奥数-2006年广东省初中数学竞赛初赛试卷(含答案)-

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处. 故选C ．2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） （A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又8)763)(147(22=--+-n n a m m ，所以 ()()8737=-+a ， 解得 9-=a ．故选C ．3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 答：B ．解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得22222)()(a c a c AC -+-=， 22222)()(a c a c BC -++=，222AB BC AC =+，所以 22222)(c a c a -=-．由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．故选B ．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，解得k ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B ．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC的值为（ ） （A ）132- （B ）32（C ）23+ （D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，m r QC +=，m r QA -=．（第5题图）在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅． 即 QD m m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QO DO QD +=，即 22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=． 所以，231313+=-+=-+=m r m r QA QC ． 故选D ．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，a c -＝2005．若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ． 答：5013．解：由a ＋b ＝2006，a c -＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011． 因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002． 于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 .答：320-． 解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得m xm m x 2323-=， 解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ， 由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-b c a . 8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x 3685040046=⨯米．于是400)1(400800)1(368>--+-x x ，且 x x 400)800368(-+≤400， 所以，5.12≤x ＜5.13．故x =13，此时1045013400=⨯=t ．9．已知<01a <，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于 ．答：6． 解：因为 122902303030a a a <+<+<<+<，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝1130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝0， 1230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1330a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1， 所以 130110<+<a ， 1≤3012+a ＜2． 故18≤a 30＜19，于是6≤a 10＜319，所以[]10a =6． 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef ＝bcdef a 82． 记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得)71208(1250a x -⨯=．因为0≤x ≤510，所以0≤)71208(1250a -⨯＜510， 故71128＜a ≤71208． 因为a 为整数，所以a ＝2．于是82500)271208(1250=⨯-⨯=x ．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知a bx =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．解：（1）12x =满足条件． ……………………5分（2）因为abx =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，所以ab<-121<，即1)a b<1)a <．当a ＝1时，1)13(1)12(⨯-<<⨯-b ，这样的正整数b 不存在．当a ＝2时，2)13(2)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝1，此时12x =． 当a ＝3时，3)13(3)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝2，此时23x =．当a ＝4时，4)13(4)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在．当a ＝5时， 5)13(5)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，此时35x =．当a ＝6时， 6)13(6)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在． 当a ＝7时， 7)13(7)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，4，5，此时73=x ，74，75． 当a ＝8时， 8)13(8)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝5，此时58x =．所以，满足条件的所有分数为12，23，35，73，74，75，58．…………………15分 12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ①及 542--=a a bc ， ② 求a 的取值范围．解法1：由①－2×②得2()24(1)0b c a -=+>，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分又当a ＝b 时，由①，②得221614c a a =++， ③ 245ac a a =--， ④将④两边平方，结合③得()()2222161445a a a a a ++=--，化简得3224840250a a a +--=，故 2(65)(425)0a a a +--=， 解得65-=a ，或4211±=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．……………15分解法2：因为14162222++=+a a c b ，542--=a a bc ，所以)54(214162)(222--+++=+a a a a c b ＝4842++a a ＝2)1(4+a ，所以 )1(2+±=+a c b ．又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程054)1(222=--++±a a x a x ⑤的两个不相等实数根，故0)54(4)1(422>---+=∆a a a ，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分另外，当a ＝b 时，由⑤式有054)1(222=--++±a a a a a ，即05242=--a a ，或056=--a ，解得4211±=a ，或65-=a ． 所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．…………………15分13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ． 求证：PE AC CE KB ⋅=⋅．证明：因为AC ∥PB ，所以KPE ACE ∠=∠．又P A 是⊙O 的切线，所以KAP ACE ∠=∠．故KPE KAP ∠=∠，于是△KPE ∽△KAP ，所以 K P K EK A K P=， 即 2K P K E K A =⋅．………………5分由切割线定理得2KB KE KA =⋅，所以， KP ＝KB ．…………………10分因为AC ∥PB ，所以，△KPE ∽△ACE ，于是PE KPCE AC=， 故P E K BC E A C=， 即 P E A C C E K B⋅=⋅． …………………15分14．2006个都不等于119的正整数200621,,,a a a 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数12119,,,b b b ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数1b ，12b b +，…，12119b b b +++， ①若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为1i b b ++和j b b ++ 1（1≤i ＜j ≤119），于是1119i j b b +++，从而此命题得证．…………………5分对于200621,,,a a a 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为102119162006+⨯=，所以200621a a a +++ ≥391010223816=+⨯． ②…………………10分取1201904238119====a a a ，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，200621a a a +++ 的最小值为3910．…………………15分。

