2020-2021学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．8.（填空题，5分）已知a、b都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值为___ ．9.（填空题，5分）已知log35= 1a，5b=7，则用a、b的代数式表示log63105=___ ．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)={2−|x|，x≤2(x−2)2，x＞2，函数g（x）=b-f（2-x），如果y=f（x）-g（x）恰好有两个零点，则实数b的取值范围是___ ．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|x2的大致图象为（）A.B.C.D.14.（单选题，5分）若函数f(x)=x2+a−1e x是偶函数，则实数a的值是（）A.-1B.0C.1D.不唯一15.（单选题，5分）已知cos170°=m，则tan10°的值为（）A. √1−m2mB. −√1−m 2mC. √1−m 2D. √1−m 216.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]；③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ．其中正确结论的序号是（ ）A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ③ ④17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值； （2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x (a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式；（2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+x k．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20.（问答题，16分）已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）求y=log22f(x)−log12 [2f（x）]，x∈[12，2]的最值，并求出取得最值时的x取值．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2020]【解析】：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：2021-x≥1，解得：x≤2020，故答案为：（-∞，2020]．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1][0，2）【解析】：求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=x 12}={x|x≥0}，B={x|e x-2＜1}={x|x＜2}，∴A∩B=[0，2）．故答案为：[0，2）．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (−∞，−√2)∪(√2，+∞)【解析】：根据指数函数的单调性即可得出：a2-1＞1，然后解出a的范围即可．【解答】：解：∵f（x）在（-∞，+∞）严格增函数，∴a2-1＞1，解得a＜−√2或a＞√2，∴a的取值范围是(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．故答案为：(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．【点评】：本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1] (−∞，12]【解析】：利用复合函数的单调性，转化求解即可．【解答】：解：因为y= (12)x是减函数，y=x2-x-2在(−∞，12]是减函数，所以函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为：(−∞，12]．故答案为：(−∞，12]．【点评】：本题考查复合函数的单调性的求法，是基础题．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．【正确答案】：[1] (−3，32)【解析】：直接利用指数的性质a0=1求解即可．【解答】：解：因为当x=-3式时，f（x）= a0+12=32，所以函数f（x）必过定点(−3，32)．故答案为：(−3，32)．【点评】：本题考查了指数函数的性质，解题的关键是掌握指数的性质a0=1，属于基础题．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．【正确答案】：[1]70【解析】：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，推得四边形AEFB为矩形，可得EF=AB，再由解直角三角形可得CE=DF，即可得到所求最大值．【解答】：解：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，因为AB || EF，AE || BF，所以四边形AEFB为平行四边形，又因为∠AEF=90°，可得四边形AEFB为矩形，所以EF=AB=16，因为AE || PC，可得∠PCA=∠CAE=30°，×54=27，所以CE=ACsin30°= 12同理可得DF=27，所以当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为：CD=CE+EF+FD=27+16+27=70（cm），故答案为：70．【点评】：本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，考查运算能力和数形结合思想，属于基础题．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．【正确答案】：[1] f−1(x)=−√x(x≥0)【解析】：由y=f （x ）反解出x ，然后求出原函数的值域即为反函数的定义域，再得到y=f （x ）的反函数．【解答】：解：因为y=x 2（x≤0），所以x=- √y ，又因原函数的值域是{y|y≥0}，所以已知函数f （x ）=x 2（x≤0），则y=f （x ）的反函数为 f −1(x )=−√x (x ≥0) ．故答案为： f −1(x )=−√x (x ≥0) ．【点评】：本题主要考查反函数的求解，解题中一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域，同时考查了学生的计算能力，属于基础题．8.（填空题，5分）已知a 、b 都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：直接利用均值不等式求解【解答】：解：∵（a+1）（b+2）=16，∴（a+1）+（b+2） ≥2√( a +1)(b +2) =2× √16 =8，（当且仅当a+1=b+2，即a=3，b=2时取等号）∴a+b≥5，则a+b 的最小值为5，故答案为：5．【点评】：本题考查了均值不等式的应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知log 35= 1a ，5b =7，则用a 、b 的代数式表示log 63105=___ ．【正确答案】：[1] b+a+1b+2a【解析】：由换底公式可得出 log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) ，然后进行对数的运算即可．【解答】：解：∵ log 35=1a ，5b =7 ，∴ log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) = log 35+log 35b +1log 35b +2 = 1a +b a +1b a +2 = b+a+1b+2a ． 故答案为： b+a+1b+2a ．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（4，+∞）【解析】：利用对数函数的性质，判断a，b是大小，得到关系式，然后求解a+2b的取值范围．【解答】：解：|lga|=|lgb|，a＜b时，|lga|=|lgb|，lga+lgb=0=lg（ab），∴ab=1，a，b＞0，所以a+3b=a+ 3 a ，令f（a）=a+ 3a，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+ 31=4，即a+3b的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】：本题考查了函数与方程的应用、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用点B在函数f（x）上，得到p和q的关系式，再利用对数式与指数式的互化即可得到答案．【解答】：解：根据题意，因为点B（p，q）在函数f（x）=log24x上，又f（x）=2+log2x，所以2+log2p=q，所以p=2q-2，即4p=2q ，所以 2q p 的值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，涉及了指数与对数的运算，解题的关键是将点B 代入f （x ）得到p 和q 的关系，属于基础题．12.（填空题，5分）已知函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2，函数g （x ）=b-f （2-x ），如果y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，则实数b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] {74}∪(2，+∞)【解析】：根据f （x ）的解析式，先求出f （2-x ）的解析式，进而求得y=f （x ）+f （2-x ）的解析式，然后将问题转化为函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，作出两个函数的图象，根据图象分析求解即可．【解答】：解：函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2， 则函数 f (2−x )={2−|2−x |，x ≥0x 2，x ＜0 ， 故函数 y =f (x )+f (2−x )={2−|x |+x 2，x ＜02−|x |+2−|2−x |，0≤x ≤2(x −2)2+2−|2−x |，x ＞2，即 y =f (x )+f (2−x )={x 2+x +2，x ＜02，0≤x ≤2x 2−5x +8，x ＞2，因为函数g （x ）=b-f （2-x ），且y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，等价于f （x ）+f （2-x ）=b 恰有两个根，即函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，因为 y =x 2+x +2=(x +12)2+74 且 y =x 2−5x +8=(x −52)2+74 ， 所以函数y=f （x ）+f （2-x ）的最低点的纵坐标为 74 ，作出函数y=f （x ）+f （2-x ）和y=b 的图象如图所示，由图象可知，当b= 74 或b ＞2时，两个函数图象有两个交点，即y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，}∪(2，+∞)．所以实数b的取值范围是{74}∪(2，+∞)．故答案为：{74【点评】：本题考查了函数零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用，对于分段函数一般选用分类讨论或是数形结合的方法进行研究，而对于函数零点问题，则一般会转化为两个函数图象的交点进行处理，解题的关键是作出函数y=f（x）+f（2-x）的图象，属于中档题．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|的大致图象为（）x2A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据函数的奇偶性和函数的单调性，即可判断函数的图象．【解答】：解：∵f （-x ）= lg|x|x 2=f （x ），且定义域关于原点对称， ∴函数f （x ）为偶函数，即函数f （x ）的图象关于y 轴对称，故排除A ，B当x ＞1是函数y=lg|x|为增函数，当0＜x ＜1时，函数y=lg|x|为减函数， 当x ＞0，函数y= 1x 2 为减函数，故函数f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数， 故图象为先增后减，故排除C ， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．14.（单选题，5分）若函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数，则实数a 的值是（ ）A.-1B.0C.1D.不唯一 【正确答案】：C【解析】：根据题意，由偶函数的定义可得f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ，变形可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数， 则f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ， 变形可得：（a-1）（e x -e -x ）=0恒成立，必有a=1， 故选：C ．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 15.（单选题，5分）已知cos170°=m ，则tan10°的值为（ ） A.√1−m 2m B. −√1−m 2mC.√1−m 2D. √1−m 2【正确答案】：B【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin170°= √1−m 2 ，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】：解：因为cos170°=m ， 所以sin170°= √1−m 2 ， 则tan10°= sin10°cos10° = sin170°−cos170° = √1−m 2−m =- √1−m 2m． 故选：B ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]； ③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ． 其中正确结论的序号是（ ） A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：先研究函数的性质，求出函数值为±1时对应x 的值，再根据函数的单调性对四个结论进行判断，找出使得值域是[-1，1]结论，即可得出答案．【解答】：解： y =log 12(1−x ) 是增函数，且当x=-1时，y=-1，x= 12时，y=1，y=22-|x-1|-3= {23−x −3，x ≥12x+1−3，x ＜1 ，当x=1时，y=1，x=2时，y=-1，x=0时，y=-1，且当x ＜1时，函数y=22-|x-1|-3是增函数，x ＞1时，函数y=22-|x-1|-3是减函数，当n=0时，最大值1必在x ＞n 时取到，即m 的值必须保证自变量x 可以取到1，故m≥1，故 m ∈(12，2] 错误， ① 不正确；② 当 n ∈[0，12) 时，此范围中n=0存在，故此时m≥1，故m∈（n ，2]错误， ② 不正确； ③ 由 ① 知，当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]，故 ③ 正确；④ 当 n =12 时，此时 y =log 12(1−12) =1，此时在-1≤x≤n 时，-1≤y≤1，故此时 m ∈(12，2] ，可保证函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，故 ④ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查命题真假的判断与应用，分段函数的性质，本题综合性强，思维量大，研究清楚函数的性质是解答的关键． 17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值；（2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简可得f （α）=-tanα，根据特殊角的三角函数值即可求解．（2）根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】：解：（1）因为 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) = − cosα(−tanα)−cotαsinα=-tanα， 所以 f (π3) =-tan π3 =- √3 ；（2）因为 tanθ=12 ， 所以sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ= sin 2θ+sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ = tan 2θ+tanθ−1tan 2θ+1 = 14+12−114+1= −15 ．【点评】：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式； （2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+xk．【正确答案】：【解析】：（1）根据奇函数在x=0处有意义可得f （0）=0，然后求出a 的值，再求出f （x ）的反函数；（2）根据对数函数的单调性建立不等关系，分0＜k ＜2和k≥2两种情况，解不等式即可．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．所以f （0）=a−12=0 ，解得a=1，设y=f （x ）=e x −11+e x，则 e x =1+y1−y，所以 x =ln (1+y1−y) ， 所以函数f （x ）的反函数 f −1(x )=ln 1+x1−x ，x∈（-1，1）； （2）由 f −1(x )＞ln 1+x k ，可得 ln 1+x 1−x ＞ln 1+xk，x∈（-1，1）， 则1+x 1−x ＞1+x k ，所以 11−x ＞1k且k ＞0，所以1-x ＜k ，所以x ＞1-k ，① 若-1＜1-k ＜1，即0＜k ＜2，则原不等式的解集为（1-k ，1）， ② 若1-k≤-1，即k≥2，则原不等式的解集为（-1，1）．【点评】：本题主要考查反函数的求解，利用函数的奇偶性求参数值和对数不等式的解法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用二次函数求最值即可；（2）分段求出满足S≥80的t 的范围，取并集求得学生的学习效果最佳时间，再与20比较即可得出结论．【解答】：解：（1）当0＜t≤13时，S= −14t 2+6t +46 ， ∴当t=-62×(−14)=12时，S 的值最大，最大值为82；（2）当0＜t≤13时，令S=- 14 t 2+6t+46＞80，解得12-2 √2 ＜t ＜12+2 √2 ， ∴t∈（12-2 √2 ，13]，当13＜t≤40时，令83-log 3（t-5）＞80，解得5＜t ＜32，∴t∈（13，32）， ∴t∈（12-2 √2 ，32），∵32-（12-2 √2 ）=20+2 √2 ＞20，∴教师能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．【点评】：本题主要考查了函数的实际运用，考查分段函数最值的求法与不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，16分）已知幂函数 f (x )=x −2m 2+m+3(m ∈Z ) 是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m 的值，并确定f （x ）的解析式；（2）求 y =log 22f (x )−log 12[2f （x ）]， x ∈[12，2] 的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，由此求得m的值．（2）令log2f（x）=t= log2x3，则t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，再利用二次函数的性质，求出它的最值．【解答】：解：（1）∵幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数，∴-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，求得-1＜m＜32，且-2m2+m+3 为奇数．∴m=0，f（x）=x3．（2）令log2f（x）= log2x3 =t，则log12f(x) = log21f(x)=-log2f（x）=-t，y=t2+t+1．∵ x∈[12，2]，∴t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，故当t=- 12时，此时，x= 2−16，函数y取得最小值为34，当t=3时，即x=2时，函数y取得最大值为 13．【点评】：本题主要考查幂函数的定义和性质，对数函数的性质应用，属于中档题．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．【正确答案】：【解析】：（1）函数f（x）=2x（x∈R），将f（2x）-2f（x）≤3转化为22x-2x-6≤0，然后利用一元二次不等式的解法以及指数不等式的解法求解即可；（2）根据g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，利用换元法k=2x0−2−x0，转化为存在实数k∈(3 2，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，再设m=1k2，m∈[16225，49)，转化为求解函数y=m+√4m+1的求值范围，即可求得t的取值范围；（3）根据H（x）=f（2x+2）+af（x）+b的解析式，令v=2x，将问题转化为对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，列出关于a，b的关系，求解即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）=2x（x∈R），所以不等式f（2x）-2f（x）≤3，即为22x-2x-6≤0，即（2x+2）（2x-3）≤0，解得0＜2x≤3，所以x≤log23，故不等式f（2x）-2f（x）≤3的解集为（-∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，即存在实数x0∈（1，2]，使得1+22x0−2−2x0=t(2x0−2−x0)2成立，令k=2x0−2−x0，因为k在（1，2]上单调递增，所以k∈(32，154]，又(2x0+2−x0)2=22x0+2−2x0+2=t2+4，则有存在实数k∈(32，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，则t=1k2+√4k2+1，设m=1k2，m∈[16225，49)，即有y=m+√4m+1在m∈[16225，49)上单调递增，所以y∈[271225，199)，故t的取值范围为[271225，199)；（3）H（x）=f（2x+2）+af（x）+b=22x+2+a•2x+b=4•（2x）2+a•2x+b，令v=2x，因为x∈[0，1]，所以v∈[1，2]，所以φ（v）=4v2+av+b，因为若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，则对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，所以 { |4+a +b |≤12①|16+2a +b |≤12②|16b−a 216|≤12③ ，由 ① ② ③ 解得a=-12，b= 172．【点评】：本题考查了函数与方程的综合运用，涉及了函数与不等式的综合应用，解题的关键是利用换元法将复杂函数转化为常见函数进行研究，属于难题．。

2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件. 故选：A.2．设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>【答案】C【详解】ln p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．3．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（ ）A ．a b a b -<-B ．a b a b -<+C ．a b a b +>-D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=， 则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 4．关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； （2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数； （4）()y f x =是偶函数且有最小值． 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误； （2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确； （3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误； （4） 由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确； 故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.二、填空题5．设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B =___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B x x =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞，{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 6．幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值. 【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a = 解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.7．不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞. 故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞.8．已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--9．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =， ∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-， ∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-. 故答案为：2-. 10．若a()2log 21a a +的值是________．【答案】1- 【分析】(1,2)=，即可得a =数运算的性质求值即可. 【详解】(1,2)=，知：1a =-=，即2a =，1212a +==∴()2log 211a a +==-=-. 故答案为：1-.11．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x +=-15，变形为()21212815x x x x +=-，根据方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，得到212121+1,14x x k x x k =+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ， 所以212121+1,14x x k x x k =+⋅=+， 因为2212126x x x x +=-15， 所以()21212815x x x x +=-，()221181154k k ⎛⎫+=⨯+- ⎪⎝⎭，即()()240k k +-=， 解得4k =或2k =-（舍去） 故答案为：412．若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________． 【答案】[]1,0-【分析】讨论0m =、0m ≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m 取值即可.【详解】当0m =时，()1f x x =--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m ≠时，()221(1)()24m m f x m x m m-+=+-， ∴112m m -≤-，即102mm+≤，可得10m -≤<， 综上，有10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-.13．若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，[)0,4a ∈. 故答案为：[)0,4.14．已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥ 若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<. 故答案为：[0,1).15．设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________． 【答案】(,1)(5,)-∞+∞【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >. 