上海市度嘉定区2017-2018学年高一年级第一学期期末考试数学试题

2017-2018学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．（3分）函数的定义域为．3．（3分）不等式的解是．4．（3分）若指数函数y＝（m+1）x在R上是增函数，则实数m的取值范围是．5．（3分）函数f（x）＝x2﹣x的零点是．6．（3分）设函数的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．7．（3分）已知函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是．8．（3分）若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m＝．9．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣x，则f （2）＝．10．（3分）若log a（2b）＝﹣1，则a+4b的最小值是．11．（3分）已知函数f（x）＝x•（2x﹣2﹣x），存在，使不等式f（ax+1）≤f（2﹣x）成立，则实数a的取值范围是．12．（3分）已知函数f（x）＝m（x﹣m）（x+m+3）和g（x）＝2x﹣2同时满足以下两个条件：（1）对于任意实数x，都有f（x）＜0或g（x）＜0；（2）总存在x0∈（﹣∞，﹣3），使f（x0）•g（x0）＜0成立．则实数m的取值范围是．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）设x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）下列结论成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b，则a2＞b215．（3分）下列函数中，既为偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝﹣x3C．y＝x﹣2D．y＝x216．（3分）已知函数f（x）在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f（f（x）﹣2x）＝3，则f（3）的值等于（）A．3B．9C．10D．11三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知集合A＝{x|x2+2x＜3，x∈R}，集合B＝{x||x﹣1|＜a，a＞0，x∈R}，且A⊆B，求实数a的取值范围．18．（10分）设a是实数，函数（x∈R）．（1）若点P（1，2）在函数f（x）的图象上，求实数a的值；（2）当a＝﹣1时，求证：函数f（x）是奇函数．19．（10分）某公司一年需购买某种原料600吨，设公司每次都购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费为2x万元，一年的总运费与总存储费之和为y（单位：万元）．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）当x为何值时，y取得最小值？并求出y的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝1﹣|x﹣1|，x∈[0，2]．（1）将函数f（x）写成分段函数的形式，并画出函数f（x）的大致图象；（2）求证：函数在（0，1]上是增函数；（3）若关于x的方程2[f（x）]2+a•f（x）+1＝0在区间[0，2]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．21．（12分）已知x∈R，定义：f（x）表示不小于x的最小整数，例如：f（）＝2，f（﹣0.6）＝0（1）若f（x）＝2018，求实数x的取值范围；（2）若x＞0，且f（3x+f（x））＝f（6+），求实数x的取值范围；（3）设g（x）＝x+a•﹣2，h（x）＝，若对于任意的x1、x2、x3∈（2，4]，都有g（x1）＞|h（x2）﹣h（x3）|，求实数a的取值范围．2017-2018学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．2．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．3．【解答】解：根据题意，⇔（x﹣3）（x﹣2）＜0，解可得2＜x＜3，即不等式的解集为（2，3）；故答案为：（2，3）．4．【解答】解：∵指数函数y＝（m+1）x在R上是增函数，∴m+1＞1，解得m＞0，则实数m的取值范围为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．5．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣x，若f（x）＝x2﹣x＝x（x﹣1）＝0，解可得x＝1或x＝0，即函数f（x）的零点为1、0；故答案为：1、0．6．【解答】解：函数，即y＝，（y≥0）可得x＝y2．反函数f﹣1（x）＝x2，（x≥0）．则f﹣1（3）＝32＝9．故答案为：9．7．【解答】解：根据题意，函数y＝﹣x2+ax+1为二次函数，对称轴为x＝，若函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则≥2，解可得a≥4；即实数a的取值范围为[4，+∞）；故答案为：[4，+∞）．8．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2．故答案为：2．9．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，并且x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣x；∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣[﹣（﹣2）2﹣（﹣2）]＝2．故答案为：2．10．【解答】解：∵log a（2b）＝﹣1，∴，即ab＝，且a＞0，b＞0则a+4b＝2，当且仅当a＝4b且ab＝，∴时，a+4b取得最小值是2．故答案为：11．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x•（2x﹣2﹣x），则f（﹣x）＝（﹣x）（2﹣x﹣2x）＝x•（2x﹣2﹣x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数；又由f′（x）＝（2x﹣2﹣x）+x（2x+2﹣x）ln2，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；若存在，使不等式f（ax+1）≤f（2﹣x）成立，等价于不等式|ax+1|≤|2﹣x|在[，1]上成立，即不等式|ax+1|≤2﹣x在[，1]上成立；∴x∈[，1]时，不等式x﹣2≤ax+1≤2﹣x成立，等价于“关于x的不等式1﹣≤a≤﹣1在[，1]上有实数解”只需“x∈[，1]时，≤a≤”，∴﹣5≤a≤1．故答案为：﹣5≤a≤1．12．【解答】解：对于（1）∵g（x）＝2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵（1）∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）＝m（x﹣m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，则，∴﹣4＜m＜0即（1）成立的范围为﹣4＜m＜0．又∵（2）总存在x0∈（﹣∞，﹣3），使f（x0）•g（x0）＜0成立，∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣3）有成立的可能，则只要﹣3比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣3不成立，（ii）当m＝﹣时，两个根同为﹣＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣时，较小的根为m，m＜﹣3即m＜﹣成立．故﹣3＜m＜﹣综上可得（1）（2）成立时﹣3＜m＜﹣．故答案为：（﹣3，﹣）．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．【解答】解：“”解得x＜0或x＞1，故“x＞1”是“”的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：利用排除法：对于选项A，由于：a＞b，c＞d，所以：﹣c＜﹣d，故：a﹣c＞b﹣d不成立．对于选项B，由于：a＞b，c＞d，则：﹣c＜﹣d，故：a﹣d＞b﹣c成立．故B正确．对于选项C，当c＝0时，不等式不成立．对于选项D，当0＞a＞b时，不等式不成立．故选：B．15．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝﹣x3，为奇函数，不符合题意；对于C，y＝x﹣2＝，既为偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于D，y＝x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；故选：C．16．【解答】解：设f（x）﹣2x＝t，则f（x）＝2x+t；∴f（t）＝2t+t；f（t）在R上单调递增；∴f（1）＝3；∴f（f（x）﹣2x）＝3＝f（1）；∴f（x）﹣2x＝1；∴f（x）＝2x+1；∴f（3）＝9．故选：B．三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|1﹣a＜x＜1+a，a＞0}；∵A⊆B；∴；∴a≥4；∴实数a的取值范围为[4，+∞）．18．【解答】解：（1）点P（1，2）在函数f（x）的图象上，∴＝2，解得a＝4，证明（2）当a＝﹣1时，f（x）＝，函数的定义域为R，∵f（﹣x）＝＝＝﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数19．【解答】解：（1）由题意知每年购买次数为次，则一年的总运费为×3＝，则y＝+2x，（x＞0）．（2）由（1）得y＝+2x≥2＝120，（当且仅当＝2x，即x＝30时等号成立）故当x＝30吨时，y取最小值120万元．20．【解答】解：（1）f（x）＝1﹣|x﹣1|，x∈[0，2]．可得f（x）＝，f（x）的图象如右图：（2）证明：g（x）＝x﹣，设0＜x1＜x2≤1，g（x1）﹣g（x2）＝x1﹣﹣x2+＝（x1﹣x2）（1+），由0＜x1＜x2≤1可得x1﹣x2＜0，1+＞0，即有g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），可得g（x）在（0，1]递增；（3）可令t＝f（x），0≤t≤1，可得2t2+at+1＝0，t＝0显然不成立；即有﹣a＝2t+在（0，1]上有且只有一解，由y＝2t+在（0，）递减，（，1）递增，可得﹣a＞3，或﹣a＝2，即有a的范围是a＝﹣2或a＜﹣3．21．【解答】解：（1）f（x）表示不小于x的最小整数，可得f（x）＝2018的x的范围是（2017，2018]；（2）若x＞0，可得0＜＜，又f（3x+f（x））＝f（6+），则f（6+）＝7，即有6＜3x+f（x）≤7，即6﹣3x＜f（x）≤7﹣3x，x＝1时，f（x）＝4；x＝2时，f（x）＝8，显然不成立；由1＜x＜2，可得f（x）＝2，则6﹣3x＜2≤7﹣3x，解得＜x≤；（3）h（x）＝＝＝﹣4+在（2，2.5）递增，在[2.5，4]递减，可得h（x）的最小值为h（4）＝﹣4+2＝﹣2；最大值为h（2.5）＝4，则|h（x2）﹣h（x3）|≤4+2＝6，由题意可得g（x1）＞6在（2，4]恒成立，即有a•f（x）＞x（8﹣x）在（2，4]恒成立，当x∈（2，3]时，3a＞﹣（x﹣4）2+16恒成立，可得x（8﹣x）的最大值为3×5＝15，即有a＞5；当x∈（3，4]时，4a＞﹣（x﹣4）2+16恒成立，可得x（8﹣x）的最大值为4×4＝16，即有a＞4，综上可得，a的范围是（5，+∞）．。

