2020年福建宁德高三一模数学试卷(理科)

2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科数学试卷（5月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第1题5分设集合A={x|ln⁡x<0}，B={x|x⩽−1}，则A∩∁R B=（）．A. {x|−1<x<1}B. {x|0<x<1}C. {x|−1⩽x<1}D. {x|x⩾1}2、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第2题5分设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，a7=13，则S9=（）．A. 36B. 70C. 72D. 1443、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第3题5分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第7题5分干支是天干（甲、乙、⋯、癸）和地支（子、丑、⋯、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入N=1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出x=5，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（）．六十干支表（部分）A. 己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥4、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第4题5分(1x +1)(x −2)5的展开式中，x 3的系数是（ ）．A. −50B. −30C. 50D. 305、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第5题5分某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A. 3πB. 9πC. 12πD. 36π6、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第6题5分已知θ∈[−π2,0)，且√3sin⁡2θ=cos⁡2θ+1，则cos⁡θ=（）．A. 0B. 12C. √32D. 0或√327、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第7题5分在复平面内O为坐标原点，复数z1=i(√3+i)，z2=1√3−i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为（）．A. 512πB. 12πC. 712πD. 1112π8、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第8题5分函数f (x )=ax −ln⁡x ⩾0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是（ ）．A. a ∈[1e,+∞)B. a ∈[0,+∞)C. a ∈[1,+∞)D. a ∈(−∞,e]9、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第9题5分已知O 为坐标原点，AB 是圆C:(x −3)2+(y −4)2=1的直径．若点Q 满足|OQ →|=2，则QA →⋅QB →的最小值为（ ）．A. 2B. 3C. 8D. 1510、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第10题5分方程：2(x −1)(x −3)=y(e x−2+e 2−x )的曲线有下列说法：①该曲线关于x =2对称；②该曲线关于点(2,−1)对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A. ②③B. ①④C. ②④D. ①③11、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第11题5分如图，四边形ABCD 为正方形，四边形EFBD 为矩形，且平面ABCD 与平面EFBD 互相垂直．若多面体ABCDEF 的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）．A. 16πB. 12πC. 8πD. 6π12、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第12题5分双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点．P 为曲线C 右支上的点，点M 在∠F 1PF 2外角平分线上，且F 2M →⋅PM →=0．若△OF 2M 恰为顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）．A. 2√3B. 4√33C. 2D. √3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第13题5分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第13题5分若抛物线经过点(−1,12)，(2,2)，则该抛物线的标准方程为 ．14、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第14题5分记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，a n+12=a n ⋅a n+2，若a 1=1，S 3=7，则a 5= ．15、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第15题5分宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用m ，n 标注）．目前得知这组数据的平均值为58，则方差S 2最大时m −n 的值为 ．16、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第16题5分已知函数f(x)={x ⋅e x+1,x ⩽0,2x x 2+1,x >0.若关于x 的不等式f 2(x)−2af(x)+2+a ⩽0的解集非空，且为有限集，则实数a 的取值集合为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第17题12分如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =3√3，CD =3，cos⁡∠BDC =−17，∠C =π3．(1) 求sin⁡∠DBC ．(2) 求AD 的长．18、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第18题12分如图，在棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为平行四边形，DD ′=CD =4， AD =2，∠BAD =π3，且D ′在底面上的投影H 恰为CD 的中点．(1) 过D ′H 作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由．(2) 若点P 满足D ′P →=λD ′C ′→，试求λ的值，使二面角P −BH −A 为3π4．19、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第19题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上的一动点，△PF1F2面积的最大值为2．(1) 求椭圆C的方程．(2) 直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，点A(2√2,0)，证明：直线PA与直线QA关于x轴对称．20、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第20题12分2019~2020学年江苏南京建邺区中华中学高二下学期期中第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x−a2x2+(a−1)x(a∈R)．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 求证：6x(1−ln⁡x)+2x3−3x2−51−x2<0．21、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第21题12分某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布N(μ,3.22)，其中μ近似为样本平均数x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）．(1) 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元．(2) 现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”．若P n 表示A 的概率，P n =aP n−1+14P n−2+bP n−3（n ⩾3，a ，b 为常数），且P 0=P 1=P 2=1．① 求P 3，P 4及a ，b ．② 判断并证明数列{P n }从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义． （参考数据：P (μ−σ<X <μ+σ)≈0.6826，P (μ−2σ<X <μ+2σ)≈0.9544，P (μ−3σ<X <μ+3σ)≈0.9973）四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第22题10分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第22题10分在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos⁡αy =sin⁡α（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(1,π2)，直线l 的极坐标方程为ρcos⁡θ+2ρsin⁡θ−8=0．(1) 求A 的直角坐标和l 的直角坐标方程．(2) 把曲线C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的√3倍，得到曲线C 2，B 为C 2上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第23题10分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第23题10分已知函数f(x)=|x −m|+|x +1|，m ∈N ∗．若存在实数x 使得f(x)<3成立．(1) 求m 的值．(2) 若α，β>0，(4α−1)(β−1)=m ，求α+β的最小值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】x2=2y;14 、【答案】16;15 、【答案】−8;16 、【答案】{a|a⩾3或a⩽−3};17 、【答案】 (1) 3√314．;(2) AD=7．;18 、【答案】 (1) 当点N为棱BC的中点，证明见解析．;(2) λ=1．;19 、【答案】 (1) x24+y22=1．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 当a ⩾0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+∞)； 当a =−1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无减区间；当a <−1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,−1a )和(1,+∞)，单调递减区间为(−1a ,1)； 当−1<a <0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(−1a ,+∞)，单调递减区间为(1,−1a )． ;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元． ;(2)① P 3=78，P 4=1316，a =12，b =18． ② 从第三项起数列{P n }单调递减，证明见解析．;22 、【答案】 (1) 直角坐标为(0,1)，直角坐标方程为：x +2y −8=0． ;(2) √5．;23 、【答案】 (1) m =1．;(2) 94．;。

2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|0}A x lnx =<，{|1}B x x =-„，则(R A B =I ð ) A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|11}x x -<„D ．{|1}x x …2．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9(S = ) A ．36B ．70C ．72D ．1443．（5分）干支是天干（甲、乙、⋯、癸）和地支（子、丑、⋯、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为()六十干支表（部分）5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉戌壬癸亥A ．己巳B ．庚午C ．壬戌D ．癸亥4．（5分）51(1)(2)x x+-的展开式中，3x 的系数是( )A ．50-B ．30-C ．50D ．305．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π6．（5分）已知[,0)2πθ∈-3sin 2cos21θθ=+，则cos (θ= )A ．0B ．12C 3D ．03 7．（5分）在复平面内O 为坐标原点，复数1(3)z i i =，123z i=-对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为( ) A ．512π B ．12πC ．712π D ．1112π 8．（5分）函数()0()f x ax lnx a R =-∈…恒成立的一个充分不必要条件是( ) A ．1[,)a e∈+∞B ．[0a ∈，)+∞C ．[1a ∈，)+∞D ．(a ∈-∞，]e9．（5分）已知O 为坐标原点，AB 是22:(3)(4)1C x y -+-=e 的直径．若点Q 满足||2OQ =u u u r ，则QA QB u u u r u u u rg的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．1510．（5分）方程：222(1)(3)()x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数． 其中正确的是( )A．②③B．①④C．②④D．①③11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为()A．16πB．12πC．8πD．6π12．（5分）双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在12F PF∠外角平分线上，且2F M PM=u u u u u r u u u u rg．若△2OF M恰为顶角为120︒的等腰三角形，则该双曲线的离心率为()A．23B．43C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若抛物线经过点1(1,)2-，(2,2)，则该抛物线的标准方程为．14．（5分）记nS为正项数列{}na的前n项和，212n n na a a++=g．若11a=，37S=，则5a=．15．（5分）宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用m，n标注）．目前得知这组数据的平均值为58，则方差2S最大时m n-的值为．16．（5分）已知函数12,0()2,01xx e xf x xxx+⎧⎪=⎨>⎪+⎩g„，若关于x的不等式2()2()20f x af x a-++„的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。

2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5- 14．12 15．35- 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17． 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，……………………………… 2分又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分 所以12n a n = ．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++．………………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． （1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．…………………… 1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分 所以//AF MN ，……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．………………………5分 （2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ， 矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量， 因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--， 所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．………………………………12分解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ． 又矩形ABCD 中，M 为AB 中点， 所以//,AM DF AM DF =， 所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ， 所以//MF 平面AED ．………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ， 所以//FN 平面AED ．……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分 又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ， 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH ∴⊥又EG GH G =，AH ∴⊥平面EGH ， EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分 因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -……………1分 又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos 2A =0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--=⋅……………………1分 整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b ⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE . 则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==. 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分 即2244+8AD b b =+，所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分 ∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，………………………………8分设1t =，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分 （注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分） 21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a ea a ++-+=，即1(1)(2)0a ea +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 （2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e+=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。

