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结晶学 第三章 晶体对称性理论

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第三章--晶体对称PPT课件

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对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，写作Ln。
.
12
晶体外形上可能出现的对称轴如图 I－4－I所列。
.
13
一次对称轴L1无实际意义，因为晶体围绕任一直线旋 转360度。轴可以恢复原状。轴次高于2的对称轴， 称高次轴。图I一4—6举例绘出了晶体中对称轴L2 L3 L4和L6。
.
14
注意
晶体中不可能出现五次或高于六次的对称 轴。这是由于它们不符合空间格子的规律。 在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存 在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应 法符合于该面网上结点所围成的网孔。
第三章 晶体对称
.
1
对称性
对称是一个很常见的现象。在自然界我们可 观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣的水仙花、 雪花、松树叶沿枝干两侧对称，槐树叶、榕树 叶又是另一种对称……在人工建筑中，北京的 古皇城是中轴线对称，在化学中，我们研究的 分子、晶体等也有各种对称性，有时会感觉这 个分子对称性比那个分子高，如何表达、衡量 各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些 对称。
称为晶体的对称定律。
.
17
在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对 称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多个。 如立方体有3L44L36L2(图I一4—8)。
在晶体中，对称轴可能出露的位置为晶面的中心、 晶棱的中点或角项〔图I－4－8a)。
.
18
3．对称中心(C)
对称中心是一个假想的点；
相应的对称操作是对此点的反伸(或称倒反)。 如果通过此点作任意直线，则在此直线上 距对称中心等距离的两端，必定可以找到 对应点。
个。它们是属于低级晶族的三斜晶系不多于一个)和斜方
晶系(二次轴或对称面多于一个)；属于中级晶族的四

1-3 晶体对称性

1-3 晶体对称性
2
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T

第3章-晶体的宏观对称

第3章-晶体的宏观对称
• 对称要素种类 对称面、对称轴、对称中心、旋转反伸轴、 旋转反映轴
5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
7
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
6
6
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
8
对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
10
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
30
晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
24

晶体对称性

晶体对称性

D2h D3h
Dnd群
D2d D3d
C4 C4v C4h D4 D4h
Sn群 S2 (Ci)
S4
Td群 T
Th
Td
Oh群 O
Oh
C6 C6v C6h D6 D6h
S6 (C3i)
下一页
32种点群
11种纯旋转点群：C11，，2C，2，3，C3，4，C46，，C6， 2D22，2，D33，2，D4，42D26，，6T2，2，O 23，432
轴。
晶体宏观对称要素
10种对称要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i
m (σ)
33 = C3 + i
4
66= C3 + m
晶体宏观对称要素
8 种独立对称操作要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i m (σ)
4
点群
n次旋转轴：n =360°/ α, 用记号Cn表示
对称操
如：
C
1 6
，C
2 6
，C
3 6
，C
4 6
，C
5 6
43m
Td
E, 8C3, 3C2, 6σd , 6S4 24
m3m (m3m)
Oh E, 8C3, 3C2, 6C2, 6C4, i, 48 8S6, 3σh, 6σd , 6S4
晶体点群的种类
点群
典型类型
Cn群 C1
C2
C3
Cnv群
C2v
C3v
Cnh群 C1h (m) C2h
C3h
Dn群
D2
D3
Dnh群
6

晶体的对称性

晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name

晶体的对称性

晶体的对称性

（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平
移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是
轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。 （6）滑移反映面：若经过某面进 行镜象操作后，再沿平行于该面的某 个方向平移T/n后，晶体能自身重合，
则称此面为滑移反映面。 T是平行
B1



A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
高 立 立方的 方 体对角 线方向
29

23 43,32 2 43,32,3m, i m3
432 43,34,62
43m 2 4
(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点

结晶学 第三章 晶体的对称


3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组 合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规 律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导 出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅 有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。

第三章_晶体学基础

简单格子 底心格子 体心格子 面心格子
十四种空间格子（布拉菲格子）
综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格 子的基本类型共有十四种。
三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， (正交） 斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子； 三方晶系：三方简单格子(三方菱面体格子)； 六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。
简单P
立方I
立方F
立方晶系：a = b=c
α=β=γ=90°
四方P 四方晶系： a = b≠c
四方I α=β=γ=90°
正交P
正交C 正交晶系：a≠b ≠ c
正交I α=β=γ=90°
正交F
单斜P 单斜晶系：a≠b ≠ c
单斜C α=γ=90° β＞ 90°
六方H
三方R
三斜P
六方晶系： a = b≠c 三方晶系： a = b=c 三斜晶系：a≠b≠c
故确定的步骤为：
● 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；
● 平移晶向（棱）直线过原点；
● 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、
。
Y、Z轴得截距OX、OY、OZ；
● 作OX/a：OY/b：OZ/c = u：v：w（最小
整数比）；
● 去掉比号，加中括号，[u v w]即为晶
向符号。
某一晶向指数代表一组在
结构基元：组成晶体的离 子、原子或分子。基元内 的原子数等于晶体中原子 的种类数。
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）

