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第六章机械能第七节子弹打木块问题【学习要求】1、知道子弹打木块模型的特点及解决问题所用的主要规律；2、理解子弹打木块问题中的主要功能关系和能量转化关系，弄清摩擦产生热量的计算方法；3、能利用子弹打木块模型灵活解决物理问题；【学习过程】一、知识要点：（一）子弹打木块模型：一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量m的子弹以初速度v0水平飞来打进木块，设相互作用力为F f，设木块的对地位移为S木，子弹的位移为S子，子弹相对木块的位移为S相；子弹射出木块时的速度为V子，木块的速度为V木。
（二）主要规律1、系统动量守恒守恒：；2、功能关系及能量的转化和守恒（1）摩擦力（或木块）对子弹做功等于的动能变化：；（2）摩擦力（或子弹）对木块做功等于的动能变化：；（3）子弹减少的机械能等于和；（4）摩擦产生的热量Q等于和的乘积，即Q= ；从能量转化的角度来讲，也等于，即Q= ；二、典型问题引路（一）子弹打木块模型的求解例1、木板M放在光滑水平面上，子弹m以初速度V0射入木板，最终与木板一起运动，两者间动摩擦因数恒定，即F=μmg（μ为常数），求：（1）子弹与木板相对静止时的速度；（2）子弹在木板上滑行的时间；（3）木板和子弹的位移（4）在整个过程中系统增加的内能；（5）为使子弹不从木板上掉下，木板至少多长？例2、质量为M、长为L的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以水平初速v0射入木块，射出时子弹速度为v，求（1）子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。
（2）子弹的位移例3、一颗速度较大的子弹，水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块，设子弹对木块的阻力恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是（）A、木块获得的动能增大B、子弹损失的动能变大C、子弹穿过木块的时间变短D、木块的位移变小【方法总结】【误区提示】（二）子弹打木块模型的变形使用例4、光滑水平面上，木板M静止在光滑水平面上，木块m以V0向右滑上木板，令木块不会从木板上掉下来，两者间动摩擦因数为μ，求①从m放上M至相对静止，m发生的位移；②系统增加的内能；③木板至少多长？例5、如图所示，在光滑水平面上，静止着质量为2m的滑块，其上表面是一段半径为R的光滑圆弧，且其底端水平面面相切，在滑块右端的A点静止一个质量为m的小球，现有一颗质量为m的子弹，以水平初速度0455gRv 射入并停留在球体中。
燕大附中高二物理3-5第十六章动量守恒定律主备人：刘丽杰同备人：夏庆和、王睿2014.3.30拼搏改变命运，励志照亮人生一、“子弹打木块”模型1、子弹质量为m，以速度v0水平打穿质量为M，厚为d的放在光滑水平面上的木块，子弹的速度变为v，求此过程系统损失的机械能。
2、如图所示，质量为M的木块放在光滑水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动。
已知当子弹相对木块静止时木块前进的距离为L，若木块对子弹的阻力f视为恒定，求子弹进入木块深度s3、矩形滑块由不同材料的上下两层粘结在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击上层，则子弹恰好不射出；若射击下层，则子弹整个儿恰好嵌入，则上述两种情况相比较（）A. 两次子弹对滑块做的功一样多；B. 两次滑块所受冲量一样大；C. 子弹嵌入下层过程中，系统产生的热量较多D. 子弹击中上层过程中，系统产生的热量较多4、如图所示，质量为M=0.60kg的小砂箱，被长L=1.6m的细线悬于空中某点，现从左向右用弹簧枪向砂箱水平发射质量m=0.20kg，速度v0=20m/s的弹丸，假设砂箱每次在最低点时，就恰好有一颗弹丸射入砂箱，并留在其中（g=10m/s2，不计空气阻力，弹丸与砂箱的相互作用时间极短）则：第一颗弹丸射入砂箱后，砂箱能否做完整的圆周运动？计算并说明理由。
5、在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为L=1.00m，一质量与木板相同的金属块，以v0=2.00m/s的初速度向右滑上木板A，金属块与木板间动摩擦因数为μ=0.1，g取10m/s2。
求两木板的最后速度。
二、弹簧和物块1、两物体的质量m1=2m2, 两物体与水平面的摩擦因数为μ2 = 2μ1，当烧断细线后，弹簧恢复到原长时，两物体脱离弹簧时速度均不为零，两物体原来静止，则( )A. 两物体在脱离弹簧时速率最大B. 两物体在刚脱离弹簧时速率之比v1:v2=1:2C. 两物体的速率同时达到最大值D. 两物体在离开弹簧后同时达到静止2、如图所示，质量为m B的滑块B，连接一根轻质弹簧，原来静止在光滑水平面上.质量为m A的滑块A，以水平速度v0滑向滑块B，并压缩弹簧，在这一过程中，以下说法中正确的是( )A.任意时刻系统的总动量都等于m A v0；B.任意时刻系统的总动能都等于1/2m A v02；C.任意时刻系统的总机械能都等于1/2m A v02；D.当弹簧的弹性势能最大时，滑块A和B的速度相等3、一轻质弹簧，两端连接两滑块A和B，已知m A=0.99kg, m B=3kg，放在光滑水平桌面上，开始时弹簧处于原长。
