一元多项式的定义和运算

一元一元多项式
一元多项式是一个非负整数，形式表达式为$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，其中$a_i$（$i=0,1,2,······,n$）称为该多项式的系数，$n$称为该多项式的次数。

若$a_0=0$，即$f(x)=a_1x+a_2x^2+······+a_nx^n$，则称之为零多项式。

零多项式不定义次数。

如果两个多项式有相同的次数，并且同次项的系数完全相等，则称这两个多项式相等。

一元多项式的运算有加法（减法）、乘法。

加法是将两个多项式中对应的项相加，减法是将被减式各项减去减式各项，乘法是将两个多项式相乘。

一元多项式运算性质包括：1. 数域$P$上任意两个多项式相加（减），其结果仍为数域$P$上的多项式；2. 如果$f(x)$和$g(x)$的次数相同，且$f(x)\neq0$，则$f(x)+g(x)$的次数等于它们次数之和，$f(x)·g(x)$的次数等于它们次数的积；3. 运算满足交换律、结合律和分配律。

一元多项式在数学和物理学等领域中都有广泛应用，例如在求解方程、微积分和线性代数等方面。

第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算在计算机科学中，一元多项式是常见的代数表达式形式，通常用来表示多项式函数。

虽然一元多项式的计算看似简单，但如果使用数据结构来实现，将会大大提高计算效率。

这篇文档将详细介绍基于链表的两个一元多项式的基本运算。

一元多项式的定义：在代数学中，一元多项式是一种含有一个未知数的代数多项式。

它是指一个代数式，它是由保持仅仅又有限个多项式的乘积。

此外，一元多项式在基本运算方面具有封闭性，这也是为什么它被广泛应用的原因之一。

在这里，我们将讨论在计算机科学中对一元多项式的实现。

链表的定义：链表是一种线性数据结构，其中数据元素不是常规的数组索引组织，而是通过信息存储元素之间的链来相互连接。

每个元素被称为节点，并且每个节点包含一个下一个节点的指针。

基于链表的一元多项式的实现：基于链表的一元多项式的实现涉及到将每个多项式的系数和指数存储为链表中的节点。

这种实现的主要优点是，它可以轻松地进行添加和删除操作，可以有效地分配内存，而不会浪费存储空间。

考虑到一元多项式的基本运算包括加法，减法和乘法，我们将详细介绍每种操作的实现。

一、基于链表的两个一元多项式的加法操作在实现一元多项式加法时，我们需要创建两个链表来存储两个多项式。

链表节点应该包含两个属性：系数和指数。

然后我们可以使用以下方法将两个多项式相加。

1. 定义两个指针p1和p2分别指向多项式链表的头部。

2. 定义一个新链表，用于存储相加的项。

3. 当p1和p2都不为空时循环进行以下操作：a. 如果p1当前节点的指数小于p2当前节点的指数，则将p1的节点添加到新链表中并将p1指针向下移动一个节点。

b. 如果p1当前节点的指数大于p2当前节点的指数，则将p2的节点添加到新链表中并将p2指针向下移动一个节点。

c. 如果p1和p2当前节点的指数相等，则将两个节点的系数相加，并将结果添加到新链表中，并将p1和p2指针都向下移动一个节点。

的所有剩余项添加到新链表中。

第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。

简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。

2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。

例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。

证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。

练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。

二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。

1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。

其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。

若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。

0a 为常数项。

2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。

3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。

数据结构一元多项式的运算正文：1. 引言本文档旨在介绍数据结构中一元多项式的运算方法。

一元多项式是指在一个变量上的多项式，其中每一项由一个系数和一个指数组成。

我们将会讨论一元多项式的表示、存储和基本运算，包括多项式的加法、减法、乘法和求导等操作。

2. 一元多项式的表示和存储2.1 一元多项式的定义一元多项式是指在一个变量x上的多项式，每一项由一个系数和一个指数组成，例如：2x^3 - 5x^2 + 3x + 1.其中，2、-5、3和1分别是系数，3、2、1和0分别是指数。