结晶学 第三章 晶体对称性理论

31
七类对称要素的总结：
（3）反映面、对称中心、反 轴，对应的对称动作 是点对称动作，在动作中至少有一点不动，既存 在于无限结构中，又存在于有限晶体外形的结构 中；点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作是 空间动作，每一点都移动了，因此只能存在于无 限结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构中。 （4）旋转轴、螺旋轴、反轴统称对称轴；反映面、 滑移面统称对称面。
32
3.1.3 对称要素在点阵中的取向 点阵中的对称要素遵循一些特殊的规律： 在空间点阵结构中，任何旋转轴、螺旋轴、 反轴必定和点阵中的一组直线点阵平行，而和一组 平面点阵垂直；同理，任何反映面和滑移面必定和 点阵中一组平面点阵平行而和一组直线点阵垂直。 例1：空间点阵中的三重旋转轴（3）必定和点阵中 一组直线点阵平行，而和一组平面点阵垂直。
30旋转轴反映面对称中心点阵螺旋轴滑移面对称要素符号对称动作符号等同图形旋转反映倒反平移旋转倒反螺旋旋转滑移反映相等图形左右手图形左右手图形相等图形左右手图形相等图形相等图形和左右手图形mt小结
第三章 晶体的对称性理论
1
什么是对称性？
生活当中许多物品具有一定的对称性；
◆晶体的外形和各种性质常具有一定的对称性； ◆选取单位的外形对称性（宏观对称性）应能充分反应空间点
同学们可以自己给出其他对称轴、对称面的证明！ 3、对称中心的分布可有规律？
35
3.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次
晶体内部的结构是以点阵结构为基础的，其结构要受到 点阵结构的周期性限制。晶体中的对称轴和反轴的轴次不能 是任意的，只能有1、2、3、4、6 五种轴次。
请同学们在课后 利用点阵理论和 对称性证明这个 结论！
18
四、点阵（ 按照点阵中的平移向量移动 ）

