特征问题基本性质

第二章 特征问题的有关特性广义特征问题二次特征问题[]{}{}x x A λ=——标准特征问题 []{}[]{}φλφM K =[][][](){}02=++x M D K λλ本章主要介绍：1、特征问题及特征解的性质2、Rayleigh商（求近似特征值）及其特性3、特征值与约束有关的特征①极大极小定理—用来估算高价特征值(无需知道前面特征向量)②分隔定理—说明不同约束系统特征值关系。

4、Stum定理—大型程序中实际应用检查漏根（在给定区间内）§2-1 矩阵特征问题及其基本性质 * 一、矩阵特征问题定义 设[][]{})(,)(,nnn n nn R Cx CRCB A ∈∈∈⨯⨯λ则[]{}{}x x A λ=——标准特征问题{}x []A 是 的对应于特征值λ的特征向量[]{}[]{}x B x A λ=——广义特征问题 （工程问题）第1节 矩阵特征问题及其基 本性质[]{}[]{}x M x K λ={}(){}⎩⎨⎧i i i i x x λλ,特征对：——特征值 ——特征向量特征多项式：（特征问题非零解条件）[][],n nA B C⨯∈若 标准： 广义： [][][][]⎪⎭⎪⎬⎫=-=-0det0det B A I A λλ是λ的复系数多项式（或实系数）根据代数基本定理，上述多项式在复数域上总有 n 个根存在。

一般而言，即使[A]是实的矩阵，其 n 个根可能是：复数或重根。

第1节矩阵特征问题及其基 本性质)(nn R⨯这 n 个根按模从小到大排列，即])([][321A A n λλλλλ的谱记此集合称为≤≤≤二、特征问题的基本性质 *1、一个特征向量只对应于一个特征值，但一个特征值却可以有多个特征向量，而且它们的线性组合也是λ的特征向量，即特征向量的个数是无限的，但是，线性无关的特征向量个数却是有限的。

一般而言，对应于特征值λ的线性无关的向量个数与λ的重数及矩阵[A]的性态在关：第1节 矩阵特征问题及其基 本性质（请看下面几种情况）矩阵特征问题及其基 本性质因为工程许多问题， [A] 具有良好性态。

③一般来说，虽然[A]有 n 个特征值，但却未必有 n 个线性无关的特征向量。

而当[A]具有良好的性质时，[A]具有 n 个线性无关的特征向量，此时称[A]具有完全特征向量系。

② 当λ 是k 重根时（k>1），属于λ 的线性无关的特征向量个数 r 却未必有k 个，即 r≤k ；共轭复数 注意：当[A]是一般实矩阵时，特征多项式是实系数 n 次多项式，而它的根也可能是实数、复数，如果是复根，将共轭成对出现。

且特征向量也可能为复共轭向量。

3、当矩阵[A]相似变换为[B]后，即[B]~[A]，[B]与[A]具有相同的特征多项式， 因此具有相同的特征值，但特征向量不相同！矩阵特征问题及其基 本性质（下面简单证明）证：① 设[S]为变换矩阵，且[][][][][]11--==S S I S S []0≠S 非奇异矩阵， 用[S]进行相似变换[][][][]S A S B 1-=[][]A B ~[][]()[][][][]()I S A S I B λλ-=--1det det [][][][][]()[][][]()[]{}[][][]()[][][]()I A S I A S S I A S S S S A S λλλλ-=⋅-⋅=-=-=----det det det det det det 1111[][]S S 1\\-第1节 矩阵特征问题及其基 本性质存在！1-S即 （行列式性质！）可见：[B]与[A]的行列式（特征多项式）相 同！ 所以具有相同的特征值！ ② 设{x }是[A]的对应于λ的特征向量则[]{}{}x x A λ=对上式两边左乘 []1-S ，即[][][][]{}[]{}x S x S S A S 111---=λ[]{}{}y y B λ=则 第1节矩阵特征问题及其基 本性质{}[]{}x S y 1-=即是[B]的对应λ的特征向量。