2.2 一元多项式的表示方法一元多项式可以使用数组、链表或其他数据结构来表示。

在本文中，我们选择使用数组来表示一元多项式。

数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。

例如，多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 可以表示为 [1, 3, -5, 2]。

2.3 一元多项式的存储结构为了表示一元多项式，我们可以使用一个数组来存储多项式的系数。

数组的长度应该比多项式的最高指数大1.数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。

例如，数组 [1, 3, -5, 2] 表示的多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 中，索引0对应指数为3的项，索引1对应指数为2的项，以此类推。

3. 一元多项式的基本运算3.1 一元多项式的加法一元多项式的加法是指将两个多项式相加，并合并同类项。

具体操作如下：- 将两个多项式的系数相加，并将结果存储在一个新的多项式中。

- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。

3.2 一元多项式的减法一元多项式的减法是指将一个多项式减去另一个多项式，并合并同类项。

具体操作如下：- 将两个多项式的系数相减，并将结果存储在一个新的多项式中。

- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。

3.3 一元多项式的乘法一元多项式的乘法是指将两个多项式相乘，并合并同类项。

具体操作如下：- 遍历一个多项式的每一项，与另一个多项式的每一项相乘。

数据结构一元多项式的运算数据结构一元多项式的运算1、引言1.1 研究背景1.2 研究目的2、一元多项式的定义2.1 一元多项式的概念2.2 一元多项式的表示方法2.3 一元多项式的次数和系数2.4 一元多项式的零多项式和常数项2.5 一元多项式的加法运算2.6 一元多项式的减法运算2.7 一元多项式的乘法运算3、一元多项式的特殊运算3.1 一元多项式的乘方运算3.2 一元多项式的取余运算3.3 一元多项式的求导运算3.4 一元多项式的积分运算3.5 一元多项式的复合运算4、一元多项式的应用4.1 一元多项式在数学中的应用4.2 一元多项式在计算机科学中的应用4.3 一元多项式在工程领域中的应用5、实例分析5.1 实例一：一元多项式的相加减5.2 实例二：一元多项式的乘法运算5.3 实例三：一元多项式的特殊运算应用6、结论附件：附件一：一元多项式的代码实现示例法律名词及注释：1.一元多项式: 指仅有一个未知数的多项式。

2.多项式的次数: 多项式中各项最高次幂的次数。

3.多项式的系数: 多项式中各项中未知数的系数。

4.零多项式: 所有系数均为0的多项式。

5.常数项: 多项式中次数为0的项，即常数项。

6.多项式的加法运算: 将两个多项式相同次项的系数相加。

7.多项式的减法运算: 将两个多项式相同次项的系数相减。

8.多项式的乘法运算: 将两个多项式的各项相乘，并根据指数相加合并同类项。

9.多项式的乘方运算: 将一个多项式自乘n次。

10.多项式的取余运算: 两个多项式相除后的余数部分。

11.多项式的求导运算: 对多项式中的每一项进行求导操作。

12.多项式的积分运算: 对多项式中的每一项进行积分操作。

13.多项式的复合运算: 将一个多项式代入另一个多项式中进行运算。

第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。

1第一章多项式21.1 数域3数是数学的一个最基本的概念，研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，按照所研究的问题不同，我们对数的范围界定也不一样。

例如22x 在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。

210x 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。

自然数整数有理数实数复数NZQRC这是一个认识的渐进的过程。

在讨论多项式的因式分解、方程的根等问题时，都跟数的范围有关。

4在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加、减、乘、除四则运算以及经过四则运算后是否还在这个集合之中。

例如自然数集N 只对加法和乘法封闭，而整数集Z 对加、减、乘三种运算封闭，但对除法不封闭；而有理数集Q 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭，同样，实数集R 、复数集C 对加、减、乘、除四种运算都封闭。