晶体的对称性


到格点B2。B1和B2连线平行于A1、A2直线点
阵，且B1、B2间的距离必须为a的整数倍，设
为m a ， m为整数。则有： a + 2a cos(180 0 − α ) = ma
co s α
=
(1 − m ) 2
co s α
=
(1 − m ) 2
(1 − m ) 2
≤1
m cosα 2π / n
n=
三. 晶体宏观对称性的表述：晶体学点群：
点群：在点对称操作基础上组成的对称操作群
由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容，这种受 限制的点群称为晶体学点群（crystallographic point group）
晶体中只有 8 种独立的对称元素：
1, 2,3, 4, 6,i, m, 4
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各种可 能组合之一，由对称元素组合成对称操作群时，对称轴之间的 夹角、对称轴的数目，都会受到严格的限制，例如，若有两个2 重轴，它们之间的夹角只可能是 300, 450,600,900，可以证明总共 只能有32种不同的组合方式，称为 32 种晶体学点群。形形色色 的晶体就宏观对称性而言，总共只有这 32 种类型，每种晶体一 定属于这 32 种点群之一，这是对晶体按对称性特点进行的第一 步分类。
2 是反映面 m，而 3 = 3 + i,6 = 3 + m 不是独立的。
参见陈长乐《固体物理学》P15-16
旋转－反演轴的对称操作：
1次反轴为对称中心；2次反轴为对称面； 3次反轴为3次轴加对称中心
旋转－反演轴的对称操作： 6次反轴为3次轴加对称面；4次反轴可以独立存在。
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大 于 6 次以上的轴，可以直 观的从只有正方形、长方形、 正三角形、正六边形可以重 复布满平面，而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间 来直观理解。因此固体中不 可能存在 5 次轴曾是大家的 共识，然而1984年美国科学 家Shechtman在急冷的铝锰 合金中发现了晶体学中禁戒 的 20 面体具有的 5 次对称 性，这是对传统晶体观念的 一次冲击。
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10
11
12
3.1 对称性概念，对称动作和对称要素
正八面体、正六面体
（观察模型，找出全部对称要素）
1、是否对称图形？ 2、等同图形？ 3、对称图形阶次？ 4、对称动作？ 5、对称要素？ 研究图形的对称性，就是要研究图形的等同部分的空间排布 规律。复杂的对称图形，常常含有多种对称要素，这些对称 要素的数量和分布就决定了各等同部分的数量和分布规律。
4
3.1 对称性概念，对称动作和对称要素
举例：三叶小风扇 1、是否对称图形？ 是 2、等同图形？ 如图分割 3、对称动作？ 旋转120° 4、对称要素？ 旋转轴（直线） 3、对称图形阶次？ 3
5
3.1 对称性概念，对称动作和对称要素
举例：吉大唐敖庆楼 1、是否对称图形？ 是 2、等同图形？ 如图分割 3、对称图形阶次？ 2 4、对称动作？ 反映 5、对称要素？ 反映面
13
3.1 对称性概念，对称动作和对称要素
我们不难发现有两类等同图形： 等同图形中包括可以完全迭合的图形叫做相等图形，以及互 成镜像的等同而不相等图形，（又称左右手图形）
14
小结：
图形被均匀分割成几个部分，依据一定的几何元素(点、线、 面等)将整个图形进行一定的变换动作后，每个部分都能与原 图形的某个其它部分重合。这样的图形叫做对称图形。
6
举例：一朵花，有五个花瓣 对称图形： 花 等同图形：一个花瓣，是相等图形 阶 次： 5 对称动作：旋 转 对称要素：直线
7
举例：一只蝴蝶 两片翅膀 对称图形：蝴蝶 等同图形：一片翅膀 不相等图形 阶 次： 2 对称动作：反映 对称要素：平面
8
举例： 雪花图案：六个角。 对称图形：雪花 等同图形：一个角，相等图形 阶次：6 对称要素：直线 对称动作：旋转
32
3.1.3 对称要素在点阵中的取向 点阵中的对称要素遵循一些特殊的规律： 在空间点阵结构中，任何旋转轴、螺旋轴、 反轴必定和点阵中的一组直线点阵平行，而和一组 平面点阵垂直；同理，任何反映面和滑移面必定和 点阵中一组平面点阵平行而和一组直线点阵垂直。 例1：空间点阵中的三重旋转轴（3）必定和点阵中 一组直线点阵平行，而和一组平面点阵垂直。
等同图形分为相等图形和不相等图形
2、相等图形：完全迭合的等同图形。
或称全等图形，例如:花瓣、雪花
3、不相等图形：互成镜像的等同而不相等图形。
例如:左右手
4、对称图形：由两个或两个以上的等同图形构成， 并且很有规律地重复着。对称图形中既包括相等 图形又包括不相等图形。
3
5、对称动作：将对称图形中某一部分中的任意点带 到一个等同部分中的相应点上去，使新图形与原 图形重合的动作。 如：旋转、反映、倒反、平移…… 6、对称要素：进行对称动作时，必须依据的几何元 素，如点、线、面等。 7、对 称 性：物体中各等同部分在空间排列的特殊 规律性。 8、阶 次：对称图形中所包括的等同部分的数目， 它代表着对称程度的高低。
同学们可以自己给出其他对称轴、对称面的证明！ 3、对称中心的分布可有规律？
35
3.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次
晶体内部的结构是以点阵结构为基础的，其结构要受到 点阵结构的周期性限制。晶体中的对称轴和反轴的轴次不能 是任意的，只能有1、2、3、4、6 五种轴次。
请同学们在课后 利用点阵理论和 对称性证明这个 结论！
33
证明：
设空间点阵的平移群表示为T，满足对称性3 的任意三个向量为T1、T2、T3属于此平移群T。 可将这些向量在⊥3和∥3的两个方向分解： T1 = a1+ b1， T2 = a2+ b2， T3 = a3+ b3 由3的对称性可知： a1+ a2+ a3= o， b1= b2= b3 因此三个平移向量的和向量： T1 + T2 + T3 = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 = 3b1 我们还可以写出属于平移群T的另两个向量： T1 – T2 = (a1 + b1) – (a2 + b2) = a1– a2 T2 – T3 = (a2 + b2) – (a3 + b3) = a2– a3 这两个向量都与3垂直，且不平行，可以确定出一个⊥3的平面点阵。
