陕西省西安地区2020-2021学年高三上学期第一次八校联考理科数学试题

高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分 1.设集合()(){}380A x x x =++<，则A Z =∩A . {}83x x -<<-B . {}4,5,6,7C . {}38x x << D .{}7,6,5,4----2.若z =，则A . 2z 的实部为1B . 2z 的实部为1-C . 2z 的虛部为-D . 2z 的虚部为3.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是A .从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B .这10天白天的平均气温的极差大于6℃C .这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D .这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 4.若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则A . ()1f x +为偶函数B . ()1f x -为偶函数C . ()1f x +为奇函数D . ()1f x -为奇函数 5.在平行四边形ABCD 中，7CD ED =，且BE AD DE λμ=+，则λμ+= A . 5- B . 6- C .5 D .6 6.函数()()22sin 2cos sin f x x x x =-的最小正周期为A .4π B . 2πC . πD . 34π7.若随机变量X 的分布列为则DX =A .16B .32C .18D .648.在ABC ∆中，3B π=，且ABC ∆的面积为，则ABC ∆外接圆的半径的最小值是A .B .6C .D .129.若从1，3，5，7中选取两个数，从0，2，4，6，8中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为A .1296B .1320C .1440D .1524 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A .12 B .1. C .32D .2 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 11.若1tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=- . 12.椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为 . 13.若函数()()991log 2log 4f x x x x ⎛⎫=+->⎪⎝⎭），则()f x 的值域为 . 14.已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上， PA AD ⊥，PA AB =，PB =，且BC =.若球O 的体积为323π，则棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15-19题为必考题，每个试题考生都必须作答.第20，21题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分15.（12分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 16.（12分）某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：（1）根据6至10月份的数据，求出v 关于u 的线性回归方程；（2）该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告.附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni i i nii x y nxyb x nx==-∑=-∑，a y bx =-.17.（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD ∆沿AC 折到PAC ∆的位置使得4PD =.（1）证明：PB AC ⊥.（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 18.（12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点,22p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，EF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，当E 到l 的距离最大时，求EPQ ∆的面积. 19.（12分） 已知函数()ln x f x x e=-. （1）若曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，求a 的取值范围. （2）证明：()23ln sin 4f x x x x <--. （二）选考题：共10分.请考生从第20，21两题中任选-题作答. 如果多做，则按所做的第一个题目计分. 20.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） x = 4cos a ，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{4cos 44sin x y αα==-+（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin m ρθρθ+=. （1）求C 的极坐标方程；（2）若l 与C 相交，求m 的取值范围. 21.[选修4- 5：不等式选讲]（10分） 已知函数()3f x x a x a =-+-. （1）求不等式()1f x x a >+-的解集；（2）若()f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）1.D 因为{}83A x x =-<<-，所以{}7,6,5,4A Z =----∩.2.B 因为21z =--，所以2z 的实部与虚部分别为1-，-3.D 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势这10天白天的平均气温的极差大于6℃.这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0. 3，比其他平均气温的频率都要大.这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天.故选D .4.C 因为函数()f x 的图象关于点()1,0对称，所以将()f x 的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，故选C .5.A 因为7CD ED =，所以6CE DE =-，则6BE BC CE AD DE =+=-，所以165λμ+=-=-.6.A ()1sin 2cos 2sin 42f x x x x ==，因为sin 4y x =的最小正周期为242ππ=，所以()f x 的最小正周期为4π. 7.D ∵100.3200.5300.116EX =⨯+⨯+⨯=，∴2222160.160.340.5140.164DX =⨯+⨯+⨯+⨯=.8.A由三角形的面积公式可得1sin 24ac B ==36ac =.由余弦定理可得222b a c =+-2cos 236ac B ac ac ac -==≥，即6b ≥，则ABC ∆外接圆的半径2sin 32bR B==⨯（当且仅当6a c ==时，等号成立）.9.A 若0被选中，则不同的四位数的个数211314433C C C A 432N ==；若0不被选中，则不同的四位数的个数2241444C C A 864N ==.故不同的四位数的总个数为4328641296+=.10.B 由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示.正视图的面积为1132222111222⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，故该三棱锥的体积为一132132⨯⨯=.11. 13 1sin cos tan 1123sin 2cos tan 232αααααα---===---12.6 因为49<，所以29a =，所以椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为26a =. 13.()0,1 因为()9922log log 1x f x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又2119x <+<，所以()f x 的值域为()0,1.14∵PA AB =，PB =，∴PA AB ⊥，又PA AD ⊥，AD AB A =∩， ∴PA ⊥平面ABCD .∵底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径.设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，即2R =，又2R ==，解得2AB =.如图，过A 作AG PD ⊥于G ，取棱PA 的中点F ，连接EF .易证CD ⊥平面APD ，则CD AG ⊥，从而AG ⊥平面PCD .由等面积法可得AG ==，则F 到平面PCD PCD的距离为123AG =∵EF AB CD ∥∥，∴EF CD ∥，则E 到平面PCD PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离， 故棱PB 的中点到平面PCD的距离为315.