江苏省高考数学总复习：圆锥曲线

必过教材美直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax + By + C = 0(A,B 不同 时为0)代入圆锥曲线 C 的方程F(x ，y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量 x(或变 量y)的一元方程.］Ax + By + C = 0,即 消去 y ,得 ax 2 + bx + c = 0.F x , y =0(1) 当0时，设一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的判别式为 △,贝V △>0?直线与圆锥曲 线C 相交； △= 0?直线与圆锥曲线C 相切△V 0?直线与圆锥曲线 C 相离.(2) 当a = 0, b z 0时，即得到一个一次方程，则直线 I 与圆锥曲线C 相交，且只有一个 交点，此时，若C 为双曲线，则直线I 与双曲线的渐近线的位置关系是平彳 —若C 为抛物线，则直线I 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.［小题体验］2 2 1 .若直线y = kx 与双曲线x — y = 1相交，贝V k 的取值范围是 ___________ . 9 42 2 2解析：双曲线x — y = 1的渐近线方程为y = ±3x ,若直线y = kx 与双曲线相交，数形结合得M - 3, 2 -答案：- 3,32 22•已知椭圆C : x 2+ y 2= 1(a > b >0), F( 2, 0)为其右焦点，过点 F 且垂直于x 轴的直a b 线与椭圆相交所得的弦长为 2，则椭圆C 的方程为解析：由题意得组=2,I aa 2=b 2+c 2,2 2 所以椭圆C 的方程为中+ y2 = 1.2 2 第九节 直线与圆锥曲线a = 2,答案：*+14 223.经过椭圆X2 + y2= 1的一个焦点作倾斜角为45°勺直线l，交椭圆于A, B两点•设0为坐标原点，则—O A -0B等于 _________ .解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y—0= tan 45°x —1），即y2=x —1,代入椭圆方程号+ y2= 1并整理得3x2—4x= 0,解得x= 0或x= 4，所以两个交点坐标分别为（0, —1）, 3, 1，所以6X ―B = —3,同理，直线I经过椭圆的左焦点时，也可得—0? -OB = —1.故"O X CE B 的值为一3.答案：—1必过易错关1 .直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.2 •直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点.［小题纠偏］1•过点（0,1）作直线，使它与抛物线y2= 4x仅有一个公共点，这样的直线有__________ 条.解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x= 0，过点（0,1）且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x= 0）.答案：3b 2 22 .直线V= b x + 3与双曲线x2—y2= 1的交点有个.a a b解析：因为直线V=b x + 3与双曲线的渐近线y=b x平行，a a所以它与双曲线只有1个交点.答案：1考点一直线与圆锥曲线的位置关系重点保分型考点一一师生共研［典例引领］x2V2J6 已知椭圆C：孑+ b2= 1（a> b>0）的两个焦点分别为F1（—2,0）, F2（2,0），离心率为亏.过点F 2的直线1(斜率不为0)与椭圆C 交于A , B 两点，线段 AB 的中点为D , O 为坐标原点, 直线OD 交椭圆于M , N 两点.(1)求椭圆C 的方程；⑵当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程. c =2,解: (1)由题意可知 C =¥,解得a = ■_ 6, b = 2. a 3 a 2= b 2 + c 2,2 2故椭圆C 的方程为x +y =1. 6 2⑵由题意可知直线l 的斜率存在.设其方程为 y = k(x — 2),点 A(x i , y i ), B (x 2, y 2), M (x 3, y 3), N (—X 3,— y 3),-2 2舟管+, 1,由6 2y = k x — 2 —4ky1+ y2= k(x1 + x2- 4)=碍,因此直线 OD 的方程为x + 3ky = 0(k z 0).因为四边形 MF 4NF 2为矩形,即(x 3 — 2 , y 3) (•— X 3 — 2，— y 3)= 0 ,4— x 2 — y 3= 0.22 9k +14— l+F = a［由题悟法］1. 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x , y 的方程组，消去 y(或x)得 元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标.得(1 + 3k 2)x 2— 12k 2x + 12k 2— 6= 0, 所以x 1 + x 2=212k 2 1 + 3k '所以AB 的中点D 的坐标为'6k 2 2 — 2k?、1 + 3k 2, 1 + 3k2 , x + 3ky = 0,由 x 2 y f+ = 1,6 2 ，解得 y3= 1+?, x3 = — 3% 所以 所以 解得 k =±(.故直线i 的方程为y = ±，(x — 2).(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.2. 判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点第一：可以限定所给(1) 联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况.(2) 判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式△起着关键性的作用，参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根.［即时应用］(2019泰州中学高三学情调研)已知椭圆的离心率为扌，焦距为2,直线y= kx(x z 0)与椭圆C交于A, B两点，M为其右准线与x 轴的交点，直线AM , BM分别与椭圆C交于A i, B i两点，记直线A iB i的斜率为k i.(1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在常数入使得k i=入讪亘成立？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.2 2解：⑴设椭圆方程为a + *= i(a> b> 0),由椭圆的焦距2c= 2,得c= i.由椭圆的离心率e=許吩得 a = 2,则b2= a2-c2= i,2所以椭圆C的方程为；+ y2= i.(2)设A(x o, y o),贝y B(-x o, —y o), k=严，2y2= 2-x0,又右准线方程为x = 2,贝V M(2,0),x直线AM的方程为y=匚—2(x - 2),消去y,整理得[(x o- 2)2+ 2y2]x2- 8y0x + 8y o-2(x°- 2)2= 0,因为方程的两个根为x o, xA i,比8y 2― 2(x o― 2 f 4(2—x o —2fx o- 2f 4 —3x o所以xo xAi= x o —2 2+ 2y2 = x o-22+ 2丸=xo‘则xA i= 3― 2xo, yA i = ~^(xA i —2) = 3y2 ,3—2x o x o—2' 3—2x o即存在X=— 3，使得k i =入k 旦成立.考点二定点、定值问题 重点保分型考点一一师生共研则A i i4 — 3x o y o ] 3 — 2x o 3 — 2x o ' 同理可得 4 + 3x o 3 + 2x ‘ y o — 3+2x o，贝U k i =— 6y o 2x o3k ,［典例引领］2 2 f (2017 全国卷 I )已知椭圆 C: a 2+ 治=1(a > b > 0),四点 P i (1,1), P 2(0, 1), P3 — 1, P",尹 中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求C 的方程； ⑵设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点•若直线 P 2A 与直线P 2B 的斜率的和 为一1,证明：I 过定点. 解：(1)由于P 3, P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆 C 经过P 3, P 4两点. 1113 又由孑+ b 2＞孑+ 4b 2知，椭圆C 不经过点P 1, 所以点P 2在椭圆C 上.2 故椭圆C 的方程为x +y = 1. 4 (2)证明：设直线 P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为 k 1, k 2. 如果I 与x 轴垂直，设l ：x = t,由题设知埒0，且|t| V 2,可得A, B 的坐标分别为 1从而可设 I : y = kx + m(m ^ 1).2将y = kx + m 代入x + y 2= 1得 4(4k 2+ 1)x 2+ 8kmx + 4m 2— 4 = 0. 由题设可知 △= 16(4k 2— m 2+ 1) > 0.设 A(X 1, y 1), B (X 2, y 2), 解得a 2=：， |b 2= 1. 则 k 1 + k 2 = 4 -12-2 2t 4- t 2+ 2 2t =—1,得t = 2，不符合题设. 因此x1+ x2=8km1’x1X2 =4m2— 44k2+ 1.k1 + k2 = y2 —1 X2kx1 + m —1 +kx2+ m—1 X1X2_ 2kx i X 2+ (m — 1 (X i + X 2)X 1X 2由题设k i + k ?= — 1,故(2k + 1)X i X 2+ (m — 1)(x i + X 2)= 0.2口 r, 4m — 4 — 8km即(2k + 1) 一+ (m — 1) 一2= 0. 4k 2+ 1 4k 2+ 1当且仅当 m >— 1 时，△>0，于是 I : y = — ^^X + m , 即卩 y + 1 = — m ^(X — 2),所以I 过定点(2, — 1).［由题悟法］定点、定值问题的求解策略(1) 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量 X , y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得 到一个关于X , y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2) 定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取 特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与 变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值.［即时应用］(2019徐州一模)已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 C 的一个焦点F 在抛物线y 2= 4x 的准线上，且椭圆 C 过点P 1, 2，直线I 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程；⑵若直线I 的斜率为1,且不过点P ,设直线PA , PB 的斜率分别为k 1, k 2,求证：心+ k 2为定值. 解：(1)抛物线/= 4x 的准线方程为x =— 1，由题意知F (— 1,0).2 2设椭圆C 的方程为勺+書=1(a >b >0).a b ' '［硏= 1, a 2 = 4,则由题意可得 1 9 解得2孑 + 4?= 1, 血=3.2 2故椭圆C 的方程为x + y = 1.解得k =—m + 1 24 3⑵证明：因为直线l 的斜率为2，且不过点P 1, 3 ,所以可设直线l 的方程为y = 2x + m(m ^ 1). 2 2 x +y = 1 4十3 ， 联立方程组消去 y 得 x 2 + mx + m 2— 3 = 0.设 A(x i , y", B (X 2,『2), 2 2 △= m - 4m - 3 > 0, 故有 X 1+ X 2=- m , X 1X 2= m 2- 3.3 3y 1- 2 y 2- 2所以k 1 + k 2= 1十 1X 1— 1 X 2— 1 y1-3 (XL 1 j(x 2— 1 ) -1 十 y2-2 x1 2x 1 + m -- 1 十 =X 1- 1 X 2- 1 _ X 1X 2+ (m — 2 怪1十 X 2 — 2m + 3— X 1X 2 - X j + X 2 十 12m — 3+ m - 2 — m — 2m + 3= 2 = 0m — 3 — (— m 十 1， 考点三最值、范围问题 重点保分型考点一一师生共研［典例引领］(2018苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系2 2 圆C ： x 2+ y 2 = 1(a >b >0)的离心率为 乎，且右焦点 a b 2xOy 中，已知椭离为6.2.(1)求椭圆C 的(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于 的垂线，交y 轴于点N. x 轴上方的点，直线 PA 交y 轴于点M ,过点F 作MF ①当直线 PA 的斜率为1时，求△ FMN 的外接圆的方程; ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q 求厶AP Q 的面积的最大值.m— -12 2所以椭圆C 的方程为 去+ y= 1.16 8 ⑵由题意可设直线 PA 的方程为y = k(x + 4), k >0,贝U M(0, 4k),所以P ，Q 关于原点对称，即 P Q 过原点.所以△ APQ 的面积 S =」OA (y p — W)= 2 X 16k 2^3^< 8 2,2 1 + 2k 12k +1所以△ AP Q 的面积的最大值为 8 2.［由题悟法］圆锥曲线中的最值问题解决方法(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本 不等式法、换元法、导数法等方法求最值.(2)几何法：从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.［即时应用］2 2 1已知椭圆*= 1(a >b >0)的离心率为，且经过点P 1,c=t a 2， 2 解：(1)由题意得l c+ 2 = 6厲解得，a = 4,c= 2迄，贝b =蓉,所以k MF 0 — 4k2.2— 0 =— 2k , kFN1 2k ，所以直线FN 的方程为y「打 (x — 2 2)，贝V N 0, - k .①当直线 1 1PA 的斜率为 1，即 k = 1 时，M(0,2), N(0,-4), F(2 2，0)， 因为MF 丄FN ，所以圆心为(0, - 1)，半径为3, 所以△ FMN 的外接圆的方程为 x 2+ (y + 1)2= 9.k x + 4 ,②联立 x 2 y 2消去 y ,整理得(1 + 2k 2)x 2 + 16k 2x + 32k 2- 16 = 0,+ ^-= 1 16 84 — 8k解得x1=-4或X2= 1+尿，所以p4- 8k 2 1+ 2k 2, 8k1 + 2k 2，1 又直线AN 的方程为y =—以債+ 4), 同理可得，Q —4 8k ,2k 2,—1 + 2k2 ,3，过它的两个焦点 F 1,当且仅当2k =；,即k =a ”=6—F 2分别作直线11与12, l l 交椭圆于A , B 两点，12交椭圆于C , D 两点，且1l 丄12.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求四边形ABCD 的面积S 的取值范围. 解：⑴由C = £ 得 a = 2c ,所以 a 2= 4c 2, b 2= 3c 2,a 2 将点P 1, 2的坐标代入椭圆方程得 c 2 = 1, 2 2 故所求椭圆方程为x + y= 1.4 3(2)若11与12中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积为 S = 6.1若11与12的斜率都存在，设11的斜率为k ，则12的斜率为—7.k 不妨设直线11的方程为y = k(x + 1), 设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), y= k (x +1, x 2 y 2-+3 = 1消去 y 整理得，(4k 2+ 3)x 2+ 8k 2x + 4k 2— 12 = 0,△= 64k 4— 4(3 + 4k 2)(4k 2— 12) = 144 k 2+ 144> 0, 8 k 2 4 k ? — 12仃 L 【、II O tv -re所以 x 1 + x 2=—彳［2 丄 3 , x 1 X 2= 2丄 3 ,4k 十3 4k 十3所以凶一X 2|= X 1 + X 22 — 4x 1x 2=：胃鳥1,. 2 2所以 S = 2AB CD = 4岸 3 樣 + 4 , 令 k 2= t € (0, + g ), 所以 S =72 1 +12(4t + 3 )(3t + 4 )6 12t 2+ 25t + 12 — 6t = 12t 2+ 25t + 126 12t + ¥+ 25联立$ 所以 AB =1 + k 2x i — X 2|=212 k + 1 4k 2 + 3 ,同理可得一保高考，全练题型做到高考达标2 21. (2019徐州第一中学检测)若双曲线X9 — 丁 =1与直线y = kx — 1有且仅有一个公共点,则这样的直线有 ________ 条.2 2解析：把直线y = kx — 1代入双曲线x— \ = 1中， 消去 y ,得(4 — 9k 2)x 2 + 18kx — 45= 0,当4— 9k 2= 0，即k = ±3时，直线与双曲线相交，有一个交点； 当4— 9k 2工0，即k 工±3时，令 △= 0,得182k 2+ 4(4 — 9k 2)x 45= 0，解得k = ±7，此时直线与双曲线相切，有一个交点.3 综上，k 的值有4个，即这样的直线有 4条. 答案：42 22•已知椭圆C : +才=1的左、右顶点分别为 M , N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是—1，则直线PM 的斜率为 ___________ .42 2解析：设P(X 0,y °),则x 0+ y 0= 1,直线PM 的斜率k pM = 一咒，直线PN 的斜率k pN = 匕,4 3 X 0 十 2 X 0 — 2 可得 k pM k PN = 2,0 ’ =— 3，故 k pM = — 3 • 1 = 3.X 0— 44 4 k PN答案：33 .已知抛物线y 2= 2px 的焦点F 与椭圆16x 2 + 25, = 400的左焦点重合，抛物线的准线 与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且 AK = Q2AF ，则点A 的横坐标为 ______________________ .2 2解析：16x 2+ 25y 2= 400 可化为 x + y= 1,1故直线I 的方程为y — 2= — ^(x — 4), 即 x + 2y — 8= 0. 答案：x + 2y — 8= 0> 6- A = 28849 49 所以S €器6 .综上可知，四边形 ACBD 面积的取值范围是 czi0 □1=125 16则椭圆的左焦点为F(—3,0),又抛物线y2= 2px的焦点为p, 0，准线为x =—p, 所以p=—3, 即卩p=—6,即y2= —12x, K(3,0).设 A(x , y),则由 AK = 2AF 得 (x — 3)2 +2[(x + 3)2 + y 2]，即 x 2+ 18x + 9+ — 0,又 y 2=— 12x ，所以 x 2+ 6x + 9= 0,解得 x =— 3. 答案：—3x 2 y 224. (2019江都中学检测)已知双曲线 孑一詁=1(a >0, b >0)的两条渐近线与抛物线y =2px(p >0)的准线分别交于 A , B 两点，若双曲线的离心率为 2, O 为坐标原点，△ AOB 的面 积为弓3 1，贝y p= ______________ .22b解析：•••双曲线字—存=1的渐近线方程是y = ±^x ,抛物线y 2= 2px(p >0)的准线方程是x = — p ,A ,B 两点的纵坐标分别是 y = ±f ,•••双曲线的离心率为 2,2 2 2• 2= C —2— = e 2— 1= 3,贝H b = 3, a a a ••• A , B 两点的纵坐标分别是尸詈=甲, 又厶AOB 的面积为于, ••• 2X 3p x p =33,解得 P =竽. 又论 + X 2= 8,知 + y 2= 4, 所以也二也=—1,X 1 — X 2 22 25.已知(4,2)是直线l 被椭圆訂+ f = 1所截得的线段的中点，则I 的方程是解析：设直线l 与椭圆相交于A(X 1, y 1), B(X 2, y 2). 两式相减并化简得嵌X j + x 2 4(y 1 + y 2 j16. (2018海门中学检测)如图，过抛物线 y = ”x 4 5的焦点F 的直线I 与抛物线和圆x 2 + (y4答案：18.已知直线l 过抛物线C ： y 2= 2px(p >0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线 l 与 抛物线C 交于A , B 两点，且AB = 12,若M 为抛物线C 的准线上一点，则△ ABM 的面积 为 .解析：由题意知，抛物线 C 的焦点坐标为 p 0 ,对称轴为x 轴，准线为x =—:.因为 直线l 与x 轴垂直，所以 AB = 2p = 12, p = 6,又点M 在抛物线C 的准线上，所以点M 到直1线AB 的距离为 6，所以△ ABM 的面积 S =6X 12= 36.解得 x = ±2,则 A( — 2,1), D(2,1),2 -1)2= 1 交于 A , B ,解析：不妨设直线因为 B( — 1,1), C(1,1),所以 刁B = (1,0), 1DC = (— 1,0),所以 瓦B Bc =— 1.答案：—12 27. (2019宁海中学调研)已知椭圆/+洽=1(a > b > 0)，点A , B 1, B 2, F 依次为其左顶 点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB ?与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 _________ .解析：根据题意得，直线 AB 2的方程为：y =b x + b ,aA直线B 1F 的方程为：y = b x — b ,c 联立两直线方程解得 x = 2ac . a — c化简得 2c 2 + ac — a 2= 0, 即 2e 2+ e — 1 = 0,1又0v e v 1,解得e = 2又由题意可得 2ac =a — c答案：369. (2018镇江期末)已知椭圆 C : X 2+古=1(a > b > 0)的离心率为 ，且点 一.3, 2在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；⑵若直线l 交椭圆C 于P , Q 两点，线段P Q 的中点为H , O 为坐标原点，且 OH = 1, 求厶PO Q面积的最大值.2所以椭圆C 的方程为专+ y 2= 1.⑵设 I 与 x 轴的交点为 D(n,0),直线 l ： x = my + n , P(X 1, y", Q (X 2, y 2),x = my + n , 联立 x 2 2消去 x ，整理得(4 + m 2)y 2+ 2mny + n 2— 4= 0,4+y =1… 1 1则 SA PO Q = ^OD|y 1 — y 2= 2|n||y 1 — y 2|.令 T = n (y 1 — y ?) = n [(y i + y 2) — 4y i y 2]=24 + m _______ t16+ m 2 2=t 2+ 24t + 144当且仅当t = 学，即t = 12时，S A PO Q = 1, 所以△ PO Q 面积的最大值为 1. X 2 210.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 C : 4 + y = 1的解：(1)由已知得c =」a 2，a +4b 2=1， 解得〜a 2= 4,b 2= 1,所以 y 1 + y 2= —2mn4 + m 2, 4 + m 2,192 4+ m 22 2 ,设 t = 4+ m 2(t > 4),则 y 1y 2= my + y 2 片 2n = 4n2 = 4 + m 2, 由OH=“，得n2=辭宁,w2t + 学 + 241 48’左顶点A作直线I，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P, Q(1)若AP = PQ,求直线I的斜率;(2)过原点O 作直线I 的平行线，与椭圆 C 交于点M , N ，求证：为定值.解：⑴依题意，椭圆C 的左顶点A(— 2,0),2 216k — 4 "吊2 — 8k则—2 x p = ■ 2 . 1，从而 X p =2. 4k 十 1 1 + 4k因为AP = P Q,所以x p =— 1. 22— 8k 2 所以石页2=— 1,解得k =设直线I 的斜率为k(k >0)，点P 的横坐标为X p ,则直线I 的方程为 y = k(x + 2).y =k x +2, 联立名y-1,得(4k 2+ 1)x 2+ 16k 2x + 16k 2— 4 = 0,(2)证明：设点N 的横坐标为 X N .