含参数的二元一次方程组
1．在等式ykxb中，当6x时，2y；当3x时，3y．求当3x时，y的值．
2．已知关于x、y的方程组37xyaxby和28xbyaxy的解相同，求a、b的值．
3．若关于x，y的二元一次方程组38xymxny与方程组14xymxny有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求mn的值．
4．已知关于x，y的方程组431(1)3xymxmy的解满足43xy，求m的值．
5．已知关于x，y的二元一次方程组3282026xymxym①②的解满足xy，求m的值．
6．已知关于x，y的二元一次方程组533221xynxyn的解适合方程6xy，求n的值．
7．若方程组432axbyxy与方程组212xyaxby有相同的解，求a，b的值．
8．关于x，y的方程组2231xymxym满足5xy，求m的值．
9．解方程组：33522435mnmnmn．
10．甲、乙两人同时解方程组5213mxyxny①②甲解题看错了①中的m，解得722xy，乙解题时看错②中的n，解得37xy，试求原方程组的解．
实际问题与二元一次方程组（1）
（顺风逆风问题·劳力调配问题）
和雅激情：学习贵在坚持
学习目标：经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。
自学指导：用3分钟自学
文雅自修一
列方程解应用题的步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
文雅自修二 探究：课本99页探究1
养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题：1） 题中有哪些已知量？哪些未知量？
2） 题中等量关系有哪些？ 3）如何解这个应用题？
本题的等量关系是（1）（ ）
（2）（ ）
优雅展评 我会用
1.有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
2、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
堂清雅行 一、顺风逆风问题：
1、A市至B市的航线长1200㎞,一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分，求飞机的平均速度与风速。
2、一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地，原路返回12小时才能到达，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度和两地之间的距离。 3、一条船顺流航行，每小时行20㎞；逆流航行，每小时行16㎞,求轮船在静水中的速度与水的流速。
二、劳力调配问题：
1、在甲处劳动的有29人，在乙处劳动的有17人，现要赶工期，总公司另调20人前来支援，使甲处的人数是乙处人数的2倍，应该分别调往甲、乙两处各多少人？
基础教育
二元一次方程组在实际问题中的应用
许 艳
（陕西省紫阳县毛坝中学 陕西・安康７２５３０９）
中图分类号：Ｇ６３３．６２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７２—７８９４（２０１ ３）２４—０１４４—０２
摘要本文以实际案例为依托，着重从解题思路和解题
过程中折射出运用二元一次方程组解决实际问题的五大步 骤。通过这种定型化思维的培养，使学生养成用数学建模思
想和方程思想来解决生活中的实际问题的思维过程，这也
是本文的价值和目的所在。
关键词二元一次方程组实际问题建模等量关系 Ｏｎ ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ Ｌｉｎｅａｒ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｔｗｏ
Ｕｎｋｎｏｗｎｓ ｔｏ Ｐｒａｃｔｉｃａｌ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｌｊ Ｘｕ Ｙａｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｃａｓｅｓ．ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｆｏｃｕｓｅｓ ｏｎ ｔｌｌｅ ｆｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｗｏ ｕｎｋｎｏｗｎｓ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ
ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｔｈｉｎｋｉｎｇ
ｃａｎ ｈｅｌｐ ｔｈｅｍ ｂｅｔｔｅｒ ｓｏｌｖｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ。ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ａｎｄ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｗｏ ｕｎｋｎｏｗｎｓ；ｐｒａｃｔｉｃａｌ
ｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｍｏｄｅｌｉｎｇ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｒｅｌａｔｉｏｎ
１必要性分析 、
运用二元一次方程组解应用题是七年级数学教学中的 重点内容，同时又是难点内容。对于二元一次方程组的应用
问题，关键在于对实际问题向数学问题的转化过程的把握。 所以，在教学过程中，教授分析实际问题的方法至关重要，
在我们学习二元一次方程组的过程中 经常会遇到很多含参数的二 元一次方程组 我们将这种类型的题目进行归类 整理 分别就四种问题 进行讨论 类型一 通过找未知数的关系式求参数 得 解方程组 { 得 { 将{ 变式 与 满足 代入 得 的二元一次方程组 { 例 已知关于 的解中 与 的 的二元一次方程组 { 已知关于 的解中的 值互为相反数 求 的值 解析 这是一个关于 的方程 我们所求的是作为参数的 在这 求 的值 的系数加起来相等 因此可以将原方程组的 个题目里面 满足三个等量关系 由 与 和 互为相反 的值代入最后一 解析 由于题目中的 数 这两个等量关系就可以确定 个方程中求出 的值 解答 根据题意列方程组 { 解得 { 和 的值 最后将 左右两边分别相加 直接将 用 表示 最后将 的表达式代入方 程 中 求出 解答 { 得 将{ 得 解得 将 代入 解得 中得 代入方程 中 类型三 直接找到与参数有关的关系式 时 甲 同 学 因 看 错 了 解 得 { 例 解方程组 { 乙同学因看错了 而解得{ 的值为 总结 本题的方法是通过找 的值 求出参数 的值 的关系式求出 的值 然后通过 求 的值 已 知 关 于 的 二 元 一 次 方 程 组 { 变式 与 解析 为了求出 和 需要找到与 有关 的 等 量 关 系 甲 同 学 看 错了 而 得 到 的 一 组 解 { { 有相同的解 求 的值 仍 然 满 足 方 程 同 理 解析 题中 满足四个关系式 通过其中两个关系式 和 { 解出 可求出 的值 的值 最后将 的值代入另外两个关系式中 求出 仍然满足方程 从而列出关于 的关系式 从而 参数 解答 根据题意 列方程组{ 将{ 分别代入 解得 { 解答 将{ 和 代入方程 得 解得 { 得 { 解得 的值分别为 将{ 类型二 通过消元求参数 例 已知关于 的二元一次方程组 { 解法一 解析 在这里我们并不能直接求出 和 代入方程 得 的解中的 与 满足 求 的值 解得 变式 解方程组{ 看错而解得的解为{ 解 将{ 代入方程组{ { 由 得 时 甲同学正确地解得 { 我们可以把 看做一个常 最后代 乙同学 数 通过消元法将 和 用 表示出来 得到 入 中 求出 解答 { 得 解得 得 解得 又由题意得 把 求 的值 中 得 将{ 代入方程 得 和 组成的方程组得 { 总结 本题的解题思路是通过消元法将 另一个方程中 求出参数 关键部分是消元 解法二 用 表示出来 然后代入 解由 的值分别为 类型四 关于方程组的解的问题 例 已知关于 的二元一次方程组{ 解析 在原方程组中通过消元我们可以得到一个只与 和 有关的 等量关系 再结合 列出一个关于 中 求出 的 二 元 一 次 方 程 组 最 后 有正整数解 求满 将解出的 解答 { 代到 或 足条件的整数 的值 探究乙醇与重铬酸钾酸性溶液的反应 潘乐乐 摘要:现行教材对乙醇与重铬酸钾酸性溶液反应实验中 酸 量已经使水接近沸腾 再增加浓硫酸的量增加配制过程危险系数 由实 性溶液浓度未做说明,本文旨在 探 究 出 该 溶 液 的 合 适 浓 度, 并 对 实 验 方 式提出增加乙醇蒸汽与之反应来适应新课标下增强学科与生活的联系。 