陕西2023中考数学最后一道压轴题的典型例题讲解

圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】【考点三利用垂径定理求值】【考点四利用垂径定理求平行弦问题】【考点五垂径定理的推论】【考点六垂径定理的实际应用】【过关检测】15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是()A.30°B.35°C.40°D.55°【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为()A.20°B.80°C.50°D.100°2(2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习)下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，已知⊙O 的半径OA ，OB ，C 在AB �上，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD =CE ，求证：AC=BC．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)已知：如图，在⊙O 中，∠ABD =∠CDB ．求证：AB =CD ．2(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，C 是弧AB 中点．求证：∠A =∠B ．【考点三利用垂径定理求值】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若AB =10，CD =6，则弦AD 的长为．【变式训练】1(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O 到AB的距离为cm．2(2023·浙江·九年级假期作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸．则直径AB的长为寸．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】1(2023秋·天津和平·九年级校考期末)⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为()A.1B.7C.1或7D.3或4【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．2(2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⎳CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【考点五垂径定理的推论】1(2023·新疆喀什·统考二模)某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高CD为4米，则⊙O的半径为米．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A ，B 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB =16厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．2(2023春·江苏无锡·九年级校联考期末)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD 为⊙O 的半径，弦AB ⊥OD ，垂足为C ，CD =1寸，AB =1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．【考点六垂径定理的实际应用】1(2023春·安徽亳州·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，CE =DE ，则下列说法错误的是()A.CB =BDB.OE =BEC.CA =DAD.AB ⊥CD【变式训练】1(2023春·九年级单元测试)下列说法正确的是()①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A.②③B.①③C.②④D.①④2(2023·四川攀枝花·校联考二模)下列说法中正确的说法有( )个①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A.1B.2C.3D.4【过关检测】一、单选题1(2023·上海普陀·统考二模)下列关于圆的说法中，正确的是()A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴2(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为()A.90°B.270°C.90°或270°D.45°或135°3(2023·全国·九年级专题练习)如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE 长为6，则⊙O半径是()A.5B.6C.8D.104(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)如图，CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，连接AC，BC，AD，BD，则下列结论不一定成立的是()A.AE=BEB.CE=OEC.AC=BCD.AD=BD5(2023·浙江衢州·统考二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6(2023春·九年级单元测试)AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD =6cm ，OE =4cm ，则AB =．7(2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠AOE =78°，则∠COB 的度数是．-8(2023春·九年级单元测试)半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP =4，则过点P 的最短的弦长是，最长的弦长是．9(2023·河南南阳·校联考二模)已知半径为5的圆O 中有一条长度为8的弦AB ，分别以A ，B 为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M ，N ，连接MN ，点C 为直线MN 与圆O 的交点，点D 为直线MN 与弦AB 的交点，则CD 的长度为．10(2023·浙江·九年级专题练习)图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O 是AB所在圆的圆心，OA =OB ，点A ，点B 离地高度均为15cm ，水平距离AB =90cm ．则OA =cm ．当半径OA 转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B 离地高度应小于cm ．三、解答题11(2023秋·河北邢台·九年级校联考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD，∠COD =50°，求∠AOD 的度数．12(2023·江苏·九年级假期作业)如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．(1)求证：AC=BD．(2)若CD=8，EF=2，求⊙O的半径．13(2023春·全国·九年级专题练习)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE=2，CD=8．(1)求⊙O的半径长；(2)连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．14(2023·河北衡水·校考模拟预测)图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，(即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线)，通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等(AE=AB)，求该手机的宽度．15(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习)如图1，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 外，连接AC 、BC 分别交⊙O 于D 、E ，AC =BC(1)求证：CD =CE ．(2)如图2，过圆心O 作PQ ∥AB ，交⊙O 于P 、Q 两点，交AC 、BC 于M 、N 两点，求证：PM =QN ．(3)如图3，在(2)的条件下，连接EO 、AO ，∠EON +∠CAO =120°，若CD =112，NQ =32，求弦BE 的长．圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】【考点三利用垂径定理求值】【考点四利用垂径定理求平行弦问题】【考点五垂径定理的推论】【考点六垂径定理的实际应用】【过关检测】15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是()A.30°B.35°C.40°D.55°【答案】B【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠AOC=35°．∠OCB=12【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°∴∠AOC=∠AOD=70°，∵OB=OC，∠AOC=35°，∴∠OBC=∠OCB=12故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为()A.20°B.80°C.50°D.100°【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC =40°，∴∠BOC =2∠BAC =2×40°=80°，故选：B ．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2(2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习)下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，已知⊙O 的半径OA ，OB ，C 在AB �上，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD =CE ，求证：AC=BC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得∠AOC =∠BOC ，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵CD =CE ，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠AOC =∠BOC ，∴AC=BC．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明∠AOC =∠BOC 是解题关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)已知：如图，在⊙O 中，∠ABD =∠CDB ．求证：AB =CD ．【答案】见解析【分析】根据∠ABD =∠CDB ，可知AD =BC ，则有AD +AC =BC +AC ，由此可得AB =CD，进而可证AB =CD ．【详解】证明：∵∠ABD =∠CDB ，∴AD=BC，∴AD +AC=BC +AC，∴AB=CD，∴AB =CD ．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，C 是弧AB 中点．求证：∠A =∠B ．【答案】见解析【分析】连接OC ，通过证明△AOC ≌△BOC (SAS )即可得结论．【详解】证明：如图，连接OC ，∵C 是AB的中点，∴AC=BC ，∴∠AOC =∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA =OB∠AOC =∠BOC OC =OC，∴△AOC ≌△BOC (SAS )，∴∠A =∠B ．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【考点三利用垂径定理求值】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若AB =10，CD =6，则弦AD 的长为．【答案】310【分析】由题意易得DE =12CD =3,OD =5，根据勾股定理可求OE 的长，然后问题可求解．【详解】解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，AB =10，∴OD =OB =12AB =5，∵CD ⊥AB ，CD =6，∴DE =12CD =3,∠DEO =90°，∴OE=OD2-DE2=4，∴AE=OA+OE=5+4=9，∴AD=DE2+AE2=92+32=310,故答案为310．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O 到AB的距离为cm．【答案】12【分析】过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得到BH=12AB=5cm，在Rt△BOH中，利用勾股定理即可得到圆心O到AB的距离．【详解】解：如图，⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，过点O作OH⊥AB于点H，则BH=12AB=5cm，∠BHO=90°，∴OH=OB2-BH2=132-52=12cm，即圆心O到AB的距离为12cm，故答案为：12【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．2(2023·浙江·九年级假期作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸．则直径AB的长为寸．【答案】26【分析】连接OC构成直角三角形，先根据垂径定理，由CD⊥AB得到点E为CD的中点，由CD=10可求出CE的长，再设出圆的半径OC为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得2x的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，且CD=10寸，∴CE=DE=5寸，设圆O的半径OC的长为x，则OC=OA=x，∵AE=1，∴OE=x-1，在Rt△COE中，根据勾股定理得：x2-(x-1)2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴AB=26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】1(2023秋·天津和平·九年级校考期末)⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为()A.1B.7C.1或7D.3或4【答案】C【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD 之间的距离=OE-OF．【详解】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，OE=OA2-AE2=52-32=4；在Rt△OCF中，OC=5，OF=OC2-CF2=52-42=3；当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE-OF=1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102-82=6，OF=102-62=8，∴EF=OF-OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO=102-82=6，OF=102-62=8，EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2(2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⎳CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12-5=7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点五垂径定理的推论】1(2023·新疆喀什·统考二模)某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高CD为4米，则⊙O的半径为米．【答案】6.5【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OC=R-4，由题意得，OD⊥AB，AB=6，∴AC=BC=12在Rt△AOC中，由勾股定理得R2=62+R-42，解得R=6.5，则⊙O的半径为6.5米．故答案为：6.5．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得AD=BD=8厘米．在Rt△OBD中，利用勾股定理求得OD的长，据此求解即可．【详解】解：连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，则AD=BD=8厘米．由题意得OB=OC=10厘米，在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=6厘米，∴CD=OD+OC=16厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2(2023春·江苏无锡·九年级校联考期末)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为C，CD=1寸，AB=1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．【答案】26【分析】连接AO，依题意，得出AC=5，设半径为r，则AO=r，在Rt△AOC中，AO2=AC2+CO2，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接AO，∵CD=1，AB=10，AB⊥OD，OD为⊙O的半径，∴AC=5，设半径为r ，则AO =r ，在Rt △AOC 中，AO 2=AC 2+CO 2，∴r 2=52+r -1 2，解得：r =13，∴直径为26，故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点六垂径定理的实际应用】1(2023春·安徽亳州·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，CE =DE ，则下列说法错误的是()A.CB =BDB.OE =BEC.CA =DAD.AB ⊥CD【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径与弦CD 交于点E ，CE =DE ，∴根据垂径定理及其推论可得，点B 为劣弧CD的中点，点A 为优弧CD的中点，AB ⊥CD ∴CB=BD，AC=AD，∴CA =DA但不能证明OE =BE ，故B 选项说法错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1(2023春·九年级单元测试)下列说法正确的是()①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A.②③ B.①③C.②④D.①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2(2023·四川攀枝花·校联考二模)下列说法中正确的说法有( )个①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．【过关检测】一、单选题1(2023·上海普陀·统考二模)下列关于圆的说法中，正确的是()A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．2(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为()A.90°B.270°C.90°或270°D.45°或135°【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB 的度数为：360°×14=90°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90°，优弧AB 的度数为：360°×34=270°，即：优弧所对的圆心角的度数为270°，∴弦AB 所对圆心角的度数为90°或270°；故选C ．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．3(2023·全国·九年级专题练习)如图，线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，若AB 长为16，OE 长为6，则⊙O 半径是()A.5B.6C.8D.10【答案】D【分析】连接OB ，由垂径定理可得BE =AE =8，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB ，∵线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，AB =16，∴BE =AE =12AB =12×16=8，∴在Rt △OBE 中，可有OB =OE 2+BE 2=62+82=10，∴⊙O 半径是10．故选：D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．4(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则下列结论不一定成立的是()A.AE =BEB.CE =OEC.AC =BCD.AD =BD【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，∴AE =BE ，AC=BC，AD=BD，∴AC =BC ，AD =BD ，而CE =OE 不一定成立，故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．5(2023·浙江衢州·统考二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A ，B ，C ，D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm ，AB =3cm ，CD =4cm ．请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm【答案】B【分析】设圆心为O ，根据垂径定理可以得到CE =2，AF =1.5，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】设圆心为O ，EF 为纸条宽，连接OC ，OA ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴CE =12CD =12×4=2，AF =12AB =12×3=1.5，设OE =x ，则OF =3.5-x ，又∵OC =OA ，∴CE 2+OE 2=AF 2+OF 2，即22+x 2=1.52+3.5-x 2，解得：x =1.5，∴半径OC =22+x 2=2.5，即直径为5cm ，故选B ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．二、填空题6(2023春·九年级单元测试)AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD =6cm ，OE =4cm ，则AB =．【答案】10cm【分析】由垂径定理可知CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中由勾股定理可求得OC 即AB 的值．【详解】解：如图：依题意可知OA =OC =12AB ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∴CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中，OC =OE 2+CE 2=42+32=5cm ，∴AB =2OC =10cm ，故答案为：10cm ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相关知识．7(2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠AOE =78°，则∠COB 的度数是．-【答案】34°/34度【分析】先由平角的定义求出∠BOE 的度数，由BC=CD=DE，根据相等的弧所对的圆心角相等可得∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE ，即可求解．【详解】∵∠AOE =78°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-78°=102°，∵BC=CD=DE，∴∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE =34°，故答案为：34°．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8(2023春·九年级单元测试)半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP =4，则过点P 的最短的弦长是，最长的弦长是．【答案】 610【分析】过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，过点P 的最长的弦是直径，利用勾股定理和垂径定理进行求解即可得到答案．【详解】解：如图，OP 在直径AB 上，AB ⊥CD 于点P ，过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，即CD 的长∵OC =5，OP =4，由勾股定理得：PC =OC 2-OP 2=3，∴CD =2PC =6，∴过点P 的最短的弦长是6；过点P 的最长的弦是直径，即AB 的长，∵AB =5×2=10，．∴过点P 的最长的弦长是10，故答案为：6；10．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9(2023·河南南阳·校联考二模)已知半径为5的圆O 中有一条长度为8的弦AB ，分别以A ，B 为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M ，N ，连接MN ，点C 为直线MN 与圆O 的交点，点D 为直线MN 与弦AB 的交点，则CD 的长度为．【答案】2或8【分析】根据作图可知，MN 为AB 的中垂线，则MN 必过圆心O ，连接OA ，利用垂径定理求出OD 的长，分点C 在劣弧AB 上和点C 在优弧AB 上两种情况进行求解即可．【详解】解：由题意，得：MN 是弦AB 的中垂线，D 为AB 的中点，如图，连接OA ,OD ,OB ，则：OA =OB =5,AD =12AB =4，∴OD ⊥AB ，∵CD ⊥AB ，∴O ,C ,D 三点共线，∴OC =5，∴OD =OA 2-AD 2=3；①当点C 在劣弧AB 上时：CD =OC -OD =2；②当点C 在优弧AB 上时：CD =OC +OD =8；故答案为：2或8【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到MN 是AB 的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．10(2023·浙江·九年级专题练习)图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O 是AB所在圆的圆心，OA =OB ，点A ，点B 离地高度均为15cm ，水平距离AB =90cm ．则OA =cm ．当半径OA 转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B 离地高度应小于cm ．。

