CAE ∠=∠ 在ABD 和ACE 中。
几何探究专题1.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连接CM.(1)如图①，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；AM ＝AN.(2)①如图②，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立(不需说明理由)?②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝12？请说明理由．2.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm.对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．3.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．4.(1)阅读理解：如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD 的取值范围是________； (2)问题解决：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF.求证：BE ＋CF ＞EF ；5.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．备用图6.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②7.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．8.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°.(1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．参考答案1. (1)证明：∵△PBC∽△PAM，∴∠PBC ＝∠PAM.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PBC ＋∠PBA＝∠CBA＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA＝90°，∴∠APN ＝90°，即AP⊥BN，∴∠BPA ＝∠BAN＝90°.∵∠ABP ＝∠NBA，∴△ABP ∽△NBA ，PBAB ＝PA AN ，∴AN AB ＝PA PB .又∵△PAM∽△PBC ，∴PA PB ＝AM BC ，故AN AB ＝AMBC.又∵AB＝BC ， ∴AM ＝AN ；(2)解：①点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 仍然成立；②不存在，理由如下：选择图②，以AB 为直径，作半圆O ，连接OC ，OP ，∵BC ＝1，OB ＝12，∴OC ＝52.∵由①知，AP ⊥BN ，∴点P 一定在以点O 为圆心、半径长为12的半圆上(A ，B 两点除外)．如果存在点P ，那么OP ＋PC≥OC，则PC≥5－12.∵5－12>12，故不存在满足条件的点P ，使得PC ＝12.2. 解：(1)分三种情况：①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴AO ＝CO ＝5， ∴AP ＝5，∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ，在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE，∠APO ＝∠OEC，又∵OA＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.作AG∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形，∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t.又∵EC＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2，解得t ＝258.③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去．综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如图，作OM⊥BC，垂足是M ，作ON⊥CD，垂足是N.则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE ·OM ＝12·t ·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD ·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC )2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S四边形OFQC＝12－13t 2，∴S五边形OECQF＝S四边形OFQC＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S五边形OECQF：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5；(4)存在．理由如下：如图，作DI⊥OP，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，作AG∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC ·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ，∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG.∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB，∴∠DPI ＝∠AGB，∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ，∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP ，∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得(245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2，解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)3. (1)解：①BC⊥CF；②BC＝CD ＋CF.【解法提示】①∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC ，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC⊥CF；②∵△ABD ≌△ACF ，∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD ＋BD ，∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立．①证明：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，又∵AB＝AC ，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD＝180°－45°＝135°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC⊥CF；②结论为：BC ＝CD －CF.证明：∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD－CF.(3)解：如解图，过点E 作EM⊥CF 于M ，作EN⊥BD 于点N ，过点A 作AH⊥BD 于点H.∵AB ＝AC ＝22，∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，又∵AB＝AC ，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ，∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°，∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN＝∠EDN＋∠DEN＝90°，∴∠ADH ＝∠DEN，又∵∠AHC＝∠DNE＝90°，AD ＝DE ，∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3，∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1，∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.4. (1)解：如图①中，∵AB ＝10，AC ＝6，AD 是BC 边上中线，由旋转性质知，BE ＝AC ＝6，AD ＝DE.∴在△ABE 中，10－6<AE<10＋6，即 4<2AD<16，∴2<AD<8; (2)证明：延长FD 至M ，使FD ＝MD ，连接ME ，MB.如图所示．∵ED ⊥FM ，FD ＝DM ，∴ME ＝EF.∵CD ＝BD ，∠CDF ＝∠BDM，∴△CDF ≌△BDM(SAS)，∴CF ＝BM.∵BM ＋BE>ME ，∴BE ＋CF>EF.5. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC ＝AE ，BC ＝DE ，又∵AC＝BC ，∴EA ＝ED ，∴点B ，E 在AD 的中垂线上，∴BE 是AD 的中垂线，∵点F 在BE 的延长线上，∴BF ⊥AD ，AF ＝DF ；③解：BE 的长为33－4； (2)解：BE ＋CE 的值为13；6. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠CPO ＋∠DPA＝∠DPA＋∠DAP＝90°，∴∠DAP ＝∠CPO，∴△OCP ∽△PDA ，∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA )2，即14＝(CP 8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ，∵AP 2－DP 2＝AD 2，∴x 2－(x －4)2＝82，解得x ＝10，故CD ＝10.(2)线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5. 7. 解：(1)233.【解法提示】sin120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下：如图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝h b ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ，又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1.又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1，∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1，∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1.由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m 2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°.(10分)8. (1)①证明：∵∠ACE ＋∠ECB＝45°，∠BCF ＋∠ECB＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形，∴AC BC ＝CE CF ＝2，∴△CAE ∽△CBF. ②解：∵AE BF ＝AC BC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2，由△CAE∽△CBF 可得∠CAE＝∠CBF，又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°，由CE2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6，解得CE ＝ 6. (2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE∽△CBF，可得∠EBF＝90°，AC BC ＝AE BF ，由AB BC ＝EF FC ＝k ，可得BC∶AB∶AC＝1∶k∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k∶k 2＋1，∴CE EF ＝AC AB ＝k 2＋1k ，AE BF＝AC BC ＝k 2＋1，∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k 2(BE 2＋BF 2)，∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.。
