【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站 ：https://www.doczj.com/doc/434251230.html, 108年中山大学考研真题精讲精练之高等数学一
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：https://www.doczj.com/doc/434251230.html, 22015考研英语之如何快速记忆单词 让背诵效率最大化 通过做练习巩固单词。对于背诵熟悉的单词要能灵活的运用绝对是另一种能力的体现。见过很多学生词汇量不少，但是在实际运用中却无法正确运用自己掌握的词汇。所以平时在准备单词的时候就要注意积累该词汇怎么运用，跟它意思相近的词汇又是怎么运用的，二者或多者之间的区别是怎样的。很多同学觉的这样很麻烦，其实这是节省时间的一个巧妙方法，善于总结，学过一个词能记住与之相关的很多词，不仅记忆住还能准确辨识。刚开始学英语的时候，我们一般只记一个单词的一个词义和一种用法，而考研英语作为一种较高程度的水平考试，它要求的是全面了解这个词的词义，也就是常说的一词多义和一词多用。由于有些同学在思想上还没有这种认识上的转变，背单词时还停留在一词一义、一词一用的阶段，尽管背了不少单词，做起题来仍然捉襟见肘、处处被动。海天考研辅导专家认为，大多数考生在复习时存在只知其一不知其二的毛病，而考研词汇大多一词多义，所以在复习时对于单词的延伸意也要加以把握。这就要求大家在复习时注意理解和积累，大家可以通过看书或看杂志来积累相关知识，相信只要坚持下去，就一定会有好的效果。 学会查找重点单词 我们学习英语的时候，比较重视长难的单词，看到多音节词就查字典，而对一些单音节的词或它们组成的短语常常忽略掉，不查也不记，觉得没什么用。其实，像那些比较长的单词用作专业词汇的比较多。那些小的单词则是英语的本土字，在日常生活中使用较频繁，而且词义一般比较多、变化也比较多，是较难掌握的，应该是大家学习的重点。海天考研辅导专家认为，对于英文单词，大家不能只记它的中文意思，因为英文单词是有词性的，如果不清楚词性很容易导致句子结构的错误。英语单词的每个词除了有多种意思，还几乎都有多个词性，比如名词、动词、形容词、副词和介词等等，各种词性的使用都是有明确规定的，比如介词总跟名词或名词从句连用、副词跟动词或形容词连用。每句话的基本组成部分是主语、谓语和宾语，还会有一些从句、介词短语和副词短语等用作修饰。所以不管是读句子还是写句子，都要注意短语、单词的词性和使用。
附件2： 高等数学考试科目大纲 一、考试性质 高等数学是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生院校自行命题的选拔性考试。要求考生理解该课程的基本概念和基本理论，掌握该课程的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试形式和试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 （三）试卷题型结构 1、选择题：8小题，每小题4分，共32分。 2、填空题：6小题，每小题4分，共24分。 3、解答题（包括证明题）：9小题，共94分。 三、考试内容 （一）函数、极限、连续 1、考试范围 函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数和基本初等函数的性质，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限。 2、基本要求
(1)理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。 (2)了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 (3)理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 (4)掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 (5)理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。 (6)掌握极限的性质及四则运算法则。 (7)掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 (8)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 (9)理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 (10)了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 （二）一元函数微分学 1、考试范围 导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达（L'Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径。 2、基本要求