结合⑴知，直线MN 的方程为 y = kx.y = kx , 联立X 22xr + y 2=1，得x N =4 1 + 4k 2.2 —8k 21 + 4k 2+ 21 4—=1(定值). 4 X 1 + 4 k 2上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2019苏州调研)如图, 2 2 x 2+ ]=1(a > b > 0)的离心率为在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :-2，椭圆上的动点p 到一个焦点的距离的最小值为3( 2 — 1).(1)求椭圆C 的(2)已知过点M(0,— 1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以线段 AB 为直径 的圆是否恒过定点，并说明理由.从而APN^MN2 2⑵当直线i 的斜率为0时，对于18+£+1,令y =— i ,得x = ±4, 此时以线段 AB 为直径的圆的方程为x 2 + (y + 1)2+ 16.当直线I 的斜率不存在时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x 2+ y 2= 9.x = 0,解得 <即两圆的交点为(0,3),记T(0,3).l.y = 3,猜想以线段 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3).当直线I 的斜率存在且不为 0时，设直线l 的方程为y = kx — 1(k z 0), A(X i , y ,), B (X 2,y = kx — i , 由 X 2 y 2 “得(1 + 2^)X — 4kx — 16+ 0,ii +y T 1,)4k16所以△=(-4k) + 64(1 +2k) = 144k+ 64>0, Xi + X2= 7+k , X1X2+-i+?・因为 TA TB — = (x i , y i — 3) (X 2, y 2 — 3) = X i x 2 + y i y 2 — 3(y i + y 2)+ 9 = x i X 2 + (kx i — 1)(kx 22 — 16(k 2+ 1)i6k 2—1)— 3(kx1 —1+ kx 2 — 6 7 8 + 9 = (k +1)xi X 2 —4k(x1 + x2) + 16 =2- —2 + 16 =1 + 2k2 + 16= 0,所以TA 丄TB ，故以线段 AB 为直径的圆过点 T(0,3).综上，以线段 AB 为直径的圆恒过定点(0,3). 2. (2019盐城模拟)如图，已知F i , F 2分别是椭圆 > b >0)的左、右焦点，点P(— 2,3)是椭圆C 上一点，且7 求椭圆C 的方程；2 2 28 设圆 M : (x — m) + y = r (r >0).- --------------------------------------- > --- > ---- > --- >①设圆 M 与线段PF 2交于 A , B 两点，若MA + MB = MP + MF 2,且AB = 2,求r 的值; ②设m = — 2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G , H 两点(均异于点P).试问：是否存在这样的正数 r ,使得G , H 两点恰好关于坐标原点 O 对称？若存在，求出 r 的 值；若不存在，请说明理由.解：⑴因为点P( — 2,3)是椭圆C 上一点，且 PF ,丄x 轴, 所以椭圆的半焦距 c = 2,22.2.22由与+ b = 1,得 y = b ，所以 一 = ------- =3, a b a a a联立 x 2+y +12=16, X 2+ y 2+ 9,y 2).1 + 2k 1 + 2k —16 1 +2 k2化简得a2—3a—4= 0，解得a= 4，所以b2= 12,2 2所以椭圆C的方程为,6+占=i.C:PF2 2故存在满足条件的正数 r ，且r = 罗.._ --- > ---- > --- > --- > ⑵①因为 MA + MB = MP + MF 2,-- > --- > --- > --- > ------ > --- > 所以 MA — MP = MF 2— MB ，即 PA = BF 2. 所以线段PF 2与线段AB 的中点重合(记为点QQ, 由⑴知Q 0, 2 .因为圆M 与线段PF ?交于A , B 两点，所以 k "Q k AB = k )M Q kPF 2= — 1,=—1,解得 m =—98,所以 M Q ==彊又 AB = 2，所以 r =普 2+ 12= 17.②假设存在正数r 满足题意. 由G , H 两点恰好关于原点对称，设G(X o , y o ),贝y H( — x o ,— y °),不妨设x o < 0.因为P(— 2,3), m =— 2,所以两条切线的斜率均存在， 设过点P 与圆M 相切的直线的斜率为 k ,则切线方程为 y — 3 = k(x + 2)，即 kx — y + 2k + 3= 0, 由该直线与圆 M 相切，得 r = _^=2,1卩k = 土、I 2 , ^1 + k 2 V r 所以两条切线的斜率互为相反数，即k pG =— k pH ,V 0 — 3 — y ° — 3— 6所以 ,2=— —x , 2，化简得 x o y o =— 6, 即卩 y o =, x o 十 2 — X o 十 2 *x o2 2代入x 十12 = 1,化简得x — 16x 2 + 48= o , 解得x °=— 2(舍去)或x °=— 2 3, y 0= 3,G(— 2 3, -3), H(2 3,— 3),所以 所以所以k PG =—123 3 记所以r=1 十232 6打7故存在满足条件的正数r，且r = 罗.板块命题点专练(十三)圆锥曲线学习曲匕、阶H 卵上能力彌，期伸古.高考真理第中研究一命题规律，验自身能力命题点一椭圆X 2----- >-- >1.(2018浙江高考)已知点P(0,1),椭圆—+ 卜m(m > 1)上两点A , B 满足AP = 2 PB ,则当m = _________ 时，点B 横坐标的绝对值最大.-- > ---- >解析：设 A(x i , y i ), B(x 2, Y 2),由 AP = 2PB ,-X i = 2X 2, 得即 X 1=- 2x 2, y 1= 3— 2y2.1 - y i =2 y 2— 1,2管 +(3 - 2y2)= m ,因为点A , B 在椭圆上，所以2I X2 24 + y 2= m ,解得 y 2= 4m + 4,所以 X2= m - (3 — 2y 2)2=- ^m 2 + ；m - 9 所以当m = 5时，点B 横坐标的绝对值最大. 答案：5y 2h”=1(a > h > 0)的右焦点，直线 y =云与椭圆交于 =90°则该椭圆的离心率是b.------------------------------ > -- >因为/ BFC = 90° 所以 BF -CF = 0, 所以(+ 留；(一乎a )+ (- b )= 0, 即 c 2- 3a 2 + ^h 2= 0,4a 4h 将h 2 = a 2-c 2代入并化简，得a 2= 3c 2,2. (2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 新―5)2 + 4W 4,解析：将y =；代入椭圆的标准方程,得?+器1h 2所以x =，故 B -_23a , b ，C，-- >又因为F(c,0)，所以BF =-h , "Ci?= ,2 '所以e 2= c 2= 2，所以e =¥(负值舍去).a 3 3 答案：」33. (2017江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2y 2 1E :孑+ b 2= 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F i , F 2,离心率为2， 两准线之间的距离为 8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过 点F i 作直线PF i 的垂线l i ,过点F 2作直线PF 2的垂线12.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线1i , 12的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标. 解：(i)设椭圆的半焦距为 c.因为椭圆E 的离心率为2,两准线之间的距离为 8,2c i 2a o所以8,a 2 c解得 a = 2, c = i ,于是 b = j a 2— c 2=,2 2因此椭圆E 的标准方程是7 + y = i.4 3 ⑵由(i)知，F i (— i,0), F 2(i,0). 设p(x 0, y °),因为P 为第一象限的点， 故 X 0>0, y °> 0.当X 0= i 时，I 2与l i 相交于F i ，与题设不符.当i 时，直线PF i 的斜率为詰，直线PF 2的斜率为X —因为l i 丄PF i , l 2± PF 2，所以直线l i 的斜率为一心，直线l 2的斜率为一3 ,y 0 y 0从而直线l i 的方程为X 0+ iy=—H （x + i ）,即 X 0 — y （）= i 或 x 0+ y （）= i.直线l 2的方程为y = 由①②，解得 x =— X 0, X 0 — i ■0yr （x — i ）.X o— iy = y 0所以Q — X 。

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余都是A 级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4.已知椭圆x 2a ＋y2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．【例1】 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1) 求椭圆G 的方程； (2) 求△PAB 的面积． 【例2】 直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．【例3】 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标； (2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A(－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M 、N ，连结QM 、QN ，分别交直线x ＝t(t 为常数，且t≠2)于点E 、F ，设E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)．1. (2011·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为__________．2.(2010·全国)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D 点，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．3.(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.(1) 当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0.(1分)AT ：x a 2c＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y－b ＝1 ③，(3分)联立①②③解得：交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得(4分)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c a 2＋c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2＋c 22b2＝4a 2c 2＋2－c222＋c22＝1，(5分)满足①式，则C 点在椭圆上，A 、C 、T 三点共线．(6分) (2) 解：过C 作CE⊥x 轴，垂足为E ，△OBF∽△ECF.∵BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，b 3，代入①得⎝ ⎛⎭⎪⎫43c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b2＝c 2.(7分)设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.