2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C．2．已知，，且，则的值等于（）（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9答：C．解：由已知可得，．又，所以，解得．故选C．3．Rt△ABC的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为，则（）（A）（B）（C）（D）答：B．解：设点A的坐标为，点C的坐标为（），则点B的坐标为，由勾股定理，得，，，所以．由于，所以，故斜边AB上高．故选B．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过次后，可得（＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（＋1）×360°．因为这（＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（＋1）－34＝－33（个），而这些多边形的内角和不少于（－33）×180°．所以（＋1）×360°≥34×60×180°＋（－33）×180°，解得≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B．5．如图，正方形内接于⊙ ，点在劣弧上，连结，交于点．若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）（第5题图）答：D．解：如图，设⊙ 的半径为，，则，，．在⊙ 中，根据相交弦定理，得．即，所以．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知，，为整数，且＋＝2006，＝2005．若＜，则＋＋的最大值为．答：5013．解：由＋＝2006，＝2005，得＋＋＝＋4011．因为＋＝2006，＜，为整数，所以，的最大值为1002．于是，＋＋的最大值为5013．7．如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c 是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于 .（第7题图）答：．解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则．由△ADG ∽ △ABC，可得，解得．于是，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了米．于是，且≤ ，所以，≤ ＜．故x=13，此时．9．已知，且满足（表示不超过x的最大整数），则的值等于．答：6．解：因为，所以，，…，等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以＝＝…＝＝0，＝＝…＝＝1，所以，≤ ＜．故≤ ＜，于是≤ ＜，所以 6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为．根据题意，有81× ＝．记，于是，解得．因为≤ ≤ ，所以≤ ＜，故＜≤ ．因为为整数，所以＝2．于是．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知， , 为互质的正整数，且≤ ，．（1）试写出一个满足条件的x；（2）求所有满足条件的．解：（1）满足条件．……………………5分（2）因为， , 为互质的正整数，且≤ ，所以，即．当a＝1时，，这样的正整数b不存在．当a＝2时，，故b＝1，此时．当a＝3时，，故b＝2，此时．当a＝4时，，与互质的正整数b不存在．当a＝5时，，故b＝3，此时．当a＝6时，，与互质的正整数b不存在．当a＝7时，，故b＝3，4，5，此时，，．当a＝8时，，故b＝5，此时．所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．…………………15分12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式①及，②求的取值范围．解法1：由①－2×②得，所以．当时，．…………………10分又当＝时，由①，②得，③，④将④两边平方，结合③得，化简得，故，解得，或．所以，的取值范围为且，．……………15分解法2：因为，，所以＝＝，所以．又，所以，为一元二次方程⑤的两个不相等实数根，故，所以．当时，．…………………10分另外，当＝时，由⑤式有，即，或，解得，或．所以，的取值范围为且，．…………………15分13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：．（第13题图）证明：因为AC∥PB，所以．又PA是⊙O的切线，所以．故，于是△KPE∽△KAP，所以，即．………………5分由切割线定理得，所以， KP＝KB．…………………10分因为AC∥PB，所以，△KPE∽△ACE，于是，故，即．…………………15分14．2006个都不等于119的正整数排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数，，…，，①若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和（≤ ＜≤ ），于是，从而此命题得证．…………………5分对于中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为，所以≥ ．②…………………10分取，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，的最小值为3910．…………………15分。

全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为 A, B, C, D 的四 个选项，其中有且只有一个选项是正确的•请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、 多填或错填都得0分)1如果a =-2 2，那么1 ―1的值为【C 1 2 -- 3 +a2、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2• y 2乞2x - 2y 的整数点坐标(x ，y )的个数为【 】 (A ) 10( B ) 9(C ) 7( D ) 5解：B 解法一：x 2y^2x 2y 化为 x-1 2• y -1 2乞 2因为 X 、y 均为整数，因此 X-1 2■ y —1 2=0 或 x_1 2■ y_1 2=1 或 x_1 2■ y_1 2=2解法二：x 2 • y 2空2x 2y 化为x -1 2• y -1 2乞2它表示以点(1,1 )为圆心，.2为半径的 圆内，画图可知，这个圆内有 9 个 (0,2 )、(0,1 ) (0,0 ), (1,0 ), (1,1 ), (1,2 ), (2,0 )，(2,1 )，(2,2 )X =1\=0 x = 2 X=1 X =1'x = \ = 2 'x = 0或€或€ ■:y=1 7=1 y=1 y = 0 y = 2 片2 y = 2 ：y =分别解得 x = 2 所以共有9个整点y = 0(A) -.2(B ) '.2(C )(D ) 2 2 解：时 3 a^ 2:九「2"，2 九「2 12"因此原式=23、如图，四边形 ABC 冲，AC, BD 是对角线，△ ABC 是等边三角形.• ADC = 30 , AD = 3 , BD = 5，则CD 的长为【】 (A ) 3 2(B ) 4(C 2.5( D ) 4.5解：图，以CD 为边作等边△ CDE 连接AE 由于AC = BC, CD = CE,NBCD =NBCA+NACD =NDCE+NACD =NACE .所以 △ BCD^AACE BD = AE .又因为.ADC =30，所以 ADE =90 .在 Rt △ ADE 中, AE =5，AD =3, 于是 DE= AE -AD =4，所以 CD = DE = 4 .4、如果关于x 的方程x 2- px -q =0 (p, q 是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是【 】解:C a b a^(a 1)(b 1)-1v计算结果与顺序无关(A ) 5(B ) 6(C ) 7 (D ) 8解：Cv p 、q 是正整数二 p =1 <p = 1 € p =1 "1』 "1』 * p = 2 Q=1, 、q=2， —3， 0=4， 、q=5， W=1 ,.5、黑板上写有1,然后删去a , b , 并在黑板上写上数 a ab ，贝燈过99次操作后，黑板上剩下的数是(A ) 2012(B ) 101(C ) 100 (D 99解得 q ::: 9 -3pp =21 12 '3 —共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取 2个数a, b ,1002p + J p 2 + 4q:二 p 4q 0 , X 1 X 2 二-q ：： 0 .正根为 31 1 1•••顺次计算得：(1 1)(3 1)-仁 2 , (2 1)(3 1)—仁3 , (3 1)(； 1)-仁 4 ,2 3 41(99 1)( 1) -1 =100100、填空题(共5小题，每小题7分，共35 分)6、如果a, b, c 是正数，且满足a b ^9 , —丄 =1°，那么旦 •丄 •二a+b b+c c+a 9 b+c c+a a+b的值为 ________ .7 在—1— - -^― =10 两边乘以 a b 9 得 3 ―—=10 即a b b c c a 9a b b c c a」 「旦=7a b b c c a7、如图，。

