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三角分解法
三角分解法亦称因子分解法，由消元法演变而来的解线性方程组的一类方法。
设方程组的矩阵形式为Ax=b，三角分解法就是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积：A=LU，然后依次解两个三角形方程组Ly=b 和Ux=y，而得到原方程组的解，例如，杜利特尔分解法、乔莱斯基分解法等就是三角分解法。
【基本介绍】
若能通过正交变换，将系数矩阵A分解为A=LU，其中L是单位下三角矩阵(主对角线元素为1的下三角矩阵)，而U是上三角矩阵，则线性方程组Ax=b 变为LUx=b，若令Ux=y，则线性方程组Ax=b的求解分为两个三角方程组的求解：
(1)求解Ly=b，得y；
(2)再求解Ux=y，即得方程组的解x；
因此三角分解法的关键问题在于系数矩阵A的LU分解
【矩阵LU能分解的充分条件】
一般地，任给一个矩阵不一定有LU分解，下面给出一个矩阵能LU分解的充分条件。
定理1 对任意矩阵AϵR n×n（n≥2），若A的各阶顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolittle分解(或Crout分解)。
定理2 若矩阵AϵR n×n（n≥2）非奇异，且其LU分解存在，则A的LU 分解是唯一的。
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。
矩阵的三角分解
矩阵的三角分解是将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下
三角矩阵的乘积。
这个过程可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆等问题。
具体地说，设A是一个n×n的矩阵，其三角分解可以表示为： A=LU
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
L和U可以通过高斯消元法来求得。
具体地，我们对矩阵A进行一系列初等变换，使其化为一个上三角矩阵U，然后再对原矩阵A的每一行进行相应的初等变换，使得变换后的矩阵L成为一个下三角矩阵。
例如，对于如下矩阵A：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
我们可以通过高斯消元法求出其上三角矩阵U：
1 2 3
0 -3 -6
0 0 0
再对原矩阵A的每一行进行相应的初等变换，得到下三角矩阵L： 1 0 0
4 1 0
7 2 1
因此，矩阵A的三角分解为：
A = LU =
1 2 3 1 0 0 1 2 3
4 5 6 = 4 1 0 * 0 -3 -6
7 8 9 7 2 1 0 0 0
可以看到，矩阵A成功地被分解为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积。
矩阵的三角分解及其应用作者：王焕庭来源：《教师·上》2010年第08期一、矩阵的三角分解1.定义如果方阵A可分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积,则称A可作三角分解或LU分解。
如果方阵A可分解成A=LDU (1.1),其中L是单位下三角矩阵,D是对角矩阵,U是单位上三角矩阵,则称A可作LDU分解。
2. A的LDU分解和 LU分解求法(1)A的LDU分解求法: 取A的一阶主子式,作LDU分解A1=(1)(a11)(1),L1=(1),D1=(a11),U1=(1), 用(1)式-(4)式确定v1,l1,从而L2=,D2=,U2=,A2=L2D2U2。
然后重复使用(1)-(4)式得到A的顺序主子式的LDU分解。
Ak=LkDkUk,k=1,2,…,n,当k=n时,即完成A的LDU分解。
(2)A的LU分解求法:先按照(1)的步骤求出A的LDU分解,再令DU的乘积为U’,即求出 A 的LU分解。
3.LU分解的推广和改进矩阵A的LU与LDU分解都需要假设A的前n-1阶顺序主子式非零。
如果这个条件不满足,可以给A左或右乘以置换矩阵,就把A的行或列的次序重新排列,使这个条件满足,从而就有如下的带行交换的矩阵分解定理。
定理1设A是n阶非奇异矩阵,则存在置换矩阵P使PA的n个顺序主子式非零。
该定理的证明可在矩阵论教科书中查到。
4. LU分解在解方程组中的应用设A是n阶非奇异矩阵,则存在置换矩阵P使PA=LDU=LU’(1.3)。
其中L是单位下三角矩阵,D是对角矩阵,U是单位上三角矩阵, U’ 是上三角矩阵。
如果方程组AX=b(1.3),系数矩阵 A是n阶非奇异矩阵且△k≠0,(k=1,2,…,n-1), 则存在三角分解A=LU.于是得到与原方程组同解的以三角矩阵为系数矩阵的方程组Ly=b(1)Ux=y(2), 方程组的(1)式解出代入(2)式解出,这就是线性方程组的三角分解法。
如果方程组的系数矩阵A的某个顺序主子式△k=0 ,(k=1,2,…,n-1),可用定理1的推论考虑与其同解的方程组PAX=Pb(1.4),即也可用三角分解法求解。
矩阵分解的常用方法一、矩阵的三角分解定义：如果方阵可分解成一个下三角形矩阵L和上三角形矩阵U的的乘积，则称可作三角分解或LU分解。
定理1：高斯消元过程能够进行到底的充分必要条件是的前n-1个顺序主子式都不为零，即k ≠0，k=1，2，…，n-1。
（1）当条件（1）满足时，有L（n-1）…L（2）L（1）=U。
其中U为上三角形矩阵L（k）=lik=，i=k+1，…，n。
容易得出，detL（k）≠0（k=1，2，…，n-1），故矩阵L（k）可逆，于是有=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1U。
由于（L（K））-1是下三角形矩阵，故它们的连乘积仍然是下三角矩阵。
令L=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1=则得=LU。
即分解成一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的的乘积。
二、矩阵的QR（正交三角）分解定义：如果实（复）非奇异矩阵能化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即=QR，则称上式为的QR分解。
定理2：任何实的非奇异n阶矩阵可以分解成正交矩阵Q 和上三角形矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值等于1的对角矩阵D外，分解成=QR是唯一的。
矩阵QR的分解具体做法如下：令的各列向量依次为α1，α2，…，αn，由于是非奇异的，所以α1，α2，…，αn线性无关，按照施密特正交法正交化得到个标准的正交向量β1，β2，…，βn，且β=bαβ=bα+b22α2β=bα+b2nα2+…+bnnαn这里bij都是常数，且由正交化过程知bii≠0（i=1，2，…，n）写成矩阵形式有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）β，即Q=B。
其中B=是上三角矩阵（bii≠0，i=1，2，…，n）。
显然B可逆，而且B=R-1也是上三角矩阵，由于Q的各列标准正交，所以Q 正交矩阵，从而有=QR。
三、矩阵的奇异值分解定理3 （奇异之分解定理）设是一个m×n的矩阵，且r （）=r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得UHV=（2），其中？撞=dig（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。