(8分)此时C ⎝⎛⎭⎪⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC＝12·2c·4c 3＝43c 2，(9分)直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d·AC＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c.(10分)只需求x 0＋2y 0的最大值．(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)(11分) ＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.(12分)当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c.(13分) (解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 2＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.(11分)Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t≤6c.(12分) 当t ＝6c ，代入原方程解得：x 0＝y 0＝63c.(13分) ∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，(14分) ∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，(15分)此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(16分)第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程x 2m －1＋y22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞) 2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．【答案】633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．【答案】 1＋362解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋－2＝－y2＋－2＝－8y 2－4y ＋13，∵ －1≤y≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |PQ|max ＝1＋362.5. (2011·南京二模)如图，椭圆C ：x 216＋y24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)． 所以直线DE 的方程为y ＝x －2， 直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝65，所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫165216＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6524＝1，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上．即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2) 解：直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k11＋4k 21，y ＝2－8k211＋4k 21，所以点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1，直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.所以点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也可以) 所以R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c24(c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，423、⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围． 解：(1) 令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，所以m ＝19，n ＝14，即椭圆为x 29＋y24＝1.(2) 直线AB ：x －a ＋yb＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02， 所以点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝x 20＋y 204，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y 2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c24.因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，所以x 0－a ＋y 0b＝1，所以x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b a y ＋⎝⎛⎭⎪⎫by －c 24＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋bay ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c24b，故定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 24a ，c 24b ，OP →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，b a x 0＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 24a ，c 24b ＝c 24. (3) 直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c24(c 是椭圆的半焦距)相离，则aba 2＋b 2＞c 2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)， 得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，所以0＜e 2＜3－5.① 连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt△OPN 中，OP ＝2ON ＝2r ＝c ，所以ab a 2＋b 2≤c，a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)， a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0.因为0＜e ＜1，所以3－52≤e 2＜1.②由①②，得3－52≤e 2＜3－5，所以5－12≤e＜10－22.基础训练1. 3或2532. 323. 26＋44. [2－1,1) 解析：∵ PF 1PF 2＝e, ∴ PF 1＝ePF 2＝e(2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e ，又a －c≤PF 1≤a＋c ，∴ a－c≤2ae 1＋e ≤a＋c ，a(1－e)≤2ae 1＋e ≤a(1＋e)，1－e≤2e1＋e ≤1＋e ，解得e≥2－1.又0＜e ＜1, ∴ 2－1≤e＜1.例题选讲例1 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y24＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d＝92.例2 解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y23＝1.(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝2－，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，①又A 、B 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋212＋－3y 223＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B ⎝⎛⎭⎪⎫103，23，代入①得A 点坐标为(2，－2)． 因为OA →·AB →＝0，所以OA⊥AB.所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.变式训练 已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1) 求m 的值与椭圆E 的方程；(2) 设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．解：(1) 点A 坐标代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m＜3，∴ m＝1.圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴ |k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴ c＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2.椭圆E 的方程为：x 218＋y22＝1.(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18， 而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy≤3.则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]. x ＋3y 的取值范围是[－6,6]．∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决) 例3 解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0，解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45. (2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝＋，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4. 由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.∵ k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k2. ∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.变式训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1.于是a ＝2，b ＝1.所以所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) ①证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 又设M(x ，y)，因OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.因M 在椭圆上，故1cos θ＋x 2sin θ22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，并注意cos θsin θ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0.所以k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：(y 1y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 212＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2. 所以OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.