中考数学压轴题专题练习---几何探究题专题训练

2023年中考数学二轮专题训练:几何探究压轴题1．已知是的中线，点是线段上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连结．【方法感知】如图①，当点与点重合时，易证：．（不需证明）【探究应用】如图②，当点与点不重合时，求证：四边形是平行四边形．【拓展延伸】如图③，记与的交点为，的延长线与的交点为，且为的中点．（1）______（2）若，时，则的长为______．2．已知：如图，正方形与正方形．(1)如图①，求证：；(2)如图②，求的值；(3)如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由．3．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)如图1，当点在线段上，且时，那么________度；(2)设，．①如图2，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整；写出此时与之间的数量关系，并说明理由．4．已知，为等边三角形，点在边上．【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）．【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．5．综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．问题模型：等腰三角形，，，(1)探究：如图，点为等腰三角形底边上一个动点，连接，则的最小值为______，判断依据为______；(2)探究：在探究的结论下，继续探究，作的平分线交于点，点，分别为，上一个动点，求的最小值；(3)探究：在探究的结论下，继续探究，点为线段上一个动点，连接，将顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值．6．问题提出（1）如图1，在中，，，将其折叠，使点B落在边上的处，折痕经过点C，交于点D，则的度数为___________；问题探究（2）如图2，正方形的一条对称轴l交于点H，点E在l上，连接．若正方形的边长为2，，求线段的长．问题解决（3）如图3，有一块三角形空地经测量，米，．现要过点C边修建一条小路，满足，点A关于的对称点为D，连接交于点E．若米，请利用所学知识，求的长．7．已知是等腰直角三角形，，(1)如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：；(2)如图2，点F是斜边上动点，点G是延长线上动点，总有，探究的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点H是一点，连接FH，若，，，直接写出的面积为____________（用m，n表示）．8．课本再现如图1，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．(1)与的数量关系是______，与构成的锐角夹角的度数是______．深入探究(2)将图1中的延长至点，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）迁移应用(3)如图3，在等腰中，，，分别是边，上的点，与相交于点．若，且，求的值．．四边形中，，为上一点，连、．(1)平分，，①如图1，求证：；②如图2，若平分，交于F，交于N，，(2)在（1）的条件下求的值；，当,时，试探究与的数量关系，证明你的结论．，在中，，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证(1)独立思考：请解答老师提出的问题；(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明．问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．．问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．【问题探究】探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．（1）如图1，直接写出的值；（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．【一般规律】如图，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量12．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(1)根据定义判矩形已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形．(2)动手操作有发现如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系?并证明你的结论．(3)类比探究到一般如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由．(4)解决问题巧应用如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积．13．在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.(1)观察猜想如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．(2)类比探究如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．14．（1）（问题背景）如图1，在等边中，点M是边上一点，连接，以为边作等边（A，M，N按逆时针方向排列），连接，求证：（2）（变式探究）如图2，已知，指出图中的另外一对相似三角形并进行证明；（3）（拓展应用）如图3，在和中，，，点D在边上，求的值．15．（1）【操作发现】如图1，四边形都是矩形，，，小明将矩形绕点C顺时针转，如图2所示．若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．在旋转过程中，当点E、F在同一条直线上时，画出图形并求出的长度．）【类比探究】，中，，，为中点，为平面内一个动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为．（直接写出结果），在矩形中，，动点射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．(1)若．①如图2，当点落在上时，求证：，②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．(2)当P点不与C点重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”总是成立？请说明理由．．在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．感知：如图①，过点作交于点．求证．探究：如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．（1）求证：．（2）连结，若，求的长．应用如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，求四边形的面积．18．点在四边形的对角线上，直角三角板绕直角顶点旋转，其边、分别交、边于点、．操作发现：如图①，若四边形是正方形，当时，可知四边形是正方形，显然．当与不垂直时，判断确定、之间的数量关系；______．（直接写出结论即可）类比探究：如图②，若四边形是矩形，试说明．拓展应用：如图③，改变四边形、的形状，其他条件不变，且满足，，，时，求的值．参考答案：1．【拓展延伸】（1）；（2）2．(2)(3)，3．(1)90(2)①，证明见解析；②，5．(1)；点到直线的距离垂线段最短(2)(3)6．（1）；（2）；（3）米7．(2)(3)8．(1)；60°(3)39．(1)(2)(3)10．(1)，(2)，(3)11．[问题探究]探究一：(1)；(2)，探究二：．[一般规律]12．(2)，(3)成立，(4)13．(1)1，；(2)，，14．（2）（3）；15．（1）①不变，；②或；（2）24 16．(1)②存在，的值为2或6或(2)对于的任意时刻，结论“”总是成立，17．（（2）2应用：918．操作发现：；类比探究：拓展应用：。

压轴题几何专项训练（一）——几何探究题渗透思想方法：特殊到一般、类比、化归解题策略：运用特殊情况解答中所积累的经验和知识，进一步完成一般情况。

1、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB, ∠DAB＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3 AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）2、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．⑴求证：CE＝CF；⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．图1A DEB C图23、（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．4、（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH 于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题一、解答题1．如图，在ABC 中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒，D 是边AC 上一动点（不与点A 、C 重合），CE BD ⊥，垂足为E ，交边AB 于点F ．(1)当点D 是边AC 中点时，求DE ，EC 的值；(2)设CD x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)当EFD △与EFB △相似时，求线段CD 的长．2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C 把线段AB 分成两部分，如果BC AC AC AB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．(1)【问题发现】如图1，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，若2AB =，请直接写出CB 的值是__________．(2)【问题探究】如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，在BA 上截取BD BC =，再在AC 上截取AE AD =，则AE AC的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE 得折痕MN ，连接EN ，将AE 折叠到EN 上，点A 对应点H ，得折痕CE ，试说明：C 是AB 的黄金分割点．3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．(1)如图1，在智慧三角形ABC 中，AD BC ⊥，AD 为该三角形的智慧线，1CD =，则BD 长为_____，B ∠的度数为_____．(2)如图2，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠︒＝，2AB =，F 是斜边BC 延长线上一点，连接AF ，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE （点A ，F ，E 按顺时针排列），90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ，连接EC ，EB ．当2BDE BCE ∠=∠时，求线段ED 的长；(3)如图3，ABC 中，5AB AC ==，BC =BCD △是智慧三角形，且AC 为智慧线，求BCD △的面积．4．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA＝，4PB ＝，5PC ＝，求APB ∠的度数．(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AP B '△，连接PP '，则APP '为等边三角形． ∵3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若∠BP A ＝30°，求证222PA PB PC +=．(3)【联想拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝．点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒＝，PC BC ==求PA 的长．5．已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，连接 AF 交 BC 于点 O ，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ，2CD =，1CG =．(1)如图1，点 D ，C ，G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 的长；(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<．①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长；②如图3，当DG =PH 的长．6．在ABC ∆中，点E 为AC 边上一动点，以CE 为边在CE 上方作等边CEN ．(1)如图1，EN 与AB 交于点P ，连接PC ，若tan A =，1AE =，5CN =，求PC 的长： (2)如图2．当N 与B 重合时，在BC 上取一点D ，过点D 作DF AC ∥，连接BF ，EF ，过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ，若30FBC DFE ︒∠-∠=，求证：CH BF +=；(3)如图3，若BC AB ⊥，且4AB BC ==，过点B 作BQ AC ∥，I 为射线.BQ 上一动点，取AC 中点M ，连接MI ，过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ，连接NK ，直接写出NK 的最小值．7．问题情境：如图1，在Rt △ABC 和Rt △BEF 中，∠ACB ＝∠EFB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，且M ，N 分别为AE ，CF 的中点．(1)猜想证明：如图2，将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断54AM CN =是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F '，连接AE '，CF ，并分别取它们的中点P ，H ，连接CP ，FP ，PH ．①试判断CP 与FP 之间的数量关系，并说明理由．②若AB ＝2BE '，BC ＝2BF ，请直接写出PH 的长．8．【方法尝试】（1）如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系________，位置关系________．【类比迁移】（2）如图2，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒，连接,CE BD ．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt ABC 中，90,6ACB AB ∠=︒=，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连结CD，使得3tan4ACD∠=，请求写出线段BD的最大值．9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值． 11．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为AC 边上一点，连接BD ，作AP BD ⊥于点P ，过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E ．(1)如图1，求证：AD CE =；(2)如图2，以AD ，BD 为邻边作ADBF ，连接EF 交BC 于点G ，连接AG ，①求证：AG EF ⊥；②若点D 为AC 中点，EF 、AB 交于点H ，求BH AB的值． 12．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AC 边上的一点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，P 为BD 中点，连接PC ，PE ．(1)求证：PC PE =；(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)若10AB =，6AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒，在平面内，将Rt ADE △绕点A 旋转一周，当A ，C ，E 三点共线时，请直接写出PCE 的面积．13．如图1，在直角坐标系中，点()2,0A ，点()0,2C ，点D ，点E 分别为OA ，OC 的中点，ODE 绕原点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得11OD E ，射线1CD ，1AE 相交于点F ．(1)求证：11OCD OAE △≌△；(2)如图2，在ODE 旋转过程中，当点1D 恰好落在线段CE 上时，求AF 的长；(3)如图3，在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中，求点F 的运动路线长．14．已知ABC 为等边三角形，边长为4，点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、BE ．AE CD =．(1)如图1，若2AE =，求BE 的长度；(2)如图2，点F 为AD 延长线上一点，连接BF 、CF ，AD 、BE 相交于点G ，连接CG ，已知60,∠=︒=EBF CE CG ，求证：2+=BF GE CF ；(3)如图3，点P 是ABC 内部一动点，顺次连接PA PB PC 、、++的最小值．15．【问题提出】（1）如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，设CD 的长为m ，点D 到边AB 的距离为n ，则m _______n ；（填“＞”“＜”或“＝”）【问题探究】（2）如图2，在梯形ABCD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥，(201AB =，BD 为对角线，且45BDC ∠=︒，求BCD △面积的最小值；【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪，如图3，AB ==60B ∠︒，现欲将该草坪扩建为BEF △，使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上，且边EF 经过点D ，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（BEF △的面积）尽可能小，问BEF △的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．16．综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答．问题一：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．问题二：数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．(1)请直接写出CG 的长是______．如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，DF =______，CG =______，DF 与CG 之间的数量关系是______．(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（1）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？并说明理由．(3)如图5，当平行四边形ABCD 绕点A 旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系是______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E ．(1)如图1，当点E 在AD 上时，连接CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．(2)如图2，当点E 在CD 上时，当AC ＝4，BC ＝3时，求DAC S △与OBC S的比值．(3)若DE ＝2，OE ＝3，直接写出CD 的长．18．已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．。

试卷第1页，共12页2023年九年级数学中考复习：几何探究题压轴题附答案1．（1）如图所示，正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF ＝90°，连接BE 、DF ．将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE 、DF 数量关系和位置关系是分别是．（2）将（1）中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD ＝kAB ，AF ＝kAE ，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）证明．（3）将（2）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD ＝∠EAF ＝a ，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF的数量关系2．如图，在ABC中，90∠=︒==ACB AC BC D 是边AB 上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒至CE ，连接,AE BE ，取AE 的中点M ，连接CM．(1)求证：BE AD =；(2)问CM 与BD 有何数量关系？写出你的结论并证明；(3)若点D 在AB 上运动，则四边形BECM 能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时CM 的长；若不能，说明理由．3．在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转试卷第2页，共12页到的AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒；(1)如图1，当90BAC ∠=︒，连接BE 交AC 于点F ，若BE 平分ABC ∠，2BD =，则CF =_________．(2)在（1）的条件下，求AF 的长；(3)如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ，猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明．4．阅读理解图1是边长分别为a 和b （a b >）的两个等边三角形纸片ABC 和C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定ABC ，将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连接AD 、BE ，如图2，在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将图1中的C DE ' 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3，图3中线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作和思考过程，请你猜想当α为______度时，线段AD 的长度最大，当α为某个角度时，线段AD 的长度最小，最小是______．5．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD试卷第3页，共12页和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a．(1)当点D ¢恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD ' 与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD ' 与CBD '△全等时，旋转角a 的值．6．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN V 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．7．（1）如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同试卷第4页，共12页一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD ，BE 之间的数量关系为．（2）如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，90ACB DCE ∠∠== ，点A ，D ，E 三点在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之前的数量关系．并说明理由．（3）图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转中当点A ，D ，E 在不同一直线上时，设AD 与BE 相交于点O ，旋转角θ)(0180θ<< 尝试在图中探索∠AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．8．在△ABC 中，90°＜∠BAC ＜120°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转120°得到线段AD ，连接CD．(1)如图1，若AB ＝8，∠ABC ＝45°，BA ⊥CD ，延长BA ，CD 交于点K ，求四边形ABCD 的面积；(2)如图2，点E 是CA 延长线上一点，点G 是AE 的中点，连接BE ，BG ，点F 在线段AC 上，点H 在线段BG 上，连接HF ，若BG ＝GF ，HF ＝BE ，GA ＝GH ，2∠ACB ＝∠EBG +∠ABC ，求证：BC +CD；(3)如图3，在（1）的条件下，点P 是线段BC 上的一个动点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DP '，连接AP '，BP '，点M 是△ABP '内任意一点，点P 在运动过程中，AM +BM +P 'M 是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM +BM +P 'M 的最小值；若不存在，请说明理由．试卷第5页，共12页9．如图①，在ABC 中，AB AC ABC n =∠=︒，，D 是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ，将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转2n ︒，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到BPE ，小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的右侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧，请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)若点P 在线段AD 上，①若40ABC ∠=︒，当点E 在直线AD 上时，如图②所示，①BEP ∠=___________；②若35ABP ∠=︒，点E 落在直线AD 的___________（填“左侧”或“右侧”或“直线AD 上”）．(2)当4590n ︒<︒<︒，点P 在线段AD 上，如图③所示，连接CE ，试判断直线CE 与直线AB 的位置关系．并说明理由．(3)在（2）的条件下，若AB AC ==，ABC 的面积为12，求AE 的最小值．10．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在直线AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，点F 是线段DE 的中点，连接AF．(1)如图1，当点D 在BA 的延长线上时，连接AE ，若DE=4，求线段AF 的长度；(2)如图2，当点D 在AB 的延长线上时，若点G 是线段AD 的中点，连接FG ，求证：2BD FG =；试卷第6页，共12页(3)如图3，连接CF 和BE ，若BC =当线段CF 取最小值时，请直接写出BCE 的面积．11．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转，①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_______．12．探究题∶(1)特殊情景：如图（1），在四边形ABCD 中，AB =AD ，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，若∠BAD =∠B =∠D =90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α，∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．(3)解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BDDE的长度．13．（1）模型探究：如图1，已知△ABC，以A为旋转中心将边AB顺时针旋转至AD，将边AC逆时针旋转至AE，旋转角均为α（0º＜α＜180º），连接BE，CD．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②△ABE可以认为是由△ADC经过怎样的变换得到的？（2）创新应用：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点P为坐标平面内一动点，且2PO=，连接PA，以点A为旋转中心，将线段PA顺时针旋转60º至BA，连接OB，请直接写出AOB∠的最大值及此时点P的坐标．14．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．试卷第7页，共12页试卷第8页，共12页(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长；(2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F三点在同一直线上时，求证：2OH OA BH +=；(3)如图3，菱形ABCD 中，45ABC ∠=︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．如图①，在矩形ABCD 中，AD nAB =，点M ，P 分别在边,AB AD 上（均不与端点重合），且AP nAM =，以AP 和AM 为邻边作矩形AMNP ，连接,AN CN．(1)【问题发现】如图②，当1n =时，BM 与PD 的数量关系为__________，CN 与PD 的数量关系为________．(2)【类比探究】如图③，当3n =时，矩形AMNP 绕点A 顺时针旋转，连接PD ，则CN 与PD 之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图③给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图③说明理由；(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知9,6AD AP ==，当矩形AMNP 旋转至C ，N ，M 三点共线时，请直接写出线段CN 的长．试卷第9页，共12页16．如图：(1)如图1，已知锐角△ABC 的边BC ＝3，S △ABC ＝6，点M 为△ABC 内一点，过点M 作MD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AM ，则AM +MD 的最小值为．(2)如图2．点P 是正方形ABCD 内一点，PA ＝2，PBPC ＝4．求∠APB 的度数．(3)如图3，在长方形ABCD 中，其中AB ＝600，AD ＝800点P 是长方形内一动点，且S △ABC ＝2S △PBC ，点Q 为△ADP 内的任意﹣点，是否存在一点P 和一点Q ．使得AQ +DQ +PQ 有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长度，若不存在，请说明理由．17．如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD ≌△FGM ；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．试卷第10页，共12页18．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1)旋转角为_____度；(2)求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC ∠的度数；(4)求ABC 的面积ABC S ．19．【问题情境】如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，2AE =，4BE =，90AEB =︒∠，将直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转α度（0180α≤≤︒），点B 、E 的对应点分别为点B '、E '．(1)【问题解决】如图2，在旋转的过程中，点B '落在了AC 上，求此时CB '的长；(2)【问题解决】若90α=︒，如图3，得到ADE '△（此时B '与D 重合），延长BE 交B E ''于点F ，①试判断四边形AEFE '的形状，并说明理由；②连接CE ，求CE 的长；(3)【问题解决】在直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转过程中，求线段CE '长度的取值范围．20．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．21．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,A AB AC ∠=︒=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ．点M 、N 、P 分别为DE BE BC 、、的中点．(1)观察猜想．图1中，线段,NM NP 的数量关系是__________，MNP ∠的大小为__________︒．(2)探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP BD CE 、、，判断MNP△的形状，并说明理由；(3)拓展延伸将图1中的ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2,6AD AB ==，请直接写出MNP △面积的最大值．参考答案：1．（1）DF与BE相等且互相垂直．（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．（3）数量关系不改变．DF＝kBE，位置关系改变，DF与BE的夹角为180°﹣a．2．(2)2BD CM=，(3)能，103 CM=3．(1)2(3)AG=12CD，4．(1)BE=AD，(2)BE=AD，(3)180°，a-b5．(1)30°(3)135°，315°6．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒7．（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°；AE=BE+2CM；（3）∠AOE的度数是60°或120°．8．(1)S四边形ABCD＝72﹣(3)AM+BM+P'M的最小值为：9．(1)50°，左侧(2)CE∥AB，(3)510．(1)AF=2(3)BCE 的面积为211．(2)①PB =4-12．(1)BE +DF ＝EF(2)EF ＝BE +DF 成立，(3)DE 3=13．（1）①DC ，理由见解析；②以点A 为旋转中心，逆时针旋转角α得到的；（2）90°；(1,P -．14．(3)75︒15．(1)BM PD =，CN =(2)变化，2CN PD =，22+16．(1)4(2)135°(3)存在，PQ 的长度为4003-17．(1)DG PG =且DG GP⊥(2)①见解析；②成立，18．(1)60(2)4(3)150°9．19．(1)-(2)①正方形，②(3)2CE '≤≤20．(1)四点共线，(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠= ，此时)::2:2:1PA PB PC =(3)::4:2:1PA PB PC =21．(1)NM =NP ；60°；(2)MNP △是等边三角形，(3)MNP △的最大面积为。

中考压轴题专项训练2——几何探究型问题专题几何探究题型是中考数学常见的题型，常以压轴题的形式出现，是数学学习中的重点也是难点。

那么遇到这种题型应该怎么去思考呢？先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。

最后探索的问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。

1.(2019北京)在△ABC 中，DE 分别是△ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧。

例如，图1中DE 是△ABC 的一条中内弧。

(1)如图2，在Rt △ABC 中，AB-AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0,0)，C(4t,0)(t ＞0)，在△ABC 中， D,E 分别是AB,AC 的中点。

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题27选择压轴题（几何篇）一．选择题（共40小题）1．（2023•朝阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，将OB绕着点O逆时针旋转40°得到OC，P是⊙O 上一点，且与点C在AB的异侧，连结P A、PC、AC，若P A＝PC，则∠P AB的大小是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2023•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，且∠COA＝45°，OA ＝4，则点B的坐标为（）A．(4+2√2，2√2)B．(2√2，2√2)C．(2+2√2，2）D．(√2，2)3．（2023•奉贤区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1＜r≤√3C．1＜r≤2D．√3＜r≤24．（2023•广灵县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，点O，D，E是AB边上的点，以点O为圆心，DE长为直径的半圆O与AC相切于点M，与BC相切于点N，则图中阴影部分的面积为（）A ．5B ．9﹣2πC ．9﹣πD ．5﹣π5．（2023•普陀区二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，AO ＝2，下面结论中不一定正确的是（ ）A ．∠BOC ＝120°B ．∠BAO ＝30°C ．OB ＝3D ．点O 到直线BC 的距离是16．（2023•瓯海区模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，连结DH 并延长交AB 于点K ，若DF 平分∠CDK ，则DH HK =（ ）A ．2√33B ．65C ．√5−1D ．4√577．（2023•花溪区模拟）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE ＝1m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离CD ＝6m ），踏板离地的垂直高度CF ＝4m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m8．（2023•承德一模）如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD （AC ＞BD ）相交于点O ，E 、F 分别为OA 和OC 上的点（不与点A 、O 、C 重合）．其中AE ＝OF ．过点E 作GH ⊥AC ，分别交AD 、AB 于点G 、H ；过点F 作IJ ⊥AC 分别交CD 、CB 于点J 、I ；连接GJ 、HI ，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE 长度的变化，GH +IJ ＝BD 始终成立．乙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 可能为正方形．丙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 的面积始终不变，都是菱形ABCD 面积的一半．下列选项正确的是（ ）A ．甲、乙、丙都对B ．甲、乙对，丙不对C ．甲、丙对，乙不对D ．甲不对，乙、丙对 9．（2023•石家庄二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是OB 与OD 的中点，依连接点A ，E ，C ，F ，A ，当四边形AECF 是矩形时，与线段BE 相等的线段有（ ）A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条10．（2023•青山区二模）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是BC 边上一点，F 是BD 上一点，连接DE ，EF ．若△DEF 与△DEC 关于直线DE 对称，则OF 的长为（ ）A ．√22B ．2√2−2C ．2−√2D ．√2−111．（2023•柳城县一模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则BF BE 的值为（ ）A ．1+√22B ．√22C ．2+√24D ．2+√2212．（2023•泉州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABC 沿BC 的方向平移至△A 'B 'C '，使得A ′E ＝A ′F ，其中E 是A ′B ′与AC 的交点，F 是A ′C ′与CD 的交点，则CC ′的长为（ ）A ．52−√52B ．112−√5C ．5−√5D ．92−√5 13．（2023•定远县二模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．3B ．2.5C ．2.4D ．214．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，点E 在AD 上，点F 在BC 上，且AE ＝CF ，连结CE ，DF ，则CE +DF 的最小值为（ ）A ．26B ．25C ．24D ．2215．（2023•郯城县一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．4.8B ．5C ．2.4D ．416．（2023•白云区一模）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则下列结论错误的是（ ）A ．FD =√2MNB ．△DEF 是等腰直角三角形C ．BN ＝1D ．tan ∠FBE =√317．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在正方形ABCD 中，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为直角三角形，∠CED ＝90°，OE =3√2，若CE •DE ＝6，则正方形的面积为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．2618．（2023•杭州一模）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且B 点D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）A ．14B ．815C ．12D ．81719．（2023•高明区二模）矩形ABCD 和直角三角形EFG 的位置如图所示，点A 在EG 上，点D 在EF 上，若∠2＝55°，则∠1等于（ ）A．155°B．135°C．125°D．105°20．（2023•余姚市一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为C1，深色阴影部分的周长为C2，若要求出C1﹣C2的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（）A．①②B．②③C．①③D．②④21．（2023•衡水二模）如图，点P是正方形ABCD的边BC上一点，点M是对角线BD上一点，连接PM 并延长交BA的延长线于点Q，交AD于点G，取PQ的中点N．连接AN．若AQ＝PC，有下面两个结论：①DM＝DG，②AN⊥BD，则这两个结论中，正确的是（）A．①对B．②对C．①②都对D．①②都不对22．（2023•新乡二模）如图，在矩形ABCD中，点B（0，4），点C（2，0），BC＝2CD，先将矩形ABCD 沿y轴向下平移至点B与点O重合，再将平移后的矩形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到矩形EOMN，则点D的对应点N的坐标为（）A．（3，3）B．（4，4）C．（3，4）D．（4，3）23．（2023•荆门一模）如图，菱形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H，若EH＝2EF，则下列结论错误的是（）A．EH⊥EF B．EH＝AC C．∠B＝60°D．AB=√5EF24．（2023•中原区校级二模）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，2+√2）D．（1，3）25．（2023•中原区模拟）如图，▱ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA 的延长线于点E，已知∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，则点E的坐标为（）A．（﹣2，﹣，2√3）B．（﹣3，3√3）C．（−72，72√3）D．（−52√3，52）26．（2023•武邑县二模）如图，N是正六边形ABCDEF对角线CF上一点，延长FE，CD相交于点M，若S△ABN＝2，则S五边形ABCMF＝（）A．10B．12C．14D．1627．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（）A．1：2：3B．2：2：4C．1：2：4D．2：3：528．（2023•罗湖区二模）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D，DB=13AD，连接AC，若AB＝8，则AC的长度为（）A．2√3B．2√5C．4√3D．4√529．（2023•杭州一模）如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线AD，点D是切点，连结OA交⊙O于点B，点C是⊙O上不与点B，D重合的点．若∠A＝α°，则∠C的度数为（）A．(45−12α)°B．12α°C．2α°D．(45+12α)°30．（2023•西宁一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB所在直线折叠扇形纸片，圆心D恰好落在AB̂上的点C处，则阴影部分的面积是（）A．3π−9√32B．3π−3√32C．2π−3√32D．2π−9√3231．（2023•太原一模）如图，在扇形纸片OAB 中，∠AOB ＝105°，OA ＝6、点C 是半径OA 上的点、沿直线BC 折叠△OBC 得到△DBC ，点O 的对应点D 落在AB̂上，图中阴影部分的面积为（ ）A ．9π−92B ．9π−182C ．9π﹣18D ．12π﹣1832．（2023•西山区校级模拟）如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB 为6，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．18π−27√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．18π−18√333．（2023•莆田模拟）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，点C 在AB̂上，连接AC ，BC ，过点B 作BD ⊥AC 的延长线于点D ，当点C 从点A 运动到点B 的过程中，∠CBD 的度数（ ）A ．先增大后减小B ．先减小后增大C ．保持不变D ．一直减小 34．（2023•蚌埠二模）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O 中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O 重合，且AB ＝BC ，则阴影部分面积与圆的面积之比为（ ）A ．3√38πB ．√32πC ．√3πD ．2√39π35．（2023•鄞州区校级模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，将弧BC 沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于D ．若BC ＝4√5，sin ∠ABC =√55，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．256πB ．253πC ．8D ．1036．（2023•九龙坡区模拟）如图，在⊙O 中，AB 是圆的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接AC 交⊙O 于点D ，点E 为弧AD 中点，连接AE ，若AE ＝AO ，AB ＝6，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3√32C ．√3D ．3√337．（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC 的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A ．2πB ．2π−√3C ．23πD ．2π+√338．（2023•虹口区二模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，BC ＝12．分别以点O 、D 为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且⊙D 与⊙O 内切，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ）A ．12＜r ＜4B ．52＜r ＜6C ．9＜r ＜252D ．9＜r ＜1339．（2023•苏州一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A 为立交桥入口，D 、G 为出口，其中直行道为AB 、CD 、FG ，且AB ＝CD ＝FG ；弯道是以点O 为圆心的一段弧，且BC 、CE 、EF 所在的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以16m /s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x （s ）的对应关系如右图所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ）A ．该段立交桥总长为672mB ．从G 口出比从D 口出多行驶192mC ．甲车在立交桥上共行驶22sD ．甲车从G 口出，乙车从D 口出40．（2023•滨城区一模）如图，点A ，B 是半径为2的⊙O 上的两点，且AB =2√3，则下列说法正确的是（ ）A ．圆心O 到AB 的距离为√3B ．在圆上取异于A ，B 的一点C ，则△ABC 面积的最大值为3√3C ．以AB 为边向上作正方形，与⊙O 的公共部分的面积为3+√34πD ．取AB 的中点C ，当AB 绕点O 旋转一周时，点C 运动的路线长为3π。

中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题 题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为 ．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为 米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒） 训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图 在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点 且DN EM = 则FM FN +的最小值为 ．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图 直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点 点C （0 1）在y 轴上 点P 在x 轴上运动 则2PC ＋PB 的最小值为 ．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图 腰长为22+2的等腰ABC 中 顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠 点A 落在点E 处 当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为 ．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是 ．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形 可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线 也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形 得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示 过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得 四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米． 在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米） 在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米） 解得 5.25x =． 答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长 在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时 设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形 即可得解；当CE ⊥AC 时 根据折叠的性质 等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时 如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中 顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论． 【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图 延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。

2020中考数学 压轴专题 几何探究题（含答案）1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．第1题图(1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子；(2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD 、BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC 、BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由．(3)应用拓展：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°)得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为“等邻角四边形”时，求出它的面积．解：(1)矩形；(答案不唯一)(2)AC ＝BD ；如解图①所示，连接PD 、PC ， ∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴P A ＝PD ，PB ＝PC ，∴∠P AD ＝∠PDA ，∠PBC ＝∠PCB ，∴∠DPB ＝180°－∠DP A ＝∠P AD ＋∠PDA ＝2∠P AD ，同理可得∠APC ＝2∠PBC ， ∵∠DAB ＝∠ABC ，即∠P AD ＝∠PBC ，∴∠APC ＝∠DPB ，在△APC 和△DPB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PD ∠APC ＝∠DPB PB ＝PC，△APC ≌△DPB (SAS)， ∴ AC ＝BD .第1题解图①(3)①当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，如解图②所示，延长AD ′交CB 的延长线于点E ，过点D ′作DF ⊥CE 于点F ， ∠ED ′B ＝∠EBD ′， ∴EB ＝ED ′，∵∠C ＝∠EFD ′，∠EAC ＝∠ED ′F ， ∴△ED ′F ∽△EAC ， 则D ′F AC ＝ED ′AE， 设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理可知，在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，则AD ′＝4，CE ＝3＋x ，AE ＝4＋x ，在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2，即42＋(3＋x )2＝(4＋x )2， 整理得：2x －9＝0，解得x ＝92，EB ＝ED ′＝92，∴AE ＝172，∴D ′F 4＝92112，∴D ′F ＝3617，S 四边形AD ′BC ＝S △ACE －S △D ′BE ＝12AC ·CE －12D ′F ·BE ＝12×4×(3＋92)－12×92×3617＝15－8117＝17417；第1题解图②②当∠D ′BC ＝90°时，如解图③所示，过点D ′作D ′E ⊥AC ，交AC 于点E ， ∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得AE ＝AD′2－ED′2＝42－32＝7，∵S 四边形AD ′BC ＝S △AED ′＋S 矩形ECBD ′＝12AE ·ED ′＋EC ·BC ＝372＋12－37＝12－372.综上所述，当凸四边形AD 为等邻角四边形时，它的面积为17417或12－372.第1题解图③2. (1)发现 如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b .填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含有a ，b 的式子表示)； (2)应用 点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图②所示，分别以AB ，AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．第2题图(1)解：CB的延长线上，a＋b；【解法提示】∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b.(2)解：①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴DC＝BE；②BE长的最大值是4；【解法提示】∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB 的延长线上，∴CD长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4.(3)解：AM长的最大值是3＋22，点P的坐标是(2－2，2)．【解法提示】如解图①，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，P A＝PN，∴∠APN＝90°，由(1)得出当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如解图②)，可得AN＝22，∴AM＝NB＝3＋22，过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2，∴点P的坐标是(2－2，2)．第2题解图3.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm.点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形；(2)解：存在．理由如下：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴AD＝BE，又∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△BDE＝BD＋BE＋DE＝BD＋AD＋CD＝AB＋CD，∵AB＝4为定值，∴当CD最小，即CD⊥AB时，△BDE的周长最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CD最小，即CD⊥AB时，易得CD＝23，∴△BDE的最小周长为23＋4；(3)解：存在．理由如下：如解图，过点C作CF⊥OM于点F，则CF＝23，∴BD＝||t－6，t－10，BE＝AD＝||DE＝CD＝CF2＋DF2＝12＋（t－8）2，①当∠DEB＝90°时，BD2＝BE2＋DE2，即(t－10)2＝(t－6)2＋12＋(t－8)2，第3题解图解得t1＝2，t2＝6(不合题意，舍去)；②当∠EBD＝90°时，DE2＝BD2＋BE2，即12＋(t－8)2＝(t－10)2＋(t－6)2，解得t3＝6，t4＝10(两者均不合题意，舍去)；③当∠BDE＝90°时，BE2＝BD2＋DE2，即(t－6)2＝(t－10)2＋12＋(t－8)2，解得t5＝14，t6＝10(舍去)．综上所述，存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形，此时t＝2或14.4.如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图①)，△ABD不动．(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图②)，证明：MB＝MC；(2)若将图①中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图③)，判断并直接写出MB、MC的数量关系；(3)在(2)中，若∠CAE的大小改变(图④)，其他条件不变，则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．第4题图（1）证明：如解图①，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，第4题解图①∴ AD ＝AE ， AB ＝AC ， ∠BAD ＝∠CAE ， 又∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE (三线合一)， ∴∠MAD －∠BAD ＝∠MAE －∠CAE ， 即∠BAM ＝∠CAM ， 在△ABM 和△ACM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAM ＝∠CAM AM ＝AM， ∴△ABM ≌△ACM (SAS )， ∴MB ＝MC ；第4题解图②(2)解：MB ＝MC ；【解法提示】如解图②，延长DB 、AE 相交于点E ′，延长EC 交AD 于点F ， ∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，又∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点， ∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ， ∴∠BCM ＝∠BAD ， 又∵∠BAD ＝∠CAE ， ∴∠MBC ＝∠BCM ， ∴MB ＝MC .(3)解：MB ＝MC 还成立．理由如下： 如解图③，延长BM 交CE 于点F ，第4题解图③∵CE ∥BD ， ∴∠MDB ＝∠MEF ， ∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点， ∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MBD ＝∠MFE ∠MDB ＝∠MEF MD ＝ME， ∴△MDB ≌△MEF (AAS)， ∴MB ＝MF ＝12BF ，又∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°， ∴MC ＝12BF ，∴MB＝MC.5.在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点(与点A，C不重合)，连接BE.(1)将射线BE绕点B顺时针方向旋转45°，交直线AC于点F.①依题意补全图①；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的数量关系，只需证AE，AM，EM的数量关系．想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；(一种方法即可)(2)如图②，若将直线．．AC于点F.小研完成作图后，发现直线AC上存在三．．BE绕点B顺时针旋转135°，交直线条线段(不添加辅助线)满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．第5题图解：(1)①补全图形，如解图①；图① 图②第5题解图②AE 2＋FC 2＝EF 2；证明：如解图②，过B 作MB ⊥BF 于点B ，使BM ＝BF ，连接AM 、EM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∠1＝∠2＝45°，AB ＝BC ，∵∠3＝45°，∴∠MBE ＝∠3＝45°，在△MBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠MBE ＝∠3BE ＝BE，∴△MBE ≌△FBE (SAS )，∴EM ＝EF ，∵∠4＝90°－∠ABF ，∠5＝90°－∠ABF ，∴∠4＝∠5，在△AMB 和△CFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠4＝∠5AB ＝CB，∴△AMB ≌△CFB (SAS)，∴AM ＝FC ，∠6＝∠2＝45°，∴∠MAE ＝∠6＋∠1＝90°，在Rt △MAE 中，AE 2＋AM 2＝EM 2，∴AE 2＋FC 2＝EF 2；(2)AF 2＋EC 2＝EF 2.【解法提示】如解图③，过B 作MB ⊥BE ，使BM ＝BE ，连接ME 、MF 、AM ，∵直线BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线AC 于点F ，∴∠FBE ＝45°，∴∠MBF ＝90°－45°＝45°，∴∠FBE ＝∠MBF ，在△MBF 和△EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBF ＝∠FBE ，BF ＝BF∴△MBF ≌△EBF (SAS)，∴MF ＝EF ，∵∠MBA ＝90°－∠ABE ，∠EBC ＝90°－∠ABE ，∴∠MBA ＝∠EBC ，在△AMB 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBA ＝∠EBC AB ＝CB，∴△AMB ≌△CEB (SAS )，∴AM ＝EC ，∠BAM ＝∠BCE ＝45°，∴∠MAE ＝∠BAM ＋∠BAC ＝90°，∴∠MAF ＝90°，在Rt △MAF 中，AF 2＋AM 2＝MF 2，∴AF 2＋EC 2＝EF 2.第5题解图③6.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F.(1)依题意补全图形；(2)小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE＝DF.小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE＝DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE＝DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE＝DF；…请你参考上面的想法，帮助小华证明DE＝DF(选一种方法即可)；(3)在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．解：(1)补全图形，如解图①；第6题解图(2)想法1：证明：如解图②，过点D作DG∥AB，交AC于点G，∵点D是BC边的中点，∴DG＝12AB，∴△CDG是等边三角形，∴∠EDB＋∠EDG＝120°，∵∠FDG＋∠EDG＝120°，∴∠EDB＝∠FDG，∵BD＝DG，∠B＝∠FGD＝60°，∴△BDE≌△GDF，∴DE＝DF；想法2：证明：如解图③，连接AD，作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，∵点D是BC边的中点，AB＝AC，∴直线AD是△ABC的对称轴，∴△ADE≌△ADP，∴DE＝DP，∠AED＝∠APD，∵∠BAC＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°，∵∠APD＋∠DPF＝180°，∴∠AFD＝∠DPF，∴DP＝DF，∴DE＝DF；第6题解图想法3：证明：如解图④，连接AD，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，∵DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN，∵∠A＝60°，∴∠MDE＋∠EDN＝120°，∵∠FDN＋∠EDN＝120°，∴∠MDE ＝∠FDN ，∴Rt △MDE ≌Rt △NDF ，∴DE ＝DF ；(3)当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 【解法提示】①当点F 在AC 边上时，如解图⑤，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ， ∵∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋NC －FN ＝2BM ＝BD ＝12AB ；图⑤ 图⑥第6题解图②当点F 在AC 的延长线上时，如解图⑥，过D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，∵∠B ＝∠DCN ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE －CF ＝BM ＋EM －(FN －CN )＝2BM ＝BD ＝12AB ，综上所述，当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 7. 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图①，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为ABAC ＝AO 2－BO 2.第7题图(1)在图①中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则ABAC＝________，OCOA＝________；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB AC、BA BC的值；(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13A A O，已知ABAC＝14，BN BA＝10，求△ABC的面积．解：(1)0 ，7；【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝AB2＋AC2＝10，在Rt△ABC中，AO是BC边上的中线，∴AO＝BO＝5，∴AB AC＝AO2－BO2＝0，如解图①，取AC的中点D ，连接OD ，则OD ∥AB ，OD ＝12AB ＝4，CD ＝12AC ＝3，∴OC OA ＝OD 2－CD 2＝16－9＝7.第7题解图(2)如解图②，作底边BC 上的中线AE ，由题意可知AE 是∠BAC 的平分线、BC 边上的高． ∵AB ＝ΑC ＝4，∠BAC ＝120°，∴在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AE ＝12×4＝2，BE ＝32×4＝23， ∴AB AC ＝AE 2－BE 2＝22－(23)2＝－8.过点B作AC边上中线BM，过点M作MN⊥BC于点N，∴AM＝CM＝1×4＝2.2在Rt△MNC中，∠MNC＝90°，∠C＝30°，×2＝1，CN＝22－12＝ 3.∴MN＝12∵BC＝2BE＝43，∴BN＝BC－CN＝43－3＝33，BM2＝12＋(33)2＝28.∴BA BC＝BM2－AM2＝28－22＝24；(3)如解图③，过点B作△ABN的AN边上中线BM，∵在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13AO，第7题解图③∴AM＝MN＝NO，AO⊥BC，即AO＝3NO.∵AB A AC ＝14，BNBA ＝10，∴ AO 2－BO 2＝14，即(3ON )2－BO 2＝9ON 2－BO 2＝14，①∵BM 2－MN 2＝OM 2＋BO 2－MN 2＝(2ON )2＋BO 2－ON 2＝3ON 2＋BO 2＝10，②由①、②得⎩⎪⎨⎪⎧9ON 2－BO 2＝143ON 2＋BO 2＝10， ∴ON 2＝2，即ON ＝2，BO ＝2，∴BC ＝4，AO ＝32，∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×4×32＝6 2. 8. 问题发现：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG .(1)△ABC和△DCF面积的关系是________；(请在横线上填写“相等”或“不相等”)(2)拓展探究：若∠C≠90°，(1)中的结论还成立吗？若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；(3)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CD JI、正方形DA LK；运用(2)中的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．第8题图解：(1)相等；【解法提示】∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°＝∠ACB.∴12AC·BC＝12DC·CF，∴S△ABC＝S△DFC.(2)成立．理由如下：如解图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P，过点D作DQ⊥FC于点Q，∴∠APC＝∠DQC＝90°.∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，∴AC＝CD，BC＝CF，∠ACP＋∠PCD＝90°，∠DCQ＋∠PCD＝90°，∴∠ACP＝∠DCQ.第8题解图在△APC 和△DQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠DQC ∠ACP ＝∠DCQ AC ＝DC，∴△APC ≌△DQC (AAS)，∴AP ＝DQ .又∵S △ABC ＝12BC ·AP ，S △DFC ＝12FC ·DQ ， ∴S △ABC ＝S △DFC ；(3)图中阴影部分的面积和有最大值．理由如下：由(2)中的结论可知：S △K D J ＝S △ADC ，S △FBG ＝S △ABC ，S △AE L ＝S △ABD ，S △CH I ＝S △BDC ，∴S 阴影＝S △K DJ ＋S △FBG ＋S △AEL ＋S △CHI ＝S △ADC ＋S △ABC ＋S △ABD ＋S △BDC ＝2S 四边形ABCD .设AC ＝m ，则BD ＝10－m ，∵AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12m ·(10－m )＝－12m 2＋5m ＝－12(m －5)2＋252. ∵－12<0，∴S四边形ABCD有最大值，最大值为252.＝25，∴S阴影＝2×252∴阴影部分的面积和有最大值，最大值为25.9.问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F 三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．第9题图解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：如解图①，第9题解图①∵△ABC为正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE(ASA)；(2)△DEF是正三角形．理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CF A，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；(3)如解图②，作AG⊥BD，交BD延长线于点G，第9题解图②由△DEF 是正三角形得到∠ADG ＝60°，(或者∠ADG ＝∠1＋∠ABD ＝∠2＋∠ABD ＝60°.)∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b . ∴在Rt △ABG 中，c 2＝(a ＋12b )2＋(32b )2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2.10. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值； (2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′：①求证：CD ＝B ′D ；②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第10题图(1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ，∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16；∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ，∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ，即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ；∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°，∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52， ∴ BD ＝BC －CD ＝32； (3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点，∴CM ＝12AC ＝32， ∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第10题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大，∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4， 即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.。