初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解甲内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。

下面再介紹两种方法1． 添项拆项。

是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x 4+x 2+1 ②a 3+b 3+c 3－3abc①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式解：x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1－x 2=(x 2+1)2－x 2=(x 2+1+x)(x 2+1－x) ②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2 解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2 ＝（a+b ）3+c 3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c 2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc)例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1① 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）② 解：x 3－11x+20＝x 3－16x+5x+20＝x （x 2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5)③ 分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a 5+a+1＝a 5－a 2+a 2+a+1=a 2(a 3－1)+ a 2+a+1=a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1)2． 运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

2006年广东省实验区初中学业考试数 学 试 卷说明：1．全卷共8页，考试时间为90分钟，满分120分。

2．答卷前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在密封线左边的空格内。

3．答题可用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔按各题要求答在试卷上，但不能用铅笔或红笔。

4．考试结束时，将试卷交回。

一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母写在题目后面的括号内。

1．下列计算正确的是( )A ．-1+1=0B ．- 2-2=0C ．3÷31=1 D ．52=10 2．函数11+=x y 中自变量x 的取值范围是 ( ) A ．x ≠-l B ．x >-1 C ．x =- 1 D ．x <- 13．据广东信息网消息，2006年第一季度，全省经济运行呈现平稳增长态势．初步核算，全省完成生产总值约为5206亿元，用科学记数法表示这个数为 ( ) A ．5．206×102亿元 B ．0．5206×103亿元C ．5．206× 103亿元D ．0．5206×104亿元4．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是 ( ) A ．AC ⊥BD B ．OA=0C C ．AC=BD D ．A0=OD5．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是 ( ) A ．O B ． 6 C ．快 D ．乐二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请把下列各题的正确答案填写在横线上。

6.在数据1，2，3，1，2，2，4中，众数是 .7．分解因式2x 2-4xy +2y 2= ________.8．如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠0=65°，∠C=20°， 则∠OAD= ．9．化简777-= _______．10．如图，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短D 路线的长度是 (结果保留根式)． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)11．求二次函数y=x 2- 2x-1的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．12．按下列程序计算，把答案写在表格内：(1)填写表格：(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．13．如图所示，AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、 F ，且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．14．妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平．(1)你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少?(2)妞妞决定这次出“布”手势，妞妞赢的概率有多大?(3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少?15．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点0；(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；(3)以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5．四、解答题(本大题共4小题。

