四种命题例题选讲

四种命题的判定典型例题：例1. （2012年安徽省文5分）命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是【 】()A 对任意实数x , 都有1x > ()B 不存在实数x ，使1x ≤()C 对任意实数x , 都有1x ≤ ()D 存在实数x ，使1x ≤【答案】C 。

【考点】否命题。

【解析】如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。

因此，命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是：对任意实数x , 都有1x ≤。

故选C 。

例2. （2012年湖北省理5分）命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是【 】 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈ B 300,R x C Q x Q ∃∈∉C 300,R x C Q x Q ∀∉∈D 300,R x C Q x Q ∀∈∉【答案】D 。

【考点】命题的否定。

【解析】根据特称命题“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，结合已知中命题，即可得到答案：∵命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题， ∴“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是“300,R x C Q x Q ∀∈∉”。

故选D 。

例 3. （2012年湖北省文5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是【 】A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B 。

【考点】命题的否定。

【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”。

故选B 。

例4. （2012年湖南省理5分）命题“若4απ=，则tan 1α=”的逆否命题是【 】 A.若4απ≠，则tan 1α≠ B. 若4απ=，则tan 1α≠ C. 若tan 1α≠，则4απ≠D. 若tan 1α≠，则4απ=【答案】C 。

1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。

逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件1. 主要内容：命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。