故答案为：(,1)(5,)-∞+∞.16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________． 【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+， ∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.三、解答题17．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【详解】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【解析】不等式选讲.18．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =. (1)由基本不等式及1ab =,有22a b ab +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 19．已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =； （2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性. 【详解】（1）因为()07f = 代入可得17a -=,解得6a =- 所以()363xxf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅= 化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330xx--= 解得3log 2x =或1x = （2）()33xxf x a -=-⋅则()33xxf x a --=-⋅当1a =时,()33xxf x -=-,()33xx f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知, 当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时, 函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-． （1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）， ∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． （2）设售价x （元）时总利润为z （元），∴2000200010200702z x x=---（） ，1002000?25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（ 元， 当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 1=2x 时，max ()=2g x . (3) 1(0,)16【详解】试题分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围. 试题解析：(1) 由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=. 当1x >时，()11=1x f x x x-=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=- ()()1221221211=x x x x x x --- 1212=x x x x -， 因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<， 所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩， 当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ； 当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭， 因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x时，()max =2g x ； 综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x . （3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈. 同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞. 方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=， 即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<， 所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0＜1C. yx＞1D. yx16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a，设a∈R．2x+1（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x）|成立，其中k为正（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2整数，求k的值．2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{2，5}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，∴A∩B={2，5}．故答案为：{2，5}．【点评】：本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2）【解析】：直接由对数式的真数大于0求解一元一次不等式得答案．【解答】：解：由2-x＞0，得x＜2．∴函数y=lg（2-x）的定义域是（-∞，2）．故答案为：（-∞，2）．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．【正确答案】：[1] −6b 1 6【解析】：利用指数的性质、运算法则直接求解．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，∴ 4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)= −6a23−16−12b2−56−1 =-6 b16．故答案为：-6 b 1 6．【点评】：本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：利用一元二次方程根与系数的关系可得答案．【解答】：解：已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：α+β=-2，αβ=- 32；则1α+1β= α+βαβ= −2−32= 43．故答案为：43．【点评】：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：根据题意得到log a4=2，然后求出a，再求出f(2√2)的值．【解答】：解：∵f（x）=log a x的图象经过点（4，2），∴log a4=2，∴a2=4，且a＞0，∴a=2，∴ f(2√2)=log2232=32．故答案为：32．【点评】：本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，结合f（x+2）=-f（x）可得f（-2）=-f（-2+2）=f（0），即可得答案．【解答】：解：根据题意，y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，又由f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=-f（-2+2）=f（0）=0，故答案为：0．【点评】：本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：先利用基本不等式可得ab≤14，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】：解：∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴ 1=a+b≥2√ab，即ab≤14，当且仅当a=b时取等号，∴ (a+1)(b+1)=ab+1+1≤14+2=94，即（a+1）（b+1）的最大值为94．故答案为：94．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（0，3]【解析】：利用数形结合对x分段讨论即可求解．【解答】：解：由图象可得：当x＜0时，y1y2＜0，当x=0时，y1y2无意义，当0＜x＜3时，y1y2＞ 0，当x=3时，y1y2=0，当x＞3时，y1y2＜0，综上，y1y2≥0的解集为（0，3]，故答案为：（0，3]．【点评】：本题考查了函数的图象的问题，考查了学生的数形结合思想的能力，属于基础题．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：由绝对值三角不等式即可求得a的取值范围．【解答】：解：|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3，因为关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，属于基础题．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．【正确答案】：[1]-3• (12)x+2【解析】：根据题意求出a、c的值，再判断b的取值范围，即可写出函数的一个解析式．【解答】：解：函数y=a•b x+c中，x∈[0，+∞）的值域为[-1，2），所以x=0时，y=a+c=-1；x→+∞时，y=a•0+c=2，所以c=2，a=-3，且b∈（0，1），所以该函数的一个解析式可以为y=-3• (12)x+2．故答案为：-3• (12)x+2．【点评】：本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]{4}【解析】：作出两函数的图象，当x≥0时，k＞1，在[0，+∞）上有一个交点，只需当x＜0时两函数图象有且只有一个交点，最后根据一元二次方程只有一个根建立关系式，从而可求出所求．【解答】：解：由 y =2|log 2(x+1)| 得 y ={1x+1，−1＜x ＜0x +1，x ≥0，由y=k|x|得 y ={−kx ，x ＜0kx ，x ≥0 ，作出两函数的图象如下图：当x≥0时，k ＞1，在[0，+∞）上有一个交点，而函数y=k|x|与 y =2|log 2(x+1)| 的图象恰有两个公共点， 所以当x ＜0时两函数图象有且只有一个交点，即y=-kx 与y= 1x+1相切， 即-kx=1x+1（x ＜0），即kx 2+kx+1=0，Δ=k 2-4k=0，解得k=4或0（舍去） 所以实数k 的取值范围为{4}． 故答案为：{4}．【点评】：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短． 【正确答案】：[1]（2，4）【解析】：首先表示横轴和纵轴方向的距离之和，再根据含有绝对值的三角不等式进行求解最值，即可得到答案．【解答】：解：设格点的坐标为（x，y），则-2≤x≤6，1≤y≤6，根据含有绝对值三角式|a|+|b|≥|a-b|可得横轴方向距离和为d（x）=2|x+2|+2|x-2|+|x-4|+|x-6|=（|x+2|+|x-6|）+（|x+2|+|x-4|）+2|x-2|≥|（x+2）-（x-6）|+|（x+2）-（x-4）|+2×0=14，此时d（x）的最小值时14，此时三个等号成立的条件是-2≤x≤6，-2≤x≤4，x=2，所以x=2时，d（x）的最小值时14，纵轴方向的距离和为f（y）=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|≥|（y-1）-（y-6）|+|（y-2）-（y-5）|+|（y-3）-（y-4）|=9，此时d（y）的最小值是9，三个等号成立的条件是1≤y≤6，2≤y≤5，3≤y≤4，即y=3或4，当y=3时，此时格点的位置是（2，3），是垃圾回收点，故舍去；当y=4时，此时格点的位置是（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】：本题是具有实际应用背景的习题，涉及了含有绝对值问题的求解，解题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离进行研究，属于中档题．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x【正确答案】：B【解析】：根据函数性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答】：解：y=x2≥0，即函数的值域为[0，+∞），不满足条件．y=2x＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y=lnx的值域为R，不满足条件．当x＜0时，y＜0，则函数的值域不是（0，+∞），不满足条件．故选：B．【点评】：本题主要考查函数值域的判断，结合函数的值域性质是解决本题的关键，是基础题．14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除【正确答案】：D【解析】：根据用反证法证明数学命题的方法，命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，从而得出结论．【解答】：解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，故选：D．【点评】：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0C. y＜1xD. y＞1x【正确答案】：A是R 【解析】：条件即2020x-2021-x＜2021y-2021-y，由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t上的增函数，f（x）＜f（y），可得结论．【解答】：解：实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，∴2020x-2021-x＜2021y-2021-y，是R上的增函数，f（x）＜f（y），由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t∴x＜y，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件【正确答案】：B【解析】：根据函数的奇偶性与单调性的定义判定函数的性质，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】：解：对于p1：令x1=x2=0，则f（0）=2f（0），所以f（0）=0；令x1=x，x2=-x，则f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，所以此函数为奇函数；设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在R上单调递增，故p1是q的充分条件；对于p2，不能表示任意性，不符合单调性的定义，故p2不是q的充分条件；综上所述，p1、p2中仅p1是q的充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数的单调性，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）把a的值代入集合B解出集合B，再解出集合A，即可求解；（2）分别解出集合A的补集，以及集合B，根据集合的包含关系即可求解．【解答】：解：（1）当a=1时，B={x|x2-4x+3≤0}=[1，3]，A={x|x≥2或x＜-1}，所以A∩B=[2，3]，（2）A=[−1，2)，B=[a，a+2]，因为B ⊂A，则{a≥−1a+2＜2，解得-1≤a＜0，即实数a的取值范围为[-1，0）．【点评】：本题考查了集合间的交并补运算以及集合间的包含关系，涉及到解分式不等式以及一元二次不等式，考查了学生的运算能力，属于基础题．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1，设a∈R．（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）利用函数为奇函数，则有f（0）=0，求出a的值，再利用奇函数的定义进行检验即可；（2）求出当a=0时f（x）的解析式，然后利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）= 2x+a2x+1，定义域为R，且为奇函数，所以f（0）=0，即1+a1+1=0，解得a=-1，经检验，此时对任意的x都有f（-x）=-f（x），故存在a=1，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，f(x)=2x2x+1=1−12x+1，函数f（x）在R上为单调递增函数，证明如下：设x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(1−12x1+1)−(1−12x2+1)= 12x2+1−12x1+1=2x1−2x2(2x2+1)(2x1+1)，因为x1＜x2，所以2x1−2x2＜0，(2x2+1)(2x1+1)＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上为单调递增函数．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数奇偶性的应用、函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数的性质并能够进行灵活的运用，属于中档题．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用题意得到p（x）=f（x）g（x），然后去掉绝对值化为分段函数表示即可；（2）分类讨论，分别利用基本不等式和函数的单调性求解分段函数两段的最值，分别比较即可得到答案．【解答】：解：（1）根据题意可得，p（x）=f（x）•g（x）= (8+8x)(143−|x−22|) ={8x+968x+976，1≤x≤22，x∈N∗−8x+1320x+1312，22＜x≤30，x∈N∗；（2）① 当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）= 8x+968x +976≥2√8x•968x+976=1152，当且仅当x=11时取等号，所以p（x）min=p（11）=1152，② 当22＜x≤30，x∈N*时，p(x)=−8x+1320x+1312在（22，30]上单调递减，所以p（x）min=p（30）=1116，又1152＞1116，所以日最低收入为m=1116千元，又0.3m=33.48千元＞30千元，所以该园区能收回投资成本．【点评】：本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了分段函数的应用、基本不等式求最值的应用、函数单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型进行研究，属于中档题．20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，画出函数y=|f（x）|的图象，结合图象求出m的范围即可；（2）根据一元二次函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴x=a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求出值域．（3）由于要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，则必有[f（x）]max-[f （x）]min≤4，即因此需求出函数在[1，a+1]上的最大最小值．【解答】：解：（1）a=3时，f（x）=x2-6x+5，画出函数y=|f（x）|的图象，如图示：，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，则0＜m＜4，即m∈（0，4）；（2）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]是单调减函数，∴f（x）的最大值为f（1）=6-2a，f（x）的最小值为f（a）=5-a2，∴6-2a=a，且5-a2=1，∴a=2．（3）函数f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+5-a2，开口向上，对称轴为x=a，∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1≥3，f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，f（x）在x=a处取得最小值，f（x）min=f（a）=5-a2，f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=6-2a，∴5-a2≤f（x）≤6-2a，∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，∴6-2a-（5-a2）≤4，解得：-1≤a≤3；综上：2≤a≤3．【点评】：本题考查二次函数的最值问题，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键，此题是一道函数的恒成立问题，第二问难度比较大，充分考查了函数的对称轴和二次函数的图象问题，是中档题．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2）|成立，其中k为正整数，求k的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用换底公式得到log25= 4m，化简f（10）=log210=1+log25，即可得出答案．（2）方程转化为若x+tx2=1，讨论参数t的值得解．（3）利用已知和函数单调性得到ab=1，把等式转化为√k（a2+1）=2a2，对k取值讨论得解．【解答】：解：（1）因为log516=m，所以log216log25 =m，即4log25=m，所以log 25= 4m ，所以f （10）=log 210=1+log 25=1+ 4m ．（2）g （x ）=2f （x ）+f （ 1x +t ）=2log 2x+log 2（ 1x +t ）=log 2（ 1x +t ）x 2=log 2（x+tx 2）， 令g （x ）=log 2（x+tx 2）=0，所以x+tx 2=1（x ＞0，t+ 1x ＞0）只有一个正根，当t=0时，x=1满足题意，当t ＞0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上单调递增，且h （0）=-1＜0，所以满足题意有一个正根，当t ＜0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上不单调，若有一个正根，则Δ=1+4t=0，解得t=- 14 ，综上，m 的取值范围为{- 14 }∪[0，+∞）．（3）f （x ）=log 2x ，因为a≠b ，|f （a ）|=|f （b ）|，所以f （a ）=-f （b ），所以f （a ）+f （b ）=0，即log 2ab=0，解得ab=1，|f （a ）|=|f （b ）|=|f （√k (a+b )2 ）|， 不妨设 √k (a+b )2 =a= 1b， 所以 √k （a+b ）=2a ，所以 √k （a+ 1a ）=2a ，即 √k （a 2+1）=2a 2，当k=1时，a 2+1=2a 2，所以a=1，此时b=1与已知矛盾，舍去，当k=2时， √2 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √2 ）a 2= √2 ，此时a 有正解，满足题意， 当k=3时， √3 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √3 ）a 2= √3 ，此时a 有正解，满足题意， 当k≥4时， √k （a 2+1）=2a 2，所以（2- √k ）a 2= √k ，此时2- √k ≤0无解，不满足题意， 综上得k=2或k=3．【点评】：本题考查函数的性质，零点，参数的取值，属于解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．。

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若 P n 3=C n 4，则正整数n=___ ．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ．3.（填空题，4分）直线 y =√3x −1 与直线 y =√33(x −1) 的夹角的大小是 ___ ．4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 6.（填空题，4分）二项式 (x 2−1x )6展开式中的常数项为___ ．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是 ___ ．8.（填空题，5分）若-1，x ，y ，z ，-9（x 、y 、z∈R ）是等比数列，则实数y=___ ． 9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ．10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ．11.（填空题，5分）我们知道： C n m=C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ；② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ．12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列；② a k=a n-k+1（k∈N，-1≤k≤n）；③ 点P在直线l上；④ 若{x n}是等差数列，P点坐标为(x1+x n2，y1+y n2)．其中正确的命题有 ___ ．（填写所有正确命题的序号）．13.（单选题，5分）已知直线l：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l过点（0，0）”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题，5分）已知直线l过点P（3，4），且与坐标轴分别相交于点A、B，若△OAB的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC || 平面EFGH，BD || 平面EFGH，设BEAB=λ(0＜λ＜1)，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若λ=12，则多面体BEF-DGH的表面积等于12SD.若λ=12，则多面体BEF-DGH的体积等于12V17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；（2）求X的分布和数学期望E[X]．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a n x n（n为正整数）．（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13（请用分数作答）．（1）求甲以4：0获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．20.（问答题，16分）在数列{a n}中，a1= 14，a n+1a n=n2(n+2)（n为正整数）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1；（3）若数列{b n}满足b1=1，b n-b n+1=（n+2）a n，求数列{b n}的通项公式．21.（问答题，18分）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA= π，直角梯形ABEF中，BE || AF，3AF=2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF⊥平面ABCD．AB⊥AF，AB=BE= 12（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；，若存在，（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为√3926求出AG的长；若不存在，请说明理由．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若P n3=C n4，则正整数n=___ ．【正确答案】：[1]27【解析】：根据题意，由排列、组合数公式，可得n（n-1）（n-1）= n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，若P n3=C n4，则有n（n-1）（n-1）= n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，解可得：n=27，故答案为：27．【点评】：本题考查排列、组合数公式，注意排列、组合数公式的形式，属于基础题．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接利用古典概型问题的应用求出结果．【解答】：解：投掷一个正方体骰子，基本事件数为6；朝上数字大于4的基本事件数为2；故概率为P（A）= 26=13．故答案为：13．【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.（填空题，4分）直线y=√3x−1与直线y=√33(x−1)的夹角的大小是 ___ ．【正确答案】：[1]30°【解析】：先求出两直线的斜率，求出倾斜角，然后求解夹角．【解答】：解：直线 y =√3x −1 的斜率等于 √3 ，倾斜角为：60°， 直线 y =√33(x −1) 的斜率等于 √33 ，倾斜角为30°，两直线的夹角为30°． 故答案为：30°．【点评】：本题考查两直线的夹角的求法，已知三角函数值求角，是中档题．4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ． 【正确答案】：[1]3⋅22k+1-2k 【解析】：求出 a k+1，a k 即得解．