2017-2018学年上海市嘉定区高一第二学期期末数学试卷一.填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分 1．计算：arcsin 12= ．2．若数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝3a n ，n ∈N *，则该数列的通项公式a n ＝ ． 3．函数y ＝2cos 2x ﹣1的最小正周期是 ． 4．方程2|x ﹣1|＝4的解为 ．5．已知角α的终边经过点P(−1，√3)，则cos α＝ ． 6．方程cos 2x ﹣2cos x ＝0的解集是 ．7．若函数f(x)=2cos(4x +π7)−1与函数g （x ）＝5tan （ax ﹣1）+2的最小正周期相同，则实数a ＝ ．8．在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝10√3，B ＝60°，AD ＝30，则该平行四边形的面积等于 ．9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2+n ，则该等差数列的通项公式a n ＝ ． 10．已知等差数列{a n }，对于函数f （x ）＝x 3+arctan x 满足：f （a 2﹣2）＝8，f （a 2017﹣4）＝﹣8，S n 是该等差数列的前n 项和，则S 2018＝ ． 11．函数f （x ）＝x +√1−x 2的值域是 ．12．将函数f （x ）＝2sin2x 的图象向右平移φ （0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝4的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|的最小值为π6，则φ＝ ．二.选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分 13．“tan a ＝1”是“a =π4”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．设M 和m 分别表示函数y =13cos x ﹣1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A ．23B ．−23C ．−43D ．﹣2 15．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，a 2b 2=（ ）A．﹣4B．﹣1C．1D．416．方程9x+|3x+b|＝5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三.解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，求数列{a n}的通项公式及其前n项的和．18．已知y＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值（2）求函数y＝f（2x）﹣2f（x）的最小值19．已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．20．如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB=π3．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB̂上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ．（1）当θ=π4时，求CD；（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．21．若函数f（x）满足f（x）＝f（x+3π2）且f（π4+x）＝f（π4−x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．（1）试判断f （x ）＝sin 43x 是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数f （x ）为“M 函数”，且当x ∈[π4，π]时，f （x ）＝sin x ，求y ＝f （x ）的解析式，并写出在[0，3π2]上的单调递增区间；（3）在（2）条件下，当x ∈[−π2，3kπ2+π]（k ∈N ）时，关于x 的方程f （x ）＝a （a 为常数）有解，记该方程所有解的和为S （k ），求S （k ）．2017-2018学年上海市嘉定区高一第二学期期末数学试卷参考答案一.填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分 1．计算：arcsin 12=π6．【分析】根据反正弦函数的定义，直接写出arcsin 12的值． 解：∵sinπ6=12，∴arcsin 12=π6．故答案为：π6．2．若数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝3a n ，n ∈N *，则该数列的通项公式a n ＝ 2×3n ﹣1 ． 【分析】判断数列是等比数列，然后求出通项公式． 解：数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝3a n （n ∈N ）， 可得数列是等比数列，等比为3， a n ＝2×3n ﹣1． 故答案为：2×3n ﹣1．3．函数y ＝2cos 2x ﹣1的最小正周期是 π ．【分析】由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得f （x ）＝cos2x ，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．解：∵f （x ）＝2cos 2x ﹣1＝（1+cos2x ）﹣1＝cos2x ．∴由周期公式可得：T =2π2=π． 故答案为：π4．方程2|x ﹣1|＝4的解为 x ＝3或x ＝﹣1 ．【分析】由指数函数的性质得|x ﹣1|＝2，由此能求出结果． 解：∵方程2|x ﹣1|＝4， ∴|x ﹣1|＝2，∴x ﹣1＝2或x ﹣1＝﹣2，解得x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．5．已知角α的终边经过点P(−1，√3)，则cosα＝−12．【分析】由题意可得x＝﹣1，y=√3，r=√x2+y2=2，由此求得cosα=xr的值．解：∵角α的终边经过点P(−1，√3)，∴x＝﹣1，y=√3，r=√x2+y2=2，故cosα=xr=−12．6．方程cos2x﹣2cos x＝0的解集是{x|x＝kx+π2，k∈Z}．【分析】把cos2x﹣2cos x＝0，等价转化为cos x＝0，由此能求出x即可．解：方程cos2x﹣2cos x＝0，可得cos x（cos x﹣2）＝0，∴cos x＝0，∴x|x＝kx+π2，k∈Z．故答案为：{x|x＝kx+π2，k∈Z}．7．若函数f(x)=2cos(4x+π7)−1与函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期相同，则实数a＝±2．【分析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值．解：函数f(x)=2cos(4x+π7)−1的周期是π2；函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期是：π|a|；因为周期相同，所以π|a|=π2，解得a＝±2故答案为：±28．在平行四边形ABCD中，已知AB＝10√3，B＝60°，AD＝30，则该平行四边形的面积等于300√3．【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．解：∵AB＝10√3，∠B＝60°，AC＝30，∴在三角形ABC中用余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2AB×BC×cos B，可得：900＝300+BC2﹣2×10√3×BC×12，∴解得：BC＝20√3，∴面积S＝AB×BC×sin B＝300√3．故答案为：300√3．9．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+n，则该等差数列的通项公式a n＝4n﹣1．【分析】S n＝2n2+n，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1．n＝1时，a1＝S1．解：S n＝2n2+n，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+n﹣[2（n﹣1）2+n﹣1]＝4n﹣1．n＝1时，a1＝S1＝3，对于上式也成立．∴a n＝4n﹣1．故答案为：4n﹣1．10．已知等差数列{a n}，对于函数f（x）＝x3+arctan x满足：f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，S n是该等差数列的前n项和，则S2018＝6054．【分析】由函数的解析式，我们利用函数奇偶性及单调性的性质，我们易判断函数的定义在R上的增函数、奇函数，则根据f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，我们易求出a2+a2017的值，然后结合等差数列的性质“当p+q＝m+n时，a p+a q＝a m+a n”，及等差数列前n项和公式，易得到答案．解：由函数f（x）＝x3+arctan x为奇函数且在R上单调递增，∵f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，∴a2﹣2＝4﹣a2017，∴即a2+a2017＝6∴a1+a2018＝6∴S2018＝1009（a1+a2018）＝6054．故答案为：605411．函数f（x）＝x+√1−x2的值域是[﹣1，√2]．【分析】由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，令x＝cosθ（0≤θ≤π），把原函数转化为关于θ的三角函数求解．解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1．令x＝cosθ（0≤θ≤π），则函数f （x ）＝x +√1−x 2化为y ＝cos θ+sin θ=√2sin(θ+π4)． ∵0≤θ≤π， ∴π4≤θ+π4≤5π4，则√2sin(θ+π4)∈[﹣1，√2]．故答案为：[﹣1，√2]．12．将函数f （x ）＝2sin2x 的图象向右平移φ （0＜φ＜π）个单位后得到函数g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝4的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|的最小值为π6，则φ＝π3或2π3．【分析】先求解g （x ）的解析式，根据|f （x 1）﹣g （x 2）|＝4可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设f （x 1）取得最大值，g （x 2）取得最小值，结合三角函数的性质|x 1﹣x 2|的最小值为π6，即可求解φ的值；解：由函数f （x ）＝2sin2x 的图象向右平移φ，可得g （x ）＝2sin （2x ﹣2φ ） 不妨设f （x 1）取得最大值，g （x 2）取得最小值，∴2x 1=π2+2k π，2x 2﹣2φ=3π2+2k π，k ∈Z ．