小波变换课件

第3章 紧支撑小波基的构造

3.1紧支撑正交小波的构造

3.1.1构造紧支撑正交小波的条件

 用多分辨分析构造小波的基本思想是：

由尺度函数正交尺度函数滤波器h滤波器g小波。

 通常做法：从滤波器h出发正交尺度函数正交小波函数。

 考虑有限冲激响应滤波器FIR序列h＝{0h，1h，...，Nh}，它在满足什么条件才能使

两尺度方程0()2(2)Nkthtk存在解2()()tLR，并且它是2()LR中的正交尺度函数。由于

ˆ()1(/2)2jjh （3－2）

式(3-2)由频域形式两尺度方程1ˆˆˆ()(/2)(/2)2h递推而得,

1ˆˆˆ()(/2)(/2)2h1ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)2hh

1ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)2hh

„

1ˆˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)(/2)2jjhhh

1ˆ1(/2)ˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)22jjjjhhhh

因此，问题可进一步阐述为，离散滤波器系数0h、1h、„,Nh在满足什么条件下，无穷积1(/2)2jjh收敛于2()LR中的某个正交尺度函数()t的傅里叶变换ˆ()。

从正交多分辨分析可知，若为正交尺度函数，h是对应的两尺度函数的滤波器，则h满足以下条件： 1）0,2nkknkhh （3－3）

2）2kkh （3－4）

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基于小波变换的人脸识别

近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。

具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。

4.1 小波变换的研究背景

法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f的傅立叶变换定义如下：

dtetfFtj (4-1)

傅立叶变换的逆变换为：

deFtftj21 (4-2)

从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。

尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进2

行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。

傅里叶变换的特点：

对于数据信号的去噪,傅立叶变换是将信号完全的放在频率域中分析,但无法给出信号在每一个时间点的变化情况,无论信号在时间轴上任何一点产生突变,都将会影响到整个频域的信号。因此,傅立叶变换不能有效的区分出信号中出现的尖峰是由突变部分还是不平稳白噪声引起的。

小波变换的特点

小波变换是以某些特定的函数为基,将数据信号展开成级数系列,它是空间(时间)和频率的局部变换,因此,小波变换可同时在时域和频域中对数据信号进行多尺度联合分析,从而能有效地从信号中提取信息。对于数据信号的去噪,由于小波分析可以同时在时域和频域中对信号进行联合分析,并且它具有多尺度细化分析的功能。因此,我们可以在不同的分解层上和不同的小波基函数下对信号的突变部分和噪声进行有效的区分,从而实现信号的消噪。

小波变换理论及应用

ABSTRACT：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。

第一章 小波变换理论

这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。

1.1. 从傅里叶变换到小波变换

一、 傅里叶变换

在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。图1.1给出了傅里叶分析的示意图。

图1.1 傅里叶变换示意图

定义x(t)的傅里叶变换X(ω)：

dtetxXtj)()(……………………………………… …(1)

X(ω)的傅里叶反变换x(t)：

deXtxtj)(21)(………………..……………………..……………….(2)

对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。因为它能给出信号中包含的各种频率成分。但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。 傅里叶变换 二、 短时傅里叶变换

为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short

Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed