2013.12.6 数学竞赛

2013中国数学奥林匹克成绩名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟 涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王 翔男深圳中学120 18刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾 超男格致中学114 24沈 澈男人大附中114 25金 辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈 成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李 爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李 笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄 开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占 玮男合肥一中102 41黄 迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学9945涂绪山男湖南师大附中99 46王柏然女衡水中学99 47张益深男清华附中99 48韩松奇男耀华中学96 49张 谦男成都市实验外国语学校96 50董方宏男复旦大学附属中学96 51杨羽轩男东北育才学校96 52刘 飚男湖南师大附中96 53张文瀚男石家庄二中96 54李艺轩男耀华中学93 55陈希睿男成都七中93 56尤润琪男复旦大学附属中学93 57张耿宇男上海中学93 58刘 畅男上海中学93 59姚金江男西安铁一中93 60唐彦涛男长沙市长郡中学93 61苏肇祺男厦门双十中学93 62于科屹男耀华中学90 63浦鸿铭男东北师大附中90 64孙胜扬男衡水中学90 65顾潇屹男重庆一中90 66康宇衡男重庆第八中学90 67沈剑豪男镇海中学87 68徐则驰男乐清市乐成公立寄宿学校87 69严正奇男江苏省靖江高级中学87 70李志远男江苏省天一中学87 71樊申祺男武钢三中87 72王梓仲男华南师范大学附属中学87 73邵春霖男耀华中学84 74牟文龙男省实验中学84 75周忠鹏男江苏省新海高级中学84 76杨昊霖男吉林一中84 77谌澜天男湖南师大附中84 78汪伟男男武钢三中84 79梁桢枭男重庆一中84 80薛钟行男北师大实验中学84 81苏启舟男北京市十一学校84 82张子函男宿城一中84 83张赛特男乐清市乐成公立寄宿学校81 84刘 畅男华东师范大学第二附属中学81 85黄若谷男湖南师大附中81 86何育泽男大庆一中81 87何 乐男深圳中学81 88赖泽华男泉州五中81 89黄熹之男福州一中81 90黄义鸣男重庆南开中学8191高子珺女北京四中81 92李兴远男北师大实验中学81 93陈湛江男乐清市乐成公立寄宿学校78 94张书茂男成都七中78 95王 琦男吉大附中78 96吴晨玮男东北师大附中78 97潘圣其男黄冈中学78 98陈 然女人大附中78 99李双平女人大附中78 100辛 未男耀华中学75 101徐炜杰男复旦大学附属中学75 102朱逸庭男复旦大学附属中学75 103薛宋恺男复旦大学附属中学75 104张翔宇男西安铁一中75 105李昕洋男东北育才学校75 106严靖凯男南京市外国语学校75 107余道骅女武汉二中75 108于鹏飞男哈师大附中75 109陆 禹男南宁二中75 110刘祝崧男北京四中75 111牛泽昊男合肥一中75 112张 骏男大连育明高中72 113徐博通男辽宁省实验中学72 114周 鑫男东北育才学校72 115鞠昊天男哈师大附中72 116张志鹏男石家庄二中72 117周智泽男铜陵市一中72 118薛越天男东北师大附中69 119王 乾男衡水中学69 120杨 策男石家庄二中南校69 121郭瀚民男华南师范大学附属中学69 122吴秉杰男福建师大附中69 123刘春晨男重庆南开中学69 124吴 铮男耀华中学66 125胡 浩男江西师大附中66 126车希明男南昌大学附中66 127刘思佳女吉林一中66 128周东若男长沙市雅礼中学66 129王奕凡男长沙市雅礼中学66 130黄 晃男长沙市雅礼中学66 131谢淳宇男武汉二中66 132孙 霏女华中师范大学一附中66 133李冠男男衡水中学66 134林植茂男广东实验中学66 135何婧铱女人大附中66 136袁晓璠女实验中学63137戴昕悦女上海中学63 138曹洪玮男辽宁省实验中学63 139安圣美女吉大附中63 140范博宇男东北师大附中63 141郑钥方男东北师大附中63 142徐超意男武钢三中63 143陆 石男深圳中学63 144陈昺弘男华南师范大学附属中学63 145高 峻男铜陵市一中63 152杨卓科男江苏省南菁高级中学63 146李心雨女上海中学60 147王高明男平遥中学60 148齐仁睿男历城二中60 149刘子博男大连市第二十四中学60 150周心涵男江西师大附中60 151汪昱东男南昌大学附中60 153郑迪文男东北师大附中60 154陈景林男福州一中60 155赵田杰男江苏省兴化中学57 156郝天泽男吉大附中57 157李忠羿男武汉二中57 158马 成男北师大实验中学57 159古瀚林男铜陵市一中57 160郑亦如女乐清市乐成公立寄宿学校54 161陈高翔男温州中学54 162刘倬瑞男西工大附中54 163张开来男长沙市长郡中学54 164商 