静电场的高斯定理
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第4章-2-高斯定理
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
§4.2
静电场的高斯定理 基本内容： 基本内容：
一、电场线 二、电场强度通量 三、高斯定理
第二节 静电场的高斯定理 7-3 一. 规定 电场线
第四章 第七章
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 切线方向为该点电场方向 通过垂直于电场方向单位面积 垂直于电场方向单位面积电场线的条 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线的条 数为该点电场强度的大小. 数为该点电场强度的大小.
第四章 第七章
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
电场线的特点
始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远, 1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远) 不会在没有电荷处中断. 向无穷远)，不会在没有电荷处中断. 电场线不相交. 2） 电场线不相交. 静电场电场线不闭合. 3） 静电场电场线不闭合. 电场线不仅能够表示电场强度的方向， 4) 电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。
dS＇dS
+
任取两个球面， 任取两个球面，一 个包围曲面， 个包围曲面，另一 个在曲面内： 个在曲面内：则两 个球面的电通量都 q/ε 为q/ε0
通过任意形状的包围点电 的闭合面的电通量等于q/ q/ε 荷q的闭合面的电通量等于q/ε0
第四章 第七章
§4.2
静电场的高斯定理 基本内容： 基本内容：
一、电场线 二、电场强度通量 三、高斯定理
第二节 静电场的高斯定理 7-3 一. 规定 电场线
第四章 第七章
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 切线方向为该点电场方向 通过垂直于电场方向单位面积 垂直于电场方向单位面积电场线的条 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线的条 数为该点电场强度的大小. 数为该点电场强度的大小.
第四章 第七章
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
电场线的特点
始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远, 1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远) 不会在没有电荷处中断. 向无穷远)，不会在没有电荷处中断. 电场线不相交. 2） 电场线不相交. 静电场电场线不闭合. 3） 静电场电场线不闭合. 电场线不仅能够表示电场强度的方向， 4) 电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。
dS＇dS
+
任取两个球面， 任取两个球面，一 个包围曲面， 个包围曲面，另一 个在曲面内： 个在曲面内：则两 个球面的电通量都 q/ε 为q/ε0
通过任意形状的包围点电 的闭合面的电通量等于q/ q/ε 荷q的闭合面的电通量等于q/ε0
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
高斯定理公式
高斯定理公式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料：
高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
§11-3 静电场的高斯定理
§11-3 静电场的高斯定理一、 电场线电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E用电场线描述规定：E 方向：电力线切线方向大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=dsdN即 ds dNE（即：某点场强大小=过该点并垂直于E的面元上的电力线密度。
）2、静电场中电场线性质⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e 表示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场⑴平面S 与E 垂直。
