2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)

高一数学第一学期期末试卷及答案5套完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） 1、若角终边经过点，则（ ）A.B.C. D.2、函数的一条对称轴是（ ） A.B.C.D.3、已知集合}1{>=x x A ，11{|()}24xB x =>，则A B ⋂=（ ） A ．R B ．),1(+∞C ．)2,(-∞D ．)2,1( 4、( ) A.B.C.D.5、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,2cos )(x x f x x x f π，则=)2(f （ ） A ． 1- B ．1 C ． 3- D ． 36、已知，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 23—B. C. D. 7、若向量，，则在方向上的投影为（ ） A. -2 B. 2 C.D.8、若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（ ）A.0B.1C.83D.49、若向量，i 为互相垂直的单位向量，—j 2=j m +=且与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1210、已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0,a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13[,]34B.1334⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 103⎛⎤ ⎥⎝⎦，D.30,4⎛⎫⎪⎝⎭11、已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]12、将函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x 2cos 4x f π和直线()1x x g —=的所有交点从左到右依次记为，若P 点坐标为()30，=++A P 2....（ ）A. 0B. 2C. 6D. 10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上） 13、已知角θ的终边经过点(39,2)a a -+，且θsin >0，θcos <0则a 的取值范围是 14、已知函数3()2,(0,1)x f x a a a -=+>≠且，那么其图象经过的定点坐标是15、已知2cos ,63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16、已知关于的方程0a cos 3sin =+θθ—在区间()π，0上有两个不相等的实数根，则=+2cosβα__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤) 17、（本题满分10 分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （）（1）求证：；(2) ，求实数m 的值.18、（本题满分12 分） 已知是的三个内角，向量，，且.(1) 求角； (2)若，求．19、（本题满分12 分）已知函数()log (2)log (3),a a f x x x =++-其中01a <<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值20、（本题满分12 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0,0,0A ωϕπ>><<，函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且在3x π=处取到最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移6π个单位，得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间。

1建平中学2023学年第一学期高一数学期末2024.1一、填空题(每题3分,满分36分)1.已知扇形的面积是4,半径为2,则扇形的圆心角为________弧度.2.已知α是第二象限角,且35sin α=,则tan α=________.3.若函数()()23(0a f x log x a =−−>且1)a ≠的图像恒过定点A ,则A 的坐标是______.4.已知02,πα∈−,若728cos α=,则sin α=________.5.方程)20sin xx =≤≤π的解集为________. 6.函数()2f x x =+的值域是________. 7.已知α为锐角,167cos πα+=,则cos α=________.8.已知函数()9999999f x ax bx x =+−+,且()210f −=,则()2f =________. 9.若存在x R ∈,使34cosx sinx k =+成立,则实数k 的取值范围是________.10.已知函数()(2x f x ln x =+,若()2561f m m +−<,则实数m 的取值范围是_____.11.已知函数()()242,1,23,1xx f x g x x ax x x −< ==++ −≥ ,若函数()()y g f x =有6个零点,则实数a 的取值范围是________.12.若存在实数,a b ,对任意实数[]01x ,∈,不等式32x m ax b x −≤+≤恒成立,则实数m 的取值范围是________.二、选择题（每题3分,满分12分) 13.“1sinx =”是“0cosx =”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件214.已知实数,a b 满足a b >,则下列不等式恒成立的是( )A.11a b −−>;B.22a b >;C.33a b >;D.a b >.15.对于ABC ∆,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,有如下判断：(1)若cosA cosB =,则ABC ∆为等腰三角形;(2)若A B >,则sin sinA B >;(3)若8,10,60a c B === ,则符合条件的ABC ∆有两个;(4)若sinAsinB cosAcosB <,则ABC ∆是钝角三角形.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个16.已知集合S 是由某些正整数组成的集合,且满足:若a S ∈,则当且仅当(a m n =+其中正整数,m n S ∈,且)m n ≠或(a p q =+其中正整数,p q S ∉,且)p q ≠.现有如下两个命题:(1)5S ∈;(2)集合{}*3xx n,n N S =∈⊆∣.则下列判断正确的是( ) A.(1)是真命题,(2)是真命题. B.(1)是真命题,(2)是假命题. C.(1)是假命题，(2)是真命题. D.(1)是假命题,(2)是假命题. 三、解答题（本题共有5大题,满分52分) 17.已知角α的终边经过点()12M ,−, (1)求()23sin cos cos sin α+π−αα−α的值.(2)求24tan πα+的值.18.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2sin B =. (1)求角B 的大小.(2)若ABC ∆的面积为6,4a =,求b 的长.319.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现，某水果的产量W (单位:千克)与施用肥料x (单位:千克)满足如下关系:()()2217,02850,251x x W x x x +≤≤=−<≤−,且施用肥料及其它成本总投入为20x 元.已知这种水果的市场售价大约10元/千克,且生产的水果都能售出.记该水果利润为()f x (单位:元)（利润=销售额-成本）(1)写出利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式.(2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？20.对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使()00f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点. (1)已知函数()23f x x x =−−,求函数()f x 的不动点.(2)若对于任意的b R ∈,二次函数()()()2180f x ax b x b a =+−+−≠恒有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围.(3)若函数()()211f x mx m x m =−+++在区间()02,上有唯一的不动点,求实数m 的取值范围.421.若函数()f x 满足:对任意正数,s t ,都有()()()f s f t f s t +<+,则称函数()f x 为“H 函数”. (1)试判断函数()21f x x =与()()21f x ln x =+是否为“H 函数”,并说明理由. (2)若函数33x y x a =+−是“H 函数”,求实数a 的取值范围.(3)若函数()f x 为“H 函数”,()11f =,对任意正数,s t ,都有()()0,0f s f t >>,求证:对任意()()122k k x ,k N +∈∈,都有()122x f x f x x −>−.5参考答案一、填空题 1.2 ; 2. 34−3.()33,−4.14−;5.388,ππ ;6.54,⋅−∞; 8.8; 9.[]55,⋅−; 10.()61,−；11.(3,⋅−− 12.14,+∞二、选择题13.A 14. C 15. C 16.A 三．解答题17.【答案】（1）-1 (2)-7【解析】（1）由已知得2tan α=−,()22211333sin cos sin cos tan cos sin cos sin tan α+π−αα−αα−∴===−α−αα−α−α;(2)2tan α=− ,224231tan tan tan α∴α==−α,则2127412tan tan tan πα+α+==− −α. 18.【答案】（1）4B π=(2)b = 【解析】（1）因为2sin B =，所以2sinBcosB =. 因为0sinB ≠,所以cosB =,又,0B <<π,所以4B π=.(2)因为114622ABC S acsinB c ∆==××=,所以c =由余弦定理可得222216182410b a c accosB +−+−××,所以b =. 19.【答案】(1)()22020340,028050020,251x x x f x x x x −+≤≤= −−<≤−(2)肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元【解析】(1)由已知()()1020f x W x x =−,又()()2217,02850,251x x W x x x +≤≤= −<≤ −,6所以()()2201720,028050020,251x x x f x x x x +−≤≤= −−<≤ − ,整理得()22020340,028050020,251x x x f x x x x −+≤≤ = −−<≤− . （2）当02x ≤≤时,()2212020340203352f x x x x−+−+，∴当02x ≤≤时,()()2380f x f ≤=,当25x <≤时,()80500201f x x x =−−−, ()80500201201x x =−+−+ − ()804802014804001x x−+−≤− −当且仅当()802011x x =−−,即3x =时等号成立,()400max f x =,因为380400<综上,所以()f x 的最大值为400.故当施用肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元. 20．【答案】(1)1,3− (2)()06,(3)11m −<≤或m =【解析】(1)设0x 为不动点,因此20003x x x −−=,解得01x =−或03x =,所以1,3−为函数()f x 的不动点.