【解答】：解：由题得， a k =2k +2k+1+2k+2+⋯+22k =2k (1−2k+1)1−2=22k+1−2k ，所以 a k+1=22k+3−2k+1两式相减得 a k+1−a k =22k+3−22k+1+2k −2k+1=3⋅22k+1−2k ， 所以 a k+1−a k =3⋅22k+1−2k ． 故答案为：3⋅22k+1-2k ．【点评】：本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，-2，3）【解析】：设C 的坐标为（x ，y ，z ），根据向量的坐标运算即可求出．【解答】：解：设C 点的坐标为（x ，y ，z ）， ∵A （-1，2，-3），B （2，-4，6），∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，y-2，z+3）， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-x ，-4-y ，6-z ）， ∵ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴（x+1，y-2，z+3）=2（2-x ，-4-y ，6-z ）=（4-2x ，-8-2y ，12-2z ） ∴ {x +1=4−2xy −2=−8−2y z +3=12−2z ， 解得x=1，y=-2，z=3，∴C（1，-2，3）．故答案为：（1，-2，3）．【点评】：本题考查点的坐标的求法，考查空间坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（填空题，4分）二项式(x2−1x )6展开式中的常数项为___ ．【正确答案】：[1]15【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】：解：二项式(x2−1x )6展开式的通项公式为T r+1= C6r•（-1）r•x12-3r，令12-3r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C64 =15，故答案为：15．【点评】：本题主要二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___ ．【正确答案】：[1]1024【解析】：每一个位置只有亮与不亮两种状态，可得结论．【解答】：解：每一个位置只有亮与不亮两种状态，故可表示的数据个数为210=1024．【点评】：本题考查归纳推理，属中档题．8.（填空题，5分）若-1，x，y，z，-9（x、y、z∈R）是等比数列，则实数y=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知结合等比数列的性质即可直接求解．【解答】：解：根据等比数列的性质可得y2=-1×（-9）=9，所以y=3或y=-3，设等比数列的公比q，当y=3时，q 2=-3不符合题意， 故y=-3． 故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ． 【正确答案】：[1] 3√520【解析】：根据已知条件，结合两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0平行， ∴k=-3×2=-6，即直线l 1的方程为2x+y-3b=0， ∴l 1与l 2间距离d=2√22+12 =|(b+32)2+34|√5当b= −32 时，d 取得最小值 3√520 ． 故答案为： 3√520 ．【点评】：本题主要考查两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，属于基础题． 10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ． 【正确答案】：[1] 187200【解析】：直接利用互斥事件的应用求出结果．【解答】：解：根据题意合格品的概率P （A ）= 710×95100+310×90100 = 187200 ． 故答案为： 187200 ．【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题，互斥事件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（填空题，5分）我们知道： C n m=C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ；② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ．【正确答案】：[1] C n m= C n−k m + C n−k m−k【解析】：根据题意，类比题目的思路，用两种方法讨论“从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组”的选法，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组，有2种分析方法：① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组，有 C n m 种选法，② 分2种情况讨论：若其中的某k 个元素都入选，需要从剩下的n-k 个元素中选m-k 个元素，有 C n−k m−k 种选法，若k 个元素都不入选，需要从剩下的n-k 个元素中选m 个元素，有 C n−k m 种选法， 则有 C n m = C n−k m + C n−k m−k ， 故答案为： C n m = C n−k m + C n−k m−k ．【点评】：本题考查合情推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题．12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列； ② a k =a n-k+1（k∈N ，-1≤k≤n ）； ③ 点P 在直线l 上；④ 若{x n }是等差数列，P 点坐标为 (x 1+x n 2，y 1+y n2) ． 其中正确的命题有 ___ ．（填写所有正确命题的序号）． 【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】： ① 可以根据题意进行判断；② 根据题干条件当i+j=n+1时，恒有a i =a j ，进行推导； ③ 设出点P 坐标，结合题干条件进行推导； ④ 再第三问基础上进行推导即可．【解答】：解：只有在数列{x n }是等差数列时，数列{y n }是等差数列，根据题意，数列{x n }不一定是等差数列，故数列{y n }不一定是等差数列， ① 错误；因为k+n-k+1=n+1，所以a k =a n-k+1（k∈N ，-1≤k≤n ）， ② 正确；因为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设P （s ，t ）， 则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ，t=a 1y 1+a 2y 2+…+a n y n ，因为A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，所以y 1=2x 1-3，y 2=2x 2-3，…，y n =2x n -3，则a 1y 1=2a 1x 1-3a 1，a 2y 2=2a 2x 2-3a 2，…，a n y n =2a n x n -3a n ，相加得：a 1y 1+a 2y 2+…+a n y n =2（a 1x 1+a 2x 2+…+a n y n ）-3（a 1+a 2+…+a n ）， 因为a 1+a 2+…+a n =1，所以t=2s-3，点P 在直线l 上， ③ 正确；{x n }是等差数列，若n 为偶数，则x 1+x n =x 2+x n-1=…= x n 2+x n 2+1 ，若n 为奇数，则x 1+x n =x 2+x n-1=…=2 x 1+n 2，又当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ），若n 为偶数，则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =a 1（x 1+x n ）+a 2（x 2+x n-1）+…+ a n 2(x n 2+x n 2+1) =（x 1+x n ）（a 1+a 2+…+ a n 2）=x 1+x n2， 同理可得：t=y 1+y n2； 若n 为奇数，则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =a 1（x 1+x n ）+a 2（x 2+x n-1）+…+ a 1+n 2x 1+n 2=（x 1+x n ）（a 1+a 2+…+ 12a 1+n 2）=x 1+x n2， 同理可得：t=y 1+y n2； 综上所述：若{x n }是等差数列，P 点坐标为 (x 1+x n 2，y 1+yn 2) ， ④ 正确． 故答案为： ② ③ ④ ．【点评】：本题考查了数列的递推式及分类讨论，难点在于对 ③ 和 ④ 的判断，属于难题． 13.（单选题，5分）已知直线l ：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l 过点（0，0）”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【正确答案】：A【解析】：先求出不论k 取何值，直线l 过定点（0，0），再利用充要条件的定义判定即可．【解答】：解：∵直线l ：（k+1）x+（3k-2）y=0， ∴k （x+3y ）+（x-2y ）=0， ∴ {x +3y =0x −2y =0，∴ {x =0y =0 ，∴不论k 取何值，直线l 过定点（0，0）， ∴k=0是直线l 过点（0，0）的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查了直线过定点问题，充要条件的判定，属于基础题．14.（单选题，5分）已知直线l 过点P （3，4），且与坐标轴分别相交于点A 、B ，若△OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【正确答案】：C【解析】：由题意，用点斜式设出直线l 的方程为y-4=k （x-3），求出A 、B 的坐标，根据△OAB 的面积为24，求出k 的值，可得结论．【解答】：解：∵直线l 过点P （3，4），且与坐标轴分别相交于点A 、B ，若△OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，设直线的斜率为k ，则直线l 的方程为y-4=k （x-3）， 故直线l 与x 轴的交点为A （ 3k−4k，0），直线l 与y 轴的交点B （0，4-3k ），故△OAB 的面积为 12 ×|3k−4k |×|4-3k|= (3k−4)22|k|=24， 即（3k-4）2=48|k|，求得k= 36+2√389，或k=36−2√389 ，或 k=- 43， ∴这样的直线有3条， 故选：C ．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线的截距的定义，属于基础题．15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种【正确答案】：A【解析】：根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，可得答案．【解答】：解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中有A63，则共有1×A63=120种情况．故选：A．【点评】：本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC || 平面EFGH，BD || 平面EFGH，设BEAB=λ(0＜λ＜1)，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若λ=12，则多面体BEF-DGH的表面积等于12SD.若λ=12，则多面体BEF-DGH的体积等于12V【正确答案】：D【解析】：对A，证明四边形EFGH是平行四边形．所以选项A错误；对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，所以选项B错误；对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，连接AN，CN．多面体BEF-DGH的表面积S′=2√3+1≠12S，所以选项C错误；对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，设点B到平面EMF的距离为h1，则多面体BEF-DGH的体积=V B-MEF+V EMF-HDG== 12V B−ADC=12V，所以选项D正确．【解答】：解：对A，因为AC || 平面EFGH，AC⊂平面ABC，EF⊂平面EFGH，平面EFGH⋂平面ABC=EF，所以AC || EF，同理AC || GH，所以EF || GH，同理EH || FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以四边形EFGH不一定是正方形，所以选项A错误；对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，已知中没有AB=AD，所以AE和AH与平面EFGH所成的角不一定相等，所以选项B错误；对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，连接AN，CN．则BD⊥AN，BD⊥CN，因为AN⋂CN=N，AN，CN⊂平面ACN，所以BD⊥平面ACN，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，前面已经证明四边形EFGH是平行四边形，又EF=FG，所以四边形EFGH是正方形，且EF=FG=1，正四面体的每一个面的面积为12×2×2×sin60°=√3，所以正四面体的表面积为S=4√3，所以多面体BEF-DGH的表面积S′=34×√3×2+14×√3×2+1×1=2√3+1≠12S，所以选项C错误；对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，则多面体EMF-HDG是棱柱，设点B到平面EMF的距离为h1，由于BEAB =12，所以点E是AB的中点，则点M到平面HDC的距离为h1，点B到平面ADC的距离为2h1．则多面体BEF-DGH的体积= V B−MEF+V EMF−HDG=13⋅S△EMF⋅ℎ1+S△EMF⋅ℎ1 = 13⋅14S△ADC⋅ℎ1+14S△ADC⋅ℎ1=13⋅S△ADC⋅ℎ1=12⋅(13⋅S△ADC⋅2ℎ1)=12V B−ADC=12V，所以选项D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查线面角的计算，多面体体积的计算，多面体表面积的计算等知识，属于中等题．17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；（2）求X的分布和数学期望E[X]．【正确答案】：【解析】：（1）由独立事件概率的乘法公式及互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题意可得X=2，4，6，分别求出对应的概率，可得分布列及数学期望．【解答】：解：（1）由题意可得P（X=4）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48．（2）由题意可得X=2，4，6，P（X=2）=0.6×0.6=0.36，P（X=4）=0.48，P（X=6）=0.4×0.4=0.16，所以X的分布列为：【点评】：本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a n x n（n为正整数）．（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）令x=1即可求出a0，再根据二项式定理的性质分别求出a1，a2，然后解方程即可求解；（2）分别令x=1，x=-1，求出展开式的值，进而可以求解．【解答】：解：（1）令x=1，则a0=1，二项式的展开式中含x项的系数为a1=C n1•(−3)1 =-3n，二项式的展开式中含x2项的系数为a2=C n2•(−3)2 = 9n(n−1)2，则由已知可得9n(n−1)2=15×1−13×(−3n)，即9n2-87n-30=0，解得n=10或- 13（舍去），故n的值为10；（2）若n=2022，则二项式为（1-3x）2022=a0+a1x+a2x2 +....+a 2022x2022，令x=1，则a0+a1+a2+.....+a2022=（1-3）2022=22022① ，令x=-1，则a0-a1+a2-.....+a2022=[1-3×（-1）]2022=42022=24044② ，① + ② 可得A=22021+24043，① - ② 可得B=22021-24043，所以A+B=22022，A2-B2=（A+B）（A-B）=22022•24044=26066．【点评】：本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13（请用分数作答）．（1）求甲以4：0获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．【正确答案】：【解析】：（1）甲以4：0获胜的概率为P=（23）4，由此能求出结果．（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：① 乙连胜4局，② 前四局乙3胜1负，第五局乙胜，由此能求出乙获胜且比赛局数少于6局的概率．【解答】：解：（1）比赛采用7局4胜制，在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13，∴甲以4：0获胜的概率为：P=（23）4= 1681．（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：① 乙连胜4局，概率为P1=（13）4= 181，② 前四局乙3胜1负，第五局乙胜，概率为P2= C43(13)3(23)(13) = 8243，∴乙获胜且比赛局数少于6局的概率P=P1+P2= 11243．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.（问答题，16分）在数列{a n}中，a1= 14，a n+1a n=n2(n+2)（n为正整数）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1；（3）若数列{b n}满足b1=1，b n-b n+1=（n+2）a n，求数列{b n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）利用累乘法可求出数列{a n}的通项公式；（2）根据（1）可求出2n⋅a n=1n(n+1)，从而根据裂项相消求和法可证明结论；（3）根据（1）可知b n+1−b n=2[1(n+1)⋅2n+1−1n⋅2n]，从而利用累加法可求出数列{b n}的通项公式．【解答】：解：（1）因为a n+1a n =n2(n+2)，所以a2a1=12×3，a3a2=22×4，a4a3=32×5，a5a4=42×6，…，a na n−1=n−12(n+1)，把以上（n-1）个式子相乘，得a2a1⋅a3a2⋅a4a3⋅a5a4⋅…⋅a na n−1=12×3×22×4×32×5×42×6×…×n−12(n+1)，即a na1=12n−1(13×24×35×46×…×n−1n+1)=12n−1⋅2n(n+1)，所以a n=12n−1⋅2n(n+1)×14，即a n=1n(n+1)⋅2n．证明：（2）因为a n=1n(n+1)⋅2n ，所以2n⋅a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)= 1−1n+1＜1，所以2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1．解：（3）因为b n−b n+1=(n+2)a n=(n+2)⋅1n(n+1)⋅2n =n+2n(n+1)⋅2n=2[1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1]，即b n+1−b n=2[1(n+1)⋅2n+1−1n⋅2n]，所以b2−b1=2(12⋅22−11⋅21)，b3−b2=2(13⋅23−12⋅22)，b4−b3=2(14⋅24−13⋅23)，b5−b4=2(15⋅25−14⋅24)，…，b n−b n−1=2[1n⋅2n −1(n−1)⋅2n−1]，把以上（n-1）个式子相加，得b n−b1=2(12⋅22−11⋅21)+2(13⋅23−12⋅22)+2(14⋅23−13⋅23)+⋯+2[1n⋅2n−1(n−1)⋅2n−1] =2(1n⋅2n −11⋅21)=1n⋅2n−1−1．所以b n=1n⋅2n−1．【点评】：本题考查数列的递推公式及求和公式，考查学生的综合能力，属于难题．21.（问答题，18分）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA= π3，直角梯形ABEF中，BE || AF，AB⊥AF，AB=BE= 12AF=2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为√3926，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得OC⊥AB，进而结合平面ABEF⊥平面ABCD即可证明CO⊥平面ABEF；（2）根据题意，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用坐标法求解即可；（3）假设存在，设AG=λAD，λ∈[0，1]，再根据线面角的向量法求解即可．【解答】：（1）证明：因为在菱形ABCD中，∠CBA=π3，所以△ABC为等边三角形，因为O分别为AB中点，所以OC⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF⋂平面ABCD=AB，CO⊂平面ABCD．所以CO⊥平面ABEF．（2）解：因为直角梯形ABEF中，BE || AF，AB⊥AF，CO⊥平面ABEF，所以，以点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz，因为AB=BE=12AF=2，所以B （1，0，0），E （1，0，2），A （-1，0，0），F （-1，0，4）， D(−2，√3，0) ， C(0，√3，0) ， P (−32，√32，2) ， 所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(52，−√32，0) ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，0) ，所以 cos〈PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=PE⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |PE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52×√7=5√714， 所以异面直线PE 与AB 所成角的大小为 arccos 5√714．（3）解：假设线段AD 上是存在一点G ， 使得直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为√3926，此时AG=λAD ，λ∈[0，1]，则 FG⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1，√3，0)−(0，0，4)=(−λ，√3λ，−4) ， 由（1）知平面ABEF 的法向量为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√3，0) ， 设直线FG 与平面ABEF 所成角为θ， 则 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FG⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=3λ√3•√4λ2+16=√3926，解得 λ=√33∈[0，1] ，所以线段AD 上是存在一点G ，使得直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为 √3926 ， 此时 AG =√33AD =2√33．【点评】：本题主要考查线面垂直的证明，异面直线所成的角的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．。

上海市虹口区复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、单选题1．若a b >，0c <，则下列不等式成立的是（）A ．22ac bc >B ．a b c c >C ．a c b c+<+D ．a b c >-2．已知全集，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =£，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．(2,1)-B ．[1,0)[1,2)-⋃C ．(2,1)[0,1]-- D ．[0,1]3．方程220x ax a +-=在区间()0,1和()1,2各有一个根的充要条件是（）A ．(),1a ∞∈--B ．4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C ．4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．()2,1a ∈--4．已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a c x b x x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=二、填空题5．已知集合R U =，{}211A x x =-<，则A =6．已知集合{1,}A m =-，{}21,B m =，且A B =，则m 的值为.7．若{}241,,24a a a ∈---，则实数a =．8．命题“,a b R ∈，若110a b -+-=，则1a b ==”用反证法证明时应假设为．9．若集合{}2310A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a =．10．设命题p ：集合{}20A x x =-≤≤，命题q ：集合{}211B x a x a =+≤≤-，若p q ⇒，则实数a 的取值范围是11．设12x x 、是方程230x x +-=的两个实数根，则2122020x x -+=12．设关于x 的方程|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈解集为M ，关于x 的不等式(2)(23)0x x --≥的解集为N ，若集合M N =，则⋅=a b .13．集合{}12,,,n A a a a =⋯，任取1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为．14．设R,Z a m ∈∈，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组21122x m x a -<<+有解，则a 的取值范围是.三、解答题15．已知集合{}2A x x a =-<，集合2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭．(1)若2a =，求A B ；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．16．⑴当1x >时，求证：2211x x x x+>+；⑵已知R x ∈，221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-．试证明,,a b c 至少有一个不小于1．17．已知关于x 的不等式()()()2245110R k k x k x k --+++>∈的解集为M ．(1)若1k =，求x 的取值范围；(2)若R M =，求实数k 的取值范围；(3)是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有n M ∈；对于任意负整数m ，都有m M ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．18．记121211...,...k k t k t k t t a a a a a a a a ===+++=创å∏存在正整数n ，且2n ≥．若集合{}12,,,n A a a a = 满足11n n t t t t a a ===å∏，则称集合A 为“谐调集”．(1)分别判断集合{1,2}E =、集合{1,0,1}F =-是否为“谐调集”；(2)已知实数x 、y ，若集合{,}x y 为“谐调集”，是否存在实数z 满足2z xy =，并且使得{,,}x y z 为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；(3)若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M ．。

2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。

2021-2022学年上海市虹口区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，4}，B={y|y=log 2x ，x∈A}，则A∪B=___ ．2.（填空题，4分）已知x=-2是方程 |x a 1x |=0 的解，则实数a 的值为 ___ ． 3.（填空题，4分）已知α∈{-2，-1，- 12 ， 12 ，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α=___ ．4.（填空题，4分）已知无穷等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，首项a 1=3，公比为q ，且 n→∞S n =2 ，则q=___ ．5.（填空题，4分）圆x 2+y 2+4sinθ•x+4cosθ•y+1=0的半径等于 ___ ．6.（填空题，4分）在（x- 1x）10的二项展开式中，常数项等于 ___ ．（结果用数值表示） 7.（填空题，5分）已知角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若sinA ：sinB ：sinC=4：5：6，则该三角形的最大内角等于 ___ （用反三角函数值表示）．8.（填空题，5分）已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且对任意的x 满足f （x+2）=f （x ），若0＜x ＜1时，有f （x ）=4x +3，则f （3.5）=___ ．9.（填空题，5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点O 的两个不同的点，满足| FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，且 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ + FB ⃗⃗⃗⃗⃗ + FO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则p=___ ． 10.（填空题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，满足D 1P 与直线CC 1所成角的大小为 π6 ，则线段DP 扫过的面积为 ___ ． 11.（填空题，5分）已知实数x ，y 满足：x|x|+y|y|=1，则|x+y+ √2 |的取值范围是 ___ ．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx ，若对任意实数x 1，x 2，方程|f （x ）-f （x 1）|+|f （x ）-f （x 2）|=m （m∈R ）有解，方程|f （x ）-f （x 1）|-|f （x ）-f （x 2）|=n （n∈R ）也有解，则m+n 的值的集合为 ___ ．13.（单选题，5分）设α：实数x满足x−3x+1＜0，β：实数x满足|x-1|＜2，那么α是β的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是（）A.f（π2）＞（π6）B.f（x）的图像关于直线x= 3π4对称C.f（x）在[ π4，5π4]上单调递增D.过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点15.（单选题，5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，如果-a1＜a9＜-a2，则（）A.S9＞0且S10＞0B.S9＞0且S10＜0C.S9＜0且S10＞0D.S9＜0且S10＜016.（单选题，5分）已知a，b∈R，复数z=a+2bi（其中i为虚数单位）满足z• z =4，给出下列结论：① a2+b2的取值范围是[1，4]；② √(a−√3)2+b2 + √(a+√3)2+b2 =4；③ b−√5a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）；④ 1a2 + 1b2的最小值为2其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.417.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=4，AA1=3，AB=4 √2．（1）求四棱锥A-BCC1B1的体积；（2）求直线AC1与平面ABB1A1所成的角的大小．18.（问答题，14分）在平面直角坐标系xOy 中，A （ √22 ， √22 ）在以原点O 为圆心半径等1的圆上，将射线OA 绕原点O 逆时针方向旋转α后交该圆于点B ，设点B 的横坐标为f （α），纵坐标g （α）．（1）如果sinα=m ，0＜m ＜1，求f （α）+g （α）的值（用m 表示）；（2）如果 f (α)g (α)=2 ，求f （α）•g （α）的值．19.（问答题，14分）某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%．设企业纳税额为x （单位：万元），补助款为f （x ）= 14 x 2-bx+b+ 12 （单位：万元），其中b 为常数．（1）分别判断b=0，b=1时，f （x ）是否符合发放方案规定，并说明理由；（2）若函数f （x ）符合发放方案规定，求b 的取值范围．20.（问答题，16分）已知椭圆Γ： x 212 + y 28 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点P （0，t ）．（1）若F 1P⊥F 2P ，求t 的值；（2）若点A 在第一象限，满足 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，求t 的值；（3）在平面内是否存在定点Q ，使得 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个确定的常数？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21.（问答题，18分）已知集合A={y|y=2x，x∈N*}，B={y|y=3x，x∈N*}．A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项的和．（1）求S10；（2）如果a m=81，a2022=t，求m和t的值；（3）如果n= 3k−12+k（k∈N*），求11S n（用k来表示）．2021-2022学年上海市虹口区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={1，2，4}，B={y|y=log 2x ，x∈A}，则A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{0，1，2，4}【解析】：先求出集合B ，然后结合集合的并集运算即可求解．【解答】：解：因为A={1，2，4}，B={y|y=log 2x ，x∈A}={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，4}．故答案为：{0，1，2，4}．【点评】：本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．2.（填空题，4分）已知x=-2是方程 |x a 1x |=0 的解，则实数a 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：结合行列式的定义，把x=-2代入即可直接求解．【解答】：解：因为x=-2是方程 |x a 1x|=0 的解， 所以-2×（-2）-a=0，所以a=4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了行列式的运算，属于基础题．3.（填空题，4分）已知α∈{-2，-1，- 12 ， 12 ，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由已知幂函数的性质可知，α为奇数，且α＜0，结合已知集合即可求解．【解答】：解：因为α∈{-2，-1，- 12 ， 12 ，1，2，3}，由幂函数f （x ）=x α为奇函数，在（0，+∞）上单调递减，所以α为奇数，且α＜0，所以α=-1．故答案为：-1．【点评】：本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）已知无穷等比数列{a n}的前n项的和为S n，首项a1=3，公比为q，且n→∞S n=2，则q=___ ．【正确答案】：[1]- 12【解析】：由已知结合等比数列的求和公式代入即可求解．【解答】：解：因为无穷等比数列{a n}中，首项a1=3，公比为q，又n→∞S n=2，所以a11−q = 31−q=2，所以q=- 12．故答案为：- 12．【点评】：本题主要考查了等比数列的求和及数列的极限的应用，属于基础题．5.（填空题，4分）圆x2+y2+4sinθ•x+4cosθ•y+1=0的半径等于 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：把一般方程配成圆的标准方程即可求解．【解答】：解：由x2+y2+4sinθ•x+4cosθ•y+1=0得（x+2sinθ）2+（y+2cosθ）2=3，所以圆的半径为√3．故答案为：√3．【点评】：本题主要考查了由圆的一般方程求解圆的半径，属于基础题．6.（填空题，4分）在（x- 1x）10的二项展开式中，常数项等于 ___ ．（结果用数值表示）【正确答案】：[1]-252【解析】：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得含常数项．【解答】：解：因为（x- 1x ）10的二项展开式的通项T r+1= C10r x10−r•(−1x)r=（-1）r C10r x10-2r，令10-2r=0得r=5，故常数项为- C105 =-252．故答案为：-252．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．7.（填空题，5分）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，若sinA：sinB：sinC=4：5：6，则该三角形的最大内角等于 ___ （用反三角函数值表示）．【正确答案】：[1]arccos 18【解析】：由已知结合正弦定理先求出三边之间的关系，然后结合大边对大角及余弦定理可求．【解答】：解：由正弦定理得，sinA：sinB：sinC=a；b：c=4：5：6，故可设a=4x，b=5x，c=6x，则最大角为C，由余弦定理得，cosC= a 2+b2−c22ab= 16x2+25x2−36x22•4x•5x= 18，故C=arccos 18．故答案为：arccos 18．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．8.（填空题，5分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x满足f（x+2）=f（x），若0＜x＜1时，有f（x）=4x+3，则f（3.5）=___ ．【正确答案】：[1]-5【解析】：由已知奇函数定义及周期性把所求函数值转化到已知区间上，代入即可求解．【解答】：解：由题意得f（-x）=-f（x）且f（x+2）=f（x），因为0＜x＜1时，有f（x）=4x+3，则f（3.5）=f（1.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-（2+3）=-5．故答案为：-5．【点评】：本题主要考查了函数性质在求解函数值中的应用，解题的关键是性质的灵活应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点O 的两个不同的点，满足| FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，且 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ + FB ⃗⃗⃗⃗⃗ + FO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则p=___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：先设点的坐标，然后结合抛物线定义及向量的坐标运算即可求解．【解答】：解：由题意F （ p 2 ，0），准线x= p 2 ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），在准线上的投影分别为A 1，B 1，所以 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ x 1−p 2 ，y 1）， FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ x 2−p 2 ，y 2）， FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- p 2，0）， 因为 FA ⃗⃗⃗⃗⃗ + FB ⃗⃗⃗⃗⃗ + FO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ， 所以x 1+x 2- 3p 2 =0，即x 1+x 2= 3p 2 ，因为| FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA 1|+|BB 1|+| FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ x 1+p 2 ）+（ x 2+p 2 ）+ p 2 =x 1+x 2+ 3p 2 =3p=12，所以p=4，故答案为：4．【点评】：本题主要考查了抛物线定义的应用，还考查了向量的加减的坐标运算，属于中档题，10.（填空题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，满足D 1P 与直线CC 1所成角的大小为 π6，则线段DP 扫过的面积为 ___ ．【正确答案】：[1] 112 π 【解析】：由CC 1 || DD 1，知D 1P 与直线CC 1所成角为D 1P 与直线DD 1所成角，即∠DD 1P= π6 ，而点P 在底面ABCD 内的轨迹是以DP 为半径的圆的四分之一，再求得DP 的长，即可得解．【解答】：解：因为CC1 || DD1，所以D1P与直线CC1所成角可转化为D1P与直线DD1所成角，即∠DD1P= π6，在Rt△D1DP中，DD1=1，∠DD1P= π6，所以DP= √33，所以点P在底面ABCD内的轨迹是以√33为半径的圆的四分之一，所以线段DP扫过的面积为14π• (√33)2= 112π．故答案为：112π．【点评】：本题考查异面直线所成角，动点的轨迹问题，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.（填空题，5分）已知实数x，y满足：x|x|+y|y|=1，则|x+y+ √2 |的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（√2，2 √2 ]【解析】：把等式x|x|+y|y|=1变形，画出图形，利用线性规划知识求出x+y+ √2的范围，取绝对值得答案．【解答】：解：由x|x|+y|y|=1，得{x≥0，y≥0x2+y2=1或{x＞0，y＜0x2−y2=1或{x＜0，y＞0y2−x2=1，如图，令z=x+y+ √2，得y=-x+z- √2，由图可知，当直线y=-x+z- √2与{x≥0，y≥0x2+y2=1相切时，直线在y轴上的截距最大，等于√2，即z- √2 = √2，z= 2√2；当直线y=-x+z- √2无限靠近y=-x时，z- √2趋于0，即z趋于√2．∴|x+y+ √2 |的取值范围是（√2，2 √2 ]．故答案为：（√2，2 √2 ]．【点评】：本题考查简单的线性规划，考查平面中点的距离的求法，考查数形结合思想，是中档题．12.（填空题，5分）已知函数f（x）=cosx，若对任意实数x1，x2，方程|f（x）-f（x1）|+|f （x）-f（x2）|=m（m∈R）有解，方程|f（x）-f（x1）|-|f（x）-f（x2）|=n（n∈R）也有解，则m+n的值的集合为 ___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：根据题意，不妨设cosx1≤cosx2，分类讨论当cosx≥cosx2，cosx≤cosx1，cosx1＜cosx＜cosx2三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出m和n的值，即可得出m+n的值的集合．【解答】：解：由题可知f（x）=cosx，不妨设cosx1≤cosx2，对于m，对任意实数x1，x2，方程|f（x）-f（x1）|+|f（x）-f（x2）|=m（m∈R）有解，当cosx≥cosx2时，方程可化为m=2cosx-（cosx1+cosx2）有解，所以m≥cosx2-cosx1恒成立，所以m≥2；当cosx≤cosx1时，同上；当cosx1＜cosx＜cosx2时，方程可化为m=cosx2-cosx1有解，所以m∈[0，2]，综上得：m=2；对于n，对任意实数x1，x2，方程|f（x）-f（x1）|-|f（x）-f（x2）|=n（n∈R）也有解，当cosx≥cosx2时，方程可化为n=cosx2-cosx1有解，所以n∈[0，2]；当cosx≤cosx1时，同上；当cosx1＜cosx＜cosx2时，方程可化为n=2cosx-（cosx1+cosx2）有解，所以cosx1-cosx2＜n＜cosx2-cosx1恒成立，所以n=0，所以m+n的值的集合为{2}．故答案为：{2}．【点评】：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设cosx1≤cosx2，以及分类讨论cosx与cosx1，cosx2的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力．13.（单选题，5分）设α：实数x满足x−3＜0，β：实数x满足|x-1|＜2，那么α是β的x+1（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：分别解分式不等式及绝对值不等式求出α，β，然后结合充分必要条件与集合之间的包含关系进行转化可求．【解答】：解；由x−3x+1＜0得（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，即α：A=（-1，3），由|x-1|＜2，得-1＜x＜3，即β：B=（-1，3），因为A=B，所以α是β的充要条件．故选：C．【点评】：本题主要考查了充分必要条件的判断，还考查了分式不等式及绝对值不等式的求解，属于基础题．14.（单选题，5分）设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是（）A.f（π2）＞（π6）B.f（x）的图像关于直线x= 3π4对称C.f（x）在[ π4，5π4]上单调递增D.过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点【正确答案】：D【解析】：由f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立得函数在x= π4取得最大值，从而有asin π4+bcos π4= √a2+b2，整理得a=b，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【解答】：解：由f（x）≤f（π4）对任意的x∈R恒成立得函数在x= π4取得最大值，所以asin π4 +bcos π4= √a2+b2，整理得，a=b，f（x）=asinx+acosx= √2a sin（x+ π4），A：f（π2）=a，f（π6）= √2a sin（π6+π4）= 1+√32a，所以f（π2）＜f（π6），A错误；B：f（3π4）=0与函数在对称轴处取得最值矛盾，B不正确；C：令−12π+2kπ≤x+ π4≤12π+2kπ，k∈Z，解得，−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，显然不包含区间[ π4，5π4]，C不正确；由于f（x）= √2a sin（x+ π4）的定义域R，最大值√2a，故b=a＜√2a，从而点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点，D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用，属于中档题．15.（单选题，5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，如果-a1＜a9＜-a2，则（）A.S9＞0且S10＞0B.S9＞0且S10＜0C.S9＜0且S10＞0D.S9＜0且S10＜0【正确答案】：B【解析】：由已知结合等差熟练度通项公式及求和公式即可求解．法二：结合已知得a1+a9＞0，a2+a9＜0，然后利用等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：等差数列{a n}中，-a1＜a9＜-a2，则-a1＜8d+a1＜-d-a1，整理得，−4d＜a1＜−9d2，S9=9a1+36d=9（a1+4d）＞0，S10=10a1+45d=5（2a1+9d）＜0．法二：由等差数列{a n}中，-a1＜a9＜-a2，所以a1+a9＞0，a2+a9＜0，所以9(a1+a9)2＞0，S10=5（a1+a10）=5（a2+a9）＜0．故选：B．【点评】：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．16.（单选题，5分）已知a ，b∈R ，复数z=a+2bi （其中i 为虚数单位）满足z• z =4，给出下列结论：① a 2+b 2的取值范围是[1，4]；② √(a −√3)2+b 2 + √(a +√3)2+b 2 =4； ③b−√5a 的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）； ④ 1a 2 + 1b 2 的最小值为2 其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】：C【解析】：由已知结合复数的运算可先求出a ，b 的方程，然后结合椭圆定义，椭圆性质分别检验各命题即可判断．【解答】：解：z• z =（a+2bi ）（a-2bi ）=a 2+4b 2=4，所以 a 24+b 2 =1，所以点（a ，b ）是以2为长半轴，以1为短半轴的椭圆，且焦点为（ ±√3 ，0），① a 2+b 2的几何意义是椭圆上的点到原点的距离的平方，故最大值4，最小值1，取值范围是[1，4]，正确；② 由椭圆定义可知 √(a −√3)2+b 2 + √(a +√3)2+b 2 =4正确； ③ 设过点（0， √5 ）的且与椭圆相切的直线方程y=kx+ √5 ， 联立 {y =kx +√5x 24+y 2=1 ，得（1+4k 2）x 2+8 √5 kx+16=0， Δ=64×5k 2-64（1+4k 2）=0， 则k=1或k=-1， 而b−√5a的几何意义是椭圆上的点与（0， √5 ）的连线的斜率，故其取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞），正确；④ 1a 2 + 1b 2 =（ 1a 2 + 1b 2 ）（ a 24+b 2 ）= 54 + b 2a 2 + a 24b 2 ≥54+2√b 2a 2•a 24b 2 = 94 ，当且仅当 b 2a 2=a 24b 2 且a 24+b 2 =1，即b 2= 23 ，a 2= 43时取等号，错误．故选：C．【点评】：本题以复数运算为载体，主要考查了椭圆的定义及性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=4，AA1=3，AB=4 √2．（1）求四棱锥A-BCC1B1的体积；（2）求直线AC1与平面ABB1A1所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，可得AC⊥面BCC1B1，即AC为四棱锥A-BCC1B1的高，由此结合棱锥体积公式计算即可；（2）根据题意，作C1M⊥A1B1，且与A1B1交于点M，连接AM，证明C1M⊥面ABB1A1，可得∠C1AM就是直线AC1与平面ABB1A1所成的角，求出∠C1AM的正弦值，即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=4，AB=4 √2，则有AC⊥BC，又由CC1⊥AC，可得AC⊥面BCC1B1，故AC为四棱锥A-BCC1B1的高，又由S▱BB1C1B=BC×CC1=12，故四棱锥A-BCC1B1的体积V= 13S▱BB1C1B×AC=16，（2）根据题意，作C1M⊥A1B1，且与A1B1交于点M，连接AM，又由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥面A1B1C1，则AA1⊥C1M，则C1M⊥面ABB1A1，所以∠C1AM就是直线AC1与平面ABB1A1所成的角，而C1M= 12A1B1=2 √2，AC1= √9+16 =5，所以sin∠C1AM= C1MAC1 = 2√25，所以∠C1AM=arcsin 2√25；故直线AC1与平面ABB1A1所成的角的大小为arcsin 2√25．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法，涉及直线与平行垂直的判断以及性质的应用，属于中档题．18.（问答题，14分）在平面直角坐标系xOy中，A（√22，√22）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．（1）如果sinα=m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；（2）如果f(α)g(α)=2，求f（α）•g（α）的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合三角函数定义可求f（α），g（α），然后结合和差角公式展开后，结合同角平方关系可求；（2）由已知结合和差角公式展开化简，然后结合二倍角公式进行化简，代入可求．【解答】：解：（1）由题意得，f（α）=cos（α+π4），g（α）=sin（α+π4），若sinα=m，0＜m＜1，则f（α）+g（α）= √22（cosα-sinα）+ √22（cosα+sinα）= √2cosα=±√2√1−m2；（2）由f(α)g(α)=2得cos（α+π4）=2sin（α+π4），整理得，cosα=-3sinα，则f（α）•g（α）=cos（α+π4）•sin（α+π4）= 12sin（2 α+π2）= 12cos2α= 12×cos2α−sin2αcos2α+sin2α= 12 × 8sin2α10sin2α= 25．【点评】：本题主要考查了三角函数定义，还考查了和差角公式，二倍角公式在求解三角函数值中的应用，属于中档题．19.（问答题，14分）某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%．设企业纳税额为x（单位：万元），补助款为f（x）= 14 x2-bx+b+ 12（单位：万元），其中b为常数．（1）分别判断b=0，b=1时，f（x）是否符合发放方案规定，并说明理由；（2）若函数f（x）符合发放方案规定，求b的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）把b=0，b=1分别代入已知函数中，检验两个条件是否满足即可判断；（2）由题意得f（x）= 14 x2-bx+b+ 12在[4，8]上单调递增且f（x）≥12x在[4，8]上恒成立，结合二次函数的性质可求．【解答】：解：（1）当b=0时，f（x）= 14 x2+ 12在[4，8]上单调递增，因为4≤x≤8，4.5≤ 14 x2+ 12≤16.5，符合发放方案规定，当b=1时，f（x）= 14 x2-x+ 32，当4≤x≤8时，结合二次函数的性质可知，f（x）在[4，8]上单调递增，f（4）= 32＜2，不符合发放方案规定；（2）若函数f（x）符合发放方案规定，则f（x）= 14 x2-bx+b+ 12在[4，8]上单调递增且f（x）≥12x在[4，8]上恒成立，由f（x）≥12x在[4，8]上恒成立，整理得，x2-（2+4b）x+4b+2≥0在[4，8]上恒成立，结合二次函数的性质可知，{2b≤416−4(2+4b)+4b+2≥0 64−8(2+4b)+4b+2≥0，解得，b ≤56，所以b 的范围为{b|b ≤56 }．【点评】：本题主要考查了二次函数的性质在实际问题中的应用，解题的关键是性质的灵活应用，属于中档题．20.（问答题，16分）已知椭圆Γ： x 212 + y 28 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点P （0，t ）． （1）若F 1P⊥F 2P ，求t 的值；（2）若点A 在第一象限，满足 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，求t 的值；（3）在平面内是否存在定点Q ，使得 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个确定的常数？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆的方程可得左、右焦点的坐标，由F 1P⊥F 2P ，则 F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代入数量积中可得t 的值；（2）设A 的坐标，代入椭圆的方程及数量积中求出A 的坐标，进而求出直线AB 的方程，令x=0可得t 的值；（3）假设存在Q ，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况，设直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，整理后恒成立可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出Q 的坐标及数量积的值．【解答】：解：（1）由椭圆Γ： x 212 + y 28 =1的方程可知：c 2=a 2-b 2=12-8=4， 所以c=2，即左焦点F 1（-2，0），右焦点F 2（2，0）， 因为P （0，t ），若F 1P⊥F 2P ，则 F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即（2，t ）•（-2，t ）=0，整理可得：t 2=4，所以t=±2， 所以t 的值±2；（2）设A （x 1，y 1），因为 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7，由（1）可得（x 1+2，y 1）（x 1-2，y 1）=7， 所以x 12-4+y 12=7，即x 12+y 12=11，而 x1212+ y 128 =1， 所以x 12+8•（1- x1212）=11，x 1＞0，解得x 1=3，y 1= √2 ，所以直线AB 的方程为y= √23+2 （x+2），令x=0， 可得y=2√25， 即t 的值为2√25； （3）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程y=k （x+2）（k≠0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立，整理可得 {y =k (x +2)x 212+y 28=1 整理可得：（2+3k 2）x 2+12k 2x+12（k 2-2）=0，可得x 1+x 2=−12k 22+3k 2 ，x 1x 2= 12(k 2−2)2+3k 2， 所以 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ •QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-a ，y 1-b ）•（x 2-a ，y 2-b ）=（x 1-a ）（x 2-a ）+（kx 1+2k-b ）（kx 2+2k-b ）=（1+k 2）x 1x 2+（2k 2-bk-a ）（x 1+x 2）+4k 2-4kb+b 2+a 2 =（1+k 2） 12(k 2−2)2+3k 2+（2k 2-bk-a ）−12k 22+3k 2 +4k 2-4kb+b 2+a 2= (3a 2+3b 2+12a−4)k 2−8kb+2(a 2+b 2−12)2+3k 2=λ，则（3a 2+3b 2+12a-4-3λ）k 2-8kb+2（a 2+b 2-12-λ）=0恒成立， 则 {3a 2+3b 2+12a −4−3λ=08b =0a 2+b 2−12−λ=0解得a=- 83 ，b=0，λ=- 449 ，这时Q （- 83，0），即存在定点（- 83，0）满足条件 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB⃗⃗⃗⃗⃗ =- 449． 当k=0时，显然点（- 83 ，0）也满足 QA⃗⃗⃗⃗⃗ • QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 449． 综上所述：存在定点Q （- 83 ，0）满足条件 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ • QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 449．【点评】：本题考查椭圆的性质的应用，直线与椭圆的综合应用，数量积的运算性质，恒成立的条件的应用，属于中档题．21.（问答题，18分）已知集合A={y|y=2x，x∈N*}，B={y|y=3x，x∈N*}．A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{a n}，S n为数列{a n}的前n项的和．（1）求S10；（2）如果a m=81，a2022=t，求m和t的值；（3）如果n= 3k−12+k（k∈N*），求11S n（用k来表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据集合A、B的描述分析A∪B中的元素组成，进而写出A∪B的前10项，即可求S10；（2）由81=34结合2n＜81且n∈N*即可求m值；令t=2187判断对应{a n}中的n，进而确定{a2022}的元素组成，即可确定t值；（3）由{a n}中属于集合A、B中元素之间的个数关系，判断{a n}的中分别含集合A、B中元素个数，进而应用分组求和，结合等差、等比前n项和求1lS n即可．【解答】：解：（1）由题设，集合A中元素为b n=2n，n∈N*，集合B中元素为c n=3n，n∈N*，且A、B没有重复元素，所以A∪B的前10项为{2，3，4，6，8，9，10，12，14.16}，故S10=84；（2）由a m=81=34，故{a n}中含集合B的4个元素；由2n＜81且n∈N*，可得n≤40，故\{{a n}中含集合A的40个元素；∴m=40+4=44；由37=2187，若t=2187，则{a n}中含集合B的7个元素；此时，由2n＜2187且n∈N*，可得n≤1093，故\{a n}中含集合A的1093个元素；∴{a n}中n=1100；由38=6561，若t=6561，则\{{a n}中含集合B的8个元素；此时，由2n＜6561且n∈N*，可得n≤3280，故{a n}中含集合A的3280个元素；∴{a n}中n=3288，综上，由1100＜2022＜3288，即2187＜t＜6561，∴A∪B 中含集合B 的7个元素，含集合A 的2015个元素， ∴a 2022=t=2×2015=4030；（3）由题设，若{a n }中含m 个集合B 的元素，在第m-l 个和第m 个集合B 的元素之间存在3m-1个集合A 的元素，所以若最后一项属于集合B 且{a n }共有i 个集合B 的元素，i∈N*， 则{a n }中共有n=i+ 3i −12 个元素，由题设，n= 3k −12+k （k∈N*），故{a n }含k 个集合B 的元素，含3k −12个集合A 的元素，所以S n =3(1−3k )1−3 + 3k −12 ×2+ 12 × 3k −12 × (3k −12−1) ×2=(3k −1)(3k +7)4，所以11S n = 11(3k −1)(3k +7)4，k∈N*．【点评】：本题考查了数列的求和，属于难题．。

