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18讲-自旋纠缠态

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纠缠态_精品文档

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纠缠态引言：纠缠态是量子力学领域中一个重要而神秘的概念，它揭示了粒子之间的非局域性和奇特的相互关系。

本文将对纠缠态进行详细的介绍和讨论，包括纠缠态的定义、性质、应用以及相关实验。

通过对纠缠态的研究，我们可以更好地理解量子力学的本质以及其在信息科学和量子计算等领域的应用。

一、纠缠态的定义：纠缠态是指由多个粒子组成的量子系统，在测量其中一个粒子的状态后，其他粒子的状态会立即发生相应的改变，即使它们之间的距离很远。

这种关联性超出了经典物理学的理解范围，被称为“量子纠缠”。

二、纠缠态的性质：1. 相关性：纠缠态中的粒子之间存在一种非常特殊的相互关联，无论它们之间距离有多远。

这种相互关联被称为“纠缠”，是量子力学中的一种基本特性。

2. 非局域性：纠缠态中的粒子之间的相互作用是非局域的，即改变一个粒子的状态会立即影响到其他纠缠态粒子的状态，即使它们之间的距离非常遥远。

3. 完全性：纠缠态能够充分描述一个系统中多个粒子的共同状态，这种完全性为量子信息处理和量子通信提供了基础。

三、纠缠态的应用：1. 量子通信：纠缠态在量子通信中起着重要的作用。

通过纠缠态可以实现量子隐形传态、量子加密和超密钥分发等任务，提高信息传输的安全性和效率。

2. 量子计算：纠缠态是量子计算的核心资源。

量子计算机可以利用纠缠态进行并行计算，大大提高计算效率，并且能够处理一些传统计算机无法解决的问题，例如因子分解和优化问题。

3. 量子测量：纠缠态和量子测量在量子力学实验中有着密切的联系。

通过测量纠缠态的相关性，可以研究量子力学的基本原理，并验证贝尔不等式的相关性。

4. 量子纠错：纠缠态还可以用于量子错误纠正和量子纠错编码，提高量子信息的可靠性和容错性，从而实现更为稳定和可持续的量子技术应用。

四、纠缠态的实验：1. 贝尔实验：贝尔实验是验证纠缠态和量子相关性的经典实验。

通过测量纠缠态的相关性，可以得到与经典物理学不符的结果，从而验证了量子力学的非局域性。

量子力学中的自旋压缩与量子纠缠态

量子力学中的自旋压缩与量子纠缠态

量子力学中的自旋压缩与量子纠缠态量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，它揭示了自然界最基本的规律。