习题1-3 A 组 1.试用“εδ-”语言证明 （1）2365lim 45x x x x →--+=-- （2）3 3lim 27 x x →= （3）4 lim 12 x x x →∞+=+ 解析：考查函数极限的证明，“εδ-”语言和数列中的“N ε-”语言有类似的地方，不同的是自变量的趋势不同，同样关键在于找到自变量的取值范围，即δ的值 证明：（1）要使265 435 x x x x ε-++=+<-，则可以取δε= 0ε?>，δε?=，当0(3)x δ<--<时，恒有 265 45 x x x ε-++<-成立 则2365 lim 45 x x x x →--+=--成立 （2）要使3227(3)(39)273x x x x x ε-=-++=-<，则可以取27 ε δ= 0ε?>，27 ε δ?= ，当03x δ<-<时，恒有327x ε-<成立 则3 3 lim 27x x →=成立 （3）由 42 122x x x ε+-=<++，得22x ε<+，则可以取22 X ε=+ 0ε?>，22 X ε ?= +，当x X >时，恒有 4 12 x x ε+-<+成立 则4 lim 12 x x x →∞+=+成立 2.设函数223,1(),1222,2x x x f x x x x x ?+-≤? =<
习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-
重庆大学 高等数学Ⅱ-1 课程试卷 juan A卷 B卷 2012 ~2013 学年 第 1学期 开课学院： 数学 课程号： 10019565 考试日期： 20130114 考试方式： 开卷闭卷 其他 考试时间： 120 分钟 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设()232x x f x =+-，则当0x →时，有【B 】 A ．()f x 与x 是等价无穷小 B ．()f x 与x 是同阶无穷小，但不等价 C ．()f x 是x 的高阶无穷小 D ．()f x 是x 的低阶无穷小 因为：()000()232 lim lim lim 2ln 23ln 3ln 2ln 3x x x x x x x f x x x →→→+-==+=+ 2.设()f x 为可导函数，且满足条件0 (1)(1) lim 12x f f x x →--=-，则曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线的钭率为【D 】 A ．2 B ．1- C ． 1 2 D ．2- 因为：00(1)(1)1(1)(1)1 1lim lim (1)(1)2222 x x f f x f x f f f x x →→----''-===?=-- 3.设2sin ()sin x t x F x e tdt π += ? ，则()F x 【A 】 A ．为正常数 B ．为负常数 C ．恒为零 D ．不为常数 因为：222sin sin sin sin 00 ()sin sin sin sin x t t t t x F x e tdt e tdt e tdt e tdt πππ π π += = =+? ??? 后一式作代换t u π-=，有 2sin sin 0 sin sin t u e tdt e udu π π π -=-??，故 sin sin 0 ()()sin 0t t F x e e tdt π -=->? 4.0 1 lim arctan x x →为【D 】 A ． 2 π B ．2π- C ．1 D ．不存在 因为：左右极限存在不相等 5.函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数为【B 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 因为：22 2 2(2)(1)(1), 1 (2)(1)(1), 10()(2)(1)(1),01(2)(1)(1), 1x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ?--+-<- ?-+--≤
1、设每次射击的命中率为0.6，射击10次，则至少有1次命中的概率为？ 2、若事件A 、B 相互独立。P(A)=0.3 P(B)=0.8 则P(A-B)=0.06 解：P(A-B)=P(A )=P(A)P( )=0.3*(1-0.8)=0.06 若求：P( =1-P(AB)-1-P(A)P(B)=1-0.3*0.8=0.76 3、设X,Y 相互独立，Ex=2,EY=7,E(x,y)=14 解：E （x,y)=(Ex)-(EY)=14 [-3,4] Px= (4) E(2x-3)=2Ex-3=2*4-3=5 4、设X 为10次射击，命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.3 求E(X)=3 E(X 2)=11.1 E(X)=np=10*0.5=3 n=10 p=0.3 E(x 2）=DX+(EX)2=np(1-p)+(np)2=10-0.3-0.7+32=11.1 5、 (4), (2,6),求E(X-2Y)=4 E(x-2Y)=EX-2EY=4-2* =-4 6、X 与Y 相互独立 ，DX=6,DY=3,求D （2x-y) 解： D （2x-y)=D(2x)+D(Y)=4DX+DY=4*6+3=27 7、设随机变量 （U,δ2)且方程Y 2+4Y+X=0，有实根的概率为1/2，求U 的值。