如图所示，由E的 大小描述可知：⑵平面S 与E 夹角为 ，如图所示，由E的大小描述知：S E ES ES ecos )(n S S式中n 为S的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上E 可视为均匀，设n为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为 ，则通过dS 电场强度通量为：S d E d e通过曲面S 的电场强度通量为：se e S d E d在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量e sE dS vv Ñ注意：通常取面元外法向为正。
三、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任意r 为半径的球面，S 上任一点p 处E为：r e r q E 2042、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：ssr se dS rq e S d rq S d E 202044（r、ds v同向）202044 qdS r q dS r q ss结论：e 与r 无关，仅与q 有关)(0const 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量⑴q 在S 内情形如图所示，在S 内做一个以q 为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为q。
静电场的高斯定理
向平面）。
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
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V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
静电场103静电场的高斯定理
静电场103静电场的高斯定 理
contents
目录
• 静电场简介 • 高斯定理的推导 • 高斯定理的应用 • 静电场的物理意义 • 高斯定理的局限性
ห้องสมุดไป่ตู้ 01
静电场简介
静电场的定义
静电场是由静止电荷产生的电场，其 电场线不闭合、不发散，且与带电体 的位置和电量分布有关。
静电场的电场线起于正电荷或无穷远 ，终止于负电荷或无穷远，沿电场线 方向电势降低。
按空间分布分类
根据静电场的空间分布，可将静电场分为均匀静电场 和非均匀静电场。
按电场线特征分类
根据静电场的电场线特征，可将静电场分为标量场和 矢量场。
02
高斯定理的推导
电场线的引入
电场线
表示电场中电场强度分布的曲线，其 上的每一点的切线方向与该点的电场 强度方向一致。
电场线的特点
不闭合、不相交、不相切、终止于正 负电荷。
揭示了电场与电荷之间的内在联系， 是静电场的基本定理之一，对于研究 静电场的性质和规律具有重要的作用。
推导过程
基于库仑定律和电场叠加原理，通过 引入电场线，利用微积分的知识，逐 步推导出高斯定理。
03
高斯定理的应用
电场分布的确定
高斯定理
通过一个闭合曲面的电场线数，等于该曲面所包围的电荷量与一个电荷量单位 的比值。
应用
通过测量或计算某一闭合曲面内的电场线数，可以确定该闭合曲面内的电场强度 。
04
静电场的物理意义
静电场的能量分布
静电场的能量分布反映了电场中电场力做功的能力，即电场能密度。在静电场中 ，电场能密度与电场强度成正比，表示单位体积内的电场能。
电场能密度可以通过积分计算得到整个电场的总能量，对于了解和预测电场的行 为具有重要意义。
contents
目录
• 静电场简介 • 高斯定理的推导 • 高斯定理的应用 • 静电场的物理意义 • 高斯定理的局限性
ห้องสมุดไป่ตู้ 01
静电场简介
静电场的定义
静电场是由静止电荷产生的电场，其 电场线不闭合、不发散，且与带电体 的位置和电量分布有关。
静电场的电场线起于正电荷或无穷远 ，终止于负电荷或无穷远，沿电场线 方向电势降低。
按空间分布分类
根据静电场的空间分布，可将静电场分为均匀静电场 和非均匀静电场。
按电场线特征分类
根据静电场的电场线特征，可将静电场分为标量场和 矢量场。
02
高斯定理的推导
电场线的引入
电场线
表示电场中电场强度分布的曲线，其 上的每一点的切线方向与该点的电场 强度方向一致。
电场线的特点
不闭合、不相交、不相切、终止于正 负电荷。
揭示了电场与电荷之间的内在联系， 是静电场的基本定理之一，对于研究 静电场的性质和规律具有重要的作用。
推导过程
基于库仑定律和电场叠加原理，通过 引入电场线，利用微积分的知识，逐 步推导出高斯定理。
03
高斯定理的应用
电场分布的确定
高斯定理
通过一个闭合曲面的电场线数，等于该曲面所包围的电荷量与一个电荷量单位 的比值。
应用
通过测量或计算某一闭合曲面内的电场线数，可以确定该闭合曲面内的电场强度 。
04
静电场的物理意义
静电场的能量分布
静电场的能量分布反映了电场中电场力做功的能力，即电场能密度。在静电场中 ，电场能密度与电场强度成正比，表示单位体积内的电场能。
电场能密度可以通过积分计算得到整个电场的总能量，对于了解和预测电场的行 为具有重要意义。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
