(37)13.4 课题学习《最短路径问题》-导学案

13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。

从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。

体会数学在实际生活中的价值。

2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。

13.4《最短路径问题》导学案一、 学习目标①能利用轴对称解决简单的最短路径问题.②体会图形的变化在解决最值问题中的作用；③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容自学课本85页，完成以下问题： 追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试答复， 并互相补充，最后达成共识：〔1〕从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；〔2〕在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；〔3〕现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小〔如图〕．三、探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试答复，互相补充 〔2〕连接AB ′，与直线l 相交于点C ，那么点C 即为所求如果学生有困难，教师可作如下提示作法：〔1〕作点B 关于直线l 的对称点B ′；l B A l C B。

A l四、稳固测评(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，那么与该直线的交点即为所求．如下图，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，那么点C 是直线l 与AB ′的交点．2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？〔假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直〕〔二〕变式训练：.如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)假设要使厂部到A ，B 村的距离相等，那么应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b五、学习心得 。

13.4课题学习：最短路径问题导学目标:1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

导学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。

导学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。

导学过程：一、创设情景，引入新知。

(1)我们已经学习过“两点的所有连线中，。

”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等问题，我们称他们为最短路径问题。

(2)请画出点A关于直线L的对称点。

A．_______________________ L二、自主学习，探究新知。

1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？（I）两点在一条直线异侧：活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。

思考：（1）为什么这样做就能得到最短距离呢？（2）你如何验证PA+PB 最短呢？(Ⅱ) 两点在一条直线同侧活动2：如图，牧马人从A 地出发到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点C 在什么位置时。

AC 与BC 的和最小。

BA思考：（1） 如何将点B “移”到l 的另一侧B ′处，满足直线l 上的任意一点C ，都保持CB 与CB ′的长度相等？（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？（3）试证明你的结论。

作法：1.作点A 关于L 的对称点_____，2.连接_______,交直线L 与_______, 则点_______就是所要求作的点想一想：如果A 、B 处于小河的两侧，在河上建一座与两岸垂直的桥,你能找到所走最短路径吗？2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题活动3，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思考：①怎样将实际问题转化为数学问题？②若直线重合，最短路径是什么？③若将直线平移开，怎样思考该问题？④怎样解决造桥选址问题？A B l作法：如图（2），将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到C.连接BC交河岸与点N，在此处造桥MN，所得路程AMNB就是最短路程。

13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。

【课前预习】1．平面直角坐标系xOy 中，已知A(－1－0)－B(3－0)－C(0－－1)三点，D(1－m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD 的面积为（ －A ．B ．23C ．43D ．832．A－B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上 C ．线段AB 的反向延长线上 D ．直线l 上3．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（ ） A ．x≥3B ．x≤﹣2C ．﹣2≤x≤3D ．﹣2＜x ＜34．下列四种说法：①线段AB 是点A 与点B 之间的距离；②射线AB 与射线BA 表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A ．750米B ．1000米C ．1500米D ．2000米6．在等腰－ABC 中，AB=AC－一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长31为－－A．7B．7或11C．11D．7或107．如图－点P是直线a外一点－PB⊥a－点A－B－C－D都在直线a上－下列线段中最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）9．如图，在－ABC中，－ACB＝90°，以AC为底边在－ABC外作等腰－ACD，过点D作－ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，－ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则－PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010．如图，等边△ABC的边长为4－AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为－ －A．15°B．22.5°C．30°D．45°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．举出常见的轴对称图形：_____（至少写三个）。

前言：
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13．4 课题学习最短路径问题
1．理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．
2．理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定．
阅读教材P85～86“问题1”，完成预习内容．
知识探究1
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，分别满足以下条件，奶站应建在什么地方？
(1)使从A，B到它的距离相等；
(2)使从A，B到它的距离之和最短．
第(1)小题是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；第(2)小题根据轴对称转化为两点之间线段最短．
阅读教材P86～87“问题2”，回答下列问题：
知识探究2
如教材P87图13.4－9，路径AMNB最短的依据是什么？
解：依据有2点：①是平移前后的线段平行且相等；②是两点之间线段最短．
活动1小组讨论
如教材P87图13.4－9，求证：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B′.
1。

13.4课题学习 最短路径问题学习目标：1.会利用公理“两点之间，线段最短”来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题。

2.经历实践活动的过程，得出最短路径问题的解决办法，找到关于线段的对称点实现“折”转“直”，再利用两点之间，线段最短这一性质来解决一些简单的实际问题。

学习重难点：重点：1.确定两点一线和两点两线型的线段和最小值问题难点：2.分析问题、确定问题类型并解决问题一．知识链接：1.如下图:由A 地到B 地有三条路供选择，你会选择 ，理由是：2.请画出点A 关于直线L 的对称点。