西安中考数学压轴题2023西安中考数学压轴题2023近日，西安市中考数学压轴题2023公布，引起了广大考生和家长的关注。

这道题目以其独特的设计和高难度而备受瞩目，成为了今年中考数学试卷的一大亮点。

这道题目要求考生利用已知条件，求解一个复杂的几何问题。

题目描述了一个三角形ABC，其中AB=AC，角BAC=60°。

在三角形ABC内部有一点P，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。

考生需要根据这些已知条件，求解出三角形ABC的各边长和角度。

这道题目的难度在于它要求考生综合运用几何知识和推理能力来解决问题。

首先，考生需要利用已知条件推导出一些等式或者关系式。

例如，根据∠APB=∠BPC=∠CPA=120°可以得出BP=CP=AP，并且三角形PBC、PCA、PAB都是等边三角形。

然后，考生需要利用这些等边三角形的性质来进一步推导出其他的等式或者关系式。

最后，通过解方程组或者运用特殊三角形的性质来求解出所需的边长和角度。

这道题目的出现，不仅考察了考生对几何知识的掌握程度，更重要的是考察了考生的逻辑思维和问题解决能力。

解决这道题目需要考生具备良好的数学思维和推理能力，能够灵活运用所学知识解决实际问题。

同时，这道题目也对考生的时间管理能力提出了挑战，因为在有限的时间内完成这道题目需要高效地组织思路和计算。

对于广大考生来说，面对这样一道高难度的数学题目，首先要保持冷静和自信。

不要被题目表面上的复杂性所吓倒，要相信自己已经掌握了足够的数学知识和解题技巧。

其次，要善于分析问题和提炼关键信息。

通过仔细阅读题目描述，找出已知条件，并将其转化为等式或者关系式。

最后，要有条理地进行推理和计算。

可以先从简单的等边三角形入手，逐步推导出其他等式或者关系式，并运用合适的方法求解出所需答案。

总之，西安中考数学压轴题2023是一道具有挑战性的数学题目，要求考生综合运用几何知识和推理能力来解决问题。

面对这样的题目，考生需要保持冷静和自信，善于分析问题和提炼关键信息，并有条理地进行推理和计算。

陕西省西安市2023学年中考考前最后一卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点P为△ABC外一点，CP=2，BP=3，AP的最大值是（）A．2+3 B．4 C．5 D．322．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A．5 B．32C．74D．1543．已知抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+a﹣1与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，若x1＜1，x2＞2，则a的取值范围是（）A．a＜3 B．0＜a＜3 C．a＞﹣3 D．﹣3＜a＜04．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB的三个顶点都在格点上，现将△AOB绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD，则点A经过的路径弧AC的长为（）A．3π2B．πC．2πD．3π5．下列几何体中三视图完全相同的是（）A．B．C．D．6．如图所示的几何体的俯视图是( )A．B．C．D．7．化简的结果是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．关于x的一元二次方程x2﹣23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3D．m≥39．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．. D．10．在下列各平面图形中，是圆锥的表面展开图的是( )A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知点P（2，3）在一次函数y＝2x－m的图象上，则m＝_______．12．将一个含45°角的三角板ABC，如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点C顺时针旋转75°，点B的对应点'B恰好落在轴上，若点C的坐标为(1,0)，则点'B的坐标为____________．13．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、点F，AE=3，FC=2，则EF的长为_____．14．在2018年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为_____．15．如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，则△CEF 的面积最大值是____．16．（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0＝_____．17．已知点A (2,0),B (0,2),C (-1,m )在同一条直线上,则m 的值为___________.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）王老师对试卷讲评课中九年级学生参与的深度与广度进行评价调查，每位学生最终评价结果为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项中的一项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在扇形的圆心角度数为 度；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）如果全市九年级学生有8000名，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的九年级学生约有多少人？19．（5分）先化简，再求值：22222+b a b a b a a ab b a b a -+÷--+-，其中，a 、b 满足2428a b a b -=-⎧⎨+=⎩． 20．（8分）如图，圆O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC ∠交圆O 于点E ，交BC 于点D ，过点E 作直线//l BC ． （1）判断直线l 与圆O 的关系，并说明理由；（2）若ABC ∠的平分线BF 交AD 于点F ，求证：BE EF =；（3）在（2）的条件下，若5DE =，3DF =，求AF 的长．21．（10分）阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表. 年度 2013 2014 2015 2016 2017参观人数（人次） 7 450 000 7 630 000 7 290 000 7 550 000 8 060 000年增长率（%） 38.7 2.4 -4.5 3.6 6.8他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.22．（10分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，()20,2P ，322,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．23．（12分）如图，海中有一个小岛 A ，该岛四周 11 海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B 处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C 处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）24．（14分）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【答案解析】过点C 作CQ CP ⊥,且CQ=CP,连接AQ,PQ,证明ACQ ≌,BCP 根据全等三角形的性质，得到3,AQ BP == 2,CQ CP ==根据等腰直角三角形的性质求出PQ 的长度，进而根据AP AQ PQ ≤+,即可解决问题.【题目详解】过点C 作CQ CP ⊥,且CQ=CP,连接AQ,PQ,90,ACQ BCQ BCP BCQ ∠+∠=∠+∠=,ACQ BCP ∠=∠在ACQ 和BCP 中,AC BC ACQ BCP CQ CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACQ ≌,BCP3,AQ BP ∴== CQ CP ==2,PQ ==325,AP AQ P ≤++=AP 的最大值是5.故选：C.【答案点睛】考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.2、C【答案解析】先利用勾股定理求出AC 的长，然后证明△AEO ∽△ACD ，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【题目详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=12AC=5， ∵EO ⊥AC ，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD ，∴△AEO ∽△ACD ， ∴AE AO AC AD=， 即 5108AE = ， 解得，AE=254， ∴DE=8﹣254=74， 故选：C ．【答案点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．3、B【答案解析】由已知抛物线2(21)1y ax a x a =-++-求出对称轴212a x a+=+， 解：抛物线：2(21)1y ax a x a =-++-，对称轴212a x a+=+，由判别式得出a 的取值范围． 11<x ，22x >， ∴21122a a+<<， ①2(21)4(1)0a a a ∆=+-->，18a ≥-．②由①②得0<<3a ．故选B ．4、A【答案解析】根据旋转的性质和弧长公式解答即可．【题目详解】解：∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，∴∠AOC ＝90°，∵OC ＝3，∴点A 经过的路径弧AC 的长＝903180π⨯= 3π2， 故选：A ．【答案点睛】此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．5、A【答案解析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【题目详解】解：A 、球的三视图完全相同，都是圆，正确；B 、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C 、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D 、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；故选A ．【答案点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．6、D【答案解析】测试卷分析：根据俯视图的作法即可得出结论．从上往下看该几何体的俯视图是D．故选D．考点：简单几何体的三视图.7、C【答案解析】测试卷解析：原式=．故选C.考点：二次根式的乘除法．8、A【答案解析】分析：根据关于x的一元二次方程x23有两个不相等的实数根可得△=（3）2-4m＞0，求出m的取值范围即可．详解：∵关于x的一元二次方程x23x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（32-4m＞0，∴m＜3，故选A．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．9、B【答案解析】测试卷分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．考点：轴对称图形和中心对称图形10、C【答案解析】结合圆锥的平面展开图的特征，侧面展开是一个扇形，底面展开是一个圆．【题目详解】解：圆锥的展开图是由一个扇形和一个圆形组成的图形．故选C．【答案点睛】考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征，是解决此类问题的关键．注意圆锥的平面展开图是一个扇形和一个圆组成．