解：（1）由题意可得231324113301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨>⎪⎩，解得11a =，3q =.故1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故()2121135212n n n S n n +-=++++-==.16.解：（1）由表中数据可得()1101113129115u =⨯++++=， ()12325302616245v =⨯++++=，515222151351511243.16155115i i i i i u v uvb u u==-∑-⨯⨯===-⨯-∑， 24 3.11110.1a v bu =-=-⨯=-，故v 关于u 的线性回归方程为 3.110.1v u =-. （2）当15u =时， 3.11510.136.435v =⨯-=>， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告. 17.（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 则BE AC ⊥，PE AC ⊥.因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =∩，所以AC ⊥平面PBE . 因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥.（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF . 因为8BD =，所以4DE PE ==.因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥.由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD .故以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题中数据可得()3,2,0A --，()0,6,0B -，()3,2,0C -，()0,2,0D，(0,0,P ，则()3,4,0AB DC ==-，(BP =，(0,DP =-.设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则11134060m AB x y m BP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-. 设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22234020n DC x y n DP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(n =.n . DP =-2y2+2/3z2=0，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ， 则cos m nm nθ⋅===. 18.解：（1）因为,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，EF =，=解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =. （2）由题意知，()2,0F ，因为直线l 过点F ， 所以当EF l ⊥时，点E 到l 的距离最大. 因为201222EF k -==---，所以直线l 的斜率为2，联立方程组()2228y x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得2640x x -+=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则126x x +=， 所以126410PQ x x p =++=+=.因为EF =，所以EPQ ∆的面积为1102⨯⨯=19.（1）解：()11f x x e'=-. 因为()f x 的定义域为()0,+∞，所以111x e e->-. 因为曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，所以11a e->-， 解得0a <或a e >，则a 的取值范围为()(),0,e -∞+∞∪.（2）证明： ()11e x x e x f x e'-=-=. 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<. 所以()()max ln 0ef x f e e e==-=. 设函数()2ln g x x x =-，则()21212x g x x x x-'=-=.当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()0g x '<；当2x ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.所以()min 11111ln ln 222222g x g ==-=+⎝⎭.因为1ln 22>=， ()min 34g x >. 因为333sin ,444x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以23ln sin 04x x x -->. 又()()max 0f x f x =≤，所以()23ln sin 4f x x x x <--. 20.解：（1）由{4cos 44sin x y αα==-+，得()22416x y ++=，即2280x y y ++=，则C 的极坐标方程为28sin 0ρρθ+=， 即8sin 0ρθ+=（或8sin ρθ=-）. （2）因为l 的极坐标方程为340x y m +-=， 所以l 的直角坐标方程为340x y m +-=.由（1）知，曲线C 表示圆心()0,4C -，半径为4的圆，则C 到l 的距离1645m d +=<， 解得364m -<<，即m 的取值范围为()36,4-.21.解：（1）由()1||f x x a >+-，得31x a ->， 则31x a -<-或31x a ->， 即31x a <-或31x a >+，故不等式()1f x x a >+-的解集为()(),3131,a a -∞-++∞∪. （2）因为()()1332f x x a x a x a a >+----=≥， 所以()f x 的最小值为2a .因为()f x >x ∈R 2a <， 又180a +≥，所以[)918,2,4a ⎛⎤∈--⋃+∞⎥⎝⎦.。

2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}10A x Z x =∈+≥，(){}lg 3B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）． A ．{}0,1,2B ．{}13x x -≤<C ．{}0,1,3,1,2-D ．{}1,2,1,0-2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-，i 为虚数单位，则zi=（ ）． A ．2i --B ．12i -+C ．2i -D ．12i --3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．34．若已知实数,x y 满足()22,20,13,y x x y y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则241z x y =++的最小值为（ ）．A ．2-B ．3-C ．5-D ．05．从6男4女中任选2男2女担任,,,A B C D 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作C ，则不同的选派方案种数为（ ）． A ．1800B ．1890C ．2160D ．22106．已知()622a a Z a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项是160-，则函数()af x x =是（ ）． A ．定义域为R 的奇函数 B ．在()0,+∞上递减的奇函数 C ．定义域为R 的偶函数D ．在()0,+∞上递增的偶函数7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）． A ．（2，0）B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（0，2）D ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A ．20πB ．16πC ．12πD ．9．若x x ≤≤223x x+≤≤”成立的（ ）． A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．函数()22cos212sin 2f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）． A ．(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦11．已知双曲线C ：()2210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）．A ．3y x =±B ．5y x =±C ．35y x =±D ．5y x =±12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（ ）． A ．4200B ．3900C ．3700D ．