一、 子弹大木块【例2】如图所示，质量为M 的木块固定在光滑的水平面上，有一质量为m 的子弹以初速度v 0水平射向木块，并能射穿，设木块的厚度为d ，木块给子弹的平均阻力恒为f .若木块可以在光滑的水平面上自由滑动，子弹以同样的初速度水平射向静止的木块，假设木块给子弹的阻力与前一情况一样，试问在此情况下要射穿该木块，子弹的初动能应满足什么条件？【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动，此时子弹若能恰好打穿木块，那么子弹穿出木块时(子弹看为质点)，子弹和木块具有相同的速度，把此时的速度记为v ，把子弹和木块当做一个系统，在它们作用前后系统的动量守恒，即mv 0＝(m ＋M )v 对系统应用动能定理得fd ＝12mv 20－12(M ＋m )v 2由上面两式消去v 可得 fd ＝12mv 20－12(m ＋M )(mv 0m ＋M )2整理得12mv 20＝m ＋M M fd即12mv 20＝(1＋m M)fd 据上式可知，E 0＝12mv 20就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能，也就是说，子弹恰能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力f 和木块的厚度d (或者说与f ·d )有关，还跟两者质量的比值有关，在上述情况下要使子弹打穿木块，则子弹具有的初动能E 0必须大于(1＋mM)f ·d .72、如图所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为、长度为。
—颗质量为的子弹从木块的左端打进。
设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力，要使子弹刚好从木块的右端打出，则子弹的初速度应等于多大？涉及子弹打木块的临界问题分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。
由动量守恒定律得：①要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：②根据功能关系得：③解以上三式得：二、 板块1、 如图1所示，一个长为L 、质量为M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），以水平初速度0v 从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为μ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q 。
子弹打木块模型答案解析1、【答案】 C 【解析】设发射子弹的数目为n ，n 颗子弹和木块M 组成的系统在水平方向上所受的合外力为零，满足动量守恒的条件．选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有nmv 2－Mv 1＝0，得n ＝12Mv mv 所以C 正确；ABD 错误；故选C 。
2、【答案】 D 【解析】设子弹的质量为m ，沙袋质量为M ，则有M =100m ，取向右为正方向，第一个弹丸射入沙袋，由动量守恒定律得mv 1=101mv ，子弹和沙袋组成系统第一次返回时速度大小仍是v ，方向向左，第二个弹丸以水平速度v 2又击中沙袋的运动中，由动量守恒定律有mv 2−101mv =42mv ＇，设细绳长度为L ，第一个弹丸射入沙袋，子弹和沙袋共同摆动的运动中，由机械能守恒定律得()()()211cos302M m gL M m v +-=+解得)cos30v =，由上式可知，v 与系统的质量无关，因两次向上的最大摆角均为30°，因此v ＇=v ，联立解得12:101:203v v =，ABC 错误，D 正确。
故选D 。
3、【答案】 AD 【解析】B ．由题知，子弹A 、B 从木块两侧同时射入木块，木块始终保持静止，分析可知，两子弹对木块的推力大小相等方向相反，子弹在木块中运动时间必定相等，否则木块就会运动。
设两子弹所受的阻力大小均为f ，根据动能定理，对A 子弹有kA 0A fd E -=-，得u A E fd =，对B 子弹有k 0B B fd E -=-，得kB B E fd =，由于A B d d >，则子弹入射时的初动能kA kB E E >故B 错误；C ．两子弹和木块组成的系统动量守恒，因射入后系统的总动量为零，所以子弹A 的初动量大小等于子弹B 的初动量大小，故C 错误，D 正确；A．根据动量与动能的关系得mv =k kA B E E >，则得到A B m m <，根据动能的计算公式2k 12E mv =，得到初速度A B v v >，故A 正确。
子弹打木块类问题子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。
作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。
下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。
【例1】 设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。
求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。
解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：()v m M mv +=0 从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。