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【答案解析】根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可．【题目详解】解：∵一次函数y=2x-m的图象经过点P（2，3），∴3=4-m，解得m=1，故答案为：1.【答案点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式．1+12、()【答案解析】先求得∠ACO=60°，得出∠OAC=30°，求得AC=2OC=2，从而求出B′的坐标．【题目详解】解：∵∠ACB=45°，∠BCB′=75°，∴∠ACB′=120°，∴∠ACO=60°，∴∠OAC=30°，∴AC=2OC，∵点C 的坐标为（1，0），∴OC=1，∴AC=2OC=2，∵△ABC 是等腰直角三角形，AB BC ∴==B C A B '''∴==1OB '∴=∴B′点的坐标为(1+【答案点睛】此题主要考查了旋转的性质及坐标与图形变换，同时也利用了直角三角形性质，首先利用直角三角形的性质得到有关线段的长度，即可解决问题．13【答案解析】由△BOF ≌△AOE ，得到BE=FC=2，在直角△BEF 中，从而求得EF 的值．【题目详解】∵正方形ABCD 中，OB=OC ，∠BOC=∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC ，在△BOE 和△COF 中，45{OCB OBE OB OC EOB FOC∠∠︒∠∠＝＝＝＝，∴△BOE ≌△COF （ASA ）∴BE=FC=2，同理BF=AE=3，在Rt △BEF 中，BF=3，BE=2，∴【答案点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理，在四边形中常利用三角形全等的性质和勾股定理计算线段的长．14、3.05×105 【答案解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】故答案为：. 【答案点睛】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，解题关键是熟记科学计数法的表示方法.15、3 【答案解析】 解：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，∠1+∠EAC =60°，∠3+∠EAC =60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD =120°，∴∠ABC =60°，∴△ABC 和△ACD 为等边三角形，∴∠4=60°，AC =AB ．在△ABE 和△ACF 中，∵∠1=∠3，AC =AC ，∠ABC =∠4，∴△ABE ≌△ACF （ASA ），∴S △ABE =S △ACF ，∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值，作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，∴S 四边形AECF =S △ABC =12BC •AH =12BC •22AB BH -=43，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短，∴△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又∵S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大，∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF =43﹣12×23×22(23)(3)- =3．故答案为：3.点睛：本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE ≌△ACF ，得出四边形AECF 的面积是定值是解题的关键．16、3.【答案解析】测试卷分析：分别根据零指数幂，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．原式=4-1=3.考点：负整数指数幂；零指数幂．17、3【答案解析】设过点A （2，0）和点B （0，2）的直线的解析式为：y kx b =+，则202k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：12k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点C （-1，m ）在直线AB 上，∴(1)2m --+=，即3m =.故答案为3.点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由已知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）560； （2）54；（3）详见解析；（4）独立思考的学生约有840人.【答案解析】（1）由“专注听讲”的学生人数除以占的百分比求出调查学生总数即可；（2）由“主动质疑”占的百分比乘以360°即可得到结果；（3）求出“讲解题目”的学生数，补全统计图即可；（4）求出“独立思考”学生占的百分比，乘以2800即可得到结果．【题目详解】（1）根据题意得：224÷40%=560（名），则在这次评价中，一个调查了560名学生；故答案为：560；（2）根据题意得：84560×360°=54°， 则在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；故答案为：54；（3）“讲解题目”的人数为560-（84+168+224）=84，补全统计图如下：（4）根据题意得：2800×168840560⨯=（人）， 则“独立思考”的学生约有840人．【答案点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19、35【答案解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程组求得a 、b 的值，继而代入计算可得．【题目详解】原式=()2()•()a b a b a b a a b a b a b+----++， =a b a a b a b+-++， =b a b +， 解方程组2428a b a b --⎧⎨+⎩＝＝得23a b ⎧⎨⎩＝＝， 所以原式=33=2+35． 【答案点睛】本题主要考查分式的化简求值和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．20、（1）直线l 与O 相切，见解析；（2）见解析；（3）AF=245. 【答案解析】 ()1连接.OE 由题意可证明BE CE =，于是得到BOE COE ∠=∠，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE BC ⊥，于是可证明OE l ⊥，故此可证明直线l 与O 相切；()2先由角平分线的定义可知ABF CBF ∠=∠，然后再证明CBE BAF ∠=∠，于是可得到EBF EFB ∠=∠，最后依据等角对等边证明BE EF =即可；()3先求得BE 的长，然后证明BED ∽AEB ，由相似三角形的性质可求得AE 的长，于是可得到AF 的长．【题目详解】 ()1直线l 与O 相切．理由：如图1所示：连接OE ．AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠．BE CE ∴=，OE BC ∴⊥．//l BC ，OE l ∴⊥．∴直线l 与O 相切．()2BF 平分ABC ∠， ABF CBF ∴∠=∠． 又CBE CAE BAE ∠=∠=∠，CBE CBF BAE ABF ∴∠+∠=∠+∠．又EFB BAE ABF ∠=∠+∠，EBF EFB ∴∠=∠．BE EF ∴=．()3由()2得8BE EF DE DF ==+=．DBE BAE ∠=∠，DEB BEA ∠=∠，BED ∴∽AEB ．DE BE BE AE ∴=，即588AE =，解得；645AE =． 6424855AF AE EF ∴=-=-=．故答案为：（1）直线l 与O 相切，见解析；（2）见解析；（3）AF=245. 【答案点睛】 本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得EBF EFB ∠=∠是解题的关键．21、（1）见解析；（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可【答案解析】分析：（1）根据2015年网络售票占17.33%，2017年8月实现网络售票占比77%，2017年10月2日，首次实现全部网络售票，即可补全图1，根据2016年度中国国家博物馆参观人数及年增长率，即可补全图2;（2）根据近两年平均每年增长385000人次，即可预估2018年中国国家博物馆的参观人数.详解：（1）补全统计图如（2）近两年平均每年增长385000人次，预估2018年中国国家博物馆的参观人数为8445000人次．（答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可．）点睛：本题考查了统计表、折线统计图的应用，关键是正确从统计表中得到正确的信息，折线统计图表示的是事物的变化情况.22、（1）①2P ，3P ;②2,22，(22,2--，(22,2，(2,22-;（2）43333n -≤≤． 【答案解析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题；【题目详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ，故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线．设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°． 所以2OB =． 直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ．连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ =．在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =．所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB ==．所以22ON =．所以点1Q 的坐标为()2,22． 同理可求点2Q 的坐标为()22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为(22,2点4Q 的坐标为(2,22--，综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--． （2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°，∴3sin 603CD OC ==︒， 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，在Rt △ACE 中，同法可得23AC = ∴43OA = ∴43n = 根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，33n =-， 观察图象可知满足条件的N 的值为：3333n -≤≤． 【答案点睛】 此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23、不会有触礁的危险,理由见解析.【答案解析】分析：作AH ⊥BC ，由∠CAH =45°，可设AH =CH =x ，根据BH tan BAH AH∠=可得关于x 的方程，解之可得．详解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠BAH=60°，∠CAH=45°，BC=1．设AH=x，则CH=x．在Rt△ABH中，∵1060310BH xtan BAH tan x xAH x∠+=∴︒==+，，，解得：53513.65x=+≈．∵13.65＞11，∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．24、（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【答案解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF 是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．。

陕西中考数学填空题压轴2023数学是中学阶段考试中的重中之重，尤其是在陕西中考中，数学填空题一直是考生们最为头疼的一部分。

因此，2023年的陕西中考数学填空题必然是备受关注的焦点。

下面我将给大家分享一道陕西中考数学填空题压轴题，并且带着大家一起解题探究。

题目：已知直线k过点A(2,1)，且k的斜率为-2/3。

点B在k上，且点B关于点A对称。

若线段AB的长为5个单位长度，则点B的坐标为________。

解题思路：首先，我们来分析题意。

题目给出了直线k过点A(2,1)，且斜率为-2/3。

由直线的斜率可以推断出直线的方程为y=(−2/3)x+b，其中b 为直线的截距。

将点A(2,1)代入直线的方程，可以求出b的值。

将x = 2，y = 1代入方程：1 = (-2/3) × 2 + b解得b = 7/3所以，直线k的方程为y = (-2/3)x + 7/3。

接下来，题目告诉我们点B在直线k上，且点B关于点A对称。

这意味着点A、B、和k上的另一点C构成一个等腰三角形。

由于线段AB的长度为5，且点A和点B关于点C对称，所以线段AC的长度也为5。

设点C的坐标为(x，y)。

根据点对称的性质可知，点C的坐标为(x，y) = (4，-2)。

由于斜率为-2/3，我们可以根据直线斜率的定义来求直线上两点之间的距离。

由于AC和BC的长度相等，我们可以使用勾股定理来求得点B的坐标。

根据勾股定理，有AC^2 = AB^2 + BC^2代入AC和AB的长度，可以得到5^2 = AB^2 + BC^2化简得25 = AB^2 + (y - 1)^2 (由于点A的坐标为(2,1))将点C的坐标代入，得25 = AB^2 + (-2 - 1)^2化简后得25 = AB^2 + 9移项得AB^2 = 25 - 9AB^2 = 16取正平方根，得AB = 4所以，点B与点A的距离为4个单位长度。

将点B与点C的横坐标相加，除以2可以得到点B的横坐标。

2023年中考数学压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，B，C在第一象限，
反比例函数y=k
x（k≠0）的图象经过点C，交AB于D，已知OC＝12，OA＝4√3，∠AOC
＝60°
（1）求反比例函数y=k
x（k≠0）的函数表达式；
（2）连结CD，求△BCD的面积；
（3）P是线段OC上的一个动点，以AP为一边，在AP的右上方作正方形APEF，在点P的运动过程中，是否存在一点P使顶点E落在▱OABC的边所在的直线上，若存在，请求出此时OP的长，若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，过点C作CG⊥x轴于点G
∴∠OGC＝90°
∵OC＝12，∠AOC＝60°
∴cos∠AOC=OG
OC
=12，sin∠AOC=CG
OC
=√32
∴OG=1
2OC＝6，CG=
√3
2OC＝6√3
∴C（6，6√3）
∵反比例函数y=k
x（k≠0）的图象经过点C
∴6√3=k
6解得：k＝36√3
∴反比例函数的函数表达式为y=36√3 x
（2）如图2，过点D作DH⊥BC于点H
∵OA＝4√3，点A在x轴上
∴A（4√3，0）
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第 1 页 共 12 页 2023年中考数学压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 是位于直线BC 上方抛物线上的一个动点，求△BPC 面积的最大值；
（3）若点D 是y 轴上的一点，且以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；
（4）若点E 为抛物线的顶点，点F （3，a ）是该抛物线上的一点，在x 轴、y 轴上分别找点M 、N 使四边形EFMN 的周长最小，求出点M 、N 的坐标．
解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）＝a （x 2﹣4x ﹣5），即﹣5a ＝5，解得：a ＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+4x +5；
（2）将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{5k +b =0b =5，解得：{k =−1b =5
， 故直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +5，
过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，
设点P （x ，﹣x 2+4x +5），则点H （x ，﹣x +5），。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题3对角互补模型模型1：全等形——90°对角互补模型模型2：全等形——120°对角互补模型模型3：全等形——任意角对角互补模型模型4：相似形——90°对角互补模型【例1】．（2021·全国·1,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E,F 分别在四边形ABCD 的边BC,CD 上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF 之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG,使AB 与AD 重合,由∠B+∠ADC=180°,得∠FDG=180°,即点F,D,G 三点共线,易证△AFG ≌△AFE,故EF,BE,DF 之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2,在图1的条件下,若点E,F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB,DC 延长线上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明．（3）联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,EC=2,直接写出DE的长为________________.【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,（1）如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段AM的长；（2）如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证：BE=AF；（3）如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°,求证：AB+AN=√2AM;【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是∠BAD．请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：__________；边BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=12（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且∠EAF=1∠BAD．请画出图形（除图②外）,并直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系．2【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形ABCD是由等边ΔABC和顶角为120°的等腰ΔABD排成,将一个60°角顶点放在D处,将60°角绕D点旋转,该60°交两边分别交直线BC、AC于M、N,交直线AB于E、F两点．（1）当E、F都在线段AB上时（如图1）,请证明：BM+AN=MN；（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2）,请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系,并证明你的结论；（3）在（1）的条件下,若AC=7,AE=2.1,请直接写出MB的长为．一、解答题1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．FD到点G,使DG=BE．连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF ≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD 的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①,已知∠A=45°,∠ABC=30°,∠ADC=40°,则∠BCD的大小为___________；（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC,使得CE=AD,连接BE,通过证明△ABD≌△CBE,从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③,四边形ABCD是正在建设的城市花园,其中AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,DC=40米,AD=30米．请计算出对角线BD的长度．3．（2021·福建三明·八年级期中）感知：如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°．判断DB与DC的大小关系并证明．探究：如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=m,则AB与AC差是多少（用含m的代数式表示）4．（2021·辽宁大连·九年级期中）如图1,正方形ABCD中,BD是对角线,点E在AB上,点F在BC上,连接EF（EF 与BD不垂直）,点G是线段EF的中点,过点G作GH⊥EF交线段BD于点H．（1）猜想GH与EF的数量关系,并证明；（2）探索AE,CF,DH之间的数量关系,并证明；（3）如图2,若点E在AB的延长线上,点F在BC的延长线上,其他条件不变,请直接写出AE,CF,DH之间的数量关系．5．（2020·河南洛阳·八年级期中）在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C．且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上．（1）如图1,若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF；（2）如图2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由．6．（2020·江西萍乡·八年级期末）【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD,其中点A与点C对应,点B与点D对应,旋转角的度数为α,且0°＜α＜180°．（1）如图①,当α＝60°时,线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②,当90°＜α＜180°时,直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③,四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠ADC＝30°,AB＝BC,CD＝3,BD＝√19,求AD的长．7．（2021··九年级专题练习）如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC>AC,点E在BC上,点D在AB上,CE=CA,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°,CH⊥AB,垂足为H．证明：DE+AD=2√3CH．8．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=90°,BA= BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCG≌△BAE,再证明△BFC≌△BFE,可得出结论,他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=90°,BA=BC,∠ABC=2∠MBN,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）,不要说明理由．探究延伸2：如图3,在四边形ABCD中,BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC=2∠MBN,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进,1.2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离．9．（2019·重庆·西南大学附中八年级阶段练习）如图1,四边形ABCD中,BD⊥AD,E为BD上一点,AE＝BC,CE⊥BD,CE＝ED（1）已知AB＝10,AD＝6,求CD；（2）如图2,F为AD上一点,AF＝DE,连接BF,交BF交AE于G,过G作GH⊥AB于H,∠BGH＝75°．求证：BF＝2√2GH+√2EG．10．（2021·全国·九年级专题练习）探究问题：(1)方法感悟：如图①,在正方形ABCD中,点E,F DC,BC边上的点,且满足∠BAF＝45°,连接EF,求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法,并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得：AB＝AD,BG＝DE,∠1＝∠2,∠ABG＝∠D＝90°,∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°,因此,点G,B,F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2,∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE,AF＝AE∴△GAF≌△________．∴_________＝EF,故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：∠DAB．试猜想如图②,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF＝12DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想．11．（2021·全国·八年级专题练习）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形,②菱形,③矩形,④正方形中,一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,连接AC．①如图1,求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验,提出以下两种想法,证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D=180°,可延长CB到E,使BE=CD,通过证明△AEB≌△ACD,从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB=AD,可将△ACD A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△AEB,可证C,B,E三点在条直线上,从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法,帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2,当∠BAD=90°,用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系,并证明.12．（2019·全国·九年级专题练习）如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,把∠EDF绕点D旋转,使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时,求证：BE=CF；（2）在旋转过程中,BE+CF是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由13．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示,ΔABC为等边三角形,边长为4,点O为BC边中点,∠EOF=120°,其两边分别交AB和CA的延长线于E,F,求AE−AF的值.14．