上海市虹口区2019-2020学年高一第一学期期末统考数学试卷2020.01一. 填空题1. 用列举法表示集合2{|230,}x x x x −−<∈=Z2. 命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的否命题是 命题（“真”或“假”）3. 函数4y x=，[1,12]x ∈的值域为 4. 已知函数()2x f x =，则((2))f f =5. 不等式|1|2x −<的解为6. 已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈−−−，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减， 则a =7. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =−，则(2)f −= 8. 已知2m >，且110lg(100)lgx m m=+，则x 的值为 9. 已知0a >，0b >，且44a b +=，则a b 的最大值等于 10. 已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[1,0]−，则a b +=11.（A 组）记函数()||f x x b =+，[2,2]x ∈−的最大值为()g b ，则()g b = （B 组）函数2()|2|f x x x =−，[2,2]x ∈−的最大值为12.（A 组）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则关于x 的不等式2()(1)10f x f x −+−<的解是（B 组）已知42()f x x x =+，则关于x 的不等式(1)(2)f x f +<的解是二. 选择题13. 已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b −<−<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<；以上结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 已知a ∈R ，则“1a <”是“11a >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 已知函数||32x y =−的值域是（ ）A. RB. (2,)−+∞C. [2,)−+∞D. [1,)−+∞16.（A 组）定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0,2)和(4,6)内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A. (0)(2)0f f ⋅<B. (0)(6)0f f ⋅>C. (2)(4)0f f ⋅>D. (2)(6)0f f ⋅>（B 组）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三. 解答题17. 解下列方程：（1）2223x x −+⋅=；（2）2lg lg 20x x −−=.18. 设a ∈R ，函数2()21x x a f x +=+. （1）当1a =−时，判定()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(,)−∞+∞上单调递增.19. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品， 则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额 为：4000.228108⨯+=元，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，试问： （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的优惠率y 关于标价x 元之间的函 数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？ 试说明理由.20. 已知函数2()22f x x ax =−+，[1,1]x ∈−.（1）当1a =时，求1(1)f −；（2）当12a =−时，判定此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数1()f x −.21. 已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实 数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”；（2）（A 组题）如果函数()||1||1a f x x x =+−+不是“正函数”，求正数a 的取值范围； （B 组题）如果函数1()||||f x x a x =+−不是“正函数”，求实数a 的取值范围； （3）（A 组题）如果函数22(2)24()2(1)22x a x a f x x a x a +−−+=+−−+是“正函数”，求正数a 取值范围； （B 组题）如果函数2()2f x ax ax =++是“正函数”，求实数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. {0,1,2}2. 假3. 1[,4]34. 165. (1,3)−6. 1−7. 3−8. lg 29. 1 10. 32−11.（A 组题）20()20b b g b b b +≥⎧=⎨−<⎩；（B 组题）8 12.（A 组题）(1,1)−；（B 组题）(3,1)−二. 选择题13. D 14. B 15. D 16. （A 组题）C ；（B 组题）B三. 解答题17.（1）0x =或1x =；（2）100x =或110x =. 18.（1）奇函数；（2）证明略（用定义证明）.19.（1）25.8%；（2）0.2[100,360)280.2[360,600]x y x x ∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩；（3）不能，最大优惠为27.8%.20.（1）1；（2）没有，函数不单调；（3）1a ≥或1a ≤−，当1a ≥时，1()f x a −=−[32,32]x a a ∈−+；当1a ≤−时，1()f x a −=[32,32]x a a ∈+−.21.（1）()1f x ≥，函数值恒为正；（2）（A 组题）(0,1)；（B 组题）2a >；（3）（A 组题）(6,1){3}−；（B 组题）[0,8).。

2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数 y =sin (2x −π3) 的最小正周期为___ ．2.（填空题，5分）若1+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根，则c=___ ．3.（填空题，5分）在复平面内，复数6-5i 、-2+3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ___ ．4.（填空题，5分）砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知OA=0.5m ，AD=0.9m ，∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为 ___ m 2．5.（填空题，5分）已知复数z 满足 z +4z=0 ，则z=___ ．6.（填空题，5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足 S n =2n −1 ，则其通项公式为 ___ ．7.（填空题，5分）已知等差数列a 1、a 2、…、a 100的前10项之和为10，最后10项之和为100，则a 1=___ ．8.（填空题，5分）设z 1、z 2∈C ，若|z 1|=|z 2|=1，则 |z 12−z 22| 的最大值为 ___ ．9.（填空题，5分）已知 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 为单位向量， |a ⃗+b ⃗⃗|=√2|a ⃗−b ⃗⃗| ，则 a ⃗ 在 a ⃗+b ⃗⃗ 方向上的投影为 ___ ．10.（填空题，5分）向量数列 {a n ⃗⃗⃗⃗⃗} 满足 a n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n ⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ，且满足 |a 1⃗⃗⃗⃗⃗|=3 ， a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗=−32 ，若S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) ．则当S n 取最大值时，n 的值为 ___ ．11.（填空题，5分）设φ∈[0，2π），若关于x 的方程cos （2x+φ）=a 在区间[0，2π]上有5个解，且它们的和为16π3，则φ=___ ．12.（填空题，5分）若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且 GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则cosC 的最小值为___ ．13.（单选题，5分）在△ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形14.（单选题，5分）设n 为正整数，则“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n }满足a n •a n+3=a n+1•a n+2”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.（单选题，5分）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且 |PT⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5−12．若 ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R ) ，则λ=（ ）A. √5+12B.√5−12 C. −√5+12D.1−√5216.（单选题，5分）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6，O 是该正六边形中心，设点集S={A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，O}，向量集T={ MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |M ，N∈S 且M ，N 不重合}．则这个集合T 中元素的个数为（ ） A.18 B.24 C.36 D.4217.（问答题，12分）已知平面向量 a ⃗=(1，2) ， b ⃗⃗=(−3，−2) ． （1）当k 为何值时， ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−3b⃗⃗ 垂直； （2）若 a ⃗ 与 a ⃗+λb⃗⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．18.（问答题，13分）已知复数z n 满足：（1+2i ） z 1 =4+3i ，z n+1-z n =2+2i （n∈N *）． （1）求复数z 1，并指出z 1的实部和虚部； （2）求满足|z n |≤13的最大正整数n 的值．19.（问答题，15分）进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设 ∠POA =α(π12≤α≤5π12) ． （1）当 α=π4 时，求出矩形PGBF 的面积（精确到1m 2）；（2）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出矩形PGBF 的面积S PGBF 的最大值（精确到1m 2）．20.（问答题，15分）如图，在四边形ABCD 中，G 为对角线AC 与BD 中点连线MN 的中点，P 为平面上任意给定的一点．（1）求证： 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ，点E 在直线AD 上运动，当E 在什么位置时， |EG⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取到最小值？（3）在（2）的条件下，过G 的直线分别交线段AB 、CD 于点H 、K （不含端点），若 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nCD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 1m +1n的最小值．21.（问答题，15分）已知各项均为正数的等差数列{a n }与等比数列{b n }满足a 2=b 2=4，又a 1、a 3、a 7+30成等比数列且b 5=b 1b 4． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式：（2）将数列{a n }、{b n }的所有公共项从小到大排序构成数列{B n }，试求数列{B n }前2021项之和；（3）若c n =a n b n -na n -kb n （k∈R ），数列{c n }是严格递增数列，求k 的取值范围．2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：150)的最小正周期为___ ．1.（填空题，5分）函数y=sin(2x−π3【正确答案】：[1]π即可求出函数的最小正周期．【解析】：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T= 2π|ω|)，【解答】：解：函数y=sin(2x−π3∵ω=2，=π．∴T= 2π2故答案为：π【点评】：此题考查了三角函数的周期性及其求法，准确找出ω的值，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2.（填空题，5分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则c=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用实系数方程虚根成对，求解即可．【解答】：解：1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则1-i也是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，可得-b=1+i+1-i，b=-2，c=（1+i）（1-i）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查复数的简单性质的应用，考查计算能力．3.（填空题，5分）在复平面内，复数6-5i、-2+3i对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ___ ．【正确答案】：[1]2-i【解析】：求出复数6-5i、-2+3i对应点A、B的坐标，利用中点坐标公式得线段AB的中点C的坐标即可．【解答】：解：∵复数6-5i、-2+3i对应的点分别为A、B，∴A（6，-5），B（-2，3），∵C为线段AB的中点，∴C（2，-1），∴点C对应的复数是2-i．故答案为：2-i．【点评】：本题考查了复数的几何意义、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.（填空题，5分）砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知OA=0.5m，AD=0.9m，∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为 ___ m2．【正确答案】：[1] 19π40【解析】：根据扇形的面积公式计算即可．【解答】：解：环形面积=S扇形COD-S扇形AOB= 100π×(0.5+0.9)2360 - 100π×0．52360= 19π40，故答案为：19π40．【点评】：本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．5.（填空题，5分）已知复数z满足z+4z=0，则z=___ ．【正确答案】：[1]±2i【解析】：设z=a+bi，a，b∈R，代入z+4z=0，化简整理利用复数相等即可得出．【解答】：解：设z=a+bi，a，b∈R，∵ z+4z=0，∴a+bi+ 4a+bi =0，∴a+bi+ 4(a−bi)(a+bi)(a−bi)=0，化为：a+bi+ 4a−4bia2+b2=0，∴a+ 4aa2+b2 +（b- 4ba2+b2）i=0，∴a+ 4aa2+b2 =0，b- 4ba2+b2=0，解得：a=0，b=±2．则z=±2i，故答案为：±2i．【点评】：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.（填空题，5分）已知数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2n−1，则其通项公式为 ___ ．【正确答案】：[1]a n=2n-1【解析】：求出数列的首项，利用a n=S n-S n-1，求解数列的通项公式即可．【解答】：解：数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2n−1，S1=1，a n=S n-S n-1=2n-1-2n-1+1=2n-1，（n≥2），又a1=1，所以数列的通项公式为：a n=2n-1，故答案为：a n=2n-1．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是基础题．7.（填空题，5分）已知等差数列a1、a2、…、a100的前10项之和为10，最后10项之和为100，则a1=___ ．【正确答案】：[1] 1120【解析】：设等差数列{a n}的公差为d，根据a91+a92+…+a100=a1+90d+a2+90d+…+a10+90d=a1+a2+…+a10+900d，即可算出d值；再根据a1+a2+…+a10=10a1+ 10×92d=10即可计算出a1．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a91+a92+…+a100=a1+90d+a2+90d+…+a10+90d=a1+a2+…+a10+900d，得100=10+900d，解得d= 110，又a1+a2+…+a10=10a1+ 10×92d=10，得a1= 110（10- 92）= 1120．故答案为：1120．【点评】：本题主要考查等差数列的性质，考查推理与运算求解能力，属于基础题．8.（填空题，5分）设z 1、z 2∈C ，若|z 1|=|z 2|=1，则 |z 12−z 22| 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据已知条件，结合不等式的公式，即可求解．【解答】：解：∵|z 1|=|z 2|=1，∴ |z 12−z 22| ≤|z 12|+|z 12| =1+1=2．故答案为：2．【点评】：本题考查了复数与不等式的综合应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 9.（填空题，5分）已知 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 为单位向量， |a ⃗+b ⃗⃗|=√2|a ⃗−b ⃗⃗| ，则 a ⃗ 在 a ⃗+b ⃗⃗ 方向上的投影为 ___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：利用 |a ⃗+b ⃗⃗|=√2|a ⃗−b ⃗⃗| ，求出 a ⃗•b ⃗⃗ ，然后求解 a ⃗ 在 a ⃗ + b ⃗⃗ 方向上的投影即可．【解答】：解：由题意可得2+2 a ⃗•b ⃗⃗ =2-4 a ⃗•b ⃗⃗ +2， 所以 a ⃗•b ⃗⃗ = 13，所以 a ⃗•(a ⃗+b⃗⃗) =1+ 13= 43， 设 a ⃗ 与 a ⃗+b ⃗⃗ 的夹角为α，则| a ⃗ |•| a ⃗+b⃗⃗ |cosα= 43， 所以| a ⃗+b⃗⃗ |= √2+2×13= 2√63， 所以| a ⃗ |cosα= 43×√32√2 = √63． 所以 a ⃗ 在 a ⃗+b ⃗⃗ 方向上的投影为 √63 ． 故答案为： √63．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的性质及运算，平面向量的投影，考查了转化思想，是中档题．10.（填空题，5分）向量数列 {a n ⃗⃗⃗⃗⃗} 满足 a n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n ⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ，且满足 |a 1⃗⃗⃗⃗⃗|=3 ， a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗=−32 ，若S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) ．则当S n 取最大值时，n 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]6或7【解析】：根据条件，求出数列的通项公式，利用 S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) ，求出S n ，再利用二次函数的性质求出结果．【解答】：解：向量数列 {a n ⃗⃗⃗⃗⃗} 满足 a n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n ⃗⃗⃗⃗⃗+d⃗ ， 所以 a 2⃗⃗⃗⃗⃗=a 1⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ， a 3⃗⃗⃗⃗⃗=a 2⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ，… a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a n−2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ， a n ⃗⃗⃗⃗⃗=a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+d ⃗ ， 所有的式子相加得到 a n ⃗⃗⃗⃗⃗=a 1⃗⃗⃗⃗⃗+(n −1)d ⃗ ， 所以 a i ⃗⃗⃗⃗=a 1⃗⃗⃗⃗⃗+(i −1)d ⃗ ，因为 |a 1⃗⃗⃗⃗⃗|=3 ， a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗=−32 ，所以 S n =a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a 2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+a n ⃗⃗⃗⃗⃗) = a 1⃗⃗⃗⃗⃗•(∑a i ⃗⃗⃗⃗n i=1) = ∑a 1⃗⃗⃗⃗⃗n i=1•[a 1⃗⃗⃗⃗⃗+(i −1)d ⃗] = ∑[|a 1⃗⃗⃗⃗⃗|2+(i −1)a 1⃗⃗⃗⃗⃗•d ⃗]n i=1 = ∑[9−32(i −1)]n i=1 =9n- 32∑i n i=1 + 32n = 424n −32•n (n+1)2= −3n 2+39n4，其对称轴方程为n= −392×(−3) = 132（n 为整数），所以n=6或7时，S n 取最大值． 故答案为：6或7．【点评】：本题考查向量数列的通项公式，向量的运算，向量数列的前n 项和，考查运算能力，属于中档题．11.（填空题，5分）设φ∈[0，2π），若关于x 的方程cos （2x+φ）=a 在区间[0，2π]上有5个解，且它们的和为16π3，则φ=___ ．【正确答案】：[1] 5π6 或11π6． 【解析】：先把方程的解转化为函数的零点，记为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，不妨设 x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5，再结合三角函数的图形及其性质可得 x 1=0，x 3=π，x 5=2π，再建立x 2，x 4的方程，解出x 2，x 4，最后利用f （x 1）=f （x 2）解出φ．【解答】：解：令 f （x ）=cos （2x+φ），则 T =2πω=2π2=π ，因为关于 x 的方程 cos （2x+φ）=a 在区间[0，2π]上有 5 个解，则函数 f （x ） 在[0，2π]上有 5 个零点，记为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，不妨设 x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5， 因为2π−0T=2ππ=2 ，即[0，2π]的区间长度等于 2 个周期，所以必有 x 1=0，x 3=π，x 5=2π，如下图所示，结合三角函数的图象可知 {x 4−x 2=π∑x i 5i=1=16π3⇒ {x 2=π6x 4=7π6 ， 于是 cosφ=cos (π3+φ) ，又因为函数 y=cosx 的对称轴为 x=kπ（k∈Z ）， 所以 π3+2φ=2kπ ，即 φ=−π6+kπ （k∈Z ）， 又因为 φ∈[0，2π），所以 φ=5π6或 φ=11π6． 故答案为： 5π6或 11π6．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与方程的根之间的关系，考查数形结合的数学思想，属于难题．12.（填空题，5分）若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且 GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则cosC 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 45【解析】：将向量 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分表表示 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．