(2)方程()f x x =，即()218ax b x b x +−+−=，有()22800ax b x b a +−+−=≠，， 于是得方程()2280ax b x b +−+−=有两个不等实根, 即()()()22(2)480414810Δb a b b a b a =−−−>⇔−+++>, 依题意,对于任意的b R ∈,不等式()()2414810b a b a −+++>恒成立, 则()216(1)16810,Δa a ′=+−+<整理得260a a −<,解得06a <<, 所以实数a 的取值范围是()06,.(3)由于函数()f x 有且只有一个不动点在()02,上所以()211mx m x m x −+++=， 即()2210mx m x m −+++=在()02,上有且只有一个解令()()221g x mx m x m =−+++7①()()020g g ⋅<,则()()110m m +−<,解得11m −<<;②()00g =即1m =−时，方程可化为20x x −−=,另一个根为-1,不符合题意,舍去; ③()20g =即1m =时，方程可化为2320x x −+=,另一个根为1,满足; ④0∆=,即()()22410m m m +−+=,解得m =(I)当m =时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,满足; （II）当m =时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,不符合题意,舍去; 综上,m 的取值范围是11m −<≤或m =. 21．【答案】（1）不是 （2）13a ≥（3）见解析【解析】(1)对于任意()()()()()222111,0,,s t ,f s f t s t f s t s t ∈+∞+=++=+,()()()()222111()20f s t f s f t s t s t st ∴+−+=+−+=> ,即()()()111f s f t f s t +<+成立;故()21f x x =是“H 函数”.对于()()21f x ln x =+，取1s t ==,则()()()22222,3f s f t ln f s t ln +=+=. 因为22ln 3ln >,故()()21f x ln x =+不是“H 函数”.(2)因为函数33x y x a =+−是“H 函数”,故对于任意的(),0s t ,∈+∞有 ()333333s t s t s t a s a t a +++−>+−++−恒成立,即3333s t s t a +−−>−恒成立所以()()313113s t a −−>−恒成立.又(),0s t ,∈+∞,故()3,31s t ,∈+∞,则()()()31310s t ,−−∈+∞则130a −≤,即13a ≥. (3)由函数()f x 为“H 函数”,可知对于任意正数,s t , 都有()()0,0f s f t >>,且()()()f s f t f s t +<+,8令s t =,可知()()22f s f s >,即()()22f s f s >,故对于自然数k 与正数s ,都有()()()()()()()()111122222,22k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s +++−=⋅>对任意()()122k k x ,k N +∈∈,可得111122k k,x +∈,又()11f =, 所以()()()()()122222122k kkkkxf x f x f f f +>−+>≥=>,同理()1111111122222222k k k k k k f f f f f x x x + <−−<≤==< ,故()122x f x f x x−>− .。

2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷试题数：20，总分：01.（填空题，0分）已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）函数f（x）= log2(x−1)x−2的定义域为 ___ ．3.（填空题，0分）若指数函数y=f（x）的图像经过点（12，2）则函数y=f（x）-2x+1的零点为 ___ ．4.（填空题，0分）不等式1|x|＜x的解集为 ___ ．5.（填空题，0分）已知log62=a，用a表示log412=___ ．6.（填空题，0分）已知函数y=（log2a）x在R上是严格减函数，则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题，0分）定义区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a，若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为 ___ ．8.（填空题，0分）设x，y∈（1，+∞），若log2x、log2y的算术平均值为1，则2x、2y的几何平均值的最小值为 ___ ．9.（填空题，0分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，若f（1）=0，则满足不等式（x-1）f（x）≥0的x的取值范围为 ___ ．10.（填空题，0分）已知a∈{-2，-1，13，23，43，2}，当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则满足条件的a形成的集合为 ___ ．11.（填空题，0分）函数y=f（x）（x＜0）的反函数为y=f-1（x），且函数g（x）={f(x)，x＜0log2(x+1)，x≥0是奇函数，则不等式f-1（x）≥-2的解集为 ___ ．12.（填空题，0分）已知函数f（x）=|2x-1|，若函数g（x）=f2（x）+mf（x）+ 14有4个零点，则实数m的取值范围为 ___ ．13.（单选题，0分）已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（）A.M⊂NB.M⊃NC.M=ND.M∩N=∅14.（单选题，0分）若log3m＜log3n且log m3＜log n3，则实数m、n满足的关系式为（）A.0＜m＜n＜1B.0＜n＜m＜1C.0＜m＜1＜nD.1＜m＜n15.（单选题，0分）设a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0的解集为A，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集为B，则“A=B是“ a1a2=b1b2=c1c2＞0”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，0分）定义在R上的函数y=f（x）的表达式为f（x）= {x2，x∈Qx，x∈Q，给出下列3个判断：（1）函数y=f（x）是非奇非偶函数；（2）当a＜0且a∈Q时，方程f（x）=a无解；（3）当a＞0时，方程f（x）=a至少有一解；其中正确的判断有（）A.0个B.1个C.2个D.3个17.（问答题，0分）已知集合A={x||x-a|≤2}，不等式2x−1x+2≥1的解集为B．（1）用区间表示B；（2）若全集U=R，且A∩ B =A，求实数a的取值范围．18.（问答题，0分）已知a、b都是正实数，且ba=b-a．（1）求证：a＞1；（2）求b的最小值．19.（问答题，0分）设函数y=f（x）的表达式为f（x）=x2+|x-a|，其中a为实常数．（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；在区间（0，a]上为严格减函数，求实数a的最大值．（2）设a＞0，函数g（x）= f(x)x20.（问答题，0分）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S（x、y可以相同），有x+y∈S且x-y∈S．（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z．2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（填空题，0分）已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2}【解析】：求出集合B ，利用交集定义能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}， B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}， ∴A∩B={0，1，2}， 故答案为：{0，1，2}．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.（填空题，0分）函数f （x ）=log 2(x−1)x−2的定义域为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，2）∪（2，+∞） 【解析】：根据使得函数f （x ）= log 2(x−1)x−2的表达式有意义即可解决此题．【解答】：解：要使得函数f （x ）=log 2(x−1)x−2的表达式有意义， 则 {x −1＞0x −2≠0 ，解得x∈（1，2）∪（2，+∞）．∴函数定义域为（1，2）∪（2，+∞）． 故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．【点评】：本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题．3.（填空题，0分）若指数函数y=f （x ）的图像经过点（ 12 ，2）则函数y=f （x ）-2x+1的零点为 ___ ．【正确答案】：[1]x=1【解析】：利用待定系数法求出f （x ）=4x ，再利用零点的定义求解即可．【解答】：解：设指数函数y=a x ，∵图像经过点（ 12，2），∴ a 12 =2，解得a=4，∴f （x ）=4x ， ∴y=f （x ）-2x+1=4x -2x+1，令y=0，则4x =2x+1，∴2x=x+1，∴x=1， 故答案为：x=1．【点评】：本题考查了待定系数法求的应用，零点的求法，是基础题． 4.（填空题，0分）不等式 1|x| ＜x 的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：结合x 的范围分类讨论，转化为二次不等式进行求解即可．【解答】：解：由题意得， {x |x |＞1x ≠0 ，即 {x ＞0x 2＞1 或 {−x 2＞1x ＜0，解得，x ＞1，所以原不等式的解集（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题． 5.（填空题，0分）已知log 62=a ，用a 表示log 412=___ ． 【正确答案】：[1] 1+a2a【解析】：利用换底公式以及对数的运算性质求解．【解答】：解：log 412= log 612log 64 = log 62+12log 62 = 1+a2a， 故答案为： 1+a2a ．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式的应用，是基础题．6.（填空题，0分）已知函数y=（log 2a ）x 在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，2）【解析】：根据指数函数的单调性，可得0＜log2a＜1，结合对数函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．【解答】：解：∵函数y=（log2a）x在R上是严格减函数，∴0＜log2a＜1，∴1＜a＜2，故答案为：（1，2）．【点评】：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，属于基础题．7.（填空题，0分）定义区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a，若关于x的不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据题意利用根与系数的关系，以及解集区间长度为2得到关于m的方程，再求出m即可．【解答】：解：因为不等式x2-4x+m≤0的解集区间长度为2，所以Δ=16-4m＞0，解得m＜4；设方程x2-4x+m=0的解是x1，x2，则x1+x2=4，x1x2=m，因为|x1-x2|=2，所以√(x1+x2)2−4x1x2 =2，所以16-4m=4，解得m=3，所以实数m的值为3．故答案为：3．【点评】：本题考查了不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数的关系以及转化思想和方程思想，是基础题．8.（填空题，0分）设x，y∈（1，+∞），若log2x、log2y的算术平均值为1，则2x、2y的几何平均值的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：由已知结合对数运算性质可求xy，然后结合基本不等式求出x+y的最小值，再由指数运算性质可求．【解答】：解：由题意得，log2x+log2y=2，所以xy=4，所以x+y ≥2√xy =4，当且仅当x=y=2时取等号，则√2x•2y = √2x+y≥4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了对数与指数的运算性质，考查了算术平均数与几何平均数的概念，还考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．9.（填空题，0分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，若f（1）=0，则满足不等式（x-1）f（x）≥0的x的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][-1，0]∪{1}【解析】：偶数形结合分类讨论x＜1和x≥1即可求解．【解答】：解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且是（-∞，0）上的严格减函数，f（1）=0，可得f（0）=0，f（-1）=0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由于（x-1）f（x）≥0，当x＜1时，f（x）≤0，所以-1≤x≤0，当x≥1时，f（x）≥0，所以x=1，综上所述，x的取值范围是[-1，0]∪{1}．故答案为：[-1，0]∪{1}．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查分类讨论与数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于基础题．10.（填空题，0分）已知a∈{-2，-1，13，23，43，2}，当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则满足条件的a形成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1] {−2，23}【解析】：直接利用幂函数的性质进行分类讨论，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x a，因为当x∈（-1，0）∪（0，1）时，不等式x a＞|x|恒成立，则当x∈（-1，0）∪（0，1）时，幂函数f（x）的图象在y=|x|的图象的上方，如果函数f（x）为奇函数，则第三象限有图象，故f（x）不是奇函数，所以a=-1，a= 13不符合题意；当x∈（0，1）时，函数f（x）=x a＞x，即1＞x1-a，所以1-a＞0，解得a＜1，所以a= 43，a=2不符合题意．综上所述，满足条件的a形成的集合为{−2，23}．故答案为：{−2，23}．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，幂函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．11.（填空题，0分）函数y=f（x）（x＜0）的反函数为y=f-1（x），且函数g（x）={f(x)，x＜0log2(x+1)，x≥0是奇函数，则不等式f-1（x）≥-2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1][-log23，0）【解析】：当x＜0时-x＞0，所以g（-x）=log2（-x+1），再利用函数g（x）的奇偶性可求出f（x）的解析式，进而求出f-1（x）的解析式，注意不要忽视定义域，从而求出不等式f-1（x）≥-2的解集．【解答】：解：当x＜0时，-x＞0，∴g（-x）=log2（-x+1），又∵g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），∴-g（x）=log2（-x+1），即g（x）=-log2（-x+1），∴f（x）=-log2（-x+1）（x＜0），令y=-log2（-x+1），x＜0，则y＜0，∴-x+1=2-y，∴x=1-2-y，∴f-1（x）=1-2-x（x＜0），∴1-2-x≥-2，即2-x≤3，∴-x≤log23，∴x≥-log23，又∵x＜0，∴-log23≤x＜0，即不等式f-1（x）≥-2的解集为[-log23，0），故答案为：[-log 23，0）．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了求反函数，以及解指数不等式，是中档题．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）=|2x -1|，若函数g （x ）=f 2（x ）+mf （x ）+ 14 有4个零点，则实数m 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（- 54，-1）【解析】：由函数解析式画出函数图象，再令t=f （x ），将g （x ）转化为t 的函数，再由图象求m 的范围即可．【解答】：解：由函数f （x ）=|2x -1|，如图所示；令t=f （x ）， 则h （t ）=t 2+mt+ 14， 则h （t ）=0，t 最多有两解， 而t=f （x ）关于x 最多有两解，故g （x ）=0有4解时，必对应h （t ）与f （x ）均有2解， f （x ）=t 有两解，如图， 只要t∈（0，1）即可，故原问题转化为h （t ）=0的根t 1，t 2∈（0，1），且t 1≠t 2， 由于h （t ）过（0， 14 ）， 对称轴t=- m2 必在（0，1）内， 且顶点处h （t ）＜0，且h （1）＞0， 即 {0＜−m 2＜1ℎ(−m 2)=1−m 24＜0ℎ(1)=54+m ＞0 ，即- 54 ＜m ＜-1，，-1）．故答案为：（- 54【点评】：本题考查函数的零点与方程的关系，属于中档题．13.（单选题，0分）已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（）A.M⊂NB.M⊃NC.M=ND.M∩N=∅【正确答案】：B【解析】：利用充要条件与集合间关系的转化即可求解．【解答】：解：∵α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，∴N⫋M，故选：B．【点评】：本题考查了充要条件与集合间关系的转化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（单选题，0分）若log3m＜log3n且log m3＜log n3，则实数m、n满足的关系式为（）A.0＜m＜n＜1B.0＜n＜m＜1C.0＜m＜1＜nD.1＜m＜n【正确答案】：C【解析】：根据对数函数的图象和性质即可判断．【解答】：解：∵log3m＜log3n，∴0＜m＜n，∵log m3＜log n3，∴0＜m＜1，n＞1，∴0＜m＜1＜n．故选：C．【点评】：本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．15.（单选题，0分）设a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0的解集为A，不等式a2x2+b2x+c2＞0的解集为B，则“A=B是“ a1a2=b1b2=c1c2＞0”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据不等式的基本性质，充分必要条件的定义判断即可．【解答】：解：① 当A=B=∅时，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0可能是不同的不等式，则a1a2=b1b2=c1c2＞0不一定成立，∴充分性不成立，② 若a1a2=b1b2=c1c2=k＞0时，则不等式a1x2+b1x+c1＞0⇔ka2x2+kb2x+kc2＞0⇔a2x2+b2x+c2＞0，∴A=B，∴必要性成立，∴A=B是a1a2=b1b2=c1c2＞0的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查充要条件的判断，不等式的基本性质，属于中档题．16.（单选题，0分）定义在R上的函数y=f（x）的表达式为f（x）= {x2，x∈Qx，x∈Q，给出下列3个判断：（1）函数y=f（x）是非奇非偶函数；（2）当a＜0且a∈Q时，方程f（x）=a无解；（3）当a＞0时，方程f（x）=a至少有一解；其中正确的判断有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：根据函数表达式，分别讨论变量是有理数和无理数，即可得到结论．【解答】：解：（1）若x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=x2=f（x），此时为偶函数，若x∈ Q，则-x∈ Q，则f（-x）=-x=-f（x），此时为奇函数，综上y=f（x）是非奇非偶函数，故（1）正确，（2）当a＜0且a∈Q时，f（x）=x2≥0，则方程f（x）=a无解，故（2）正确，（3）当a＞0时，若a∈Q，则由f（x）=a2=a，得a=1，若a∈ Q，则由f（x）=x=a，得x=a只有一解，故（3）错误，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据分段函数的表达式，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键，是中档题．17.（问答题，0分）已知集合A={x||x-a|≤2}，不等式2x−1x+2≥1的解集为B．（1）用区间表示B；（2）若全集U=R，且A∩ B =A，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，分析可得2x−1x+2≥1⇔ x−3x+2≥0⇔（x-3）（x+2）≥0且x+2≠0，解可得集合B，即可得答案；（2）根据题意，求出集合A以及B，由A∩ B =A可得A⊆ B，由此分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，2x−1x+2≥1⇔ x−3x+2≥0⇔（x-3）（x+2）≥0且x+2≠0，解可得：x＜-2或x≥3，即B=（-∞，-2）∪[3，+∞）；（2）由（1）的结论，B=（-∞，-2）∪[3，+∞），则B =[-2，3），A={x||x-a|≤2}=[a-2，a+2]，若A∩ B =A，则A⊆ B，则有-2≤a-2＜a+2＜3，解可得：0≤a＜1，即a的取值范围为[0，1）．【点评】：本题考查不等式的解法，涉及集合之间的关系，属于基础题．18.（问答题，0分）已知a 、b 都是正实数，且 b a =b-a ．（1）求证：a ＞1；（2）求b 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．（2）根据已知条件，结合换元法和基本不等式的公式，即可求解．【解答】：证明：（1）∵ b a =b-a ，∴ b (1−1a )=a ，又∵a ，b 都是正实数，∴ (1−1a )＞0 ，∴ 1a ＜1 ，又∵a ＞0，∴a ＜1，即得证．（2）∵ b a =b-a ，∴ b (1−1a )=a ，∵a ＞1，∴ b =a 2a−1 ，令t=a-1（t ＞0），则b= a 2a−1 = (t+1)2t =t +1t +2≥2√t •1t +2=4 ， 当且仅当t=a-1=1，即a=2时，取得最小值，所以a=2时，b 的最小值为4．【点评】：本题主要考查不等式的证明，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．19.（问答题，0分）设函数y=f （x ）的表达式为f （x ）=x 2+|x-a|，其中a 为实常数．（1）判断函数y=f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）设a ＞0，函数g （x ）=f (x )x 在区间（0，a]上为严格减函数，求实数a 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用奇函数与偶函数的定义，分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（2）利用函数单调性的定义分析，列出关于a 的不等式组，求解即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2+|x-a|的定义域为R ，关于原点对称，f （-x ）=（-x ）2+|-x-a|=x 2+|x+a|，当a=0时，f （-x ）=f （x ），则f （x ）为偶函数，当a≠0时，f （-x ）≠f （x ）且f （-x ）≠-f （x ），则f （x ）为非奇非偶函数．