2006年广东省初中毕业生学业考试数 学 试 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．下列计算正确的是（ ） A ．110-+= B ．220--= C ．1313÷= D ．2510= 2．函数11y x =+中自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x ≠- B ．1x >- C ．1x =- D ．1x <- 3．据广东信息网消息，2006年第一季度，全省经济运行呈现平稳增长态势．初步核算，全省完成生产总值约为5206亿元，用科学记数法表示这个数为（ ）A ．25.20610⨯亿元 B ．30.520610⨯亿元C ．35.20610⨯亿元 D ．40.520610⨯亿元 4．如图所示，在ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，下列式子中一定成立的是（ ） A ．AC BD ⊥ B ．OA OC = C ．AC BD = D ．AO OD =5．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（ ） A ．0 B ．6 C ．快 D ．乐 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 6．在数据1，2，3，1，2，2，4中，众数是 ． 7．分解因式22242x xy y -+= ．8．如图，若OAD OBC △≌△，且6520O C ==，∠∠ ，则OAD =∠ ．9= ． 10．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB CD ，分别是两底面的直径，AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）． 三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 11．求二次函数221y x x =--的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标． 12．按下列程序计算，把答案写在表格内：（1）填写表格：（213请你找出线段14（1（2BABCDEO B（3）妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少？15．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC △与A B C '''△是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O ；（2）求出ABC △与A B C '''△的位似比；（3）以点O 为位似中心，再画一个111A B C △，使它与ABC △的位似比等于1.5．四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）16．为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项： A ．1.5小时以上 B ．1~1.5小时 C ．0.5~1小时 D ．0.5小时以下图1、2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： （1）本次一共调查了多少名学生？（2）在图1中将选项B 的部分补充完整；（3）若该校有3000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．17．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．18．直线1y k x b =+与双曲线2k y x=只有一个交点(12)A ，，且与x 轴、y 轴分别交于B C ，两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线、双曲线的解析式． 19．已知：O 的半径是8，直线PA ，PB 为O 的切线，A ，B 两点为切点，（1）当OP 为何值时，90APB =∠．（2）若50APB =∠，求AP 的长度（结果保留三位有效数字）．（参考数据sin 500.7660= ，cos500.6428= ，tan 50 1.1918= ，sin 250.4226= ，cos 250.9063= ，tan 250.4663= ）五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）20．如图，在ABCD 中，60DAB =∠，点E ，F 分别在CD，AB的延长线上，且AE AD =，CF CB =． （1）求证：四边形AFCE 是平行四边形．图2图1选项ED COA BF（2）若去掉已知条件的“60DAB =∠”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由．21．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于217cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于212cm 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，7460OA AB COA === ，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且58BD AB =，求这时点P 的坐标．2006年广东省初中毕业生学业考试数学试卷参考答案一、1．A2．A3．C 4．B 5．B 二、6．2 7．22()x y - 8．959110．三、11．解：221y x x =--2212x x =-+-2(1)2x =--.∴二次函数的顶点坐标是(12)-，． 设0y =，则2210x x --=， 2(1)20x --=，2(1)21x x -=-=，1211x x ==．二次函数与x轴的交点坐标为(1．12．解：（1）（2）2()(0)n n n n n +÷-≠ n n=-1n n =+-1=．13．解：OE OF =．证明：连结OAOB ，， OA OB ，是O 的半径，OA OB OBA OAB ∴=∴=，∠∠．又AE BF = ， OAE OBF ∴△≌△，OE OF ∴=．14．解：（1）13 （2）13 （3）13。

