培优专题-不等式培优资料(教师版)教案资料

内容 基本要求略高要求较高要求不等式(组)能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)．不等式 的性质 理解不等式的基本性质．会利用不等式的性质比较两个实数的大小．解一元一次不等式(组) 了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集． 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题．板块一、不等式的性质不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c >)如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a bc c<)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a bc c<)如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．例题精讲中考要求不等式及含参数不等式【例1】 已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数 【解析】0m -<，0m >．选择A ．【答案】A【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（ ）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <- 【解析】略【答案】D【例2】 若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ． 11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ． ||||a b <【解析】略． 【答案】C【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ． 11a b< C ． 2a b b +> D ． 2a ab >【解析】略． 【答案】C【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】①、③、④正确，所以选择B【答案】B【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ． 22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ．2211a bc c >++ 【解析】选择C ，正确应为22ac bc ≥．【答案】C板块二、一元一次不等式的解法【例3】 解不等式2110155364x x x ++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【解析】略 【答案】2x ≤．在数轴上表示解集如图所示．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x +->++【解析】采用整体思想，2(1)3(1)24(1)x x x +-+->+，易得75x <-．【答案】75x <-【巩固】求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜ ①②的整数解．【解析】由①得 12x ≥-； 由②得 2x <．∴ 此不等式组的解集为122x -≤<．∴ 此不等式组的整数解为0，1． 【答案】0，1【例4】 解不等式：32122x--<≤； 【解析】略【答案】解，由题意得，32123222x x -⎧-<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得5212x x ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，∴1522x -≤<【巩固】解不等式：2312142x x -≤≤+【解析】原不等式相当于：23241212x x -⎧≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得1122x ≤≤．【答案】1122x ≤≤【例5】 解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【解析】原方程组的解为5108x x x >=⎧/⎨>⎩且，综合得8x >且10x =/；【答案】8x >且10x =/【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【解析】略【答案】0x ≥板块三、不等式与方程【例6】 求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解，x 、y 都是正数的m 的取值范围？【解析】略【答案】解方程组得826x m y m =-⎧⎨=-⎩，∵x 、y 都是正数，∴80260m m ->⎧⎨->⎩，解得38m <<【巩固】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为【解析】略【答案】2122x y m x y +=-⎧⎨+=⎩①②，①+②得，3()3x y m +=-，∴33mx y -+=∵0x y +> ∴303m->，解得3m <【巩固】已知x 、y 同时满足三个条件：①324x y p -=-；②432x y p -=+；③x y >则p 的取值范围是【解析】略【答案】②-①得220x y p -=->，∴1p >【例7】 已知x 、y 、z 为三个非负有理数，且满足325x y z ++=，2x y z +-=，若2S x y z =+-，则S的最大值和最小值之和是多少？【解析】将x 、y 、z 中的一个字母看做常数，解方程，然后将结果代入2S x y z =+-进行消元 【答案】方法一、由3252x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩解得，1341x zy z =-⎧⎨=+⎩，∵x 、y 、z 为三个非负有理数， ∴1304100z z z -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得 103z ≤≤将1341x z y z =-⎧⎨=+⎩代入2S x y z =+-得，33S z =-∵103z ≤≤ ∴23S ≤≤，∴S 的最大值与最小值之和为5方法二、根据题意得32522x y z x y z x y z S++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，解得2154333x S S y Sz =-⎧⎪⎪⎪-⎨=⎪⎪-=⎪⎩，∵x 、y 、z 都是非负数，∴2015403303S SS -≥⎧⎪⎪⎪-⎨≥⎪⎪-≥⎪⎩∴21543S S S ≥⎧⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩ ∴23S ≤≤，∴S 的最大值与最小值之和为5【巩固】已知非负数a 、b 、c 满足条件：324a b c ++=，235a b c ++=，设547S a b c =++的最小值为m ，最大值为n ，求m n -的值 【解析】略【答案】12板块三、含参数不等式【例8】 解关于x 的不等式23mx +＜3x n + 【解析】略【答案】由原不等式，得：(23)m x -＜3n -(1)当230m ->，即32m >时，其解集为323n x m -<-(2)当230m -<，即32m <时，其解集为323n x m ->-(3)当230m -=，即32m =时，若30n ->，即3n >，解集为所有数；若30n -≤，即3n ≤，原不等式无解．【巩固】解关于x 的不等式：()()a x a b x b ->- 【解析】略【答案】由原不等式得：()()()a b x a b a b ->-+当0a b ->，即得不等式解集为x a b >+； 当0a b -=，即得00>，不等式无解； 当0a b -<，即得不等式解集为x a b <+．【巩固】分别就a 得不同取值，讨论关于x 的不等式()12a x x ->-的解的情况。

