高等数学同济大学第七章微分方程1

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

《高等数学》课程标准《高等数学》课程是本科非数学类各理科专业的重要专业基础课，在大学教育及高素质人才的培养过程中占有十分重要的地位。

随着时代的发展、科学的进步、经济的腾飞，数学科学已与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，数学地位的巨大变化必将影响到高等数学课程在整个高等教育中的地位与作用。

同时，《高等数学》课程还担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务。

因此，《高等数学》不仅要向学生传授数学知识，更要注重培养学生的数学修养。

但是，不同学科和专业对高等数学知识的需求不同，同时，为了满足我校学生将来考研的需要，根据专业需求的特点和考研《数学一》至《数学三》的要求，将《高等数学》课程划分为如下三个层次。

《高等数学I》（第一层次）一、课程说明：《高等数学I》由微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分构成，本课程是物理教育专业和计算机等专业的一门必修的基础课程，也可供将来考研时需要考《数学一》的其它专业同学选修。

课程总学时为276学时，分四个学期行课，其中，第一学期78学时，4学分，第二学期90学时，5学分，第三学期54个学时，3学分，第四学期54个学时，3学分，共15学分。

1．参考专业：物理教育和计算机等专业。

2．课程类别：专业基础课3．参考教材与参考书目教材：1 《高等数学》第六版，同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2007年。

2 居余马等编著，线性代数（第2版），北京，清华大学出版社，2002年9月第2版3 盛骤等，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出版社，1989。

参考书目：1 四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二、三、四册），北京，高等教育出版社，1997。

2 同济大学应用数学系编，线性代数（第4版）北京，高等教育出版社，2003年7月。

3 高世泽，概率统计引论，重庆：重庆大学出版社，2000年。

4．课程教学方法与手段以教师讲授为主，学生自学为辅的教学方式进行教学，课堂上的教学以启发式的方式进行讲授，学生作适当的课内练习。

高等数学同济第七版教材上下册高等数学是大多数理工科专业学生都需要学习的一门重要课程，它是数学的一个分支，包括微积分、极限、导数、积分等内容。

同济大学出版社出版的《高等数学同济第七版教材》是一本经典教材，在许多大学都被广泛采用。

本文将对该教材的上下册进行简要介绍。

上册主要讲解微积分的基础知识和方法。

第一章是导言部分，介绍了微积分的起源和发展，以及微积分在科学和工程问题中的重要性。

第二章从实数的相关概念开始，包括实数的性质、大小比较、数列的极限等内容。

第三章介绍了函数的概念和性质，如函数的定义域、值域、单调性等。

第四章主要讲解极限的概念和运算法则，以及极限存在的判定方法。

第五章是导数的基本概念和计算方法，包括导数的定义、四则运算、复合函数求导等。

第六章讲解了微分的概念和性质，以及微分中值定理。

第七章介绍了一元函数的应用问题，如最值、曲线的凹凸性、函数的图象等。

下册主要讲解积分和微分方程等内容。

第八章以不定积分为开始，讲解了不定积分的基本性质和运算法则，以及常见的求积方法。

第九章是定积分的概念和计算，包括定积分的定义、性质、几何应用等。

第十章讲解了定积分的几何应用，如平面图形的面积、旋转体的体积等。

第十一章介绍了反常积分的概念和计算方法。

第十二章是微分方程的基本概念和解法，包括一阶常微分方程和高阶常微分方程。

第十三章讨论了线性微分方程、二阶齐次线性微分方程以及常系数线性齐次微分方程。

第十四章是常微分方程的应用，如生物学模型、电路模型等。

整本教材的特点是理论与实践相结合，理论部分系统而严谨，实例部分丰富而具体。

教材内容全面，涵盖了高等数学的各个方面，既有基础的原理和知识点，也有实际应用的例子和题目。

教材中的例题和习题都有详细的解答和推导过程，方便学生理解和掌握知识点。

此外，教材还附带有学习指导和练习辅导，帮助学生进行自主学习和巩固复习。

总之，同济大学出版社的《高等数学同济第七版教材》是一本经典的高等数学教材，内容丰富、系统、深入浅出。

微分方程的通解包含方程的全部解微分方程是数学中的一个重要分支，主要研究变量之间的关系以及方程的解。

通解是微分方程的解的一般形式，包含了方程的全部解。

下面将从微分方程的基本概念、求解方法以及通解的含义等方面进行介绍，希望能够对你有所帮助。

一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示。

例如，一阶线性常微分方程可以写成形式如下的方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，dy/dx是y关于x的导数，P(x)和Q(x)是给定的已知函数。

二、微分方程的求解方法1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离到方程的两边，然后对两边进行积分，最后得到方程的通解。

2. 齐次方程法：当方程等号右边为零时，可以使用齐次方程法求解。

首先将方程转化为dy/dx = f(x)/g(y)的形式，然后通过变量代换将其变为分离变量的方程，最后进行积分求解。

3. 一阶线性常微分方程法：对于一阶线性常微分方程，可以使用积分因子法求解。

首先将方程转化为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后求出方程的积分因子μ(x)，并将方程两边同时乘以积分因子，最后进行积分求解。

4. 变量替换法：当微分方程具有特殊形式时，可以通过变量替换将其转化为一种更简单的形式，然后使用已知的求解方法求解。

三、微分方程的通解的含义微分方程的通解是指包含方程的全部解的一般形式，它可以通过求解微分方程得到。

对于一些简单的微分方程，可以直接通过积分求得通解。

但是对于一些复杂的微分方程，通解往往比较难以求得，需要使用一些特殊的方法或者定理。

需要注意的是，通解中包含任意常数，这些常数的取值可以通过附加条件或者边界条件来确定。

通过给定特定的条件，可以从通解中确定出方程的特解。

四、相关参考内容1. 《高等数学》（下册）（同济大学数学系编著）：这本教材详细介绍了微分方程的基本概念、求解方法以及通解的相关知识，适合初学者学习。

2. 《数学分析》（任继愈著）：这本教材全面系统地介绍了微分方程的相关理论和方法，内容较为深入，适合深入学习微分方程的人士参考。

《高等数学（一）》教学大纲Advanced Mathematics (1)课程编码：09A00010 学分：5.0 课程类别：专业基础课计划学时：80 其中讲课：80 实验或实践：0适用专业：材料与工程学院，化学化工学院，机械工程学院，历史与文化产业学院，商学院，生物科学与技术学院，土木建筑学院，物理科学与技术学院，信息科学与工程学院，医学与生命科学学院，资源与环境学院，自动化与电气工程学院。

推荐教材：同济大学数学系编，《高等数学》第七版（上册），高等教育出版社，2014年8月。

参考书目：1、齐民友主编，高等数学（上册），高等教育出版社， 2009年8月；2、同济大学数学系编，高等数学习题全解指南（上册），第七版，高等教育出版社，2014年7月。

课程的教学目的与任务高等数学（一）是工科院校的一门极其重要的专业基础课。

通过本课程的学习，能使学生获得一元函数微积分和常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能，逐步增加学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维和空间想象能力。

同时强调分析问题和解决问题的实际能力。

使学生在得到思维训练和提高数学素养的同时，为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。

课程的基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握极限的计算、导数的概念和计算，理解中值定理和掌握导数的应用；掌握不定积分、定积分的计算，理解二者之间的关系，了解定积分的应用；掌握几类微分方程的解法，了解微分方程的应用。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章函数与极限建议学时：20 [教学目的与要求]理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念。

了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。