（2）当x∈（0，a]时， g (x )=f (x )x =x 2+|x−a|x =x +a x −1 ， 设0＜x 1＜x 2≤a ，则 g (x 1)−g (x 2)=x 1+a x 1−x 2−a x 2 = (x 1−x 2)(x 1x 2−a )x 1x 2 ，因为0＜x 1＜x 2≤a ，所以x 1-x 2＜0且0＜x 1x 2＜a 2，因为函数g （x ）在区间（0，a]上为严格减函数，所以x 1x 2-a ＜0恒成立，即a ＞x 1x 2恒成立，所以 {a ≥a 2a ＞0，解得0＜a≤1， 故a 的最大值为1．【点评】：本题考查了奇偶性的判断，函数单调性的应用，函数单调性定义的理解与应用，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.（问答题，0分）已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y∈S （x 、y 可以相同），有x+y∈S 且x-y∈S ．（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z．【正确答案】：【解析】：（1）分a∈S，且a≠0和a∈S，且a=0两种情况分别验证即可；（2）结合条件，由5∈S，3∈S，首先证得2的所有整数倍的数都是S中的元素，又3-2=1∈S，所以x=2k+l，k∈Z也是集合S中的元素，即{x|x=2k+1，k=Z}⫋S，所以有{x|x=2k，k∈Z}U{x|x=2k+1，k∈Z}=Z，即证得S=Z．【解答】：解：（1）能，理由如下：若a∈S，且a≠0，由题意知a的所有整数倍的数都是S中的元素，所以S是无限集；若a∈S，且a=0，则S={0}，x+y∈S，x-y∈S符合题意，且S={0}是有限集，所以集合S能为有限集，即S={0}；（2）证明：因为非空集合S的元素都是整数，且x+y∈Z，x-y∈Z，由5∈S，3∈S，所以5-3=2∈S，所以3-2=l∈S，所以1+1=2∈S，1+2=3∈S，1+3=4∈S，…，1-1=0∈S，0-1=-1∈S，-1-1=-2∈S，-2-1=-3∈S…，所以非空集合S是所有整数构成的集合，由5∈S，3∈S，所以5-3=2∈S，因为x+y∈S，x-y∈S，所以2+2=4∈S，2-2=0∈S，2+4=6∈S，2-4=-2∈S，2+6=8∈S，2-6=-4∈S，…，所以2的所有整数倍的数都是S中的元素，即{x|x=2k，k∈Z}⫋S，且3-2=1∈S，所以x=2k+l，k∈Z也是集合S中的元素，即{x|x=2k+1，k=Z}⫋S，{x|x=2k，k∈Z}U{x|x=2k+1，k∈Z}=Z，综上所述，S=Z．【点评】：本题考查了元素与集合的关系，属于难题．。

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．8.（填空题，5分）已知a、b都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值为___ ．9.（填空题，5分）已知log35= 1a，5b=7，则用a、b的代数式表示log63105=___ ．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)={2−|x|，x≤2(x−2)2，x＞2，函数g（x）=b-f（2-x），如果y=f（x）-g（x）恰好有两个零点，则实数b的取值范围是___ ．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|x2的大致图象为（）A.B.C.D.14.（单选题，5分）若函数f(x)=x2+a−1e x是偶函数，则实数a的值是（）A.-1B.0C.1D.不唯一15.（单选题，5分）已知cos170°=m，则tan10°的值为（）A. √1−m2mB. −√1−m 2mC. √1−m 2D. √1−m 216.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]；③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ．其中正确结论的序号是（ ）A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ③ ④17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值； （2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x (a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式；（2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+x k．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20.（问答题，16分）已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）求y=log22f(x)−log12 [2f（x）]，x∈[12，2]的最值，并求出取得最值时的x取值．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2020]【解析】：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：2021-x≥1，解得：x≤2020，故答案为：（-∞，2020]．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1][0，2）【解析】：求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=x 12}={x|x≥0}，B={x|e x-2＜1}={x|x＜2}，∴A∩B=[0，2）．故答案为：[0，2）．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (−∞，−√2)∪(√2，+∞)【解析】：根据指数函数的单调性即可得出：a2-1＞1，然后解出a的范围即可．【解答】：解：∵f（x）在（-∞，+∞）严格增函数，∴a2-1＞1，解得a＜−√2或a＞√2，∴a的取值范围是(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．故答案为：(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．【点评】：本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1] (−∞，12]【解析】：利用复合函数的单调性，转化求解即可．【解答】：解：因为y= (12)x是减函数，y=x2-x-2在(−∞，12]是减函数，所以函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为：(−∞，12]．故答案为：(−∞，12]．【点评】：本题考查复合函数的单调性的求法，是基础题．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．【正确答案】：[1] (−3，32)【解析】：直接利用指数的性质a0=1求解即可．【解答】：解：因为当x=-3式时，f（x）= a0+12=32，所以函数f（x）必过定点(−3，32)．故答案为：(−3，32)．【点评】：本题考查了指数函数的性质，解题的关键是掌握指数的性质a0=1，属于基础题．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．【正确答案】：[1]70【解析】：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，推得四边形AEFB为矩形，可得EF=AB，再由解直角三角形可得CE=DF，即可得到所求最大值．【解答】：解：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，因为AB || EF，AE || BF，所以四边形AEFB为平行四边形，又因为∠AEF=90°，可得四边形AEFB为矩形，所以EF=AB=16，因为AE || PC，可得∠PCA=∠CAE=30°，×54=27，所以CE=ACsin30°= 12同理可得DF=27，所以当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为：CD=CE+EF+FD=27+16+27=70（cm），故答案为：70．【点评】：本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，考查运算能力和数形结合思想，属于基础题．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．【正确答案】：[1] f−1(x)=−√x(x≥0)【解析】：由y=f （x ）反解出x ，然后求出原函数的值域即为反函数的定义域，再得到y=f （x ）的反函数．【解答】：解：因为y=x 2（x≤0），所以x=- √y ，又因原函数的值域是{y|y≥0}，所以已知函数f （x ）=x 2（x≤0），则y=f （x ）的反函数为 f −1(x )=−√x (x ≥0) ．故答案为： f −1(x )=−√x (x ≥0) ．【点评】：本题主要考查反函数的求解，解题中一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域，同时考查了学生的计算能力，属于基础题．8.（填空题，5分）已知a 、b 都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：直接利用均值不等式求解【解答】：解：∵（a+1）（b+2）=16，∴（a+1）+（b+2） ≥2√( a +1)(b +2) =2× √16 =8，（当且仅当a+1=b+2，即a=3，b=2时取等号）∴a+b≥5，则a+b 的最小值为5，故答案为：5．【点评】：本题考查了均值不等式的应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知log 35= 1a ，5b =7，则用a 、b 的代数式表示log 63105=___ ．【正确答案】：[1] b+a+1b+2a【解析】：由换底公式可得出 log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) ，然后进行对数的运算即可．【解答】：解：∵ log 35=1a ，5b =7 ，∴ log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) = log 35+log 35b +1log 35b +2 = 1a +b a +1b a +2 = b+a+1b+2a ． 故答案为： b+a+1b+2a ．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（4，+∞）【解析】：利用对数函数的性质，判断a，b是大小，得到关系式，然后求解a+2b的取值范围．【解答】：解：|lga|=|lgb|，a＜b时，|lga|=|lgb|，lga+lgb=0=lg（ab），∴ab=1，a，b＞0，所以a+3b=a+ 3 a ，令f（a）=a+ 3a，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+ 31=4，即a+3b的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】：本题考查了函数与方程的应用、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用点B在函数f（x）上，得到p和q的关系式，再利用对数式与指数式的互化即可得到答案．【解答】：解：根据题意，因为点B（p，q）在函数f（x）=log24x上，又f（x）=2+log2x，所以2+log2p=q，所以p=2q-2，即4p=2q ，所以 2q p 的值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，涉及了指数与对数的运算，解题的关键是将点B 代入f （x ）得到p 和q 的关系，属于基础题．12.