第一节一次函数例题剖析例1 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区））已知直线L•经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为_______．分析：先求出直线解析式y=kx+b，再抓住平移k不变，进行求解．解：因为过（2，0）和（0，4）的直线L解析式是y=-2x+4，设向左平移2•个单位得到的直线L′解析式是y=-2x+m，将它与x轴的交点坐标（0，0）代入得m=0，所以直线L′的解析式为y=-2x．评注：直线y=kx+b平移时k值不变，上下平移时再抓住与y轴的交点变化，•左右平移时再抓住与x轴的交点变化就能得解．例2 （2000年全国初中数学竞赛试题）一个一次函数图象与直线y=54x+954平行，•与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（-1，-25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）．（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个分析：根据所求一次函数图象与直线y=54x+954平行且过点（-1，-25），即可确定该函数的解析式，然后采用列举法进行分析．解：设与直线y=54x+954平行的直线的方程为y=54x+k，又（-1，-25）在直线y=54x+k上，得k=-954．因为A、B为y=54x-与x轴、y轴的交点，所以A（19，0），B（0，-954）．又y=54x-954=54（x-19），0≤x≤19，x-19必须是4的整数倍，只有当x=3，7，11，15，19时，y为整数，因此在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有5个，选B．评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，•即求该函数解析式（二元一次方程）在某范围内的整数解．例3 （2005年富阳市初二数学竞赛）不论k为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-•（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是_______．分析：该题是“直线束”问题，可在k•的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，再证明其他直线必过此点．解：因为已知函数是一次函数，故k+3≠0，分别令k=1与k=2，得41003590x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩ ,即两特殊直线相交于点A （2，3）， 而当x=2时，函数式为2（2k-1）-（k+3）y-（k-11）=0．整理得（k+3）y=3（k+3），所以k 取不等于-3的任何值时，y=3．当x=2时，必得y=3．不论k 为何值该一次函数的图象恒过定点（2，3）．评注：利用“不论”性，取k 的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x 、•y 的值，再验证所求得的x 、y 值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，这是解决这类问题常用的方法．此外本题还可利用一次方程ax=b 有无数解的条件来解，同学们不妨一试．例4 （2005年富阳市初二数学竞赛）在一次函数y=-x+3的图象上取一点P ，•作PA ⊥x 轴，垂足为A ，作PB ⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为94，则这样的点P 共有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 分析：设点P 的坐标为（x ，-x+3），则矩形OAPB 的面积表示为│x │×│-（-x+3）│=│x 2-3x │=94，然后分两种情况进行讨论．解：选（B ）．评注：本题通过数形互动，结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数，这是解决这类问题常用方法．此外，由点的坐标表示距离时，不能忘记加绝对值．例5 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）设0<k<1，关于x 的一次函数y=kx+1k （1-x ），当1≤x ≤2时的最大值是（ ）（A ）k （B ）2k-1k （C ）1k （D ）k+1k分析：y=（k-1k）x+1k，∵0<k<1，∴k-1k=(1)(1)k kk+-<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k-1k+1k=k．解：选（A）．评注：对于自变量有限范围的一次函数极值问题，应结合一次函数的增减性来确定．例6 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）设直线y=kx+k-1•和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k的交点，再求出这两条直线与x•轴围成的三角形面积S k 的表达式．解：因为方程组1(1)y kx ky k x k=+-⎧⎨=++⎩的解为11.xy=-⎧⎨=-⎩所以这两直线的交点（-1，-1），直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴的交点分别是（1,0),(1k kk k--+，0），S k=12|-1|×|11k kk k---+|=12|1k-11k+|．所以S1+S2+S3+…S2006=12（1-12+12-13+13-14+…+11111003)(1)20062007220072007-=⨯-=．评注：本题在求解过程中的关键是：将1(1)k k+拆成1k-11k+，这是常用技巧．例7 （1997年江苏省初中数学竞赛试题）有一个附有进、出水管的容器，•每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某时该开始5min内只进水不出水，•在随后的15min内既进水又出水，得到时间x（min）与水量y （L）之间的关系如图．若20min后只放水不进水，则这时（x≥20时）y与x的函数关系是________．分析：据图象可知：开始5min，只进水不出水，共进了20L水，每分钟进水4L．•随后的15min内既进水又出水，实际水量增加了35-20=15L，每分钟水量增加1L，•说明出水管每分钟出水3L．因为水量是固定的，每分钟3L，所以20min后，总水量为35L．解：y=35-3（x-20），即y=-3x+95（20≤x≤953）．评注：仔细审题，观察图象，应弄清进水时，每分钟4L；既进又放时，每分钟净增水1L，故每分钟放水为3L，这是解本题的关键．例8 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））在平面直角坐标系中，已知A（2，•-2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：分三种情况来讨论，即：如图所示，①以O为顶点的等腰三角形有：△OP1A，△OP2A；②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A；③以P为顶点的等腰三角形是△OP4A．因此，•满足条件的点P有4个．解：选（D）．评注：分类讨论是重要的数学思想方法，竞赛题中经常出现需要分类的考题，•这类问题的求解，既要有扎实的基础知识，也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化这方面的训练．例10 （2006年四川省数学竞赛初二初赛试题）平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P 是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．分析：根据几何模型，得出点A关于y轴对称点A′的坐标，再由待定系数法求出直线A′B解析式，就可得解．解：如图，点A关于y轴对称的点为A′（-2，-1），设过A′、B•两点的直线的一次函数为y=kx+b，有1233k bk b-=-+⎧⎨=+⎩解得4535kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=45x+35．当x=0时，y=35，即直线A′B与y轴交于点（0，35），•可得所求点P的坐标为（0，35）．评注：本题把几何中最短距离问题代数化，解题关键是应用轴对称和一次函数相关知识来求解．此类问题还可改为在x轴上或在坐标轴上求一点P，同学们不妨思考一下．巩固练习一、选择题：1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）164．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限．（A）一（B）二（C）三（D）四7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9．要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x（）．（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-14（B）m>5 （C）m=-14（D）m=511．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．（A）k<13（B）13<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<1312．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条13．已知abc≠0，而且a b b c c ac a b+++===p，那么直线y=px+p一定通过（）（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（D）第一、四象限14．当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（）（A）-4<a<0 （B）0<a<2（C）-4<a<2且a≠0 （D）-4<a<215．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个16．一次函数y=ax+b（a为整数）的图象过点（98，19），交x轴于（p，0），交y轴于（•0，q），若p为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数17．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数．当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个18．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个19．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a<b）；乙上山的速度是12a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），•那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t （分）与离开点A的路程S（米）•之间的函数关系的是（）20．若k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限答案:1．B 2．B 3．A 4．A5．B 提示：由方程组y bx ay ax b=+⎧⎨=+⎩的解知两直线的交点为（1，a+b），•而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D•中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于a+b，故图D不对；故选B．6．B 提示：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，∴0,kb<⎧⎨>⎩对于直线y=bx+k，∵0,kb<⎧⎨>⎩∴图像不经过第二象限，故应选B．7．B 提示：∵y=kx+2经过（1，1），∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y 随x 的增大而减小，故B 正确．∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C 错误．∵k<0，b=•2>0，∴其图像经过第二象限，故D 错误．8．C 9．D 提示：根据y=kx+b 的图像之间的关系可知，将y=-32x•的图像向下平移4个单位就可得到y=-32x-4的图像． 10．C 提示：∵函数y=（m-5）x+（4m+1）x 中的y 与x 成正比例， ∴5,50,1410,,4m m m m ≠⎧-≠⎧⎪⎨⎨+==-⎩⎪⎩即 ∴m=-14，故应选C ． 11．B 12．C 13．B 提示：∵a b b c c a c a b+++===p ， ∴①若a+b+c ≠0，则p=()()()a b b c c a a b c+++++++=2； ②若a+b+c=0，则p=a b c c c+-==-1， ∴当p=2时，y=px+q 过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p 过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p 一定过第二、三象限．14．D 15．D 16．A 17．C 18．C 19．C20．A 提示：依题意，△=p 2+4│q │>0， ||0k b p k b q k b +=-⎫⎪=-⇒⎬⎪≠⎭k ·b<0，一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小000k k b <⎫⇒<⇒⇒⎬>⎭一次函数的图像一定经过一、二、四象限，选A ．。