（ ） 解：方程Y 2+4Y+X=0有实根，当且公当其判别式△≧0，即42-4*1*X=16-4X ≧0 得X ≦4 由已知：P{X ≦4}= ,由 (U,δ2)即有F(4)=ф( )= ，而ф(0)= ,故 =0，所以U=4 8、三人独立地完成同一个任务，他们能完成这个任务的概率分别为 ， ， ，求任务被完成的概率。 解：设A,B,C 分别表示 三人独立完成此任务，则A,B,C 相互独立 而P(A)= ,P(B)= ,P(C)= 所求为P(A ∪B ∪C)=1- P( )=1-P( )-P( )P( )P( ) =1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1- )(1- )(1- )=1- * *= 10） 4.0（1-)(1)(----?-=?B A P B A ?~x ]4,3[71]4,3[0{ -∈-∈X X P X ~),(~p n B X p x ~U Y ~2 62+N X ~AC 4132-=?21N X ~σu -42121σu -4213161213161A B C A B C 213161213265181321 -B -B 1813
第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D.x e x 2sin 4.函数x e x f =)(的不定积分是（B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是（A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数2 11)(x x f -=的原函数是（A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1 2 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（B ） A.x 2 B.2 C.2 x D.-2 8.若c e dx e x x +=? ,则? x d e x 22=（A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12.函数2 1 1)(x x f - =的原函数是（A ） A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++ 12
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（ A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D. x e x 2sin 4.函数x e x f =)( 的不定积分是（ B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数211)(x x f -=的原函数是（ A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32 x D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（ B ） A. x 2 B.2 C.2 x 8.若 c e dx e x x +=? , 则 ?x d e x 22=（ A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（ A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12. 函数21 1)(x x f - =的原函数是（ A ）
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量3124a i j k =-+r r r r 在向量(2)(34)b i k i j k =-?+-r r r r r r 上的投影为 ( ). (A) -67 (B) 76 (C) 67 (D) -67 难度等级:2;知识点:向量代数 答案:(C). 分析:102(6,2,3),134 i j k b =-=-r r r r 6Prj .7 ||b a b a b ?= =r r r r 2. 设()f u 具有连续导数,若L 为221,x y +=则必有(). (A)22()()0L f x y xdx ydy ++=?? (B)22()()0L f x y xdy ydx ++=?? (C)22()()0L f x y dx ydy ++=?? ()D 22 ()()0L f x y xdx dy ++=?? 难度等级:2;知识点:格林公式 答案: (B). 分析:22221,()(1),x y f x y f +=+=积分值为0.积分与路径无关,只有B 满足. 3. 若1(),y x ?=2()y x ?=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解,则该方程的通解为( ). (A)12()()x x ??- (B)12()()x x ??+ (C)121(()())()C x x x ???-+ (D)12()()C x x ??+ 难度等级:1;知识点:微分方程 答案: C. 分析:由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知,其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和.而12??-是齐次方程的解,因此齐次方程的通解应为12().y C ??=-因此非 命题人 : 组 题人 : 审题人 : 命题时间 : 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
真题中未考过的内容：（基本不会考） 高数： 第三章：泰勒公式、曲率 第五章：反常积分 第七章：欧拉方程 第八章：旋转曲面、柱面、二次曲面 第九章：方向导数与梯度 第十章：重积分应用中的曲面的面积、质心、转动惯量、引力，含参变量的积分第十一章：曲线积分与曲面积分整章 第十二章：第五节之后 概率统计：(浙大版) 第五章：整章 第七章：第2、3、6节 第八章：第五节以后 第九章以后 考试重点： （个人总结，难免有遗漏或不足，望指正和交流。） 一．函数的极限 ●连续性、等价无穷小代换 ●重要公式和定理：夹逼定理、两个重要极限、洛必达法则 二．导数与微分的运算 ●复合函数的导数 三．不定积分 ●基本积分法：换元、分部 四：定积分的计算 ●换元、分部、有对称区间的奇偶性函数（重积分总也有应用） 五：中值定理 ●介值、零值、费尔马、罗尔、拉格朗日、积分中值定理
六：常微分方程 ●分离变量、伯努利、齐次、常数变易解的公式、常系数齐次非齐次（共轭复 根除外） 七：一元微积分的应用 ●单调性、极值、最值、凹凸性、拐点 八：无穷级数 ●判敛法：交错级数、绝对收敛 ●幂级数的运算：求和函数 ●（记住几个三角函数公式：两角和、积化和差、和差化积等） 九：矢量代数与空间几何 ●平面和空间直线方程与曲面方程的形式和特征 十：多元函数微分学 ●显函数、隐函数、复合函数微分法 ●空间曲线的切线和法平面方程的形式和特征 ●空间曲面的切平面和法线方程的形式和特征 ●极值、最值、条件极值 十一：重积分的计算： ●柱坐标、极坐标 十二：随机事件和概率 ●性质、独立性 十三：随机变量及其分布 ●概率分布和概率密度函数的关系和特征 ●变量Z=X+Y 、Z=X-Y、Z=XY 、Z=max(X,Y) 、Z=min(X,Y)的概率分布和 概率密度的计算 ●一维分布：（0-1）分布、二项、泊松、正态、均匀、指数（记住表达式及各 自的参数特征） 十四：随机变量的数字特征 ●重要一维分布的数学期望与方差及其性质 ●二维随机变量的数字特征：期望、方差、协方差、相关系数及其性质 十五：参数估计 ●矩估计、最大似然估计 ●区间估计 十六：假设检验 ●各种检验法
中山大学2005级东校区第二学期高等数学一 一.（每小题7分，共28分） 1. 设函数)(2),(2 y x f x y y x z += ，其中 f 二阶可微，求 y x z x z ?????2, 。 2. 设函数k z x y y x i z y x )(3222-++= ，求 )(,F v i d grad F v i d 。 3. 设函数)0(,) (s i n )(2 >= ?y dx x y x y g y y ，求)(y g ' 。 4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分??=D dy dx y x f I ),( 化为 累次积分，其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。 二.（10分）计算曲线积分0()s i n ()c o s (>---=? m dy m y e dx my y e I L x x 为常数） ，其中有向曲线L 是圆周 )0(222>=+a ax y x 从点)0,2(a A 经),(a a M 至 )0,0(O 的部分。 三.（10分）利用高斯公式计算曲面积分??+++= S dxdy zx dzdx yz dydz x xy I 2 222)(，其中S 是由球面 ,222x z z y --= 平面0=y 所围区域表面的外侧。 四. （每小题7分，共14分） 1. 求微分方程： dx dy xy y dx dy x =+ 的通积分。 2. 求微分方程：x e y y y 23465-=+'-'' 的通解。 五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分） 1. x d x x ?1 5 sin ， 2. ?∞ ++? 1 3 2 1x x dx 。 六. （9分） 求幂级数 ∑ ∞ =---2 21) 1(2)1(n n n x n n 的收敛半径、收敛域以及和函数。
重 庆 大 学 《 高等数学 》（II-1）期末试卷参考答案 2013~ 2014 学年 第 一 学期 一．单项选择题（每小题3分，共15分） （1 ）设()1f x =，则当0x →时，有（ C ） 。 （A ）()f x 与x 是等价无穷小 （B ）()f x 与x 是同价无穷小，但不等价 （C ）()f x 是x 的高价无穷小 （D ）()f x 是x 的低价无穷小 （2）设()f x 为可导函数，且满足条件0(2)(2)lim 22x f x f x x →+--=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的法线的斜率为（ C ）。 （A ）2 （B ）1- （C ）1 2 （D ）2- （3）设2s ()sin x co x x F x e xdx π += ? ，则()F x （ A ）。 （A ）恒为零 （B ）为负常数 （C ）为正常数 （D ）不为常数 （4）11 lim 32x x x x →∞ ??- ???为（ B ）。 （A ）2ln 3 （B ）3 ln 2 （C ）0 （D ）不存在 （5）设函数()2 ()ln 1f x x =+，其表示的曲线的拐点个数为（ B ）。 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 二．填空题（每空3分，共15分） （1）tan 01lim ()1x x x +→=。 （2）设()y x 是由方程1y y xe =-确定的可导函数，则()1y y e y x xe -'= +。 （3）1 ln tan sin cos dx x c x x =+?。 （4）设，则 -10 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