静电场中高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/ni i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
静电场的高斯定理
q
+S
r
与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一
球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量
都相等。
31
2）点电荷在任意闭合曲面 S ' 内
S '和 S 包围同一个点电荷。由于电场线的连
续性，通过两个闭合曲面的电场线的数目是相
等的，所以 e e
通过 S ' 的电通量：
E dS
3点电荷在闭合曲面之外若将前几例中等式右面的q理解为封闭面内的电荷此处的0可以和前面的结果统一起344在点电荷系的电场中通过任意闭合曲面的电通量面内电荷面外电荷35gausslaw在真空中的静电场内通过任一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以为高斯面上各点的电场强度是由所有内外电荷共同产生的总电场强度
求解的关键是选取适当的高斯面。
常见的具有对称性分布的源电荷有：
40
常见的对称性电荷分布类型：
球对称分布： 均匀带电的球面，球体和多层
同心球壳等
轴对称分布： 无限长均匀带电的直线，圆柱面，
圆柱壳等；
平面对称分布： 无限大的均匀带电平面，平板等。
17
电场线是按照下述规定在电场中画出的一 系列假想的曲线：
方向：曲线上每一点
的切线方向与该点的
E
场强方向一致；
大小：通过电场中某点，垂直于场强的单位面
积的电力线根数，等于该点电场强度的大小。
ds E dN
E
dS
电场线稀疏的地方场强小，
dS
电场线密集的地方场强大1。8
电场线的性质
①电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
其外表面上的通量为
静电场的高斯定理
3-1-3
§3-1-3 静电场的高斯定理
【电场线】形象描述电场的一簇虚拟有向曲线。
EA B
EB
A
规定：对电场线上任一点 切向 密疏
E 的方向 E 的大小 E A EB
§3-1-3 静电场的高斯定理
几种典型带电体的实验场线（左）与理论场线（右） 无 穷 远
点电荷
正、负点电荷
一对等量异号点电荷
(1) E // n
( 2) E n θ
§3-1-3 静电场的高斯定理
2、电场中任一曲面的电通量
dS
E
§3-1-3 静电场的高斯定理
3、电场中任一闭合曲面的电通量
规定：闭合曲面的“外法向”为“正方向”
dS
dS θ
E2
1
E1
§3-1-3 静电场的高斯定理
E ds ES E
S
第四步：计算高斯面所包围的净电荷 qi内 第五步：代入高斯面，求场强
§3-1-3 静电场的高斯定理
例1 求半径为R的球面均匀带电荷Q时的电场分布。
dE
A
EA
dE
分析电场分布特点 结论一： E 的方向一定沿着径向；
r + dS +
+ + + +
Q 0 r 2 4πε0 r
E |r R 0
§3-1-3 静电场的高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场
r
r
3 R E |r R r 3 3 0 r
E |r R r 3 0
§3-1-3 静电场的高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场
§3-1-3 静电场的高斯定理
【电场线】形象描述电场的一簇虚拟有向曲线。
EA B
EB
A
规定：对电场线上任一点 切向 密疏
E 的方向 E 的大小 E A EB
§3-1-3 静电场的高斯定理
几种典型带电体的实验场线（左）与理论场线（右） 无 穷 远
点电荷
正、负点电荷
一对等量异号点电荷
(1) E // n
( 2) E n θ
§3-1-3 静电场的高斯定理
2、电场中任一曲面的电通量
dS
E
§3-1-3 静电场的高斯定理
3、电场中任一闭合曲面的电通量
规定：闭合曲面的“外法向”为“正方向”
dS
dS θ
E2
1
E1
§3-1-3 静电场的高斯定理
E ds ES E
S
第四步：计算高斯面所包围的净电荷 qi内 第五步：代入高斯面，求场强
§3-1-3 静电场的高斯定理
例1 求半径为R的球面均匀带电荷Q时的电场分布。
dE
A
EA
dE
分析电场分布特点 结论一： E 的方向一定沿着径向；
r + dS +
+ + + +
Q 0 r 2 4πε0 r
E |r R 0
§3-1-3 静电场的高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场
r
r
3 R E |r R r 3 3 0 r
E |r R r 3 0
§3-1-3 静电场的高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场
3.2 静电场高斯定理
Qr E 4 0 R 3
E
Er
(r R)
1 E 2 r
O
R
r