自旋压缩和量子纠缠态是量子力学中的两个重要概念，它们在量子信息科学和量子技术中扮演着重要角色。

本文将详细介绍自旋压缩和量子纠缠态的概念、性质及其在实际应用中的重要意义。

一、自旋压缩的概念及性质自旋压缩是指将自旋的不确定性限制在一个更小的范围内，从而实现在自旋状态的精确测量中获得更高的精度。

在量子力学中，自旋是粒子的固有性质，可以想象成粒子围绕自身轴心旋转的矢量。

一般而言，自旋的测量结果可能是“上升”或“下降”，但在自旋压缩的情况下，测量结果的不确定性可大大降低。

自旋压缩可以通过多种方式实现，其中最常见的是使用自旋压缩器。

自旋压缩器是一种操作，可以将自旋态经过特殊处理，使其在某个方向上的自旋值的不确定性显著减小。

这种技术在实际应用中具有广泛的潜力，例如在原子钟的精度提高、量子计算和量子通信等领域。

自旋压缩态还可以用于量子纠错码的设计和实现。

量子纠错码是一种可以纠正量子比特错误的编码技术，而自旋压缩态则可以作为构建这些编码的基本元素。

通过将自旋态进行适当的压缩和纠正操作，可以实现对量子信息的可靠传输和存储。

二、量子纠缠态的概念及性质量子纠缠态是指在多粒子系统中，各个粒子之间存在强烈的相互依赖关系，无法用各个粒子的状态独立描述的特殊态。

在这种态下，多粒子系统的状态可以被看作整体的状态，而不是各个粒子状态的简单叠加。

量子纠缠态的形成是由于量子力学中的叠加原理和纠缠测量原理的共同作用。

量子纠缠态具有很多独特的性质，如非局域性、量子隐形传态和量子密集编码等。

其中最具有代表性的是纠缠态中的EPR纠缠（爱因斯坦-波多尔斯基-罗森纠缠）。

EPR纠缠是一种两粒子系统的纠缠态，其特点是两个粒子之间互相关联的性质在空间上是非局部的。

量子纠缠态在量子通信和量子计算等领域中具有广泛的应用。

例如，基于量子纠缠的量子密码学可以实现信息的安全传输；基于量子纠缠的量子计算可以大幅提升计算效率。

两光子的自旋态与纠缠态

两光子的自旋态与纠缠态

两光子的自旋态与纠缠态
光子是一种电磁波，它具有自旋。

自旋是一种量子力学中的内禀角动量，它可以取两个值：+1/2和-1/2。

两个光子可以组成一个系统，这个系统的自旋态可以是两个光子的自旋态的直积。

直积是一种数学运算，它将两个向量组合成一个向量。

例如，如果一个光子的自旋态是|+1/2>，另一个光子的自旋态是|-1/2>，那么它们的直积就是|+1/2, -1/2>。

除了自旋态，两个光子还可以处于纠缠态。

纠缠态是一种量子力学中的特殊状态，它描述了两个或多个粒子之间的非局域关联。

在纠缠态下，两个光子的自旋态是不确定的，只有当一个光子的自旋态被测量时，另一个光子的自旋态才会被确定。

这种非局域关联是量子力学中的一个重要概念，它在量子计算和量子通信中有着广泛的应用。

两光子的自旋态和纠缠态在实验中都可以被观测到。

例如，可以通过偏振分析器来测量光子的自旋态，通过双光子干涉实验来测量光子的纠缠态。

这些实验不仅验证了量子力学的基本原理，也为量子信息科学的发展提供了重要的实验基础。

两光子的自旋态和纠缠态是量子力学中的重要概念，它们不仅有着基础物理学的意义，也在量子信息科学中有着广泛的应用。

随着量子技术的不断发展，我们相信这些概念将会在更多的领域中发挥重
要作用。

第八章 自旋 8.1-8.4

第八章 自旋 8.1-8.4

（11）
此方程组有非平庸解的条件是
1 1 1 1 0
（12）
解得λ= 0，2.
代入式（11），得
c1 / c2 1, 0 c1 / c2 1, 2
再利用归一化条件，可求出 s2 的归一化本征态为 1 2 a 1 2 1 a 2 , 0 （13） 1 a 1 2 1 a 2 , 2
第八章 自旋
大量实验事实证明，认为电子仅有三个 自由度并不是完全正确的。还存在一个新的
自由度—自旋，它是粒子固有的 。
1 电子自旋存在的实验依据
(a)碱金属光谱的双线结构
G.E.Uhlenbeck与 S.A.Goudsmit 提出 了电子自旋的假设。
(b)反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect）
式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±/2 的概率， 归一化条件表示为 2 2 a a b a b 1 （5） b
特例：sz=±/2 的本征态 1/ 2 s z 常简记为 a 和β，即
1 a 1/ 2 ( sz ) , 0 0 1/ 2 ( sz ) 1
（6）
a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一
般自旋态可以展开为
a sz aa b b
（7）
波函数表示为
(r , sz ) r , / 2 a r , / 2 （8）
8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵
（15）
式（15）与（13）归纳为
a a i a