亮男哈师大附中54 165张宏博男郑州一中54 166贾 浩男石家庄二中54 167王 琰女海南中学54 168蓝启骏男皇仁书院51 169李健辉男中华传道会安柱中学51 170许百楠男喇沙书院51 171童晗爽男乐清市乐成公立寄宿学校51 172李林骏男四川绵阳中学51 173袁 正男西安高新第一中学51 174李 越女山西大学附中51 175乐 慧女南昌大学附中51 176王俞涵男吉大附中51 177李崇文男邯郸一中51 178陈天聪男华南师范大学附属中学51 179计宇亮男芜湖一中51 180文肇亨男中华基督教会铭贤书院48 181张悦眉女复旦大学附属中学48 182程鹏宇男西安铁一中48183杨博文男江西师大附中48 184薛廉广男吉大附中48 185谢 天男东北师大附中48 186唐铭亮男长沙市长郡中学48 187冯标健男海南中学48 188李娇阳女甘肃省兰州第一中学48 189李君诚男龙岩一中48 190杨依灵女重庆一中48 191刘芷宁男重庆第八中学48 192彭泽昀男北京景山学校48 193孙 元男合肥一中48 194李 渊男西北师范大学附中48 195王浩旭男南开中学45 196欧宇哲男成都外国语学校45 197赵欣怡女成都七中45 198刘季青男四川绵阳中学45 199刘新阳男太原五中45 200白志豪男临沂第一中学45 201汤小涛男鹰潭一中45 202汪裕洲男景德镇二中45 203周 围男南京市外国语学校45 204邱天蓝男长沙市一中45 205欧阳王剑男长沙市雅礼中学45 206赵 昱男哈师大附中45 207李菁华男哈师大附中45 208张雨潇男邯郸一中45 209谷 健男马鞍山二中45 210张 力男鄂尔多斯一中42 211房 桢女大连市第二十四中学42 212钱 鑫男华中师范大学一附中42 213陈景发男泉州七中42 214陈洁锋男南安一中42 215秦翊宸男重庆第八中学42 216杨宇琛男北师大实验中学42 217牟卓群男台州中学39 218姜伊昇男复旦大学附属中学39 219王雨桐男西安铁一中39 220杨航远男南昌二中39 221陈章鑫男江西省抚州市临川一中39 222周开宇男海南中学39 223任 訸男贵阳市第一中学39 224韦中炜男南宁二中39 225王凡非男北京四中39 226薛雅菲女北大附中39 227牛启鑫男西工大附中36 228龚 昊男省实验中学36229张伟楠男东营胜利一中36 230孙占睿男内蒙古师大附中36 231赵国豪男东北育才学校36 232仝 睿男徐州市第一中学36 233伍培全男濠江中学33 234蔡 期男诸暨中学33 235欧阳惠雨男实验中学33 236高 炜男陕西师大附中33 237都汐滢女西工大附中33 238马 蓉女山西大学附中33 239潘 豪男深圳中学33 240何兰青男安庆一中33 241王诗雅女拔萃女书院30 242萧浩梁男教业中学30 243姜越鑫男曲靖一中30 244孟庆轩男新疆生产建设兵团第二中学30 245潘长在男耀华中学30 246杨帅泓男成都七中30 247房炜杰男寿光现代中学30 248王书泽男包头九中30 249傅瑞得男南京师范大学附属中学30 250王子路男哈尔滨第三中学30 251赵浩然男贵阳市第一中学30 252姚华东男贵阳市第一中学30 253张桢佩男西北师范大学附中30 254高晖胜男重庆第八中学30 255王季康男合肥八中30 256区智杰男培正中学27 257周昊天男培正中学27 258陈 诚男杭州二中27 259薛嘉炜男乐清市乐成公立寄宿学校27 260王宇晨男西工大附中27 261赵艺轩男西工大附中27 262崔 震男甘肃省兰州第一中学27 263王何叶女云南师大附中24 264杨亦君女华东师范大学第二附属中学24 265冯俊博男东北育才学校24 266王 南男吉大附中24 267赵浩天男郑州一中24 268吴 侃男柳州高级中学24 269马明智男重庆巴蜀中学24 270李佳颖女复旦大学附属中学21 271刘 浩男宁夏平罗中学21 272张浩林男大连市第二十四中学21 273秦 臻男郑州一中21 274陈朗天男拔萃男书院18275陈彦匡男圣保罗男女中学18 276刘冰露女新疆乌鲁木齐市第一中学18 277赵洛晨男新疆乌鲁木齐八一中学18 278陈冠溥男山西大学附中18 279林治荐男吉大附中18 280孙 焱男 郑州一中18 281方伟权男镜平学校（中学部）15 282林歆喆男青岛二中15 283高 乾男呼市三中15 284刘洛甫男重庆南开中学15 285杨 润男四川遂宁射洪中学12 286张 翔男西工大附中12 287李步选男长治二中12 288江相华男鹰潭一中12 289何润生男湖南师大附中12 290朱 旭男湖南师大附中海口中学12 291肖翰珅男重庆南开中学12 292曹喜萌男新疆乌鲁木齐市第一中学9 293赵 浩男民院附中9 294赵正泽男西工大附中9 295李正浩男西安交大附中9 296温 凯男莘县实验高中9 297杨 真男青海油田一中9 298陈 诺男宁夏银川二中9 299林祖迪男贵阳市第一中学9 300任志杰男甘肃省兰州第一中学9 301余春雨男重庆南开中学9 302苏俊文男濠江中学6 303李东权男培正中学6 304崔越今男南开中学6 305王 翼男青海师大附中6 306刘泽洋男青海湟川中学6 307孟伍德男宁夏唐徕回中6 308胡锦伟男黄冈中学6 309谭咏霖女濠江中学3 310范潇阳男曲靖一中3 311曾慧楠女林芝一中3 312王 钦男黄冈中学3 313张 珂男甘肃省兰州第一中学3 314张展豪男伊利沙伯中学0 315杨宁峰男青海师大附中0 316唐 煜男宁夏银川二中0 317王浩博男鄂尔多斯一中0。

