含参数的二元一次方程组

专题：含参的二元一次方程组

分析：用两个不含参数的二元一次方程重组，求解得参数。

一、同解问题

例 1：已知关于 x,y 二元一次方程组 x y 1 4x

ay 的解是二元一次方程

3 x y 3的解，求a的值。

变式 1：已知方程组 2x 3y

3x 5y 的解适合 x

2 8 ，求 m 的值 .

例 2 ：已知二元一次方程组 4x y 5 mx ny 3

的解和 的解相同，求

3x 2y 1 mx ny 1 m,n 的值。

变式 2：已知二元一次方程组 4x y 5

的解和 mx ny 3 3x 2y

mx ny 1

1 的解相同， m,n 的值。

、解的性质

例 3 ：已知关于 x,y 二元一次方程组 4x 3y 7 的解 x,y 的值互为相反数，求 k 的值。

kx (k 1)y 3 x

看错了方程②中的b，得到方程组的解为 x ：.试计算a2017 （和严的值.

变式4:若方程组 3x y k 1的解x,y满足o x y 1，求k的取值范围。

x 3y 3

分析：观察方程组和所求式子的结构共性，把二元一次方程组中的参数作整体化处理

三、错解问题

例4:甲乙两人同时解关于 x, y的方程组 ax y 3,甲看错了 b，求得的解为 2x by 1

的解为x 1，你能求出原题中的 a,b的值吗？

y 3

分析：将解代入没看错的方程

变式5：甲、乙两人共同解方程组 ax

4x 5y

by 15①，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 3；乙 变式3 :已知方程组 y 2k

3y 1 5k 的解x与y的和是负数，求 k的取值范围。

1

，乙看错了

1 a,求得

例5:已知 3X 7y z 3，求 x y

4x 10y z 4 z的值。

变式6:已知 3x 4y z

2x y 8z 0

0，其中xyz 2 2 2

0，求———y —的值。

xy yz 2zx

专题：解三元一次方程

含参数的二元一次方程组的解问题汇总

类型一把参数当做一个常数解二元一次方程组，再将解代入第三方程1.二元一次方程组的解是方程x－y＝1的解，则k＝______．

2若二元一次方程组的解x,y的和为0(或者互为相

反数）,则a的值为________

3.若方程组的解也是二元一次方程5x-my=-11的一个

解,则m的值应等于________4.如果方程组的解中x,y的值相同,则m的值是______

5.已知关于x，y的方程组的解也是方程3x＋2y＝17的解，求m的值．

6.已知m,n互为相反数,关于x,y的方程组的解也互为相反数,求m,n的值.

7.若方程组的解满足x=2y，求m的值

类型二有相同解的两个二元一次方程组1.已知，关于x，y的二元一次方程组

与有相同的解，求a、b的值.2.已知方程组和方程组的解相同，求代数式3a＋7b

的值．

类型三含参数的二元一次方程组定义题1.方程是关于x,y的二元一次方程,则m=_______,n=______

2.已知方程组是关于x,y的二元一次方程组,求2m+4n的值.

3.已知关于x,y的方程是二元一次方程.(1)求m,n的值;(2)若y=-2,求x的值.