例4 解：(1) 连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4， 所以RA ＋RB ＝4＞AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y23＝1.(2) 设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，－y 0)，QM 、QN 的斜率分别为k QM 、k QN ， 则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，所以直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)．令x ＝t(t≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又(x 0，y 0)在椭圆x 204＋y 203＝1上，所以y 20＝3－34x 20.所以y 1·y 2＝y 2x 20－4(t －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－34x 20－2x 2－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t≠2.高考回顾1. x 29－y 227＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程x 29－y227＝1.2. 33 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，设D(x 2，y 2)，B(0，b)，C(c,0)，BF →＝(c ，－b)，FD →＝(x 2－c ，y 2⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32c ，y 2＝－b 2.∴ 1a 2·94c 2＋1b 2·b24＝1， ∴ 94e 2＝34，∴ e＝33. 3. x 25＋y24＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，所以椭圆c ＝1.分析可知直线AB 为圆x 2＋y 2＝1与以⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为圆心，12为半径的圆的公共弦．由(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14与x 2＋y 2＝1相减得直线AB 方程为：2x ＋y －2＝0.令x ＝0，解得y ＝2，∴ b＝2，又c ＝1，∴ a 2＝5，故所求椭圆方程为：x 25＋y24＝1.4. (1，2) 解析：由题可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c ，c －a 2c <ab c ，∴ b<a，∴ c 2－a 2<a 2，∴ c a <2，即1<e< 2.5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M 、N 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，直线PA 平分线段MN ，又直线PA 经过原点，所以k ＝22. (2) 直线PA ：y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋2y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，AB 方程：y －43＝x －23－23－23，即：x －y －23＝0，所以点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－232＝223.(3) (解法1)由题意设P(x 0，y 0)，A(－x 0，－y 0)，B(x 1，y 1)，则C(x 0,0)， ∵ A、C 、B 三点共线，∴ k AC ＝k AB ，y 02x 0＝y 1＋y 0x 1＋x 0，又因为点P 、B 在椭圆上，∴ x 204＋y 202＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1＝－x 0＋x 10＋y 1，∴ k PA k PB ＝y 0x 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 0＋x 10＋y 1＝－1＋y 0＋x 1x 1＋x 00＋y 1＝－1，∴ PA⊥PB.(解法2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点T(x 0，y 0)，则P(－x 1，－y 1)，C(－x 1,0)， ∵ A、C 、B 三点共线，∴y 2x 2＋x 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 12x 1＝k AB ，又因为点A 、B 在椭圆上， ∴ x 224＋y 222＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：y 0x 0＝－12k AB，∴ k OT k PA ＝y 0x 0·y 1x 1＝－12k AB ×2k AB ＝－1，∵ OT∥PB，∴ PA⊥PB.(解法3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y22＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k2，2k 1＋2k 2，A ⎝⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k1＋2k 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，0， k AC ＝2k1＋2k 241＋2k2＝k 2，直线AC ：y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 1＋2k 2， 代入x 24＋y 22＝1得到⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 22x 2－2k 21＋2k 2x －4＋6k 21＋2k 2＝0， 解得x B ＝4＋6k 2＋k21＋2k2，k PB ＝y B －y P x B －x P ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －21＋2k 2x B －21＋2k 2＝－4k 4k 2＝－1k .∴ k PA ·k PB ＝k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－1，∴ PA⊥PB.点评：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判断．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合解题能力，属难题．6. 解：(1) 由e ＝c a ＝22，a2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y22＝1.(2) 设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得 (x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 点是椭圆x252＋y2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝52－102＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．。

【课本内容再回顾——查缺补漏】 一．基础知识整合1. 直线的倾斜角和斜率：任何直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，如倾斜角等于90°时，斜率不存在；若两直线的倾斜角相等，斜率相等或都不存在；若两条直线的斜率相等，则两直线的倾斜角相等；当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率也越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率也越大；与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零，斜率也为零；2. 直线的方程：点斜式：)(11x x k y y -=-； 截距式：b kx y +=；两点式：121121x x x x y y y y --=--； 截距式：1=+bya x ；一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.3．两条直线的位置关系：两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.两直线平行⇔两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直⇔两直线的斜率之积为1-或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零； 与已知直线0(0,0)Ax By C A B ++=≠≠平行的直线系方程为0()Ax By m C m ++=≠； 若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.两平行直线间距离公式：10(0,0)Ax By C A B ++=≠≠与2120(0,0,)Ax By C A B C C ++=≠≠≠的距离1222d A B=+４．圆的有关问题：圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+，几种特殊的圆的方程设圆的圆心为(,)a b ，半径为r（1）若圆过坐标原点，则圆的标准方程为：2222()()x a y b a b -+-=+ （2）若圆与x 轴相切，则圆的标准方程为：222()()x a y b b -+-= （3）若圆与y 轴相切，则圆的标准方程为：222()()x a y b a -+-= （4）若圆心在x 轴上，则圆的标准方程为：222()x a y r -+= （5）若圆心在y 轴上，则圆的标准方程为：222()x y b r +-= （6）若圆与坐标轴相切，则圆的标准方程为：222()()x a y a a -+-=或222()()x b y b b -+-=．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则（1）d r <⇔直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点；（2）d r >⇔直线与圆相离⇔直线与圆无公共点；（3）d r =⇔直线与圆相切⇔直线与圆有且只有一个公共点；【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则（1）0∆>⇔直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点； （2）0∆<⇔直线与圆相离⇔直线与圆无公共点；（3）0∆=⇔直线与圆相切⇔直线与圆有且只有一个公共点； 若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则222l r d =-圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系的判断：设两个圆的圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则 （1）1212||O O r r >+⇔圆与圆相离⇔两个圆有四条公切线； （2）121212||||r r O O r r -<<+⇔圆与圆相交⇔两个圆有两条公切线； （3）1212||O O r r =+⇔圆与圆相外切⇔两个圆有三条公切线； （4）1212||||O O r r =-⇔圆与圆相内切⇔两个圆有一条公切线； （5）1212||||O O r r <-⇔圆与圆相内含⇔两个圆没有公切线；若圆221110x y D x E y F ++++=与圆222220x y D x E y F ++++=相交，则公共弦所在的直线方程为121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=； ５．椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0,0)Ax By A B +=>>或221(0,0)x y A B A B+=>>； 椭圆的参数方程： 椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.