（2019·全国·九年级专题练习）如图所示,ΔABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DF,长直角边为DE）,将三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中,DE交AB于M,DF交BC于N,证明DM=DN；（2）继续旋转至如图所见,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,证明DM=DN.15．（2019·江西·南昌市第十九中学九年级阶段练习）一位同学拿了两块45°三角尺ΔMNK,ΔACB做了一个探究活动：将ΔMNK的直角顶点M放在ΔACB的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.（1）如图1所示,两三角尺的重叠部分为ΔACM ,则重叠部分的面积为______,周长为______.（2）将如图1所示中的ΔMNK 绕顶点M 逆时针旋转45°,得到如图2所示,此时重叠部分的面积为______,周长为______.（3）如果将ΔMNK 绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形,如图3所示,请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下,若AD =1,求出重叠部分图形的周长.16．（2019·江苏常州·一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①,四边形ABCD 为对直角四边形,∠B=90°,若AB 2-AD 2=4,求CD 2-BC 2的值；（2）如图②,四边形ABCD 中,∠ABC=90°,AB=BC,若BD 平分∠ADC,求证：四边形ABCD 为对直角四边形；（3）在（2）的条件下,如图③,连结AC,若S △ACDS △ABC =35,求tan ∠ACD 的值．17．（2021·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1,点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD 上,∠EAF=45°,连结EF,则EF=BE+DF,试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,最后发现线段AB,AD是共点并且相等的,于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG,再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法,解决下列问题：（1）如图3,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°．若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足_ 关系时,仍有EF=BE+DF；（2）如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1, EC=2,求DE 的长．18．（2021·全国·八年级专题练习）已知：∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC,求证：BC+AB=√2BD．【例1】．（2021·全国·九年级专题练习）如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合,由∠B+∠ADC=180°,得∠FDG=180°,即点F,D,G三点共线,易证△AFG≌△AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2,在图1的条件下,若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明．（3）联想拓展如图3,在△ABC中,∠点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,EC=2,直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）√5.【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合,首先证明F,D,G三点共线,求出∠EAF＝∠GAF,然后证明△AFG≌△AFE,根据全等三角形的性质解答；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADE',首先证明E',D,F三点共线,求出∠EAF＝∠E'AF,然后证明△AFE≌△AFE',根据全等三角形的性质解答；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD',使AB与AC重合,连接ED',同（1）可证△AED≌AED',求出∠ECD'＝90°,再根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合,∵∠B＋∠ADC＝180°,∴∠FDG＝180°,即点F,D,G三点共线,∵∠BAE＝∠DAG,∠EAF＝12∠BAD,∴∠EAF＝∠GAF,在△AFG和△AFE中,{AE＝AG∠EAF＝∠GAFAF＝AF,∴△AFG≌△AFE,∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明：将△ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADE',则△ABE≌ADE',∴∠DAE'＝∠BAE,AE'＝AE,DE'＝BE,∠ADE'＝∠ABE,∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠ABE＝180°,∴∠ADE'＝∠ADC,即E',D,F三点共线,∵∠EAF＝12∠BAD,∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝12∠BAD,∴∠EAF＝∠E'AF,在△AEF和△AE'F中,{AE＝AE′∠EAF＝∠E′AFAF＝AF,∴△AFE≌△AFE'（SAS）,∴FE＝FE',又∵FE'＝DF−DE',∴EF＝DF−BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD',使AB与AC重合,连接ED',同（1）可证△AED≌AED',∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°,∴∠ECD'＝90°,在Rt△ECD'中,ED'＝√EC2+D′C2=√EC2+BD2=√5,即DE＝√5,故答案为：√5．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,（1）如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段AM的长；（2）如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证：BE=AF；（3）如图3,点M在AD的延长线上N在AC上,且∠BMN=90°,求证：AB+AN=√2AM;；(2)见解析；(3)见解析.【答案】(1) AM=√2−2√33【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝√2,求出∠MBD＝30°,根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE≌△ADF,根据全等三角形的性质证明；（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E,证明△BME≌△AMN,根据全等三角形的性质得到BE＝AN,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是∠BAD．请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：__________；边BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=12（1（3）在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且∠EAF=1∠BAD．请画出图形（除图②外）,并直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系．2【答案】（1）EF=BE+FD；（2）成立,理由见解析；（3）图形见解析,EF=BE−FD【分析】（1）延长EB到G,使BG=DF,连接AG．证明△AGE和△AEF全等,则EF=GE,则EF=BE+DF,证明△ABE和△AEF中全等,那么AG=AF,∠1=∠2,∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∠BAD．从而得出EF=GE；2（2）思路和作辅助线的方法同（1）；（3）根据（1）的证法,我们可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【详解】（1）延长EB至G,使BG=DF,连接AG,∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,∴△ABG≌△ADF,∴AG=AF,∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD,∴∠GAE=∠EAF,在△GAE和△FAE中,∵{AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE,∴△GAE≌△FAE(SAS),∴EG=EF,∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD（2）（1）中的结论仍成立,证明：延长CB至M,使BM=DF,∵∠ABC+∠D=180°,∠1+∠ABC=180°,∴∠1=∠D,在△ABM和△ADF中,{AB=AD ∠1=∠D BM=DF,∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠2=∠3,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF,∴∠3+∠4=∠EAF即∠MAE=∠EAF,在△AME和△AFE中,{AM=AF∠MAE=∠EAFAB=AE,∴△AME≌△AFE(SAS),∴EF=ME,即EF=BE+BM．（3）EF=BE−FD,证明：在BE上截取BG使BG=DF,连接AG,∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF,∵在△ABG和△ADF中,{AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD,∴∠GAE=∠EAF,在△AEG和△AEF中,{AG=AF∠GAE=∠EAFAE=AE,∴△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF,∵EG=BE−BG,∴EF=BE−FD．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质,通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键,没有明确的全等三角形时,要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形ABCD是由等边ΔABC和顶角为120°的等腰ΔABD排成,将一个60°角顶点放在D处,将60°角绕D,该60°交两边分别交直线BC、AC于M、N,交直线AB于E、F两点．（1）当E、F都在线段AB上时（如图1）,请证明：BM+AN=MN；（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2）,请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系,并证明你的结论；（3）在（1）的条件下,若AC=7,AE=2.1,请直接写出MB的长为．【答案】（1）证明见解析；（2）MB=MN+AN．证明见解析；（3）2.8．【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ,根据旋转的性质可得DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,然后求出∠QDN=∠MDN,利用“边角边”证明△MND和△QND全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=QN,再根据AQ+AN=QN整理即可得证；（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,根据旋转的性质可得DN=DP,AN=BP,根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上,然后求出∠MDP=60°,然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=MP,从而得证；（3）过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,可以证明△BMG是等边三角形,根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG,根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND,再根据两直线平行,内错角相等可得∠QND=∠MHN,然后求出∠MND=∠MHN,根据等角对等边可得MN=MH,然后求出AN=GH,再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=GE,再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG,从而得到BM的长．【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ,则DM=DQ,AQ=BM,∠ADQ=∠BDM,∠QAD=∠CBD=90°,∴点Q在直线CA上,∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°,∴∠QDN=∠MDN=60°,∵在△MND和△QND中,{DM＝DQ∠QDN＝∠MDNDN＝DN,∴△MND≌△QND（SAS）,∴MN=QN,∵QN=AQ+AN=BM+AN,∴BM+AN=MN；（2）：MB=MN+AN.理由如下：如图,把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,则DN=DP,AN=BP,∵∠DAN=∠DBP=90°,∴点P在BM上,∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°,∴∠MDP=∠MDN=60°,∵在△MND和△MPD中,{DN＝DP∠MDP＝∠MDNDM＝DM,∴△MND≌△MPD（SAS）,∴MN=MP,∵BM=MP+BP,∴MN+AN=BM；（3）如图,过点M作MH∥AC交AB于G,交DN于H,∵△ABC 是等边三角形,∴△BMG 是等边三角形,∴BM =MG =BG ,根据（1）△MND ≌△QND 可得∠QND =∠MND ,根据MH ∥AC 可得∠QND =∠MHN ,∴∠MND =∠MHN ,∴MN =MH ,∴GH =MH -MG =MN -BM =AN ,即AN =GH ,∵在△ANE 和△GHE 中,{∠QND ＝∠MHN∠AEN ＝∠GEH AN ＝GH,∴△ANE ≌△GHE （AAS ）,∴AE =EG =2.1,∵AC =7,∴AB =AC =7,∴BG =AB -AE -EG =7-2.1-2.1=2.8,∴BM =BG =2.8．