试卷第1页，共9页2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题1．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，172AB AC ==D 在边AB 上，连接DC ，7tan 17DCA ∠=，点P 为BC 边上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DQ ，连接PQ ．(1)AD =__ ____，BD =___ ___，DQ 的最小值是____ __； (2)当15BPQ ∠=︒时，求BP 的长；(3)连接BQ ，若BDQ △的面积为25，求tan BDQ ∠的值．2．如图①，在Rt ABC △中，905125B AB BC CD DE AB ∠=︒===，，，，∥．将EDC △绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．(1)①当0α=︒时，AE BD = ；②当180α=︒时，AEBD= ． (2)试判断：当0360α≤≤︒时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明． (3)当EDC △旋转到A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．试卷第2页，共9页3．已知三角形ABC 绕点A 旋转得到ADE ．(1)如图，60CAE ∠=︒，ACF DCE ∠=∠，90CDE ∠=︒，若2BC =，3CD CF -=，求AF 的长．(2)如图，连接BD ，EC ，若BCE AEG ∠=∠且12GAD CAE ∠=∠，若点F 是线段CE 的中点，连接GF ，BF ，求证BF GF ⊥．(3)如图，三角形ABC 绕点A 旋转得到ADE ，若3AB =，1AC =，90CAE ∠=︒，ED 和BC 所在的直线交于点P ，直接写出BP 的最大值．4．已知ABC 和DBE 均为等腰直角三角形，其中90BAC ∠=︒，90BDE ∠=︒，AB AC =，DB DE =，连接CE ，点F 是CE 的中点，连接AF 、DF ．(1)如图，点E 在线段AB 上，且2BE =，5AF =，求线段AC 的长； (2)如图，连接ADAD =；(3)如图，1BD =，2AC =，将DBE 绕着点B 逆时针旋转，将线段AB 沿直线AF 翻折得到线段AB '，连接B E '，当CF 最大时，请直接写出B E '的长度．试卷第3页，共9页5．[操作]如图1．ABC 是等腰直角三角形，90ACB ︒∠=，D 是其内部的一点，连接CD ．将CD 绕点（顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，作直线AD 交BE 于点F ．(1)求证：ADC BEC ≌； (2)求AFE ∠的度数；(3)[探究]如图2，连接图1中的AE ，分别取AB DE AE 、、的中点M 、N 、P ，作MNP △．若8BE =，则MNP △的周长为6．如图，ABC 是等边三角形，点D 是BC 边的中点，以D 为顶点作一个120︒的角，角的两边分别交直线AB AC 、于M 、N 两点，以点D 为中心旋转MDN ∠（MDN ∠的度数不变）(1)如图①，若DM AB ⊥，求证：BM CN BD +=；(2)如图②，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出BM CN BD 、、之间的数量关系，并说明理由．试卷第4页，共9页7．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；(2)探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2AD =，4AB =，直接写出PMN 面积的最大值．8．在△ABC 中，CA CB =，ACB α∠=，点P 在平面内不与点A ，C 重合，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接,,AD BD CP ．(1)如图①，当60α=︒，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是． (2)如图②，当90α=︒时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并说明理由．(3)当90α=︒时，若点E ，F 分别是,CA CB 中点，点P 在直线EF 上，请直接写出当C ，P ，D 在同一直线上时，求ADCP的值．试卷第5页，共9页9．综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题 问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt △ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()0<<90αα︒︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α=时，△AMC 是等腰三角形； (2)深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线，请帮他们证明； (3)再探究：在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC 与△AFE 重叠的面积； (4)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．10．正方形ABCD 和AEFG ，连接DG ，BE ．(1)发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，①DG 与BE 之间的数量关系是_____ _____；试卷第6页，共9页②DG 与BE 之间的位置关系是_______ ___； (2)探究：①当正方形AEFG 的边AE 在AB 上时，直接写出CFBE_______ ___； ②当正方形AEFG 绕点A 旋转时，CFBE是否为定值；如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请简要说明理由．11．如图，等边△ABC 与等腰三角形△EDC 有公共顶点C ，其中∠EDC ＝120°，AB ＝CE ＝，连接BE ，P 为BE 的中点，连接PD 、AD(1)为了研究线段AD 与PD 的数量关系，将图1中的△EDC 绕点C 旋转一个适当的角度，使CE 与CA 重合，如图2，请直接写出AD 与PD 的数量关系；(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若∠ACD ＝45°，求△P AD 的面积．12．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转，得到△AC D ，连接D E ．(1)当∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°时，求证：DE ＝D E ；(2)当DE ＝D E 时，∠DAE 与∠BAC 有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在（2）的结论下，当∠BAC ＝90°，BD 与DE 满足怎样的数量关系时，△D EC是等腰直角三角形？（直试卷第7页，共9页接写出结论，不必证明）13．如图①，在等腰Rt ABC 和等腰Rt BDE 中，90BAC BDE ∠=∠=︒，AB AC =，BD DE =，E 为BC 的中点，F 为CE 的中点，连接AF ，DF ，AD ．(1)若4AB =，求AD 的长度；(2)若将BDE △绕点B 旋转到如图②所示的位置，请证明AF DF =，AF DF ⊥；(3)如图③，在BDE △绕点B 旋转的过程中，再将ACF △绕点A 逆时针旋转60︒到AC F ''，连接BF '，若4AB =，请直接写出BF '的最大值．14．【问题提出】在一节数学课上，王老师提出了一个数学问题：如图1-1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，P A ＝5，PB ＝12，PC ＝13，求∠APB 的度数．(1)【问题探究】针对这个问题，某学习小组进行了如下尝试：如图1-2，将△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到AP C '△，连接PP '，得到等边APP '．请根据该小组探究的思路求出∠APB 的度数；(2)【类比延伸】在等腰Rt △ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，其内部有一点P ．如图2，连接P A ，PB ，PC ，若∠APC ＝135°，试判断线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，连接P A ，PC ，以PC 为直角边作等腰Rt △PCQ ，∠CPQ ＝90°，连接BQ ，取BQ 的中点M，连试卷第8页，共9页接AM ，PM ，试判断PAPM是否为定值，若为定值，请求出相应的值；若不是定值，请说明理由．15．在Rt ABC 中，90,4,8B AB BC ∠=︒==，点D 、E 分别在AC 、BC 边上．(1)如图1，若D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，连接DE ，则ADBE=______； (2)如图2，若D 为AC 边上任意一点，DE AB ∥，则ADBE=______； (3)如图3，在图2的基础上将DEC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，猜想ADBE的值，并证明你的结论； (4)如图4，在（3）的条件下，当将DEC 旋转，使点E 在线段AD 上时，若6CE =，请直接写出BE 的长，不必写出求解过程．16．综合与实践：如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：DE BF EF +=．李伟同学是这样解决的：将ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，此时AB 与AD 重合，再证明GAF EAF △△≌，可得结论． (1)如图2，在四边形ABCD 中，()AD BC AD BC >∥，90D ，10AD CD ==，且45BAE ∠=︒，4DE =，求BE 的长；(2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，若ABC 固定不动，AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC的交点试卷第9页，共9页分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式222BD CE DE +=始终成立，请说明理由．17．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在边DG 和DE 上，连接AE ，BG ．(1)猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）．判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论；(3)在（2）的条件下，若BC ＝DE ＝8，当AE ＝AG 时，直接写出AF ＝ ．18．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC =4，BA ＝8，点D 、E 分别为BC 、BA 的中点，作直线AE 、CD ，设它们的交点为点P ．(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE 、CD 有怎样的数量和位置关系？答： 、 ． (2)利用图2，证明你在（1）中的猜想．(3)当点D 恰好落在直线AE 上时，求线段PC 的长． (4)在旋转过程中，直接写出△PBC 面积的最大值．参考答案：1．(1)10(2)10+10(3)15或132．(1)1312；1312(2)无变化 (3)BD 的长为13或119133．(1)AF =(3)1 4．(1)85．(2)90︒；(3)8+6．(2)成立，(3)不成立，BM CN BD -=，7．(1)PM PN =，PM PN ⊥ (2)PMN 是等腰直角三角形， (3)928．(1)1，60︒，45︒，(3)2+2-9．(1)60°或15°3(4)能，∠α=30°或60°10．(1)①DG BE =；②DG BE ⊥(2)2②CF BE 211．(1)AD ＝2PD(2)成立， (3)4332=PAD S12．(2)∠DAE ＝12∠BAC ，(3)DE 213．(1)25(3)32214．(1)150°(2)BP 2=PC 2+2AP 2， (3)AP MP 215．5 5 (3)5AD BE = (4)65455BE +=16．(1)587BE =17．(1)BG =AE(2)结论成立，(3)4或4 18．(1)AE⊥CD，AE＝2CD。