定义( 运算封闭)：在一个数的集合P 中，如果集合中任意两个数做某种运算后的结果仍在P 中，则称数集P 对这种运算是封闭的(closed) 。

5定义1(数域)：设P 是一个由一些复数组成的数的集合，其中包含0和1。

如果P 中的任意两个数对加、减、乘、除（除数不为0）都是封闭的，则称P 是一个数域(number field )。

有理数集Q ，实数集R ，复数集C 都是数域，且是三个最重要的数域。

如果某个数集只对加、减、乘封闭，则称其为数环。

整数集是一个数环.任意一个数域P 都是复数域C 的子集，都包含有理数域Q 作为其子域，即满足.Q P C 在Q 和R 之间存在其它数域；但在R 与C 之间没有别的数域存在.61.2 一元多项式教学目的和要求1. 掌握一元多项式形式表达式的准确定义.2. 掌握一元多项式的加法、减法、乘法的运算和运算律.3. 掌握一元多项式经过运算后的次数，并会用相关结论解题.78一、基本概念设x 是一个符号(或称文字)，P 是一个数域，定义2：n 是一个非负整数，形式表达式其中,,,,,011P a a a a n n 称为系数在数域P 中的一元多项式(one variable polynomial )，或称为数域P 上的一元多项式。

第五章多项式5.1 一元多项式和运算定义 设F 为数域, x 为一个符号(也称不定元). 形如称为F 上关于x 的一元多项式, 一元多项式常简称多项式, 为第 i 次项,同时称 f (x ) 为n 次多项式, 记为deg f (x )=n . 当 时, 称 为 其中称 110(),nn n n f x a x a x a −−=+++ 1100[]{|,,0,1,...,}nn n n i F x a x a xa n a F i n −−≥=+++∈∈= 10,,,,n n a a a F −∈ ii a x i a 则称 f (x )为首一多项式.F 上一元多项式全体记为 0a 其中n 是非负整数,称为第i 次项系数, 称为常数项, 首项,为首项系数, 0n a ≠nn a x n a 若a n =1,注1 常数项多项式:零多项式: 零次多项式: 注200(),f x a a F =∈　．()0f x =．00()0,f x a a F =≠∈．.−∞()0deg ()0.f x f x ≠≥0()0deg ()=0.f xa f x =≠定义零多项式次数为的充分必要条件是 的充分必要条件是例1ii x x x x x 23221(1)0;(2);(3);(4);(5)1π∞=+−∑定义 设是数域F 上的多项式, 如果则称f (x )与g (x )相等, 记为1110()n n n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()mm m m g x b x b xb x b −−=++++ i im n a b i n (0,1,2,,), ===且()().f xg x =定义 设 f (x ), g (x )是F 上多项式, 适当增加几个系数为零的项, 可设 定义加法:则 f (x ) + g (x )是 F 上多项式.1110()nn n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()n n n n g x b x b x b x b −−=++++ 1111100()()()()()()nn n n n n f x g x a b x a b xa b x a b −−−+=++++++++多项式的加法满足性质(1) 结合律: (f (x )+g (x ))+h (x )=f (x )+(g (x )+h (x )); (2) 交换律: f (x )+g (x )=g (x )+f (x ); (3) 存在零元: f (x )+0=f (x );对于定义 (4) 存在负元: f (x )+(–f (x ))=0.0(),nii i f x a x ==∑0()().nii i f x a x =−=−∑定义 设 定义数乘:则 cf (x ) 是 F 上多项式.1110()[],,nn n n f x a x a x a x a F x c F −−=++++∈∈ 1110()nn n n cf x ca x ca xca x ca −−=++++多项式的数乘满足性质:对任意的有 (5) c (f (x )+g (x ))=cf (x )+cg (x ); (6) (c +d )f (x )=cf (x )+df (x ); (7) (cd )f (x )=c (df (x )); (8) 1f (x )=f (x ).(),()[],,,f x g x F x c d F ∈∈定理 F [x ]关于多项式的加法与数乘构成 F 上的线性空间.注 F [x ]是无限维线性空间. 对任意正整数n ,线性无关.证明 若 由多项式相等定义, 即得 故线性无关. 21,,,,nx x x 20120,nna a x a x a x ++++= 0120.na a a a ===== 21,,,,nx x x定义 设定义乘法:其中则 f (x )g (x ) 是 F 上多项式.11101110()[],()[],n n n n m m m m f x a x a x a x a F x g x b x b x b x b F x −−−−=++++∈=++++∈ 1110()()m nm n m n m n f x g x c xc xc x c ++−++−=++++ 0110(0,1,,)k i j k k k i j kc a b a b a b a b k m n −+===+++=+∑多项式的乘法满足性质:对任意的 有 (9) (f (x )g (x )) h (x )=f (x )(g (x ) h (x )); (10) f (x )g (x )=g (x )f (x );(11) (f (x )+g (x ))h (x )=f (x ) h (x )+g (x ) h (x ); (12) c (f (x )g (x ))=(cf (x ))g (x )= f (x )(cg (x )). 定理 F [x ]关于多项式的加法,数乘和乘法构成 F 上带单位元1的交换代数.(),(),()[],f x g x h x F x c F ∈∈引理设f(x), g(x)是F上多项式, c是F上非零数, 则(1) deg (f(x) + g(x)) ≤ max{deg f(x), deg g(x)};(2)deg (cf(x))= deg f(x);(3) deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x).证明 (3) 若f(x), g(x)有一个为零多项式, 则命题成立.若f(x), g(x)均为非零多项式, 首项分别为a n x n, b m x m, 则f(x) g(x)首项为a n b m x n+m , a n b m ≠0,因此deg f(x) g(x) = n+m.命题若f(x), g(x)是F上非零多项式, 则f(x)g(x)也是F 上非零多项式.证明因为f(x), g(x)是F上非零多项式, 因此它们的次数均大于等于0,又 deg (f(x)g(x)) = deg f(x) +deg g(x) ≥ 0,故 f(x)g(x) 是非零多项式.推论若f(x)是非零多项式, 且f(x) g(x) = f(x) h(x), 则g(x) = h(x).证明因为f(x) g(x) = f(x) h(x),所以f(x)(g(x) - h(x))=0.又因为f(x)≠0,则由命题有g(x) - h(x)=0，所以g(x) = h(x).例2 设 且f 2(x )+ g 2(x )=0, 则f (x )=g (x )=0.证明 反证法 假设f (x )≠0 或者g (x )≠0, 记 不妨设n ≥m , 则f 2(x )+ g 2(x )首项系数为, 故f 2(x )+ g 2(x )的首项系数不为0, 矛盾. 注 例2结论对复数域不成立. 如 110110(),0,(),0,nn n n n i m m m m m i f x a x a xa a a g xb x b xb b b −−−−=+++≠∈=+++≠∈222+,n nna b a 或221+=0,10,0.i i ≠≠但(),()[]，f x g x x ∈ n na b ,∈小结(1) 一元多项式的定义、运算(2) 次数、首项(3) 主要证明方法: 次数, 首项。

一元多项式的定义一元多项式是数学中常见的一个概念，也是代数学中的基础内容之一。

它由一个变量和系数构成，变量通常用字母表示，系数可以是实数或复数。

一元多项式的一般形式为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0其中，P(x)表示一元多项式，a_n, a_{n-1}, ..., a_0表示系数，x表示变量，n表示多项式的次数。

一元多项式的次数是指最高次项的次数，而系数则表示每个变量的权重。

一元多项式的次数可以是非负整数，次数为0的多项式称为常数。

例如，P(x) = 3x^2 + 2x - 1是一个次数为2的一元多项式。

一元多项式具有以下特性：1. 线性叠加性：任意两个一元多项式相加或相减，仍然是一个一元多项式。

例如，P(x) = 2x^2 + 3x + 1和Q(x) = 4x - 2相加得到R(x) = 2x^2 + 7x - 1。

2. 系数相等性：两个一元多项式在相同的次数上的系数相等，才能认为这两个多项式相等。

例如，P(x) = 2x^2 + 3x + 1和Q(x) = 2x^2 + 3x + 1是相等的一元多项式。

3. 零多项式：所有系数都为零的一元多项式称为零多项式，记作0。

例如，P(x) = 0是一个零多项式。

4. 一元多项式的加法和减法：一元多项式的加法和减法可通过对应项的系数相加或相减得到。

例如，P(x) = 2x^2 + 3x + 1和Q(x) = 4x - 2相加得到R(x) = 2x^2 + 7x - 1，相减得到R(x) = 2x^2 - x + 3。

5. 一元多项式的乘法：一元多项式的乘法是指将两个多项式的每一项进行相乘，并将同次幂的结果合并。

例如，P(x) = (x + 1)(x - 2)展开得到P(x) = x^2 - x - 2。

6. 一元多项式的除法：一元多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。