理论力学第一章质点力学

第一章 质点力学矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1π 可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。

求此直线与椭圆的焦点M 的速度。

已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。

解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平面运动，其速率保持为常数。

⎧x = r cosϕ + a cosψ
⎨ ⎩
y
=
a
sinψ
又由于在
∆
r AOB 中，有
sinψ
=
2a sin ϕ
（正弦定理）所以
2a sinψ 2 y
sin ϕ =
=
r
r
联立以上各式运用
sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1
由此可得
cosϕ = x − a cosψ = x − a 2 − y 2
1.8 解 以焦点 F 为坐标原点，运动如题 1.8.1 图所示]
-7-
y
M
•
θ
OF
x
题 1. 8. 1图
则 M 点坐标
对 x, y 两式分别求导
⎧x = r cosθ
⎨ ⎩
y
=
r
sinθ
⎪⎧ẋ = ṙ cosθ − rθ̇ sinθ
⎨ ⎪⎩
ẏ
=
ṙ
sinθ
+
rθ̇
cosθ
故
( ) ( ) v2
即 沿位矢方向加速度
( ) a = ̇ṙ − rθ̇2
垂直位矢方向加速度 对③求导
( ) a⊥ = rθ̇̇ + 2ṙθ̇
ṙ̇ = λṙ = λ2r
对④求导
θ̇̇ =
−
µθ r2
ṙ
+
µ r
θ̇
=
µθ
⎛ ⎜
⎝
µ r
+
λ
⎞ ⎟
⎠
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
a//
=
λ2r
−
µ 2θ 2 r

第一章 质点力学矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1π 可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。

求此直线与椭圆的焦点M 的速度。

已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。

解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平面运动，其速率保持为常数。

ɺ ɺ a y = ɺɺ = (ɺɺ − rθɺ 2 ) sin θ + (rθɺ + 2rθɺ) cosθ y r
ɺ ∴ ar = a x cosθ + a y sin θ = ɺɺ − rθ 2 r
ɺ ɺɺ aθ = −a x sin θ + a y cosθ = rθɺ + 2rθ =
（径向加速度） 径向加速度）
运动学方程式是质点运动学的核心
r = r (t )
⇔
x = x(t ) y = y (t ) z = z (t )
x = x(t ) 若已知 r ，即 y = y (t ) 则可通过求导数求出 z = z (t )
v
ɺ ax = vx v x , v y , v z 则可通过求导数求出 a ，即 ay = vy ɺ 若已知 v ，即 a = v z ɺz
ɺ2 + y2 + z2 ɺ ɺ 大小： 大小：v = v + v + v = x
2 x 2 y 2 z
方向余弦： 方向余弦：
cos α =
vy vx v ，cosγ = z ，cosβ = v v v
α，β，γ 分别为 v 与x、y、z轴正方向之间的夹角
（3）加速度 ）
t时刻: v = v(t )
t+△t时刻: v(t+△t)
速度增量： v = v(t+△t)-v(t) △ 平均加速度： a= △v △t 瞬时加速度： a =
△v dv i d 2 r ɺɺ lim △t = dt = v = dt 2 = r (t ) △ t →0
ˆ x ˆ yj z ˆ ˆ a = a xi + a y ˆ + a z k = ɺɺi + ɺɺˆ + ɺɺk j