（16）

第18讲-自旋纠缠态

第18讲-自旋纠缠态

(1), (1) s1z的本征态，
(2),
(2)
s2
的本征态，
z
则(s1z , s2z )的共同本征态为：
1 (1) (2), 2 (1) (2),
3 (1) (2), 4 (1) (2)
8
二、双原子体系的自旋态(3)
为什么 1 (1) (2), 2 (1) (2),
S 2 1
1 2
2[3 (1) (2) (1) (2) i (1)i (2)
(1) (2)] 2 2 (1) (2) 2 21
S21 2 21,同理可得S2 2 2 2 2
S2 (1) (2) 2 2 (1) (2)
S2 (1) (2) 2 2 (1) (2)
12
二、双原子体系的自旋态(7)
0
1
1 0
,
y
0
i
i 0
,
z
1 0
0 1
例1：证明 x , x , y i ,
y i , z , z
证： x
0
1
1 0
1 0
0 1
同理可证 另外两式
y
0
i
i 0
0 1
i
1 0
i
6返
二、双电子体系的自旋态(1)
氦原子有两个电子，自旋角动量分别为
(s1z , s2z )的共同本征态为：1 (1) (2),
2 (1) (2), 3 (1) (2), 4 (1) (2)
其中，1和 2都是S2属于本征值2 2的本征态，
即S21 2
21, S2 2 2
2
2，但
3和
都不
4
是S
2的本征态。不过，

纠缠相干态

纠缠相干态
������ ������
由上式可得 ������������ √������! |0〉 = ������ ������ ������0 |0〉, ������������ = ������0 的值由归一化条件确定
∗ 〈������|������〉 〈������|������〉 = ∑ ∑ ������������ ������������ = ∑ |������������ |2 〈������|������〉 ������ ������ 2������ �〉2 = |1〉1 ⨂|0〉2 . 为直积态。 二、 相干态及其本征态 对于粒子数算符������ ̂ = ������ ̂ + ������ ̂ ������ ̂|������〉 = ������|������〉, 其中， |������〉为粒子数算符������ ̂ 的本征态， 表示的是粒子的个数， ������是 相应的本征值。 粒子数算符的本征态是正交、完备、归一化的 ∑
������ ������ √������!
������0 .
=∑ |
������
������ 2 2 2 = ������ |������ | ������0 = 1. | ������0 ������!
2
解得 ������0 = ������ −|������ 得到 |������〉 = ������ 三、 纠缠相干态 纠缠相干态（entangled coherent states）的形式 |������〉12 = ������������ (cos ������ |������〉1 |������〉2 − sin������ | − ������〉1 | − ������〉2 ). 其中 ������������ = (1 − 2������ −4|������ | cos ������ sin������)