2. 轴对称 （1）无限长均匀带电细线。 由对称性分析容易得到：
① 任一点的电场强度方 向只能垂直于轴线向外辐 射或指向轴线。 ② 到轴线距离相等的点 上，电场强度大小必定相 等。
n E
n
E
作同轴圆柱形高斯面， 应用高斯定理：
( S1 )
R
r
S1
0
Q E 2 4 0 r
(r R)
同理，取如图所示的高斯面 S 2 ，应用高斯 定理：
r
S2
R
E dS 4r 2 E 0
( S2 )
E 0
( r R)
在球面上（见例3－2）：
E
Q 8 0 R
2
(r R)
E
E
Q 80 R E
l E 2r l 0
E 2 0 r
(r R)
E 2r l 0
E 0
( r R)
在柱面上（见例3－3）：
E 4 0 R
E 40 R
E0
O
(r R)
E
E 20 r
r
R
（3）无限长均匀带电圆柱体。（例 3－7） 对称性分析及其结果，请同学 自己进行。
我们将任意曲面分成一系列有向面元 dS，
容易理解穿过任意曲面的电通量为：
de E dS e d e E dS
(S )
如果曲面是闭合的，穿过它的电通量则用 如下面积分表示：
e d e E dS
(S )
电磁学中的闭合曲面被统称为高斯面。 对非闭合曲面，其上小面元的法向可随意 选取，但无论怎样选取，结果的正负都会告 诉我们电力线是从哪一侧穿过的。不过，对 高斯面则规定一律取外法向。按这样规定， 进入高斯面的电力线其电通量为负，而从高 斯面穿出的电力线其电通量为正。
E
Er
(r R)
1 E 2 r
O
R
r
2. 轴对称 （1）无限长均匀带电细线。 由对称性分析容易得到：
① 任一点的电场强度方 向只能垂直于轴线向外辐 射或指向轴线。 ② 到轴线距离相等的点 上，电场强度大小必定相 等。
n E
n
E
作同轴圆柱形高斯面， 应用高斯定理：
( S1 )
R
r
S1
0
Q E 2 4 0 r
(r R)
同理，取如图所示的高斯面 S 2 ，应用高斯 定理：
r
S2
R
E dS 4r 2 E 0
( S2 )
E 0
( r R)
在球面上（见例3－2）：
E
Q 8 0 R
2
(r R)
E
E
Q 80 R E
l E 2r l 0
E 2 0 r
(r R)
E 2r l 0
E 0
( r R)
在柱面上（见例3－3）：
E 4 0 R
E 40 R
E0
O
(r R)
E
E 20 r
r
R
（3）无限长均匀带电圆柱体。（例 3－7） 对称性分析及其结果，请同学 自己进行。
我们将任意曲面分成一系列有向面元 dS，
容易理解穿过任意曲面的电通量为：
de E dS e d e E dS
(S )
如果曲面是闭合的，穿过它的电通量则用 如下面积分表示：
e d e E dS
(S )
电磁学中的闭合曲面被统称为高斯面。 对非闭合曲面，其上小面元的法向可随意 选取，但无论怎样选取，结果的正负都会告 诉我们电力线是从哪一侧穿过的。不过，对 高斯面则规定一律取外法向。按这样规定， 进入高斯面的电力线其电通量为负，而从高 斯面穿出的电力线其电通量为正。
5-3 静电场的高斯定理
即使点电荷不在球面中的中心 ，即使球面畸变，这一结果仍 是一样的，这由图也可看出. 闭合面内为点电荷系的情况：
E E1 E2 En
q1
q2
q3
q4
qn
r r ye = 蝌 Ò E dS
此时通过闭合面的电通量是：
r r = 蝌 乙 E1 ?dS
S
0
q1
S
r r E ? d S 2 蝌
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
由高斯定理知
l
E
20lr
q
（1）当r<R 时，高斯面内电荷量为：
2 2 q l r R
R
l r R r E 2 20lr 20 R
2 2
r
l
矢量式为：
r E=
lr r Er 2 2pe0 R
+
例2
均匀带电无限大平面的电场.
解： 电荷及场分布：面对称性，场方向沿法向。
高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。
E
σ
E
E
S
E
σ
sE dS 两底 E dS 2 ES
圆柱形高斯面内电荷
q S
由高斯定理得 2 ES S / 0
2
p o E
R
Ε1 =
3e0
OP
2
小球单独存在时，p点的场强为
R
E2 cp 3 0
v v v Q E1 = E2 + E
v v v \ E = E1 - E2
r u u r r uu = (op - cp ) 3e0 u r r u = oc 3e0
E E1 E2 En
q1
q2
q3
q4
qn
r r ye = 蝌 Ò E dS
此时通过闭合面的电通量是：
r r = 蝌 乙 E1 ?dS
S
0
q1
S
r r E ? d S 2 蝌
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
由高斯定理知
l
E
20lr
q
（1）当r<R 时，高斯面内电荷量为：
2 2 q l r R
R
l r R r E 2 20lr 20 R
2 2
r
l
矢量式为：
r E=
lr r Er 2 2pe0 R
+
例2
均匀带电无限大平面的电场.