福建省宁德市2020年（春秋版）高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合,则集合（）A . （-2，+∞）B . （-2，3）C . [1,3)D . R2. （2分）复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则||等于（）A . 5B .C .D .3. （2分）(2017·海淀模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入a=﹣7，d=3，则输出的S为（）A . S=﹣12B . S=﹣11C . S=﹣10D . S=﹣64. （2分）(2019·恩施模拟) 在区间上随机选取一个实数，则事件“ ”发生的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 已知函数满足，，且（），则的值（）A . 小于1B . 等于1C . 大于1D . 由的符号确定6. （2分）(2017·长沙模拟) 已知数列{an}满足：对于∀m，n∈N* ，都有an•am=an+m ，且，那么a5=（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·山南模拟) 已知向量，满足| |=2| |≠0，且关于x的函数f（x）= x3+ | |x2+ • x在R上有极值，则与的夹角的取值范围为（）A . （，π]B . [ ，π]C . （0， ]D . （， ]8. （2分） (2019高二下·温州期中) 如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足为的中点，，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018高二下·温州期中) 已知函数和均为上的奇函数,的最大值为 ,那么的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（0，3），曲线C：x2+6y+y2=0，那么平面内到曲线C的距离与到点A的距离之差的绝对值为3的点的轨迹是（）A . 一条直线，一条射线，一条线段B . 二条射线C . 一条直线，一条线段D . 一条直线，一条射线11. （2分）双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝（）A .B . 2C . 3D . 612. （2分）对于下列四个命题,；,；,．其中的真命题是（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为________．14. （1分）若关于的三次方程的个实根为，那么 ________.15. （1分）(2017·巢湖模拟) 已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD的外接球，BC=3，AB=2 ，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·菏泽期中) 一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2020·淄博模拟) 下面给出有关的四个论断：① ；② ；③ 或；④ .以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若▲，则▲（用序号表示）并给出证明过程：18. （10分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据： =9.32， =40.17， =0.55，≈2.646．参考公式：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．19. （10分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．（1）当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由；（2）若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．20. （10分） (2019高二下·上饶期中) 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，求直线的方程.21. （10分）(2019·怀化模拟) 设函数 .（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.22. （10分）(2017·广州模拟) 在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：（m 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=3cosθ；直线l与曲线C的交点为A，B．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求 + 的值．23. （10分）(2017·来宾模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B.C. D.2.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 36B. 70C. 72D. 1443.干支是天干甲、乙、、癸和地支子、丑、、亥的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为六十干支表部分567戊辰己巳庚午585960辛酉戌壬癸亥己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥4.的展开式中，的系数是A. B. C. 50 D. 305.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.6.已知，且，则A. 0B.C.D. 0或7.在复平面内O为坐标原点，复数，对应的点分别为，，则的大小为A. B. C. D.8.函数恒成立的一个充分不必要条件是A. B. C. D.9.已知O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，则的最小值为A. 2B. 3C. 8D. 1510.方程：的曲线有下列说法：该曲线关于对称；该曲线关于点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A. B. C. D.11.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为A. B. C. D.12.双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在外角平分线上，且若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为______．14.记为正项数列的前n项和，若，，则______．15.宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染分别用m，n标注目前得知这组数据的平均值为58，则方差最大时的值为______．16.已知函数，若关于x的不等式的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．求；求AD的长．18.如图，在棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，且在底面上的投影H恰为CD的中点．过作与BC垂直的平面，交棱BC于点N，试确定点N的位置，并说明理由；若点P满足，试求的值，使二面角为．19.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上的一动点，面积的最大值为2．求椭圆C的方程；直线与椭圆C的另一个交点为Q，点，证明：直线PA与直线QA关于x轴对称．20.已知函数．讨论函数的单调性；求证：．21.某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通年卡为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出单位：百元，并制成如图频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数同一组数据用该组区间的中点值作代表．若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续3人的旅游消费支出超出”若表示的概率，a，b为常数，且．求，及a，b；判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．参考数据：，，22.在直角坐标系xOy中，曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为．求点A的直角坐标和直线l的直角坐标方程；把曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，B 为上动点，求AB中点P到直线l距离的最小值．23.已知函数，，若存在实数x使得成立．求m的值；若，，，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由得，得，即，，则，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：等差数列的前n项和为，，，．故选：C．可得：，由此能求出结果．本题考查等差数列的求和，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：，；，；，；，；，；，；，；，；对应表格可知为己巳，故选：A．根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．4.答案：D解析：解：原式．故展开式含的项为：．故所求系数为30．故选：D．将第一个括号打开，分别与后面的二项式相乘，将问题转化为求后一个括号二项式展开式的4次项、3次项的问题求解．本题考查二项式的通项及其应用．要注意转化思想在解题中的应用，强调计算的准确性．属于基础题．5.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4．该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.答案：A解析：解：已知，且，，即，或不合题意，故选：A．由题意利用二倍角的余弦公式，求得的值．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：，．，，则．的大小为．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出，的坐标，再由得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8.答案：C解析：解：函数的定义域为，依题意，在上恒成立，设，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，，故使得函数恒成立的一个充分不必要条件是．故选：C．依题意，在上恒成立，设，利用导数可知，再根据选项及充分不必要的条件即可得出正确选项．本题考查利用导数研究函数的最值，考查充分不必要条件的判断，考查分离变量思想及转化思想，属于基础题．9.答案：C解析：解：因为O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，如图：Q在以为圆心，半径为2的圆上运动；故；当最小时，取最小值；而；的最小值为：．故选：C．先根据向量的三角形法则把所求问题转化，结合图象即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.答案：D解析：解：将方程整理可得，令将x换成时，即，所以，所以曲线关于对称，所以正确，不正确；当时，，所以该曲线不经过第三象限，故正确，曲线过的整数点，三个整数点，故不正确，故选：D．将方程整理可得，令，可得所以可得曲线关于对称，不关于点对称，且时，故不过第三象限，只有3个整数点，可得答案．本题考查曲线与方程的关系，及函数的对称性，属于中档题．11.答案：B解析：解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以，设，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，面ABCD，平面平面，所以面EFBD，所以，由题意可得，所以；所以，矩形EFBD的对角线的交点O，连接，可得，而面EFBD，而平面平面EFBD，平面平面，所以面EFBD，可得都为外接球的半径R，所以，所以外接球的表面积为，所以外接球的表面积最小值为．故选：B．由题意可得面EFBD，可得，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．本题考查几何体的棱长与外接球的半径之间的关系，和均值不等式的应用，及球的表面积公式，属于中档题．12.答案：D解析：解：如图，延长与的延长线交于N，设，，由双曲线的定义可得，点M在外角平分线上，且，可得，M为的中点，则，若恰为顶角为的等腰三角形，可得，，即有，解得，，在三角形中，，可得，可化为，则，故选：D．延长与的延长线交于N，设，，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及中位线定理，求得m，n，再在三角形中，，运用余弦定理，化简整理，结合离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，考查等腰三角形的性质和中位线定理、三角形的余弦定理，考查数形结合思想和化简运算求解能力，属于中档题．13.答案：．解析：解：由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：，将点代入可得，可得，及抛物线的方程为：，显然也在该抛物线上，故答案为：．由抛物线过的定点可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程，由点的坐标可得参数的值，进而求出抛物线的方程．本题考查抛物线的性质，属于基础题．14.答案：16解析：解：因为为正项数列的前n项和，且，，且；；负值舍；；法；；法且；故数列为等比数列，；；故答案为：16．先根据已知条件求出，再根据递推关系式一步步求出结论．法利用等比数列的定义求解．本题主要考查递推关系式的应用以及等比数列的定义，属于基础题目．15.答案：解析：解：由题可得：；；取最大值，即：取最大值；；；为小于等于9的自然数；故时，A最大，此时不成立；故时，A最大．此时；故；故答案为：．先根据平均数求得；再把方差最大转化为取最大值，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查茎叶图的应用以及二次函数的有关性质，属于中档题目．16.答案：解析：解：函数，当时，则，当时发，，当时，，可得，当时，，即，可得，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，当时，则，解得，当时，则，解得．则实数a的取值集合为．故答案为：．根据函数的图象性质可知，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，从而可得实数a的取值集合．本题考查的知识点是分段函数的应用，导函数研究其最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．17.答案：解：因为，，所以，在中，，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．因为，，所以，在中，，根据余弦定理，解得．解析：在中，根据，，结合内角和定理、诱导公式可求得；结合的结果和，可求出在三角形BCD中求出BD，再有，在中利用余弦定理可得AD的长．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．18.答案：解：解法一当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明，分别连结NH，，在中，，所以，因此，即，因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：由题知可得，，，所以，分别以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，，0，，，，，，，所以，易得平面AHB的一个法向量为，，，设为平面PBH的一个法向量，则：，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解法二：当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明．分别连结NH，，BH．