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分式的运算A

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分式的运算一、分式的乘除法法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子 ，用分母的积作积的分母； 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。

a b c d ac bd⋅=； a bc da bd cad bc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

注意：1. 同分数乘除法类似，分式乘除法的法则用式子表示是：bcad c d b a d c b a bdac d c b a =⋅=÷=⋅;其中a 、b 、c 、d 可以代表数也可以代表含有字母的整式。

2. 分式乘除法的运算.归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分。

3. 整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式。

4. 做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算.切不可打乱这个运算顺序。

二、分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则：分母不变，分子相加减。

a cbc a b c±=±（3）异分母的分式加减法法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±三、 分式乘方的法则分式的乘方，等于把分式的分子、分母各自乘方。

()ab abnnn =（n 为正整数）四、学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。

【典型例题】题型一：分式的乘除法 1计算：（1）2244234352bd c a cdb a ⨯（2）dc b a 4323÷（－xd c b a 2325）2计算：24462xx x +--÷（x ＋3）·xx x--+3623（2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1m m m+÷⋅--的结果是（ ）4（2011山东聊城，15，3分）化简：2222222a ba b a ab ba b--÷+++＝__________________．题型二：分式的加减法 5计算：yzx y x yzx x y yzx y x 22232332364+--++ 6计算：22943461461xy x yx yx --+--7（2011广东湛江11,3分）化简22aba ba b---的结果是题型三：分式的混合运算： 8计算：（4412222+----+x x x xx x ）÷xx 4-9计算：[（1＋24-a ）（a －4＋a4）－3]÷（a4－1）10（2011山东临沂，5，3分）化简（x －x1-x 2）÷（1－x1）的结果是 。

11（2011山东泰安，22 ，3分）化简：（2x x+2-x x-2）÷x x 2-4的结果为 。

题型四：先化简再求值12（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：21x x -(xx 1-－2),其中x=2.13（2011重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．14（2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值. 221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中31412111-+--+-+x x x x 15（2011贵州贵阳，16，8分）在三个整式x 2-1，x 2+2x+1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x=2时分式的值．16（2011山东枣庄，19，8分）先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1x 2－4，其中x ＝－5．题型五：列代数式（分式）17一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要（ ） A ．（）小时 B ．小时 C ．小时 D ．小时18学生有m 个，若每n 个人分配1间宿舍，则还有一人没有地方住，问宿舍的间数为（ ） A．B ．C ．D ．19在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A．千米 B ．千米C ．千米 D ．无法确定六、分式混合运算中的几种技巧1、分段分步法 20计算1x21x 11x 12+-+--1x81x484+-+-说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

2、分组通分法 21说明：这是一道异分母相加减，若直接通分，则计算量很大，不便化简，但根据题目特点，先采取分组通分，再逐项合并可提高运算速度和准确率。

3、分裂整数法 22计算：3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

4. 拆项法23计算：12x 7x16x 5x12x 3x1xx12222++++++++++5. 活用乘法公式 24计算：)1x )(1x)(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)(x1x (21616884422≠-+++++6. 见繁化简，先“约”后“通” 25计算：2222222222a ab b a ab b a b aba b ab++-+-+-.7、巧选运算顺序268、注意使用换元法简化运算279、注意使用恒等式简化运算29【模拟试题】 1计算（1）（abb a -）2·（ab a --）3÷221ba - （2）a －bb a ab a 2222++-－b2计算：（1）（652222---+x xxx）÷xx 332- （2）233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度．先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从其中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）A ．米 B ．米 C ．米 D ．（）米4现有单价为x 元的果冻a 千克，单价为y 元的果冻b 千克，单价为z 元的果冻c 千克，若将这三种果冻混合在一起，则混合后的果冻单价为（ ）元．A ．x+y+zB ．C ．D ．5（2011广东肇庆，19，7分） 先化简，再求值：)211(342--⋅--a a a ，其中3-=a ．6已知abc =1，求a ab a b bc b c ac c ++++++++111的值。

7已知a 、b 、c 为实数，且ab a bbc b cca c a+=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca++的值是多少？8若111312-++=--x N x M xx ，试求N M ,的值.9化简下列各式 （1）12212112b b b b -+--+-+. （2）))(())(()(d c b a c b a dc b a b a cb a a b +++++++++++（3）233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x （4）（5）。