A ．_______________________ L3.已知线段AB ，请在平面内找一点P ，使PA+PB 的值最小。

A___________________B二．新知探究：1.如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？做出图形并写出已知、求作、作法。

L作法：1.作点A 关于L 的对称点_____，2.连接_______,交直线L 与_______,则点_______就是所要求作的点 AB想一想：如图所示，如果A 、B 处于小河的两侧，你能找到使所走路径最短的点么？A ．____________________________．B2.如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现在要在小河上造一座桥MN 。

桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）请你根据作法画出图形并给出理由。

AabB作法：（1）将点A 沿与河垂直的方向平移 的距离到1A（2）连接 ，交河岸b 于点N ，作NM ⊥河岸a ，垂足为M（3）连接AM ，MN ，NB ，则MN 即为桥的位置，所得路径AMNB 就是最短路径归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。

《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计一、教材分析1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。

这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。

初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。

2、目标和目标解析：（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．问题5 造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥4、把桥平移到和B相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN 如图所示：AB三、巩固训练（一）基础训练：1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l 的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）(1)若要使厂部到(2)若要使厂部到（三）综合训练：茅坪民族中学八图a 图b 四、反思小结布置作业《13.4 课题学习最短路径问题》导学案学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题一、知识链接1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？（1）三角形的三边关系：___________________________________；(2)直角三角形中边的关系：______________________________ .4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？一、要点探究探究点1：牧人饮马问题实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.想一想：1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.你能用所学的知识证明你所作的点C使AC +BC最短吗？证明：要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.典例精析例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3） B．（0，2）C．（0，1） D．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.（3）把桥平移到和A 相连. （4）把桥平移到和B 相连.比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN 最短？要点归纳：如图，平移A 到A 1，使AA 1等于河宽，连接A 1B 交河岸于N 作桥MN ，此时路径AM+MN+BN 最短.证明：另任作桥M 1N 1，连接AM 1，BN 1，A 1N 1.1.如图，直线l 是一条河，P 、Q 是两个村庄.欲在l 上的某处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．想一想：如何说明此时AM+MN+BN 最短呢？3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点第1题图第2题图第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10 B．15 C．20D．303.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？拓展提升6.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．《13.4 课题学习最短路径问题》导学案学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.重点：作轴对称图形难点：用轴对称知识解决相应的数学问题学习过程：一、复习旧知1、动一动：如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。

13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。

三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。

最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。

2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。

迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。

2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。

它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。

弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。

2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

13.4 课题学习最短路径问题学案2022-2023学年人教版八年级上册学习目标•理解最短路径问题的背景与定义。

•掌握最短路径问题的求解方法。

–迪杰斯特拉(Dijkstra)算法。

–弗洛伊德(Floyd)算法。

•能够应用最短路径算法解决实际问题。

•培养解决问题的动手实践能力和团队合作能力。

课前导入最短路径问题是指在给定的图中，从一个顶点出发到达另一个顶点的最短路径。

在实际生活中，最短路径问题有很多应用，比如导航系统中的路线规划、电力传输网络中的电线铺设等。

解决最短路径问题可以提高效率和优化资源利用。

课堂学习1. 最短路径问题的定义最短路径问题是指在一个带权重的有向图或无向图中，找到两个顶点之间的最短路径。

其中，顶点代表图中的节点，边代表节点之间的连接关系，权重代表边的长度或权值。

2. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法迪杰斯特拉算法是解决单源最短路径问题的常用算法。

其基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展路径，直到找到目标顶点或所有顶点都被遍历。

算法的具体步骤如下：1.创建两个集合：已确定最短路径的顶点集合S，未确定最短路径的顶点集合Q。

初始时，S中只包含起始顶点，Q中包含除起始顶点外的所有顶点。

2.初始化起始顶点到各个顶点的距离为无穷大，起始顶点到自身的距离为0。

3.从Q中选取到起始顶点距离最短的顶点u，将其加入S集合。

4.更新与顶点u邻接的顶点v的距离，如果通过顶点u可以得到比当前已知距离更小的距离，则更新v的距离。

5.重复步骤3和4，直到Q集合为空或找到目标顶点的最短路径。

3. 弗洛伊德(Floyd)算法弗洛伊德算法是解决多源最短路径问题的常用算法。

其基本思想是通过动态规划的方式逐步求解所有顶点对之间的最短路径。

算法的具体步骤如下：1.初始化一个二维矩阵dist，矩阵中的元素dist[i][j]表示顶点i到顶点j 的最短路径长度。

2.初始化矩阵dist的初始值，如果存在直接连接的边，则dist[i][j]为边的权重，否则为无穷大。