因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，在中，，故为等边三角形，又点N为棱BC的中点，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：连结HA，在平行四边形ABCD中，因为，所以，故，即，分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，，0，，，2，，，，，易得平面AHB的一个法向量为，设为平面PBH的一个法向量，则：，即，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解析：先证，，进而得到平面，由此BC的中点点N即为所求，平面即为；解法一：以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可；解法二：以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．19.答案：解：因为椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，因为面积的最大值为2，所以，即，又因为，所以，，故椭圆C的方程为．由得，当直线l的斜率为0时，符合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，代入消去x整理得：，易得，设，，则，记直线PA，QA的斜率分别为，，则所以，因此直线PA与直线QA关于x轴对称．解析：根据，结合，所以，再根据面积最大值为，即可求出a，b；根据条件可得当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，设，，则，则，得证．本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于难题．20.答案：解：定义域为，，当时，，所以函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，令，得或，当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为，无减区间；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无减区间；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；证明：设，，由可知，当时，，且的单调递增区间为，递减区间为，所以的单调递增区间为，递减区间为，故，所以在上单调递增，又，所以当时，，时，；又当时，，时，，所以．解析：求导，分，，，及五种情形得出单调性情况；设，求导可知当时，，时，，由此容易得证．本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于中档题．21.答案：解：直方图可得，，，元，旅游费用支出不低于1820元的概率为，，估计2019年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元．，，由，即，解得；数列从第三项起单调递减．，故，又，，即从第三项起数列单调递减．由此，可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．解析：由直方图可得，即可得到，结合已知的，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为，求得概率后乘以500得答案．先由题意求得与的值，再列关于a，b的方程组求解a，b的值；由，利用作差法可得从第三项起数列单调递减．其实际意义为随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．22.答案：解法一：点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，由，得点A的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为．设，则由条件知点在曲线上，所以，即，因为P为AB中点，所以，则点P到直线l距离为，当时，取得最小值5，故AB中点P到直线l距离的最小值为．解法二：同解法一设，则由条件知点在曲线上，，即，则点A到直线l的距离为，点B到直线l距离为，当时，取得最小值4，故点B到直线l距离的最小值为，又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为．解析：利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：存在实数x使得成立即存在实数x使得成立，等价为，而，当且仅当即时等号成立，故存在实数x使得成立等价于，解得，又因为，所以．解法一、由得，故，所以，当且仅当时取最小值．解法二：由，即，即，由，可得，当且仅当时取最小值．解析：由题意可得，由绝对值不等式的性质可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求值；方法一、用的式子表示，再由基本不等式可得所求最小值；方法二、由条件可得，由乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值，注意等号成立的条件．本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．。

福建省宁德市数学2020届高中毕业班理数第一次（3月)质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（﹣ i）3（其中i为虚数单位）的值是（）A . ﹣iB . iC . ﹣1D . 12. （2分）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A . 4B . 6C . 8D . 123. （2分）已知集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x≤a}，若A∩B≠Φ，则实数a的集合为（）A . {a|a＜2}B . {a|a≥1}C . {a|a＞1}D . {a|1≤a≤2}4. （2分） (2016高二上·曲周期中) 设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A . 7B . 8C . 9D . 145. （2分）(2017·四川模拟) 设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D两点，则 =（）A . ﹣9B . ﹣3C . 3D . 96. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4B . 8C .D .7. （2分）如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是（）A . a＞2B . 0＜a＜1C . 2＜a＜3D . a＞38. （2分）已知数列{an}满足a1＞0，且an+1= an ，则数列{an}的最大项是（）A . a1B . a9C . a10D . 不存在9. （2分）(2017·黑龙江模拟) 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·鹤岗月考) 函数的部分图像是（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·湖南模拟) 对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（）A .B .C .D .12. （2分）双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1关于一条渐近线的对称点P在另一条渐近线上，该双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在等比数列中，，则 ________．14. （1分） (2018高三上·南阳期末) ________（小数点后保留三位小数）。

福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理数学【解析版】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） A. 22 32 D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可． 【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i, 则|z|221+1=2故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( ) A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤ C. {}21x x -≤< D. {}11x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】 对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-， 所以{}21A B x x ⋂=-≤<-.故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14± B. 14 C. 116± D. 116【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】 画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，故选B. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 53πB. 7πC. 323πD. 13π【答案】C【解析】【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以23)31BD BD =⋅⇒=， 所以31222AD BDR ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图，解方程1003(100)3n n =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3n n =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环.故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ）A. //a β且αβ⊥B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ 【答案】D【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件，故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x 【答案】C【解析】【分析】令23log log 2(0)z x y k k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)zx y k k ，则2,3k k x y ==， 因为0k >，由2,3x x y y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2x y =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ，所以z x ，综上所述：z x y <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( )A. 3或13B. 0C. 13D. 3【答案】B【解析】【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x ，且||2AB = 点C 到直线AB 的距离231|3|1122|1|k k k k d k +--+++=+ 所以1222|1||1|022|1|k k k k ⋅=⇒-=+⇒=+. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( ) 2 B. 22 C. 4 D. 8 【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+， 所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+， 圆22222230()42p x y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p ，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以22262p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( )A. 3B. 2 32【答案】C【解析】【分析】 根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以3sin(2)332A A π⋅=⇒=故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点；②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为( )A. ②③B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D【解析】【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】因为'1(n )si x f x xx a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f x x =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ；对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x =+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A. 故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______．【答案】5-【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______． 【答案】12【解析】【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______． 【答案】35【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值. 【详解】因为sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+， 所以2222222αααα++，整理得：tan 3α=-， 所以sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______． 【答案】21 【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=， 所以PE 的最小值为21.21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，23)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =， 所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -， 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】【分析】（122cos b c a C -⋅中的边化成角得到2cos 2A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（122cos b c a C -⋅2sin 2cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+， 2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-=， 2sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以2cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =， 所以22)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，.因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD 的取值范围为(5,10). 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅， 又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+， 所以22121212121||||()42ABF S F F y y y y y y ∆=⋅-=+-⋅ 222223636121(34)34m m m m +=+++， 设211t m =+≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）e 【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xeax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=， 解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=， 故()h x 的单调递减区间为)e ，单调递增区间为,)e +∞，所以()h x 的最小值为e)eh = 故a 的最小值为e- 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. （1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||3AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以2]t ∈，则21sin 2t α-=， 所以2213t t -=224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b ,求2a b -的取值范围. 【答案】(1)2(2) (,22]2,)-∞-⋃+∞． 【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b ． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”； 当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,22][22,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。