可得2（x 1﹣x 2）+2φ＝π∵|x 1﹣x 2|的最小值为π6，即x 1﹣x 2＝±π6．∴±π3+2φ＝π 得φ=π3或2π3故答案为：π3或2π3．二.选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分 13．“tan a ＝1”是“a =π4”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】由题目“tan a ＝1”的解是否和“a =π4”相同，即可选出正确答案． 解：若“tan a ＝1”，则α=kπ+π4K ∈Z ，α不一定等于π4；而若“a =π4”则tan α＝1，∴“tan a ＝1”是a =π4的必要不而充分条件 故选：B ．14．设M 和m 分别表示函数y =13cos x ﹣1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A ．23B ．−23C ．−43D ．﹣2【分析】利用余弦函数的性质可求得cos x 范围，进而确定函数的值域，求得M 和m ，则M +m 的值可得． 解：∵﹣1≤cos x ≤1 ∴−43≤13cos x ﹣1≤−23∴M =−23，m =−43∴M +m ＝﹣2 故选：D ．15．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，a 2b 2=（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4【分析】等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，计算可得所求值． 解：等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ， 由a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8， 可得﹣1+3d ＝﹣q 3＝8， 可得d ＝3，q ＝﹣2， 则a 2b 2=−1+3−(−2)=1，故选：C ．16．方程9x +|3x +b |＝5（b ∈R ）有两个负实数解，则b 的取值范囤为（ ） A ．（3，5） B ．（﹣5.25，﹣5） C ．[﹣5.25，﹣5）D ．前三个都不正确【分析】化简9x +|3x +b |＝5可得3x +b ＝5﹣9x 或3x +b ＝﹣5+9x ，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得． 解：∵9x +|3x +b |＝5，∴|3x +b |＝5﹣9x ，∴3x +b ＝5﹣9x 或3x +b ＝﹣5+9x ， ①若3x +b ＝5﹣9x ，则b ＝5﹣3x ﹣9x ， 其在（﹣∞，0）上单调递减， 故当b ≤3时，无解， 当3＜b ＜5时，有一个解， 当b ≥5时，无解；②若3x +b ＝﹣5+9x ，则b ＝﹣5﹣3x +9x ＝（3x −12）2−214， ∵x ∈（﹣∞，0）时，0＜3x ＜1， ∴当−214＜b ＜﹣5时，有两个不同解； 当b =−214时，有一个解； 综上所述，b 的取值范围为（﹣5.25，﹣5）， 故选：B ．三.解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．已知等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，求数列{a n }的通项公式及其前n 项的和．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列等比数列性质列方程组，求出公差d ＝﹣2，由此能求出数列{a n }的通项公式和前n 项的和．解：∵等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．a 2，a 3，a 6成等比数列， ∴{(1+2d)2=(1+d)+(1+5d)d ≠0， 解得d ＝﹣2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝1+（n ﹣1）×（﹣2）＝﹣2n +3， 前n 项的和S n ＝n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+2n ． 18．已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值（2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值【分析】（1）根据两角和差的余弦公式进行计算即可（2）利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．解：（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，则cosα=13，则sinα=√1−(13)2=√89=2√23，则f(α−π3)=cos（α−π3）＝cosαcosπ3+sinαsinπ3=13×12+2√23×√32=16+√63．（2）函数y＝f（2x）﹣2f（x）＝cos2x﹣2cos x＝2cos2x﹣2cos x﹣1＝2（cos x−12）2−32，∵﹣1≤cos x≤1，∴当cos x=12时，函数取得最小值，最小值为−32．19．已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．【分析】（1）根据对数函数的性质求出m＝x﹣1，关于x的范围，求出m的范围即可；（2）根据函数的单调性求出f（t）最大，f（1）最小，作差求出t＝4﹣3m，得到关于m的不等式，解出即可．解：（1）由log2（x﹣m）＝0，得m＝x﹣1，由2＜x＜3得：1＜x﹣1＜2，故m的范围是（1，2）；（2）f（x）在[1，t]（t＞1）递增，∴f（t）﹣f（1）＝2，∴log2（t﹣m）﹣log2（1﹣m）＝2，∴log2t−m1−m=log24，∴t＝4﹣3m，由f（t）＞0，得t＞m+1，∴4﹣3m＞m+1，解得：m＜3 4．20．如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB=π3．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB̂上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ．（1）当θ=π4时，求CD；（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．【分析】（1）由正弦定理得rsin120°=CDsin45°，由此能求出CD．（2）由正弦定理得CD=2√33rsinθ，CE=2√33rsin(π3−θ)，从而s＝f（θ）=2√33rsinθ+2√3 3rsin(π3−θ)=2√33r sin（θ+π3），θ∈（0，π3），由此能求出结果．解：（1）某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB=π3．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB̂上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ，当θ=π4时，由正弦定理得：COsin∠CDO =CDsin∠COD，∴rsin120°=CDsin45°，∴CD=rsin45°sin120°=√6r3．（2）在△ODC中，由正弦定理得：COsin∠CDO =CDsin∠COD，∴rsin120°=CDsinθ，∴CD=2√33rsinθ，同理，CE=2√33rsin(π3−θ)，∴s＝f（θ）=2√33rsinθ+2√33rsin(π3−θ)=2√33r sin（θ+π3）+2√33rsin(π3−θ)=2√33r sin （θ+π3），θ∈（0，π3），∵θ∈（0，π3），∴θ+π3∈（π3，2π3），当θ+π3=π2时，即θ=π6时，s max ＝f （π6）=2√33r ．21．若函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +3π2）且f （π4+x ）＝f （π4−x ）（x ∈R ），则称函数f （x ）为“M 函数”．（1）试判断f （x ）＝sin 43x 是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数f （x ）为“M 函数”，且当x ∈[π4，π]时，f （x ）＝sin x ，求y ＝f （x ）的解析式，并写出在[0，3π2]上的单调递增区间；（3）在（2）条件下，当x ∈[−π2，3kπ2+π]（k ∈N ）时，关于x 的方程f （x ）＝a （a 为常数）有解，记该方程所有解的和为S （k ），求S （k ）．【分析】（1）由不满足f （π4+x ）≠f （π4−x ）（x ∈R ），得f （x ）＝sin 43x 不是“M 函数”，（2）可得函数f （x ）的周期T =3π2，f （x ）＝f （π2−x ）（x ∈R ），①当x ∈[32kπ+π4，32kπ+π]时，f （x ）＝f （x −32kπ）＝sin （x −32kπ）②当x ∈[32kπ−π2，32kπ+π4]时，f （x ）＝f [π2−（x −32kπ）]＝cos （x −32kπ） 在[0，3π2]上的单调递增区间：[π4，π2]，[π，3π2]（3）由（2）可得函数f （x ）在[−π2，π]上的图象，根据图象可得：①当0≤a ＜√22或1时，f （x ）＝a （a 为常数）有2个解，其和为π2②当a =√22时，f （x ）＝a （a 为常数）有3个解，其和为34π．③当√22＜a ＜1时，f （x ）＝a （a 为常数）有4个解，其和为π 即可得当x ∈[−π2，3kπ2+π]（k ∈N ）时，记关于x 的方程f （x ）＝a （a 为常数）所有解的和为S （k ），解：（1）f （x ）＝sin 43x 不是“M 函数”．∵f （π4+x ）＝sin 43(π4+x)=sin （π3+43x ），f （π4−x ）＝sin 43(π4−x)=sin （π3−43x ）∴f （π4+x ）≠f （π4−x ）（x ∈R ）， ∴f （x ）＝sin 43x 不是“M 函数”．（2）∵函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +3π2），∴函数f （x ）的周期T =3π2∵f （π4+x ）＝f （π4−x ）（x ∈R ），∴f （x ）＝f （π2−x ）（x ∈R ），①当x ∈[32kπ+π4，32kπ+π]时，f （x ）＝f （x −32kπ）＝sin （x −32kπ）②当x ∈[32kπ−π2，32kπ+π4]时，f （x ）＝f [π2−（x −32kπ）]＝cos （x −32kπ） ∴f （x ）={cos(x −32kπ)，(32kπ−π2≤x ≤32kπ+π4)sin(x −32kπ)，(32kπ+π4≤x ≤32kπ+π)在[0，3π2]上的单调递增区间：[π4，π2]，[π，3π2]；（3）由（2）可得函数f （x ）在[−π2，π]上的图象为：①当0≤a ＜√22或1时，f （x ）＝a （a 为常数）有2个解，其和为π2②当a =√22时，f （x ）＝a （a 为常数）有3个解，其和为34π．③当√22＜a ＜1时，f （x ）＝a （a 为常数）有4个解，其和为π∴当x ∈[−π2，3kπ2+π]（k ∈N ）时，记关于x 的方程f （x ）＝a （a 为常数）所有解的和为S（k ），则S （k ）={π2(3k 2+4k +1)，(0≤a ＜√22或a =1)3π4(3k 2+4k +1)，a =√22π(3k 2+4k +1)，√22＜a ＜1．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=2，则BC的长度为（）A. 2B. 2√3C. 4D. 4√33. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x4. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an^2+an，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^n - 25. 已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 26. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x^2≥0B. 对于任意实数x，x^3≥0C. 对于任意实数x，x^4≥0D. 对于任意实数x，x^5≥07. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (1,2)D. (2,1)8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=2，则S10的值为（）A. 120B. 130C. 140D. 1509. 下列函数中，是单调递减函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2xC. f(x) = 2^xD. f(x) = log2x10. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1=1，a3=8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共25分）11. 若方程x^2 - 2ax + b = 0的解为x1和x2，且x1+x2=4，x1x2=9，则a=______，b=______。

12. 在等差数列{an}中，若a1=2，d=3，则第10项an=______。

13. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(-1)的值为______。

2017-2018学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“t a na=1”是“a=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要不而充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于( )A. B. C. D.3.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1，a4=b4=8，=（）A. B. C. 1 D. 44.方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A. B.C. D. 前三个都不正确二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.计算：arcsin=______．6.若数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n，n∈N*，则该数列的通项公式a n=______．7.函数y=2cos2x-1的最小正周期是______．8.方程2|x-1|=4的解为______．9.已知角α的终边经过点，，则cosα=______．10.方程cos2x-2cos x=0的解集是______．11.若函数与函数g（x）=5tan（ax-1）+2的最小正周期相同，则实数a=______．12.在平行四边形ABCD中，已知AB=10，B=60°，AD=30，则该平行四边形的面积等于______．13.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n，则该等差数列的通项公式a n=______．14.已知等差数列{a n}，对于函数f（x）=x3+arctan x满足：f（a2-2）=8，f（a2017-4）=-8，S n是该等差数列的前n项和，则S2018=______．15.函数f（x）=x+的值域是______．16.将函数f（x）=2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）-g（x2）|=4的x1、x2，有|x1-x2|的最小值为，则φ=______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，求数列{a n}的通项公式及其前n项的和．18.已知y=cos x（1）若，且α∈[0，π]，求的值（2）求函数y=f（2x）-2f（x）的最小值19.已知函数f（x）=log2（x-m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m的取值范围．20.如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设．（1）当时，求CD；（2）当取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．21.若函数f（x）满足f（x）=f（x+）且f（+x）=f（-x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．（1）试判断f（x）=sin x是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[，π]时，f（x）=sin x，求y=f（x）的解析式，并写出在[0，]上的单调递增区间；（3）在（2）条件下，当x∈[-，+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）=a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．答案和解析1.【答案】B【解析】解：若“tana=1”，则K∈Z，α不一定等于；而若“a=”则tanα=1，∴“tana=1”是a=的必要不而充分条件故选：B．由题目“tana=1”的解是否和“a=”相同，即可选出正确答案．本题是三角方程求解，充要条件的判断，是容易题．2.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数的性质可求得cosx范围，进而确定函数的值域，求得M和m，则M+m的值可得．本题主要考查了三角函数的最值，余弦函数的性质．考查了学生对三角函数基础知识的理解和应用．【解答】解：∵-1≤cosx≤1∴-≤cosx-1≤-∴M=-，m=-∴M+m=-2故选D．3.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差设为d和等比数列{b n}的公比设为q，由a1=b1=-1，a4=b4=8，可得-1+3d=-q3=8，可得d=3，q=-2，则==1，故选：C．等差数列{a n}的公差设为d和等比数列{b n}的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，计算可得所求值．本题考查等差数列、等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5-9x，∴3x+b=5-9x或3x+b=-5+9x，①若3x+b=5-9x，则b=5-3x-9x，其在（-∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=-5+9x，则b=-5-3x+9x=（3x-）2-，∵x∈（-∞，0）时，0＜3x＜1，∴当-＜b＜-5时，有两个不同解；当b=-时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（-5.25，-5），故选：B．化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5-9x或3x+b=-5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵sin=，∴arcsin=．故答案为：．根据反正弦函数的定义，直接写出arcsin的值．本题考查了反正弦函数的应用问题，是基础题．6.【答案】2×3n-1【解析】解：数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n（n∈N），可得数列是等比数列，等比为3，a n=2×3n-1．故答案为：2×3n-1．判断数列是等比数列，然后求出通项公式．本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．7.【答案】π【解析】解：∵f（x）=2cos2x-1=（1+cos2x）-1=cos2x．∴由周期公式可得：T==π．故答案为：π由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得f（x）=cos2x，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．8.【答案】x=3或x=-1【解析】解：∵方程2|x-1|=4，∴|x-1|=2，∴x-1=2或x-1=-2，解得x=3或x=-1．故答案为：x=3或x=-1．由指数函数的性质得|x-1|=2，由此能求出结果．本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．9.【答案】-【解析】解：∵角α的终边经过点，∴x=-1，y=，r==2，故cosα==-．由题意可得 x=-1，y=，r==2，由此求得cosα=的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．10.【答案】{x|x=kx+，k∈Z}【解析】解：方程cos2x-2cosx=0，可得cosx（cosx-2）=0，∴cosx=0，∴x|x=kx+，k∈Z．故答案为：{x|x=kx+，k∈Z}．把cos2x-2cosx=0，等价转化为cosx=0，由此能求出x即可．本题考查三角方程的求法，注意余弦函数的值域，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】±2【解析】解：函数的周期是；函数g（x）=5tan（ax-1）+2的最小正周期是：；因为周期相同，所以，解得a=±2故答案为：±2求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值．本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．12.【答案】300【解析】解：∵AB=10，∠B=60°，AC=30，∴在三角形ABC中用余弦定理：AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB，可得：900=300+BC2-2×10×BC×，∴解得：BC=20，∴面积S=AB×BC×sinB=300．故答案为：300．由已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．13.【答案】4n-1【解析】解：S n=2n2+n，n≥2时，a n=S n-S n-1=2n2+n-[2（n-1）2+n-1]=4n-1．n=1时，a1=S1=3，对于上式也成立．∴a n=4n-1．故答案为：4n-1．S n=2n2+n，n≥2时，a n=S n-S n-1．n=1时，a1=S1．本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】6054【解析】解：由函数f（x）=x3+arctanx为奇函数且在R上单调递增，∵f（a2-2）=8，f（a2017-4）=-8，∴a2-2=4-a2017，∴即a2+a2017=6∴a1+a2018=6∴S2018=1009（a1+a2018）=6054．故答案为：6054由函数的解析式，我们利用函数奇偶性及单调性的性质，我们易判断函数的定义在R上的增函数、奇函数，则根据f（a2-2）=8，f（a2017-4）=-8，我们易求出a2+a2017的值，然后结合等差数列的性质“当p+q=m+n时，a p+a q=a m+a n”，及等差数列前n项和公式，易得到答案．本题考查的知识点是等差数列的性质，等差数列的前n项和，其中利用等差数列的性质“当p+q=m+n时，a p+a q=a m+a n”，是解答本题的关键．15.【答案】[-1，]【解析】解：由1-x2≥0，得-1≤x≤1．令x=cosθ（0≤θ≤π），则函数f（x）=x+化为y=cosθ+sinθ=．∵0≤θ≤π，∴，则∈[-1，]．故答案为：[-1，]．由1-x2≥0，得-1≤x≤1，令x=cosθ（0≤θ≤π），把原函数转化为关于θ的三角函数求解．本题考查利用换元法求函数的值域，考查三角函数最值的求法，是中档题．16.【答案】或【解析】解：由函数f（x）=2sin2x的图象向右平移φ，可得g（x）=2sin（2x-2φ）不妨设f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，∴2x1=+2kπ，2x2-2φ=+2kπ，k∈Z．可得2（x1-x2）+2φ=π∵|x1-x2|的最小值为，即x1-x2=±．∴+2φ=π得φ=或故答案为：或．先求解g（x）的解析式，根据|f（x1）-g（x2）|=4可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，结合三角函数的性质|x1-x2|的最小值为，即可求解φ的值；本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．17.【答案】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴ ，解得d=-2，∴数列{a n}的通项公式a n=1+（n-1）×（-2）=-2n+3，前n项的和S n=n+=-n2+2n．【解析】利用等差数列通项公式和等比数列等比数列性质列方程组，求出公差d=-2，由此能求出数列{a n}的通项公式和前n项的和．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】解：（1）若，且α∈[0，π]，则cosα=，则sinα===，则=cos（α-）=cosαcos+sinαsin==+．（2）函数y=f（2x）-2f（x）=cos2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2（cos x-）2-，∵-1≤cos x≤1，∴当cos x=时，函数取得最小值，最小值为-．【解析】（1）根据两角和差的余弦公式进行计算即可（2）利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）由log2（x-m）=0，得m=x-1，由2＜x＜3得：1＜x-1＜2，故m的范围是（1，2）；（2）f（x）在[1，t]（t＞1）递增，∴f（t）-f（1）=2，∴log2（t-m）-log2（1-m）=2，∴log2=log24，∴t=4-3m，由f（t）＞0，得t＞m+1，∴4-3m＞m+1，解得：m＜．【解析】（1）根据对数函数的性质求出m=x-1，关于x的范围，求出m的范围即可；（2）根据函数的单调性求出f（t）最大，f（1）最小，作差求出t=4-3m，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道中档题．其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB=．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA=θ，当θ=时，由正弦定理得：，∴，∴CD==．（2）在△ODC中，由正弦定理得：，∴，∴CD=，同理，CE=，第11页，共13页∴s=f（θ）==r sin（）+=r sin（），θ∈（0，），∵θ∈（0，），∴∈（，），当时，即时，s max=f（）=．【解析】（1）由正弦定理得，由此能求出CD．（2）由正弦定理得CD=，CE=，从而s=f（θ）==rsin （），θ∈（0，），由此能求出结果．本题考查三角形边长的求法，两线段和的最大值的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）=sin x不是“M函数”．∵f（+x）=sin=sin（），f（-x）=sin=sin（-x）∴f（+x）≠f（-x）（x∈R），∴f（x）=sin x不是“M函数”．（2）∵函数f（x）满足f（x）=f（x+），∴函数f（x）的周期T=∵f（+x）=f（-x）（x∈R），∴f（x）=f（-x）（x∈R），①当x∈，时，f（x）=f（x-）=sin（x-）②当x∈[，]时，f（x）=f[-（x-）]=cos（x-）∴f（x）=，，在[0，]上的单调递增区间：[，]，[π，]；第12页，共13页（3）由（2）可得函数f（x）在[-，π]上的图象为：①当0＜或1时，f（x）=a（a为常数）有2个解，其和为②当a=时，f（x）=a（a为常数）有3个解，其和为．③当＜＜时，f（x）=a（a为常数）有4个解，其和为π∴当x∈[-，+π]（k∈N）时，记关于x的方程f（x）=a（a为常数）所有解的和为S（k），则S（k）=，＜或，，＜＜．【解析】（1）由不满足f （+x）≠f（-x）（x∈R），得f（x）=sin x不是“M函数”，（2）可得函数f（x）的周期T=，f（x）=f（-x）（x∈R），①当x时，f（x）=f（x-）=sin（x-）②当x∈[]时，f（x）=f[-（x-）]=cos（x-）在[0，]上的单调递增区间：[，]，[π，]（3）由（2）可得函数f（x）在[-，π]上的图象，根据图象可得：①当0或1时，f（x）=a（a为常数）有2个解，其和为②当a=时，f（x）=a（a为常数）有3个解，其和为．③当时，f（x）=a（a为常数）有4个解，其和为π即可得当x∈[-，+π]（k∈N）时，记关于x的方程f（x）=a（a为常数）所有解的和为S（k），本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，属于中档题．第13页，共13页。

上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数的定义域是．2．（3分）函数y=x﹣2的单调增区间是．3．（3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=．4．（3分）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是．5．（3分）若函数f（x）=（x＞0）是减函数，则实数m的取值范围是．6．（3分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1（2）=．7．（3分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=．8．（3分）已知函数y=x2﹣2ax在区间上的最大值比最小值大，则a=．11．（3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则log a b=．12．（3分）若函数y=|a x﹣1|（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．f（x）=x0，g（x）=1 D．14．（3分）函数f（x）=（）A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数15．（3分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）16．（3分）已知函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），则f（x）在R上（）A．是单调增函数B．没有单调减区间C．可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D．没有单调增区间三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知集合，集合B={x||x﹣1|≤4}，求A∩B．18．（10分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益﹣总成本）20．（10分）已知函数f（x）=k•2x+2﹣x（k是常数）．（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x∈，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．（1）求证：函数f（x）是增函数；（2）若函数f（x）在上的值域是（0＜a＜b），求实数m的取值范围；（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求实数m的取值范围．上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠0}．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：要求函数的定义域，就是求使函数有意义的x的取值范围，因为函数解析式中有分式，所以分母不等于0，又因为有二次根式，所以被开放数大于等于0，最后两个范围求交集即可．解答：解：要使函数有意义，需满足解不等式组，得x≥﹣1，且x≠0∴函数的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠0}故答案为{x|x≥﹣1，且x≠0}点评：本题主要考查已知函数解析式求定义域，关键是判断函数解析式何时成立．2．（3分）函数y=x﹣2的单调增区间是（﹣∞，0）．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：函数y=x﹣2为偶函数，在（0，+∞）内为减函数，则在（﹣∞，0）内为增函数，故函数的增区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据幂函数的性质是解决本题的关键．3．（3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=a+b．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质把要求的式子化为lg（2×3）=lg2+lg3，再把已知条件代入求得结果．解答：解：原式=lg（2×3）=lg2+lg3=a+b．故答案为：a+b．点评：本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．4．（3分）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的定义，底数大于0且不等于1，求出实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，∴，解得a＞1且a≠2；∴实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．点评：本题考查了指数函数的概念以及应用问题，是基础题目．5．（3分）若函数f（x）=（x＞0）是减函数，则实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据反比例函数的单调性即可求得m的取值范围．解答：解：根据反比例函数的单调性，若f（x）是减函数；则m+1＞0，m＞﹣1；∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．