与[A]的 {}x 不同！ 证毕。

4、设[][](),,A CA nn λλ∈∈⨯{}x ——是[A]对应λ的特征向量。

则：i) 当[A]倍乘α后，特征向量{x }不变！ 特征值αλ（放大α倍）倍乘性质！第1节矩阵特征问题及其基 本性质ii) 当[A]移位：[A]-μ[I]后：μ—移位量！特征向量{x }不变！特征值：λ-μ移位性质！iii) 当[A]求逆后 非奇异！ 特征向量{x } 不变！特征值： λ1求逆性质！第1节矩阵特征问题及其基 本性质以上关于倍乘、移位、求逆性质，在第三章中构造某些算法中具有非常重要的作用。

下面简要证明：设[]{}{}[]{}{}[][](){}(){}⎩⎨⎧-=-=⇒=x x I A x x A x x A μλμαλαλ（很容易推出）[]1A -[]0A ≠[]A （ ）若[A]非奇异，即 [][]!1,0存在-≠A A []{}0=x A此式满足时[A]奇异，即[]0=A 则对任何非零向量 {}nCx ∈{}0≠x []{}{}00≠⇒≠x x A λ必有第1节 矩阵特征问题及其基 本性质所以[A]不可能有零特征值，即!1,0存在-⇒≠λλ[]{}{}{}[]{}x A x x x A 11--=⇒=λλ则 即[]{}{}x x A 11--=λ证毕。

（ ）那么存在一个酉矩阵[]nn CU ⨯∈[][][][][]1-==U U I U U HH 或可用酉相似变换将[A]化成上三角阵，即[][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯⨯==n HU A U B λλλ021 变换后矩阵[B]的特征值等于对角线元素！第1节 矩阵特征问题及其基 本性质5、设一般矩阵 [][]()A C A i nn λλ∈∈⨯,—[A]的谱由于酉相似变换不改变[A]的特征值（但特征向量改变！）所以由[B]可直接求出[A]的特征值：nλλ 1关键是：如何构造这个酉矩阵？6、关于Hermite 矩阵和实对称矩阵特征解性质 *即注意：实对称矩阵是结构动力分析中，最常用到的矩阵。

第1节 矩阵特征问题及其基 本性质即[B]的对角线元素！jiij a a =ij jia a =[][]TA A =[][]THA A A ⎡⎤==⎣⎦一般情况下，结构用有限元方法离散化后的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]都是实对称的，因此，研究实对称矩阵的特征问题非常重要。

而Hermite 矩阵的特征问题是用于无阻尼回转系统的固有振动分析问题。

下条性质针对： Hermite 矩阵（复数域）实对称矩阵（实数域） ①Hermite 矩阵和实对称矩阵的特征值都是实数； i λ——实数！②Hermite 矩阵和实对称矩阵对应于不同特征值的 特征向量相互正交；即{}{}()0,=j i x x 第1节 矩阵特征问题及其基 本性质nj i 2,1,=即③Hermite 矩阵[A]的特征向量系 {}{}n x x 1使得[]{}{}{}[]n x x x X 21=是一酉矩阵即 [][][][][]1-==X X I X X HH或{}{}{}n x x x ,,21构成 即nC上的规范正交基底。

性质①②③证明略。

若[][]n diag λλλ 21=Λ——[A]的谱矩阵第1节 矩阵特征问题及其基 本性质称为[A]的谱分解。

④ 实对称矩阵[A]的[X]——正交矩阵（实向量组成）—[A]谱分解结论：当[A]为实对称矩阵时，特征值是实数：λi —实数特征向量是一组规范化的实向量！{}i x —实向量，{}ni Rx ∈第1节 矩阵特征问题及其基 本性质则[][][][]{}{}∑==Λ=ni Hi i i Hx x X X A 1λ[][][][]{}{}∑==Λ=ni i i i x x X X A 1TTλ当[A]为Hermite 矩阵时：特征值：λi —实数特征向量：一组规范化的复向量！{}i x —复向量，{}ni Cx ∈特征向量矩阵：—酉矩阵。

矩阵特征问题及其基 本性质[]{}{}[]n x x X 1=[]{}[]{}[]{}[]{}0,0,0≥≥>>x A x A x A x A Ti i 半正定正定λλ矩阵特征问题及其基 本性质略证。

本节小结特征值问题的主要性质这些性质与矩阵性质密切相关！。