解： 电荷及场分布：面对称性，场方向沿法向。
高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。
E
σ
E
E
S
E
σ
sE dS 两底 E dS 2 ES
圆柱形高斯面内电荷
q S
由高斯定理得 2 ES S / 0
2
p o E
R
Ε1 =
3e0
OP
2
小球单独存在时，p点的场强为
R
E2 cp 3 0
v v v Q E1 = E2 + E
v v v \ E = E1 - E2
r u u r r uu = (op - cp ) 3e0 u r r u = oc 3e0
静电场高斯定理的积分形式
静电场高斯定理的积分形式
高斯定理是用于计算电场强度的重要定理，它可以用积分的形式表示。
通常，它表示为：
E = (1/4πε₀) ∫ρ(r')/|r-r'| dV'
其中，E 是电场强度，ρ(r') 是电荷密度，r 和r' 分别是电场点和电荷位置的矢量，ε₀是真空介电常数，dV' 是电荷所在体积单元的体积。
这个积分表示了电场点周围所有电荷对电场强度的贡献。
在计算电场强度时，可以将电荷分成若干个小体积单元，然后对每个单元分别求解上述积分，最后将所有单元的贡献相加起来，得到电场强度的总值。
注意，高斯定理仅适用于无电荷体积内的电场强度计算。
如果要计算电场强度在有电荷体积外的情况，则应使用莫尔定理。
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302-静电场的高斯定理1 选择题1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。
下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。
答案：()B2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变；()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。
答案：()C3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则；〔 〕 ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。
答案：()B4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0iq=∑，则可肯定：〔 〕 ()A 高斯面上各点场强均为零。
()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。
()C 穿过整个高斯面的电通量为零。
()D 以上说法都不对。
答案：()C5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体；()C 半径为R 的均匀带电球面；()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。
答案：()C6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔 〕答案：()BE ∝1/r 2O RrEQ ’ AP SQ B()A ()B ()C ()D7. A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A同心的球面S 为高斯面，如图所示。
则〔 〕 ()A 通过S 面的电场强度通量为零，S 面上各点的场强为零； ()B 通过S 面的电场强度通量为0/q ε，S 面上场强的大小为20π4r qE ε=；()C 通过S 面的电场强度通量为 0()/q ε- ，S 面上场强的大小为20π4r q E ε=；()D 通过S 面的电场强度通量为0/q ε，但S 面上各点的场强不能直接由高斯定理求出。
答案：()D8. 若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则〔 〕 ()A 高斯面内一定无电荷； ()B 高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零； ()C 高斯面上场强一定处处为零； ()D 以上说法均不正确。
答案：()B9. 同一束电场线穿过大小不等的两个平面,如图所示。
则两个平面的E 通量和场强关系是: 〔 〕()A 12ΦΦ> 21E E =； ()B 12ΦΦ< 21E E =；()C 12ΦΦ= 21E E >； ()D 12ΦΦ= 21E E <。
答案：()D10. 下述带电体系的场强分布可以用高斯定理来计算的是：〔 〕()A 均匀带电圆板； ()B 均匀带电的导体球； ()C 电偶极子； ()D 有限长均匀带电棒 答案：()B11. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：〔 〕 ()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。
答案：()D12. 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为〔 〕()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。
答案：()D13. 如图所示，两个“无限长”的共轴圆柱面，半径分别为1R 和2R ，其上均匀带电，沿轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ和2λ，则在两圆柱面之间、距离轴线为r 的P 点处的场强大小E 为：〔 〕()A102r λπε； ()B 1202rλλπε+； ()C 2022()R r λπε-； ()D 1012()r R λπε-。
答案：()AAS +qr -qB14. 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，则在距离球面R 处的电场强度大小为：〔 〕 ()A0εσ； ()B 02εσ； ()C 04εσ； ()D 08εσ。
