一元多项式的定义和运算

一元一元多项式
一元多项式是一个非负整数，形式表达式为$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，其中$a_i$（$i=0,1,2,······,n$）称为该多项式的系数，$n$称为该多项式的次数。

若$a_0=0$，即$f(x)=a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，则称之为零多项式。

零多项式不定义次数。

如果两个多项式有相同的次数，并且同次项的系数完全相等，则称这两个多项式相等。

一元多项式的运算有加法（减法）、乘法。

加法是将两个多项式中对应的项相加，减法是将被减式各项减去减式各项，乘法是将两个多项式相乘。

一元多项式运算性质包括：1. 数域$P$上任意两个多项式相加（减），其结果仍为数域$P$上的多项式；2. 如果$f(x)$和$g(x)$的次数相同，且$f(x)\neq0$，则$f(x)+g(x)$的次数等于它们次数之和，$f(x)·g(x)$的次数等于它们次数的积；3. 运算满足交换律、结合律和分配律。

一元多项式在数学和物理学等领域中都有广泛应用，例如在求解方程、微积分和线性代数等方面。

第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算在计算机科学中，一元多项式是常见的代数表达式形式，通常用来表示多项式函数。

虽然一元多项式的计算看似简单，但如果使用数据结构来实现，将会大大提高计算效率。

这篇文档将详细介绍基于链表的两个一元多项式的基本运算。

一元多项式的定义：在代数学中，一元多项式是一种含有一个未知数的代数多项式。

它是指一个代数式，它是由保持仅仅又有限个多项式的乘积。

此外，一元多项式在基本运算方面具有封闭性，这也是为什么它被广泛应用的原因之一。

在这里，我们将讨论在计算机科学中对一元多项式的实现。

链表的定义：链表是一种线性数据结构，其中数据元素不是常规的数组索引组织，而是通过信息存储元素之间的链来相互连接。

每个元素被称为节点，并且每个节点包含一个下一个节点的指针。

基于链表的一元多项式的实现：基于链表的一元多项式的实现涉及到将每个多项式的系数和指数存储为链表中的节点。

这种实现的主要优点是，它可以轻松地进行添加和删除操作，可以有效地分配内存，而不会浪费存储空间。

考虑到一元多项式的基本运算包括加法，减法和乘法，我们将详细介绍每种操作的实现。

一、基于链表的两个一元多项式的加法操作在实现一元多项式加法时，我们需要创建两个链表来存储两个多项式。

链表节点应该包含两个属性：系数和指数。

然后我们可以使用以下方法将两个多项式相加。

1. 定义两个指针p1和p2分别指向多项式链表的头部。

2. 定义一个新链表，用于存储相加的项。

3. 当p1和p2都不为空时循环进行以下操作：a. 如果p1当前节点的指数小于p2当前节点的指数，则将p1的节点添加到新链表中并将p1指针向下移动一个节点。

b. 如果p1当前节点的指数大于p2当前节点的指数，则将p2的节点添加到新链表中并将p2指针向下移动一个节点。

c. 如果p1和p2当前节点的指数相等，则将两个节点的系数相加，并将结果添加到新链表中，并将p1和p2指针都向下移动一个节点。

的所有剩余项添加到新链表中。

第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。

简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。

2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。

例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。

证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。

练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。

二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。

1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。

其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。

若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。

0a 为常数项。

2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。

3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。

数据结构一元多项式的运算正文：1. 引言本文档旨在介绍数据结构中一元多项式的运算方法。

一元多项式是指在一个变量上的多项式，其中每一项由一个系数和一个指数组成。

我们将会讨论一元多项式的表示、存储和基本运算，包括多项式的加法、减法、乘法和求导等操作。

2. 一元多项式的表示和存储2.1 一元多项式的定义一元多项式是指在一个变量x上的多项式，每一项由一个系数和一个指数组成，例如：2x^3 - 5x^2 + 3x + 1.其中，2、-5、3和1分别是系数，3、2、1和0分别是指数。

2.2 一元多项式的表示方法一元多项式可以使用数组、链表或其他数据结构来表示。

在本文中，我们选择使用数组来表示一元多项式。

数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。

例如，多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 可以表示为 [1, 3, -5, 2]。

2.3 一元多项式的存储结构为了表示一元多项式，我们可以使用一个数组来存储多项式的系数。

数组的长度应该比多项式的最高指数大1.数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。

例如，数组 [1, 3, -5, 2] 表示的多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 中，索引0对应指数为3的项，索引1对应指数为2的项，以此类推。

3. 一元多项式的基本运算3.1 一元多项式的加法一元多项式的加法是指将两个多项式相加，并合并同类项。

具体操作如下：- 将两个多项式的系数相加，并将结果存储在一个新的多项式中。

- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。

3.2 一元多项式的减法一元多项式的减法是指将一个多项式减去另一个多项式，并合并同类项。

具体操作如下：- 将两个多项式的系数相减，并将结果存储在一个新的多项式中。

- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。

3.3 一元多项式的乘法一元多项式的乘法是指将两个多项式相乘，并合并同类项。

具体操作如下：- 遍历一个多项式的每一项，与另一个多项式的每一项相乘。

数据结构一元多项式的运算数据结构一元多项式的运算1、引言1.1 研究背景1.2 研究目的2、一元多项式的定义2.1 一元多项式的概念2.2 一元多项式的表示方法2.3 一元多项式的次数和系数2.4 一元多项式的零多项式和常数项2.5 一元多项式的加法运算2.6 一元多项式的减法运算2.7 一元多项式的乘法运算3、一元多项式的特殊运算3.1 一元多项式的乘方运算3.2 一元多项式的取余运算3.3 一元多项式的求导运算3.4 一元多项式的积分运算3.5 一元多项式的复合运算4、一元多项式的应用4.1 一元多项式在数学中的应用4.2 一元多项式在计算机科学中的应用4.3 一元多项式在工程领域中的应用5、实例分析5.1 实例一：一元多项式的相加减5.2 实例二：一元多项式的乘法运算5.3 实例三：一元多项式的特殊运算应用6、结论附件：附件一：一元多项式的代码实现示例法律名词及注释：1.一元多项式: 指仅有一个未知数的多项式。

2.多项式的次数: 多项式中各项最高次幂的次数。

3.多项式的系数: 多项式中各项中未知数的系数。

4.零多项式: 所有系数均为0的多项式。

5.常数项: 多项式中次数为0的项，即常数项。

6.多项式的加法运算: 将两个多项式相同次项的系数相加。

7.多项式的减法运算: 将两个多项式相同次项的系数相减。

8.多项式的乘法运算: 将两个多项式的各项相乘，并根据指数相加合并同类项。

9.多项式的乘方运算: 将一个多项式自乘n次。

10.多项式的取余运算: 两个多项式相除后的余数部分。

11.多项式的求导运算: 对多项式中的每一项进行求导操作。

12.多项式的积分运算: 对多项式中的每一项进行积分操作。

13.多项式的复合运算: 将一个多项式代入另一个多项式中进行运算。