６．椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆122=+ba （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ace =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于212tan 2F PF b ∠，其中b 是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a７．双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0)Ax By AB +=<或1(0)AB A B+=<８．双曲线的简单几何性质双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-by a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是ca x 2-=和c a x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于212tan2b F PF ∠，其中b 是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22b a．9．抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF1+S△OPN S △OF 2N 为定值.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；③点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1⊥PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M m,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m>2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率k MB，k MF，k MA构成等差数列，求m的值.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF2的周长为8.(1)若△ABF2的面积为1227，求直线AB的方程；(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.10(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.11(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是4,且过点B0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=k x+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.14(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.15(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.16(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C1:x24+y23=1,椭圆C2:y29+x24=1,A-2,0、B2,0.P为椭圆C2上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C1于E、F两点,连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BH⎳PA.(1)证明：k BF⋅k BG为定值；(2)证明直线GF过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为x P、x Q,证明：x P x Q为定值.17(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O ：x 2+y 2=2,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >2 的离心率为22,P 是C 上的一点,A 是圆O 上的一点,PA 的最大值为6+2.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点,PM 与圆O 相切于点N ,证明：PO 2=PM ⋅PN .18已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为8,离心率e =54.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,求直线l 的方程.圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N为定值.【解析】(1)由题意得a =2，设PF 1 ，PF 2 的长分别为m ，n ，m +n =2a =4则cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-4c 22mn =m +n 2-4c 2-2mn 2mn =2b 2mn-1≥2b 2m +n 22-1=2b 2a2-1，当且仅当m=n 时取等号，从而2b 2a 2-1=12，得b 2a 2=34，∴b 2=3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得F 1-1,0 ，F 21,0 ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线PM 的方程为x =x 0+1y 0y -1，直线PN 的方程为x =x 0-1y 0y +1，由x =x 0+1y 0y -1x 24+y 23=1，得3x 0+1 2y 02+4 y 2-6x 0+1 y 0y -9=0，则y 0y 1=-93x 0+1 2y 02+4=-9y 023x 0+1 2+4y 02=-9y 023x 02+4y 02+6x 0+3=-3y 022x 0+5，∴y 1=-3y 02x 0+5，同理可得y 2=-3y 05-2x 0，所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N =12OF 1 y 0 12OF 1 y 1 +12OF 2y 0 +y 2 12OF 2 y 2 =-y 0y 1+y 0y 2+1=-y 0-3y 02x 0+5+y 0-3y 05-2x 0+1=133.所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N 为定值133.2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由已知得b =1，c =1，所以a =2，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1⋅x 2=-1k 2+2，∴CD =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+22+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时，AC ⎳BD ，不符合题意，当l 与x 轴不垂直时，设l ：y =kx +t ，则P -tk ,0 ，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1 得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0，∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2，x 1x 2=t 2-22+k 2，又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1)，直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1)，由y =y2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1) 可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1)，即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1)，kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1)，kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ，k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ，k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2，4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k 2-k x 2-x 1 ，即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ，得x =-k t，∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ，∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1，所以OP ⋅OQ=1为定值.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】(1)∵椭圆离心率e =c a =22，∴c 2=12a 2，则b 2=a 2-c 2=12a 2，当C 为椭圆右焦点时，PC =b 2a =12a ；∵S △PAC =2S △POC =2×12c ⋅12a =12ac =24a 2=2，解得：a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1.(2)由题意可设直线AP :y =kx k >0 ，P x 0,kx 0 ，B x 1,y 1 ，则A -x 0,-kx 0 ，C x 0,0 ，∴k AC =kx 0x 0+x0=k2，∴直线AC :y =k2x -x 0 ；由y =k 2x -x 0x24+y22=1得：k 2+2 x 2-2k 2x 0x +k 2x 20-8=0，∴-x 0+x 1=2k 2x 0k 2+2，则x 1=2k 2x 0k 2+2+x 0，∴y 1=k 2x 1-x 0 =k 22k 2x 0k 2+2+x 0-x 0=k 3x 0k 2+2，∴B 2k 2x 0k 2+2+x 0,k 3x 0k 2+2；∴PB =2k 2x 0k 2+2,-2kx 0k 2+2，又PA =-2x 0,-2kx 0 ，∴PA ⋅PB =-2x 0⋅2k 2x 0k 2+2+-2kx 0 ⋅-2kx 0k 2+2=0，则PA ⊥PB ，∴∠APB 为定值90°.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点坐标为x 0,y 0 ，AB :y =32x +m 所以有x 0=x 1+x 22y 0=y 1+y 22，联立x 24+y 29=1y =32x +m，得9x 2+6mx +2m 2-18=0，得Δ=6m 2-4×92m 2-18 >0，得m 2<18，由韦达定理可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以y 1+y 2=32x 1+m +32x 2+m =32x 1+x 2 +2m =m ，所以x 0=-m 3y 0=m 2，化简得：y 0=-32x 0，所以线段AB 的中点在直线y =-32x 上.