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

专题复习几何探究问题一、结论探究【例 1】如图①，△ ABC是等腰直角三角形，∠ BAC=90，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点 A、 C分别在 DG和 DE上，连接 AE、 BG〔1〕试猜测线段BG和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论00图②，通过观察和测量等方法判断〔1〕中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。

〔3〕假设 BC=DE=2，在〔 2〕的旋转过程中，当 AE为最大值时，求AF的值。

变式练习：正方形ABCD中， E 为对角线BD上一点，过 E 点作 EF⊥ BD交 BC于 F，连接DF， G为 DF中点，连接EG，CG．（1〕直接写出线段 EG与 CG的数量关系；（2〕将图 1 中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转 45o，如图 2 所示，取 DF中点 G，连接 EG， CG．你在〔 1〕中得到的结论是否发生变化写出你的猜测并加以证明．〔 3〕将图 1 中△ BEF绕 B 点旋转任意角度，如图3 所示，再连接相应的线段，问〔1〕中的结论是否仍然成立〔不要求证明〕A D A D A DGGEEF FEB F CB C B C图 1 图 2 图 3【例 2】两个全等的直角三角形纸片ABC、 DEF，如图〔 1〕放置，点B、D 重合，点F00在 BC上， AB与 EF 交于点 G，∠ C=∠ EFB=90，∠ E=∠ ABC=30， AB=DE=4〔1〕求证：△ EGB是等腰三角形〔2〕假设纸片 DEF不动，问△ ABC绕点 F 旋转最小度时，四边形ACDE成为以 ED为底的梯形〔如图〔2〕〕，求此梯形的高。

【例 3】如图，Rt △AB ? C ? 是由Rt △绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ? 交斜边于ABC点 E， CC ?的延长线交BB ?于点 F．（1〕证明：△ACE∽△FBE；（2〕设∠ABC= ，∠CAC? = ，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．【例 4】（1〕操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点 G在举行 ABCD内部．小明将 BG延长交 DC于点 F，认为 GF=DF，你同意吗说明理由．〔2〕问题解决：保持〔 1〕中的条件不变，假设DC=2DF，求AD的值；AB〔3〕类比探求：保持〔 1〕中条件不变，假设DC=nDF，求AD的值．AB【例 5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两局部，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．〔 1 〕三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；〔2〕如图 1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到 E，使 CE＝ AB，连接 AE，那么有S梯形ABCD＝S△ ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD的面积等分线〔不写作法，保存作图痕迹〕；（3〕如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线假设能，请画出面积等分线，并给出证明；假设不能，说明理由．B AABEC D C D图1 图2【例 6】（1〕如 1，在正方形ABCD中，M是BC〔不含端点B、C〕上任意一点 , P是BC延上一点， N是∠DCP的平分上一点．假设∠ AMN=90°，求： AM=MN．下面出一种明的思路，你可以按一思路明，也可以另外的方法明．明：在AB上截取 AE=MC， ME．正方形 ABCD中，∠ B=∠ BCD=90°，AB=BC．∴∠ NMC=180°—∠ AMN—∠ AMB=180°—∠ B—∠ AMB=∠ MAB=∠ MAE．〔下面你完成余下的明程〕（2〕假设将〔 1〕中的“正方形ABCD〞改“正三角形ABC〞〔如 2〕 , N是∠ACP的平分上一点，当∠ AMN=60° ， AM=MN是否成立明理由．（3〕假设将〔 1〕中的“正方形ABCD〞改“正n形ABCD⋯X〞，你作出猜测：当∠AMN= ° ，AM=MN仍然成立．〔直接写出答案，不需要明〕12【例 7】以下材料：如1，在等三角形ABC内有一点P，且 PA=2， PB=3 ，PC=1．求∠BPC度数的大小和等三角形ABC的．李明同学的思路是：将△ BPC点B旋60°，画出旋后的形〔如2〕．接 PP′，可得△ P′PC 是等三角形，而△ PP′A又是直角三角形〔由勾股定理的逆定理可〕．所以∠ AP′C=150°，而∠ BPC=∠AP′C=150°．而求出等△ ABC的7 ．得到解决．你参考李明同学的思路，探究并解决以下：如3，在正方形ABCD内有一点 P，且 PA= 5， BP= 2， PC=1．求∠ BPC度数的大小和正方形ABCD的．图 3图 1 图 2能力检测1．如图 1，∠=90°，△是等边三角形，点P 为射线 上任意一点〔点P 与点ABCABEBCB 不重合〕，连结 AP ，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ ，连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F .〔1〕如图 2，当= 时，∠=°，猜测∠= °；BP BAEBFQFC〔 2〕如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜测∠ QFC 的度数，并加以证明；〔3〕线段 AB = 23 ，设 BP =，点 Q 到射线 BC 的距离为 y ，求 y 关于的函数关系式．QQA AEEBFP CBF PC图 1图 22．如图〔 1〕，在△ ABC 和△ EDC 中， AC ＝ CE ＝ CB ＝ CD ，∠ ACB ＝∠ ECD ＝ 90 ， AB 与 CE 交于F ， ED 与 AB 、 BC 分别交于 M 、H ． 〔1〕求证： ＝ ；CF CH〔2〕如图〔 2〕，△不动，将△绕点 C 旋转到∠=时，试判断四边形是ABCEDCBCE45ACDM什么四边形并证明你的结论．E MBM B FHE HFDDACAC图〔 1〕图〔 2〕 3、如图〔 1〕正方形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 是 AC 上一点，连接EB ，过 点 A 作 AM ⊥ BE 于 M ， AM 交 BD 于点 F （ 1〕求证： OE=OF （ 2〕如图〔 2〕假设点 E 在 AC 的延长线上， AM ⊥ BE 于 M ，交 DB 的延长线于点 F ，其它条件不变，那么结论“ OE=OF 〞还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

针对性训练-----几何探究题1.如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD.（1）求证:△APB≌△DPC；（2）求证:∠PAC=∠BAP；（3）若将原题中的正方形ABCD21变为等腰梯形ABCD(如图2),AD∥BC,且BA=AD=DC,形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC,试问(2)中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.A BDCP图PCDAB图2．如图1，在ABC△中，ACB∠为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB AC=，90BAC=∠，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF BD、所在直线的位置关系为__________ ，线段CF BD、的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC≠，BAC∠是锐角，点D在线段BC上，当ACB∠满足什么条件时，CF BC⊥（点C F、不重合），并说明理由．(3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相2交于点P，求线段CP长的最大值。

图1图2C图3E图2BAEBD图13.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．（1）求证：CE ＝CF ；（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识， 完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．A BCDERP H QHABCDE R PHQABCDEM N图18ABCDEM N 图19图17N MEDCBA 5．如图17，点A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点，∠BAC ＋∠DAE ＝180°，AB ＝k ·AE ，AC ＝k ·AD ，点M 是DE 的中点，直线AM 交直线BC 于点N ．⑴探究∠ANB 与∠BAE 的关系，并加以证明．说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．①如图18，k ＝1；②如图19，AB ＝AC ．⑵若△ADE 绕点A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB 与∠BAE 的关系．6.已知，是经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，CD BCA ∠C CA CB =E F ，CD 且．BEC CFA α∠=∠=∠（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：CD BCA ∠E F ，CD ①如图9-1，若，，90BCA ∠=90α∠=则； （填“”，“”或“”）；BE CF EF BE AF -><=②如图9-2，若，请添加一个关于与关系的条件0180BCA <∠<α∠BCA ∠，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图9-3，若直线经过的外部，，请提出CD BCA ∠BCA α∠=∠三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．EF BE AF ，，ABCE FD DABCE FADFCEB 图9-1图9-2图9-3n t7．在等边的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为外一点，且ABC ∆ABC A ,,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，︒=∠60MDN ︒=∠120BDC BM 、NC 、MN 之间的数量关系及的周长Q 与等边的周长L 的关系．AMN ∆ABC ∆图1图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时；=LQ（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论≠还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=，则Q=x （用、L 表示）．xGBDCEFA参考答案1. (1)略（2）略（3）设， ︒=∠︒=∠y BAP x PAC ,︒-=∠=∠)60(x DCA CAD 则︒=∠y PDC 得即x y x X -+=+6060型得，由x y 2=BAP PAC ∠=∠212．（1）①垂直，相等；……………1分②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．………………2分由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90º．∵∠BAC ＝90º，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠FAC ，又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ．∵∠BAC ＝90º， AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45º，∴∠ACF ＝45º，∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90º． 即 CF ⊥BD .…………5分（2）当∠ACB ＝45º时，CF ⊥BD （如图）． …………6分理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90º， ∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°，∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上，由（1）①可知CF ⊥BD . …7分（3）如图：作AQBC 于Q ∵∠ACB=45°AC=4∴CQ=AQ=42∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°∴△ADQ ∽△DPC∴=DQ PC AQCD设CD 为x （0＜x ＜3）则DQ=CQ －CD=4－x则= x PC -44x∴PC=(－x 2+4x)=－(x －2)2+1≥1 当x=2时，PC 最长，此时PC=14141s o BD图13.（1）证明：如图1，在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ．…….3分（2）GE ＝BE ＋GD 成立．理由是：∵△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD即∠ECF ＝∠BCD ＝90°， 又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°．∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG ． ……..4分∴GE ＝GF ∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ．…..5分（3）解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ＝90°．又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ， ∴四边形ABCG 为正方形． ………6分∴AG ＝BC ＝12．已知∠DCE ＝45°，根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG ．..7分设DE ＝x ，则DG ＝x －4， ∴AD ＝A G －DG=12－（x －4）=16－x ． 在Rt △AED 中， ∵，即．222AE AD DE +=()222816+-=x x 解这个方程，得：x ＝10． ∴DE ＝10．4.（1） Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠= ，B B ∠=∠． BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=A ．---------------2分（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=． C C ∠=∠ ，RQCABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． -------5分（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．B AE GAD ER Po df or s 1290∠+∠= ，290C ∠+∠= ，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． --------8分②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=． -------10分③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BA C CR CA == ，366528x -+∴=，152x ∴=． -----13分综上所述，当x 为或6或152时，PQR △为等腰三角形． -----14分5．（1）∠ANB +∠BAE =180º．……1分证明：（法一）如图1，延长AN 到F ，使MF =AM ，连接DF 、EF . ………………2分∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME ， ∴四边形ADFE 是平行四边形 ，……………3分∴AD ∥EF ，AD =EF ， ∴∠DAE +∠AEF =180º， ∵∠BAC +∠DAE =180º，∴∠BAC =∠AEF ，………4分 ∵AB =kAE ，AC =kAD ，∴， ∴……6分AD AC AE AB =EFACAE AB =∴△ABC ∽△EAF ∴∠B =∠EAF …………8分∵∠ANB +∠B +∠BAF =180º ∴∠ANB +∠EAF +∠BAF =180º即∠ANB +∠BAE =180º，…………10分（法二）如图2，延长DA 到F ，使AF =AD ，连接EF .………2分∵∠BAC +∠DAE =180º，∠DAE +∠EAF =180º，∴∠BAC =∠EAF ，………………3分∵AB =kAE ，AC =kAD ，∴， ∴，………4分ADAC AE AB =AF ACAE AB =∴△ABC ∽△AEF ，………5分ABCD E R PH QM ADN EBCF图1M A DNEBCFKH图2r eg ∴∠B =∠AEF ，………6分 ∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME ，又∵AF =AD ， ∴AM 是△DEF 的中位线，∴AM ∥EF ，……7分 ∴∠NAE =∠AEF ，∴∠B =∠NAE ，……8分 ∵∠ANB +∠B +∠BAN =180º，∴∠ANB +∠NAE +∠BAN =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．………10分(2)变化．如图3（仅供参考），∠ANB =∠BAE ．……12分选取（ⅰ），如图4.证明：延长AM 到F ，使MF =AM ，连接DF 、EF . ∵点M 是DE 的中点，∴DM =ME∴四边形ADFE 是平行四边形，…………4分∴AD ∥FE ，AD =EF ， ∴∠DAE +∠AEF =180º，∵∠BAC +∠DAE =180º， ∴∠BAC =∠DAE ， ………6分∵AB =kAE ，AC =kAD ，， ∴AB =AE ，AC =AD ，1 k ∴AC =EF ，……7分 ∴△ABC ≌△EAF ， ∴∠B =∠EAF ， …8分∵∠ANB +∠B +∠BAF =180º， ∴∠ANB +∠EAF +∠BAF =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．……10分选取（ⅱ），如图5.证明：∵AB =AC ，∴∠B =（180º-∠BAC ），…………3分21∵∠BAC +∠DAE =180º， ∴∠DAE =180º-∠BAC ，∴∠B =∠DAE ， ∵AB =kAE ，AC =kAD ，21∴AE =AD ， ∵AM 是△ADE 的中线，AB =AC ，∴∠EAM =∠DAE ， ∴∠B =∠EAM ，………4分21∵∠ANB +∠B +∠BAM =180º， ∴∠ANB +∠EAM +∠BAM =180º，即∠ANB +∠BAE =180º．…5分图4ABCDMN 图5E 图3ABCD E M N6.（1）①；； 2分 ②所填的条件是：． 4分==180BCA α∠+∠=证明：在中，．BCE △180180CBE BCE BEC α∠+∠=-∠=-∠，．180BCA α∠=-∠ CBE BCE BCA ∴∠+∠=∠又，．ACF BCE BCA ∠+∠=∠ CBE ACF ∴∠=∠又，， ．BC CA = BEC CFA ∠=∠()BCECAF AAS ∴△≌△，． 又，．7分BE CF ∴=CE AF =EF CF CE =- EF BE AF ∴=-（2）．EF BE AF =+7.（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时． 32=L Q （II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．,且．．CD BD = 120=∠BDC ∴ 30=∠=∠DCB DBC 又是等边三角形，ABC ∆．∴90MBD NCD ∠=∠= 在与中：MBD ∆ECD ∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM (SAS) ．∴≅∆MBD ECD ∆DM=DE, ∴CDE BDM ∠=∠在与中：∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN MDN ∆EDN ∆ (SAS) MN=NE=NC+BM⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆∴的周长Q=AM+AN+MN=AB+AC =2ABAMN ∆而等边的周长L=3AB . ABC ∆∴3232==AB AB L Q（III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=，x 则Q=2+（用、L 表示）．x L 32x 8.如图24－1，正方形ABCD 和正方形QMNP ， M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ．（1）猜想：ME 与MF 的数量关系（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。