类型四错解二元一次方程组1.解方程组，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；

乙看错了方程组中的b，得解为．（1）甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．

2.由于粗心，在解方程组：时，小明把系数■抄错了，得到的解是

小亮把常数△抄错了，得到的解是，请找出错误，并写出■和△的原来数字，

并求出正确的解．3.小明和小玲比赛解方程，小玲很细心地算得此方程组的

解为，小明抄错了c解得，求a、b、c的值．

类型五二元一次方程组中含有特殊解特别指出：①要注意方程解是否为整数②还要注意参数是否为整数1.若关于x、y的方程组（a≠4）的解都是正整数,求整数a的值

2.已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，求m的值

二元一次方程组含参问题

类型一：方程组的同解问题

【例1】已知关于x，y的方程组{4𝑥−𝑦=53𝑥+𝑦=9和{𝑎𝑥+𝑏𝑦=−13𝑥+4𝑏𝑦=18有相同的解．

(1)求出它们的相同的解；

(2)求(2a＋3b)2019的值．

【练习】 若关于x，y的方程组{3𝑥+4𝑦=2𝑎𝑥+𝑏2𝑦=5与{𝑎3𝑥+𝑏𝑦=42𝑥−𝑦=5有相同的解，求a，b的值．

类型二：方程组的错解问题

【例2】在解方程组{𝑎𝑥+4𝑦=213𝑥−𝑏𝑦=6时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的a，而得到解为{𝑥=4𝑦=3.乙同学看错了方程组中的b，而得到解为{𝑥=1𝑦=4.

(1)求正确的a，b的值；

(2)求原方程组的解．

【练习】甲、乙两人同时解关于x，y的方程组{𝑎𝑥+𝑏𝑦=8𝑐𝑥−3𝑦=−2，甲正确解得{𝑥=1𝑦=2，乙因为抄错c的值，解得{𝑥=2𝑦=−6 ，求a，b，c的值．