2006中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天每题21分一、 实数12,,,n a a a 满足120n a a a +++= ，求证：()122111max ()3n ki i k n i na a a -+≤≤=≤-∑．证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可．记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=- ，则k k a a =，1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=---- ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++ ，把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++= 可得11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++= ．由Cauchy 不等式可得()2211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------11222111k n k n i i i i i i d ---===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31213n i i n d -=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑， 所以 ()122113n ki i i na a a -+=≤-∑ ．二、正整数122006,,,a a a （可以有相同的）使得200512232006,,,a a a a a a 两两不相等．问：122006,,,a a a 中最少有多少个不同的数？解 答案：122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故122006,,,a a a 中互不相同的数大于45．下面构造一个例子，说明46是可以取到的． 设1246,,,p p p 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a 如下：11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p -- ， 14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p ，这2006个正整数满足要求．所以122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．三、正整数m ，n ，k 满足：23mn k k =++，证明不定方程22114x y m +=和 22114x y n +=中至少有一个有奇数解(,)x y ．证明 首先我们证明如下一个引理：不定方程22114x y m += ①或有奇数解00(,)x y ，或有满足00(21)(mod )x k y m ≡+ ②的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．引理的证明 考虑如下表示(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,02y ≤≤，则共有()112m ⎛⎫⎡++> ⎪⎢⎣ ⎪⎣⎦⎝⎭个表示，因此存在整数12,0,x x ⎡∈⎣，12,0,2y y ⎡∈⎢⎣⎦，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，这表明(21)(mod )x k y m ≡+， ③这里1221,x x x y y y =-=-。