设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d 对子弹用动能定理：22012121mv mv s f -=⋅ ……① 对木块用动能定理：2221Mv s f =⋅ ……② ①、②相减得：()()2022022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=⋅ ……③ 点评：这个式子的物理意义是：f d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =⋅，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。
由上式不难求得平均阻力的大小：()dm M Mmv f +=220 至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d mM m s +=2 从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。
由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：()d mM m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/ 一般情况下m M >>，所以s 2<<d 。
这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。
这就为分阶段处理问题提供了依据。
象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：()202v m M Mm E k +=∆…④当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔE K = f d （这里的d 为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔE K 的大小。
做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。
练习1、质量为M 的木块静止在光滑水平面上，有一质量为m 的子弹以水平速度v 0 射入并留在其中，若子弹受到的阻力恒为f ，问：①子弹在木块中前进的距离L 为多大？②木块相对地面的位移是多少？③子弹和木块的相互作用时间是多少？解：系统动量守恒，有：v m M mv )(0+= ∴mM mv v +=0 ①系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：220)(2121v m M mv fL +-= ∴f m M Mmv L )(220+= ②对木块，由动能定理有：221Mv fs = ∴木块的位移fm M v Mm s 2202)(2+= ③对木块，由动量定理有：Mv ft = ∴作用时间fm M Mmv t )(0+= 2、质量为M 的木块静止在光滑水平面上，有一质量为m 的子弹以水平速度v 0 射入并以水平速度v 射出，若子弹受到的阻力恒为f ，问：①木块的厚度d 为多大？②木块相对地面的位移是多少？③子弹和木块的相互作用时间是多少？解：系统动量守恒，有：M Mv mv mv +=0 ∴Mv v m v M )(0-= ①系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：2220212121M Mv mv mv fd --= ∴Mf v v m f v v m d 2)(2)(202220---= ②对木块，由动能定理有：221M Mv fs = ∴木块的位移Mf v v m s 2)(202-= ③对木块，由动量定理有：M Mv ft = ∴作用时间fv v m t )(0-= 3、质量为M 、厚度为d 的木块固定在水平面上，有一质量为m 的子弹以水平速度v 0 射入并以水平速度v 射出。
现将木块放在光滑的水平面上，相同的子弹仍以水平速度v 0 射入，若子弹受到的阻力恒定，问：子弹在木块中前进的最大距离L 为多大？解：木块固定时，对子弹由动能定理有：v 0 2022121mv mv fd -=- ∴d v v m f 2)(220-= 木块未固定时，若子弹从木块中穿出，则L=d若子弹未从木块中穿出，则由系统动量守恒，有：20)(v m M mv +=系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：2220)(2121v m M mv fL +-= ∴))((22020v v m M d Mv L -+= 4、有一质量为m 的小物体，以水平速度v 0 滑到静止在光滑水平面上的长木板的左端，已知长木板的质量为M ，其上表面与小物体的动摩擦因数为μ，求木块的长度L 至少为多大，小物体才不会离开长木板？解：小物体不离开木板，即两者最终相对静止。
由系统动量守恒，有：v m M mv )(0+= ∴mM mv v +=0 小物体与木板间摩擦力为mg f μ=，由系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：220)(2121v m M mv mgL +-=μ ∴g m M Mv L )(220+=μ 5、质量为M 的长木板B 静止在光滑水平面上，质量为m 的小滑块A （可视为质点）以水平速度v 0从长木板的一端开始在木板上滑动，到达另一端滑块刚离开木板时的速度为v 0/3，若把此木板固定在水平桌面上，其它条件相同，求：滑块离开木板时的速度。
