高中数学椭圆标准方程解题技巧

椭圆的标准方程推导椭圆是平面上一个动点F到两个定点A和B的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

这个轨迹可以通过数学方法进行描述，其中最常用的方法就是通过椭圆的标准方程来进行推导。

接下来，我们将通过几何推导和代数推导两种方法来推导椭圆的标准方程。

几何推导：首先，我们来看一下椭圆的定义。

如上所述，椭圆是动点到两个定点的距离之和等于常数的轨迹。

设椭圆的两个焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

那么，根据椭圆的定义，动点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

接下来，我们可以利用动点P到两个焦点的距离公式来进行推导。

根据动点到两个焦点的距离公式，我们有PF1 = √(x c)² +y²，PF2 = √(x + c)² + y²。

将这两个距离之和等于2a代入，得到√(x c)² + y² + √(x + c)² + y² = 2a。

接着，我们对上式进行整理，得到√(x c)² + y² = 2a √(x+ c)² + y²。

然后对该式两边进行平方，得到(x c)² + y² = (2a √(x + c)² + y²)²。

再次整理得到(x c)² + y² =(2a)² 2(2a)√(x + c)² + (x + c)² + y²。

最后，我们再次对上式进行整理，得到(x c)² + y² =(2a)² 4a√(x + c)² + (x + c)²。

这就是椭圆的标准方程的几何推导过程。

代数推导：除了几何推导外，我们还可以通过代数方法来推导椭圆的标准方程。

首先，我们可以设定椭圆的焦点为F1(-c, 0)和F2(c, 0)，动点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a。

椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。

另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。

这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。

需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。

椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。

这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。

需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。

如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。

如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。

在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。

例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。

又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。

椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。

椭圆的顶点分别为(a,0)。

(-a,0)。

(0,b)。

(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。

椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。

椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。

椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。

2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。

陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b 。

（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

高中数学椭圆秒杀技巧
椭圆是平面几何中的重要概念，也是高中数学中常见的几何图形之一。

在学习
椭圆的过程中，很多同学可能会觉得难以掌握，但实际上只要掌握一些技巧，就能轻松秒杀椭圆相关问题。

本文将介绍几个高中数学中秒杀椭圆题目的技巧。

技巧一：理解椭圆的定义
在学习椭圆之前，首先要对椭圆的定义有一个清晰的认识。

椭圆是平面上到两
个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这个定义看起来有点抽象，但理解了这个定义之后，我们就能更好地解决与椭圆相关的问题。

技巧二：熟练掌握椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是一个常见的形式，即$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} =
1$。

掌握这个标准方程可以帮助我们快速识别椭圆，并在解题过程中更加得心应手。

技巧三：利用对称性简化问题
椭圆具有很强的对称性，可以利用这一特点简化问题。

分析题目中给出的条件，找到椭圆的对称轴和对称中心，可以帮助我们更快地找到解题思路。

技巧四：化简方程，消减未知数
有些椭圆相关的问题可能会涉及复杂的方程式，我们可以通过一系列化简操作，将方程转化为更简单的形式。

在这个过程中，适当的代换和方程变换是非常有帮助的。

技巧五：灵活运用性质和定理
掌握椭圆的相关性质和定理是解题过程中的利器。

比如椭圆的离心率性质、焦
点定理等，都可以帮助我们更好地理解题目和解题。

通过掌握上述技巧，我们就能更好地应对高中数学中关于椭圆的问题，轻松秒
杀各种椭圆相关题目。

希望同学们能够在练习中不断提升解题能力，取得更好的成绩！。

椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。

圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。

对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。

例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。

2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。

2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。

专题09椭圆解答题解题方法总结一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】；（一）三角形的面积问题例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】由2c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上， 可得：2a =，c =1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x =-=， 又点O 到直线y kx m =+的距离d =，122OPQS d PQ m ∆=⋅⋅=由于2121212121214y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，故2212OPQS m m∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=， 故OPQ ∆的面积为定值1.练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F，且过点(1,2和2.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（22【解析】（1）根据题意得，将点2⎛⎝⎭和23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222111213124a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1S 2222=⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， ()22222212122242214142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭221221k k +=+， 点O 到直线AB 的距离21k d k -=+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d=所以2ΔABC2111S22221dkkAB⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC∆.（二）定点问题例2. 已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线20x y+-=相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得EA EB⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）定点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b cab c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11bac=⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C的方程是2212xy+=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k=-≠联立()22121xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k+-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。