自旋与量子纠缠

自旋与量子纠缠自旋和量子纠缠是量子物理学中重要的概念，它们在理解和应用量子力学的过程中起着关键的作用。

本文将从自旋和量子纠缠的基本概念入手，探讨它们的意义和应用。

1. 自旋的概念自旋是描述微观粒子内在性质的一种量子数。

它类似于质量、电荷等传统的宏观物理量，但却具有独特的属性。

自旋可以理解为微观粒子的内禀角动量，它不是由旋转运动产生的，而是与粒子本身的特性相关联。

自旋可以有一定的取值，通常用半整数或整数来表示，如1/2、1、3/2等。

自旋作为一种量子数，对于确定微观粒子的物理性质具有重要意义。

例如，在核磁共振中，自旋的性质决定了磁共振现象的产生和特征。

此外，自旋还与粒子的角动量、磁矩等相关联，这些性质对于理解原子、分子结构以及电子行为具有重要影响。

2. 量子纠缠的概念量子纠缠是量子力学中一种特殊的态描述，表明两个或多个微观粒子之间存在非常强烈的关联性。

当两个粒子处于纠缠态时，它们的物理量之间的关系是不可分开的，即改变其中一个粒子的状态会立即影响到其他粒子。

量子纠缠的本质是量子力学的非局域性，它违背了经典物理学中的局域实在论。

量子纠缠可以出现在多种形式中，如自旋纠缠、位置纠缠等。

在自旋纠缠中，两个自旋粒子的状态在某些方面是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。

3. 自旋与量子纠缠的应用自旋和量子纠缠在实际应用中具有广泛的重要性。

首先，它们是量子计算和量子通信等领域的基础。

量子计算借助自旋和纠缠的性质可以实现比经典计算更高效的运算，而量子通信则可以利用量子纠缠的特性实现安全的信息传输。

其次，在量子物理学研究中，自旋和纠缠提供了研究微观粒子行为的重要工具。

通过精确控制自旋的状态以及利用纠缠特性，科学家们可以探索更深入的量子现象，如量子隧穿和量子纠缠的展现。

最后，自旋和量子纠缠也在材料科学中发挥着关键的作用。

研究自旋相关的材料和器件可以实现自旋电子学，这可能引发新一轮电子技术和信息存储的革命。

而利用量子纠缠构建功能材料，如实现高效的能源转换和储存等，也是当前材料科学研究的热点之一。

自旋纠缠态在量子信息中的应用

自旋纠缠态在量子信息中的应用量子信息科学是以量子力学规律为基础，研究量子信息的传输、处理、存储等问题的一门学科。

自旋纠缠态是量子信息中的重要组成部分，它有着广泛的应用。

自旋指的是物理学中的一种量子角动量，既可以用经典力学的方式去理解，也可以用量子力学的方式去描述。

自旋纠缠就是指两个或多个粒子在某些方面处于强相关的状态，彼此之间的物理量（如自旋）彼此纠缠在一起，且不受距离的限制。

自旋纠缠态可以用于量子通信，其中最常见的例子就是量子密钥分发（Quantum Key Distribution，QKD）协议。

量子密钥分发是一种基于量子力学原理的密码学技术，它可以确保密钥分发的安全性和不可窃听性。

在这种方式下，两个使用纠缠的自旋态的粒子（通常是光子）进行相互纠缠，然后通过一种称为“测量”(Measurement)的操作，来使两个粒子的密钥一致。

其基本原理是：若量子纠缠状态被窃听，那么密钥的双方便可以通过自旋的不同组合来检测到窃听者的存在。

自旋纠缠态还可应用在量子计算中，它可以通过主流的线路型量子计算机（Circuit-model Quantum Computer）进行制备。

常常使用的自旋纠缠态是双自旋纠缠态或自旋链纠缠态。

双自旋纠缠态由两个带有自旋的粒子纠缠而成，自旋链纠缠态是一种由多个粒子构成的自旋纠缠态。

在量子计算中，自旋纠缠态是非常重要的资源，因为它们可以在一些计算中提高精度，减少噪音等，从而提高计算的效率。

除了以上两种应用，自旋纠缠态还用于量子模拟以及量子调控。

在量子模拟中，自旋纠缠态可以用来完成类固醇分子的模拟，从而用于开发新型的刺激响应性材料或医药物品。

在量子调控中，自旋纠缠态可以用来控制电子自旋，从而实现电子自旋操控和储存。

总之，自旋纠缠态在量子信息科学中是不可或缺的重要组成部分。

它广泛应用于量子通信、量子计算、量子模拟以及量子调控等领域。

它的研究还处于起步阶段，未来将会有更多的机会来探索自旋纠缠态的潜在应用价值。

曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-自旋(圣才出品)