基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。

不等式（组）与方程（组）互化一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ）A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11ax =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解.解：解方程11ax =+，得x=a －1.又由关于x 的方程的解是负数即x<0，所以⎩⎨⎧≠<-.0,01a a 解得，a<1且0a ≠. 故应选B.例2如果方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 .分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解.解：解方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x ，得x ＋y=4k＋1.又由x ＋y>0， 所以4k＋1>0，解得，k>－4.二、不等式（组）转化为方程（组）例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解.解：解不等式84x x m +>+，得x<38m-. 由3x <，所以38m-=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1.例4（若不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x 的解是－1<x<1，则（a ＋b ）2006= . 分析：先解关于x 的不等式组，再根据已知的解集构造方程组求解.解：解不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧<+>.2,2bx a x 由于这个不等式组有解，所以其解集应为a ＋2<x<2b. 又－1<x<1，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.12,12b a 解得，a=－3，b=2.故（a ＋b ）2006=（－3＋2）2006=1.例5. 不等式()10462x x ++<的正整数解是方程()231ax xa +-=+的解，求a a 221+的值。

专题16 不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2116-≤≤-t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围.【例2】如果关于x 的不等式71005)2(<>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系.【例3】已知方程组⎩⎨⎧=+=-62y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.（天津市竞赛试题） 解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m＝3a ＋b －7c ，求m 的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，654543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值.解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形.解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b能力训练A 级1、已知关于x 的不等式4321432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组⎩⎨⎧<->+5242b x a x 的解集是20<<x ，那么a ＋b 的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是（河南省中考试题） 5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ）7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ） A 、31B 、31- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012<-a ；③1112>+a ④1112<-a ，其中，一定成立的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（江苏省竞赛试题）9、当k 为何整数值时，方程组 ⎩⎨⎧-=-=+k y x y x 3962有正整数解？ （天津市竞赛试题）10、如果⎩⎨⎧==21y x 是关于x ，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax bx a x 的解集11、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B 级1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题）4、已知1121<-<-x 则12-x的取值范围为 .(“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112535232611，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、 b ＜c ＜aC 、c ＜a ＜bD 、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x xA 、10000B 、20000C 、9999D 、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ）A 、70B 、72C 、77D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ）A 、25<x B 、25>x C 、25-<x D 、25->x（山东省竞赛试题）9、31,2351312++---≥--x x xx x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使137158<+<k n n 成立.12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且1111=++cb a ，试求a ，b ，c 的值.。

初二数学不等式提高一、 考点、热点回顾知识点扫描：1、不等式三个性质2、解不等式组的一般步骤：①分别求出各个不等式的解集；②找出各个解集的公共部分 中考考点分析：不等式及不等式组是近几年中考必考内容，主要考查不等式性质、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）解集的数轴表示、求一元一次不等式（组）的特殊解、尤其是不等式（组）的应用题更是近几年中考命题的热点。