2020届福建省宁德市高三上学期第一次质量检查（期末）数学（理）试题一、单选题1．若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A ．BCD ．2【答案】C【解析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】 复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i,则|z|＝故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2．设集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B I =( ) A ．{}21x x -≤<- B ．{}11x x -<≤C ．{}21x x -≤<D ．{}11x x -≤< 【答案】A 【解析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案.【详解】 因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-， 所以{}21A B x x ⋂=-≤<-.故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.3．已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A ．14± B ．14 C ．116± D ．116 【答案】A【解析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A.【点睛】 本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4．若,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A ．2B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 5．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．53πB ．7πC ．323πD ．13π【答案】C【解析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以2(3)31BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A ．25B ．45C ．60D ．75【答案】D 【解析】根据程序框图，解方程1003(100)3n n =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】 根据程序框图，当1003(100)3n n =+-时，解得75n =， 此时，100S =终止循环.故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ）A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ【答案】D【解析】【考点】平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题．分析：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α，反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α，反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件，故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 8．若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x <y <zB ．x <z <yC ．z <x <yD ．z <y <x【答案】C【解析】令23log log 2(0)z x y k k ===>，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)z x y k k ===>，则2,3k k x y ==， 因为0k >，由2,3x xy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >； 因为2log y x =与2x y =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ==>，所以z x <，综上所述：z x y <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9．已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( )A ．3或13B ．0C ．13D ．3【答案】B【解析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ， 设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x =+，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.10．已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )A．B．C ．4 D ．8 【答案】A【解析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+， 所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+， 圆22222230()42p x y py p x y p +--=⇒+-=，圆心为(0,)2p ，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，则A 的值为( ) A ．3B ．2 CD【答案】C 【解析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=u u u u r u u u r 得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ， 因为212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，所以PN uuu r 在MN u u u u r 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==u u u u r u u u r u u u u r ， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=故选：C.【点睛】 本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.12．已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点；②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为( )A ．②③B ．①④C ．①②D ．③④【答案】D【解析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项.【详解】 因为'1(n )si x f x xx a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f x x =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ；对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A.故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.二、填空题13．已知向量(1,2)=-r a ，(,1)b m m =-r ，若//a b r r ，则a b ⋅r r =_______．【答案】5-【解析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b r r，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-， 所以(1,2)=-r a ，(1,2)b =-r ，所以145a b ⋅=--=-r r .故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题. 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______． 【答案】12【解析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩， 因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15．若sin()2cos )4αααπ++，则sin 2α=_______． 【答案】35- 【解析】由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35-【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______．【解析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2， 则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+， 当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=， 所以PE.21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n a n =；（2）21nn + 【解析】（1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式；（2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又Q 0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n =． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n==-++⋅，所以123n n T b b b b =++++L11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+L ]122(1)11nn n =-=++．【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解能力.18．如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC?，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =u u r为平面ABCD 的一个法向量，23)=u u r n 为平面AED的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE中点F，分别连结AF,FN 又N为BC中点，所以1 //,2FN CD FN CD=,因为矩形ABCD中，M为AB的中点，所以1//,2AM CD AM CD=所以//,AM FN AM FN=，所以四边形AMNF为平行四边形，所以//AF MN，又因为AF⊂平面AED,MN⊄平面AED，所以//MN平面AED．（2）因为矩形ABCD⊥平面EBC，矩形ABCD I平面EBC BC=，AB BC⊥所以AB⊥平面EBC．如图，以B为原点建立空间直角坐标系B xyz-，则(0,0,0)B，(0,0,1)A，(0,2,1)D，(3,1,0)E-，因为x轴⊥平面ABCD，所以1(1,0,0)n=u u r为平面ABCD的一个法向量，设2(,,)n x y z=u u r为平面AED的法向量，因为(0,2,0)AD=u u u r，3,1,1)AE=--u u u v，所以22AD nAE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v，得2030yx y z=⎧⎪--=，故可取23)=u u rn，则1212121cos ,2⋅<>==⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos b c a C -=⋅，22c = （1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【答案】（1）4A π=；（2）(5,10)【解析】（122cos b c a C -=⋅中的边化成角得到2cos A =从而求得A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b的取值范围. 【详解】（122cos b c a C -=⋅2sin 2cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-=， 2sin sin 0A C C -=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以2cos A =0A π<<，所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r，所以221()4AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r 21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值. 【详解】（1）Q 离心率为12c e a ==，∴2a c =， Q 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又Q 22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-==，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++，设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用. 21．已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值； （2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值． 【答案】（1）2a =-；（2）【解析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()xh x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-， 1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，得1(2)(2)0a ea a ++-+=， 即1(1)(2)0a ea +-+=，解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去， 所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，设21ax t x e +=， 设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++， 故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=， 此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln xa x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x-'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h = 故a 的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值. 【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可. 【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++= 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立， 设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩，所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα=+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点， 所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C e 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα=+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=， 即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去），所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型. 23．已知11212x x m ++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围. 【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞． 【解析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M . (2)由(1)得2M =,再利用11a Mb +=-将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，Q 1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立，∴min 1()2f x m ≥-，又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b +=-．第 21 页 共 21 页 0,0a b >>Q ，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b -=--=-+--． 当01b <<时，011b <-<，2a b -? 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =-时取“=”； 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌当且仅当12(1)1b b -=-，即12b =+时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。