解：木板不固定时，系统动量守恒，有：Mv mv mv +=300 ∴木板的速度Mmv v 320= 系统能量守恒，损失的机械能转化为内能，有：2202021)3(2121Mv v m mv fL --= ∴)2(9220M m L mv f -= 将木块固定时，对A 由动能定理有：202'2121mv mv fL -=- ∴M m v v 4130'+= 6、光滑水平面上静置厚度不同的木块A 与B ，质量均为M 。
质量为m 的子弹具有这样的水平速度：它击中可自由滑动的木块A 后，正好能射穿它。
现A 固定，子弹以上述速度穿过A 后，恰好还能射穿可自由滑动的B ，两木块与子弹的作用力相同。
求两木块厚度之比。
解：设A 木块厚度为a ，B 木块厚度为b ，子弹初速度是v 0，射穿自由滑动的A 后速度为v ，正好能射穿说明两者速度相等。
由动量守恒，有： v m M mv )(0+= 系统能量守恒，有：)(2)(212120220m M Mmv v m M mv fa +=+-= 子弹射穿固定的A 后速度为v 1，射穿B 后速度为v B ，子弹射穿A 后，对子弹由动能定理有：20212121mv mv fa -=- ∴可求得m M m v v +=01 之后子弹在射穿B 时，有： B v m M mv )(1+= 系统能量守恒，有：)(2)(212121221m M Mmv v m M mv fb B +=+-= ∴ mm M v v b a +==2120 7、如图所示，长为l 质量为m 1的木板A 置于光滑水平面上，左端放一质量为m 2的物体B.物体与木板之间的动摩擦因数为μ，现在A 与B 以速度v 0在水平光滑地面上一起向右匀速运动.当A 与竖直墙壁发生弹性碰撞后，要使物体一直不从木板上掉下来，v 0必须满足什么条件？解：木板碰墙后速度反向，由动量守恒定律(向左为正向)：v m m v m m )()(21021+=-讨论:（1）若m 1 ＞ m 2 最后以共同速度为v 向左运动，由能量守恒定律：2212021)(21)(21v m m v m m +-+≤gl m 2μ ∴ 0v ≤1212)(m gl m m +μ （2）若m 1 = m 2 碰后系统的总动量为0，最后都静止在水平面上，由能量守恒定律：2021)(21v m m +≤gl m 2μ ∴ 0v ≤gl m m gl m μμ=+)(2212 （3）若m 1 ＜ m 2 木板能与墙多次碰撞, 每次碰后的总动量都向右,最后木板静止在靠近墙壁处,B 静止在A 右侧.由能量守恒定律：2021)(21v m m +≤gl m 2μ ∴ 0v ≤)(2212m m gl m +μ 8、质量为2m 、长为L 的木块置于光滑的水平面上，质量为m 的子弹以初速度v 0水平向右射穿木块后速度为v 0 /2。
设木块对子弹的阻力恒定。
求：（1）子弹穿过木块的过程中木块的位移（2）若木块固定在传送带上，使木块随传送带始终以恒定速度u<v 0水平向右运动，则子弹的最终速度是多少？解：（1）设子弹穿过木块后木块获得的速度是V ，由系统动量守恒得：mV v mmv 2200+= 系统能量守恒，有：22020221)2(2121mV v m mv fL ⋅--= 对木块，由动能定理：2221mV s f ⋅=⋅ 解得：木块的速度V=v 0/4 木块的位移： S=L/5（2）在此过程中，由于木块受到传送带的作用力，所以系统动量不守恒。
假设子弹穿过木块，以子弹为研究对象： 由动量定理得： ft mv mv -=-0 由动能定理得：2022121)(mv mv L ut f -=+- 解以上两式，得：202085)(v u v u v --±= 当20)(u v -＞2085v ，即u ＜0)4101(v -时， 202085)(v u v u v --+= 当20)(u v -＜2085v 时，方程无解，表明子弹不能穿出木块。
即u ＞0)4101(v -时，u v = 9、如图所示，A 、B 是静止在水平地面上完全相同的两块长木板。
A 的左端和B 的右端相接触。
两板的质量皆为M=2.0kg ，长度皆为l=1.0m,C 是一质量为m=1.0kg 的木块．现给它一初速度v 0 =2.0m/s ，使它从B 板的左端开始向右动．已知地面是光滑的，而C 与A 、B 之间的动摩擦因数皆为μ=0.10．求最后A 、B 、C 各以多大的速度做匀速运动．取重力加速度g=10m/s 2.解：先假设小物块C 在木板B 上移动距离 x 后，停在B 上．这时A 、B 、C 三者的速度相等，设为V ．由动量守恒得：V M m mv )2(0+=由能量守恒得：220)2(2121V M m mv mgx +-=μ 解得：m gM m Mv x 6.1)2(20=+=μ x 比B 板的长度l 大．这说明小物块C 不会停在B 板上，而要滑到A 板上．设C 刚滑到A 板上的速度为v 1，此时A 、B 板的速度为V 1，由动量守恒得：1102MV mv mv += 由功能关系得：2121202212121MV mv mv mgl ⋅--=μ 解得：10641±=V 56221 =v 由于v 1必是正数，故合理的解是s m V /155.010641=-= s m v /38.156221=+= 当滑到A 之后，B 即以V 1= 0.155m/s 做匀速运动．而C 是以 v 1=1.38m/s 的初速在A 上向右运动．设在A 上移动了y 距离后停止在A 上，此时C 和A 的速度为V 2，由动量守恒得： 211)(V m M mv MV +=+ ∴s m V /563.015662=+= 由功能关系得：222121)(212121V m M MV mv mgy +-+=μ ∴m y 5.0= y 比A 板的长度小，故小物块C 确实是停在A 板上．最后A 、B 、C 的速度分别为:： s m V v v C A /563.02=== s m V v B /155.01==。
