二自由度系统的振动

第三章 两自由度系统振动

§3-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]

第四章两自由度系统的振动介绍

第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。

两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。

两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。

另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。

分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。

共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。

此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。

总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。这对于工程设计、科学研究以及技术发展都具有重要意义。

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------------- 利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动

进行仿真与分析

一、实验思想

Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是

利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对

比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观

察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统

振动的理解。

二、二自由度系统振动分析

固有频率 取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二

自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频

率都是系统的固有频率。

主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作

主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个

系统具有确定的振动形态，称为主振型。

强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称

为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。

三、二自由度系统自由振动

1.建立二自由度系统振动模型

1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to

part 指令创建底座的侧壁。

2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑 -------------

------------- 块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。

3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成

后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下

拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻

尼。

添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。

弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm)

滑块质量分别为1.0 2.0

滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007

2.模型展示

3.运动仿真结果

设置x10=12

第2次作业

1．如图2-1所示，一小车（重P）自高h处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k，斜面倾角为，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。

hkαP答案：gkPT2，2sin2kPhkPA

图2-1

2．确定图2-2所示系统的固有频率。圆盘质量为m。

kkarOx答案：2234mrarkn

图2-2

3．确定图2-3系统的固有频率。

mrR答案：rRgn32

图2-3

第三章 两自由度系统振动

§3-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题

中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这