椭圆知识点总结一、椭圆的定义：（1）第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. （2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.椭圆定义的表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PFP M 二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程:焦点在x 轴:()012222>>=+b a b y a x ； 焦点在y 轴:()012222>>=+b a b x a y .a 是长半轴长，b 是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a += 2. ()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件为：122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x . 所以只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B CA C >时，椭圆的焦点在x 轴上； 当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 三、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例）1. 有限性:b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴、焦距：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.21F F 叫椭圆的焦距；为()c 2.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ac e =（2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。

高考数学椭圆解题方法总结一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。

其中点可以设为,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。

一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。

还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。

对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。

一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。

二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。

对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。

比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。

有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。

三、代数运算转化完条件就剩算数了。

很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。

有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。

解析几何中很多题都有动点或动直线。

如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。

若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。

在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。

四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。

高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项椭圆方程是高中数学中的重要内容，解椭圆方程需要掌握一些常见的方法和注意事项。

本文将介绍几种常见的解椭圆方程的方法，并给出相应的例题进行说明。

一、配方法解椭圆方程配方法是解椭圆方程的一种常用方法，它的基本思想是通过变量代换将椭圆方程转化为标准形式，从而求解出方程的解。

例题一：解方程$x^2-3xy+2y^2=7$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$x^2-3xy+2y^2$转化为$(x-y)(x-2y)$的形式。

因此，原方程可写为$(x-y)(x-2y)=7$。

接下来，我们可以尝试令$u=x-y$和$v=x-2y$，则方程可以进一步转化为$uv=7$。

这样，我们就将原方程转化为了一个更简单的形式，可以通过求解$u$和$v$的值来得到方程的解。

假设$u=1$，则$v=7$；假设$u=7$，则$v=1$。

因此，原方程的解为$(x-y,x-2y)=(1,7)$和$(7,1)$。

二、直接求解椭圆方程直接求解椭圆方程是一种简单直接的方法，需要将方程转化为标准形式，然后根据标准形式进行求解。

例题二：解方程$4x^2+9y^2-24x+36y=0$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$4x^2-24x$转化为$4(x^2-6x)$，将$9y^2+36y$转化为$9(y^2+4y)$。

然后，我们再将方程进行分组，即$4(x^2-6x)+9(y^2+4y)=0$。

接下来，我们可以将$x^2-6x$转化为$(x-3)^2-9$，将$y^2+4y$转化为$(y+2)^2-4$。

将这些转化代入方程，得到$(x-3)^2-9+9(y+2)^2-36=0$。

整理后，得到$(x-3)^2+9(y+2)^2=45$。

这是一个标准的椭圆方程，可以根据标准形式求解。

通过对方程进行分析，我们可以得到椭圆的中心坐标为$(3,-2)$，长轴长度为$\sqrt{45}$，短轴长度为$\sqrt{5}$。

椭圆考纲解读 1.利用椭圆的定义、几何性质求椭圆方程；2.利用椭圆的几何性质研究直线与椭圆的关系．[基础梳理]1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C ．6D ．5答案：A2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7答案：D3．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．答案：x 24＋y 23＝14．过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为________．答案：205．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)A 、B 是椭圆x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，M 为短轴的一个端点，且∠AMB ＝120°，求m 值．答案：1或9考点一 椭圆的定义及应用|思维突破[例1] (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 (2)设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12(3)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72D.752[解析] (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，点P 的轨迹是椭圆．(2)如图所示，因为到两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12，故选C.(3)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2，∴F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6.∵AF 22＝AF 21＋F 1F 22－2AF 1·F 1F 2cos 45°＝AF 21－4AF 1＋8，∴(6－AF 1)2＝AF 21－4AF 1＋8.∴AF 1＝72.∴S ＝12×72×22×22＝72.[答案] (1)B (2)C (3)C [思维升华]椭圆定义应用技巧思路应用 解读求方程 条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点三角形 求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a .平方是常用技巧求最值 利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 为定值，利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|最值或利用三角形求最值．如a ＋c 、a －c[跟踪训练]1．已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2、P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF 1，PF 2的中点分别为M ，N .O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为23，则△PF 1F 2的周长是( )A ．2(2＋3) B.2＋23 C.2＋ 3D ．4＋23解析：因为O ，M 分别为F 1F 2和PF 1的中点，所以OM ∥PF 2，且|OM |＝12|PF 2|，同理，ON ∥PF 1，且|ON |＝12|PF 1|，所以四边形OMPN 为平行四边形，由题意知，|OM |＋|ON |＝3，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，即2a ＝23，a ＝3，由a 2＝b 2＋c 2知c 2＝a 2－b 2＝2，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2c ＝22，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝23＋22，选A.答案：A3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|P A |＋|PF |≤6＋2， |P A |＋|PF |≥6－ 2.故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋2 6－2考点二 椭圆的标准方程及应用|方法突破[例2] (1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，则C 点轨迹为( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．求椭圆C 2的方程．[解析] (1)(定义法)由A ，B 坐标可知|AB |＝8，由△ABC 的周长为18可知AC ＋BC ＝10，由椭圆的定义可知，点C 在焦点为A (4,0)，B (－4,0)，长半轴长为5的椭圆上运动，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当点C 在横轴上时，点A ，B ，C 共线，不能构成三角形，所以y ≠0，所以点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．(2)法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二：(椭圆系法)：因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x 2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1. 又2k ＝2×2，故k ＝4， 故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.[答案] (1)A [方法提升]求椭圆标准方程的方法[母题变式]1．本例(1)变为：一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12.得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1. 答案：A2．本例(2)变为：与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)，求椭圆方程．解析：法一：因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0)，则1－⎝⎛⎭⎫n m 2＝14.从而⎝⎛⎭⎫n m 2＝34，n m ＝32. 又4m 2＋3n2＝1，所以m 2＝8，n 2＝6. 所以方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2＋x 2k 2＝1(h >k >0)，则3h 2＋4k 2＝1，且k h ＝32， 解得h 2＝253，k 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.法二：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为 x 24＋y 23＝t (t >0)，将点(2，－3)代入，得 t ＝224＋(－3)23＝2.故所求方程为x 28＋y 26＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.考点三 椭圆的几何性质|模型突破角度1 求离心率(或范围)[例3] (1)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，两曲线的一个交点为P ，且|PF |＝4，则该椭圆的离心率为( )A.7－23B.2＋13C.23D.12(2)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎝⎛⎦⎤0，13 (3)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫33，1B.⎣⎡⎦⎤33，22 C.⎣⎡⎦⎤13，12D.⎝⎛⎭⎫0，22 [解析] (1)(直接法)设P (x ，y )，由题意，得F (1,0)，|PF |＝x ＋1＝4，所以x ＝3，y 2＝12，则9a 2＋12b2＝1，且a 2－ 1＝b 2，解得a 2＝11＋47，即a ＝7＋2，则该椭圆的离心率e ＝c a ＝17＋2＝7－23.故选A.(2)(几何法)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.故选C. (3)(直接法)设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2.所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33≤c a ≤22.故选B. [答案] (1)A (2)C (3)B [模型解法][高考类题]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：|OB |为椭圆中心到l 的距离，设l 与椭圆交于顶点A 和焦点F ，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B角度2 根据椭圆性质求值或范围[例4] (1)已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的一动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 1M →·PM →＝0，则|OM →|的取值范围为( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．[0,4)(2)(2018·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·P A →的最大值为________．[解析] (1)由题意得c ＝22，当点P 在椭圆的短轴端点处时，M 与点O 重合，|OM →|取得最小值0；当点P 在椭圆的长轴端点处时，点M 与F 1重合，|OM →|取得最大值22，由于x ≠0，y ≠0，故|OM →|的取值范围是(0,22)．(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. [答案] (1)B (2)4 [模型解法][高考类题]2．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan ∠AMB 20<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧ m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 答案：A3．(2014·高考福建卷)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋2 C ．7＋ 2D ．62 解析：设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2，点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9(sin α＋23)2≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D.答案：D考点四 直线与椭圆的综合问题|方法突破[例5] (1)(2018·新乡模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.①求椭圆C 的方程；②设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．[解析] (1)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为M (x 0，y 0)，则有x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式作差，得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)2＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－x 02y 0. 即2＝－x 02y 0，所以x 0＋4y 0＝0.故所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0，将x ＋4y ＝0代入x 22＋y 2＝1得：x 22＋⎝⎛⎭⎫－x 42＝1，解得x＝±43，又中点在椭圆内，所以－43<x <43.(2)①设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3.所以－20<OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20. 综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为[－20，－523]．[答案] (1)x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－43<x <4 3 [方法提升][跟踪训练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，∴x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2b 2＝0.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，k AB ＝－1－01－3＝12， ∴2a 2＋12×－2b 2＝0，即a 2＝2b 2. 又c ＝3＝a 2－b 2，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.答案：D2．(2018·林州模拟)已知椭圆E ：x 24＋y 22＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－1，则l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．x －2y －52＝0C ．2x －y －2＝0D ．x －4y －92＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差并化简整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，直线l 的方程为y ＋1＝14⎝⎛⎭⎫x －12，即x －4y －92＝0.故选D.答案：D3．(2018·河北三市联考)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解析：(1)设焦距为2c ， ∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33， 由|AB |＝233，易知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2>1.1.[考点二、三、四](2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点， F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c ，从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c (x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c.同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c.因为2y N ＝y E ，所以2a ＋c ＝1a －c，即2a －2c ＝a ＋c ，所以e ＝c a ＝13.故选A.法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知|AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a ，∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋ca， 又∵|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c 2a ，∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.答案：A2.[考点一、二、三](2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案：B。

椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。

椭圆的解题方法和技巧椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。

例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。

求顶点的轨迹。

分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。

解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。

根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。

又∵，∴，即，∴，∴。

故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。

又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。

∴点的轨迹方程为。

评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。

解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。

例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。

分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。

解析：由，解得。

又，故满足。

∴为直角三角形。

评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。

利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。

二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n ）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=19, n= 13. ∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可.三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k=+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.121||6611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数范围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()2222222()()33()(0)3||()(01)()331(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC x xx y y x x C y x λλ∆=∈=++=-++=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．由，得，整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．。

椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}.(3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x225＋y216＝1.椭圆标准方程的两种形式 焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x 轴上 _________ (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2______ 2c焦点在y 轴上 __________ (a >b >0) F 1 ，F 2(0，c ) 2c椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一：椭圆的定义【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹.【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程.即(x －3)2＋(y －0)2－(x ＋3)2＋(y －0)2＝3，方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆. 设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3，整理得x 294－y 2274＝1(x <0).类型二：求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程【例2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程.方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 132a 2＋132b2＝1，0＋－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14.由a>b>0知不合题意，故舍去②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a 2＋132b2＝1，－122a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ②已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ②到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. ②2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；②到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴).所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m ≠n).则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.【变式】求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.总结：(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m>0，n>0).(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1 (a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ).【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).据题2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ②所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.（2）椭圆过点(3，2)，(5，1)；设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A ≠B)，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.（3）椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).由⎩⎨⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，②所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程【例3】已知一动圆M 与圆C1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值.【变式3】已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253， 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即a ＝ 5.据题C 1(－3，0)，r 1＝1，C 2(3，0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ， 故|MC 1|＋|MC 2|＝10，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴. 在Rt②PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ②c 2＝53，②b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.类型三: 椭圆中焦点三角形问题【例4】已知P 是椭圆y 25＋x 24=1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且②F 1PF 2＝30°，求②F 1PF 2的面积.解：由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ②c ＝a 2－b 2＝1，②|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ②|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3).② ＝12|PF 1|·|PF 2|sin②F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.【例5】已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|＝4，求②F 1PF 2的大小.解：由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，②c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，②cos②F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.12F PFS △【变式】(1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，②F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：②PF 1F 2的面积S ②PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(2)已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足②PF 1F 2＝90°(如图).求②PF 1F 2的面积.（1）S ②PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|.所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式，得 ＝12|PF 1||PF 2|sin α＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α.又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以S ②PF 1F 2＝b 2tan α2.（2）由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.在②PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a .两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.②根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2. ② ②－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2，从而|F 1F 2|＝2c ＝2. 在②PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以②PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即②PF 1F 2的面积是32.总结：(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy. (2)设点：设点M(x ，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (3)列式：依据椭圆的定义式|MF 1|＋|MF 2|＝2a 列方程， 并将其坐标化为x ＋c2＋y 2＋x －c 2＋y 2＝2a . ②(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b ，令b 2＝a 2－c 2，可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). ②知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题1】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于xa与yb的平方和，并且分母为不相等的正值．【问题2】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．【问题3】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．(1)椭圆的标准方程的形式(2)方程(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为____a2＝b2＋c2____．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．【变式1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)； (2)焦点在y 轴上，且经过两点(0,2)和(1,0)．解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知：2a ＝ (－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. ∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1. 所以点M 的轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆．反思与感悟 如果一个动点P 随着另一个在已知曲线上运动的动点Q 而运动，则求P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ). (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练2 如图所示，B 点坐标为(2,0)，P 是以O 为圆心的单位圆上的动点，∠POB 的平分线交直线PB 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．解 由三角形角平分线性质得|BQ ||QP |＝|OB ||OP |＝2. ∴BQ →＝2QP →. 设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，∴⎩⎨⎧ x 0＝3x －22，y 0＝3y 2.又∵点P 在单位圆x 2＋y 2＝1上．∴(3x －22)2＋(32y )2＝1. ∴点Q 的轨迹方程为(3x －2)24＋94y 2＝1.。