验 与 所用 表 可知 反应都较迅速 但 的颜色变化对比更明显 因此实验 酸性溶液更适合课堂教学 关键词: 酸性溶液;浓度;酒驾:乙醇蒸汽 酸性溶液与 乙醇反应记录 现行普通高中课程 标 准 实 验 教 科 书 人 教 版 有 机 化 学 基 础 选 修 第 页实验 介绍了乙醇与酸性重铬酸钾溶液反应 这是新教 材增加的实验 同时 最开始用于 检 测 汽 车 酒 后 驾 驶 也 是 利 用 的 这 一 原 理 但是 在教材中 该实验介绍的比较笼统 重铬酸钾溶液的浓度未做 说明 配制该酸性溶液时所需加 入 硫 酸 的 量 也 不 知 道 如 果 按 照 常 规 配 制重铬酸钾溶液或高锰酸钾酸性溶液 一般只要在溶液中加入少量稀硫 酸或数滴浓硫酸 使溶液呈酸性 即 可 但 按 照 常 规 方 法 配 制 出 的 重 铬 酸 钾溶液 我们在试管中 取 重 铬 酸 钾 酸 性 溶 液 滴 入 滴 乙 醇 振荡后无任何明显现象发生 为寻求实验现象明显且反应迅速的合适浓度的重铬酸钾酸性溶液 笔者先查阅了相关 资 料 发 现 该 溶 液 的 配 制 对 硫 酸 的 浓 度 要 求 较 四、 实验拓展 该实验还可与生活中酒驾检测作联系 现行普通高中课程标准实验 教科书 化学必修 第 页 在讲述乙醇性质时就提到了酒后驾驶检测 仪 这部分内容没有演示实验 教师讲授觉得空洞 学生也很难理解 高 将硫酸设计了 种不同 浓 度 再 根 据 重 铬 酸 钾 溶 液 常 用 浓 度 范 围 将 重铬酸钾溶液浓度设计为 浓度的酸性重铬酸钾溶液 和 作对比 最终设计配制如下 种不同 一、 不同浓度的重铬酸钾酸性溶液的配制 表 种不同浓度的重铬酸钾酸性溶液 表 车辆驾驶人员血液酒精含量临界值 我们可以将实验形式变换一下 利 用 上 述 第 种 酸 性 溶 液 进行如下实验 在一支试管中取 连接导管 向其 中 加 入 化 将乙醇蒸汽用导管导入 酸性溶液 另取一具支试管 乙 醇 在 酒 精 灯 上 加 热 约 使 之 气 二、 实验操作及现象 按照 上 表 所 给 数 据 分 别 在 酸性溶液中 后能清晰观 察 到 溶 液由橙红色变成暗绿色的全过程 如此操作实验可直观的演示出早期酒 驾检测仪原理 参考文献: [ ] 南京药学院:药剂学 人民卫生出版社, [ ] 济南部 队 后 勤 部 卫 生 部: 药 局 技 术 操 作 手 册 山 东 科 学 技 术 出 版 社, [ ] 北京师范大学,华中师范大学,南京师范大学 无机化学[ ] 北京: 高等教育出版社, [ ] 齐俊林 刘占良 乙醇的定性检验与司机酒后开车检测仪[ ] 化学教 育, 号 烧 杯 中 配 制 出 种 不 同 浓 度 的 酸性溶液 取 支试管分别标号 再取上述烧杯中 种重铬酸 钾酸性溶液各 对应加入试管中 然后各加入 滴 乙醇 观察实 验现象及反应所需时间 并记录表 三、 实验原理与实验分析及结论 实验原理 羧基 其反应方程式为 绿色 具有氧化性 反应实质是羟基被重铬酸钾氧化成 橙色 实验分析及结论 由上述组实验 可知 硫酸浓度越大 反应越迅 速 但不是浓硫酸加入的 量 越 多 越 适 合 该 实 验 实 验 的 反 应 较 快 适 合学 生 观 察 反 应 过 程 中 颜 色 变 化 如 果 硫 酸 浓 度 再 加 大 则 出 现 个 问 题 一是因反应过快难于观 察 到 反 应 过 程 二 是 实 验 中 所 加 浓 硫 酸 的 ( 作者单位:江西省九江第一中学 ) 一般把方程化为 其中 为参数 的 形 式 然 后 讨 论 参 数 的形式 类似地 在讨论二元一次方程组的解的情况时 我们通过消元得 类似地 我们可以通过消元得到关于 的 含 参 数 的 一 元 一 次 到 和 解答 { 变形得 当 的形式 然后分别对其进行讨论 方程 然后根据具体情况讨论 解答 { 由 得 的取值 得 将 代入 分别为 得 可以为 对应的 即 时 无解 时 原方程组无解 小结 本题的关键还是在于通过消元得到 小结 本题的关键在于通过消元得到 的形式 和 的形式 的 方 程 组 { 变式 已知方程组{ 解答 { 得 变形得 方程组有无数组解 变式 当 取 何 值 时 关 于 有 正 整 有无数多组解 求 和 数解 解答 { 得 { 解得 { 将 代入 和 为 或 得 为正整数且都能被 整除 所以 和 的值分别为 和 数学是一门基础学科 也是学生感到很头疼的一门学科 有效的方 法就是好方法 有效快捷的解题技巧需要教师在长期的教育教学实践中 不断总结提炼 一种好的方法无疑会使数学教学变得事半功倍 小结 在本题中 不能直接看出 与 为正整数和 为正整数的情况进行讨论 之间的关系 因此必须分别就 的方程组{ 例 在什么情况下关于 无解 ( 作者单位:湖南广益实验中学 ) 解析 在讨论一元一次方程解的情况时 我们选择将方程化为 浓 蒸馏水 行为类别 对象 临界值 饮酒驾驶 车辆驾驶人员 醉酒驾驶 车辆驾驶人员 实验现象 反应所需时间 滴入乙醇后长时间未出现明显现象 至 后开始 颜色逐渐 由橙色变浅绿 变化过程非常缓慢 振荡静置 至 溶液变绿 滴入乙醇 后开始上层逐渐变浅绿 变化过程比较缓慢 振荡 静置 至 后 溶液由橙色变成绿色 滴入乙醇 后开始上层变浅绿 很缓慢的向下延伸 振荡静置 至 后溶液由橙色变为绿色 滴入乙醇 后 溶液上层迅速由橙色变浅绿 并快速向下延伸 振荡 静置 至 后溶液即可由橙色变为绿色 滴入乙醇 后 溶液上层迅速由橙红色变绿 并快速向下延伸 振荡 静置 至 后 溶液由橙红色变为暗绿色