上式中任何一式的左侧的 3 个二体自旋算符中任何两个都构成 2 电子体系的一组 CSCO．例如，{σ1x,σ2x,σ1y,σ2y）的共同本征态，列于表 8．2 中[采用（σ1z,σ2z）表象]，
这就是著名的 Bell 基． 表 8.2 Bell 基
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对于 j = l −1/ 2(l 0) ，
（1）
（2）方程的解以及光谱双线粗细结构原因
（2）
电子能量本征值与量子数
都有关，记为 ，是（2j＋1）重简并．可以得出
即 j = l +1/ 2 能级略高于 j = l −1/ 2(l 0) 能级．但由于自旋轨道耦合很小，这两条能级 很靠近．这就是造成光谱双线粗细结构的原因．
本征态 SM 可以表示为
以它们为基矢的表象，称为角动量耦合（coupling）表象．
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（4）分离态与纠缠态
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由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，则
称为可分离态（separablestate）．反之，为纠缠态（entangled state）．例如，（S1z ，
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2．反常 Zeeman 效应 考虑磁场后能量本征值为
（3） 与 则是求解径向方程（1）和（2）得出的本征函数和本征值．当无外磁场 时（B＝0），能级 是（2j＋1）重简并．当加上外磁场时，如式（3）所示，能级 将依赖于磁量子数 mj，一般说来， 能级分裂为（2j＋1）条．（2j＋1）为偶数，这就 造成了反常 Zeeman 分裂现象．
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自旋谐振子的纠缠态调控技术研究