其次考查对数学的应用能力，通过不等式（组）对代数式进行比较以确定最佳方案，近几年多考查由数轴来观察不等式（组）的解集情况，探求不等式（组）中的待定系数的取值范围等内容，这部分内容分值约为3～8分，将以实际生活题材为背景，结合当今社会热点问题在解集中找出最佳方案是命题的一个热点。

二、 典型例题例1、要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（）A.0＜a ＜1B. a ＞1C.－1＜a ＜0D. a ＜－1例2、已知6＜a ＜10，2a ≤b ≤a 2，b ac +=，则c 的取值范围是 例3、若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式的解集是0324b ＞a x b a -+-)(例4、设7321x x x x ,,,, 均为自然数，且76321x x x x x <<<<< ，又2012721=+++x x x ，则21x x +的最大值是例5、设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是（）（A ）3|c b a |++（B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 例6、三角形的三条边各不相同，并且其三条高都是整数，其中有两条高分别是3和10， 那么第三条高的长度为__________例7、比较3x 2－2x ＋7与4x 2－2x ＋7的大小例8. ⎩⎨⎧->+->+1x 48x )1x (22x 3的解集是________。

培优讲义01：不等式补充知识：基本不等式：设12,,n a a a 是n个正实数，则有12n a a a n+++≥ 当12n a a a === 时取等号.)不等式链：2112a ba b+≤≤≤+柯西不等式：222111n n ni i i i i i i a b a b ===⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑（当且仅当i i a kb =(1)i n = ，2，，时取等号）（其中二元形式：22222()()()a b c d ac bd +≥++，当且仅当ad bc =时等号成立.）权方和不等式：22111i n i n i n i iii a a b b ===⎛⎫ ⎪⎝⎭≥∑∑∑（当且仅当i ia kb =(1)i n = ，2，，时取等号）一，权方和不等式应用【例1】已知20a b >>，1a b +=，则142a b b+-的最小值为.【例2】已知a ＞0，b ＞0，且21122a a b+=++，则a b +的最小值是．【练1】已知a ＞0，b ＞0，且1a b +=，则121aa b ++的最小值是．【练2】已知x ＞1，y ＞1，则2211x y y x +--的最小值是．【练3】已知()0,3x ∈，则28132x y x x-=+-的最小值为.二，柯西不等式应用【例1】已知2+2=16,求+2的最大值【例2】若实数x +2y +3z =1，则2+2+2的最小值【练1】已知32+42=12,求2+3的最小值【练2】已知32+22≤6，求2+的最值【练3】设,,0x y z ≥，且2x y z ++=，则2223x y z ++的最大值三、化为方程【例1】若实数,x y 满足3xy x y =++，求x y +的最小值【练1】若实数,x y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值(2011浙江文)【练2】若0,0a b >>，且26ab a b =++，则2+a b 的最小值．【例2】设,x y 为实数，若2227,x y xy -+=求22x y +的最小值(2013浙大自住招生)【练3】设,x y 为实数，若224555,x y xy +-=求22x y +的最值。

培优点2 基本不等式的综合问题【要点提炼】利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．【典例】1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 【答案】 (1)233 (2)324(3)3 【解析】 (1)由(x ＋y)2＝xy ＋1，得(x ＋y)2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.【典例】2 记max{a ，b}为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为________． 【答案】 10【解析】 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y， ∴2t ≥x 2＋25yx －y ， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25yx －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25y x －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 【方法总结】 (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．【拓展训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】 B【解析】 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x<52 的最大值是________．【答案】 2 2 【解析】 y 2＝(2x －1＋5－2x)2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 【答案】 4【解析】 因为a>0，b>0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 【答案】 －2【解析】12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a<0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．。