2022年中考专题复习：几何探究压轴题1．如图1矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的动点(点E 不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 延长线于点F ，连接EF ，点G 为EF 的中点，连接BG ．(1)求证：ADE ∽ABF ；(2)若20AB =，10AD =设DE x =点G 到直线BC 的距离为y ． ①求y 与x 的函数关系式； ②当2413EC BG =时，x 的值为______； (3)如图2，若AB BC =，设四边形ABCD 的面积为S ，四边形BCEG 的面积为1S 当114S S =时，DE ：DC 的值为______．2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB AC ==点D 为AB 边上－点，AD =点P 为BC 边上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DQ ，连接PQ ．(1)BD ＝______，DP 的最小值是______； (2)当∠BPQ ＝15°时，求BP 的长；(3)连接BQ ，若△BDQ 的面积为3，求tan ∠BDQ 的值．3．ABC 中，BD AC ⊥于点D ，点P 为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针方向旋转α，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．(1)观察发现：如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是__________；BC 与CE 的位置关系是__________； (2)猜想证明：如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，请写出BP 与CE 的数量关系及BC 与CE 的位置关系，并说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长4．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上一点，连接AP ，将线段P A 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM ．(1)问题发现如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是 ，∠ACM ＝ °． (2)探究证明当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明． (3)问题解决连接PC ，当△PCM 是等边三角形时，请直接写出ACPE的值．5．已知：在正方形ABCD 中，点E 是边AB 上点，点G 在边AD 上，连接EG ，EG ＝DG ，作EF ⊥EG ，交边BC 于点F （图1）．(1)求证：AE+CF＝EF；(2)连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；(3)在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK＝△BEF的周长为24，求PK的长．6．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE∆绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点E在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求∆MNC周长的最小值．7．已知，BD是菱形ABCD的对角线，△DEF是直角三角形，∠EDF＝90°，∠DEF＝1∠A，连接BE，点G是BE2的中点，连接CG、BF．(1)当∠A＝90°时，①如图1，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系：②如图2，当△DEF的顶点E落在线段BD上时，①中线段CG与线段BF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：思路一：连接AC，记A与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题．思路二：记AD与EF交于点H，易知H是EF的中点，连接CH，将△CDH绕点C顺时针旋转90°，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题．请参考上述思路，完成该问题的解答过程（一种方法即可）(2)当∠A＝120°时，如图3，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系．8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF ＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；(2)如图②，若∠CDH+∠BFD12∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH 最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．9．正方形ABCD ，点E 在边BC 上，连AE ．(1)如图1，若1tan 3EAC ∠=，4AB =，求EC 长；(2)如图2，点F 在对角线AC 上，满足AF AB =，过点F 作FG AC 交CD 于G ，点H 在线段FG 上（不与端点重合），连接AH ．若45EAH ∠=︒，求证：EC HG =；(3)如图3，在（1）的条件下，G 是AD 中点，点H 是直线CD 上的一动点，连GH ，将DGH 沿着GH 翻折得到PGH △，连PB 交AE 于Q ，连P A 、PD ，当BP 最小值时，请直接写出PAD △的面积．10．如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)四边形BE 'FE 的形状是______；(2)如图②，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE 的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB ＝15，CF ＝3，求DE 的长．11．在等边ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上运动，以DE 为边向右作等边DEF ，设AD kBE =．(1)如图1，求证：CEF BDE ∠=∠；(2)如图1，连接CF ，请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；①2k =；②CF 平分ACB ∠；③AD ，BE ，CF 三条线段构成以AD 为斜边的直角三角形． (3)如图2，12k =，连接AF ，BF 当AF BF +取得最小值时，求AD AB 的值．12．如图①，在正方形ABCD 中，B 为边BC 上一点，连接AE ，过点D 作DN ⊥AE 交AE 、AB 分别于点F 、N ．(1)求证：△ABE ≌△DAN ； (2)若E 为BC 中点，①如图②，连接AC 交DP 于点M ，求CM ：AM 的值； ②如图③，连接CF ，求tan ∠CFE 的值．13．如图，在等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AC ＝AB ，AD ＝AE ，连接BD ，点M 、N 分别是BD ，BC 的中点，连接MN．(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．(2)当ADE∆绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．(3)当AC＝5时，在ADE∆绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．14．矩形纸片ABCD中，AB=4．实践思考：(1)连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若AD AB，如图①．①BD=______，tan∠ADB=______；②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形；③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______；(2)若AD=1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数；拓展探究：(3)若AD=，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______．15．△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若sin ∠MCD ＝13，CD ＝4，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM 、DM 、CN ，若DM ∥CN ，求证：4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将△DPM 沿PM 翻折得到ΔD 'PM ，将△EQN 沿QN 翻折得到ΔE 'QN ，若AM ＝3DM ，BC ＝8，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD '+FE '的最小值．16．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，将边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为α．过点D 作DF BC ⊥于点F ，过点B 作BE ⊥直线B D '于点E ，连接EF ．【探索发现】(1)填空：当60α︒=时，EBB ∠'= °；EFDB '的值是 ； 【验证猜想】(2)当0360α︒︒<<时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】(3)在（2）的条件下，若AB =BDE 是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF 的长．17．四边形ABCD 、点E 在直线BC 上，将ABE △翻折得到AFE △，点B 的对应点为点F 恰好落在直线DE 上，直线AF 交直线CD 于点G ．图1 图2(1)如图1、当四边形ABCD 是矩形时，求证：DA DE =；(2)如图2，当四边形ABCD 是平行四边形时，求证：ADG ∽DFG ；(3)若四边形ABCD 是平行四边形，且B 为锐角，:3:2BE CE =，请直接写出:AF GF 的值．18．在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长； (2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．19．在△ABC 和△AEF 中，∠AFE ＝∠ABC ＝90°，∠AEF ＝∠ACB ＝30°，12AE AC =，连接EC ．点G 是EC 中点，将△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图1，若E 恰好在线段AC 上，AB ＝2，连接FG ，求FG 的长度；(2)如图2，若点F 恰好落在射线CE 上，连接BG ，证明：GB AB GC =+； (3)如图3，若AB ＝3，在△AEF 旋转过程中，当12GB GC -最大时，直接写出直线AB ，AC ，BG 所围成三角形的面积．20．如图，在正方形ABCD 中，点P 为CB 延长线上一点，连接AP ．(1)如图1，连接PD ，若60PDC ∠=︒，4=AD ，求tan APB ∠的值；(2)如图2，点F 在DC 上，连接AF ．作APB ∠的平分线PE 交AF 于点E ，连接DE 、CE ，若60APB ∠=︒，PA PC +=．求证：DE 平分ADF ∠；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 为AP 的中点，点M 为平面内一动点，且AQ MQ =，连接PM ，以PM 为边长作等边PMM '△，若2BP =，直接写出BM '的最小值．21．在边长为ABCD 中，点N 为BA 延长线上一点，连接DN ．(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明：DN BN+=；(3)如图3，当∠AND＝45°，点P为正方形内一任意点，连接BP，CP，DP，NP，当BP+CP+DP取最小值时，直接写出2PN的值．参考答案：1．(1)证明：AE AF ⊥，90EAF ∴∠=︒，四边形ABC 都是矩形，90BAD ABC ABF D ∴∠=∠=∠=∠=︒，EAF BAD ∴∠=∠，FAB DAE ∴∠=∠，90ABF D ∠=∠=︒，ADE ∴∽ ABF ．(2)①如图，作GH BF ⊥于H ．90GHF C ∠=∠=︒，//GH EC ∴，FG GE =，FH HC ∴=，22EC GH y ∴==，20DE EC CD AB +===，220x y ∴+=，110(020)2y x x ∴=-+<<． ②∵2413EC BG =， ∴可以设24EC k =，13BG k =，∵2EC GH =，∴12GH k =，∴BH =∴Ⅰ.510FH CH k ==+，∴1010FB k =+， ∵1102y x =-+， ∴2024x k =-，∵△ADE ∽△ABF ， ∴AD AB DE BF=， 即：102020241010k k =-+， 解得：1529k =， ∴22029x =； Ⅱ. ()()1111242EBG ECB BFE ECB S S S S S a b a b b a =+=+=-+-△△△△，1010FB k =-， 可得：102020241010k k=--， 解得：1519k =， ∴2019x =． 综上所述，220202919x =或． (3)如图，连接BE ，设DE =a ，CD=BC =b ，易证ADE ABF ≌，可得：==BF DE a ，∴)2222220a a b b a ab b b b DE DC ⎛⎫=-+-=+= ⎪⎝⎭=舍，∵2S b =，14S S =，∴2222b b a ab =--，∴220a ab b +-=， ∴210a a b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：)a b =舍，∴DE DC ． 2．(1)解：由题意可知：=-==BD AB AD当DP ⊥BP 时，由垂线段最短知DP 的长最小，如下图所示：∵∠B =45°，∠DPB =90°，∴△BPD 为等腰直角三角形，∴3==DP ， 故DP 的最小值是3．(2)解：过点D 作DM ⊥BC 于点M ，则DM ＝MB ＝3，分两种情况讨论： 情况一：当Q 点在BC 左侧时，如下图所示：由旋转得，DQ=DP ，∠PDQ =90°，∴∠QPD =45°，∵∠BPQ =15°，∴∠BPD =30°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ；情况二：当Q 点在BC 右侧时，如下图所示：∵∠QPD =45°，∠BPQ =15°，∴∠BPD =60°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ，综上所述，BP 的值为33．