2. 重点：判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。

3. 难点：逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。

【例题选讲】例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。

（1）小李是老师，小赵也是老师。

（2）1是合数或质数。

（3）他是运动员兼教练员。

（4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。

解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。

（2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。

（3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。

（4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。

小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。

应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。

例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。

若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。

解：若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，解得：1<m<3。

即q ：1<m<3。

因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。

∴或或m m m m m >≤≥⎧⎨⎩≤<<⎧⎨⎩213213解得：或。

m m ≥<≤312小结：由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假。

反过来，由复合命题的真假也应能准确断定构成此复合命 题的简单命题的真假情况，简单命题的真假也应由真值表来判断。

四种命题_典型例题.docx四种命题·典型例题能力素质例 1 命题“若 y ＝ k，则 x 与 y 成反比例关系”的否命题是x[ ]A ．若y ≠ k，则 x 与y 成正比例关系xB ．若y ≠kx ，则 x 与y 成反比例关系kC ．若 x 与y 不成反比例关系，则y ≠kD ．若y ≠ x ，则 x 与 y 不成反比例关系分析条件及结论同时否定，位置不变．答选 D ．例 2 设原命题为：“ 对顶角相等” ，把它写成“若 p 则q ”形式为 ________．它的逆命题为 ________，否命题为 ________，逆否命题为 ________．分析只要确定了“ p ”和“ q ”，则四种命题形式都好写了．解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．例 3“若 P ＝ {x |x|＜ 1} ，则0∈ P ”的等价命题是 ________．分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若0 P ，则 p≠ {x||x| ＜1} ”例 4 分别写出命题“若 x 2＋ y 2＝ 0，则 x 、 y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．分析根据命题的四种形式的结构确定．解逆命题：若 x 、 y 全为 0，则 x 2 ＋y 2＝ 0；否命题：若 x 2＋ y 2≠ 0，则 x ， y 不全为 0；逆否命题：若 x 、 y 不全为 0，则 x 2 ＋y 2≠ 0．说明：“ x 、 y 全为0”的否定不要写成“ x 、 y 全不为0”，应当是“ x ， y不全为0”，这要特别小心．例 5有下列四个命题：①“若 xy ＝ 1，则 x 、 y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－ 1，则方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋ b ＝ 0 有实根”的逆否命题；④“若A ∪ B ＝ B ，则A B ”的逆否命题，其中真命题是[]A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④分析应用相应知识分别验证．解写出相应命题并判定真假①“若 x ， y 互为倒数，则 xy ＝1”为真命题；②“不相似三角形周长不相等”为假命题；③“若方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋b ＝ 0 没有实根，则 b ＞－1”为真命题；选 C ．点击思维例 6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知 a 、 b 、 c 、d 是实数，若 a ＝ b ，c ＝ d ，则 a ＋c ＝b ＋ d ；分析首先应当把原命题改写成“若p 则q ”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补” ；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆” ；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补” ；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知 a 、b 、 c 、 d 是实数，若 a ＝ b ，c ＝d ，则 a ＋c ＝ b ＋d ”，其中“已知 a 、 b 、c 、 d 是实数”是大前提，“ a ＝b ， c ＝d ”是条件，“ a ＋ c ＝ b ＋d ”是结论．所以：逆命题：“已知 a 、 b 、 c 、 d 是实数，若 a ＋ c ＝ b ＋d ，则 a ＝b ， c ＝d ”；否命题：“已知 a 、 b 、c 、d 是实数，若 a ≠ b 或c ≠ d ，则 a ＋c ≠b ＋d ”(注意“ a ＝ b ， c ＝d ”的否定是“ a ≠ b 或c ≠ d ”只需要至少有一个不等即可 )；逆否命题：“已知 a 、 b 、 c 、d 是实数，若 a ＋c ≠b ＋ d 则a ≠b 或c ≠ d ”．逆否命题还可以写成：“已知 a 、b 、c 、 d 是实数，若 a ＋c ≠b ＋ d 则 a ＝ b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞ 0 时，若 a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．例 7 已知下列三个方程：x 2＋ 4ax － 4a ＋ 3＝ 0， x 2＋ (a － 1)x ＋ a 2＝ 0， x 2＋ 2ax － 2a ＝ 0 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．分析如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想 )来求三个方程都没有实根的a 范围比较简单．2 －－ 4a) ＜16a4(3解由－ 1) 2 － 4a2 ＜0 得(a4a 2 ＋ 8a ＜ 0说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．学科渗透例 8分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．① m ＞ 1时， mx 2 － x ＋ 1＝ 0无实根；4②当 abc ＝ 0 时， a ＝0 或 b ＝0 或 c ＝ 0．分析改造原命题成“若 p 则 q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．解①原命题：“若m ＞ 1，则 mx 2 － x ＋ 1＝ 0无实根”，是真4命题；逆命题：“若 mx 2－x ＋ 1＝ 0无实根，则 m ＞ 1”，是真命题；4 否命题：“若m ≤ 1，则 mx 2 －x ＋1＝ 0有实根”，是真命题；4 逆否命题：“若 mx 2－x ＋1＝ 0有实根，则m ≤ 1”，是真命题．4②原命题；“若 abc ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0 或 c ＝0”，是真命题；逆命题：“若 a ＝0 或 b ＝ 0 或 c ＝ 0，则 abc ＝0”是真命题；否命题：“若abc ≠ 0，则a ≠ 0 且b ≠ 0 且c ≠0”，是真命题；(注意：“a ＝ 0或 b ＝0 或 c ＝0”的否定形式是“ a ≠0 且b ≠0 且c ≠ 0”逆否命题：“若a ≠ 0 且b ≠0 且c ≠ 0，则abc ≠ 0”，是真命题．说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．例 9若 a 、 b 、 c 均为实数，且 a ＝ x 2 － 2y ＋π ， b ＝ y 2－ 2z ＋π，2 3 c ＝ z 2 － 2x ＋π，求证： a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0．6分析如果直接从条件推，方向不明，程不可，，可以使用反法．解a 、b 、c 都不大于 0，即a ≤ 0，b ≤ 0，c ≤ 0，有 a ＋ b ＋c ≤ 0，而＋＋＝ (x2－＋π) ＋ (y 2－＋π) ＋ (z 2 －＋π a b c2y2z2x23 6＝ (x 2－ 2x)＋ (y 2－ 2y) ＋ (z 2－ 2z)＋π＝ (x － 1)2＋ (y －1) 2＋(z －1)2＋( π－ 3)∴ a ＋ b ＋ c ＞ 0 与 a ＋ b ＋c ≤0 矛盾．因此 a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0．明：如下表，我出一些常的否定．大于 ( ＞)是都是所有的?任意一个?至少一个否定不大于(≤ )不是不都是至少一个不?某个不?一个也没有。