2006年全国九年级义务教育初中中考数学联赛决赛试卷一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,用S ,P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；1S ,1P 分别表示四边形EFGH 的面积和周长,设1S K S =,11PK P =,则下面关于K ,1K 的说法正确的是( ) A.K ,1K 均为常值B.K 为常值,1K 不为常值C.K 不为常值,1K 为常值D.K ,1K 均不为常值 【解析】 B .如图,易知14AEH ABD S S =△△,14CFG CBD S S =△△,故14AEH CFG S S S +=△△.同理,14BEF DHG S S S +=△△.故112S S =,即K 2=为常值.又易知1P AC BD =+,特别的,若取邻边长分别为1、2的矩形,则1K =；再取邻边长分别为1、3的矩形,则1K ==故1K 不是常值.GHFEDCBA2.已知m 为实数,且sin α,cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根,则44sin cos αα+的值为( )A.29B.13C.79 D,1 【解析】 C .由根与系数的关系知1sin cos 3αα=,则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-⋅=.3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.4a ≥C.24a <<D.04a <<【解析】 D .当0a <时,无解；当0a =时,0x =,不合题意；当0a >时,方程化为21x a x =±-,整理得20x ax a -+=或20x ax a +-=.这两个方程的判别式分别为214a a =-△和224a a =+△.∵20>△,原方程仅有两个不同实根,所以2140a a =-<△,从而04a <<.4.设0b >,2220a ab c -+=,2bc a >,则实数a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b c a >> B.c a b >> C.a b c >> D.b a c <<【解析】 A .由2bc a >及0b >,知0c >.由222ab a c =+及0b >,知0a >.由2220a ab c -+=,知()2220b c a b -=-≥,从而b c ≥.若b c =,由2220a ab c -+=知a b =,从而a b c ==与2bc a >矛盾,故b c >. 由22b bc a >>,知b a >；又由22222a c ab a +->,知c a >.5.设a ,b 为有理数,且满足等式a +则a b +的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 B .3==,所以3a +=+即()(310a b -+-. 由a 、b 为有理数,则3a =,1b =,即4a b +=.6.将满足条件“至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,……,则这列数中的第158个数为( ). A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【解析】 C .在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和包括数字0的18种情形.显然,满足条件的两位数仅有4个；满足条件的三位数共有9763⨯=个；满足条件千千位数字为1的四位数共有71018188⨯+⨯=个.因为46388155++=,则从小到大的第155个满足条件的数为1980.下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.函数220062008y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 . 【解析】 0.原方程可转化为求方程2200620080x x -+=的所有实根之和.若实数0x 为方程的根,则其相反数0x -也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为0,即与x 轴交点的横坐标之和为0.2.在等腰Rt ABC △中,1AC BC ==,M 是BC 的中点,CE AM ⊥于E 交AB 于F ,则MBF S =△ .【解析】 112.如图,作BG BC ⊥交CF 的延长线于点G ,易证Rt Rt ACM CBG △≌△.故BG CM =,12CBG ACM ABC S S S =-△△△.由易证BFM BFG △≌△,故BGF BMF CMF S S S ==△△△.从而1113612MBF CBG ABC S S S ===△△△.MGF ECBA3.x 取值为 .【解析】 83.在直角坐标系xOy 中,设()0,2A -,()8,4B ,(),0P x ,有PAPB则10PA PB AB +=≥.当且仅当A 、P 、B 三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A 、P 、B 三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCP AOP △∽△,有2CP BCPO AO==.从而,1833OP OC ==.故原式取最小值时,83x =.4.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点坐标分别为()00O ，、()1000A ，、()100100B ，、()0100D ，.若正方形OABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足:POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,就称格点P 为“好点”,则正方形OABC 内部“好点”的个数为 .(注:所谓“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 【解析】 如图,过点P 分别作PD 、PE 、PF 、PG 垂直于点OA 、AB 、BC 、OC 于点D 、E 、F 、G .易知100PF PD +=,100PE PG +=.由POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,知PD PF PE PG ⋅=⋅,即()()100100PD PD PG PG -=-.化简为()()1000PD PG PD PG -+-=,故PD PG =或100PD PG +=,即PD PG =或PG PF =. 于是P 为对角线OB 上的点或P 为对角线AC 上的点.因此,当且仅当P 为对角线OB 或对角线AC 内部的格点时,点P 为好点.易知OB 内部有99个好点,AC 内部也有99个好点,又知对角线OB 与AC 的交点也为好点,于是满足条件的好点个数为99991197+-=个.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.如图,D 为等腰ABC △底边BC 的中点,E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.又已知90EDF ∠=o ,1ED DF ==,5AD =.求线段BC 的长.DEC FBA【解析】 如图,过点E 作EG AD ⊥于点G ,过点F 作FH AD ⊥于点H ,则EDG DFH ∠=∠.故Rt Rt EDG DFH △≌△.设EG x =,DG y =,则DH x =,FH y =,且221x y +=.又Rt Rt AEG AFH △∽△,则EG AGFH AH=.即55x y y x -=+. 化简为()225x y y x +=-. 由上述两式解得35x =,45y =. 又因为Rt Rt AEG ACD △∽△,则CD EGAD AG=. 故35554755EG CD AD AG =⋅=⨯=-.所以,1027BC CD ==.FEDC B A2.在平行四边形ABCD 中,A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ,点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心.⑴ 求证:O 、E 、1O 三点共线； ⑵ 求证:若70ABC ∠=o ,求OBD ∠的度数.【解析】 ⑴如图,连结OE 、OF 、1O A 、1O E .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以ABE ECF ∠=∠.又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心,所以OE OF =,11O A O E =,122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠. 于是有1OEF O EA △∽△.故1OEF AEO ∠=∠,所以O 、E 、1O 三点共线.⑵连接OD 、OC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以,CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠. 故CE CF =.又因为点O 为CEF △的外心,所以OE OF OC ==. 则OCE OCF △≌△,有OEC OFC OCF ∠=∠=∠.故OEB OCD ∠=∠.又BAE EAD AEB ∠=∠=∠,则EB AB DC ==. 因此OCD OEB △≌△.所以,ODC OBE ∠=∠,OD OB =,ODC OBC ∠=∠,OBD ODB ∠=∠,OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠.故12OBD ABC ∠=∠.DO 1O FEDCBA3.设p 为正整数,且2p ≥.在平面直角坐标系中,连结点()0A p ，和点()0B p ，的线段通过1p -个格点()111C p -，,…,()i C i p i -，,…,()111p C p --，. 证明:⑴ 若p 为索数,则在原点()00O ，与点()i C i p i -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点；⑵ 若在原点()00O ，与点()1i C i p -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点,则p 为索数.【解析】 ⑴用(),P a b 表示OAB △内的格点,a 、b 为正整数.假设结论不成立,则点P 位于某条线段1OC 内部(如图9).过点P 作PE OB ⊥于点E ,过点i C 作i C F OB ⊥于点F .由i OEP OFC △∽△,知b p ia i-=,其中11i p -≤≤. 易知1a i <≤,1b p i <-≤. 由b p ia i-=知()a b i ap +=,从而|i ap . 因为p 为质数,且11i p <-≤,则i 与p 互质.从而|i a ,故i a ≤,这与a i <矛盾. 所以,假设不成立,从而原结论成立. ⑵假设结论不成立,即p 为合数.故p xy =,其中x 、y ∈N ,且2,1x y p -≤≤.因为OAB △内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到1p -之间的任何整数,故必存在一格点(),P a b ,满足a b x +=,于是()a b y xy p +==,即ay by p +=.因此点(),ay by 必是()11,1C p -,()22,2C p -,…,()11,1p C p --中的一个点,设为(),i C i p i -.从而有ya i =,by p i =-,故b p ia i-=. 所以,点(),P a b 在线段i OC 内部,即在线段i OC 上除端点外还有其他格点,这与已知矛盾. 故原结论成立.。