（填空题，5分）已知函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2，函数g （x ）=b-f （2-x ），如果y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，则实数b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] {74}∪(2，+∞)【解析】：根据f （x ）的解析式，先求出f （2-x ）的解析式，进而求得y=f （x ）+f （2-x ）的解析式，然后将问题转化为函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，作出两个函数的图象，根据图象分析求解即可．【解答】：解：函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2， 则函数 f (2−x )={2−|2−x |，x ≥0x 2，x ＜0 ， 故函数 y =f (x )+f (2−x )={2−|x |+x 2，x ＜02−|x |+2−|2−x |，0≤x ≤2(x −2)2+2−|2−x |，x ＞2，即 y =f (x )+f (2−x )={x 2+x +2，x ＜02，0≤x ≤2x 2−5x +8，x ＞2，因为函数g （x ）=b-f （2-x ），且y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，等价于f （x ）+f （2-x ）=b 恰有两个根，即函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，因为 y =x 2+x +2=(x +12)2+74 且 y =x 2−5x +8=(x −52)2+74 ， 所以函数y=f （x ）+f （2-x ）的最低点的纵坐标为 74 ，作出函数y=f （x ）+f （2-x ）和y=b 的图象如图所示，由图象可知，当b= 74 或b ＞2时，两个函数图象有两个交点，即y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，}∪(2，+∞)．所以实数b的取值范围是{74}∪(2，+∞)．故答案为：{74【点评】：本题考查了函数零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用，对于分段函数一般选用分类讨论或是数形结合的方法进行研究，而对于函数零点问题，则一般会转化为两个函数图象的交点进行处理，解题的关键是作出函数y=f（x）+f（2-x）的图象，属于中档题．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|的大致图象为（）x2A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据函数的奇偶性和函数的单调性，即可判断函数的图象．【解答】：解：∵f （-x ）= lg|x|x 2=f （x ），且定义域关于原点对称， ∴函数f （x ）为偶函数，即函数f （x ）的图象关于y 轴对称，故排除A ，B当x ＞1是函数y=lg|x|为增函数，当0＜x ＜1时，函数y=lg|x|为减函数， 当x ＞0，函数y= 1x 2 为减函数，故函数f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数， 故图象为先增后减，故排除C ， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．14.（单选题，5分）若函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数，则实数a 的值是（ ）A.-1B.0C.1D.不唯一 【正确答案】：C【解析】：根据题意，由偶函数的定义可得f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ，变形可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数， 则f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ， 变形可得：（a-1）（e x -e -x ）=0恒成立，必有a=1， 故选：C ．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 15.（单选题，5分）已知cos170°=m ，则tan10°的值为（ ） A.√1−m 2m B. −√1−m 2mC.√1−m 2D. √1−m 2【正确答案】：B【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin170°= √1−m 2 ，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】：解：因为cos170°=m ， 所以sin170°= √1−m 2 ， 则tan10°= sin10°cos10° = sin170°−cos170° = √1−m 2−m =- √1−m 2m． 故选：B ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]； ③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ． 其中正确结论的序号是（ ） A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：先研究函数的性质，求出函数值为±1时对应x 的值，再根据函数的单调性对四个结论进行判断，找出使得值域是[-1，1]结论，即可得出答案．【解答】：解： y =log 12(1−x ) 是增函数，且当x=-1时，y=-1，x= 12时，y=1，y=22-|x-1|-3= {23−x −3，x ≥12x+1−3，x ＜1 ，当x=1时，y=1，x=2时，y=-1，x=0时，y=-1，且当x ＜1时，函数y=22-|x-1|-3是增函数，x ＞1时，函数y=22-|x-1|-3是减函数，当n=0时，最大值1必在x ＞n 时取到，即m 的值必须保证自变量x 可以取到1，故m≥1，故 m ∈(12，2] 错误， ① 不正确；② 当 n ∈[0，12) 时，此范围中n=0存在，故此时m≥1，故m∈（n ，2]错误， ② 不正确； ③ 由 ① 知，当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]，故 ③ 正确；④ 当 n =12 时，此时 y =log 12(1−12) =1，此时在-1≤x≤n 时，-1≤y≤1，故此时 m ∈(12，2] ，可保证函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，故 ④ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查命题真假的判断与应用，分段函数的性质，本题综合性强，思维量大，研究清楚函数的性质是解答的关键． 17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值；（2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简可得f （α）=-tanα，根据特殊角的三角函数值即可求解．（2）根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】：解：（1）因为 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) = − cosα(−tanα)−cotαsinα=-tanα， 所以 f (π3) =-tan π3 =- √3 ；（2）因为 tanθ=12 ， 所以sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ= sin 2θ+sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ = tan 2θ+tanθ−1tan 2θ+1 = 14+12−114+1= −15 ．【点评】：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式； （2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+xk．【正确答案】：【解析】：（1）根据奇函数在x=0处有意义可得f （0）=0，然后求出a 的值，再求出f （x ）的反函数；（2）根据对数函数的单调性建立不等关系，分0＜k ＜2和k≥2两种情况，解不等式即可．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．所以f （0）=a−12=0 ，解得a=1，设y=f （x ）=e x −11+e x，则 e x =1+y1−y，所以 x =ln (1+y1−y) ， 所以函数f （x ）的反函数 f −1(x )=ln 1+x1−x ，x∈（-1，1）； （2）由 f −1(x )＞ln 1+x k ，可得 ln 1+x 1−x ＞ln 1+xk，x∈（-1，1）， 则1+x 1−x ＞1+x k ，所以 11−x ＞1k且k ＞0，所以1-x ＜k ，所以x ＞1-k ，① 若-1＜1-k ＜1，即0＜k ＜2，则原不等式的解集为（1-k ，1）， ② 若1-k≤-1，即k≥2，则原不等式的解集为（-1，1）．【点评】：本题主要考查反函数的求解，利用函数的奇偶性求参数值和对数不等式的解法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用二次函数求最值即可；（2）分段求出满足S≥80的t 的范围，取并集求得学生的学习效果最佳时间，再与20比较即可得出结论．【解答】：解：（1）当0＜t≤13时，S= −14t 2+6t +46 ， ∴当t=-62×(−14)=12时，S 的值最大，最大值为82；（2）当0＜t≤13时，令S=- 14 t 2+6t+46＞80，解得12-2 √2 ＜t ＜12+2 √2 ， ∴t∈（12-2 √2 ，13]，当13＜t≤40时，令83-log 3（t-5）＞80，解得5＜t ＜32，∴t∈（13，32）， ∴t∈（12-2 √2 ，32），∵32-（12-2 √2 ）=20+2 √2 ＞20，∴教师能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．【点评】：本题主要考查了函数的实际运用，考查分段函数最值的求法与不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，16分）已知幂函数 f (x )=x −2m 2+m+3(m ∈Z ) 是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m 的值，并确定f （x ）的解析式；（2）求 y =log 22f (x )−log 12[2f （x ）]， x ∈[12，2] 的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，由此求得m的值．（2）令log2f（x）=t= log2x3，则t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，再利用二次函数的性质，求出它的最值．【解答】：解：（1）∵幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数，∴-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，求得-1＜m＜32，且-2m2+m+3 为奇数．∴m=0，f（x）=x3．（2）令log2f（x）= log2x3 =t，则log12f(x) = log21f(x)=-log2f（x）=-t，y=t2+t+1．∵ x∈[12，2]，∴t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，故当t=- 12时，此时，x= 2−16，函数y取得最小值为34，当t=3时，即x=2时，函数y取得最大值为 13．【点评】：本题主要考查幂函数的定义和性质，对数函数的性质应用，属于中档题．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．