类型三：方程组的解

【例3】若方程组{2𝑥+𝑦=1−3𝑘 ①𝑥+2𝑦=2 ②的解满足x+y=0,则k的值为（ ）

A.-1 B.1 C.0 D.不能确定

【变式1】若方程组{𝑥+2𝑦=𝑘−1 ①2𝑥+𝑦=5𝑘+4②的解满足x+y=5,则k的值为（ ）

A.-2 B.0 C.2 D.不能确定

【变式2】若方程组{2𝑥+𝑦=1−3𝑘 ①𝑥+2𝑦=2 ②的解满足x>0,y>0,求k的范围。

【变式3】若方程组{2𝑥+𝑦=1−3𝑘 ①𝑥+2𝑦=2 ②的解满足x+y=k,求k的范围。

【例4】k、b为何值时，关于x、y的方程组

在我们学习二元一次方程组的过程中 经常会遇到很多含参数的二 元一次方程组 我们将这种类型的题目进行归类 整理 分别就四种问题 进行讨论 类型一 通过找未知数的关系式求参数 得 解方程组 { 得 { 将{ 变式 与 满足 代入 得 的二元一次方程组 { 例 已知关于 的解中 与 的 的二元一次方程组 { 已知关于 的解中的 值互为相反数 求 的值 解析 这是一个关于 的方程 我们所求的是作为参数的 在这 求 的值 的系数加起来相等 因此可以将原方程组的 个题目里面 满足三个等量关系 由 与 和 互为相反 的值代入最后一 解析 由于题目中的 数 这两个等量关系就可以确定 个方程中求出 的值 解答 根据题意列方程组 { 解得 { 和 的值 最后将 左右两边分别相加 直接将 用 表示 最后将 的表达式代入方 程 中 求出 解答 { 得 将{ 得 解得 将 代入 解得 中得 代入方程 中 类型三 直接找到与参数有关的关系式 时 甲 同 学 因 看 错 了 解 得 { 例 解方程组 { 乙同学因看错了 而解得{ 的值为 总结 本题的方法是通过找 的值 求出参数 的值 的关系式求出 的值 然后通过 求 的值 已 知 关 于 的 二 元 一 次 方 程 组 { 变式 与 解析 为了求出 和 需要找到与 有关 的 等 量 关 系 甲 同 学 看 错了 而 得 到 的 一 组 解 { { 有相同的解 求 的值 仍 然 满 足 方 程 同 理 解析 题中 满足四个关系式 通过其中两个关系式 和 { 解出 可求出 的值 的值 最后将 的值代入另外两个关系式中 求出 仍然满足方程 从而列出关于 的关系式 从而 参数 解答 根据题意 列方程组{ 将{ 分别代入 解得 { 解答 将{ 和 代入方程 得 解得 { 得 { 解得 的值分别为 将{ 类型二 通过消元求参数 例 已知关于 的二元一次方程组 { 解法一 解析 在这里我们并不能直接求出 和 代入方程 得 的解中的 与 满足 求 的值 解得 变式 解方程组{ 看错而解得的解为{ 解 将{ 代入方程组{ { 由 得 时 甲同学正确地解得 { 我们可以把 看做一个常 最后代 乙同学 数 通过消元法将 和 用 表示出来 得到 入 中 求出 解答 { 得 解得 得 解得 又由题意得 把 求 的值 中 得 将{ 代入方程 得 和 组成的方程组得 { 总结 本题的解题思路是通过消元法将 另一个方程中 求出参数 关键部分是消元 解法二 用 表示出来 然后代入 解由 的值分别为 类型四 关于方程组的解的问题 例 已知关于 的二元一次方程组{ 解析 在原方程组中通过消元我们可以得到一个只与 和 有关的 等量关系 再结合 列出一个关于 中 求出 的 二 元 一 次 方 程 组 最 后 有正整数解 求满 将解出的 解答 { 代到 或 足条件的整数 的值 探究乙醇与重铬酸钾酸性溶液的反应 潘乐乐 摘要:现行教材对乙醇与重铬酸钾酸性溶液反应实验中 酸 量已经使水接近沸腾 再增加浓硫酸的量增加配制过程危险系数 由实 性溶液浓度未做说明,本文旨在 探 究 出 该 溶 液 的 合 适 浓 度, 并 对 实 验 方 式提出增加乙醇蒸汽与之反应来适应新课标下增强学科与生活的联系。 验 与 所用 表 可知 反应都较迅速 但 的颜色变化对比更明显 因此实验 酸性溶液更适合课堂教学 关键词: 酸性溶液;浓度;酒驾:乙醇蒸汽 酸性溶液与 乙醇反应记录 现行普通高中课程 标 准 实 验 教 科 书 人 教 版 有 机 化 学 基 础 选 修 第 页实验 介绍了乙醇与酸性重铬酸钾溶液反应 这是新教 材增加的实验 同时 最开始用于 检 测 汽 车 酒 后 驾 驶 也 是 利 用 的 这 一 原 理 但是 在教材中 该实验介绍的比较笼统 重铬酸钾溶液的浓度未做 说明 配制该酸性溶液时所需加 入 硫 酸 的 量 也 不 知 道 如 果 按 照 常 规 配 制重铬酸钾溶液或高锰酸钾酸性溶液 一般只要在溶液中加入少量稀硫 酸或数滴浓硫酸 使溶液呈酸性 即 可 但 按 照 常 规 方 法 配 制 出 