【解答】：解：因为G 为△ABC 的重心，所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ； BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， 因为 GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 19(2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)•(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0 ，整理得 5AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=0 ， 所以 5|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosC =2(|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2) ≥4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ， 所以 cosC ≥45 ， 故答案为 45 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，属于中档题目，有一定难度． 13.（单选题，5分）在△ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【正确答案】：B【解析】：由条件求得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故∠A= π2，由此可得△ABC 的形状．【解答】：解：在△ABC 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴∠A= π2，则△ABC 为直角三角形， 故选：B ．【点评】：本题主要考查两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，属于基础题． 14.（单选题，5分）设n 为正整数，则“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n }满足a n •a n+3=a n+1•a n+2”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【正确答案】：A【解析】：根据等比数列的定义得到a n •a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．【解答】：解： ① 若数列{a n }为等比数列，则a n+1a n = a n+3a n+2=q ，∴a n •a n+3=a n+1•a n+2， ② 若a n =0，满足a n •a n+3=a n+1•a n+2，但数列{a n }不为等比数列， 故选：A ．【点评】：本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.（单选题，5分）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且 |PT⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5−12．若 ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R ) ，则λ=（ ）A. √5+12B.√5−12 C. −√5+12D.1−√52【正确答案】：D【解析】：根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．【解答】：解：五角星中， ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = RC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = QC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 ES ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = RC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - QC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - CR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = RQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √5−12 QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- √5−12 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1−√52BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则λ=1−√52， 故选：D ．【点评】：本题主要考查向量的基本运算，利用五角星的对应长度关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．16.（单选题，5分）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6，O 是该正六边形中心，设点集S={A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，O}，向量集T={ MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |M ，N∈S 且M ，N 不重合}．则这个集合T 中元素的个数为（ ） A.18 B.24 C.36 D.42【正确答案】：A【解析】：作出满足题意的正六边形，从而依次列举出所有可能的向量．【解答】：解：如图，以A 1为起点的向量共有 A 1A i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （i=2，3，4，5，6）， A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等6个向量，故以A 1为终点的向量也有6个向量，以A 2为起点的向量且与以上12个向量不相等的有 A 2A 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， A 2A 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等2个向量，故以A 2为终点的向量也有2个向量，以A 3为起点的向量且与以上16个向量不相等的有 A 3A 6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1个向量，故以A 3为终点的向量也有1个向量，以A 4、A 5、A 6，O 为起点或终点的向量与以上18个向量中的某一个向量相等，综上所述，这个集合T中元素的个数为18，故选：A．【点评】：本题考查了集合的定义及平面向量的定义，属于基础题．17.（问答题，12分）已知平面向量a⃗=(1，2)，b⃗⃗=(−3，−2)．（1）当k为何值时，ka⃗+b⃗⃗与a⃗−3b⃗⃗垂直；（2）若a⃗与a⃗+λb⃗⃗的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）可求出向量ka⃗+b⃗⃗=(k−3，2k−2)，a⃗−3b⃗⃗=(10，8)，然后根据ka⃗+ b⃗⃗与a⃗−3b⃗⃗垂直即可得出(ka⃗+b⃗⃗)•(a⃗−3b⃗⃗)=0，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出k的值；（2）根据a⃗与a⃗+λb⃗⃗的夹角为锐角即可得出{1−3λ+2(2−2λ)＞02−2λ−2(1−3λ)≠0，然后求出λ的范围即可．【解答】：解：（1）ka⃗+b⃗⃗=(k−3，2k−2)，a⃗−3b⃗⃗=(10，8)，且ka⃗+b⃗⃗与a⃗−3b⃗⃗垂直，∴ (ka⃗+b⃗⃗)•(a⃗−3b⃗⃗)=10(k−3)+8(2k−2)=0，解得k=2313；（2）a⃗+λb⃗⃗=(1−3λ，2−2λ)，且a⃗与a⃗+λb⃗⃗的夹角为锐角，∴ a⃗•(a⃗+λb⃗⃗)＞0，且a⃗与a⃗+λb⃗⃗不共线，∴ {1−3λ+2(2−2λ)＞02−2λ−2(1−3λ)≠0，解得 λ＜57 且λ≠0，∴λ的取值范围为 (−∞，0)∪(0，57) ．【点评】：本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，共线向量的坐标关系，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.（问答题，13分）已知复数z n 满足：（1+2i ） z 1 =4+3i ，z n+1-z n =2+2i （n∈N *）． （1）求复数z 1，并指出z 1的实部和虚部； （2）求满足|z n |≤13的最大正整数n 的值．【正确答案】：【解析】：（1）设出复数，从而得到复数的共轭复数，把共轭复数代入所给的等式，得到关于a 和b 的等式，根据两个复数相等的充要条件列方程求得a 与b 的值，则答案可求； （2）根据z n+1-z n =2+2i ，利用叠加的方法求得z n ，求出复数的模，解不等式得答案．【解答】：解：（1）设z 1=a+bi （a ，b∈R ），则 z 1=a −bi ， 由（1+2i ） z 1 =4+3i ，得（1+2i ）（a-bi ）=4+3i ， 即a+2b+（2a-b ）i=4+3i ，∴ {a +2b =42a −b =3 ，解得： {a =2b =1 ，∴z 1=2+i ，z 1的实部和虚部分别为2，1； （2）由z n+1-z n =2+2i （n∈N *）得：z 2-z 1=2+2i ，z 3-z 2=2+2i ，z 4-z 3=2+2i ，…，z n -z n-1=2+2i （n∈z ，n≥2）． 累加得z n -z 1=2（n-1）+（n-1）i （n∈N *）， ∴z n =2n+（2n-1）i （n∈N *），则|z n |= √4n 2+(2n −1)2 = √8n 2−4n +1 ， 令|z n |≤13，即8n 2-4n+1≤169，∴2n 2-n-42≤0， ∴1−√3374 ≤n≤ 1+√3374＜5． ∴n 的最大整数取值是4．【点评】：本题考查复数的代数形式的运算，考查复数模的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，15分）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=α(π12≤α≤5π12)．（1）当α=π4时，求出矩形PGBF的面积（精确到1m2）；（2）用α表示矩形PGBF的面积，并求出矩形PGBF的面积S PGBF的最大值（精确到1m2）．【正确答案】：【解析】：（1）作PM⊥OA于点M，PN⊥OC于点N，在三角形中利用边角关系求出PG，PF，再求出当α=π4时，矩形PGBF的面积即可；（2）结合（1）中的结论，用α表示出矩形PGBF的面积S，然后利用换元法结合二次函数的性质求解最值即可．【解答】：解：（1）作PM⊥OA于点M，PN⊥OC于点N，所以在Rt△POM与Rt△PON中，PM=60sinα，PN=60cosα，所以PG=80-60cosα，PF=80-60sinα，当PG=PF时，sinα=cosα（π12≤α≤5π12），所以当α=π4时，矩形PGBF的面积S=PG•PF=PG2= (800−60×√22)2≈ 1412m2；（2）矩形PGBF的面积S=PG•PF=（80-60sinα）（80-60cosα）=400[9sinαcosα-12（sinα+cosα）+16]，令t=sinα+cosα= √2sin (α+π4) ， 因为 π12≤α≤5π12 ，所以 α+π4∈[π3，2π3] ， 故 √2sin (α+π4)∈[√62，√2] ，即 t ∈[√62，√2] ， 令u=9sinαcosα-12（sinα+cosα）+16= 9•t 2−12−12t −92，对称轴为 t =43∈[√62，√2] ，因为u （ √62 ）= 94−6√6≈−12.45 ，u （ √2 ）= 92−12√2 ≈12.47＜u （ √62 ）， 所以当α= π12 或 5π12 时，矩形PGBF 的面积S PGBF 的最大值为400（μmax +16）≈1421m 2．【点评】：本题考查了同角三角函数关系、辅助角公式、三角函数性质的综合应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.（问答题，15分）如图，在四边形ABCD 中，G 为对角线AC 与BD 中点连线MN 的中点，P 为平面上任意给定的一点．（1）求证： 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1 ， |CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2 ，点E 在直线AD 上运动，当E 在什么位置时， |EG⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取到最小值？ （3）在（2）的条件下，过G 的直线分别交线段AB 、CD 于点H 、K （不含端点），若 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nCD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 1m +1n的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用平面向量基本定理以及相反向量进行转化，即可证明；（2）建立平面直角坐标系，求出所需点的坐标，设点E 的坐标，表示出 |EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ，然后由二次函数的性质求解最值即可；（3）设直线的方程，求出H 以及K 的坐标，利用向量的关系得到m 和n 的关系，由基本不等式求解最值即可．【解答】：（1）证明：因为G 为MN 的中点，则 2PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又M 为BD 的中点，N 为AC 的中点，所以 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， 故 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 4PG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）解：以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则A （0，1），B （0，0），C （1，0），D （1，2），M （ 12 ，1），N （ 12，12 ），G （ 12，34）， 故直线AD 的方程为 y −1=2−11−0(x −0) ，即y=x+1，设E （x ，x+1），则 |EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(x −12)2+(x +1−34)2= √2x 2−12x +516= √2(x −18)2+932 ，所以当x= 18 ，y= 98 时， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 取得最小值为 3√28， 即 E (18，98) 时， |EG |min =3√28； （3）解：设过G 的直线为 y −34=k (x −12) ， 令x=0，则y= −12k +34 ，故H （0， −12k +34 ）， 令x=1，则y= 12k +34 ，故K （1， 12k +34 ），因为 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nCD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则有 m =34−12k ，2n = 12k +34， 所以m+2n= 32 ，则 1m +1n = 23(m +2n )(1m +1n ) = 23(mn +2nm+3) ≥ 23(2√mn •2n m+3) = 23×(2√2+3) = 2+4√23， 当且仅当 m =√2n 时取等号， 故 1m +1n 的最小值为 2+4√23．【点评】：本题考查了平面向量的综合应用，涉及了平面向量基本定理的运用，利用坐标法求解向量问题，考查了逻辑推理能力、转化化归能力、化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，15分）已知各项均为正数的等差数列{a n }与等比数列{b n }满足a 2=b 2=4，又a 1、a 3、a 7+30成等比数列且b 5=b 1b 4． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式：（2）将数列{a n }、{b n }的所有公共项从小到大排序构成数列{B n }，试求数列{B n }前2021项之和；（3）若c n =a n b n -na n -kb n （k∈R ），数列{c n }是严格递增数列，求k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过a 1，d ，b 1，q 列方程组求解即可； （2）通过列举{B n }的前若干项，归纳其规律，再求和； （3）通过不等式c n+1＞c n ，n∈N*恒成立，求k 的取值范围；【解答】：解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，则由条件有{a1+d=b1q=4(a1+2d)2=a1(a1+6d+30)b1q4=b1×b1q3，又q＞0，d＞0，解得a1=1，d=3，b1=2，q=2，所以a n=3n−2，b n=2n；（2）B1=4，B2=16，B3=32，B4=64⋯，所以数列{B n}为以4为首项，4为公比的等比数列．所以前2021项和为4(1−42021)1−4=43(42021−1)；（3）c n=(3n−2)•2n−n(3n−2)−k•2n，c n+1=(3n+1)•2n+1−(n+1)(3n+1)−k•2n+1，c n+1−c n=(3n+4)•2n−(6n+1)−k•2n，因为{c n}单调递增，所以c n+1-c n＞0恒成立，即k＜(3n+4)−6n+12n恒成立，设f(n)=(3n+4)−6n+12n ，则f(n+1)−f(n)=3+6n−52n+1＞0对n∈N*成立，所以f（n）在n∈N*上单调递增，f(n)≥f(1)=72，所以k的取值范围为k＜72．【点评】：本题考查等差等比数列的基本量问题及数列的单调性，考查研究未知数列的一般思路，通过特殊项归纳一般规律，考查逻辑推理素养．。

2020-2021学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列函数中，一次函数是（）A．y＝x2﹣2B．y＝﹣2C．y＝3x﹣2D．y＝﹣22．（2分）一次函数y＝﹣x+2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限3．（2分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．+x＝0C．x2+2＝0D．x2+x+2＝04．（2分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．买一张彩票中大奖B．云层又黑又低时会下雨C．软木塞浮在水面上D．有人把石头孵成了小鸡5．（2分）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，设＝，＝，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．6．（2分）下列命题中，假命题是（）A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）直线y＝2x﹣1的截距是．8．（2分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么m 的取值范围是．9．（2分）方程x4﹣16＝0的实数根是．10．（2分）方程的解是．11．（2分）用换元法解分式方程+3＝0时，如果设＝y，那么原方程化为关于y的整式方程是．12．（2分）中国“一带一路”的倡议给沿线国家和地区带来了很大的经济收益，沿线某地区居民2018年人均年收入为400美元，到2020年增长到900美元，如果设2018年到2020年该地区居民人均年收入增长率均为x（x＞0），那么由题意列出的方程是．13．（2分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是．14．（2分）化简：+﹣＝．15．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，过点A作AE∥CD交BC于点E，写出一个与相等的向量．16．（2分）菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AB＝13，AC＝24，则菱形ABCD 的面积是．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，点M是AB的中点，如果AB＝20，AC＝10，那么DM＝．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，将矩形ABCD绕点O旋转得到矩形A1B1C1D1，若点D1与点C重合，边B1C1交边BC于点E，则CE的长为．三、（本大题共3题，每题8分，满分24分）19．（8分）解方程：﹣＝1．20．（8分）解方程组：．21．（8分）小明和小红玩扑克牌游戏，每次各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢，同样大就平．现已知小明手中有2、5、8，小红手中有3、5、7．（1）如果小明、小红将手中的牌任出一张，一局定胜负，请用画树状图或列表的方法，说明谁的获胜机会比较大？（2）如果小明按2、5、8的顺序出牌三次，小红则按随机顺序出牌三次，三局两胜定胜负，那么小红获胜的概率是（直接写出结果）．四、（本大题共2题，每题9分，满分18分）22．（9分）某校八年级学生从学校出发，沿相同路线乘车前往崇明花博园游玩．已知1号车比2号车早20分钟出发，图4中l1、l2分别表示两车在行驶中的路程与时间的关系（图象不完整）．（1）求l2的函数表达式（不需写出定义域）；（2）如果2号车和1号车最终能同时到达，求汽车从学校到花博园行驶的路程．23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．五、（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题3分）24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过点A（0，1）、B（2，2）．将直线l1向下平移m个单位得到直线l2，已知直线l2经过点（﹣1，﹣2），且与x轴交于点C．（1）求直线l1的表达式；（2）求m的值与点C的坐标；（3）点D为直线l2上一点，如果A、B、C、D四点能构成平行四边形，求点D的坐标．六、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）25．（12分）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝30°，CD＝3．过点D作DE ∥AB交边BC于点E，过点A作AF⊥DE交边BC于点F，交射线DE于点P．（1）如图1，当点F与点E重合时，求边AD的长；（2）如图2，当点P在梯形ABCD内部时，设AD＝x，EF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；＝S梯形ABCD时，求边AD的长．（3）联结DF，当S△DEF2020-2021学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【解答】解：A．y＝x2﹣2，自变量x的次数是2，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；B.，自变量x的次数是﹣1，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；C．y＝3x﹣2，是一次函数，因为符合一次函数的定义，故此选项符合题意；D．y＝﹣2，是常数函数，不是一次函数，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的定义．解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y ＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．2．【分析】根据一次函数的性质分析即可得出函数图象经过的象限．【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴函数图象经过第二、四象限，∵b＝2＞0，∴函数图象与y轴正半轴相交，经过第一象限，∴一次函数y＝﹣x+2图象经过第一、二、四象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，对一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，函数图象经过第一三象限，k＜0时，函数图象经过第二四象限，b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交，b＜0时，函数图象与y轴负半轴相交．3．【分析】方程两边都乘以x+2，求出x＝±2，再进行检验，即可判断A；移项后两边平方，求出方程的解，即可判断B；先移项，再根据偶次方的非负性即可判断C；根据根的判别式即可判断D．【解答】解：A．＝，方程两边都乘以x+2得：x2＝4，解得：x＝±2，经检验x＝2是原方程的解，x＝﹣2是增根，舍去，即方程有实数根，故本选项符合题意；B．+x＝0，移项，得＝﹣x，两边平方，得x﹣2＝x2，即x2﹣x+2＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无解，即原方程无实数根，故本选项不符合题意；C．x2+2＝0，移项，得x2＝﹣2，∵不论x为何值，x2都是非负数，∴此方程无解，即原方程无实数根，故本选项不符合题意；D．x2+x+2＝0，∵Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无解，即方程无实数根，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了解无理方程，算术平方根，根的判别式，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程、把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．4．【分析】根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可．【解答】解：A、买一张彩票中大奖是随机事件，故本选项不符合题意；B、云层又黑又低时会下雨是随机事件，故本选项不符合题意；C、软木塞浮在水面上是必然事件，故本选项符合题意；D、有人把石头孵成了小鸡是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．5．【分析】利用平行四边形的性质与三角形法则求出即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝DO．∵＝，∴＝＝，∵＝，∴＝+＝+，∴．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．【分析】利用矩形、菱形、正方形及等腰梯形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；D、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、正方形及等腰梯形的判定定理，难度不大．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．【分析】根据截距的定义：直线y＝kx+b中，b就是截距，即可得到答案．【解答】解：令x＝0，得y＝﹣1，∴直线y＝2x﹣1的截距是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，熟记截距的定义是解题的关键．8．【分析】根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m的增减性列出不等式1﹣2m＜0，通过解该不等式即可求得m的取值范围．【解答】解：由题意得，1﹣2m＜0，解得，m＞；故答案为m．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．9．【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．【解答】解：由x4﹣16＝0得（x2+4）（x2﹣4）＝0，∴x2+4＝0或x2﹣4＝0，而x2+4＝0无实数解，解x2﹣4＝0得x＝2或x＝﹣2，故答案为：x＝2或x＝﹣2．【点评】本题考查解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程．10．【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．【解答】解：两边平方得：2x+1＝9，解得：x＝4．检验：x＝4是方程的解．故答案是：x＝4．【点评】本题主要考查无理方程的知识点，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．11．【分析】设＝y，则＝，原方程可变为3y﹣+3＝0，再化成整式方程即可．【解答】解：设＝y，则＝，原方程可变为，3y﹣+3＝0，两边都乘以y得，3y2+3y﹣1＝0，故答案为：3y2+3y﹣1＝0．【点评】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是正确解答的关键．12．【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设2018年到2020年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2020地区居民年人均收入，然后根据已知可以得出方程．【解答】解：设2018年到2020年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2020年年收入为：400（1+x）2，列出方程为：400（1+x）2＝900．故答案为：400（1+x）2＝900．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a （1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．