习题1-4 A 组 1.当0x →时，2 2x x -与2 3 x x -相比，哪一个是高阶无穷小? 解析：考查无穷小量的比较，只需对两个无穷小量的比值求极限，根据所得进行判断 解：22 30022lim lim (1) x x x x x x x x x →→--==∞-- 根据定义4.4，2 3 x x -是比2 2x x -高阶的无穷小 2.证明：在0x →时，sec 1x -与2 2 x 是等价无穷小量 解析：考查无穷小量的比较，等价无穷小量只需两个无穷小量的比值的极限为1 证明：因为2 222000sec 11cos 2lim lim lim 1222 x x x x x x x x x cosx →→→--===?（其中21cos 2 x x -:） 则sec 1x -与2 2 x 是等价无穷小量 3，利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）0tan 5lim 2x x x →（2）0sin() lim (sin )n m x x x →（m ，n 为正整数） （3 ）0 x →（4）1 23 0(1)1 lim cos 1 x x x →+-- （5）lim x b x b a a x b →-- 解析：考查函数极限的求解，利用等价无穷小首先需要非常了解常用的几个等价无穷小，例 如sin x x :，tan x x :，2 1cos 2 x x -:等等，具体可见定理4.6 解：（1）因为tan x x :，则00tan 555 lim lim 222x x x x x x →→== （2）因为sin x x :，则000 sin()lim lim lim (sin )n n n m m m x x x x x x x x -→→→== 当n m >时，0sin()lim 0(sin )n m x x x →=；当n m =时，0sin() lim 1(sin )n m x x x →=；当n m <时，
2015中山大学877高等数学考研真题 符号说明:试卷中R 表示实数域，C 表示复数域 1、 (20分)求下列n 阶实矩阵的行列式: (1)A=（a ij )，其中a ij =?? ???==≠其他或且,0,21,,1j i j i j i (2) B=(b ij )，其中b ij =f f (a i ), f f (x)为首一的j 一1次实系数多项式，a 1,、、、a n 为两两不同 的实数、 2. (20分)己知实多项式242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g (1)求Ax)的全部有理根及相应的重数; (2)求f(x)与g(x)的首一的最大公因式( f, g ) 、 3、 (20分，设3阶复矩阵???? ? ??---=3142281 232A 定义C 3，上的线性变换σ为:σ〔a) =Aa ，对 任意的3C a ∈、求σ的最小多项式以及Jordan 标准形、 4、 (20分)记R[x]S 为次数小于5的实多项式全体构成的向量空间，在R[x]S 上定义双线性函数如下 ?-=1 1)()())(),((dx x g x f x g x f 1)证明:上式定义了R[x]S 上一个正定的对称双线性函数; 2)用Gram 一Schmidt 方法由32,,,1x x x 求R[x]S 的一个正交向量组; 3)求一个形如42)(x bx a x f -+=的多项式，使它与所有次数低于4的实多项式正交、 5、 (20分)设A, B M(C)为幂等矩阵，即A 2=A ，B 2=B 、 (1)证明:A-B 为幂等矩阵当且仅当AB =BA=B; (2)证明:若AB = BA ，则AB 为幂等矩阵、反之，若AB 为幂等矩阵，是否必有AB = BA? 试证明或给出反例、
高等数学常用公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 ) (log ln ) ( csc ) (csc sec ) (sec csc ) ( sec ) ( 2 2 = ' = ' ? - = ' ? = ' - = ' = ' 2 2 2 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) (arccos 1 1 ) (arcsin x arcctgx x arctgx x x x x + - = ' + = ' - - = ' - = ' ? ? ? ? ? ? ?? ?? + ± + = ± + = + = + = + - = ? + = ? + - = = + = = C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x ) ln( ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx + = - + - + = - + + - = - + = + + - = + + = + = + - = ? ? ? ? ? ? ? ? arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? + + - = - + - + - - = - + + + + + = + - = = = - C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ) ln( 2 2 1 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 π π
中山大学高数B个人 经验 Revised on November 25, 2020
真题中未考过的内容：（基本不会考） 高数： 第三章：泰勒公式、曲率 第五章：反常积分 第七章：欧拉方程 第八章：旋转曲面、柱面、二次曲面 第九章：方向导数与梯度 第十章：重积分应用中的曲面的面积、质心、转动惯量、引力，含参变量的积分 第十一章：曲线积分与曲面积分整章 第十二章：第五节之后 概率统计：(浙大版) 第五章：整章 第七章：第2、3、6节 第八章：第五节以后 第九章以后 考试重点： （个人总结，难免有遗漏或不足，望指正和交流。） 一．函数的极限 ●连续性、等价无穷小代换 ●重要公式和定理：夹逼定理、两个重要极限、洛必达法则 二．导数与微分的运算
●复合函数的导数 三．不定积分 ●基本积分法：换元、分部 四：定积分的计算 ●换元、分部、有对称区间的奇偶性函数（重积分总也有应用） 五：中值定理 ●介值、零值、费尔马、罗尔、拉格朗日、积分中值定理 六：常微分方程 ●分离变量、伯努利、齐次、常数变易解的公式、常系数齐次非齐次（共轭 复根除外） 七：一元微积分的应用 ●单调性、极值、最值、凹凸性、拐点 八：无穷级数 ●判敛法：交错级数、绝对收敛 ●幂级数的运算：求和函数 ●（记住几个三角函数公式：两角和、积化和差、和差化积等） 九：矢量代数与空间几何 ●平面和空间直线方程与曲面方程的形式和特征 十：多元函数微分学 ●显函数、隐函数、复合函数微分法 ●空间曲线的切线和法平面方程的形式和特征 ●空间曲面的切平面和法线方程的形式和特征
●极值、最值、条件极值 十一：重积分的计算： ●柱坐标、极坐标 十二：随机事件和概率 ●性质、独立性 十三：随机变量及其分布 ●概率分布和概率密度函数的关系和特征 ●变量Z=X+Y 、Z=X-Y、 Z=XY 、Z=max(X,Y) 、Z=min(X,Y)的概率分布和 概率密度的计算 ●一维分布：（0-1）分布、二项、泊松、正态、均匀、指数（记住表达式及 各自的参数特征） 十四：随机变量的数字特征 ●重要一维分布的数学期望与方差及其性质 ●二维随机变量的数字特征：期望、方差、协方差、相关系数及其性质 十五：参数估计 ●矩估计、最大似然估计 ●区间估计 十六：假设检验 ●各种检验法
重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷 2009 ~2010 学年 第二学期 开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期2010年6 月 考试方式： 考试时间：120 分 一、 填空题（每空3分，共15分） ⒈过点M （1，2，-3）且平行于直线 3 1 1 3 5 y x z --= = 的直线方程为 1231 3 5 x y z --+==。 2．已知2 2 ln()z x y =，则(1,1) dz =22dx dy +。 ⒊级数11 2 n n ∞ =∑的和为1 。 4．设积分区域D 是由曲线2,,1y x y x y ===围成的区域，则 2D dxdy =??1/2。 ⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为312,1x y e y ==，则该 微分方程为30y y '''-=。 二、 计算题（共18分） ⒈（9 分）设y x z e =，求 z z x y ????和 及dz ． 解：21 ()y x y z z dz dx dy dx dy x y x x e ??=+=-+??. 2．（9分） 求函数u xyz =在点(1,1, 2)处沿从点(1,1,2)到点(2, 4,3)的方 向导数。 u u u yz xz xy x y z ???===??? (1,1,2) (1,1,2) (1,1,2) 2 2 1u u u x y z ???===??? {} 1,3,1l l == = cos cos cos αβγ= = = cos cos cos 1319221u u u u l x y x αβγ????= ++????=?+? ? = 三、 计算题（共18分） 1．（9分）求旋转抛物面22z x y =+在点15(1,,)24 -处的法线方程和切平面方程． 解：抛物面2 2 22z x y =+的法向量为(2,2,1) n x y =-- ，在点 15 (1,,)24 -处(2,1,1)n =- ， 命 题人： 组 题人： 审题人： 命题时间： 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