的 重 铬 酸 钾溶液 我们在试管中 取 重 铬 酸 钾 酸 性 溶 液 滴 入 滴 乙 醇 振荡后无任何明显现象发生 为寻求实验现象明显且反应迅速的合适浓度的重铬酸钾酸性溶液 笔者先查阅了相关 资 料 发 现 该 溶 液 的 配 制 对 硫 酸 的 浓 度 要 求 较 四、 实验拓展 该实验还可与生活中酒驾检测作联系 现行普通高中课程标准实验 教科书 化学必修 第 页 在讲述乙醇性质时就提到了酒后驾驶检测 仪 这部分内容没有演示实验 教师讲授觉得空洞 学生也很难理解 高 将硫酸设计了 种不同 浓 度 再 根 据 重 铬 酸 钾 溶 液 常 用 浓 度 范 围 将 重铬酸钾溶液浓度设计为 浓度的酸性重铬酸钾溶液 和 作对比 最终设计配制如下 种不同 一、 不同浓度的重铬酸钾酸性溶液的配制 表 种不同浓度的重铬酸钾酸性溶液 表 车辆驾驶人员血液酒精含量临界值 我们可以将实验形式变换一下 利 用 上 述 第 种 酸 性 溶 液 进行如下实验 在一支试管中取 连接导管 向其 中 加 入 化 将乙醇蒸汽用导管导入 酸性溶液 另取一具支试管 乙 醇 在 酒 精 灯 上 加 热 约 使 之 气 二、 实验操作及现象 按照 上 表 所 给 数 据 分 别 在 酸性溶液中 后能清晰观 察 到 溶 液由橙红色变成暗绿色的全过程 如此操作实验可直观的演示出早期酒 驾检测仪原理 参考文献: [ ] 南京药学院:药剂学 人民卫生出版社, [ ] 济南部 队 后 勤 部 卫 生 部: 药 局 技 术 操 作 手 册 山 东 科 学 技 术 出 版 社, [ ] 北京师范大学,华中师范大学,南京师范大学 无机化学[ ] 北京: 高等教育出版社, [ ] 齐俊林 刘占良 乙醇的定性检验与司机酒后开车检测仪[ ] 化学教 育, 号 烧 杯 中 配 制 出 种 不 同 浓 度 的 酸性溶液 取 支试管分别标号 再取上述烧杯中 种重铬酸 钾酸性溶液各 对应加入试管中 然后各加入 滴 乙醇 观察实 验现象及反应所需时间 并记录表 三、 实验原理与实验分析及结论 实验原理 羧基 其反应方程式为 绿色 具有氧化性 反应实质是羟基被重铬酸钾氧化成 橙色 实验分析及结论 由上述组实验 可知 硫酸浓度越大 反应越迅 速 但不是浓硫酸加入的 量 越 多 越 适 合 该 实 验 实 验 的 反 应 较 快 适 合学 生 观 察 反 应 过 程 中 颜 色 变 化 如 果 硫 酸 浓 度 再 加 大 则 出 现 个 问 题 一是因反应过快难于观 察 到 反 应 过 程 二 是 实 验 中 所 加 浓 硫 酸 的 ( 作者单位:江西省九江第一中学 ) 一般把方程化为 其中 为参数 的 形 式 然 后 讨 论 参 数 的形式 类似地 在讨论二元一次方程组的解的情况时 我们通过消元得 类似地 我们可以通过消元得到关于 的 含 参 数 的 一 元 一 次 到 和 解答 { 变形得 当 的形式 然后分别对其进行讨论 方程 然后根据具体情况讨论 解答 { 由 得 的取值 得 将 代入 分别为 得 可以为 对应的 即 时 无解 时 原方程组无解 小结 本题的关键还是在于通过消元得到 小结 本题的关键在于通过消元得到 的形式 和 的形式 的 方 程 组 { 变式 已知方程组{ 解答 { 得 变形得 方程组有无数组解 变式 当 取 何 值 时 关 于 有 正 整 有无数多组解 求 和 数解 解答 { 得 { 解得 { 将 代入 和 为 或 得 为正整数且都能被 整除 所以 和 的值分别为 和 数学是一门基础学科 也是学生感到很头疼的一门学科 有效的方 法就是好方法 有效快捷的解题技巧需要教师在长期的教育教学实践中 不断总结提炼 一种好的方法无疑会使数学教学变得事半功倍 小结 在本题中 不能直接看出 与 为正整数和 为正整数的情况进行讨论 之间的关系 因此必须分别就 的方程组{ 例 在什么情况下关于 无解 ( 作者单位:湖南广益实验中学 ) 解析 在讨论一元一次方程解的情况时 我们选择将方程化为 浓 蒸馏水 行为类别 对象 临界值 饮酒驾驶 车辆驾驶人员 醉酒驾驶 车辆驾驶人员 实验现象 反应所需时间 滴入乙醇后长时间未出现明显现象 至 后开始 颜色逐渐 由橙色变浅绿 变化过程非常缓慢 振荡静置 至 溶液变绿 滴入乙醇 后开始上层逐渐变浅绿 变化过程比较缓慢 振荡 静置 至 后 溶液由橙色变成绿色 滴入乙醇 后开始上层变浅绿 很缓慢的向下延伸 振荡静置 至 后溶液由橙色变为绿色 滴入乙醇 后 溶液上层迅速由橙色变浅绿 并快速向下延伸 振荡 静置 至 后溶液即可由橙色变为绿色 滴入乙醇 后 溶液上层迅速由橙红色变绿 并快速向下延伸 振荡 静置 至 后 溶液由橙红色变为暗绿色