自旋谐振子的纠缠态调控技术研究自旋谐振子是一种重要的量子系统，在量子信息科学和量子计算领域有着广泛的应用。

纠缠态调控技术是一种能够实现自旋谐振子之间相互作用的方法，对于实现量子计算和量子通信等应用具有重要意义。

首先，我们需要了解自旋谐振子的基本概念。

自旋谐振子是一种由自旋和谐振子耦合而成的量子系统。

自旋是粒子的内禀性质，可以用上升态和下降态表示。

谐振子是一种具有离散能级的系统，其能级之间的跃迁可以通过激光或微波场来实现。

自旋谐振子的纠缠态调控技术就是通过调控自旋和谐振子之间的相互作用，实现它们的纠缠态。

在自旋谐振子的纠缠态调控技术中，一个关键的步骤是实现自旋和谐振子之间的耦合。

这可以通过将自旋与谐振子的共振频率调至相同来实现。

一种常用的方法是利用超导电路中的人工原子作为自旋，通过微波场来操控其自旋态。

同时，将谐振腔作为谐振子，通过激光或微波场来调控其能级结构。

通过调整微波场和激光场的频率，可以实现自旋和谐振子之间的共振耦合。

在实现自旋谐振子的纠缠态调控技术之后，我们可以利用这种技术来实现量子计算和量子通信等应用。

例如，可以利用自旋谐振子的纠缠态来实现量子比特之间的远程纠缠，从而实现量子通信中的量子密钥分发。

此外，自旋谐振子的纠缠态还可以用于量子计算中的量子门操作和量子态传输等。

然而，自旋谐振子的纠缠态调控技术还面临一些挑战。

首先，由于量子系统的易受环境干扰的特点，自旋谐振子的纠缠态容易受到噪声的影响。

因此，需要采取一系列的措施来减小噪声的影响，例如使用退相干技术和量子纠错码等。

其次，自旋谐振子的纠缠态调控技术需要高精度的实验装置和精确的控制方法。

这对实验条件和技术要求提出了较高的要求。

为了解决这些挑战，科学家们正在不断进行研究和探索。

他们致力于改进实验装置的精度和稳定性，开发更有效的噪声抑制方法，并提出新的调控方法和策略。

通过这些努力，自旋谐振子的纠缠态调控技术将得到进一步的发展和应用。

总之，自旋谐振子的纠缠态调控技术是一种重要的量子系统调控方法，对于实现量子计算和量子通信等应用具有重要意义。

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2
为 S 2的本征态？令 χ = c1ψ 3 + c2ψ 4 即 检验
χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2)
S2 χ = λ h2 χ 是否满足
14
二、双原子体系的自旋态(8) χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2), 检验 S 2 χ = λ h 2 χ
二、双原子体系的自旋态(6) 1 2 2 S ψ 1 = h (3 + σ 1 xσ 2 x + σ 1 yσ 2 y + σ 1 zσ 2 z )α (1)α (2) 2 由例1， σ xα = β , σ x β = α , σ yα = i β , σ y β = −iα ,
σ zα = α , σ z β = − β , 可得
2 设 S 2 = S x2 + S y + S z2 , 则[S 2 , S j ] = 0, j = x , y , z
习题：证明[S , S j ] = 0, j = x , y , z
2
8
二、双电子体系的自旋态(2)
Q [ s1 z , s2 z ] = 0, 选(s1 z , s2 z )为自旋力学量 完全集，求其共同本征态。记
4
一、自旋态与自旋波函数(2)
考虑自旋后，稳态下电子的波函数 ψ 1 ( r ) ψ = ψ ( r, sz ) = , 一般 ψ 1 ( r ) ≠ ψ 2 ( r ) ψ 2 ( r ) 通常，轨道与自旋的耦合能量很小， 忽略不计的话，有 ψ = ψ ( r , s z ) = ψ ( r ) χ ( s z ) a 其中， χ ( s z ) = → 自旋函数 b ψ 1 ( r ) a ψ = ψ ( r, sz ) = = ψ ( r ) b = ψ ( r ) χ ( sz ) ψ 2 ( r ) 5
13
二、双原子体系的自旋态(7) (s1 z , s2 z )的共同本征态为： ψ 1 = α (1)α (2),
ψ 2 = β (1) β (2),ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
其中， ψ 1和 ψ 2都是 S 属于本征值 2 h 的本征态，
2 2
即 S 2ψ 1 = 2 h 2ψ 1 , S 2ψ 2 = 2 h 2ψ 2，但 ψ 3和 ψ 4都不 是 S 的本征态。不过， ψ 3和 ψ 4的线性组合是否
15
二、双原子体系的自旋态(9) χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2), 检验 S 2 χ = λ h 2 χ
左边=S 2 χ = h 2 [(c1 + c2 )α (1) β (2) + (c1 + c2 ) β (1)α (2)] 右边 = λ h χ = λ h [c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2)]
α (1),β (1) → s1 z的本征态， α (2),β (2) → s2 z的本征态，
则(s1 z , s2 z )的共同本征态为：
ψ 1 = α (1)α (2),ψ 2 = β (1) β (2), ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
9
二、双原子体系的自旋态(3) 为什么 ψ 1 = α (1)α (2),ψ 2 = β (1) β (2),
σ y β = − iα , σ z α = α , σ z β = − β
0 证 ： σ xα = 1 0 σ yβ = i
11 0 = = β 另外两式 00 1 −i 0 1 = − i = − iα 返 0 1 7 0