2006年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、EF 、GH 、CD 、DA 的中点，用S,P 分别表示四边形的面积和周长；S 1,P 1分别表示四边形的面积和周长.设,1S S K =,11P P K =则下面关于K 、K 1的说法中，正确的是（ ）. A. K 、K 1均为常值 B. K 为常值，K 1不为常值C. K 1为常值，K 不为常值D. K 、K 1均不为常值2.已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程 3x 2-mx +1=0的两根.则sin 4α+cos 4α的值为（ ）.A. 29B. 13C. 79D. 13.关于x 的方程a x x =−|1|2仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）. a A. a > 0 B. a ≥4 C. 2<a <4 D. 0<a <44. 设b > 0，，则实数a 、b 、c 的大小关系是（ ）.,0222=+−c ab a 2a bc >A.b>c> a B. c >a >b C. a >b >c D. b >a >c5. a 、b 为有理数，且满足等式 324163++⋅=+b a ,则a +b 的值为（ ）.A. 2B. 4C. 6D. 86.将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，，40，60，80，100，104，….则这列数中的笫158个数为（ ）.A. 2000B. 2004C. 2008D. 2012二、填空题（每小题7分，共28分）1.函数的图像与x 轴交点的横坐标之和等于________. 2008||20062+−=x x y2.在等腰Rt ΔABC 中，AC=BC=1,M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F .则S ΔMBF =________.3.使16)8(422+−++x x 取最小值的实数x 的值为________.4.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O (0,0)，A (100,0)，B (100,100)，C (0,100). 若正方形OABC 内部（边界及顶点除外）一格点P 满足： S ΔPO A ·S ΔPBC = S ΔPAB ·S ΔPOC , 就称格点为“好点”.则正方形内部好点的个数为_______.(注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)第二试(A)一、（20分）已知关于x 的一元二次方程无相异两实根.则满足条件的有序正整数组（a ，b ）有多少组?0)994()32(2222=++++++b a x b a x二、（25分）如图，D 为等腰ΔABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.已知∠EDF =90º，ED = DF =1，AD =5，求线段BC 的长.三、（25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为ΔCEF 、ΔABE 的外心.求证：（1）O 、E 、O 1三点共线；（2）∠OBD =21∠ABC .第二试（B）一、（20分）同A 卷第一题.二、（25分）同A 卷第二题.三、（25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为ΔCEF 、ΔABE 的外心.（1）求证：O 、E 、O 1三点共线；（2）若21∠ABC =70º，求∠OBD 的度数.第二试（C）一、（20分）同A 卷第二题.二、（25分）同B 卷第三题.三、（25分）设p 为正整数，且p ≥2.在平面直角坐标系中，点A (0,p )和点B (p ,0)的连线段通过p-1个格点， C 1 (1, p −1)，…， C i (i ,p −i )，…，C p −1 (p −1,1). 证明： （1）若p 为质数，则在原点(0，0)与点C i (i ，p −i ) 的连线段OC i （i =1，2，…，p −1）上除端点外无其他格点；（2）若在原点O (0，0)与点C i (i ，p −i )的连线段OC i （i =1，2，…，p −1）上除端点外无其他格点，则p 为质数.2006年全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1.B如图，易知 S ΔAEH =41S ΔABD , S ΔCFG=41S ΔCBD ， 于是 S ΔAEH + S ΔCFG = 41S ABCD , 同理，故S ΔBEF + S ΔDHG = 41S ABCD ,故S ΔEFGH = 21S ABCD 即 k =2为常值. 又易知，P 1=AC +BD,特别地，若取邻边长分别为1、2的矩形，则k 1=;53 再取邻边长分别为1、的矩形，则k 1=,104故k 不是常值. 2. C 由根与系数的关系知 sin α·cos α =31 ， 则有sin 4α+cos 4α = (sin 2α+cos 2α)2 -2(sin α·cos α)2 = ,97 3. D当a<0时，无解； 当a=0时，x=0; 不合题意；当a >0时，原方程化为a x x ±=−12整理得 x 2-ax+a=0（1）或x 2+ax-a=0（2）因为方程（2）的判别式⊿2=a 2+4a>0, 即方程（2）有两个不同实根。