2013年河北省高中数学竞赛试题一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分．将每小题的答案填在题后的横线上． 1.已知集合1{1,10,}10A =，{lg ,}B y y x x A ==∈，则A B = ． 2.已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = ．3.某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖），且相应奖项获奖的概率是以a 为首项、2为公比的等比数列，相应的奖金依次是以700元为首项、140-元为公差的等差数列，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元．4.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ．5.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 6.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．7.12100l l l 、、、为100条共面且不同的直线，若其中编号为*4()k k N ∈的直线互相平行，编号为41k -的直线都过定点A ．则这100条直线的交点个数最多为 ．8.过正四面体1234A A A A 的四个顶点分别作四个相互平行的平面1234αααα、、、，若每相邻两个平面间的距离都为1，则该四面体的体积为 ．二、解答题：共6道小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分14分）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2cos 2a C b c =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的取值范围．10. （本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB a =，2AC =，11AA =．点D 在棱11B C 上，且11:1:3B D DC =.（Ⅰ）证明：1BD AC ⊥； （Ⅱ）当α为何值时，二面角11B A D B --的大小为60？1A D 1B 1C BCA11. （本题满分14分）已知数列{}n a 满足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其离心率为12，通径长为3. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，12I I 、分别为1212F BF F AF ∆∆、． （ⅰ）求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值p ； （ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CM CB ⋅为常数？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．13. （本题满分15分）已知函数21()()()2xf x a ex a R =-+∈．（Ⅰ）若()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若在区间(0,)+∞上，函数()f x 的图象恒在曲线2x y ae =下方，求a 的取值范围．14. （本题满分15分）设4322534A x x x x =+--+，求使A 为完全平方数的整数x 的值．2013全国高中数学联赛河北区预赛解答 1.﹛1﹜ 提示：{lg ,}B y y x x A ==∈=﹛y |y=lg 1，y=lg10, y=lg 1/10 ﹜ =﹛0,1,﹣1﹜, 所以A∩B=﹛1﹜。

2013年浙江省高中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3． 已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A.B.D. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =--5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）。

A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25正方形27. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。

A.4 B. 6 C. 7 D 88. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。

A.2C.2D.49. 设函数234()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则函数()y f x =的极大值点为（ ） A.0x = B. 1x = C. 2x = D. 3x = 10. 已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）。

取V x, y, z x2 2 y2 3z2 1 ，曲面 : x2 2 y2 3z2 1 ………
（3 分）

x u
10
0
为求最小值，作变换

y

v

2
，则
x, y, z u,v, w

0
1 2
0 1， 6
z

w
3
大学生数学竞赛(高等数学)
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类）
一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）
n
1.求极限 lim 1 sin 1 4n2 . n
解 因为 sin 1 4n2 sin 1 4n2 2n sin
解 方程两边对 x 求导，得 3x2 6xy 3x2 y 6 y2 y 0 …………………（1 分）
故
y

xx 2y
2y2 x2
，令
y

0 ，得
xx 2y

0
x

0或
x

2 y
………（2
分）
将 x 2 y 代入所给方程得 x 2, y 1，
（2 分）
由于级数
n1
1 n2

收敛，从而由比较判别法的极限形式
n1
f

1 n

收敛。……（3 分）
四、（满分 12 分）设
f
x
,
f x
0a x b ，证明
b
sin
a
f
x dx

2 m