(3)解：分别过点Q 、P 作AB 的垂线，垂足分别为点G 、H ，则BH=PH ，∠QGD =∠PHD =90°，∴∠QDG +∠DQG =90°，∠PDH +∠QDG =90°，∴∠DQG =∠PDH ，∵PD=QD ，∴△DGQ ≌△PHD （AAS ），∴QG=DH ，DG=PH ，∵△BDQ 的面积为3，∴132⋅=BD QG 且BD =∴DH QG ==分两种情况讨论：情况一：当点Q 在BC 左侧时，如上图所示：DG=PH=BH=BD+DH =∴1tan 4QG BDQ DG ∠===； 情况二：当点Q 在BC 右侧时，如下图所示：DG=PH=BH=BD-DH =∴1tan2QG BDQ DG ∠===； 综上所述：1tan 2BDQ ∠=或14． 3．（1）如图，连接AE ，∵BA=BC，且∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，∵PE=P A，且∠APE=α=60°，∴△APE为等边三角形，∴∠P AE=60°，AP=AE，∴∠BAC−∠P AC=∠P AE−∠P AC，∴∠BAP=∠CAE；在△BAP和△CAE中，AB ACBAP CAE AP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABP≌ΔACE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，∵BD⊥AC，BA=BC，∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∴∠ABP=∠ACE=30°，∴∠ACE+∠ACB=90°，∴BC⊥CE．故答案为：BP=CE，BC⊥CE；(2)（2）CEBP，BC⊥CE；理由：连接AE，由题意可知：ΔABC、ΔAPE均为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠P AE=45°，AC AE AB AP==∴∠BAP+∠P AD=∠CAE+∠P AD，即∠BAP=∠CAE；又∵AC AE AB AP=， ∴ΔBAP ∽ΔCAE ，∴CE CA BP BA==∠ACE =∠ABP ， ∵AB =BC ，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠CBD =∠ACB =45°=∠ACE ，∴∠BCE =∠BCA +∠ACE =45°+45°=90°，∴BC ⊥CE ，∴BC ⊥CE ，CE BP ；(3)（3）CE =2或14．如图，当点P 在BD 上时，连接AE ，∵AB =8，∴AD =BD ，∵AP∴在Rt ΔAPD 中，PD ，∴BP由（2）知：CE BP ，∴CE ；如图，当点P 不在BD 上时，连接AE ，同理可得DP∴BP∴CE ．综上：CE 的长为2或14．4． (1)CM =，45解法提示：∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． 由旋转知，90APM ∠=︒，即AC PM ⊥．易知DM AD CD ==，∴45ACM CMD ∠=∠=︒，∴DCM △为等腰直角三角形，∴CM ． ∵1122PE AB AC CD ===，∴CM =．(2)一定成立.证明：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，连接AE ，如图，则45EAC EAB ∠=∠=︒． ∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． ∴45AEP PAE ∠=∠=︒.∵PA PM =，90APM ∠=︒，∴APM △是等腰直角三角形，∴45PAM ∠=︒，∴EAC PAM ∠=∠，∴EAP CAM ∠=∠，∵2AE AC =，2AP AM =， ∴AE AP AC AM =， ∴~AEP ACM △△，∴45ACM AEP ∠=∠=︒，CM AC PE AE=∴CM =． (3)AC PE11． 解法提示：当PCM △是等边三角形时，分两种情况讨论．①当点P 在BC 上方时，如图，过点P 作PH CM ⊥于点H ，延长CM 交直线ED 于点F ．由（2）知45ACM ∠=︒，易得CDF 和PFH △均为等腰直角三角形． 设PH a =，则FH a =，CH =，∴CM =， 又由（2）知CM PE =∴PE ==，∵CF FH CH a =+=+，22AC CD ===，∴AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1AC PE ==． ②当点P 在BC 下方时，如图，连接AE ，同（2）易得~AEP ACM△△，∴PE APCM AM==ACM AEP∠=∠，∴PE=，45ACQ AED∠=∠=︒．过点P作PH CM⊥于点H，延长MC交直线ED于点Q．易得CDQ和PQH均为等腰直角三角形．设PH b=，则QH b=，CH=，∴CM，∴PE==．∵CQ QH CH b=-=，222AC CD==⨯=，∴AC b⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，∴AC1PE==．综上可知，ACPE11．5．(1)证明：如图4，连接DF，作DM⊥EF，垂足M．∵DM ⊥EF ，GE ⊥EF ，∴∠GEF ＝∠DMF ＝90°，∴DM ∥GE ，∴∠MDE ＝∠DEG ，∵DG ＝GE ，∴△GDE 是等腰三角形，∴∠GED ＝∠GDE ，∴∠GDE ＝∠EDM ，∵在△DAE 和△DME 中，90ADE MDE A DME DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△DME （AAS ），∴DM ＝AD ，AE ＝ME ，∵AD ＝CD ，∴DC ＝DM ，在Rt △DCF 和Rt △DMF 中，DF DF DM DC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DCF ≌Rt △DMF （HL ），∴CF ＝MF ，∴AE +CF ＝EM +MF ，∵EM +MF ＝EF ，∴AE +CF ＝EF ；(2)解：如图5，连接EK、ED．由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，∴∠ADE＝∠MDE＝12∠ADM，∠CDF＝∠MDF＝12∠CDM，∴∠EDF＝∠EDM+∠MDF＝12∠ADM+12∠CDM＝12∠ADC＝45°，∵∠EAK＝45°，∴∠EAK＝∠EDK，∴A、E、K、D四点共圆，∴∠EAD+∠EKD＝180°，∴∠EKD＝180°﹣∠EAD＝90°，∴∠EDK＝45°，∴△EDK是等腰直角三角形，DE2＝2DK2，∵S四边形AEKD＝S△ADE+S△KDE＝S△AEK+S△KDA，∴12AD•AE+12DK•EK＝12AK•AE•sin∠EAK+12AK•AD•sin∠DAK，∴AD•AE+DK2＝AK•AE+AK•AD∵DK2＝12DE2＝12（AD2+AE2），∴AD•AE+12（AD2+AE2AK•AE AK•AD，∴2AD•AE+AD2+AE2•AE•AD，∴（AD+AE）2AK（AD+AE），∵AD+AE≠0，∴AE+AD；(3)解：∵△BEF的周长为24，∴BE+EF+BF＝24，由（1）知AE +CF ＝EF ，∴BE +AE +CF +BF ＝24，∴AB +BC ＝24，∴AB ＝BC ＝12，即正方形ABCD 的边长为12，∴AC ＝由（2）知AE +AD ，∵AK ＝，∴AE +AD 16，CK ＝AC ﹣AK ＝＝∴AE ＝16﹣AD ＝4．∵AE ∥CD ，∴△AEP ∽△CDP ， ∴41123AP AE CP CD ===，∴CP ＝34AC ＝34×∴PK ＝CP ﹣CK ＝＝6．(1)证明：∵△BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，90ABC ∠=︒，∴旋转角为90°，即：∠FBE =90°，根据旋转的性质可得：BF =BE ，∠F =∠BEC ，∴∠F +∠BED =∠BEC +∠BED =180°，∴四边形BEDF 满足“直等补”四边形的定义，∴四边形BEDF 为“直等补”四边形；(2)①证明：如图1，过C 作CF ⊥BF 于点F ，四边形ABCD 为“直等补”四边形，AB =BC =5，CD =1，∴90,180ABC ABC D ∠=︒∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，BE AD ⊥，CF BF ⊥，90DEF ∴∠=︒，90CFE ∠=︒，∴四边形CDEF 是矩形，DE CF ∴=，1EF CD ==，90ABE A ∠+∠=︒，90ABE CBE +=︒∠∠，A CBF ∴∠=∠，90AEB BFC ∠=∠=︒，AB BC =，()ABE BCF AAS ∴∆≅∆，BE CF ∴=，AE BF =，DE CF =，BE DE ∴=，四边形CDEF 是矩形，1EF CD ∴==，ABE BCF ∆≅∆，AE BF ∴=，1AE BE ∴=-，设BE x =，则1AE x =-，Rt ABE △中，222(1)5x x +-=，解得4x =或3x =-（舍去），4BE ∴=；②如图2，延长CB 到点F ，使得BF =BC ，延长CD 到点G ，使得CD =DG ，连接FG ，分别与AB 、AD 交于点M 、N ，过G 作GH ⊥BC 交BC 的延长线于点H ，则5BC CF ==，1CD DG ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，FM CM ∴=，GN CN =，∴∆MNC 的周长CM MN CN FM MN GN FG =++=++=时取最小值，四边形ABCD 为“直等补”四边形，180A BCD ∴∠+∠=︒，180BCD HCG ∠+∠=︒，A HCG ∴∠=∠，又90AEB CHG ∠=∠=︒，ABECHG ∴∆∆， BE AE AB GH CH CG∴==， 5AB =，4BE =，3AE ∴=，4352GH CH ∴==， 解得85GH =，65CH =， 56+5FH FC CH ∴==，FG ∴=∴∆MNC 周长的最小值为7．(1)①∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，AB ＝CD ＝CB ，∠BCE ＝∠A ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE，∴AD﹣DF＝CD﹣DE，即AF＝CE，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF＝BE，在Rt△CBE中，点G是BE的中点，∴CG＝1BE，2BF，∴CG＝12BF；故答案为：CG＝12②①中线段CG与线段BF的数量关系仍然成立，证明：思路一：连接AC，记AC与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，连接GM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，∴CO⊥BD，CO＝DO＝BO，由①得：DE＝DF，设DE＝DF＝y，OG＝x，OE＝a，∵点G是BE的中点，∴EG＝BG＝a+x，OB＝OG+BG＝a+2x，∵OD＝OB，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即DE＝DF＝2OG，∵AC⊥BD，∠EDF＝90°，∴OA∥DF，∵DO＝BO，∴FM ＝BM ＝12BF ，DF ＝2OM ，∴OM ＝x ＝OG ，∵AC ⊥BD ，∴∠MOB ＝∠GOC ＝90°，∵OB ＝OC ，∴△MOB ≌△GOC （SAS ），∴CG ＝BM ＝12BF ，∴①中线段CG 与线段BF 的数量关系仍然成立；(2)过点C 作CN ⊥DB 于N ，连接GN ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝120°，∴DC ＝BC ，∠ADC ＝60°，∠A ＝∠BCD ＝120°，∠BDC ＝∠CBD ＝30°， ∴∠DCN ＝60°，∴DN ＝BN ＝12BD ， ∴CN BD = ∵点G 是BE 的中点， ∴12NG DE =，NG ∥DE ， ∴∠BNG ＝∠BDE ，∵∠BDE +∠BDF ＝90°，∠BNG +∠CNG ＝90°，∴∠BDF ＝∠CNG ，∵∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF ＝60°，∴DF，∴1DE NG DF == ∴NG CN DF BD=， ∵∠BDF ＝∠CNG ，∴△BDF ∽∠CNG ，∴CG CN BF BD = ∴BF ＝．故答案为：BF ＝．8．(1)如图1，作DM ⊥BC 于M ，∴∠BMD ＝90°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝15°，∴∠ABD ＝∠ABF ＝15°，∴∠DBM ＝45°，∴DM ＝BD •sin ∠DBM ＝2•sin45°=∴CD ＝2DM ＝；(2)CH =，理由如下：如图2，作HN //AB 交AC 于N ，作NM ⊥BC 于M ，∴∠DNH＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠NHC＝∠DNH﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠NHC＝30°，∴CH＝2HM＝2•（HN•cos∠NHC）＝2•（HN•cos30°）=，∵∠CDH+∠BFD12=∠DEF，∠CDH+∠BFD+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝120°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，∵∠AGD＝∠BGE，∴∠ADG＝∠ABF＝∠ABD，∵∠DBH＝∠ABC+∠ABD＝30°+∠ABD，∠BHD＝∠C+∠ADG＝30°+∠ABD，∴∠DBH＝∠DHB，∴DH＝BD，∴△ABD≌△NDH（AAS），∴HN＝AD，∴CH=；(3)如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，∴点P在⊙O上运动，作∠BCR ＝30°，作HN ⊥CR 于N∴HN 12CH = ∴PH +HN 最小时，P 、H 、N 共线，且PHN 过点O ，故作OQ ⊥CR 于Q 交AB 于T ，作BT ⊥OQ 于T ，∵∠ABC ＝∠BCR ＝30°，∴AB //CR ，∴OQ ⊥BT ，作OB 的垂直平分线交OT 于M ，∴OM ＝BM ，设BT ＝x ，∴OM ＝BM ＝2BT ＝2x ，MT =，∴2x +）2+x 2＝22，∴x =∴BT 2）x =∵TQ ＝BR 12=BC 12=⋅，∴OQ =∴P ′Q ＝OQ ﹣OP ′2，∵2PH +CH ＝2（PH 12+CH ）∴2PH +CH 的最小值是：4．9．(1)解：过E 点作EH ⊥AC 于H 点，如下图所示：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴∠HCE=45°，△HCE为等腰直角三角形，设HE=CH=x，∵1tan3∠==EHEACAH，∴AH=3x，∴AC=AH+CH=4x，∵∠B=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²=AB²+BC²，∴16x²=16+16，解得x(负值舍去)，∴EH=HC∴2==EC．(2)证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：∵FG AC，∠CFG=90°，且AC为对角线，∴∠FCG=∠FCM=45°，∴△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM=CG，2CG CF，∴BM=BC-CM=CD-CG=DG，∵AF=AB，∴AF=AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，AG AG AF AD，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG=DG，∴BM=FG，∵∠BAC=∠EAH=45°，∴∠BAE=∠F AH，∵FG⊥AC，∴∠AFH=90°，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE=FH，∵BM=BE+EM，FG=FH+HG，∴EM=HG，∵EC=EM+CM，CM=CG，∴．