2020年福建省宁德市高中毕业班高三理数第一次模拟试卷（带解析）一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. B. C. D.5.设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A. 15种B. 18种C. 20种D. 22种7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B. C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为（）A. B. C. D.10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）A. B. C. D.11.函数 ( )，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.12.设函数存在零点，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13.已知向量，的夹角为，，，则________．14.若双曲线的右焦点关于其中一条渐近线的对称点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率=________．15.若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为________．三、解答题16.设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为________．17.已知数列的前和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．18.如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．19.如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得，．已知速度为海里/小时( )的小艇每小时的总费用为( )元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？20.已知椭圆的左、右焦点分别为, ．过且斜率为的直线与椭圆相交于点, ．当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．21.已知函数有最大值，，且是的导数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：当，时，．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等比数列．（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）已知, 是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求的值．23.选修4—5：不等式选讲已知，（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，的解集为空集，求的取值范围．答案解析部分一、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >单选题</b></p> </td> </tr> </table>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】D二、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >填空题</b></p> </td> </tr> </table>13.【答案】214.【答案】215.【答案】三、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >解答题</b></p> </td> </tr> </table>16.【答案】解：依题意可知：，整理得，，方程表示如图一段弧AB，可表示弧上一点到直线的距离的平方，的最小值是817.【答案】解：（Ⅰ），．当时，，得．当时，，，，即，．数列是等差数列，且首项为，公差为2，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，——①，——②①–②得，化简得．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设，解得，∴18.【答案】解：（Ⅰ）连结，．在矩形中，,, ．在中，∵,，∵，，即．又在中，，∴在中，,,又,∴平面．∴．（Ⅱ）解：在矩形中，过作于，并延长交于. 沿着对角线翻折后，由（Ⅰ）可知，两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则,平面,为平面的一个法向量．设平面的法向量为，,由得取则 , ．即,．当时，二面角的大小是19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意得：，，，．在中，由余弦定理得，,所以客轮的航行速度（海里/小时）．因为，所以，所以．在中，由余弦定理得，，整理得：，解得或（不合舍去）．所以客轮从处到岛所用的时间小时，小张到岛所用的时间至少为小时．由于，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在中，，,所以为锐角，，．所以.由正弦定理得，,所以,所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为( )，当且仅当，即时，（元）.所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元20.【答案】解：（Ⅰ）当时，直线轴，又四边形恰在以为直径，面积为的圆上，∴四边形为矩形，且．∴点的坐标为．又，∴．设，则．在中，，，∴，∴．∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，设，，得，．故．又，∴，即，解得，∴直线的方程为21.【答案】解：（Ⅰ）的定义域为，．当时，，在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；当时，令，得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，,,．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,．，,在上单调递增．又，且,．,当时，，单调递增,要证，即，只要证，即．，,所以只要证————（*）, 设（其中）,,在（0，1）上为增函数,，故（*）式成立，从而。

2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷3至5页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ABCD ．22．设集合201x A xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =A ．{}21x x -≤<-B ．{}11x x -<≤C ．{}21x x -≤<D ．{}11x x -≤<3．已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =A ．14±B ．14C ．116±D ．1164．已知变量x ，y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2x y +的最大值为A ．2B ．5C ．6D ．75．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图 如右图所示，则该几何体的体积为 A ．53π B ．7π C ．323π D ．13π 6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个， 大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的 一个算法．执行右图的程序框图，则输出的n = A ．25 B ．45 C ．60 D ．757．若a ，b 为空间两条不同的直线，α，β则a α⊥的一个充分条件是A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ 8．若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，z 的大小关系是A ．x <y <zB ．x <z <yC ．z <x <yD ．z <y <x9．已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为A ．3或13B ．0C ．13D ．310．已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为 A B ． C ．4 D ．8正视图侧视图11．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为A ．3B ．2 CD12．已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a =+-∈R ，以下四个命题： ①当e a ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为 A ．②③ B ．①④ C ．①② D ．③④2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m m =-b ，若//a b ，则⋅a b = ．14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则1115f f +()()= ．15．若sin()2cos )4αααπ++，则sin2α= ．16．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =， 23πEBC?，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．19．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．20．（12分）已知椭圆222210:()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．21．（12分）已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R ．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值； （2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<，直线l 交圆C 于A ，B 两点，P 为AB 中点．（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅α的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11212x x m ++-?在R 上恒成立． （1）求m 的最大值M ． （2）若a ，b 均为正数，且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围．。

福建省宁德市2021届高三第|一次 (3月 )质量检查(理)第|一卷 (共60分 )一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 全集U R = ,集合{=∈A x N }{2|650,x x B x -+≤=∈N }|2x > ,图中阴影局部所表示的集合为 ( )A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1D ．{}0,1 2.在复平面内 ,复数=z 35i(i 1i++为虚数单位 )对应的点坐标是 ( ) A ．()1,4 B ．()4,1- C ．()4,1 D ．()1,4-3.101x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 的展开式中2x 的系数等于 ( )A ．45B ．20-C ．45-D ．90-4.变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,那么y x 的取值范围是 ( )A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[)9,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C. (][),36,-∞+∞ D ．[]3,65.假设将函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍 (纵坐标不变 ) ,再将所得图象沿x 轴向右平移8π个单位长度 ,那么所得图象的一个对称中|心是 ( ) A ．,016π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭6.假设函数{}n a 为等差数列 ,n S 为其前n 项和 ,且2436a a =- ,那么9S = ( ) A ．54 B ．50 C.27 D ．257. 圆22:240C x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称 ,那么圆C 中以,44a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为 ( )A ．1B ．2 C.3 D ．4 8. 执行如下列图的程序框图 ,假设输入t 的值为5 ,那么输出s 的值为 ( )A ．916 B ．54 C. 2116 D ．1189. 假设从区间()0,e (e 为自然对数的底数 ,e 2.71828...= )内随机选取两个数 ,那么这两个数之积小于e 的概率为 ( )A ．2e B ．1e C.21e - D ．11e- 10. 函数()=f x 11x e x-- 的图象大致为 ( )A ．B ． C. D ．11. 三棱锥-S ABC 的各顶点都在一个球面上 ,球心O 在AB 上 ,SO ⊥底面ABC ,球的体积与三棱锥体积之比是4π ,2=AC ,那么该球的外表积等于 ( ) A ．π B ．2π C.3π D ．4π12. 函数()3,01,02+≥⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩k kx x f x x ,假设方程()()20f f x -=恰有三个实数根 ,那么实数k的取值范围是 ( )A ．[)0,+∞B ．[]1,3 C.11,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第二卷 (共90分 )二、填空题 (每题5分 ,总分值20分 ,将答案填在答题纸上 )13. 设向量()()1,2,,1=-=a b m ,如果向量2a b +与2a b -平行 ,那么a b = ．14. 某几何体的三视图如下列图 ,那么刻几何体的体积为 ．15. 双曲线221y x m-=的左右焦点分别为12,F F ,过点2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点 ,假设1ABF ∆是以A 为直角顶点的等腰三角形 ,那么实数m 的值为 ．16. 数列{}n a 满足123...2(n n a a a a n a n ++++=-∈N *) ,()222-=-n n nb a ,那么数列{}n b 中最||大项的值是 ．三、解答题 (本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且23cos cos 3b c CA a-=.(1 )求角A 的值； (2 )假设6B π= ,且ABC ∆的面积为43 ,求BC 边上的中线AM 的大小.18. 某教师为了分析所任教班级||某次考试的成绩 ,将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.(1 )求表中,t q 及图中a 的值；(2 )该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行面批 ,设X 表示所抽取学生中成绩低于60分的人数 ,求随机变量X 的分布列和数学期望.19. 如图 ,在三棱柱111ABC A B C -中 ,11160,,2BAC A AC A AB AA AB AC ∠=∠=∠===,点O 是BC 的中点.(1 )求证:BC ⊥ 平面1A AO ；(2 )假设11AO = ,求直线1BB 与平面11AC B 所成角的正弦值.20. 椭圆 ()2222:10x y E a b a b +=>>过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,且一个焦点为()11,0F -.(1 )求椭圆E 的方程；(2 )假设,,PA PB PC 为椭圆E 的三条弦 ,,PA PB 所在的直线分别与x 轴交于点,M N ,且,PM PN PC AB = ,求直线PC 的方程.21. 函数()2ln 4(f x a x x x a =+-∈R).(1 )讨论函数()f x 的单调区间；(2 )假设()()1122,,,A x y B x y ()210x x >>是曲线()y f x =上的两点 ,1202x x x +=.问: 是否存在a ,使得直线AB 的斜率等于()0'f x ?假设存在 ,求出a 的值；假设不存在 ,说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答 ,如果多做 ,那么按所做的第|一题记分. 22. 选修4 -4：坐标系与参数方程曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ= ,假设以极点为平面直角坐标系的原点 ,极轴为x 轴的正半轴且取相同的单位长度 ,建立平面直角坐标系 ,那么直线l 的参数方程的是32(12x t m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). (1 )求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2 )设点(),0P m ,假设直线l 与曲线C 交于,A B 两点 ,且1PA PB = ,求实数m 的值.23. 选修4 -5：不等式选讲函数()212f x x x =++-的最||小值为m . (1 )求实数m 的值；(2 )假设,,a b c 均为正实数 ,且满足a b c m ++= ,求证:2223b c a a b c++≥.参考答案一、选择题1 -5:BCAAD 6 -10: CDDAA 11 -12：DC 二、填空题 13.52 14. 43 15.422- 16.18三、解答题 17. 解：(1) 因为23cos cos 3b c C A a -= ,所以2sin 3sin cos cos 3sin B C CA A-= , 所以2sin cos 3cos sin 3sin cos B A A C A C -= ,所以()2sin cos 3sin 0,2sin cos 3sin 0B A A C B A B -+=∴-= ,又因为sin 0B ≠ ,所以3cos 2A ==,又因为0A π<< ,且,26A A ππ≠∴=.(2) 据 (1 )求解知6A π=,假设6B π=,那么2112sin sin 43223ABC S ab C a π∆=== , 所以4,4a a ==- (舍 ).又在AMC ∆中 ,2222cos120AM AC MC AC MC =+- ,所以222221112cos1204224228222AM AC AC AC AC ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以27AM =. 18. 解：(1)31350,500.105,0.260.0650t m n ===⨯=== , ()0.2610.060.100.260.180.40,500.4020,0.02610q p a =-+++==⨯===. (2)据题设分析知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3 ,且()0335385028C C P X C === , ()()()122130353535333888151511,2,3285656C C C C C C P X P X P X C C C ========= ,所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P528 1528 1556156()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解：(1)111111,,A AC A AB AB AC AA AA A AB A AC ∠=∠===∴∆≅∆11A B AC ∴=.