二元一次方程(组)含参问题

含参二元一次方程组的解法

二元一次方程组是高中数学常见的题型，解法相对简单且应用广

泛。本文将详细介绍含参二元一次方程组的解法，并给出解题思路和

具体步骤。

一、解题思路

解决含参二元一次方程组的关键是确定两个方程中的未知数之间

的关系，然后通过消元或代入法得出具体解。通常，我们可以通过以

下步骤来解决这类问题：

1. 观察两个方程中的参数，确定它们的关系。参数可以是常数、

变量或未知数。通过分析参数之间的关系，我们可以判断方程组的解

的类型。

2. 根据两个方程的关系，选择合适的解法。一般常用的解法有消

元法和代入法。消元法通过相加或相减两个方程来消除一个未知数，

从而得到另一个未知数的值；代入法则通过其中一个方程的解表达式，

代入到另一个方程中求解。

3. 解方程得出未知数的值。将已经得到的一个未知数的值代入到

方程中，求解另一个未知数的值。

4. 核对答案。将求得的未知数的值代入到原方程组中，检查是否

满足方程组。

二、解题步骤

下面以一个例题来说明含参二元一次方程组的解题步骤：

例：已知含参方程组

{ x + 2y = a

{ 3x - y = 7

解：观察方程组中的参数可知，参数a可以是任意实数，且未知

数x和y之间无特殊关系。

首先，我们选择消元法解决此方程组。

1. 方程组(1)乘以3得到3x + 6y = 3a

方程组(2)乘以2得到6x - 2y = 14 2. 将两个方程相加得到9x = 3a + 14

即 x = (3a + 14) / 9

3. 将x的值代入方程组(2)中，得到3(3a + 14) / 9 - y = 7

化简得到 y = (9 - 3a) / 9

4. 核对答案。将求得的x和y的值代入原方程组中，检查是否满

足方程组。

含参二元一次方程组的解法主要分为观察参数关系、选择解法、

解方程和核对答案四个步骤。通过这些步骤，我们可以解决各种形式

的含参二元一次方程组问题。

含参的二元一次方程组

1．若关于的方程组的解是，则为（ ）

A．1 B．3 C．5 D．2

2．若关于x，y的二元一次方程组kyxkyx95的解也是二元一次方程632yx 的解，则k的值为

（A）43 （B）43 （C）34 （D）34

3．若一次函数y=3x-5与y=2x+7的交点P的坐标为(15,38),则方程组 3527xyxy的解为.

4．已知(3x－2y+1)2与|4x－3y－3|互为相反数，则x=__________,y=__________.

5．已知2316xmxyyxny是方程组的解，则m=_______，n=______．

6．已知231xy是二元一次方程组11axbybxay的解,则abab的值是.

7．已知y=kx+b,当x=1时，y=－1，当x=3时，y=－5,则k=__________，b=__________。

8．若方程组54aybxbyax的解是12yx，则a+b=__________。

9．解关于x,y的方程组myxmyx932得.________,yx当m满足方程5x+8y=38时，m=________.

10．小明同学在解方程组2ykxbyx的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12xy，又已知直线ykxb过点（3，1），则b的正确值应该是．

11．已知方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为31xy;乙看错了方程②中的b得到方程组的解为54xy,若按正确的ab、计算,求原方程组的解.

xy，2xymxmyn21xy||mn a515

含参的二元一次方程组训练题

1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。

2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。

3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3-a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2.

4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，-a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为x+y=2-k/3，所以k=6-2m。

5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。

6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b-a)y=0，即x-y=0，所以a=b。代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2. 7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。由于ad-bc≠0，所以解唯一，所以k和m都是正整数。若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。

8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10-a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10.

专题：方程组和不等式的含参问题

【考点1：二元一次方程组的含参问题】

【例题精讲】二元一次方程组的定解问题

方法：当含有字母参数的方程组的解已经给出时，可把解直接带入原方程组，构造出关于字母的方程，进而求得其值。

例题1 （17-18天河）若12yx是方程组51aybxbyax的解，则ba3=_______.

答案：6

【举一反三】

1．（17-18白云）03xy和15xy都是方程ykxb的解，则（ ）

A．23kb B．23kb C．23kb D．23kb

答案：A

2．（19-20番禺）已知12xy是二元一次方程24xay的一个解，则a的值为（ ）

A．2 B．−2 C．1 D．−1

答案：C

3．（17-18番禺）在等式2yaxbxc中，当x=−1时，y=0；当x=2时，y=3，则a+b的值为________．

答案：1

4．（18-19荔湾）已知关于x，y的二元一次方程组231axbyaxby的解为11xy，则2ab的值是( )

A．2 B．2 C．3 D．3

答案：B 【例题精讲】二元一次方程组的同解问题

方法：当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含字母参数的二元一次方程组组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组。

例题1．（17-18越秀）若关于x、y的方程组7)12(843ymmxyx的解也是二元一次方程1132yx的解，则m的值为 .

【举一反三】已知关于x,y的方程组x52522yaxby与2x-y=1ax-by-8=0有相同的解，则a= ,b= .

【例题精讲】二元一次方程组的解满足特定关系式问题