13．【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．14．【分析】用平行四边形法则，根据向量的知识，以求得+﹣的结果．【解答】解：∵+﹣＝﹣＝．故答案为：．【点评】此题考查向量的知识．注意平行四边形法则的应用．15．【分析】根据相等向量的定义即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形．∴AD＝EC．又∵BC＝2AD，∴BE＝EC．∴＝＝．故答案是：或．【点评】本题考查平面向量和梯形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．【分析】在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2，从而求出BO，继而得出BD，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝DO，AC⊥BD∵AC＝24，AO＝AC＝12，在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2，又AB＝13，∴BO＝＝5，∴BD＝10，＝，∴S菱形ABCD∴菱形ABCD的面积为120．故答案为：120．【点评】本题考查菱形的性质，属于中等难度的题目，解答本题关键是掌握①菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于底乘以底边上的高，还等于对角线乘积的一半．17．【分析】延长AD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出AC＝10，再证明△CDA ≌△CDE得到AD＝ED，CE＝CA＝10，然后利用三角形中位线定理求解．【解答】解：延长AD交BC于E，如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝10，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，∵CD⊥AD，∴∠CDA＝∠CDE＝90°，在△CDA和△CDE中，，∴△CDA≌△CDE（ASA），∴AD＝ED，CE＝CA＝10，∵点M是AB的中点，∴DM为△ABE的中位线，∴DM＝BE＝（BC﹣CE）＝×（10﹣10）＝5﹣5．故答案为5﹣5．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．构建中位线定理的基本图形是解决问题的关键．18．【分析】根据题意画图图形，由旋转及矩形的性质可得△ABE≌△D1CE1（AAS），则BE ＝C1E；设BE＝a，则C1E＝a，EC＝8﹣a，在Rt△CC1E中，∠C1＝90°，由勾股定理得，C1E2+CC12＝EC2，则62+a2＝（8﹣a）2，解得a＝，则CE＝8﹣a＝．【解答】解：如图，矩形ABCD旋转到矩形A1B1C1D1的位置，由旋转的性质可知，AB＝CD＝C1D1，∠B＝∠C1＝90°，又∠AEB＝∠D1EC1，∴△ABE≌△D1CE1（AAS），∴BE＝C1E，设BE＝a，则C1E＝a，EC＝8﹣a，在Rt△CC1E中，∠C1＝90°，由勾股定理得，C1E2+CC12＝EC2，∴62+a2＝（8﹣a）2，解得a＝，∴CE＝8﹣a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定等内容，根据题意画出正确图形是本题解题关键．三、（本大题共3题，每题8分，满分24分）19．【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x＝3或﹣1，经检验x＝3是原方程的增根，∴原方程的解为x＝﹣1．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．20．【分析】由②得：y＝4﹣x③，把③代入①得：x2﹣x（4﹣x）﹣6（4﹣x）2＝0，解得x1＝8，x2＝3，即可得到方程组的解．【解答】解：由②得：y＝4﹣x③，把③代入①得：x2﹣x（4﹣x）﹣6（4﹣x）2＝0，整理得x2﹣11x+24＝0，解得x1＝8，x2＝3，当x1＝8时，y＝4﹣8＝﹣4，当x2＝3时，y＝4﹣3＝1，∴方程组的解为：，．【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化为一元二次方程．21．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明、小红本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）据题意，小明出牌顺序为2、5、8时，小红随机出牌的情况有：（7，5，3），（7，3，5），（5，7，3），（5，3，7），（3，7，5），（3，5，7），又由小红获胜的情况有（5，7，3），（3，7，5）两种，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∵每人随机取一张牌共有9种情况，小红获胜的情况有4种，小明获胜的情况有4种，概率都是，∴小明、小红获胜机会一样；（2）据题意，小明出牌顺序为2、5、8时，小红随机出牌的情况有6种情况：（7，5，3），（7，3，5），（5，7，3），（5，3，7），（3，7，5），（3，5，7），∵小红获胜的情况有（5，7，3），（3，7，5）两种，∴小红获胜的概率为P＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．四、（本大题共2题，每题9分，满分18分）22．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出1号车的速度，再结合（1）的结论列方程解答即可．【解答】解：（1）设l2的函数表达式为y2＝kx+b，把（40，20）代入上式得由题意得，解得：，∴y2＝x﹣20；（2）1号车的速度为30÷40＝，设1号车出发x分钟后到达花博园，则x＝x﹣20，解得x＝80，故汽车从学校到花博园行驶的路程为×80＝60（千米）．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合思想解答．23．【分析】（1）（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD 是菱形；（2）由全等三角形的性质得到∠DAE＝∠DCE，进而得到∠ABE＝2∠DAE，由菱形的性质得到AB＝AD，进而得到∠ABE＝∠ADE，由三角形的外角的性质结合已知条件得到∠BAE＝3∠DAE，可得∠BAD＝4∠DAE，根据三角形内角和定理求得4∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，即可得到四边形ABCD是正方形．【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵△ADE≌△CDE，∴∠DAE＝∠DCE，∵∠ABE＝2∠DCE，∴∠ABE＝2∠DAE，由（1）知，四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABE＝∠ADE＝2∠DAE∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝3∠DAE，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB＝3∠DAE，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝4∠DAE，∵∠ABE+∠ADE+∠BAD＝180°，∴2∠DAE+2∠DAE+4∠DAE＝180°，∴4∠DAE＝90°，∴∠BAD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形判定证得△ADE≌△CDE是解题的关键．五、（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题3分）24．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据平移的规律得到直线l2为y＝x+1﹣m，然后根据待定系数法即可求得解析式，令y＝0，即可求得C的坐标；（3）分两种情况，根据平行四边形的性质以及平移的规律即可求得D的坐标．【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，∵直线l1经过点A（0，1）、B（2，2），∴，解得，∴直线l1的表达式为y＝x+1；（2）将直线l1向下平移m个单位得到直线l2，则直线l2为y＝x+1﹣m，∵直线l2经过点（﹣1，﹣2），∴﹣2＝+1﹣m，解得m＝，∴直线l2为y＝x﹣，令y＝0，则求得x＝3，∴点C的坐标为（3，0）；（3）由题意可知AB∥CD，当A、B、C、D四点构成平行四边形ABDC时，AB＝CD，∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），∴点A向右平移3个单位，再向下平移1个单位与C点重合，∴点B向右平移3个单位，再向下平移1个单位与D点重合，此时D的坐标为（5，1）；∵AB∥CD，当A、B、C、D四点构成平行四边形ABCD时，∵A（0，1）、B（2，2），C（3，0），∴点B向右平移1个单位，再向下平移2个单位与C点重合，∴点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位与D点重合，此时D的坐标为（1，﹣1）；综上，如果A、B、C、D四点能构成平行四边形，点D的坐标为（5，1）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，解题的关键：（1）熟练掌握待定系数法；（2）掌握平移的规律；（3）分类讨论思想．六、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）25．【分析】（1）证明四边形ABED是平行四边形，推出AD＝BE，AB＝DE，求出BE，可得结论．（2）求出BF＝4，再利用平行四边形的性质，可得结论．（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点在在梯形内部时，如图3﹣2中，当点P在梯形外部时，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥DE，AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，AB＝DE，∴∠DEC＝∠B＝30°，∵CD＝3，∠C＝90°，∴DE＝2CD＝6，∵AE⊥DF，∴AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∵∠B＝30°，AB＝6，∴BE＝＝＝4，∴AD＝BE＝4．（2）如图2中，由（1）可知AD＝BE＝x，BF＝4，∴y＝EF＝BF﹣BE＝4﹣x，∵3≤y＜4，∴≤x＜4．∴y＝4﹣x（≤x＜4）．（3）解：如图3﹣1中，当点在在梯形内部时，设AD＝m．由题意×（4﹣m）×3＝××（m+m+3）×3，解得m＝．如图3﹣2中，当点P在梯形外部时，可得×（m﹣4）×3＝××（m+m+3）×3，解得m＝，综上所述，满足条件的AD的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．。

2020-2021学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为．3．函数的定义域是．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是．二、选择题（共4小题）.13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．三、解答题（共5小题）.17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{1，2}．解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故答案为：{1，2}．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为{0}．解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为：∁U（A∪B）＝{0}．故答案为：{0}．3．函数的定义域是（，1）．解：由题意得：，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝2．解：函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，可得：1＝a﹣1，解得：a＝2．∴f（x）＝2x﹣1那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1＝3时，x的值．由2x﹣1＝3，解得：x＝2．∴f﹣1（3）＝2．故答案为2．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．解：因为f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28，所以f（1）＝9＞0，f（2）＝﹣4＜0，f（1.5）＝1＞0，由零点的存在性定理可得，f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣2﹣x+1．解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）﹣2﹣x+1＝﹣x﹣2﹣x+1，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，故答案为：﹣x﹣2﹣x+1．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（﹣，﹣）．解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则ax2+5x+b＝0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2＝﹣，3×2＝，解得a＝﹣1，b＝﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．解：当x≤2时，y＝﹣x+8≥6，要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则有x＞2时，函数y＝log a x+5≥6，∴，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝1．解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1，故答案为：1．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是8．解：函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣3＝1，即x＝4时，y＝1，故定点A（4，1），又点A在一次函数的图象上，所以有，即2m+n＝1，所以＝，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是8．故答案为：8．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为（﹣∞，5）．解：由题意可得：|x﹣2|＞﹣|x+3|+m在R上恒成立，即m＜|x﹣2|+|x+3|在R上恒成立，只需m＜（|x﹣2|+|x+3|）min即可，又|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，当且仅当x﹣2与x+3的符号异号取等号，所以m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是4．解：若[t]＝1，则t∈[1，2），若[t2]＝2，则t∈[），（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]＝3，则t∈[，），若[t4]＝4，则t∈[，），若[t5]＝5，则t∈[，），其中，，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，综上，当t＝4时，可以找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）上，但当t＝5时，无法找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）∩[）上，∴正整数n的最大值为4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数解：因为“全称量词命题”的否定是“存在量词命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：D．14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B．f（x）＝x﹣2，（x≠﹣2），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，D．f（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，g（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，因为log a3＜log b3，①当a＞1，b＞1时，则有a＞b＞1；②当0＜a＜1，0＜b＜1时，则有0＜b＜a＜1，所以“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的必要不充分条件．故选：B．16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．解：根据题意，由于m为正数，y＝（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y＝+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y＝（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3，综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．解：由已知可得A＝{﹣2，1}，因为B⊆A，则B＝∅或{﹣2}或{1}或{﹣2，1}，当B＝∅时，△＝a2﹣4（2a﹣2）＝a2﹣8a+8＜0，无解，当B＝{﹣2}时，则，解得a＝4，当B＝{1}时，则，无解，当B＝{﹣2，1}时，则，解得a＝1，综上，实数a的值为1或4．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．【解答】证明：假设x+y是有理数，则x+y＝（m，n∈Z）．∵x是有理数，∴x＝（p，q∈Z），∴x+y＝+y＝，∴y＝﹣＝，∵m，n，p，q∈Z，∴mp∈Z，mq﹣pm∈Z，∴y是有理数，与y是无理数相矛盾．∴假设错误，x+y是无理数，得证．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．解：（1）因为幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，所以（m﹣1）2＝1且m2﹣4m+2＞0，解得m＝0．（2）由（1）得f（x）＝x2，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为0，f（x）的最大值为4，故A＝[0，4]，因为g（x）＝2x﹣k在x∈[﹣1，2]上单调递增，故g（x）的最小值为，g（x）的最大值为4﹣k，故B＝，因为命题p：x∈A，命题：q：x∈B，且命题p是q成立的必要条件，故B⊆A，所以，解得，所以实数k的取值范围为．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．解：（1）若不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集，即f（x﹣1）≤0恒成立，由f（﹣1）＝0，所以函数f（x）不可能单调递增或单调递减，所以①②都不能选，只能选③④，此时f（x）＝0，不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集；所以选③④；（2）若不等式f（x﹣1）＞0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤；（3）若选①③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，解得x＜0或1＜x＜2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；若选①④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）；若选②③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜或x﹣1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞）；若选②④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．解：（1）∵f（x）＝f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．∴f（x）的对称轴为x＝﹣2，可得x1＝﹣3，x2＝﹣1（不妨设x1＜x2），设f（x）＝a（x+3）（x+1）（a≠0），由f（0）＝3a＝3，得a＝1，∴f（x）＝x2+4x+3（2）∵＝＝x++4，当x＞0时，x++4≥2+4，当且仅当x＝时取等号，此时g（x）∈[2+4，+∞）；当x＜0时，x++4≤﹣2+4，当且仅当x＝﹣时取等号，此时g（x）∈（﹣∞，﹣2+4]，∴函数g（x）的值域是（﹣∞，﹣2+4]∪[2+4，+∞）．（3）不等式g（2x）﹣k•2x≥0可化为2x++4﹣k•2x≥0，即k≤1+3+4•恒成立，令t＝，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，令h（t）＝3t2+4t+1，t∈[，2]，图象开口向上对称轴为t＝﹣，∴当t＝时，h（t）取得最小值为h（）＝，∴k≤．∴实数k的取值范围为（﹣∞，]．。

上海市虹口区2021届高三一模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．方程x2+2x+2＝0的根是．3．行列式的值等于．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是．7．计算：＝．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．上海市虹口区2021届高三一模数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1～6每题4分，7～12每题5分，共54分）1．已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝（﹣3，2）．【分析】解关于A，B的不等式，求出A，B的交集即可．【解答】解：∵A＝{x|x+3＞0，x∈R}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}＝{x|﹣4＜x＜2}∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜2}，故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．方程x2+2x+2＝0的根是﹣1±i．【分析】先求出方程的判别式，再利用求根公式即可求解．【解答】解：因为判别式△＝4﹣8＝﹣4，所以由一元二次方程的求根公式可得方程的根为＝＝﹣1±i，故答案为：﹣1±i．【点评】本题考查了一元二次方程根的问题，涉及到复数问题，属于基础题．3．行列式的值等于1．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．【解答】解：＝sinα（sinα+cosα）﹣cosα（sinα﹣cosα）＝sin2α+sinαcosα﹣cosαsinα+cos2α＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了行列式的计算公式，考查计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（4）＝6．【分析】由原函数的值域与其反函数的定义域的关系得对数方程，求解得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝log2（2x+4）的反函数为y＝f﹣1（x），要求f﹣1（4）的值，即可求使得log2（2x+4）＝4的x值，由log2（2x+4）＝4，得2x+4＝16，则x＝6．∴f﹣1（4）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查函数与其反函数间的关系，是基础的计算题．5．从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为.（用数字作答）【分析】根据题意，由组合数公式计算从4人中选出2人的情况数目，而甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，有C42＝6种选法，则甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有1种，则甲、乙两人都没有被选到的概率P＝，故答案为：．【点评】本题考查概率的计算，涉及组函数公式的应用，属于基础题．6．在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是112．【分析】根据题意，求出（2x+1）8的展开式通项，分析可得当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即可得答案．【解答】解：根据题意，（2x+1）8的展开式通项为T r+1＝C8r（2x）8﹣r，当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即x2项的系数是112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．7．计算：＝2．【分析】当n→+∞时，去绝对值，然后分子分母同时除以n，则极限值可求．【解答】解：＝＝．故答案为：2．【点评】本题考查数列的极限及其运算，是基础题．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝4，则p ＝2．【分析】求得抛物线的焦点，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求得|AB|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），可得直线AB的方程为x＝，代入抛物线方程可得y2＝p2，即y＝±p，即有|AB|＝2p＝4，解得p＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．9．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．【解答】解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α，即2sin2α＝4sinαcosα；又α∈（0，π），所以sinα≠0，所以sinα＝2cosα＞0；由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．10．设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且满足|PF2|＝|F1F2|，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，则cos∠PF1F2＝．【分析】设双曲线的半焦距为c，求得双曲线的渐近线方程可得a，b，c的关系，求出△PF1F2的三条边，运用余弦定理可求cos∠PF1F2值．【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由双曲线的渐近线方程，可得＝，则c＝＝＝a，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c+2a，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是{9}．【分析】由算术平均数和几何平均数的定义求出a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，再由a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出方程组求出a＝4，b＝1，由此能求出p+q+pq的值形成的集合．【解答】解：∵a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，∴a＝，b＝，且a≥b＞﹣2，∵a、b、﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴，解得a＝4，b＝1，∴p+q＝8，pq＝1，∴p+q+pq＝9，∴p+q+pq的值形成的集合是{9}．故答案为：{9}．【点评】本题考查满足条件的集合的求法，考查算术平均数、几何平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，且S n＝+n（其中S n为数列{a n}前n项和），f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），则f（a2021）＝0．【分析】由a n＝S n﹣S n﹣1，可推出a n＝﹣3n+1；由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f （x），可推出f（x）的周期性；再结合二项式定理，可证得a2021除4后余2，故f（a2021）＝f（2），从而得解．【解答】解：∵S n＝+n，∴S n﹣1＝a n﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减得，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣a n﹣1+1，化简整理得，a﹣1＝3（a﹣1），∴＝3，即数列{a n﹣1}是以﹣3为首项，3为公比的等比数列，∴a n﹣1＝﹣3•3n﹣1＝﹣3n，∴a n＝﹣3n+1．∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），∴令x＝2，则f（2）＝f（0）＝0，令x＝x﹣2，则f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x），∴f（4﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），即f（x）是以4为周期的周期函数．∵a2021＝﹣32021+1＝﹣（4﹣1）2021+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020+40•（﹣1）2021]+1＝﹣[42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020]+2，其中42021•（﹣1）0+42020•（﹣1）1+…+41•（﹣1）2020能被4整除，∴f（a2021）＝f（﹣32021+1）＝f（2）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查数列通项公式的求法、函数的周期性，以及二项式定理，考查学生灵活运用知识的能力，逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|【分析】对于选项A，D，分别给a，b取特殊值验证不成立即可，对于选项B，根据幂函数的单调性判断即可，选项C，根据指数函数的单调性判断即可求解．【解答】解：选项A：令a＝1，b＝，则a﹣b＝，而lg＝﹣lg2＜0，A错误，选项B：因为函数y＝x3在R上单调递增，又a＞b，所以有a3＞b3，则a3﹣b3＞0，B正确，选项C：因为函数y＝0.5x在R上单调递减，又a＞b，所以有0.5a＜0.5b，即0.5a﹣0.5b＜0，C错误，选项D：令a＝1，b＝﹣2，则|a|﹣|b|＝1﹣2＝﹣1＜0，D错误，故选：B．【点评】本题考查了幂函数以及指数函数的单调性，考查了特殊值法，属于基础题．14．在△ABC中，若•+＝0，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由条件求得•＝0，可得⊥，故∠A＝，由此可得△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，•+＝•（+）＝•＝0，∴⊥，∴∠A＝，则△ABC为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，属于基础题．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（）A．[0，3]B．C．[3，6]D．【分析】三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，至少提供两个方面的信息①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数ω，φ，然后求出函数f（x）单调递增区间．【解答】解：与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，知函数的周期为T＝＝4﹣1＝3，解得ω＝，再由三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）知，1与2的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知×+φ＝，解得φ＝﹣，∴f（x）＝A sin（x﹣）＝﹣A cos（x），令2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，解得3k≤x≤3k+，k∈Z，∴当k＝0时，f（x）的单调递增区间是[3，]．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式以及三角函数的图象与性质，属中档题．16．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】通过直线AB与直线l的位置关系，画出图形，判断平面α的个数即可．【解答】解：①如图：当直线AB与l异面时，则只有一种情况；②当直线AB与l平行时，则由无数种情况，平面α可以绕着l转动；③如图，当直线l在AB的中垂面时，有两种情况．故选：C．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质的应用，是中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．【分析】（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，易知∠BMN或其补角即为所求，在△BMN中，由余弦定理，即可得解；（2）由V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC，即可得解．【解答】解：（1）在AC上取点N，使AN＝AC＝1，连接MN，BN，∵AP＝3，AM＝1，∴MN∥PC，∴∠BMN或其补角即为异面直线BM和PC所成的角，在△BMN中，BM＝，MN＝，BN＝，由余弦定理知，cos∠BMN＝＝＝，∴∠BMN＝arccos，∴异面直线BM和PC所成的角的大小为arccos．（2）V＝V P﹣ABC﹣V M﹣ABC＝S△ABC•（AP﹣AM）＝××3×3×2＝3，故三棱锥P﹣BMC的体积为3．【点评】本题考查棱锥的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想，找出异面直线的夹角，以及灵活运用割补法求体积是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算求解能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合奇函数的定义代入即可直接求解；（2）分a+1＝0和a+1≠0两种情况讨论，利用二次函数的图象与性质即可求解．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），则（a+1）（﹣x）2+（a﹣1）（﹣x）+（a2﹣1）＝﹣（a+1）x2﹣（a﹣1）x﹣（a2﹣1），所以，解得a＝﹣1．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣2x，为减函数，不符合题意；当a≠﹣1时，函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1）的对称轴为x＝﹣，因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以，解得a．综上，实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．19．（16分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨．（1）当AP＝15km时，求∠APB的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求△P AB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【分析】（1）由题意可求得PB＝9，利用余弦定理可求cos∠APB的值，进而可求∠APB＝arccos．（2）设P A＝5x，则PB＝3x，利用余弦定理可求cos∠P AB＝+，利用同角三角函数基本关系式可得sin∠P AB＝，进而可求P到AB距离h＝，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）由题意P A＝15，，可得PB＝9，可得cos∠APB＝＝＝，所以∠APB＝arccos．（2）cos∠P AB＝，设P A＝5x，则PB＝3x，可得cos∠P AB＝+，可得sin∠P AB＝，P到AB距离h＝P A sin∠P AB，h＝5＝＝，当x2﹣34＝0，即x＝，h取得最大值为15km，因此选址方案满足P A＝5km，PB＝3km．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（14分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），直线l：ax+by+c＝0（其中a，b，c∈R），点P在直线l上．（1）若a、b、c是常数列，求|PB|的最小值；（2）若a、b、c是成等差数列，且P A⊥l，求|PB|的最大值；（3）若a、b、c是成等比数列，且P A⊥l，求|PB|的取值范围．【分析】（1）依题意，可得a＝b＝c≠0，则直线l的方程为x+y+1＝0，进而求得|PB|的最小值；（2）a，b，c成等差数列时，可得直线l过点M（1，﹣2），而点P在以AM为直径的圆上，由此求得|PB|的最大值；（3）联立，由此可得点P的坐标，进而利用两点间的距离公式得到|PB|2，再利用函数的性质得解．【解答】解：（1）∵a、b、c是常数列，∴a＝b＝c≠0，∴直线l的方程为x+y+1＝0，∴点B到直线l的距离为，∴|PB|的最小值为；（2）当a，b，c成等差数列时，2b＝a+c，即a﹣2b+c＝0，直线l过点M（1，﹣2），由于P A⊥l，故点P在以AM为直径的圆上，此圆的圆心为C（0，﹣1），半径为，方程为x2+（y+1）2＝2，而点B在此圆上，故|PB|的最大值为；（3）由a，b，c成等比数列，得b2＝ac，a，b，c都不为0，由，得，∴＝，令，则，∴|PB|的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、点到直线的距离公式，圆的标准方程以及函数值域的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（18分）设x是实数，n是整数，若，则称n是数轴上与x最接近的整数．（1）数列{a n}的通项为a n，且对任意的正整数n，n是数轴上与a n最接近的整数，写出一个满足条件的数列{a n}的前三项；（2）数列{a n}的通项公式为a n＝n，其前n项和为S n，求证：整数a n是数轴上与实数最接近的整数；（3）T n是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，d n是数轴上与T n最接近的正整数，求d1+d2+…+d2020．【分析】（1）由题意可得|a n﹣n|＜，可得a1＝1，a2＝2，a3＝3，满足条件；（2）由题意可得＝，可证|﹣a n|＝＜，由题意可得整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）由题意T n＝，T n为递增数列，可求d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，可求d n＝6，即可求解d1+d2+…+d2020的值．【解答】解：（1）由题意可得a n＝n，可得|a n﹣n|＜，所以|a1﹣1|＜，a1＝1，满足条件；|a2﹣2|＜，a2＝2，满足条件；|a3﹣3|＜，a3＝3，满足条件；（2）因为a n＝n，所以S n＝，可得＝，所以|﹣a n|＝|﹣n|＝（﹣）＝＝＜，整数a n是数轴上与实数最接近的整数．（3）T n＝＝，T n为递增数列，T1＝2，所以d1＝2，T5＝，d5＝5；T2＝，所以d2＝3，T6＝，d6＝5；T3＝，所以d3＝4，T7＝，d7＝6；T6＝，所以d4＝5，当n≥7时，|T n﹣6|＝6×（）n＜，所以d n＝6，所以d1+d2+…+d2020＝2+3+4+5×3+6×2014＝12108．【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，考查了新定义和特值法的应用，属于中档题．。

上海市虹口区2020-2021学年度第一学期七年级数学期末联考试卷一、选择题1.“x 与y 的差的倒数”用式子表示是（）A.11x y - B.1x y - C.1x y - D.1y x-【答案】C【解析】【分析】先用减法表示x 与y 的差，然后根据倒数的定义表示即可求解．【详解】解：“x 与y 的差的倒数”用式子表示是1x y -．故选：C ．【点睛】考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．本题中的“差”及“倒数”是关键词，注意差是减法运算的结果．2.下列运算正确的是（）A.2353()a b a b = B.633a a a ÷= C.236()y y -= D.236a a a ⋅=【答案】B【解析】【分析】分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A 、2363()a b a b =，本选项计算错误，故不符合题意；B 、633a a a ÷=，本选项计算正确，故符合题意；C 、236()y y -=-，本选项计算错误，故不符合题意；D 、235a a a ⋅=，本选项计算错误，故不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．3.使分式24x x -有意义的x 的取值范围是（）A.2x = B.2x ≠ C.2x =- D.0x ≠【答案】B【解析】【分析】分式有意义的条件：分式的分母不为零，即240x -≠.【详解】解： 分式24x x -有意义，240x ∴-≠，即2x ≠．故选择B ．【点睛】从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零.4.如果将分式22x y x y-+中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A.扩大到原来的3倍B.扩大到原来的9倍C.缩小到原来的13D.不变【答案】A【解析】【分析】x ，y 都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x 和3y ．用3x 和3y 代替式子中的x 和y ，看得到的式子与原来的式子的关系．【详解】将3x ，3y 分别代入分式中的x ，y 得222222(3)(3)9()3()333()()x y x y x y x y x y x y ---==+++，因此扩大到原来的3倍，故选A ．【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．5.下列图形中是旋转对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据旋转对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是旋转对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、是旋转对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、是旋转对称图形，也是中心对称图形，不合题意；D、是旋转对称图形，也是中心对称图形，不合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角0度<旋转角<360度）.如果一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．6.下列说法正确的是（）A.能够互相重合的两个图形成轴对称B.图形的平移运动由移动的方向决定C.如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形D.如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形【答案】D【解析】【分析】根据图形变换的意义和性质作答．【详解】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对称，错误；B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误；C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有可能是中心对称图形，错误；D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确；【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称、平移、中心对称的定义和性质是解答关键．二、填空题7.单项式2323a b -的次数是______次．【答案】5【解析】【分析】根据单项式的定义解答即可．【详解】解：单项式2323a b -的次数是：2+3＝5，故答案为：5【点睛】本题考查了单项式的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．8.计算：23(3)a =_______．【答案】627a 【解析】【分析】根据积的乘方等于各个因式的乘法，再用幂的乘方法则进行计算．【详解】23323236(3)3()2727a a a a ⨯=⋅==．故答案为：627a ．【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方公式，掌握计算公式是解题的关键．9.计算：()()13x x -+=________．【答案】223x x +-【解析】【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可得到答案．【详解】()()13x x -+=233x x x +--=223x x +-，故答案为：223x x +-．【点睛】此题考查多项式乘以多项式法则：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再将结果合并同类项，熟记乘法法则是解题的关键．10.因式分解：2a 2-4a -6=________．【答案】2(a -3)(a +1)##2(a +1)(a -3)【分析】提取公因式2，再用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：2a 2－4a －6＝2（a 2－2a －3）＝2(a -3)(a +1)故答案为：2(a -3)(a +1)【点睛】本题考查了本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法或十字相乘法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．11.计算：()23656a x a x-÷()33ax -＝_______．【答案】52123a a x -+##52123a x a -【解析】【分析】括号的每一项除以33ax -，化简为单项式除以单项式，所得的商相加即可得出答案．【详解】解：原式＝()()323653633axa a x a x x ÷--÷-，＝52123a a x -+【点睛】本题考查了多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.12.当x ＝_______时，分式2852x -的值为0．【答案】﹣4【解析】【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【详解】解：∵分式的值为0，∴280x +=且520x -≠，解得：x ＝﹣4时，分式的值为0，故答案为：﹣4【点睛】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．13.关于x 的方程1211m x x =+--如果有增根，那么增根一定是_____．【答案】x =1．【分析】增根即使分母为0时，x 的值.【详解】令x-1=0，即得增根为1.【点睛】此题主要考察增根的定义.14.计算：22m n m n n m +=--_______．【答案】2【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求解．【详解】22m n m n n m +=--()2222m n m n m n m n m n--==---故答案为：2．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．15.用科学记数法表示：0.0000305-=________．【答案】53.0510--⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：0.0000305-=53.0510--⨯，故答案为：53.0510--⨯【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．16.将代数式323a b c --表示成只含有正整数指数幂的形式为________．【答案】323c a b 【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义，将代数式中负整数指数幂写成正整数指数幂的形式即可【详解】解：323a b c --=323c a b 故答案为：323c a b【点睛】本题考查了负整数指数幂，掌握负整数指数幂的计算（1n na a -=）是解题的关键．17.如图，把ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 的外部．已知30A ∠=︒，1100∠=︒，则2∠的度数是______度．【答案】40【解析】【分析】根据已知，首先求得∠ADE ，利用三角形为180︒即可求得∠DEA ，利用折叠的性质以及平角的定义可以求得∠DEA '、∠DEC ，进而求得∠2．【详解】解：依题意知∠ADE =12∠ADA'=12（180︒-100︒）=40︒，∴∠DEA=∠DEA'=180︒-40︒-30︒=110︒，而∠DEC=180︒-∠DEA=180︒-110︒=70︒，∴∠2=∠DEA'-∠DEC=110︒-70︒=40︒，故答案为40︒．些知识点的综合应用是解题的关键．18.小杰从镜子中看到电子钟的示数如图所示，那么此时实际时间是________．【答案】21：05【解析】【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称，在镜子出现的2实际应是5，在镜子出现的5，实际应是2．【详解】解：此时实际时间是21：05．故答案为：21：05．【点睛】关于镜面对称，也可以看成是关于数字右边某条垂直的直线对称．19.已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．【答案】1或5【解析】【分析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．【详解】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1（厘米），①如图，小正方形平移距离为1厘米；②如图，小正方形平移距离为4+1＝5（厘米)．故答案为1或5，【点睛】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答．20.如图，直角三角形ABC 中，30,90,60A C B ∠=︒∠=︒∠=︒，将三角形的斜边AB 放在定直线L 上，将点A 按顺时针方向在L 上转动两次，转动到A B C ''''''△的位置，设BC ＝1，AC AB ＝2，则点A 所经过的路线长是_______．【答案】43+32π【解析】【分析】在Rt △ABC 中，BC ＝1，AC AB 的长为2．求出∠CAB 、∠CBA ，顶点A 运动到点A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的两个扇形的弧长，根据扇形的弧长公式可以进行计算．【详解】解：∵在Rt △ACB 中，BC ＝1，AC ＝∴由勾股定理得：AB ＝2，∴AB ＝2BC ，∴∠CAB ＝30°，∠CBA ＝60°，∴∠ABA ′＝120°，∠A ″C ″A ′＝90°，120290343=18018032l πππ⨯+=+．故答案为：43+32π【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，本题的关键是弄清顶点A 运动到点A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的形状．三、简答题21.计算：(24)(24)x y x y -+--．【答案】224416x xy y -+-【解析】【分析】先用平方差公式再用完全平方差公式即可求解.【详解】解：(24)(24)x y x y -+--22(2)4x y =--224416x xy y =-+-故答案为224416x xy y -+-【点睛】本题综合考查了乘法公式，熟练应用平方差和完全平方公式是解题的关键.22.因式分解：2244x x a +-+【答案】(2)(2)x a x a ++-+【解析】【分析】把原式分组成()2244x x a ++-，然后利用完全平方公式和平方差公式化简即可．【详解】解：原式()2244x x a =++-22(2)x a =+-(2)(2)x a x a =+++-【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式因式分解，把原式有3项适合完全平方的放在一起进行因式分解是解答此题的关键．23.计算：()()11y xx y ---÷-.（结果不含负整数指数幂）【答案】y x 【解析】【分析】先计算负整数指数幂，再通分计算括号里面的，再将除法转化为乘法，约分化简即可.【详解】()()11y x x y ---÷-11y x x y ⎛⎫⎛⎫=-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11xy xy x y--=÷11xy y x xy -=⨯-yx=【点睛】本题主要考查负整数指数幂，熟练掌握运算法则是关键.24.计算：210121(3(2020)()33π---⨯+-÷【答案】1312【解析】【分析】负整数指数幂的运算法则为：()10,p paa a -=≠先计算负整数指数幂与零次幂的运算，再计算乘法与除法运算，最后计算加法运算即可.【详解】解：原式=9111433⨯+⨯=3143+=1312【点睛】本题考查的是负整数指数幂的运算，零次幂的含义，掌握“负整数指数幂的运算法则与零次幂的含义”是解本题的关键.25.解方程：48233x x-=--【答案】9x =【解析】【分析】方程两边同乘（x －3）把分式方程化简为整式方程，解整式方程，最后验根即可．【详解】解：42(3)8x --=-4268x -+=-9x =经检验：9x =是原方程的解．所以原方程的解为9x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练解分式方程的步骤是解答此题的关键．注意：单独数字也要乘以最简公因式．26.图1、图2均为7×6的正方形网格，点A 、B 、C 在格点上．（1）在图1中确定格点D ，并画出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为D 1、D 2）（2）在图2中确定格点E ，并画出以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为E 1、E 2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行画图；（2）根据中心对称的图形的定义画图．【详解】（1）如图：（2）如图：称的对称轴与画图的综合能力．四、解答题27.先化简，再求值：53222x x x x -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中2x =-．【答案】3x +，1【解析】【分析】先通分算括号里面的，进行因式分解，再把除号换成乘号进行约分化简，代2x =-计算即可得出结果．【详解】原式2453()222x x x x x --=-÷---245322x x x x ---=÷--(3)(3)223x x x x x +--=⨯--3x =+，当2x =-时，原式231=-+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．28.旺鑫果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用1452元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高了10%，所购买的水果的数量比第一次多20千克，问第一次购买水果的进价是每千克多少元？【答案】第一次购买水果的进价为每千克6元【解析】【分析】设第一次购买水果的进价为每千克x 元，利用总价除以单价分别表示出两次购买水果的数量，根据第二次比第一次多20千克建立方程求解.【详解】设第一次购买水果的进价为每千克x 元，则第二次购买水果的进价为每千克1.1x 元．由题意得，1200145220 1.1x x+=解得6x =经检验，6x =是原方程的根且符合题意．答：第一次购买水果的进价为每千克6元．.29.如图，在边长为6的正方形ABCD 内部有两个大小相同的长方形AEFG 、HMCN ，HM 与EF 相交于点P ，HN 与GF 相交于点Q ，AG=CM=x ，AE=CN=y ．（1）用含有x 、y 的代数式表示长方形AEFG 与长方形HMCN 重叠部分的面积S 四边形HPFQ ，并求出x 应满足的条件；（2）当AG=AE ，EF=2PE 时，①AG 的长为_______；②四边形AEFG 旋转后能与四边形HMCN 重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的．【答案】（1）HPFQ S =四边形4121236xy x y --+，36x <<；（2）①4；②见解析．【解析】【分析】根据矩形和正方形的性质可x 、y 表示出PH 、PF 的长，利用长方形面积公式即可得【详解】（1）∵AG=CM=x ，AE=CN=y ，四边形ABCD 是正方形，∴PM BE AB AE ==-6y =-，PE BM BC CM ==-6x =-，∴PH HM PM =-=(6)26y y y --=-，PF EF PE =-=(6)26x x x --=-∴重叠部分长方形的面积为：(26)(26)HPFQ S x y =--=四边形4121236xy x y --+，∵长方形AEFG 与长方形HMCN 有重叠部分，正方形ABCD 边长为6，∴3<AG<6，即36x <<．（2）①∵AG=AE=EF ，EF=2PE ，∴PE=12AG ，∵DG=PE ，AD=6，∴AD=AG+DG=AG+12AG=6，解得：AG=4，故答案为：4②如图，连接HF 、PQ ，设相交的点为点O ，∵AG=AE ，EF=2PE ，∴四边形AEFG 、HMCN 都是正方形，点P 既是EF 的中点也是HM 的中点，点Q 既是GF 的中点也是HN 的中点，∴该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点O 、点P 、点Q ，四边形AEFG 绕着点O 逆时针方向（或顺时针方向）旋转180度可与四边形HMCN 重合；四边形AEFG 绕着点P 顺时针方向旋转90度（或逆时针方向旋转270度）可与四边形HMCN 重合；四边形AEFG 绕着点Q 逆时针方向旋转90度（或顺时针方向旋转270度）可与四边形HMCN 重合．【点睛】本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据四边形AEFG、HMCN都是正方形，正确找出旋转中心是解题关键．第16页/共16页。