【正确答案】：【解析】：（1）函数f（x）=2x（x∈R），将f（2x）-2f（x）≤3转化为22x-2x-6≤0，然后利用一元二次不等式的解法以及指数不等式的解法求解即可；（2）根据g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，利用换元法k=2x0−2−x0，转化为存在实数k∈(3 2，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，再设m=1k2，m∈[16225，49)，转化为求解函数y=m+√4m+1的求值范围，即可求得t的取值范围；（3）根据H（x）=f（2x+2）+af（x）+b的解析式，令v=2x，将问题转化为对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，列出关于a，b的关系，求解即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）=2x（x∈R），所以不等式f（2x）-2f（x）≤3，即为22x-2x-6≤0，即（2x+2）（2x-3）≤0，解得0＜2x≤3，所以x≤log23，故不等式f（2x）-2f（x）≤3的解集为（-∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，即存在实数x0∈（1，2]，使得1+22x0−2−2x0=t(2x0−2−x0)2成立，令k=2x0−2−x0，因为k在（1，2]上单调递增，所以k∈(32，154]，又(2x0+2−x0)2=22x0+2−2x0+2=t2+4，则有存在实数k∈(32，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，则t=1k2+√4k2+1，设m=1k2，m∈[16225，49)，即有y=m+√4m+1在m∈[16225，49)上单调递增，所以y∈[271225，199)，故t的取值范围为[271225，199)；（3）H（x）=f（2x+2）+af（x）+b=22x+2+a•2x+b=4•（2x）2+a•2x+b，令v=2x，因为x∈[0，1]，所以v∈[1，2]，所以φ（v）=4v2+av+b，因为若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，则对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，所以 { |4+a +b |≤12①|16+2a +b |≤12②|16b−a 216|≤12③ ，由 ① ② ③ 解得a=-12，b= 172．【点评】：本题考查了函数与方程的综合运用，涉及了函数与不等式的综合应用，解题的关键是利用换元法将复杂函数转化为常见函数进行研究，属于难题．。

2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件. 故选：A.2．设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>【答案】C【详解】ln p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．3．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（ ）A ．a b a b -<-B ．a b a b -<+C ．a b a b +>-D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=， 则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 4．关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； （2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数； （4）()y f x =是偶函数且有最小值． 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误； （2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确； （3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误； （4） 由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确； 故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.二、填空题5．设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B =___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B x x =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞，{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 6．幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值. 【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a = 解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.7．不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞. 故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞.8．已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--9．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =， ∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-， ∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-. 故答案为：2-. 10．若a()2log 21a a +的值是________．【答案】1- 【分析】(1,2)=，即可得a =数运算的性质求值即可. 【详解】(1,2)=，知：1a =-=，即2a =，1212a +==∴()2log 211a a +==-=-. 故答案为：1-.11．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x +=-15，变形为()21212815x x x x +=-，根据方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，得到212121+1,14x x k x x k =+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ， 所以212121+1,14x x k x x k =+⋅=+， 因为2212126x x x x +=-15， 所以()21212815x x x x +=-，()221181154k k ⎛⎫+=⨯+- ⎪⎝⎭，即()()240k k +-=， 解得4k =或2k =-（舍去） 故答案为：412．若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________． 【答案】[]1,0-【分析】讨论0m =、0m ≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m 取值即可.【详解】当0m =时，()1f x x =--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m ≠时，()221(1)()24m m f x m x m m-+=+-， ∴112m m -≤-，即102mm+≤，可得10m -≤<， 综上，有10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-.13．若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，[)0,4a ∈. 故答案为：[)0,4.14．已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥ 若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<. 故答案为：[0,1).15．设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________． 【答案】(,1)(5,)-∞+∞【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >. 故答案为：(,1)(5,)-∞+∞.16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________． 【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+， ∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.三、解答题17．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【详解】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【解析】不等式选讲.18．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =. (1)由基本不等式及1ab =,有22a b ab +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 19．已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =； （2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性. 【详解】（1）因为()07f = 代入可得17a -=,解得6a =- 所以()363xxf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅= 化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330xx--= 解得3log 2x =或1x = （2）()33xxf x a -=-⋅则()33xxf x a --=-⋅当1a =时,()33xxf x -=-,()33xx f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知, 当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时, 函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-． （1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）， ∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． （2）设售价x （元）时总利润为z （元），∴2000200010200702z x x=---（） ，1002000?25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（ 元， 当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 1=2x 时，max ()=2g x . (3) 1(0,)16【详解】试题分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围. 试题解析：(1) 由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=. 当1x >时，()11=1x f x x x-=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=- ()()1221221211=x x x x x x --- 1212=x x x x -， 因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<， 所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩， 当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ； 当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭， 因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x时，()max =2g x ； 综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x . （3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈. 同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞. 方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=， 即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<， 所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

