第3章 矩阵的分解

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得：()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。

类似地可以定义左公因子。

定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。

对任意的n n ⨯与n m ⨯的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。

因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个。

定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ⨯和n m ⨯多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +⨯+的单模矩阵()λG ，使得()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ⨯多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。

证明：（1）证明()λR 是右公因子。

设()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。

（2）证明()λR 是gcrd 。

设()λ1R 也是()()λλD N ,的右公因子，故有()()()()()()λλλλλλ1111,R D D R N N ==。

矩阵分解在考研线代中的应用一、矩阵分解是什么？在此仅谈考研数学中常用的矩阵分解的构思C=AB，将一个矩阵C拆分为两个矩阵的乘积AB，有时候方便研究问题，在求行列式，讨论秩，相似等均有应用和考察。

二、什么时候想矩阵分解？矩阵分解：若一个矩阵B的每一列向量都可以由另一个矩阵A的列向量组线性表示（特征），则可对B进行矩阵分解为：B=AC，其中C 是对应的表示系数矩阵（构思）。

例：如上图B的每一个列向量均可由A的列向量线性表示。

特征：回答了什么时候用的问题，构思：回答了怎么用的问题。

[相关知识链接]：向量β，α1，α2，···αn,若存在一组数k1,k2,···kn,使得β=k1α1+k2α2+···+knαn,则称β可以被α1，α2，···αn向量组表示。

α+2β=α+2β+0γ，向量α+2β可被向量组：α、β、γ表示请仔细观察下面例题，为什么想到想到用矩阵分解？（一）、矩阵分解在行列式中的应用例.设3阶矩阵A=（α1，α2，α3），|A|=1，B=（α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3），求|B|=？分析：抽象行列式，主要利用行列式、矩阵，相似的性质及结论来求解。

一眼可见B的每一列向量，都可以由A的列向量组表示，立马想到矩阵分解B=AC关于C=AB的理解：表示与秩的构思理解角度1：C=AB表示角度结论.矩阵C=AB的列向量可由A的列向量线性表出；.矩阵C=AB的行向量可由B的行向量线性表出。

[对比记忆]：C=AB····即AB=C，对比向量方程：AX=C，C的列向量可以由A的列向量表示。

亦可结合具体的例题来理解抽象的理论文字语言，如上题B的每一列向量都可由A的列向量线性表示。

一个具体的解决解决几个问题。

同理：对B, C按行分块，可见：C的行向量可以由B的行向量组表示。

第三章 矩阵的标准形与若干分解形式§1 矩阵的相似对角形一、知识回顾1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。

2．特征值与特征向量，特征子空间λV 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。

3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。

4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。

若A 为n 阶矩阵，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a aa a a A E λλλλ212222111211称为A 的特征矩阵。

又多项式n i n i n n a a a A E f +++++=-=-- λλλλλ11||)(称为A 的特征多项式，这里A aa ni ii∑=-=-=11tr ，||)1(A a n n -=，i a 是A 的所有i 阶主子式的和与i)1(-的乘积。

A tr 叫A 的迹。

属于矩阵A 的同一个特征值0λ的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间0λV ，称为A 的特征子空间。

特征子空间0λV 的维数不超过特征根0λ的重数。

二、寻找矩阵的相似对角形的方法例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121101365A ，(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，(3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 。

提示：(1) 31,31,2321-=+==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----=32320111332P ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++--=-633321332163332133210311P 。

(2) 5,1321=-==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111110101P ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111121112311P 。

1.完成实验三，实验报告交到实验楼205室郑老师处，根据实验过程和结果，并查阅相关资料，在课堂教学中回答以下问题：(1)什么是一次调频、二次调频、三次调频？什么是频率调节系数？一次调频是指当电力系统频率偏离目标频率时，发电机组通过调速系统的自动反应，调整有功出力以维持电力系统频率稳定。

一次调频的特点是响应速度快，但是只能做到有差控制。

二次调频也称为自动发电控制（AGC），是指发电机组提供足够的可调整容量及一定的调节速率，在允许的调节偏差下实时跟踪频率，以满足系统频率稳定的要求。

二次调频可以做到频率的无差调节，且能够对联络线功率进行监视和调整。

三次调频三次调频就是协调各发电厂之间的负荷经济分配，从而达到电网的经济、稳定运行！其实质是完成在线经济调度，其目的是在满足电力系统频率稳定和系统安全的前提下合理利用能源和设备，以最低的发电成本或费用获得更多的、优质的电能。

系统的频率调节系数，即系统的单位调节功率，它表示在计及发电机和负荷的调节效应时，引起的、频率单位变化的负荷变化量。

(2)对有功负荷、系统频率、联络线有功功率之间的变化关系进行分析。

联络线交换功率取决于两个系统的单位调节功率、二次调频的能力及负荷变化情况。

若互联系统发电机功率的二次调频增量能与全系统负荷增量相平衡，则可实现无差调节；否则，将出现频率偏移。

当联络线功率超过线路允许范围时，即使互联系统具有足够的二次调整能力，由于受联络线交换功率的限制，系统频率也不能保持不变。

(3)要保证联络线上有功功率执行计划值，应该如何进行调频。

实行电力系统有功功率的最优分配，目的是在满足对一定量负荷持续供电的前提下，使发电设备在产生电能的过程中消耗的能源最少，即满足等耗量微增率准则。

在调节联络线上有功功率时，一般不希望联络线上传输功率变化增量太大，又能做到各分区的平衡。

2.阅读教材、查阅资料、讨论，结合实验三的完成，回答以下问题：(1)什么是分解、分层、等值方法？如何进行数学定义和描述？分解：把一个大的系统并列分解为一些分系统（分地区发供电，各地区间只有少数几条联络线相联系），分别进行处理，并考虑它们之间的相互作用（协调处理或聚合处理，联络线作为协调对象，联络线两端的母线，既要满足各地区系统的运行状态，还要满足互联区的运行状态）。

§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得：()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。

类似地可以定义左公因子。

定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。

对任意的n n ⨯与n m ⨯的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。

因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个。

定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ⨯和n m ⨯多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +⨯+的单模矩阵()λG ，使得()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ⨯多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。

证明：（1）证明()λR 是右公因子。

设()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。

（2）证明()λR 是gcrd 。

设()λ1R 也是()()λλD N ,的右公因子，故有()()()()()()λλλλλλ1111,R D D R N N ==。