3500第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷中相应的横线上） 13．已知平面向量(),2a m =，()2,b m =，且//a b a -，则m =______．14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______．15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．16．金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()28dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM ． （Ⅰ）求角A 、C 的大小； （Ⅱ）求ABC △的面积．18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）．（Ⅰ）证明：//PB 平面AMN ；（Ⅱ）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求二面角B AM N --的余弦值．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n f n a S =-+-．（Ⅰ）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （Ⅱ）若()0f n =对任意n N +∈都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式． 20．己知函数()()2sin f x mx x m R =+∈．（Ⅰ）若()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，求m 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值．21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E的离心率2e =12AB AC ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若斜率为1111k k ⎛-<< ⎝⎭的直线l 过点()()0,4m m k ≠-，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()25f x x x x =---． （Ⅰ）求不等式()238f x x ≥-的解集；（Ⅱ）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围．。

2020届高三年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合()(){}140A x x x =+-<，{}2B x x =>，则A B =（ ）． A ．()4,4-B ．()1,2-C ．()2,4D ．()2,+∞2．已知数列{}n a 满足120n n a a ++=且22a =，则{}n a 的前10项的和等于（ ）．A ．10123-B ．10123--C ．1021-D ．1012-3．已知i 为虚数单位，若复数()1z a a i =+-（a ∈R ），z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ）． A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+4．已知m 、n 为直线，α、β为平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩． 其中的正确命题序号是（ ）． A ．②③B ．③④C ．①②D ．①②③④5．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）．A ．()cos xf x e x =⋅B ．()ln cos f x x x =⋅C ．()cos xf x e x =+D ．()ln cos f x x x =+6．设1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-（0a >，0b >），若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是（ ）． A ．2B ．4C ．6D ．87．已知p ：1a =±，q ：函数()(ln f x x =为奇函数，则p 是q 成立的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆222x y r ++（0r >）与抛物线22y x =交于A 、B 两点，与抛物线的准线交于C 、D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于（ ）． A．2BC．2D9．已知sin α、cos α是方程2520x -=的两个实根，且()0,πa ∈，则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）． AB． CD． 10．对于函数()2cos cos f x x x x =，x ∈R ，下列命题错误的是（ ）． A ．函数()f x 的最大值是32B ．不存在05π4π,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00f x = C ．函数()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．已知1F 、2F 是双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的下、上两个焦点，过1F 的直线与双曲线的下、上两支分别交于点A 、B ，若2ABF △为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）． A．y =B．y =C．y =D．y x = 12．已知函数()10,1,0,x x f x xe x -≤=+>⎪⎩点A 、B 是函数()f x 图象上不同两点（A 、B 两点位于y 轴的两侧），则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ）． A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（把答案填在答题卷中相应的横线上）13．设实数x 、y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最小值为______．14．从13，12，2，3，5，9中任取两个不同的数，分别记为m 、n ，则“log 0m n >的概率为______． 15．已知点A 、B 、C 在球心为O 的球面上，若5AB AC ==，6BC =，球心O 到截面ABC 的距离为1，则该球的表面积为______．16．在ABC △中，内角A 、C 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，D 是AB 的中点，若1CD =且()()1sin sin sin 2a b A b c C B ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是______． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：17．已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；（Ⅱ）若二面角P CD B --为45︒，2AD =，3CD =，求PD 与平面PCE 所成角的正弦值．18．已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且11a =，2211n n S S +=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()1nnnb a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．为调查某校学生每周体育锻炼落实情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h ）．根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． ①求P （0.88.3Z <<）；②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间()0.8,8.3的人数为ξ，求()E ξ．2.5≈；若(),ZN μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为3，直线l 和椭圆C交于A 、B 两点．当直线l 过椭圆C 的焦点且与x 轴垂直时，23AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．设函数()()()2ln 102xf x ax a x =+->+． （Ⅰ）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x 、2x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求点Q 轨迹的极坐标方程． 23．【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()1f x x =-．（Ⅰ）求不等式()()212f x f x -+≥的解集；（Ⅱ）若0a >，0b >，且()3a b f +=≤。