人教版高一数学上册期末考试试卷及答案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一数学上学期期末试卷含答案一、选择题1．设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{21}A x U x =∈-≥‖∣则UA（ ）A ．{13}xx <<∣ B ．{13}xx ≤≤∣ C ．{2}D ．{}1,2,3-2．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，3．若角β满足条件sin cos 0ββ<，且cos sin 0ββ-<，则β是第（ ）象限角 A ．一B ．二C ．三D ．四4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()1,2P --，则2sin sin 2αα+=（ ）A ．58B ．85C D5．已知函数()ln 3f x x x =+-，则()f x 的零点所在的大致区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +==（ ）A ．2B ．4C ．D ．7．若()f x 是奇函数，且在区间(0,)+∞上是增函数，(2)0f =，则2()0xf x ->的解集是（ ）A ．(2,0)(0,2)-B ．(,2)(0,2)-∞-⋃C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．31326t <≤ B ．32t >C ．31326t <≤或52t > D ．52t >二、填空题9．已知函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)2f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()11f -= B ．(0)0f = C ．(4)2f = D ．(10)2f = 10．21x ≤的一个充分不必要条件是（ ）A ．10x -≤<B ．1≥xC ．01x <≤D ．11x -≤≤11．若0a b >>，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A ．11b b a a +>+ B ．11a b a b+>+ C ．11a b b a+>+ D ．22a b aa b b+>+ 12．记函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线F ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线F 关于直线12x π=-对称D ．将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，得到曲线F 三、多选题13．设集合{}260,M xx mx x R =-+=∈∣，且{2,3}M M =，则实数m 的取值范围是____.14．已知实数x 、y ，正数a 、b 满足2x y a b ==，且213x y +=-，则1a b-的最小值为_________．15．已知函数f （x ）=2x ，1()()()g x f x f x =-，若1()(2)()(2)h x f x tg x f x =++（t 为实数）在（0，+∞）上有两个不同的零点x 1、x 2，则x 1+x 2的取值范围为_______16．如图，直线l 是函数y x =的图象，曲线C 是函数12log y x =图象，1P 为曲线C 上纵坐标为1的点．过1P 作y 轴的平行线交l 于2,Q 过2Q 作y 轴的垂线交曲线C 于2P ；再过2P 作y 轴的平行线交l 于点Q 3，过Q 3作y 轴的垂线交曲线C 于3P ；…设点123,,,,P P P n P 的横坐标分别为123,,,,.n x x x x 若201812log ,x a =则2020x =_____(用a 表示)四、解答题17．在“①A B =∅，②A B ⋂≠∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤． （Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数a 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．18．设函数()y f x =的表达式为()()2cos cos 3244f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中常数0>ω．（1）求函数()y f x =的值域； （2）设实数1x ，2x 满足122x x ππω-=<，若对任意x ∈R ，不等式()()()12f x f x f x ≤≤都成立，求ω的值以及方程1f x 在闭区间[]0,π上的解．19．已知函数3()1f x x =-. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性； （2）若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值. 20．如图，现有一块半径为2m ，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB 上任取一点P (异于A ､B )，过点P 分别作PC ､PD 平行于OB ､OA ，交OA ､OB 分别于C ､D 两点，记AOP α∠=.（1）当点P 位于何处时，使得平行四边形OCPD 的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）.（1）证明：()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）若()12f x =，()23f x =，()128f x x =，求a 的值； （3）x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，求a 的取值范围.22．已知{0M x R x =∈≠且}1x ≠，()(1,2)n f x n =是定义在M 上的一系列函数，满足：1()f x x =，()11()i i x f x f i N x ++-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（1）求()3f x ，()4f x 的解析式；（2）若()g x 为定义在M 上的函数，且1()1x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()22(21)2(1)()318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】先求出集合A ，再根据补集定义即可求出. 【详解】{0,1,2,3,4}U =，{}21={1A x U x x U x ∴=∈-≥∈≤或}{}30,1,3,4x ≥=，{}2U A ∴=.故选：C. 2．A 【分析】先根据函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，求出112x ≤+≤，再令1lg 2x ≤≤即可求求解. 【详解】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，， 所以112x ≤+≤， 所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，， 故选：A. 3．B 【分析】由sin cos 0ββ<可知sin ,cos ββ的值异号，再由cos sin 0ββ-<可知sin 0,cos 0ββ><，从而可判断其所在的象限 【详解】解：因为sin cos 0ββ<，所以sin ,cos ββ异号， 因为cos sin 0ββ-<，即cos sin ββ<， 所以sin 0,cos 0ββ><， 所以β是第二象限的角， 故选：B 4．B 【分析】先由正弦、余弦函数的定义得到sinαα==，再求值即可. 【详解】由正弦、余弦函数的定义有sin α==，cos α==， 所以2248sin sin 2sin 2sin cos 2((55ααααα+=+=+⨯⨯=. 故选：B.5．C 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断. 【详解】ln y x =和3y x =-都是增函数，所以()ln 3f x x x =+-是增函数，()120f =-<，()2ln 2230f =+-<，()3ln3330f =+->，()()230f f <，所以函数()f x 的零点在区间()2,3内. 故选：C 6．C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C 7．A 【分析】由题意，可知2()0xf x ->等价于2()0xf x <，然后结合函数的单调性与奇偶性分别讨论0x >与0x <的两种情况.【详解】由题意，()f x 是奇函数，所以2()0xf x ->等价于2()0xf x <，当0x >时，()0f x <，此时()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，所以解得02x <<；当0x <时，()0f x >，因为()f x 是奇函数，所以解得20x -<<，所以2()0xf x ->的解集为(2,0)(0,2)-.故选：A 8．C 【分析】根据题意得到31326t πππ<≤或52t ππ<，计算得到答案. 【详解】3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭则55,66x t t πππ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭函数有最小值也有最大值 则3133132626t t πππ<≤∴<≤或5522t t ππ<∴< 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.二、填空题9．CD 【分析】根据函数的周期，计算求值. 【详解】由条件()()3f x f x +=，可知函数的周期3T =， 因为()12f =，则()()4102f f ==. 故选：CD 10．AC 【分析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得： 选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件； 选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC. 11．AD 【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可． 【详解】解：对于A ，()()()()111111b a a b b b b aa a a a a a +-++--==+++0a b >>，所以0a b ->，所以()01b aa a -<+，所以11b b a a +<+，故选项A 一定不成立；对于B ，不妨取2a =，1b =，则11a b a b +>+，故选项B 可能成立； 对于C ，不妨取2a =，1b =，则11a b b a+>+，故选项C 可能成立； 对于D ，222(2)(2)02(2)(2)a b a a b b a a b b a a b b b a b b a b ++-+--==<+++，故22a b aa b b+<+，故选项D 一定不成立； 故选：AD ． 12．