2
3 2 1 2 = h [c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2)] + h {c1 β (1)α (2) 2 2 + c2α (1) β (2) + c1i β (1)[ − iα (2)] + c2 [ − iα (1)]i β (2) + c1α (1)[ − β (2)] + c2 [ − β (1)]α (2)}
同理可证
二、双电子体系的自旋态(1) 氦原子有两个电子，自旋角动量分别为 s1和 s 2，分属两个电子，涉及不同的自由度， ∴ [ s1 j , s2 k ] = 0, j , k = x, y , z
令 S = s1 +s 2为两个电子的自旋之和,则有 [S x , S y ] = i hS z ,[S y , S z ] = i hS x ,[S z , S x ] = i hS y 证： x , S y ] = [ s1 x + s2 x , s1 y + s2 y ] = [ s1 x , s1 y ] + [ s2 x , s2 y ] [S = i hs1 z + i hs2 z = i h ( s1 z + s2 z ) = i hS z .同理可 证另两式
量子力学
Hale Waihona Puke 光电子科学与工程学院 刘劲松第十八讲 电子自旋单态与三重态 自旋纠缠态
1
目录
0、量子纠缠 、 一、自旋态与自旋波函数 二、双电子体系的自旋态 三、可分离态与纠缠态
2
0、量子纠缠 、
有两个相反方向、速率相 有两个相反方向、 同的电子， 同的电子，即使一颗行至太 阳边，一颗行至冥王星， 阳边，一颗行至冥王星，如 此遥远的距离下， 此遥远的距离下，它们仍保 有特别的关联性； 有特别的关联性；亦即当其 中一颗被操作（ 中一颗被操作（例如量子测 状态发生变化 发生变化， 量）而状态发生变化，另一 颗也会即刻发生相应的状态 变化。如此现象导致了“ 变化。如此现象导致了“鬼 魅似的远距作用” 魅似的远距作用”，仿佛两 颗电子拥有超光速 超光速的秘密通 颗电子拥有超光速的秘密通 信。
得到 λ = λ1 = 0 → c1 = − c2 = 1 2 2
ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
是(s1 z , s2 z )的共同本征态？以 ψ 1为例 Q s1 zα (1) = h / 2α (1),∴ s1 zψ 1 = s1 zα (1)α (2) = h / 2α (1)α (2) = h / 2ψ 1 → ψ 1是 s1 z的本征态 又 Q s2 zα (2) = h / 2α (2), 且 s2 z 对 α (1)不起作用 ∴ s2 zψ 1 = s2 zα (1)α (2) = α (1) s2 zα (2) = α (1) h / 2α (2) = h / 2ψ 1 → ψ 1是 s2 z的本征态 ∴ψ 1是 s1 z 和 s2 z的共同本征态
6
一、自旋态与自旋波函数(4) 1 α ≡ χ 1 = ， β ≡ χ − 1 = 2 2 0
0 1 0 σx = ,σ y = 1 0 i 例 1 ： 证 明 σ xα = β , σ x β = α , σ y α = i β ,
0 ,泡里矩阵 → 1 −i 0 1 ,σ z = 0 0 −1
11
二、双原子体系的自旋态(5) ψ 1 = α (1)α (2),ψ 2 = β (1) β (2),ψ 3 = α (1) β (2),
ψ 4 = β (1)α (2)是(s1 z , s2 z )的共同本征态，也是
S z = s1 z + s2 z 属于本征值 h，-h, 0, 0的本征态。 Q [S 2 , S z ] = 0,(S 2 , S z )也可选为自旋力学量完全集， 其共同本征态=？ S = (s1 + s 2 ) = s + s + 2s1 ⋅ s 2
2 2
1-λ 1 (1-λ )c1 + c2 = 0 左边=右边 → → =0 1 1-λ c1 +(1-λ )c2 = 0 得到 λ = λ1 = 0, λ = λ2 = 2
λ1 = 0 → c1 = − c2 ,
归一化， c1 = c2 = 1
λ2 = 2 → c1 = c2
2,
16
二、双原子体系的自旋态(10) 2 2 χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2), 检验 S χ = λ h χ
10
二、双原子体系的自旋态(4) 同时，(s1 z , s2 z )的共同本征态 ψ 1 = α (1)α (2), ψ 2 = β (1) β (2),ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
也是 S z = s1 z + s2 z的本征态： S zψ 1 = ( s1 z + s2 z )α (1)α (2) = s1 zα (1)α (2) + s2 zα (1)α (2) h h = α (1)α (2) + α (1) α (2) = hα (1)α (2) = hψ 1 2 2 ∴ψ 1是 S z 属于本征值 h的本征态. 同理， ψ 2 ,ψ 3 ,ψ 4是 S z 属于本征值 -h, 0, 0的本征态
一、自旋态与自旋波函数(3) ψ 1 (r ) a ψ = ψ (r , sz ) = = ψ (r ) = ψ (r ) χ ( sz ) b ψ 2 ( r )
a 1 0 自旋函数 χ ( s z ) = = a + b = a χ 1 + b χ − 1 2 2 b 0 1 1 ˆ 的属于本征值 s = h 的本征函数 α ≡ χ 1 = ，→ S z z 2 2 0 0 ˆ 的属于本征值 s = − h 的本征函数 β ≡ χ−1 = , → Sz z 2 2 1 0 + + 它们彼此是正交的： α β = χ 1 χ − 1 = (1 0) = 0 2 2 1