答案：()C15. 在静电场中，一闭合曲面外的电荷的代数和为q ，则下列等式不成立的是：〔 〕()A0d =⋅⎰SS E()B0d =⋅⎰Ll E()C 0d εq S E S=⋅⎰ ()D 0d εql E L=⋅⎰答案：()C16. 在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ，2φ，3φ，则〔 〕()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C123Eac Ebc φφφ=-=-=-；()D123Eac Ebc φφφ===。
答案：()B17. 有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。
在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。
设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则〔 〕()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=；()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。
答案：()D18. 如果把一点电荷Q 放在某一立方体的一个顶点，则〔 〕()A 穿过每一表面的电通量都等于Q6； ()B 穿过每一表面的电通量都等于Q 60ε()C 穿过每一表面的电通量都等于Q 30ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于024Qε 答案：()D19. 高斯定理nti d ε∑⎰=⋅qS E S〔 〕()A 适用于任何静电场。
()B 只适用于真空中的静电场。
()C 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场。
()D 只适用于虽然不具有()C 中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场。
答案：()A20. 一电偶极子的偶极矩为p ，两个点电荷之间的距离是l 。
以偶极子的中心为球心，半径为l 作一高斯球面，当球面中心沿p 方向移动时，则穿过高斯球面的电通量的变化顺序是：〔 〕 ()A 00,,0pl ε； ()B 00,,0p l ε-； ()C 0,0,0； ()D 条件不充分。
答案：()A2 填空题1. 如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R ，电场强度的方向与半球面的对称轴垂直。
则通过这个半球面的电通量为 。
答案：02. 把一个均匀带有电荷Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 是否变化：______________。
答案：变化3. 反映静电场性质的高斯定理表明静电场是___ ___场。
答案：有源场4. 如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R ，电场强度的方向与半球面的对称轴平行。
则通过这个半球面的电通量为 。
答案：2E R π5. 如图所示, 真空中有两个点电荷, 带电量分别为Q 和Q -, 相距2R 。
若以负电荷所在处O 点为中心, 以R 为半径作高斯球面S , 则通过该球面的电场强度通量e Φ= 。
答案：0/Q ε-6. 一面积为S 的平面，放在场强为E 的均匀电场中，已知E与平面法线的夹角为)2(πθ<，则通过该平面的电场强度通量的数值e Φ=_______________。
答案：||cos E S θ7. 一闭合面包围着一个电偶极子，则通过此闭合面的电场强度通量e Φ=_______________。
答案： 08. 一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近时，穿过此高斯面的E 通量是否会发生变化？ _________________。
答案：不变化9. 一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近时，此高斯面上任意点的电场强度是否会发生变化？________________。
答案：变化10. 如选高斯面为过P 点的任意闭合曲面，能否用高斯定理求P 点的电场强度：____________。
答案：不可以11. 一均匀静电场，电场强度(400600)V/m E i j =+，则电场通过阴影表面的电场强度通量是___ ___（正方体边长为1cm ）。
答案：0.04V/m12. 电荷1q 、2q 、3q 和4q 在真空中的分布如图所示, 其中2q 是半径为R 的均匀带电球体, S 为闭合曲面，则通过闭合曲面S 的电通量=⋅⎰⎰SS Ed 。
答案：12()q q ε+S -Q +Qb a2RR OEOxy• q 1• q 3• q 4 Sq 2 E13. 把一个均匀带电量Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 由204q Rπε变为______________。
答案：014. 一均匀带电球面，半径是R ，电荷面密度为σ。
球面上面元d S 带有d S σ的电荷，该电荷在球心处产生的电场强度为20d 4SR σπε，则球面内任意一点的电场强度为____________。
答案：015. 一均匀带电球面，半径是R ，电荷面密度为σ。
球面上面元d S 带有d S σ的电荷，该电荷在球心处产生的电场强度为____________。
答案：20d 4SRσπε16. 有一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀地分布在球面上，在此气球被吹大的过程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由 变为0。
答案：204q Rπε17. 在匀强电场E 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线n 与E 成060角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的电通量=⋅=⎰⎰Se S E Φd 。
答案：212E R π-18. 均匀电场E 垂直于以R 为半径的的圆面，以该圆周为边线作两个曲面1S 和2S ，1S 和2S 构成闭合曲面，如图所示。