(2)由题可知PA ，PB 的斜率分别为k PA =y 1-322x 1-2，k PB =y 2-322x 2-2，所以k PA +k PB =y 1-322x 1-2+y 2-322x 2-2=y 1-322 x 2-2 +y 2-322 x 1-2x 1x 2-2x 1+x 1 +2，因为y 1=32x 1+m ,y 2=32x 2+m 得k PA +k PB =3x 1x 2+m -32 x 1+x 1 -22m +6x 1x 2-2x 1+x 1 +2由(1)可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以k PA +k PB =32m 2-189 +m -32 -23m -22m +62m 2-189-2-23m+2=0，又因为P 2,322在直线l 的左上方，所以∠APB 的角平分线与y 轴平行，所以△PAB 的内切圆的圆心在x =2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因离心率为32,则c a =32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F 1F 2的距离最大,则有S △F 1PF 2max =12⋅2c ⋅b =bc ,于是得bc =3,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)由(1)知,点F 23,0 ,当直线斜率存在时,不妨设l :y =k (x -3),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k (x -3)x 2+4y 2=4消去y 并整理得,(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,x 1+x 2=83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k2,假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点Q (t ,0),则QA ⋅QB=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+k 2(x 1-3)(x 2-3)=(1+k 2)x 1x 2-(3k 2+t )(x 1+x 2)+t 2+3k 2=(1+k 2)⋅12k 2-41+4k 2-(3k 2+t )⋅83k 21+4k 2+t 2+3k2=(4t 2-83t +11)k 2+t 2-41+4k 2,当t 2-4=4t 2-83t +114,即t =938时,QA ⋅QB =t 2-4=-1364,当直线l 斜率不存在时,直线l ：x =-3与椭圆C 交于点A ,B ,由对称性不妨令A 3,12 ,B 3,-12,当点Q 坐标为938,0时,QA =-38,12 ,QB =-38,-12 ,QA ⋅QB =-38,12⋅-38,-12 =-1364,所以存在定点Q 938,0,使得QA ⋅QB 为定值-1364.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入圆锥曲线方程作差,得到关于y 1-y 2x 1-x 2,x 1+x 2,y 1+y 2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±bax ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得ba=3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 23,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1 ,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．【解析】(1)由题意可得b =3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =3c =1，故椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)λ+μ为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0 ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y =k x -1 ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则M 0,-k ，联立方程y =k x -1x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则Δ=-8k 2 2-44k 2+3 4k 2-12 =144k 2+1 >0,x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3，MP =x 1,y 1+k ,PF =1-x 1,-y 1 ,MQ =x 2,y 2+k ,QF=1-x 2,-y 2 ，∵MP =λPF ，MQ =μQF ，则x 1=λ1-x 1 x 2=μ1-x 2 ，可得λ=x11-x 1μ=x 21-x2，λ+μ=x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2 -2x 1x 21-x 1+x 2 +x 1x 2=8k 24k 2+3-24k 2-12 4k 2+31-8k 24k 2+3+4k 2-124k 2+3=-83(定值).2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可知2a =4,a =2，则椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 即x 24+y 2b 2=1，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23，故设P x 0,22x 0 ，∴x 20+22x 0 2=3，解得x 20=2，将P x 0,22x 0 代入x 24+y 2b 2=1得x 024+x 022b 2=1，即24+22b2=1，故b 2=2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P (x 0,y 0),x 0∈[-2,2]，则Q (-x 0,-y 0)，则x 204+y 202=1,∴x 20+2y 20=4，由椭圆方程x 24+y 22=1可得A (-2，0)，∴直线PA 方程为︰y =y 0x 0+2(x +2)，令x =0可得M 0,2y 0x 0+2，直线QA 方程为：y =y 0x 0-2(x +2)，令x =0得N 0,2y 0x 0-2，假设存在定点T ，使得∠MTN =90°，则定点T 必在以MN 为直径的圆上，以MN 为直径的圆为x 2+y -2x 0y 0x 02-42=16y 02x 20-42,即x 2+y 2-4x 0y 0x 20-4y +4y 20x 20-4=0，∵x 20+2y 20=4，即x 20-4=-2y 20,∴x 2+y 2+2x 0y 0y -2=0，令y =0，则x 2-2=0，解得x =±2，∴以MN 为直径的圆过定点(±2,0)，即存在定点T (±2,0)，使得∠MTN =90°．3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22-x 2=1的焦点重合，过点P 4,0 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点.【解析】(1)由双曲线y 22-x 2=1得焦点0,±3 ，得b =3，由题意可得b =3a 2=b 2+c 2e =c a =12 ，解得a =2，c =1，故椭圆C 的方程为；x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =k x -4 ，点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则点E x 2,-y 2 .由y =k x -4x 24+y 23=1，得4k 2+3 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，Δ=32k 2 2-44k 2+3 64k 2-12 >0，解得-12<k <12，从而x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2-124k 2+3，直线AE 的方程为y -y 1=y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 ，令y =0得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2，又∵y 1=k x 1-4 ，y 2=k x 2-4 ，则x =kx 1x 2-4 +kx 2x 1-4 k x 1-4 +k x 2-4 =2x 1x 2-4x 1+x 2x 1+x 2-8，即x =2⋅64k 2-124k 2+3-4⋅32k 24k 2+332k 24k 2+3-8=1，故直线AE 与x 轴交于定点1,0 .4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1经过点2,-3 ，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2，是否存在x 轴上的定点M m ,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率±b a =±3或±33，即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时，由4a 2-9b 2=1得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时，方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ，假设存在定点M m ,0 满足题意，则MA ⋅MB =0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l :y =k x -2 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0，∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0，整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0，由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时，MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l :x =2，则A 2,3 ，B 2,-3 ，当M -1,0 时，MA =3,3 ，MB =3,-3 ，∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，l :y =0，则A -1,0 ，B 1,0 ，∵M m ,0 ，∴MA =-1-m ,0 ，MB=1-m ,0 ，∴MA ⋅MB=m 2-1=0，解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ，∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2+m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1，即m =-1时，MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P 到定直线x =4的距离，是它与定点F 1,0 的距离的两倍.(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)过F 点作两条互相垂直的直线l 1，l 2(直线l 1不与x 轴垂直).其中，直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，直线l 2交曲线C 于E ，N 两点，直线l 2与直线x =m m >2 交于点M ，若直线MB ，MF ，MA 的斜率k MB ，k MF ，k MA 构成等差数列，求m 的值.【解析】(1)设点P x ,y ，由题，有PFx -4 =12，即x -1 2+y 2x -4=12，解得3x 2+4y 2=12，所以所求P 点轨迹方程为x 24+y 23=1(2)由题，直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y =k x -1 ，与曲线C 联立方程组得y =k x -1x 24+y 23=1，解得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则有x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3依题意有直线l 2的斜率为-1k ，则直线l 2的方程为y =-1k x -1 ，令x =m ，则有M 点的坐标为m ,-m -1k，由题，k MF =m -1k 1-m =-1k ，k MA +k MB =y 1+m -1kx 1-m+y 2+m -1kx 2-m=y 1x 1-m +y 2x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k x 1-1 x 1-m +k x 2-1 x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k ×2x 1x 2-1+m x 1+x 2 +2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2+1k ×m -1 x 1+x 2-2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2=k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2，因为2k MF =k MA +k MB ，所以k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2=-2k解得m -4 k 2+1 =0，则必有m -4=0，所以m =4.