2015中山大学602高等数学(B)考研真题 一、填空题(每小题5分，共60分;答案写在答题纸上并注明题号.) 1、函数极限y xy y x )sin(lim )0,3(),(→=______________________ 2、函数25x y =，则函数y 的微分dy=___________ 3、当x →0时，tan 3 (a x)与β-32x e 是等价无穷小，则常数a =____________，β=___________ 4、曲线e xy 一2x —y=3在x=0处的切线方程是____________. 5、定义于[0,2π]上的函数y = e x sin( x)在点__________处有最小值__________ 6、? =dx x x )ln(3______________________ 7、设函数F(x)= ?+2 021x dt t ,则dx x dF )(= ______________________ 8.、积分?+401 dx x x =______________________ 9、2015)201511(lim ++∞→-x x x =______________________ 10.袋中有8个红球和2个黑球，现从中任取两个球，则两球颜色相同的概率是__________. 11.设随机变量X 满足EX=0，EX 2 =1，EX 3=0，EX 4=3，又设Y=1一X+X 2，则X 的方差DX=__________，Y 的方差DY=__________，X 与Y 的相关系数ρ__________. 12.某批产品(批量很大)的次品率为p=0..1.从这批产品中随机抽取100件.利用中心极限定理，求抽到的次品数少于14.5件的概率为________________.(答案用标准正态分布的分布函数Φ(x)表示) 二、(本题满分12分)证明方程sin( x) + x + 1=0只有一个根. 三、 (本题满分12分)试求由一条曲线x y 2= 和两条直线x=0, y=2所围成的图形的面积以及该图形绕x 轴形成的旋转体体积. 四、(本题满分14分)试将函数 2)1(2)(x x f += 在点x=0处展开成幂级数. 五、(本题满分12分)设曲线的极坐标方程是 πθρθ20,4≤≤=e ，试求该曲线的长度.
习题1-1 A 组 1.确定下列函数的定义域和值域 （1 ）y = （2 ）y =（3）1cos y x π= （4）ln(sin )y x π = 解析：本题考查函数定义域和值域的概念，定义域指的是自变量的取值范围，值域指的是函 数的取值范围，一般定义域和值域可以用区间或描述法来表示，根据此可以求解 解：（1）因为303x x ->?>，则函数的定义域为(3,)+∞，值域为(0,)+∞ （2）因为2 32021x x x x -+≥?≥≤或，则函数的定义域为(,1][2,)-∞+∞U 值域为[0,)+∞ （3）因为1cos 02x x n π≠?≠+（n 为整数），则函数的定义域为12{,}2 n x x n z +≠ ∈ 值域为(,1][1,)-∞-+∞U （4）因为11 sin 02(21)1212n n x x x x x n n π π π πππ>? << <+?><<+或或 （n 是不为0 的整数） 则函数的定义域为11 {,{0}}(1,)212x x n Z n n <<∈-+∞+U ，值域为(,1]-∞ 2.设函数()f x 的定义域为[2,3] ，求复合函数f 的定义域 解析：考查复合函数定义域的求解， 本题中可以令u 则本题就是求函数()f u 的 定义域，也就是求函数u 解：由已知可得[2,3]x ∈ ，则u = 则复合函数f 的定义域为 3.设函数2 1,0 ()2,0x x x f x x ?+-∞<≤?=?<<+∞ ??求(2)f -，(0)f ，(2)f 解析：考查分段函数的函数值，注意找对变量所在的区间 解：2 (2)1(2)5f -=+-=，2 (0)101f =+=，2 (2)24f ==
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?'))((dx x f 为（ A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.?=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D. x e x 2sin 4.函数x e x f =)( 的不定积分是（ B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数21 1)(x x f -=的原函数是（ A ）. A.c x x ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] ='?dx x f )(（ B ） A. x 2 B.2 C.2x D.-2 8.若c e dx e x x +=? , 则?x d e x 22=（ A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数211)(x x f +=的原函数是（ A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12. 函数211)(x x f -=的原函数是（ A ） A.c x x ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12