38
3.2 晶体的宏观对称性及32个点群 3.2.1 晶体宏观对称要素
晶体的宏观对称性：晶体在宏观观察中所表现的对称性。 宏观地观察晶体，也就是观察晶体的外形，晶体具有一 定的规则整齐的外形，在界面处的界面要素(晶面、晶棱、 晶点)之间有一定的对称关系。 由于晶体外形的规则多面体是有限的对称图形。含有 “平移”动作(空间对称动作)的对称要素不存在于晶体宏观对称 性中。 只有那些与点对称动作相应的对称要素才能存在于晶体 的宏观对称性中。
对称图形 阶次 对称要素 等同部分 对称动作
相等图形
左右手图形
15
一、 旋转 （绕轴旋转a角度）
对称动作：旋转， 符号：L(a)，a为基转角； 对称要素：旋转轴，符号：n（轴次，旋转一周重复次数）； 规律： α=
2π n
阶 次：n ； 等同图形：旋转只能使相等图形重合。 例如：三叶小风扇中有3。对应的对称动作有： L( )。 3 2π 例如：正八面体中有2、3、4。对应的对称动作有： L( ) 、 2 2π 2π L( )、 L( )。
n m i T n np ?
L(a) M I T L(a)I L(a)T MT
相等图形 左右手图形 左右手图形 相等图形 左右手图形 相等图形 相等图形和左右手图形
n 2 2 ∞ n或2n ∞ ∞
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七类对称要素的总结：
(1) 旋转 轴、反映面、对称中心、点阵是简单对称要 素，只与一种简单对称动作对应；而反 轴、螺旋 轴、滑移面是复合对称要素，对应的是复合对称动 作。 (2) 含倒反、反映的动作只能使不相等 (左右手) 图形 重合，而不能使相等图形重合；不含倒反、反映的 对称动作只能使相等的图形重合，而不能使含左右 手的图形重合。
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T1
a1
b1
பைடு நூலகம்
b3 3 a3 b2 T a2
T
2
3
它也属于平移群T。此点阵中必存在以3b1为平移矢量的直线点阵∥3。
3.1.3 对称要素在点阵中的取向 在空间点阵结构中的对称要素分布具有一定的规律： 1. 任何对称轴必定和点阵中的一组直线点阵平行， 并和一组平面点阵垂直； 2. 任何对称面必定和点阵中一组平面点阵平行，并 和一组直线点阵垂直。
第三章 晶体的对称性理论
1
什么是对称性？
生活当中许多物品具有一定的对称性；
◆晶体的外形和各种性质常具有一定的对称性； ◆选取单位的外形对称性（宏观对称性）应能充分反应空间点
阵的对称性…… 为了清晰对称性理论，我们迫切需要定义“对称图形”这一概念！
2
3.1 对称性概念，对称动作和对称要素
3.1.1 基本概念 1、等同图形：几何学上，将具有对称形象的物体的 各部分称为等同图形。
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三、对称中心（如照相 ）
对称动作：倒反， 符号：I； 对称要素：对称中心，符号：i； 规律：两个等同部分的对应点之间 连线的中点必在对称中心上。
A'
C
B
O B' C'
A
阶 次：2 ； 等同图形：一次倒反只能使左右手图形重合。
图3.1.2
例如：如图3.1.2的图形具有一个i 。对应的对称动作为L。 例如：正八面体中有一个i。对应的对称动作为L。
3 4 2π
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二、反映面 （ 以此面为镜面，两侧互为镜像 ）
对称动作：反映， 符号：M； 对称要素：反映面，符号：m； 规律：两个等同部分的对应点之间连线的中点必在反映面上。 阶 次：2 ； 等同图形：一次反映只能使左右手图形重合。
例如：理化楼建筑有m，对应的对称动作为M。 例如：正八面体中有许多m，对应的对称动作为M。
180° 旋转
T
图3.1.5 具有二重螺旋轴的对称图形
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有 相 等 图 形 又 有 左 右 手 图 形
只 有 相 等 图 形
具有滑移面的对称图形
具有二重螺旋轴的对称图形
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小结：
对称要素 旋转轴 反映面 对称中心 点阵 反轴 螺旋轴 滑移面 符号 对称动作 旋转 反映 倒反 平移 旋转倒反 螺旋旋转 滑移反映 符号 等同图形 阶次
3
2π n 阶 次：如果n是偶数，反轴的阶次为n； 如果n是奇数，反轴的阶次为2n。
旋转轴的轴次与基转角的关系为： α=
1 5
等同图形：一次旋转倒反只能使左右手图形重合。
2
例如： 1、右图图形具有 3
6
4
3
20
2、正四面体有 4
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六、螺旋 轴 (先绕 轴 旋转a角，沿 轴 向平移T )
对称动作：螺旋旋转(复合)， 对称要素：螺旋轴， 符号：L(a)T，a为基转角； 符号：nm，m为小于n的整数；
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七类对称要素的总结：
（3）反映面、对称中心、反 轴，对应的对称动作 是点对称动作，在动作中至少有一点不动，既存 在于无限结构中，又存在于有限晶体外形的结构 中；点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作是 空间动作，每一点都移动了，因此只能存在于无 限结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构中。 （4）旋转轴、螺旋轴、反轴统称对称轴；反映面、 滑移面统称对称面。
垂直对称轴所形成的多边形网孔
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围绕对称轴2、3、4和6所形成的多边形， 都能毫无间隙地布满平面，都符合空间格子的 网孔。但垂直5、7和8所形成的正五边形、正 七边形和正八边形却不能毫无间隙地布满平 面，不符合空间格子的网孔，所以在晶体中不 可能存在五次或高于六次的对称轴，这一规律 称为晶体的对称定律。 在一个晶体中，可以无也可以有一种或几 种对称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多 个。