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l :x =12，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ，Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ，Q 为直径的圆经过点A ．【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12，两边平方整理得3x 2-y 2=3，则所求曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,，因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ=x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ=x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ，Q 为直径的圆经过点A .7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2 =2，面积为487的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b 2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ，由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b2=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 222=1，②由①②解得a 2=4，b 2=3，故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208.设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，与x 24+y 23=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0，整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0，③根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根，所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 28 -3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4=-34，即k 1k 2为定值-34.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(-1,0)且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，△ABF 2的周长为8.(1)若△ABF 2的面积为1227，求直线AB 的方程；(2)过A ,B 两点分别作直线x =-4的垂线，垂足分别是E ,F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.【解析】(1)因△ABF 2的周长为8，由椭圆定义得4a =8，即a =2，而半焦距c =1，又a 2=b 2+c 2，则b 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，依题意，设直线AB 的方程为x =my -1，由x =my -13x 2+4y 2=12消去x 并整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 3m 2+42+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，因此S △F 2AB =12F 1F 2 ⋅y 1-y 2 =12×2×12m 2+13m 2+4=1227，解得m =±1，所以直线AB 的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.(2)由(1)知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则E -4,y 1 ，F -4,y 2 ，设直线EB 与AF 交点为M (x ,y )，则FA =(x 1+4,y 1-y 2),FM =(x +4,y -y 2)，EB =(x 2+4,y 2-y 1),EM =(x +4,y -y 1)，而FA ⎳FM ，EB ⎳EM ，则(x +4)(y 1-y 2)=(y -y 2)(x 1+4)，(x +4)(y 2-y 1)=(y -y 1)(x 2+4)，两式相加得：y (x 1+x 2+8)-y 2(my 1+3)-y 1(my 2+3)=0，而x 1+x 2+8>0，则y (x 1+x 2+8)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ⋅-93m 2+4+3⋅6m3m 2+4=0，因此y =0，两式相减得：2(x +4)(y 1-y 2)=-y 2(x 1+4)+y 1(x 2+4)=-y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)=3(y 1-y 2)，而y 1-y 2≠0，则x =-52，即M -52,0 ，所以直线EB 与AF 交于定点M -52,0 .9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.【解析】(1)由题意得2c =4，得c =2，所以a 2+b 2=4，因为点P 2,33在双曲线上，所以4a 2-13b 2=1，解得a 2=3,b 2=1，所以双曲线方程为x 23-y 2=1，(2)F (-2,0)，设直线l 1方程为y =k 1(x +2)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由y =k 1(x +2)x 23-y 2=1，得(1-3k 12)x 2-12k 12x -12k 12-3=0则x 1+x 2=12k 121-3k 12,x 1x 2=-12k 12-31-3k 12，所以x 1+x 22=6k 121-3k 12，所以AB 的中点M 6k 121-3k 12,2k 11-3k 12，因为k 1⋅k 2=-1，所以用-1k 1代换k 1，得N 6k 12-3,-2k 1k 12-3，当6k 121-3k 12=61-3k 12，即k 1=±1时，直线MN 的方程为x =-3，过点E (-3,0)，当k 1≠±1时，k MN =2k 11-3k 12--2k 1k 12-36k121-3k 12-6k 12-3=-2k 13(k 12-1)，直线MN 的方程为y -2k 11-3k 12=-2k 13(k 12-1)x -6k 121-3k 12，令y =0，得x =3(k 12-1)1-3k 12+6k 121-3k 12=-3，所以直线MN 也过定点E (-3,0)，所以S △OMN S △FMN =12y N-y M OE 12y M-y N FE =OE FE =310(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.【解析】(1)将点A 0,-1 代入x 23+y 2b 2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1又c 2=a 2-b 2=3-1=2,离心率e =c 2a 2=23=63(2)联立y =k x -1x 23+y 2=1,整理得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设点E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)由韦达定理得：x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ,令x =3,得y =3y 1+3x 1-1,即M 3,3y 1+3x 1-1直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ,令x =3,得y =3y 2+3x 2-1,即N 3,3y 2+3x 2-1MN =3y 2+3x 2-1-3y 1+3x 1-1=3×x 1y 2-x 2y 1+x 1-x 2x 1x 2 =3×k -1 x 1-x2x 1x 2=3×k -1x 1+x 22-4x 1x 2x 1x 22=3×k -1 ×232k 2+1k 2-1 =23×2k 2+1k +1 所以△AMN 的面积S =12×MN ×3=32×MN =33×2k 2+1k +1 =33即2k 2+1k +1 =1⇒2k 2+1=k +1 ,解得k =0或k =2所以k 的值为0或211(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长是4,且过点B 0,1 .(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l ：y =k x +2 交椭圆于P ,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意,得2a =4,b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =k (x +2)x 24+y 2=1,得x 2+4k 2(x +2)2-4=0,即(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,则x 1+x 2=-16k 21+4k 2,因为直线y =k x +2 恒过椭圆的左顶点(-2,0),所以x 1=-2,y 1=0,则x 2=-16k 21+4k 2+2=2-8k 21+4k 2,y 2=k (x 2+2)=4k1+4k 2,因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,所以π2<∠PBQ ≤π,即BP ·BQ <0,又BP =-2,-1 ,BQ=(x 2,y 2-1),则BP ·BQ=-2x 2-y 2+1<0,即4-16k 21+4k 2+4k 1+4k 2-1>0,即20k 2-4k -3<0,解得-310<k<12,所以实数k的取值范围为-310<k<12.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=p2,则C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2ac,所以4ac=42,则有ac=2ca=12a2=b2+c2,所以a=2,b=3,所以椭圆C1的方程为x24+y23=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,由x=ty-43x2+4y2=12,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=24t3t2+4,y1y2=363t2+4.根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).因为k NQ=k EQ,所以y2x2-m=-y1x1-m,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·363t2+4-(m+4)·24t3t2+4=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.。

标准文档江苏高考数学圆锥曲线性质总结椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.标准文档8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。