学生姓名：张静依辅导形式：小班老师：陈波学校：初一【作业检查】了解学生对上节课的掌握情况，查找学生还没有熟练的知识点。

【梳理知识】不等式方程应用题教学目标：1.通过教材平行线的学习，掌握平行线的性质，了解平行线的判定定理和性质的关系。

2.通过具体的实例练习，掌握平行线的判定方法，了解判定方法选择运用。

教学重点、难点：平行线的性质以及判定方法的运用。

教学过程一．归纳纲总，全面梳理1.列不等式（组）解应用题的方法和列一元一次方程解应用题基本上相同，简单地分为：设、找、列、解、答五个步骤，具体就是：（1）设：弄清题意和题目中的数量关系，用字母（x、y）表示题目中的未知数；（2）找：找到能够表示应用题全部含义的一个不等的关系；（3）列：根据这个不等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出不等式（组）；（4）解：解这个所列出的不等式（组），求出未知数的解集；（5）答：写出答案二、经典例题，知识巩固一、纯不等式类例1．红旗厂为了扩大经营，决定购进8台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过40万元．（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的8台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（_____）台．由题意，得_________________，解这个不等式，得__________，即x可以取___________，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：_______________________________；方案二：_________________________________；方案三：______________________________；（2）按方案一购买机器，所耗资金为_____万元，新购买机器日生产量为______个；按方案二购买机器，所耗资金为____________万元；，新购买机器日生产量为_______________个；按方案三购买机器，所耗资金为__________万元；新购买机器日生产量为_________________个．因此，选择_______既能达到生产能力不低于380个的要求，又比_______节约__________万元资金，故应选择__________________．二、纯不等式组类例２．今年6月份，我市某果农收获苹果40吨，香蕉27吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装苹果5吨和香蕉2吨，一种货车可装苹果香蕉各3吨；（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10－x）辆，依题意，得____________________ ，解这个不等式组，得__________________ 是整数，∴x可取___________________________，x既安排甲、乙两种货车有三种方案：①_____________________________；②____________________________________；③___________________________________；方案①需要运费__________________（元）方案②需要运费_________________（元）方案③需要运费__________________（元∴该果农应选择______________运费最少，最少运费是__________元．三、不等式（组）联姻方程类例３。

不等式与不等式组培优专题知识点：一、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。

不等式的所有，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的叫做不等式组的解集。

2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。

二、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l）概念：含有未知数并且含未知数的项的次数是的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：（l）概念：含有的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

三、不等式与不等式的性质1、不等式：用不等号表示的式子。

（表不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：（l）。

用字母表示为：。

（2）。

用字母表示为：。

（3） 。

用字母表示为： 。

注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b =0⇔a =b（3）a –b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a > （2）a ＞b ＞0⇔22b a <培优专题:1.若不等式组2x x a ≤⎧⎨≥⎩有解，则a 的取值范围是 。

2.等腰三角形腰和底边长分别为xcm 和ycm ，周长小于20，则x 和y 必须满足的不等式组为 。

3.某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m-5）%（5m >）后，仍不低于原价，则m 的值应为 。

4.已知ABC V 的三边a b 、、c，且2-9a ，则第三边c 的取值范围是 。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲-不等式的基本性质与解集授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解不等关系；②掌握不等式的基本性质；③掌握不等式解与解集的概念与表示方法。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、不等式的定义：一般的，用符号“<”（或“≤”）“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。

2、常用的不等号：种类符号实际意义读法小于号< 小于、不足小于大于号> 大于、高出大于小于或等于号≤不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）大于或等于号≥不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）不等号≠不相等不等于3、列不等式：体系搭建不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤：（1）分析题意，找出题中的各种量； （2）寻找各种量之间的相等或者不等关系； （3）用代数式表示各种量；（4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。

4、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

5、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若a b > ，则b a < 。

（2）传递性：若a b >，b c > ，则a c > 。

（3）若0ab > ，则,a b 同号，反之，若,a b 同号，则0ab > ；若0ab < ，则,a b 异号，反之，若,a b 异号，则0ab <。

（4）若0a b -> ，则a b >，反之，若a b >，则0a b ->；若0a b -< ，则a b < ，反之，若a b <，则0a b -<。