故答案为：2.8【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质,根据等边三角形的性质,旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键,（3）作平行线并求出AN =GH 是解题的关键,也是本题的难点．一、解答题1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE．连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF ≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD 的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】（1）∠BAE+∠F AD=∠EAF；（2）仍成立,理由见解析；（3）∠EAF=180°-12∠DAB【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论；（2）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△ADG≌△ABE,再判定△AEF≌△AGF,得出∠F AE=∠F AG,最后根据∠F AE+∠F AG+∠GAE=360°,推导得到2∠F AE+∠DAB=360°,即可得出结论．【详解】解：（1）∠BAE+∠F AD=∠EAF．理由：如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B=∠ADF=90°,∠ADG=∠ADF=90°,∴∠B=∠ADG=90°,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG（SAS）,∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF（SSS）,∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案为：∠BAE+∠F AD=∠EAF；（2）仍成立,理由：如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG（SAS）,∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF（SSS）,∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；∠DAB．（3）∠EAF=180°-12证明：如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ADC=∠ABE,又∵AB=AD,∴△ADG≌△ABE（SAS）,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF（SSS）,∴∠F AE=∠F AG,∵∠F AE+∠F AG+∠GAE=360°,∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）=360°,∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）=360°,即2∠F AE+∠DAB=360°,∴∠EAF=180°-1∠DAB．2【点睛】本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．2．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）问题探究（（1）如图①,已知∠A=45°,∠ABC=30°,∠ADC=40°,则∠BCD的大小为___________；（2）如图②,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC,使得CE=AD,连接BE,通过证明△ABD≌△CBE,从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③,四边形ABCD是正在建设的城市花园,其中AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,DC=40米,AD=30米．请计算出对角线BD的长度．在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∴∠A+∠BCD=180°,∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠BCE,在△ABD和△CBE中,{AB=BC ∠A=∠BCE AD=CE,∴△ABD≌△CBE,∴BE=BD,∠ABD=∠CBE,S△ABD=S△CBE,∵∠ABC=90°,即∠ABD+∠DBC=90°,∴∠CBE+∠DBC=90°,即∠DBE=90°,∵BD=BE=6,∠DBE=90°,∴S△BDE=12×BE×BD=18,∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18；（4）如图,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAF,连接FD,∴△BCD≌△BAF,∠FBD=60°,∴BF=BD,AF=CD=40,∠BDC=∠BF A,∴△BFD是等边三角形,∴BF=BD=DF,∵∠ADC=30°,∴∠ADB+∠BDC=30°,∴∠BF A+∠ADB=30°,∵∠FBD+∠BF A+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°,∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°,∴∠AFD+∠ADF=90°,∴∠F AD=90°,∴DF=√AF2+AD2=√402+302=50,∴BD=50(米)．答：对角线BD的长度为50米．【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理等知识,添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．（2021·福建三明·八年级期中）感知：如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°．判断DB与DC的大小关系并证明．探究：如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=m,则AB与AC差是多少（用含m的代数式表示）【答案】感知：DB=DC,证明见详解；探究：DB与DC的大小关系不变,理由见详解；应用：AB与AC差是与BD不垂直）,点G是线段EF的中点,过点G作GH⊥EF交线段BD于点H．（1）猜想GH与EF的数量关系,并证明；（2）探索AE,CF,DH之间的数量关系,并证明；（3）如图2,若点E在AB的延长线上,点F在BC的延长线上,其他条件不变,请直接写出AE,CF,DH之间的数量关系．∴HI=HJ,∵HG垂直平分EF,∴HE=HF,∵∠HIE=∠HJF=90°,∴△HIE≌△HJF(HL),∴∠IHE=∠JHF,又∵∠IHJ=∠IHE+∠EHJ=90°,∴∠EHF=∠JHF+EHJ=90°,∴△HEF为等腰直角三角形,∵G为斜边的中点,∴GH=1EF．2（2）AE+CF=√2DH,理由如下：由（1）中△HIE≌△HJF(HL),∴EI=FJ,由下图：∠A=∠AIH=∠AKH=90°,∴四边形AIHK为矩形,∴AI=KH,在△DHK中,由正方形的性质知,∠HDK=45°,∵∠HKD=90°,∴∠DHK=90°−45°=45°∴△DKH为等腰直角三角形,又∴∠D=∠HKD=∠HLD=90°,∴四边形HKDL为正方形,∴HL=KH,同理四边形HLCJ为矩形,∴HL=JC∴AI=KH=HL=JC,AE=AI+EI,CF=JC−FJ,∴AE+CF=AI+JC=2AI=2KH,在△DHK中,由正方形的性质知,∠HDK=45°,∵∠HKD=90°,∴∠DHK=90°−45°=45°∴△DKH为等腰直角三角形,∴DH=√2KH,∴AE+CF=√2DH．（3）AE−CF=√2DH,理由如下：过点H作AB,BC垂线,分别交AB,BC,CD,AD于I,J,L,K,连接HE,HF,∵HI=HJ,HE=HF,∠HIE=∠HJF=90°,∴△HIE≌△HJF,∴EI=FJ,由（2）得AI=KH=HL=JC,CF=FJ−JC,AE=AI+EI,∴AE−CF=AI+JC=2AI=2KH,由（2）可得：DH=√2KH,△DKH为等腰直角三角形,∴AE−CF=√2DH．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形、解题的关键是添加适当的辅助线,掌握相关的知识点,通过等量代换的思想进行求解．5．（2020·河南洛阳·八年级期中）在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C．且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上．（1）如图1,若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF；（2）如图2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由．理由：过点D作∠CDG=∠BDE,交AN于点G,在ΔBDE和ΔCDG中,{∠EBD=∠GCDBD=CD∠BDE=∠CDG,∴ΔBDE≅ΔCDG(ASA),∴DE=DG,BE=CG．∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,∴∠BDE+∠CDF=60°．∴∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°,∴∠EDF=∠GDF．在ΔEDF和ΔGDF中,{DE=DG∠EDF=∠GDFDF=DF,∴ΔEDF≅ΔGDF(SAS)．∴EF=GF,∴EF=FC+CG=FC+BE．【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答．6．（2020·江西萍乡·八年级期末）【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD,其中点A与点C对应,点B与点D对应,旋转角的度数为α,且0°＜α＜180°．（1）如图①,当α＝60°时,线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②,当90°＜α＜180°时,直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③,四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠ADC＝30°,AB＝BC,CD＝3,BD＝√19,求AD的长．【答案】（1）60°；（2）互补,理由见解析；【形成结论】相等或互补；（3）√10【分析】（1）由旋转的性质可得AB=CD,OA=OC,BO=DO,可证ΔAOB≅ΔCOD(SSS),可得∠B=∠D,由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得AB=CD,OA=OC,BO=DO,可证ΔAOB≅ΔCOD(SSS),可得∠B=∠D,由平角的定义和四边形内角和定理可求解；【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将ΔBCD绕点B顺时针旋转60°,得到ΔBAF,连接FD,由旋转的性质可得BF=BD,AF=CD=3,由三角形内角和定理可求∠FAD=90°,由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1,延长DC交AB于F,交BO于E,∵α=60°,∴∠BOD=60°,∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD,∴AB=CD,OA=OC,BO=DO,∴ΔAOB≅ΔCOD(SSS),∴∠B=∠D,∵∠B=∠D,∠OED=∠BEF,∴∠BFE=∠EOD=60°,故答案为：60°；（2）直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补,理由如下：如图2,延长AB,DC交于点E,∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD,∴AB=CD,OA=OC,BO=DO,∴ΔAOB≅ΔCOD(SSS),∴∠ABO=∠D,∵∠ABO+∠EBO=180°,∴∠D+∠EBO=180°,∵∠EBO+∠E+∠D+∠BOD=360°,∴∠E+∠BOD=180°,∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中,当旋转角小于平角时,对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3,将ΔBCD绕点B顺时针旋转60°,得到ΔBAF,连接FD,延长FA,DC交于点E,∴旋转角∠ABC=60°,∵ΔBCD≅ΔBAF,∴∠AED=∠ABC=60°,AF=CD=3,BD=BF,∵∠ADC=30°,∴∠FAD=∠AED+∠ADC=90°,又∵∠FBD=∠ABC=60°,BF=BD,∴ΔBFD是等边三角形,∴BF=BD=DF,∴在RtΔDAF中,AD=√DF2−AF2=√19−9=√10．【点睛】本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识,添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．（2021··九年级专题练习）如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC>AC,点E在BC上,点D在AB上,CE=CA,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°,CH⊥AB,垂足为H．证明：DE+AD=2√3CH．【答案】见解析【分析】如图,延长BA到点F,使AF=DE,连接CF、CD,根据四边形的内角和和邻补角互补可得∠CAF=∠CED,进而可根据SAS证明△AFC≌△EDC,可得CF=CD,∠ACF=∠ECD,进一步即可求得∠FCD=120°,然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论．【详解】证明：如图,延长BA到点F,使AF=DE,连接CF、CD,∵∠ACB+∠ADE=180°,∴∠CAD+∠CED=360°−180°=180°,∵∠CAD+∠CAF=180°,∴∠CAF=∠CED,∵AC=EC,AF=ED,∴△AFC≌△EDC,。