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初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)

初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)

第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

考点03 分式(精讲)(原卷版)

考点03 分式(精讲)(原卷版)

考点03.分式（精讲）【命题趋势】分式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，其中分式的有意义（无意义）和分式值为零（负数、正数、整数等）、最简分式等概念，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。

【知识清单】1：分式的相关概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A 为分子，B 为分母。

（2）对于分式A B 来说：①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0；④当A =B ≠0时，分式的值为1；⑤若A B >0，则A 、B 同号，若AB<0，则A 、B 异号。

2：分式的性质（☆☆）（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式。

（2）约分及约分法则1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

（3）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。

（4）通分及通分法则1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分。

2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

11.分式的运算

11.分式的运算


③相同字母的幂取指数最高的。
例
4，（1）
1 2ab2c3d
+
1 3a3b2c
+
1 4a2b2c2
（2）
1+1− x x
1− 1− xy xy
注意：整式与分式的运算，根据题目特点，将整式化为分母为“1”的分式；
例 5：（1）已知： 2m − 5n = 0 ，求下式的值： (1+ n − m ) ÷ (1+ n − m )
m m−n
m m+n
（2）
1+
n m
− −
m 2n
÷
m2
m2 − n2 − 4mn +
4n2
一题多解
例 6：已知：= x2 M− y2
2xy − y2 + x − y x2 − y2 x + y
，则 M
=
________
例 7：
[ (a
1 + b)2
−
(a
1 − b)2
]÷( a
1 +b
−
a
1) −b
11.分式的运算
基础知识 1、分式的定义与意义（变成习惯思维，见到分式想到分母不能为 0）
A
定义：（A、B为整式，B中含有字母,不是系数且B ≠ 0）
B
2x + 2
例 1： 取什么值时试判断 (3x −1)(x +1) 有意义。
2x +1
例 2，当 x 取何值时，分式 1− 1 有意义？
x
2、分式的乘除法法则：注意约分，找公因式
）
D． x x -1
。
7.
（2011
分式的化简和计算

分式的化简和计算

分式的化简和计算分式是数学中常见的表达方式，可以用于表示两个数之间的比值或者一个数除以另一个数。

在分式的化简和计算中，我们需要了解一些基本的规则和方法。

本文将介绍分式的化简和计算的相关知识。

一、分式的基本表示分式的一般形式为a/b，其中a和b都是整数，且b不等于0。

a被称为分子，b被称为分母。

分式表示了a与b之间的比值关系。

二、分式的化简化简分式的目的是将其写成更简单的形式，通常是将分子和分母的公因式约去，使得分式的值保持不变。

1. 约分如果分子和分母都有一个共同的因子，可以将其约去，得到一个等价的分式。

例如，对于分式6/9，可以将6和9都除以3，得到2/3。

2. 合并同类项对于分式中的分子或分母，如果有多个同类项相加或相减，可以进行合并，简化分式。

例如，对于分式3/5 + 2/5，可以合并分子得到5/5，即1。

3. 分式的乘法和除法分式的乘法可以通过将分子与分子相乘，分母与分母相乘，得到一个新的分式。

例如，(2/3) * (4/5) = 8/15。

分式的除法可以通过将分式转化为乘法，即将除法转化为倒数相乘的形式。

例如，(2/3) ÷ (4/5) 可以转化为 (2/3) * (5/4)，然后按照乘法的规则进行计算。

三、分式的计算分式的计算包括分式的加法和减法，以及分式的乘法和除法。

1. 分式的加法和减法分式的加法和减法需要满足两个分式的分母相同，才能进行运算。

如果分母不同，需要进行通分操作，即将两个分式的分母改为相同的值，然后按照通分后的分母进行相应的运算。

例如，对于分式1/4 + 2/5，可以通分得到5/20 + 8/20，然后将分子相加得到13/20。

分式的减法也是类似的操作，只是将分子相减而已。

2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法可以直接按照前述的规则进行计算。

例如，(2/3) * (4/5) = 8/15，(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) * (5/4) = 10/12 = 5/6。