(3)解：如下图3所示，∵G为AD中点，∴GA=GD，∵将△GDH沿GH翻折得到△GPH，∴GD=GP，∴GA=GD=GP，∴动点P在以G点为圆心，GD为半径的劣弧PD上运动，如下图4虚线所示，当B、P、G三点不共线时，由三角形两边之差小于第三边可知：BP＞BG-GP，当且仅当B、P、G三点共线时有：BP=BG-GP，此时BP取得最小值，∵在(1)的条件下，正方形边长AD=4，∴AG=GD=GP=2，∴2216425BG AB AG，过P点作PM⊥AD于M点，则PM∥AB，∴△GMP∽△GAB，∴MP GPAB BG，代入数据：∴2 425 MP，∴455 MP，∴11458542255PADS AD PM．10．四边形BE ′FE 是正方形．理由如下：由旋转得，∠E ′＝∠AEB ＝90°，∠EBE ′＝90°，∵∠BEF ＝180°﹣∠AEB ＝90°，∴四边形BE ′FE 是矩形，由旋转得，BE ′＝BE ，∴四边形BE ′FE 是正方形．(2)CF ＝FE '，证明：如图2，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，则∠DGA ＝∠AEB ＝90°，∵DA ＝DE ，∴AG ＝12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠DAB ＝90°，∴∠BAE +∠DAG ＝90°，∵∠ADG +∠DAG ＝90°，∴∠ADG ＝∠BAE ，在△ADG 和△BAE 中 ADG BAE AGD AEB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BAE （AA S ），∴AG ＝BE ；∵四边形BE ′FE 是正方形，∴BE ＝FE ′，∴AG ＝FE ′，由旋转得，AE ＝CE ′， ∴12AE ＝12CE ′，∴FE ′＝12AE ＝12CE ′，∴CF ＝FE '．(3)如图3，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，∵BE ＝FE ′，CF ＝3，∴AE ＝CE ′＝FE ′+CF ＝FE ′+3＝BE +3，∵AE 2+BE 2＝AB 2，且AB ＝15，∴(BE +3)2+BE 2＝(15)2，解得，BE ＝9或BE ＝﹣12（不符合题意，舍去），∴AE ＝9+3＝12，由（2）得，△ADG ≌△BAE ，∴DG ＝AE ＝12，AG ＝BE ＝9，∴GE ＝AE ﹣AG ＝12﹣9＝3，∵∠DGE ＝90°，∴DE ＝11．(1)解：∵ABC 和DEF 都是等边三角形，∴60B DEF ∠=∠=︒，∵DEC B BDE ∠=∠+∠∴DEF CEF B BDE ∠+∠=∠+∠，∴CEF BDE ∠=∠；(2)解：命题：①⇒②．证明：如图，在BC 上取一点G ，使得BG BD =，连接DG ，FG ，取CG 中点H ，连接FH ，∵60B ∠=︒，BD BG =，∴BDG 为等边三角形，∴BD DG =，60BDG DGB ∠=∠=︒，又∵60EDF BDG ∠=∠=︒，∴BDE GDF ∠=∠，∵DE DF =，∴BDE GDF △△≌，∴60DGF B ∠=∠=︒，GF BE =，∴60FGC ∠=︒，又∵AB BC =，BD BG =，∴CG AD =，当2k =时，2AD BE =，∴2CG GF =，∵H 为CG 中点，∴HG HC FG ==，∴FGH 为等边三角形，∴FH GH HC ==，60FHG ∠=︒，∴30HCF HFC ∠=∠=︒，∴CF 平分ACB ∠，（结论②得证）(3)解：如图，过点E 作EM BD ⊥于点M ，连接CF ，∵12k =， ∴2BE AD =，又∵60ABC ∠=︒，∴12BM BE =， ∴BM AD =，∴2BE BM =，∴2DM AB BM AD AB BM BC BE CE =--=-=-=， ∵CEF BDE ∠=∠，DE EF =，∴DEM EFC △△≌，∴90FCE EMD ∠=∠=︒，即CF BC ⊥，作点A 关于直线CF 的对称点A '， ∴当A '，F ，B 三点共线时，AF BF +取得最小值．如图3，由轴对称可知：30A CF ACF '∠=∠=︒，AC A C '=，∴A C BC '=，120BCA '∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴30ABF CBF ∠=∠=︒，∴ABF CBF △△≌，∴90FAB FCB ∠=∠=︒，FA FC =，∴Rt FAD Rt FCE ≌，∴AD CE =，∴2BE BD AD ==， ∴123AD AD AB AD AD ==+． 12．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝DA ，∠B ＝∠DAN ＝90°， ∵DN ⊥AE ，∴∠AFN ＝90°，∴∠F AN +∠ANF ＝90°．∵∠ADN +∠ANF ＝90°，∴∠F AN ＝∠AND ，即∠BEA ＝∠AND ，∴在△ABE 和△DAN 中，BEA AND B DAN AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAN （AAS ）；(2)解：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴//AB CD ，AB ＝BC ＝CD ．∵E 为BC 中点，∴BE ＝CE ＝12BC ，同（1）得：△ABE ≌△DAN （AAS ）， ∴BE ＝AN ＝12BC ，∴AN ＝12AD ＝12CD ，∵//AB CD ，∴△CDM ∽△ANM ， ∴2CM CD AM AN==； ②过点C 作CM ⊥DN 于M ，如图所示：设AB＝AD＝CD＝2a，则BE＝a，在Rt ABE△中，由勾股定理得：AE=，同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），∴BE＝AN＝a，AE＝DN．∵∠DAN＝90°，DN⊥AE，∴AN ADAFDN⋅==，∴NF=．∵CM⊥DN，∴∠CMD＝90°＝∠DAN，∴∠DCM+∠CDM＝90°．∵∠CDM+∠NDA＝90°，∴∠DCM＝∠NDA，∴△CDM∽△DNA，∴CM DM CDDA NA DN==，即2CM DMa a==解得：CM=，DM=，∴MF DN NF DM=--==，∴1tan2MFMCFCM∠===．∵DN⊥AE，CM⊥DN，∴//AE CM，∴∠CFE ＝∠MCF ，∴tan ∠CFE ＝tan ∠MCF ＝12．13．(1)解：如图1，延长MN 交AB 于点G ，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，MN CD ∴∥，且12MN CD ＝，AC AB AD AE ＝，＝， CD BE ∴＝，12MN BE ∴=， 90NGB A ∠∠︒＝＝，MN BE ∴⊥． 故答案为：12MN BE MN BE ⊥＝，． (2)成立，理由如下：∴如图2，连接并延长CD 交BE 于点H ，延长NM 交BE 于点G ，90CAB DAE ∠∠︒＝＝，90CAD BAE DAB ∴∠∠︒-∠＝＝，AC AB AD AE ＝，＝，CAD BAE SAS ∴∆∆≌（），CD BE ACD ABE ∴∠∠＝，＝，∵点M 、N 分别是BD 、BC 的中点，12MN CD MN CD ∴∥，＝， 12MN BE ∴＝； 90BCH CBH BCH ABE ABC BCH ACD ABC ACB ABC ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠︒＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝， 90CHB ∴∠︒＝，CD BE ∴⊥，90NGB CHB ∠∠︒＝＝；MN BE ∴⊥．(3)如图3，AD 在ABC ∆内部，AE 在ABC ∆的外部，且四边形DEMN 是平行四边形，由（2）得，1122CD BE MN CD MN CD BE ⊥，∥，＝＝， DE MN ∥，180EDN DNM ∴∠∠︒＋＝，DNM CDN ∠∠＝，180EDN CDN ∴∠∠︒＋＝，∴C、D、E三点在同一条直线上，＝，∴∠︒BEC90222＝，DE AD∴，DE＝，DE MN∴＝＝＝＝，CD BE MN DE22AC＝，5222∴＝＋＝，BC5550由222CE BE BC＋＝得，2250＋）＋（）＝，解得AD；如图4，AD、AE都在△ABC的外部，且四边形DENM是平行四边形，设BE交AC于点O，90∠∠︒∠＝＝＋，＝，＝，CAD BAE CAE AC AB AD AE≌（），∴∆∆CAD BAE SAS∴＝，CD CE∵M、N分别为BD、BC的中点，∴∥，MN CD∵四边形DENM是平行四边形，∴∥，DE MN∴点E在CD上，ACD ABE COE AOB＝，＝，∠∠∠∠＋＝＋＝，∴∠∠∠∠︒90ACE COE ABE AOB90BEC ∴∠︒＝，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，1122MN CD BE ∴＝＝， 22BE CD MN DE ∴＝＝＝， 2DE ＝，BE CD ∴＝＝，由222CE BE BC ＋＝得，2250（）＋（）＝，解得AD综上所述，AD 14．(1)解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，∵AB =4，AD =，∴AD∴8BD =，tan AB ADB AD ∠==故答案为：8②由①得：tan ∠ADB =， ∴∠ADB =30°，∴∠ABD =90°﹣∠ADB =60°，∵∠A =90°，△AGE 为等腰三角形，∴∠AEG =45°，由折叠的性质得：∠GEH =∠ABD =60°，∴∠DEH =180°﹣∠AEG ﹣∠GEH =180°﹣45°﹣60°=75°，∴∠DHE =180°﹣∠DEH ﹣∠ADB =180°﹣75°﹣30°=75°，∴∠DEH =∠DHE ，∴DE =DH ，∴△DHE 是等腰三角形，故答案为：等腰；③∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠BCD =∠ADC =90°，CD =AB =4，∴∠DCF =90°，由②得：∠ADB =30°，∴∠BDC =90°﹣∠ADB =60°，∵DF ⊥BD ，∴∠BDF =90°，∴∠CDF =90°﹣∠BDC =30°，∴CF =∴S △ACF 12=CF ×AB =，； (2) 解：∵∠A =90°，AM =AB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠AMB =45°，AM =AB =4，BM =∵AD =1）AB 4，∴DM =AD ﹣AM ，∴BM =DM ，∴∠DBM =∠BDM 12=∠AMB =22.5°； (3)解：∵AD =N 为边AD 的中点，∴AN 12=AD 作点N 关于AB 的对称点N '，则AN '=AN ，∵∠BPC =90°，∴点P 在以BC 为直径的半圆O 上，连接ON '交AB 于Q ，交半圆O 于P ，则OP =OB 12=BC ，QN =QN '，此时PQ ＋QN 的值最小=PQ ＋QN '=PN '，∵∠N 'AQ =90°=∠OBQ ，∠AQN '=∠BQO ，AN '=BO∴△AQN '≌△BQO （AAS ），∴QN '=QO ，AQ =BQ 12=AB =2，∴QN QO '=∴PQ ＋QN =PN '=2QO ﹣OP即PQ ＋QN 的最小值为故答案为：．15．(1)解：∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，AB ＝AC ，∴AD ＝CD ＝12BC ＝4，AD ⊥BC ，∵sin ∠MCD ＝13，∴tan ∠MCD∴DM ＝CD •tan ∠MCD ＝4∴AM ＝AD ﹣DM ＝4在Rt △AMN 中，MN ＝sin sin 45AMAMANM ︒=∠(4＝2；(2)证明：如图1，连接BM 并延长交CN 于E ，∵∠BAC ＝∠MAN ＝90°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC ，即：∠BAM ＝∠CAN ，在△BAM 和△CAN 中，AB ACBAM CAN AM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM ≌△CAM （SAS ），∴∠MBA ＝∠ACN ，BM ＝CN ，∴点A 、B 、C 、E 共圆，∴∠BEC ＝∠BAC ＝90°，∴EM 2+CE 2＝CM 2，∵DM ∥CN ，∴△BDM ∽△BCE ， ∴12BMDMBD BE CE BC ===，∴CE ＝2DM ，EM ＝BM ，∴EM ＝CN ，∴4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图2，∵AD ＝CD ＝12BC ＝4，AM ＝3DM ，∴DM ＝1，AM ＝3，MN ＝NE ＝12MN∵MD ′＝DM ＝1，NE ′＝NE∴点D ′在以M 为圆心，1为半径的圆上，点E ′在以N 作点M 关于BC 的对称点G ，连接GN 交BC 于F ，交⊙N 于E ′，则FD '+FE '的最小，在Rt △AGN 中，AG ＝DG +AD ＝1+4＝5，AN ＝3，∴GN∵DF ∥AN ，∴△GFD ∽△GNA ，∴GF GD GN AG=， 15=，∴GF∴MF ＝GF ∴FD '+FE '＝MF ﹣MD ′+FN ﹣NE ′＝GF +FN ﹣NE ′﹣MD ′＝GN ﹣NE ′﹣MD ′，即：min ()1FD FE ''+=-． 16．(1)解：当60α︒=时，点B '与点C 重合，∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，∴//AD BC ，60CBA ︒∠=，∵BE CD ⊥，∴BE AB ⊥，即90ABE ︒∠=，∴9030EBB CBA ︒︒'=-∠=∠，在t R DFC △和Rt BEC △中，DC BC DCF BCE DFC BEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴()DFC BEC AAS △≌△，∵FC EC =，∵60ECB ︒∠=，∴30CFE CEF ︒∠=∠=，∴B CFE E B '∠∠=，∴EF BE =，假设=CE m，则BE ，=2BC m ，∴EF BE DB BC ==' 故答案为：30(2) 解：当0360α︒︒<<时，（1）中的结论仍然成立． 证明：如图，连接BD ，∵AB AD AB '==， ∴1(180)9022a a AB B ︒︒'-=-∠=，1180(120)3022a AB a D ︒︒︒⎡⎤=--=+⎣⎦'∠， ∴180180(90)(30)6022E a a B AB D AB B B ︒︒︒︒︒''=-∠-∠=---+='∠， ∴30EBB ︒'∠=， ∵11(180)3022CB ABC BAD D ︒︒==-=∠∠∠，∴C EB D B B =∠'∠，∴FB E B CBD FB B B B ''+∠=∠+∠'∠，即=B EBF B D '∠∠，∴cos BF DBF BD ∠==cos BE EBB BB '∠==' ∴BF BE BD BB ='， 又∵=B EBF B D '∠∠， ∴FBE DBB '△△∽，∴EF BE DB BB =='' (3)解：连接AC ，BD 交于点O ，∵AC BD ⊥，1602BAO BAD ︒=∠=∠，∴sin OB AB BAO =⋅∠∴BD =∴sin DE BE BD DBE ==⋅∠= 由（2）可知30EBB ︒'∠= ∴tan 2EB BE EBB ''=⋅∠=， 分两种情况：①如图，当点E 在线段DB '上时，。