分式的运算
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第5讲 分式的运算【基本知识】分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，它一定含有字母，分子是被除式，不一定含有字母。
当分子为零且分母不为零时，分式的值等于零，而当分母为零时，分式没有意义。
分式的基本性质是确定分式符号、通分和约分的基础，在,A A M B B M´=´ A A MB B M¸=¸中，M 一定是不为零的整式。
分式的运算是重要的代数式恒等变形。
其主要运算法则有a ba bc c c ±?； a c ad bcb d bd±?； ,a c ac a c ad b dbd b dbc??； nn n a a b b骣÷ç=÷ç÷ç÷桫（n 是正整数） 进行异分母分式加减运算的基本方法是转化为同分母分式加减运算，转的关键是通分。
但有时并不必将所有分式全部通分，而是利用一些技巧简化算，如用逐步通分法、拆项分项法、分组通分法、换元法等。
分式的概念、运算与分数的概念、运算有许多相似之处，因而在解决分式问题时要重视联系分数的相关问题进行类比思考。
【培训示例】【例1】使分式11111x++有意义的条件是（ ）。
(A)0x ¹ (B)1x ?(C)12x ?(D)1012，，x x x 构-?解 题中分式要有意义，必须110,10,1011x x x???+，即0,10,210x x x ???所以必须1012，，x x x 构-?，选D【例2】计算2222221211005000220050001005000k k k ++鬃?+鬃?-+-+-+ 22999999005000+-+。
解 因为()()22100100100100k k k k ---=-，考察：()()()222210010050001001001005000k k k k k k -+-+---+2222210020010050001005000k k k k k k k -+=+-+-+ 2222001000021005000k k k k -+==-+ 而 2250150100505000=-?所以, 原式492199=?=【练习2】计算1221.2112a a a a +---+-+解 12212112a a a a +---+-+ 11222211a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭(2)(2)(1)(1)2(2)(2)(1)(1)a a a a a a a a +----+=+⨯-++-224441a a -=+-- 2212.(4)(1)a a =--【练习3】化简：1111111111111111a b a c a b d a b c骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑+++++++++鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑桫桫桫桫桫桫 11111111a bc d 骣骣骣骣鼢鼢珑珑-++++鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑桫桫桫桫。
解 将1a 用111a 骣÷ç-++÷ç÷ç桫代人要化简的式子，利用提取公因式方法， 原式11111111111111111abc a bd a b c 骣骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢?珑珑珑?=-++++++++++鼢鼢鼢?珑珑珑?鼢鼢鼢?珑珑珑?桫桫桫桫桫桫桫11111111a bc d 骣骣骣骣鼢鼢珑珑-++++鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑桫桫桫桫1111111111111111111111a bc d a b c a b c d 骣骣骣骣骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢鼢鼢珑珑珑珑珑=-++++++++-++++鼢鼢鼢鼢鼢珑珑珑珑珑鼢鼢鼢鼢鼢珑珑珑珑珑桫桫桫桫桫桫桫桫桫桫1=-【例3】化简()()()()()321121212312112n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x -++鬃?++++++鬃?++鬃?。
分析 这类题目一般都用裂项抵消的办法来做, 裂项的本质是化分式为部分分式. 解 原式1121212312111111n x x x x x x x x x x x -=-+-+鬃?++++++鬃?121nx x x -++鬃?11211nx x x x =-++鬃?()23112n n x x x x x x x ++鬃?=++鬃?【练习1】计算111.(1)(1)(1)(3)(3)(5)x x x x x x ++-+++++解 原式111111111211213235x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪-+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111215x x ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭3.(1)(5)x x =-+【练习4】化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b bc ab ac c ac bc ab------++--+--+--+。
解222222a b c b c a c a ba ab ac bc b bc ab ac c ac bc ab------++--+--+--+ ()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c ab b a bc c b c a =+++++------ 0=说明 本题如直接通分化为同分母相加，运算较繁，而通过将分子拆项，分母分解因式后，利用11x y xy x y+=+，解法简洁。
【例4】已知201x a x x =?++，用含a 的式子表示241x x x ++。
解 由已知得211x x x a ++=，即111x x a+=-。
又 4222111x x x x x ++=++ 211x x 骣÷ç=+-÷ç÷ç桫 2111a 骣÷ç=--÷ç÷ç桫 212aa -=所以242121x ax x a -=++。
【练习5】 已知210,a a +-= 求441.a a + 257 解 由210a a +-=得11,a a-=- 所以 ()4444222222222211221 21 2221 22(1)227.a a a aa a a a a a +=++-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+-=【练习6】已知221,2374y y =++ 求21.461y y ++ 解 由2212374y y =++得22378,y y ++= 所以2231,y y += 2462,y y += 所以, 211.4613y y =++【例5】 已知,b c a c a b a b c +++== 求()()().a b b c a c abc+++ 分析 此题的条件与结论都关于字母a, b, c 对称, 一般情况下, 对解题都有一定帮助. 题目条件提供了两个方程, 三个未知量, 多了一个未知量, 因此应该将其中一个未知量当作常数, 但是要求的是一个表达式的值, 因此有可能在不解方程的情况下求得该表达式的值.解 注意到分式b c a c a ba b c+++==的分子都缺一个字母, 且所缺的字母正好在分母上, 因此我们在该等式的三边各加1得111,b c a c a ba b c++++=+=+ 即,a b c a b c a b ca b c++++++== 如果0a b c ++=则上式成立, 如果0a b c ++≠则上式可化为.a b c == 因此题设条件等价于0a b c ++=或.a b c == 下面分情况讨论.(1) 若0,a b c ++=则()()()()()()1.a b b c a c c a b abc abc+++---==-(2) 若,a b c ==则()()()8.a b b c a c abc+++=【练习7】 已知340,280,a b c a b c --=+-= 求22.a b c ab bc ac2++++ 解 题设给了三元方程组340,280,a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩ 我们将c 看作常数, 解得3,2.a cbc =⎧⎨=⎩ 所以,222222229413.62311a b c c c c ab bc ac c c c 2++++==++++【练习8】 已知4320,270,a b c a b c --=+-= 求2222252.2310a b c a b c 2+---1411解 题设给了三元方程组4320,270,a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩我们将c 看作常数, 解得5,6.a cbc =-⎧⎨=⎩ 所以,222222222225252523619866.2310503365719a b c c c c a b c c c c 2+-⨯+⨯+==-=---⨯+例 已知0,a b c ++= 求222222.222a b c a bc b ac c ab+++++ 1例 已知0,a b c ++= 求222222222111.b c a c a b a b c +++-+-+- 0例 已知111,6a b +=111,9b c +=111,15a c += 求.abcab bc ac++ 180/31.【备用题】【例4】化简()()()()()()22b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a---+++--------- 。
分析 观察得出()()11b c a b a c a b a c -=-----，()()11c a b c b a b c b a -=-----，()()11a b c a c b c a c b-=-----。
这样拆项相加，易求出结果。
解()()()()()()22b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a ---+++---------111111222a b a c b c b a c a c b b a c a b c=-+-+-+-=--------- 【例8】化简22323972431111x x x x x x x x x +++-++--+--分析 题中三个分式的分子的次数比分母的次数高，利用多项式除法可将每个分式拆成一个整式加一个较简单分式的形式，从而简化运算。
解 22323972431111x x x x x x x x x +++-++--+-- ()()213213626111x x x x x x x +=++-+---+--21321111x x x x +=--+--22242111x x x x --+=--- 2451x x --=-练习题一、选择题 1. 使分式32x yx y-+的值等于零的全部条件是（ ）。