第 1 页 共 12 页 2023年中考数学压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝2OA ，C 为直线y ＝2x 与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD =√5．
（1）求点C 的坐标；
（2）若P 为线段AD 上一动点（不与A 、D 重合）．P 的横坐标为x ，△POD 的面积为S ，请求出S 与x 的函数关系式；
（3）若F 为直线AB 上一动点，E 为x 轴上一点，是否存在以O 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OA ＝3，点A 和点B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上
∴A （3，0），OB ＝3OA ＝6
∴B （0，6）
设直线AB 解析式为：y ＝kx +b
∴{3k +b =00+b =6 解得：{k =−2b =6
∴直线AB 解析式为：y ＝﹣2x +6
∵{y =−2x +6y =2x 解得：{x =32y =3
∴点C 坐标为（32，3）
（2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H
∵点D 在线段OC 上，直线OC 解析式为y ＝2x
∴设点D （d ，2d ）（0＜d ＜32）
∴OD =√d 2+(2d)2=√5。

陕西中考数学压轴题2023陕西中考数学压轴题2023是每年都备受关注的一项考试内容，它对于考生来说具有重要的指导意义和备考价值。

通过对该题目的分析和解答，我们可以了解到中考数学试题的难度和要求，对于提高数学成绩和顺利通过中考有着重要的帮助。

下面将从题目背景、题目要求和解题思路等方面对陕西中考数学压轴题2023进行详细的阐述和分析。

题目背景：今年的陕西中考数学压轴题重点突出了几何学的知识点。

该题目涉及到了平行线的性质和相关定理，以及与平行线有关的角的性质。

这些知识点是中考数学试题中常见的内容，对于学生来说具有一定的基础性。

通过解答该题目，可以检验学生对于这些知识点的掌握和应用能力。

题目要求：题目要求考生根据所给的图形，计算出相关角度的数值，并填写在对应的位置上。

要求考生熟练运用平行线的性质和相关定理，准确地进行计算。

同时，要求考生注意解题过程的合理性，保证解题思路的清晰和正确性。

解题思路：在解答陕西中考数学压轴题2023时，我们可以采取以下步骤来解答。

第一步，观察图形并分析题目所给的条件。

通过观察图形，我们可以看到有多组平行线和相关角度，同时还有一些已知条件的数值。

第二步，根据已知条件和相关性质写出等式。

根据题目给定的条件，我们可以运用平行线及其相关定理，写出相关角度之间的等式。

这些等式将成为解题的关键。

第三步，根据等式解方程，计算出所求的角度数值。

根据前面所得到的等式，我们可以设立方程，并进行求解，最终得到所求角度的数值。

第四步，检查解答结果的合理性。

在得到解答结果后，我们需要对结果进行检查，确保计算过程和答案的准确性。

同时，我们还需要根据题目的要求，确认是否填写到正确的位置上。

从解题步骤中我们可以看出，陕西中考数学压轴题2023注重的是对平行线和角度性质的理解和应用能力。

通过这道题目的解答，考生可以加深对于平行线及其相关定理的理解，提高解决几何问题的能力。

总结：陕西中考数学压轴题2023围绕平行线和角度性质展开，要求考生能够准确地应用相关知识和定理，进行解题。

2023陕西数学中考压轴题考点陕西数学中考压轴题考点单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数，简称系数。

当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项。

1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。

多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。

单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。

在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。

2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。

3、多项式的恒等对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们所得的值都是相等的，即f(a)=g(a)，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x)，或简记为f(x)=g(x)。

性质1如果f(x)==g(x)，那么，对于任一个数值a，都有f(a)=g(a)。

性质2如果f(x)==g(x)，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等。

4、一元多项式的根一般地，能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值，叫做多项式f(x)的根。

多项式的加、减法，乘法1、多项式的加、减法2、多项式的乘法单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式。

3、多项式的乘法多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加。