02单自由度系统的振动

单自由度振动系统

m质量，k刚度，c阻尼，有时有p激振力

单自由度振动系统，指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。只要以它的平衡位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标x（线位移)或（角位移）就可以决定振动质点的瞬时位置。

根据牛顿定律：mx+cx+kx=F

1.单自由度系统无阻尼自由振动

mx+kx=0；x+kmx=0； 令wm2=k/m，求微分方程的解，得

x=c1eiwnt+c2e−iwnt= c1+c2 coswnt+i c1−c2 sinwnt=b1coswnt+b2sinwnt

将其合成一个简谐振动，并代入初始条件：t=0时，x=x0,x=x0

x=Asin(wnt+φ); A= x2+x02wn2 ; φ=tg−1x0wnx0

1.1固有频率

系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，因此当振动系统的结构确定后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关，因此成为固有圆频率和固有频率。

wn= km；fn=12π km

1.2固有频率计算方法

1）公式法。根据公式wn= km计算

2）静变形法。根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。

3）能量法。根据能量守恒定律，由于无阻尼，无能量损失，12mx2+12kx2=E，将x的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。

4）瑞利法。考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为wn= km+ρl3 ，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据Ts=12msx2，计算即可。

1.3扭转振动

根据扭转运动的牛顿定律 M=Iθ，M为施加到转动物体上的力矩，I转动物体对于转动轴的转动惯量，θ角加速度。

圆盘转动惯量为I，轴的转动刚度为k。系统受到干扰后做扭转自由振动，振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的与方向相反的弹性恢复力矩-K。

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；. 第二章 单自由度系统的自由振动

本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。

§2-1 无阻尼系统的自由振动

无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。设质量为m，单位是kg。弹簧刚度为K，单位是N／m，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K，当其等于重力W时，则处于静平衡位置，即

W=K

若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m向下运动到x，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程

改写为 0kxxm (1-1-1

令 mkp2 (1-1-2)

单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为

02xpx (1-1-3)

设方程的特解为 stex

将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为

ipsps2,1220

则(1-1-3)的通解为

ptDptCeCeCxiptiptsincos11 (1-1-4)

C、D为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时

00,xxxx （1-1-5） xmxkWFm 未挂质量位静平衡位置 k 一自由度弹簧—质量系统

kmgWxmW x xk.

20 习 题

2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值12.41iiAA，若质量块受激振力ttF3cos360)(N的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为

tmxnxpxn3cos36022

得到稳态解

)3cos(tBx

其中 mkBBB45.03604)1(022220

222122tgnpn

由 dnTiiAAe2.41

489.3π2797.0ln8.1lndddddTpTnTnT

又 22nppnd

有 579.3222ndnpnpp

45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222Bpnpnn

所以 x＝1.103 cos(3t－5127)

2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率1 =6rad/s时，系统发生共振；给 21 质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率2 =5.86rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k

由

mkpn，共振时mkpn1 所以 mk6 ①

又由 当 86.512mkpn ②

①与②联立解出 m＝20.69 kg，k＝744.84 N/m

2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

第二章 单自由度系统振动

§1-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。[举例如下：]

例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。

[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。

在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼

器来表示。阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。

汽车轮悬置系统等等。

[以上为工程实际中的振动系统]

单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。

在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。

应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。

（牛顿运动定律） （达伦培尔原理）

现取所有与坐标x方向一致的力、速度和加速度为正，则：

kxxCtPxmsin0 (牛顿运动定律)

（达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零）

（动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）