又O 为BC 中点 ,1,AO BC AO BC ∴⊥⊥.又11,,AOAO O AO AO =⊂平面1,A AO BC ∴⊥平面1A AO .(2)60,2,BAC AB AC O ∠===为BC 中点 ,2,1,3BC BO CO AO ∴====.又222111112,1,,AA AO AO AO AA AO AO ==∴+=∴⊥.又由 (1 )知 ,1,BO AO BO AO ⊥⊥ ,那么以O 为原点 ,分别以1,,OA OB OA 所在直线为x 轴 ,y 轴 ,z 轴建立空间直角坐标系O xyz - ,那么()()()()13,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1AB C A -.()()1113,1,0,0,1,1C A CA A B ∴===-.设平面11AC B 的一个法向量为(),,n x y z = ,那么30x y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ,令1x = ,得()()111,3,3,3,0,1n BB AA =--==-.设1BB 与平面11AC B 的所成角为θ ,那么112321sin 727BB n BB nθ===.20. 解：(1)依题意 ,得2222291411a b c a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎩ ,又0,a b >>∴解得2,3,a b ==∴椭圆E 方程为22143x y +=.(2)由题意知直线PA 的斜率存在 ,设()()()3:1,,,,2A AB B PA y k x A x y B x y =-+. 据()22312143y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得()()2222241233442341230,134P A A k k k x k k x k k x x x k --++-++--=∴=⨯=+ ,()2222412331263,1342342A A A k k k k x y k x k k ----∴==-+=+++ ,又,PM PN =∴直线PB 的斜率为k -.用k -代替k ,得222241231263,34342B B k k k k x y k k +--+==+++ , 222222221263126313423424123412323434A B AB A B k k k k y y k k k k k k k x x k k -+--+---++===+-----++.又,PC AB ∴直线PC 的方程为()31122y x -=- ,即220x y -+=.21. 解：(1)()()224'24,0,a x x af x x x x x-+=+-=∈+∞.令()'0f x = ,那么()16882a a ∆=-=-.当0∆≤ ,即2a ≥时 ,()'0f x ≥对()0,x ∀∈+∞恒成立 ,()f x ∴的增区间为()0,+∞ ,无减区间；当0∆> ,即2a <时 ,假设02a << ,那么解得12242242,22a a x x --+-== ,此时函数()f x 的增区间为2420,2a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和242,2a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ ,减区间为242242,22a a ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭；当0a ≤时 ,120,0x x ≤> ,此时()f x 的减区间为2420,2a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭,增区间为242,2a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. (2)假设函数()f x 图象上存在两点()()()()()112212,,,0A x f x B x f x x x <<使得()()()21021'f x f x f x x x -=- ,即()()22212121121221ln ln 424a x x x x x x ax x x x x x -+---++-=+- ,所以()()211221ln ln 2.a x x ax x x x -=*+-① 当0a =时 ,()*对任意的()12,0,x x ∈+∞ ,且12x x <都成立； ②当0a ≠时 ,有()2121212ln x x x x x x -=+ ,设()211xt t x => ,那么()21ln 1t t t -=+ ,记函数()()()21ln 11t h t t t t -=->+ ,那么()()()()222114'11t h t t t t t -=-=++.所以当1t >时 ,()'0h t > ,所以函数()h t 在区间()1,+∞上单调递增.又因为()10h = ,所以当1t >时 ,()0h t > ,即方程()21ln 1t t t -=+在区间()1,+∞上无解 ,综上 ,存在实数0a = ,满足题意.22. 解：(1) 曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ= ,化为22cos ρρθ= ,所以曲线C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.直线l 的参数方程是32(12x t m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 ) ,消去参数t 可得直线l 的普通方程30x y m --=.(2) 将32(12x t m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 )代入方程()2211x y -+= ,得22311122t m t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即()223320t m t m m +-+-=.由0∆> ,解得13m -<<.所以2122t t m m =-. 2121,21PA PB t t m m ==∴-=± ,解得12,1m =±.又满足0∆> ,所以12m =-或 1m =或12m =+.23. 解： (1 )因为函数()212f x x x =++- ,所以当1x <-时 ,()()()()21233,f x x x x =-+--=-∈+∞；当12x -≤<时 ,()()()[)21243,6f x x x x =+--=+∈；当2x ≥时 ,()()()[)21236,f x x x x =++-=∈+∞ ,综上 ,()f x 的最||小值3m =. (2 )据(1)求解知3m = ,所以3a b c m ++== ,又因为0,0,0a b c >>> ,所以()2222222222b c a b c a b c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即222b c a a b c++()2a b c a b c +++≥++ ,当且仅当1a b c ===时 ,取 " =〞 所以222b c a a b c ++≥a b c ++ ,即2223b c a a b c++≥.。

2020年福建省宁德市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( ) ABCD ．22．（5分）设集合2|01x A x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则(AB = )A ．{|21}x x -<-B ．{|11}x x -<C ．{|21}x x -<D ．{|11}x x -<3．（5分）已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2(a = )A ．14±B ．14C ．116±D ．1164．（5分）若x ，y 满足111y x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值为( )A ．2B ．5C ．6D ．75．（5分）一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．53πB ．7πC ．233πD ．13π6．（5分）明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行如图的程序框图，则输出的(n = )A ．25B ．45C ．60D ．757．（5分）若A 、b 是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是( ) A ．//a β，αβ⊥B ．a β⊂，αβ⊥C ．a b ⊥，//b αD ．a β⊥，//αβ8．（5分）若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z x y <<D ．z y x <<9．（5分）已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( ) A ．3或13B ．0C ．13D ．310．（5分）已知斜率为(0)k k >的直线l 过抛物线2:2(0)C X PY P =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )A B ．C ．4D ．811．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0)ω>的周期为π，(,0)M m ，(,0)N n 分别是函数()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，点3(,)()2P a m a n <<在函数()f x 的图象上，且满足212MN PN π=，则A 的值为( )A ．3B ．2CD12．（5分）已知函数2()cos ()2a f x x lnx x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e -时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点； ③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a 时，()0f x 在[1，)+∞上恒成立．其中的真命题为( ) A ．②③B ．①④C ．①②D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量(1,2)a =-，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b = ．14．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则(11)(15)f f += ．15．（5分）若sin()2cos )4πααα+=+，则sin 2α= ．16．（5分）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，23EBC π∠=，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．19．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos c C -=，c =． （1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由． 21．（12分）已知函数21()(,)ax f x x e blnx ax a b R +=--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1，f （1）)处的切线与直线2y x =平行，求a 的值； （2）若2b =，且函数()f x 的值域为[2，)+∞，求a 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于A ，B 两点，P 为A ，B 中点．（1）求点P 轨迹的极坐标方程； （2）若||||3AB OP =α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知1|1||21|2x x m ++--在R 上恒成立．（1）求m 的最大值M ； （2）若a ，b 均为正数，且11a Mb +=-，求2a b -的取值范围．。

2020年福建省宁德市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，复数z =2+i 1−2i ，则z 3=( ) A. i B. −i C. 1 D. −12. 设集合A ={x|2x −x 2≥0}，B ={x|1<x <3}，则A ∩B =( )A. {x|2≤x <3}B. {x|1<x ≤2}C. {x|0≤x <3}D. {x|0≤x ≤2} 3. 已知等比数列{a n }满足a 1=14，a 3a 5=4(a 4−1)，则a 2= ( )A. 2B. 1C. 12D. 18 4. 已知变量x ，y 满足{x −y −2≤0x +2y −5≥0y −2≤0，则2x +y 的最大值为( )A. 4B. 7C. 10D. 125. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体为( )A. 球B. 圆柱C. 圆台D. 圆锥6. 我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A. 计算1+2+3+4+⋯+n−1的值B. 计算1+2+3+4+⋯+n的值C. 计算1+2+3+4+⋯+(n+l)的值D. 计算1+2+3+4+⋯+n+sinπ+sin2π+⋯+sin(n+2)π的值7.设m，n为直线，α，β为平面，则m⊥α的一个充分条件可以是()A. α⊥β，α∩β=n，m⊥nB. α//β，m⊥βC. α⊥β，m//βD. n⊂α，m⊥n8.已知x=lg2,y=ln3,z=log23，则()A. x<z<yB. z<y<xC. x<y<zD. z<x<y9.直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为()A. x−3y=0B. x−2y=0C. x+2y=0D. x+3y=010.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F作斜率为k的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=3p，则k=()A. √2B. −√2C. ±√2D. ±211.函数(ω>0,−π2<φ<π2)的图象如图所示，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 8B. −8C. π28−8D. −π28+8 12. 有下列命题： ①x =0是函数y =x 3的极值点；②三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d 有极值点的充要条件是b 2−3ac >0；③奇函数f(x)=mx 3+(m −1)x 2+48(m −2)x +n 在区间(−4,4)上是单调减函数； ④若函数g(x)=(x −1)(x −2)…(x −2009)(x −2010)，则g′(2010)=2009．其中真命题的个数有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量a⃗ =(2,1,−2)，e ⃗ //a ⃗ 且|e ⃗ |=1，则e ⃗ =______． 14. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)={log 3(x +1),x ≥0,g(x),x <0,则g(−8)=______． 15. 已知sinα+sin(π2+α)=2√55，则sin2α的值为______ ． 16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P//平面BEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n =a n 2+2a n −3．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n=2n，求T n=a1b1+a2b2+⋯+a n b n的值．18.如图，在多面体B−ACDE中，已知AB=BC=CD=2，AC=2√2，AE=√2，∠ACD=π，AE⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE，F为BC4的中点，连接DF．(1)求证：DF//平面ABE；(2)求二面角E−BD−C大小的正弦值．19.在锐角三角形ABC中，√3a=2bsinA．(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求a+c的取值范围．20.M是椭圆T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，已知|MF|的最大值为3+√5，最小值为3−√5．(I)求椭圆T的标准方程；(II)求△ABM的面积的最大值．21.已知函数f(x)=12ax2−2ax−3lnx+b在x=1处切线为4x+y−2=0．(1)求a，b；(2)求f(x)在x∈[1,7]上的值域．22.在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点(3√2,π4)，求圆C的极坐标方程．23.(1)求关于x的不等式|x+1|+|x−2|<5的解集；(2)若关于x的不等式x2−|2x−1|≥m在x∈R时恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．解：z=(2+i)(1+2i)5=i，z3=−i．故选B．2.答案：B解析：解：A={x|0≤x≤2}，B={x|1<x<3}；∴A∩B={x|1<x≤2}．故选：B．可先求出A={x|0≤x≤2}，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式，属于简单题．根据等比数列的通项公式求解公比，即可得a2．解：设等比数列{a n}的公比为q，a1=1,a3a5=4(a4−1),可得(14q2)×(14q4)=4(14q3−1)，解得q=2，则a2=14×2=12．故选C．4.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)． 由z =2x +y 得y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线y =−2x +z 的截距最大，此时z 最大．由{y =2x −y −2=0，解得{x =4y =2，即A(4,2)， 代入目标函数z =2x +y 得z =2×4+2=10．即目标函数z =2x +y 的最大值为10．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.