第6章波函数和薛定谔方程

波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。

波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。

本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。

一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。

对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。

波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。

波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。

另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。

二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。

薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。

薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。

三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。

解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。

薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。

波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。

波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。

四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。

首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。

这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。

其次，波函数还包含了粒子的相位信息。

6.3 a particle in a one-dimensional finite potential well
V0 V = 0 x ≤a x >a
V -a a x E
Consider bound state (E < 0) only. -V0 Solution: Schrodinger equation is
i. e.
The solution inside the box
ψ n1,n 2,n 3 ( r ) = A sin(k1 x ) sin(k2 y ) sin(k3 z )
According the normalization condition
1 = ∫ψ
n1,n 2 ,n 3
ψ n1,n 2,n 3dV = A
Hψ (r ) = Eψ (r )
The stationary Schrodinger equation
6.2 Infinitely High Potential Well (无限深势阱) A particle of mass m is captured in a box limited by 0≤x ≤a; 0≤x ≤b; 0≤x ≤c;
6.1 Schrdinger Equation (薛定谔方程 )
The wave function of free particle
ψ p (r , t ) = Ae
i ( pr Et )
ψ i = Eψ t
ψ i = pψ r
E → i t
p → i
iψ = pψ , 2 2ψ = p 2ψ
ψ 2 2 i = Hψ = [ + V (r )]ψ t 2m
The above equation is famous Schrdinger Equation

2 2
（3）粒子能量 一维运动（ 一维运动（沿
E 是一定值
x 轴），V(x) 不显含 t ，一维定态问题
2 d 2 H = +V(x) 2 2m dx
2 d 2ψ(x) +V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2 2m dx
d 2ψ(x) 2m + 2 [E V(x)] (x) = 0 ψ 2 dx
ψ1(x) 与 ψ1 (x) 描写粒子的同一个状态
所以只取
n =1
A由归一化条件求出
ψ (x)
2
：粒子出现在附近单位长度间隔中的几率
粒子出现在
∞
x ~ x + dx 之间的几率 dW = ψ(x) dx
2
1 = ∫ ψ (x) dx = ∫0 ψ (x) dx = ∫0 x)
∞
a
2
a
2
a
nπx A sin dx a
2 2
=∫
0
1 2nπx 1 2 a 2nπx a A (1 cos )dx = A (x sin ) 2 a 2 2nπ a 0
2
1 2 = Aa ， 2
2 A= a
2 nπx sin ψn (x) = a a 0
0< x <a x < 0, x > a
nπ En = 2ma2
2
2 2
∝ E ， E 不再解释为能量密度
2
2
三、波函数的标准条件和归一化条件 经典力学： 某时刻质点在什么位置？ 动量是多少？ 经典力学： 某时刻质点在什么位置？ 动量是多少？ 轨迹方程？ 轨迹方程？ 量子力学： 微观粒子的波函数是什么？ 量子力学： 微观粒子的波函数是什么？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子出现在空间各点上的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 粒子动量取各种可能数值的几率是多大？ 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、完全确定的 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是唯一的、 波函数： 波函数：单值函数 某时刻粒子出现在空间各点上的几率是有限的 波函数： 波函数：有限的 粒子出现在空间各点上的几率分布及随时间的变化是连续的 波函数： 波函数：连续的

px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理