点评：考查反比例函数的一般形式，及反比例函数的单调性．6．（3分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1（2）=4．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：求出原函数的反函数，然后直接取x=2求得f﹣1（2）．解答：解：由y=f（x）=（x≥0），得x=y2（y≥0），x，y互换得，y=x2（x≥0）．∴f﹣1（x）=x2（x≥0）．则f﹣1（2）=22=4．故答案为：4．点评：求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域），是基础题．7．（3分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用定义判断得出即x2﹣=x2+恒成立，a﹣2=0，即可求解，解答：解：∵f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣=x2+恒成立，a﹣2=0，即a=2故答案为：2点评：本题考查了函数的性质，运用偶函数定义判断求解，属于容易题．8．（3分）已知函数y=x2﹣2ax在区间上的最大值比最小值大，则a=或．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性，分a＞1时和0＜a＜1两种情况，解得a的值．解答：解：由题意可得，当a＞1时，函数f（x）在区间上单调递增，f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间上单调递减，f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．故答案为：或．点评：本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．（3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则log a b=3．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：画函数=的图象，结合图象，使得在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），求出a 与b的值，在计算log a b．解答：解：函数=，图象如下图：不难验证f（8）==2，∴函数图象上点A的坐标为（8，2）要使函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则a=2、b=8∴log a b=log28=3故答案为：3点评：本题主要考查函数的值域，结合图象解决是解决的关键．12．（3分）若函数y=|a x﹣1|（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先作出函数y=|a x﹣1|图象，再由直线y=与函数y=|a x﹣1|的图象有2个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．解答：解：由题意知a＞0且a≠1①当a＞1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=与函数y=|a x﹣1|的图象有两个公共点由图象可知0＜＜1，解得0＜a＜2，故a的取值范围是（0，1）∪（1，2）；②当0＜a＜1时，同理也可得a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，解答的关键是数形结合的思想方法．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．f（x）=x0，g（x）=1 D．考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．解答：解：对于A，f（x）==|x|（x∈R），与g（x）==x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一个函数；对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一个函数；对于C，f（x）=x0=1（x≠0），与g（x）=1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一个函数；对于D，f（x）=|x|=（x∈R），与g（x）=（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一个函数．故选：D．点评：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．14．（3分）函数f（x）=（）A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：求解定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，运用解析式得出f（﹣x）=﹣f（x）判断即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，∵f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故选：A．点评：本题考查了奇函数的定义，运用定义判断，属于容易题，难度不大，容易忽视定义域的判断．15．（3分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a2=2x∈（0，1），解关于a的不等式可得．解答：解：∵关于x的方程2x=a2有负实数根，∴存在负实数x使得a2=2x，当x＜0时，2x∈（0，1），∴a2∈（0，1），解得a∈（﹣1，0）∪（0，1）故选：C点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及对数函数的值域，属基础题．16．（3分）已知函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），则f（x）在R上（）A．是单调增函数B．没有单调减区间C．可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D．没有单调增区间考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意取分段函数f（x）=，再取函数f（x）=x；从而得到答案．解答：解：取函数f（x）=；故由这个函数可知，A，B不正确；若f（x）=x；则D不正确；故选C．点评：本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，属于基础题．三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知集合，集合B={x||x﹣1|≤4}，求A∩B．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由＞得：﹣=＞0，即（x﹣4）（x+2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞4，即A=（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），由|x﹣1|≤4得：﹣4≤x﹣1≤4，解得：﹣3≤x≤5，即B=，则A∩B=．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．18．（10分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据幂函数的定义，和奇函数的定义先求出a的值，再根据零点求法，零点转化为g（x）=0的实数根，解方程即可（2）根据函数为增函数，然后验证f（9）=738，f（10）=1010，即可得出．解答：解：（1）令a2﹣a+1=1，解得a=0或a=1．…（1分）当a=0时，f（x）=x2，它不是奇函数，不符合题意；当a=1时，f（x）=x3，它是奇函数，符合题意．所以a=1．…（3分）此时g（x）=x3+x．令g（x）=0，即x3+x=0，解得x=0．所以函数g（x）的零点是x=0．…（5分）（2）设函数y=x3，y=x．因为它们都是增函数，所以g（x）是增函数．…（7分）又因为g（9）=738，g（10）=1010．…（9分）由函数的单调性，可知不存在自然数n，使g（n）=900成立．…（10分）点评：本题主要考查函数的零点与方程的实数根的联系，以及函数的单调性与函数值问题．19．（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益﹣总成本）考点：分段函数的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）由于年产量是x台，则总成本为元，从而分段写出函数解析式即可；（2）当0≤x≤500时，利用配方法y=﹣（x﹣400）2+60000求最值，当x＞500时，利用单调性可得y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．从而解得．解答：解：（1）由于年产量是x台，则总成本为元．当0≤x≤500时，y=500x﹣x2﹣，即y=﹣x2+400x﹣20000；当x＞500时，y=125000﹣，即y=105000﹣100x．所以；（2）当0≤x≤500时，y=﹣（x﹣400）2+60000，所以当x=400时，y max=60000；当x＞500时，y=105000﹣100x是减函数，即y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．综上，当x=400时，y max=60000．即当年产量为400台时，该科技公司所获得的年利润最大，最大年利润为60000元．点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．20．（10分）已知函数f（x）=k•2x+2﹣x（k是常数）．（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x∈，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．考点：函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）运用f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，求解得出k=﹣1，（2））解法1：对于任意x∈，不等式都成立．转化为对于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，只需k＜（﹣t2+t）min即可．解法2：对于任意，不等式k•t2﹣t+1＜0都成立．又令g（t）=k•t2﹣t+1．分类讨论求解转化为不等式组求解即可．解答：解：（1）因为函数f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），令x=0，所以f（0）=0，即k•20+20=0，即k+1=0，解得k=﹣1，此时f（x）=﹣2x+2x，因为f（﹣x）=﹣2﹣x+2x，即f（﹣x）=﹣（﹣2x+2﹣x），则f（﹣x）=﹣f（x）．所以当函数f（x）是R上的奇函数，k=﹣1．（2）解法1：由题意知对于任意x∈，不等式k•2x+2﹣x＜1都成立．即对于任意x∈，不等式都成立．因为2x＞0，则对于任意x∈，不等式都成立．令，则，且对于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，只需k＜（﹣t2+t）min即可．因为，所以，即（﹣t2+t）min=﹣56，因此k＜﹣56．解法2：由题意知对于任意x∈，不等式k•2x+2﹣x＜1都成立．因为2x＞0，所以对于任意x∈，不等式k•（2x）2﹣2x+1＜0都成立．令t=2x，则，且对于任意，不等式k•t2﹣t+1＜0都成立．又令g（t）=k•t2﹣t+1．①当k=0时，g（t）=﹣t+1，，不符合题意；②当k＞0时，函数g（t）=k•t2﹣t+1图象的开口向上，则得，即；③当k＜0时，函数g（t）=k•t2﹣t+1图象的开口向下，对称轴是直线，函数g（t）在区间上是减函数，则得，即，解得：k＜﹣56．综上：k＜﹣56，点评：本题综合考查了函数的性质，不等式的性质，运用分类讨论，基本不等式求解，属于综合题，难度较大．21．（12分）已知函数f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．（1）求证：函数f（x）是增函数；（2）若函数f（x）在上的值域是（0＜a＜b），求实数m的取值范围；（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求实数m的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设x1、x2是区间（0，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，用单调性的定义证明；（2）由（1）知，函数f（x）是增函数，则得，即．由此式a、b可视为方程的两个不相等的正实数根，用韦达定理限制即可；（3）不等式f（x﹣1）＞4x，即为．因为x∈（1，+∞），上述不等式即为．令，结合二次函数的性质解决．解答：（1）证明：设x1、x2是区间（0，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=﹣=因为x1、x2是∈（0，+∞）），即x1x2＞0，又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0．于是f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．因此，函数f（x）是增函数．（2）解：由（1）知，函数f（x）是增函数，则得，即．所以a、b可视为方程的两个不相等的正实数根，于是，解得．（3）不等式f（x﹣1）＞4x，即为．因为x∈（1，+∞），上述不等式即为．令，则其图象对称轴是直线．①，解得m∈∅；②，即，解得．综上，所求实数m的取值范围是．点评：本题主要考查函数的综合应用，关键是抓住条件，方程与函数相互转化，同时考查二次函数的有关性质，是一道综合题．。

3 n n n n 2 2017 n π 嘉定区 2017 学年第二学期期末考试高一年级数学试卷（满分 100 分，考试时间 90 分钟）一．填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分．1 1.计算： arcsin 2 = ． 2.若数列{a } 满足 a = 2, a = 3a , n ∈ N * ，则该数列的通项公式 a = ． n 1n +1 n n 3. 函数 y = 2 cos 2 x -1的最小正周期是． 4．方程 2|x -1| = 4 的解是． 5．已知角α 的终边经过点 P (-1, 3) ，则cos α = ． 6．方程cos 2 x - 2 cos x = 0 的解集是． π 7. 若函数 f (x ) = 2 cos(4x + ) -1与函数 g (x ) = 5 tan(ax -1) + 2 的最小正周期相同，则实数 a = ． 78. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB = 10， B = 60︒ ， AD = 30 ，则该平行四边形的面积等于 ．9. 已知数列{a } 的前 n 项和 S = 2n 2 + n ，则该等差数列的通项公式 a = ．10. 已知等差数列{a } ，对于函数 f (x ) = x 3 + arctan x 满足： f (a - 2) = 8 ， f (a - 4) = -8 ， S 是该等差数列的前n 项和，则 S 2018 = ．11. 函数 f (x ) = x +的值域是 ．12 ． 将函数 f (x ) = 2 sin 2x 的图像向右平移 ϕ(0 < ϕ < π ) 个单位后得到函数 g (x ) 的图像， 若对满足 | f (x ) - g (x ) |= 4 的 x 、x ，有| x - x | 的最小值为 π ，则ϕ = ． 1 2 1 2 1 2 6二．选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接 填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分．13．“ tan θ = 1”是“θ =”成立的（ ） 4 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 1 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14.设 M 和 m 分别表示函数 y = cos x -1的最大值和最小值，则 M + m = （ ） 3 A. -2 B. - 4 3 C. - 2 3 D. 2 3 15.若等差数列{a } 和等比数列{b }满足 a = b = -1， a = b = 8 ， a 2 = （ ）A. -4 n nB. -1 1- x 2 b1 1C. 1 4 42D. 41 16. 若关于 x 的方程9x + | 3x + b |= 5 (b ∈ R ) 有两个负实数解，则b 的取值范围是（） A . (3, 5)B . (-5.25, -5)C . [-5.25, -5)D . 前三个都不正确三．解答题（本大题共有 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分 8 分）已知等差数列{a n } 的首项为1，公差不为0 ．若 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，求数列{a n } 的通项公式及其前 n 项的和．18．（本题满分 8 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分．已知 f (x ) = cos x ．（1）若 f (α ) = ，且α ∈[0,π ] ，求 f (α - 3 π) 的值；3 （2）求函数 y = f (2x ) - 2 f (x ) 的最小值．19．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分．已知函数 f (x ) = log 2 (x - m ) ，其中m ∈ R ．（1） 若函数 f (x ) 在区间(2, 3) 内有一个零点，求实数 m 的取值范围；（2） 若函数 f (x ) 在区间[1, t ] (t > 1) 上的最大值与最小值之差为 2，且 f (t ) > 0 ，求实数 m 的取值范围．20．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分．ππ如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形OAB 所在圆的圆心，半径为r ，∠AOB =．广场管理3部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，设∠COA =θ．（1）当θ=时，求CD ；4（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长s 最大？并求出s 的最大值．21．（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 5 分．3πππ若函数f (x) 满足f (x) =f (x +) ，且f ( +x) =f (-x) （x ∈R ），则称函数f (x) 为“ M 函数”．2 4 44（1）试判断f (x) = sin x 是否为“ M 函数”，并说明理由．3⎡π⎤⎡3π⎤（2）若函数f(x)为“M函数”，且当x∈⎢⎣4,π⎥⎦时，f(x)=sin x．求y=f(x)的解析式，并指出在⎢⎣0,2⎥⎦上的单调递增区间；⎡π3kπ⎤（3）在（2）的条件下，当x∈⎢⎣-2,2+π⎥⎦（k∈N）时，关于x的方程f(x)=a有实数解，a取某一确定值时所求得的所有的解的和记为S (k ) ，求S (k ) ．。

2017-2018学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷一.填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1．（3分）计算：arcsin＝．2．（3分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝3a n，n∈N*，则该数列的通项公式a n＝．3．（3分）函数y＝2cos2x﹣1的最小正周期是．4．（3分）方程2|x﹣1|＝4的解为．5．（3分）已知角α的终边经过点，则cosα＝．6．（3分）方程cos2x﹣2cos x＝0的解集是．7．（3分）若函数与函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期相同，则实数a＝．8．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝10，B＝60°，AD＝30，则该平行四边形的面积等于．9．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+n，则该等差数列的通项公式a n＝．10．（3分）已知等差数列{a n}，对于函数f（x）＝x3+arctan x满足：f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，S n是该等差数列的前n项和，则S2018＝．11．（3分）函数f（x）＝x+的值域是．12．（3分）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝．二.选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分13．（3分）“tan a＝1”是“a＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要不而充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）设M和m分别表示函数y＝cos x﹣1的最大值和最小值，则M+m等于（）A．B．C．D．﹣215．（3分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，＝（）A．﹣4B．﹣1C．1D．416．（3分）方程9x+|3x+b|＝5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三.解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（8分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，求数列{a n}的通项公式及其前n项的和．18．（8分）已知y＝cos x（1）若，且α∈[0，π]，求的值（2）求函数y＝f（2x）﹣2f（x）的最小值19．（10分）已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．20．（12分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB＝．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ．（1）当θ＝时，求CD；（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．21．（14分）若函数f（x）满足f（x）＝f（x+）且f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．（1）试判断f（x）＝sin x是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[，π]时，f（x）＝sin x，求y＝f（x）的解析式，并写出在[0，]上的单调递增区间；（3）在（2）条件下，当x∈[﹣，+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．2017-2018学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1．（3分）计算：arcsin＝．【解答】解：∵sin＝，∴arcsin＝．故答案为：．2．（3分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝3a n，n∈N*，则该数列的通项公式a n＝2×3n﹣1．【解答】解：数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n（n∈N），可得数列是等比数列，等比为3，a n＝2×3n﹣1．故答案为：2×3n﹣1．3．（3分）函数y＝2cos2x﹣1的最小正周期是π．【解答】解：∵f（x）＝2cos2x﹣1＝（1+cos2x）﹣1＝cos2x．∴由周期公式可得：T＝＝π．故答案为：π4．（3分）方程2|x﹣1|＝4的解为x＝3或x＝﹣1．【解答】解：∵方程2|x﹣1|＝4，∴|x﹣1|＝2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．5．（3分）已知角α的终边经过点，则cosα＝﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点，∴x＝﹣1，y＝，r＝＝2，故cosα＝＝﹣．6．（3分）方程cos2x﹣2cos x＝0的解集是{x|x＝kx+，k∈Z}．【解答】解：方程cos2x﹣2cos x＝0，可得cos x（cos x﹣2）＝0，∴cos x＝0，∴x|x＝kx+，k∈Z．故答案为：{x|x＝kx+，k∈Z}．7．（3分）若函数与函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期相同，则实数a＝±2．【解答】解：函数的周期是；函数g（x）＝5tan（ax﹣1）+2的最小正周期是：；因为周期相同，所以，解得a＝±2故答案为：±28．（3分）在平行四边形ABCD中，已知AB＝10，B＝60°，AD＝30，则该平行四边形的面积等于300．【解答】解：∵AB＝10，∠B＝60°，AC＝30，∴在三角形ABC中用余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2AB×BC×cos B，可得：900＝300+BC2﹣2×10×BC×，∴解得：BC＝20，∴面积S＝AB×BC×sin B＝300．故答案为：300．9．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+n，则该等差数列的通项公式a n＝4n﹣1．【解答】解：S n＝2n2+n，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+n﹣[2（n﹣1）2+n﹣1]＝4n﹣1．n＝1时，a1＝S1＝3，对于上式也成立．∴a n＝4n﹣1．故答案为：4n﹣1．10．（3分）已知等差数列{a n}，对于函数f（x）＝x3+arctan x满足：f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，S n是该等差数列的前n项和，则S2018＝6054．【解答】解：由函数f（x）＝x3+arctan x为奇函数且在R上单调递增，∵f（a2﹣2）＝8，f（a2017﹣4）＝﹣8，∴a2﹣2＝4﹣a2017，∴即a2+a2017＝6∴a1+a2018＝6∴S2018＝1009（a1+a2018）＝6054．故答案为：605411．（3分）函数f（x）＝x+的值域是[﹣1，]．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1．令x＝cosθ（0≤θ≤π），则函数f（x）＝x+化为y＝cosθ+sinθ＝．∵0≤θ≤π，∴，则∈[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．12．（3分）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝或．【解答】解：由函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ，可得g（x）＝2sin（2x﹣2φ）不妨设f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，∴2x1＝+2kπ，2x2﹣2φ＝+2kπ，k∈Z．可得2（x1﹣x2）+2φ＝π∵|x1﹣x2|的最小值为，即x1﹣x2＝±．∴+2φ＝π得φ＝或故答案为：或．二.选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分13．（3分）“tan a＝1”是“a＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要不而充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“tan a＝1”，则K∈Z，α不一定等于；而若“a＝”则tanα＝1，∴“tan a＝1”是a＝的必要不而充分条件故选：B．14．（3分）设M和m分别表示函数y＝cos x﹣1的最大值和最小值，则M+m等于（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵﹣1≤cos x≤1∴﹣≤cos x﹣1≤﹣∴M＝﹣，m＝﹣∴M+m＝﹣2故选：D．15．（3分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，＝（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d和等比数列{b n}的公比设为q，由a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，可得﹣1+3d＝﹣q3＝8，可得d＝3，q＝﹣2，则＝＝1，故选：C．16．（3分）方程9x+|3x+b|＝5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【解答】解：∵9x+|3x+b|＝5，∴|3x+b|＝5﹣9x，∴3x+b＝5﹣9x或3x+b＝﹣5+9x，①若3x+b＝5﹣9x，则b＝5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b＝﹣5+9x，则b＝﹣5﹣3x+9x＝（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b＝﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选：B．三.解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（8分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，求数列{a n}的通项公式及其前n项的和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，解得d＝﹣2，∴数列{a n}的通项公式a n＝1+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+3，前n项的和S n＝n+＝﹣n2+2n．18．（8分）已知y＝cos x（1）若，且α∈[0，π]，求的值（2）求函数y＝f（2x）﹣2f（x）的最小值【解答】解：（1）若，且α∈[0，π]，则cosα＝，则sinα＝＝＝，则＝cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝＝+．（2）函数y＝f（2x）﹣2f（x）＝cos2x﹣2cos x＝2cos2x﹣2cos x﹣1＝2（cos x﹣）2﹣，∵﹣1≤cos x≤1，∴当cos x＝时，函数取得最小值，最小值为﹣．19．（10分）已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由log2（x﹣m）＝0，得m＝x﹣1，由2＜x＜3得：1＜x﹣1＜2，故m的范围是（1，2）；（2）f（x）在[1，t]（t＞1）递增，∴f（t）﹣f（1）＝2，∴log2（t﹣m）﹣log2（1﹣m）＝2，∴log2＝log24，∴t＝4﹣3m，由f（t）＞0，得t＞m+1，∴4﹣3m＞m+1，解得：m＜．20．（12分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB＝．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ．（1）当θ＝时，求CD；（2）当θ取何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长s最大？并求出s的最大值．【解答】解：（1）某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形OAB所在圆的圆心，半径为r，∠AOB＝．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA＝θ，当θ＝时，由正弦定理得：，∴，∴CD＝＝．（2）在△ODC中，由正弦定理得：，∴，∴CD＝，同理，CE＝，∴s＝f（θ）＝＝r sin（）+＝r sin（），θ∈（0，），∵θ∈（0，），∴∈（，），当时，即时，s max＝f（）＝．21．（14分）若函数f（x）满足f（x）＝f（x+）且f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．（1）试判断f（x）＝sin x是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[，π]时，f（x）＝sin x，求y＝f（x）的解析式，并写出在[0，]上的单调递增区间；（3）在（2）条件下，当x∈[﹣，+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．【解答】解：（1）f（x）＝sin x不是“M函数”．∵f（+x）＝sin＝sin（），f（﹣x）＝sin＝sin（﹣x）∴f（+x）≠f（﹣x）（x∈R），∴f（x）＝sin x不是“M函数”．（2）∵函数f（x）满足f（x）＝f（x+），∴函数f（x）的周期T＝∵f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），∴f（x）＝f（﹣x）（x∈R），①当x时，f（x）＝f（x﹣）＝sin（x﹣）②当x∈[]时，f（x）＝f[﹣（x﹣）]＝cos（x﹣）∴f（x）＝在[0，]上的单调递增区间：[，]，[π，]；（3）由（2）可得函数f（x）在[﹣，π]上的图象为：①当0或1时，f（x）＝a（a为常数）有2个解，其和为②当a＝时，f（x）＝a（a为常数）有3个解，其和为．③当时，f（x）＝a（a为常数）有4个解，其和为π∴当x∈[﹣，+π]（k∈N）时，记关于x的方程f（x）＝a（a为常数）所有解的和为S（k），则S（k）＝．。