答案：D解析：本题主要考查三视图的识别和判断，比较基础．由三视图可知该几何体为圆锥．解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D ．6.答案：B解析：解：由题意，n为正整数，则sinnπ=0，模拟程序的运行，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1+2+⋯+n的值，故选：B．由题意，n为正整数，则sinnπ=0，模拟程序的运行即可得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：B解析：本题主要考查线面垂直的判定以及充分条件的判断，属于基础题．利用空间直线和平面之间平行或垂直的判定定理和性质是解决本题的关键．将各个选项逐一分析求解即可．解：∵α⊥β，α∩β=n，m⊥n⇏m⊥α，直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内，∴排除A．∵α//β，m⊥β⇒m⊥α，∴B符合要求．∵α⊥β，m//β⇏m⊥α，直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内，∴排除C．∵n⊂α，m⊥n⇏m⊥α，直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内，∴排除D．故选B．8.答案：C解析：解：∵x=lg2<1，y=ln3>1，z=log23>1，所以x最小，又∵y=lg3lge，z=lg3lg2，而lge>lg2，∴x<y<z，故选：C．利用对数函数的性质求解．本题主要考查了对数函数的性质，考查了考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：本题主要考查直线关于直线对称的直线方程，属于中档题．先根据题意求出l 和l 1的交点坐标，根据交点坐标可设直线l 2的方程为kx −y +2k −1=0，根据直线l 上的任意一点到到直线l 1，l 2的距离相等，我们可取l 上的一点，根据点到直线的距离公式求出k 的值．解：由{y =2x +3y =x +1，得直线l 1与l 的交点坐标为(−2,−1)． 由题意，知直线l 2的斜率存在，∴可设直线l 2的方程为y +1=k(x +2)，即kx −y +2k −1=0．在直线l 上任取一点(1,2)，则点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得 √k 2+1=√22+1，解得k =12(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x −2y =0．故选B ．10.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 依题意，可知直线AB 的方程为y =k(x −p 2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求得结果．解：由题意知焦点F 的坐标为(p 2,0)，则直线AB 的方程为y =k(x −p 2)，联立方程{y =k (x −p 2)y 2=2px，得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=k 2p+2p k 2． 因为|AB|=x 1+x 2+p ，所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k =±√2．故选C ．11.答案：C解析：本题考查三角函数的图象与性质，解析式的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力，求出φ是本题的关键．属于基础题．通过函数的图象求出函数的周期，确定ω，利用2×π3+φ=π求出φ，然后求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．解：由图可知T4=π3−π12=π4⇒T =π，∴ω=2，又2×π3+φ=π⇒φ=π3，从而A(−π6,0)，B(π12,2)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(π4,2)， 又D(7π12,−2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(π2,−4)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(π4,2)⋅(π2,−4)=π28−8， 故选C ．12.答案：D解析：解：①因为函数的导数f′(x)=3x 2≥0，即函数y =x 3单调递增，所以函数无极值，所以①错误．②三次函数的导数为f′(x)=3ax 2+2bx +c(a ≠0)，要使函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d 有极值点，则f′(x)=3ax 2+2bx +c(a ≠0)，有变号零点，所以△>0，即4b 2−4×3ac >0，即b 2−3ac >0，所以②正确．③因为f(x)=mx 3+(m −1)x 2+48(m −2)x +n 为奇函数，所以m −1=0且n =0，所以m =1且n =0，所以函数f(x)=x 3−48x ．f′(x)=3x 2−48=3(x 2−16)，当x ∈(−4,4)时，f′(x)<0，此时函数单调递减，所以③正确． ④g(x)=(x −1)(x −2)…(x −2009)(x −2010)=[(x −1)(x −2)…(x −2009)](x −2010)， 所以g′(x)=[(x −1)(x −2)…(x −2009)]′(x −2010)+[(x −1)(x −2)…(x −2009)]，所以g′(2010)=2009×2008×…×1=2009!所以④正确．故选D．①利用极值的定义去判断．②利用函数取得极值的充要条件进行判断．③利用奇函数的定义先确定m的值，然后利用导数研究函数的单调性．④利用导数公式进行求值．本题主要考查命题的真假判断以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大．13.答案：(23,13,−23)和(−23,−13,23)解析：本题考查了空间向量的数量积及运算律，考查了共线与共面向量定理及应用，属于基础题．设出e⃗=(x,y,z)，由平行以及模为一得出坐标．解：已知向量a⃗=(2,1,−2)，设e⃗=(x,y,z)，且e⃗//a⃗，{x=2λy=λz=−2λ,∵|e⃗|=1，∴√x2+y2+z2=1即9λ2=1，∴λ=±13，∴e⃗=(23,13,−23)和(−23,−13,23)故答案为(23,13,−23)和(−23,−13,23)．14.答案：−2解析：本题考查函数值的计算，涉及分段函数的应用，考查函数的奇偶性，注意求出函数g(x)的解析式，属于中档题．根据题意，由函数的奇偶性计算可得g(x)的解析式，将−8代入g(x)的解析式，计算即可得答案．解：当x<0时，−x>0，则f(−x)=log3(1−x)，又f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−log3(1−x)，即g(x)=−log3(1−x)，x<0．故g(−8)=−log3[1−(−8)]=−log39=−2．故答案为−2．15.答案：−15解析：解：∵已知sinα+sin(π2+α)=2√55，即sinα+cosα=2√55，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=2025=45，则sin2α=−15，故答案为：−15．利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．16.答案：[√305,√2]解析：取BB1的中点M，连接A1C1，A1M，C1M，推导出平面BEF//平面A1MC1，由此得到线段A1P长度的最大值为A1C1=√2，最小值为点A1到线段C1M的距离d，从而能求出线段A1P长度的取值范围．本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．解：取BB1的中点M，连接A1C1，A1M，C1M，∵在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，∴BE//A1M，BF//C1M，∵BE∩BF=B，A1M∩C1M=M，BE，BF⊂平面BEF，A1M，C1M⊂平面A1MC1，∴平面BEF//平面A1MC1，∵P是侧面BCC1B1内一点，A1P//平面BEF，∴P∈线段C1M，∵A1C1=√2，A1M=C1M=√52，∴线段A1P长度的最大值为A1C1=√2，最小值为点A1到线段C1M的距离d，以D为原点，建立空间直角坐标系D−xyz，则A 1(1,0，1)，M(1,1，12)，C 1=(0,1，1)，C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−12)， ∴点A 1到线段C 1M 的距离：d =|C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |√1−[cos <C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >]2=√2×√1−(√2⋅√52)2=√305，∴线段A 1P 长度的取值范围是[√305,√2].故答案为[√305,√2].17.答案：解：(1)当n =1时，a 1=S 1=14a 12+12a 1−34，解出a 1=3(a 1=−1舍去)， 又4S n =a n 2+2a n −3①当n ≥2时，4S n−1=a n−12+2a n−1−3②①−②得：4a n =a n2−a n−12+2(a n −a n−1)，即a n 2−a n−12−2(a n +a n−1)=0， ∴(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， ∵a n +a n−1>0∴a n −a n−1=2(n ≥2)， ∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n =3+2(n −1)=2n +1． (2)a n b n =(2n +1)⋅2n ．∴T n =3×21+5×22+⋯+(2n +1)⋅2n ③又2T n =3×22+5×23+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1④ ④−③可得：T n =−6−2(22+23+⋯+2n )+(2n +1)2n+1=−6−2×4(2n−1−1)2−1+(2n +1)2n+1=(2n −1)2n+1+2．解析：本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)当n =1时，a 1=S 1=14a 12+12a 1−34，解出a 1=3，又4S n =a n 2+2a n −3，当n ≥2时 4S n−1=a n−12+2a n−1−3，相减可得：(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，可得a n −a n−1=2(n ≥2)，利用等差数列的通项公式即可得出．(2)a n b n =(2n +1)⋅2n .利用错位相减法即可得出．18.答案：解：(1)证明：过D 作DG ⊥AC 于G ．因为AE ⊥AC ，所以AE//DG ，因为CD =2，∠ACD =π4，所以DG =CG =√2， 因为AE =√2，所以AE =DG ，所以四边形AGDE 为矩形，所以ED//AG ，ED =AG ， 取AB 的中点为H ，连接EH ，HF ．因为F 为BC 的中点，所以HF//AG ，HF =AG ，所以HF//ED ，HF =ED ，所以四边形EDHF 为平行四边形， 所以DF//EH ，因为DF ⊄平面ABE ，EH ⊂平面ABE ． 所以DF//平面ABE ．(2)因为平面ABC ⊥平面ACDE ，AE ⊥AC ，所以AE ⊥平面ABC ． 以A 为坐标原点，AC ，AE 所在射线为，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 因为AB =BC =2，AC =2√2，所以AB ⊥BC ， 且∠CAB =π4，所以B(√2,√2,0)，因为E(0,0,√2)，所以EB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,−√2)， 又D(0,√2,√2)，所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0)，设平面EBD 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,1)， 则{√2x 1−√2y 1−√2=0√2y 10，所以n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)．又D(0,√2,√2)，C(0,2√2,0)，所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√2,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,√2)， 设平面CBD 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,1)， 则{√2x 2−√2y 2=0−√2y 2+√2=0所以n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设平面BDE 与平面BCD 所成角为θ，则|cosθ|=|n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√3=√63，所以sinθ=√1−cos2θ=√33．解析：(1)过D作DG⊥AC于G.取AB的中点为H，连接EH，HF.说明四边形EDHF为平行四边形，证明DF//EH，然后证明DF//平面ABE．(2)以A为坐标原点，AC，AE所在射线为，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面EBD的法向量，平面CBD的法向量，设平面BDE与平面BCD所成角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用．19.答案：解：(1)∵在锐角三角形ABC 中，√3a=2bsinA，∴√3sinA=2sinB·sinA，∵A∈(0,π2)，∴sinA≠0，∴sinB=√32，∵B∈(0,π2)，∴B=π3．(2)∵b=√3，∴asinA =csinC=bsinB=√3√32=2，∴a=2sinA，C=2sinC，∴a+c=2sinA+2sinB，=2sinA+2sin(2π3−A)，=2sinA+√3cosA+sinA，=3sinA+√3cosA，=2√3sin(A+π3)，∵A∈(0,π2)，∴A+π3∈(π3,5π6)，∴12<sin(A+π3)≤1，∴√3<a +c ≤2√3．解析：本题主要考查正弦定理和利用三角恒等变换求值域． (1)直接利用正弦定理，得√3sinA =2sinB ·sinA 即可求出结果．(2)根据正弦定理得出∴a =2sinA ，C =2sinC ，再由三角恒等变换即可求出结果．20.答案：解：(I)由椭圆性质可知|MF|=c a (a 2c −x M )=a −ca x M ，其中c >0，c 2=a 2−b 2，∵x M ∈[−a,a]，故|MF|∈[a −c,a +c]，则{a +c =3+√5a −c =3−√5，解之得{a =3c =√5．故b 2=a 2−c 2=4，椭圆T 的方程为x 29+y 24=1．(II)由题知直线AB 的方程为y =23x +2，设直线l ：y =23x +m 与椭圆T 相切于x 轴下方的点M 0(如上图所示)，则△ABM 0的面积为△ABM 的面积的最大值S 0．则{y =23x +m x 29+y 24=1即29x 2+m 3x +m 24−1=0，则Δ=m 29−4×29(m 24−1)=0解得m =−2√2． 此时，直线AB 与直线l 距离为√2√1+9=√2)√13，而|AB|=√13，S 0=12⋅√13⋅√2)√13=3(1+√2)．∴△ABM 的面积的最大值是3(1+√2)．解析：(I)由椭圆性质可知|MF|=c a (a 2c −x M )=a −ca x M ，其中c >0，c 2=a 2−b 2，又x M ∈[−a,a]，故|MF|∈[a −c,a +c]，则{a +c =3+√5a −c =3−√5，解之得a ，c 的值，进一步得到椭圆T 的方程．(II)由题知直线AB 的方程为y =23x +2，设直线l ：y =23x +m 与椭圆T 相切于x 轴下方的点M 0，则△ABM 0的面积为△ABM 的面积的最大值S 0，联立直线和椭圆方程即可求得m 的值，再求出直线AB 与直线l 距离，则△ABM 的面积的最大值可求．本题考查了椭圆的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=12ax 2−2ax −3lnx +b 在x =1处切线为4x +y −2=0．∴f′(x)=ax−2a−3x，x>0，即直线4x+y−2=0斜率为−4，由f′(1)=a−2a−3=−4，解得a=1，由f(1)=12a−2a+b=−2，解得b=−12．(2)f′(x)=x−2−3x =(x−3)(x+1)x，由f′(x)>0，得x>3，由f′(x)<0，得0<x<3，∵x∈[1,7]，∴f(x)的减区间是[1,3)，增区间是(3,7]，又f(1)=−2，f(7)=10−3ln7>−2，f(3)=−2−3ln3，∴f(x)在x∈[1,7]上的值域是[−2−3ln3,10−3ln7]．解析：本题考查实数值的求法，考查函数在闭区间上的值域的求法，考查导数性质、导数的几何意义、函数的单调区间、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f′(x)=ax−2a−3x，x>0，利用导数的几何意义能求出a，b．(2)由f′(x)=x−2−3x =(x−3)(x+1)x，x∈[1,7]，得f(x)的减区间是[1,3)，增区间是(3,7]，由此能求出f(x)在x∈[1,7]上的值域．22.答案：解：因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为ρ=acosθ．又因为点(3√2,π4)在圆C上，所以3√2=acosπ4，解得a=6．所以圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，属基础题．设圆C 的极坐标方程为ρ=acosθ.又因为点(3√2,π4)在圆C 上，代入求a 即可．23.答案：解：(1)原不等式化为：{x <−1−x −1−x +2<5或 {−1≤x ≤2x +1−x +2<5或 {x >2x +1+x −2<5, 解得−2<x <−1或−1≤x ≤2或2<x <3． ∴原不等式的解集为{x|−2<x <3}；(2)令f(x)=x 2−|2x −1|，由题意可得只须m ≤f(x)min 即可． ①当x ≥12时，f(x)=x 2−2x +1=(x −1)2≥0(x =1时取等)； ②当x <12时，f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2≥−2(x =−1时取等)． 可得f(x)的最小值为−2， ∴m ≤−2，则实数m 的取值范围是(−∞,−2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． (1)运用绝对值的意义，去绝对值可得x 的不等式组，解不等式可得所求解集；(2)令f(x)=x 2−|2x −1|，由题意可得只须m ≤f(x)min 即可，去绝对值结合二次函数的最值求法，可得m 的范围．。

福建省宁德市2019-2020年度高考数学一模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设,,则等于（）A .B .C .D . 或2. （2分）(2018·自贡模拟) 若（其中为虚数单位），则复数的虚部是（）A .B .C .D . 23. （2分） (2017高二下·衡水期末) 平面向量与的夹角为60°， =（2，0），| |=1，则| +2 |=（）A .B . 2C . 4D . 24. （2分）(2018·新疆模拟) 参加2018年自治区第一次诊断性测试的10万名理科考生的数学成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数为（）（附：，则）A . 311740B . 27180C . 13590D . 45605. （2分）在中，（）A . 或B .C .D . 或6. （2分）已知f（x）= ，若函数f（x）在R上单调递增，那么实数a的取值范围是（）A . （，3）B . （2，3）C . [ ，3）D . （1，3）7. （2分）某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填（）A . y=0.85xB .C . y=0.53xD .8. （2分）直三棱柱中，分别是的中点， ,则BM与AN所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（）A .B .C . 8D . 1210. （2分） (2017高一上·福州期末) 一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A . 1B . 3C . 6D . 211. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高三上·上虞期末) 数列的一个通项公式为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线y=1与函数y=3sin x（0≤x≤10）的图象所有交点的横坐标之和为________．14. （1分）(2020·淮北模拟) 已知实数x，y满足则的最小值为________.15. （1分）曲线y=e﹣x+1在x=0处的切线方程为________．16. （1分） (2017高三下·岳阳开学考) 在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边BC上的一点，且•= • ，则• 的值等于________．三、解答题： (共7题；共60分)17. （10分） (2019高一下·吉林期末) 在数列中，，，数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等差数列．（2）若对恒成立，求的取值范围．18. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为 80,90 、 90,100 、 100,110 、 110,120 、 120,130 ，由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：附：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5. 024 6.6357.87910.828（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5 的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班50乙班50合计（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？19. （15分）(2017·黄石模拟) 如图，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值；（3）若点M在线段EF上运动，设平MAB与平FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20. （5分）(2017·西宁模拟) （a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2 ，离心率为，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记，若在线段MN上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．21. （5分）已知f（x）=ax2﹣ex ．（I）若函数f（x）在定义域上恒单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ，求证：x1+x2＞2．22. （5分）在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（I）求的参数方程与的直角坐标方程；（II）射线与交于异于极点的点 ,与的交点为 ,求 .23. （10分） (2017高三上·惠州开学考) 已知函数f（x）= 满足：f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a，b的值，并探究是否存在常数c，使得对函数f（x）在定义域内的任意x，都有f（x）+f（c﹣x）=4成立；（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤ 恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、22-1、23-1、23-2、。

福建省宁德市2020-2021学年高三上学期第一次质量检查（期末）数学理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） A．2BCD ．22．设集合201x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( )A ．{}21x x -≤<-B ．{}11x x -<≤ C ．{}21x x -≤<D ．{}11x x -≤<3．已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A ．14±B ．14 C ．116±D ．1164．若x ，y 满足111y x y y x ⎧⎪+⎨⎪≥-⎩，则2x +y 的最大值为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．75．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．53π B ．7π C ．323πD ．13π6．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A ．25B ．45C ．60D ．757．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ8．若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．x <y <zB ．x <z <yC ．z <x <yD ．z <y <x9．已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( ) A ．3或13B ．0C ．13D ．310．已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )AB ．C ．4D ．811．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( ) A ．3B ．2CD12．已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增； ④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立． 其中的真命题为( ) A ．②③ B ．①④C ．①②D ．③④二、填空题13．已知向量(1,2)a =-，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______． 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______．15．若sin()2cos )4αααπ++，则sin 2α=_______．16．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______．三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos c C -⋅，c = （1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．21．已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值； （2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．22．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=α的值. 23．已知11212xx m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11a Mb ,求2a b -的取值范围.参考答案1．C 【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可． 【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i,则|z|＝ 故选C ． 【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题． 2．A 【分析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】 因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力. 3．A 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值. 【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±.故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力. 4．B 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值． 【详解】作出x ，y 满足111y x y y x ⎧⎪+⎨⎪≥-⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ， 平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得A （2，1），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×2+1＝5． 即目标函数z ＝2x +y 的最大值为5． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 5．C 【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以231BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 6．D 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =， 此时，100S =终止循环. 故选：D. 【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解7．D 【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题．分析：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α，反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α， 反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件， 故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 8．C 【分析】 令23log log 2(0)z x yk k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】 令23log log 2(0)zxyk k，则2,3k k x y ==，因为0k >，由2,3xxy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2xy =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z xk k ，所以z x ，综上所述：z x y <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究. 9．B 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 故选：B. 【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力. 10．A 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值. 【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42px y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算. 11．C 【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值. 【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便. 12．D 【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】 因为'1(n )si x f x xx a =++，对③，当0a =时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ； 对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A.故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.13．5-【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14．12【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15．35【分析】由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=，所以PE .【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.17．（1）12n a n =；（2）21n n + 【分析】（1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式；（2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.【详解】 （1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】 本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解能力.18．（1）证明见解析；（2）3π 【分析】 （1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，2=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点， 所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点， 所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪--=⎪⎩， 故可取2(1,0,=n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19．（1）4A π=；（2）【分析】（1）由正弦定理，cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =从而求得A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=，sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20．（1）22143x y +=；（2）916π 【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =， 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-==，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21．（1）2a =-；（2）【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-， 1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=， 解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，设21ax t x e +=， 设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h = 故a 的最小值为【点睛】 本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.22．(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈，则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23．(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M . (2)由(1)得2M =,再利用11aM b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-，又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤， ∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b ．0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即21b 时取“=”； 当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1b b，即212b 时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。