ABC 【分析】求出周期即可判断A ；由222232k x k πππππ-+≤-≤+求出单调性可判断B ；求出12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭即可判断C ；求出sin 2y x =平移后的解析式即可判断D. 【详解】函数()f x 的最小正周期为22ππ=，故A 选项正确； 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确； 由于sin 2sin 1121232f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是曲线F 的一条对称轴，故C 选项正确：sin 2y x =向右平移3π个单位长度得到2sin 2sin 233y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误. 故选：ABC.三、多选题13．({}5m ∈-【分析】 由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，按集合M 中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，又{}260,M x x mx x R =-+=∈，当M 是空集时，即方程260x mx -+=无解，则满足()2460m ∆=--⨯<，解得m -<<(m ∈-，此时显然符合题意；当M 中只有一个元素时，即方程260x mx -+=只有一个实数根，此时()2460m ∆=--⨯=，解得m =±x =x ={}2,3的子集中的元素，不符合题意，舍去； 当M 中有两个元素时，则2,3M，此时方程260x mx -+=的解为12x =，23x =，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故235m =+=；当5m =时，可解得2,3M ，符合题意.综上m 的取值范围为({}5m ∈-.故答案为：({}5m ∈-【点睛】方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.14．132-【分析】利用指数与对数的互化，换底公式以及对数的运算得出218a b =，可得出218a a a b-=-，利用二次函数的基本性质可求得1a b-的最小值.【详解】已知实数x 、y ，正数a 、b 满足2x y a b ==，则log 2a x =，log 2b y =，由换底公式可得()2222212log log log 3a b a b x y +=+==-，可得218a b =，则218a b=，因为0a >，则22111188163232a a a a b ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当116a =时，等号成立，因此，1a b -的最小值为132-.故答案为：132-. 【点睛】关键点点睛：本题考查代数式最值的求解，解题的关键就是利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算得出a 、b 所满足的关系式，再结合函数的基本性质来求解.15．(()2log 2,+∞【分析】通过换元将方程转化为一元二次方程的问题，利用韦达定理建立两根的等量关系，再利用基本不等式建立不等式关系求范围. 【详解】令()0h x =，则221122022xx x xt ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，即211222022x x x x t ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令122x x m =-，则220m tm ++=，因为函数122x x y =-在()0,∞+单调递增，所以m 与x 一一对应，所以220m tm ++=有两个不相等的实数根12,m m ，由韦达定理知122m m =，所以12121122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得1212122112222222x x x x x x x x ++⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，所以122122222x x x x +>，所以121212222x x x x +++->，令1220x x n +=>，则2410n n -+>，解得2n >1222x x +>(122log 2x x +>.故答案为：(()2log 2,+∞. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 16．12a⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，，所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由201812log ,x a =则21log 201912ax a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而可得答案.【详解】1P 为曲线C 上纵坐标为1的点，则11,12P ⎛⎫⎪⎝⎭ 过1P 作y 轴的平行线交l 于2,Q 则21122Q ⎛⎫⎪⎝⎭，过2Q 作y 轴的垂线交曲线C 于2P ，设2212P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则1221log 2x =，则12212x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221122P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 过2P 作y 轴的平行线交l 于3,Q 则112231122Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 过3Q 作y 轴的垂线交曲线C 于3P ，设123312P x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则121321log 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1212312x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，， 所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭由201812log ,x a =则21log 201912ax a ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以201920201122a ax ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：12a⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推公式的推导，解答本题的关键是先计算出点123,,,P P P 的坐标得出一般的处理方法，再设()n n n P x y ，，过n P 作y 轴的平行线交l 于1,n Q +则()1n n n x Q x +，过1n Q +作y 轴的垂线交曲线C 于1n P +，则()11n n n x P x ++，，所以12+1log n n x x =，即+112nx n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于中档题.四、解答题17．（1）{|31}x x -<≤；（2）若选①，(,1][2,)-∞-+∞；若选②，()1,2- 【分析】（1）由0a =得到{|31}A x x =-<<，然后利用并集运算求解.（2）若选A B =∅，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解； 若选A B ⋂≠∅，则由23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩求解. 【详解】（1）当0a =时，{|31}A x x =-<<，{|01}B x x =<≤； 所以{|31}A B x x =-<≤ （2）若选①，A B =∅，当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥， 当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-，综上：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞． 若选②，A B ⋂≠∅，则23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，即421a a a <⎧⎪<⎨⎪>-⎩，解得：1a 2-<<， 所以实数a 的取值范围()1,2-． 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.18．（1）[]2,2-；（2）1ω=，0x =或 3x π=或x π=.【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简得()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而可求出函数的值域；（2）对任意x ∈R ，不等式()()()12f x f x f x ≤≤都成立，可得()12f x =-，()22f x =，从而可得112262x k ππωπ+=-，222262x k ππωπ+=+，12,k k Z ∈，再由122x x ππω-=<可求出1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解方程使其解在区间[]0,π上即可【详解】 （1）()()()()2sin cos 22cos 22sin 2446f x x x x x x x πππωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()[]2sin 22,26f x x πω⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的值域[]2,2-；（2）对任意x ∈R ，不等式()()()12f x f x f x ≤≤都成立，()12f x =-，()22f x = 所以112262x k ππωπ+=-，222262x k ππωπ+=+，12,k k Z ∈ 所以()1212122222222k k k k x x πππππππωωω-----===<，可得12222k k -=，1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2sin 216f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以266x ππ+=或 5266x ππ+=或 13266x ππ+=，即0x =或 3x π=或x π=所以方程1f x在闭区间[]0,π上的解为0x =或 3x π=或x π=19．（1）图象见解析，证明见解析；（2）最大值为3，最小值为12. 【分析】（1）画出()f x 图象，利用定义法，证明()()120f x f x ->，结合()f x 的定义域，证得()f x 的单调区间.（2）结合()f x 的单调性来求得()f x 在区间[]2,7上的最大值和最小值. 【详解】（1）()f x 的图象如下图所示：()f x 的定义域为{}|1x x ≠，当1x <时，任取121x x <<，()()()()211212123331111x x f x f x x x x x --=-=⨯----，其中21120,10,10x x x x ->-<-<，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在区间(),1-∞上递减. 同理可证得()f x 在区间()1,+∞上递减. （2）由（1）得()f x 在区间[]2,7上递减， 所以2x =时，()f x 取得最大值为3321=-， 当7x =时，()f x 取得最小值为31712=-. 20．（1）点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 83；（223【分析】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，从而可得PH =2sin α，OH =2cos α，43sin PC α=23sin CH α=，得出23sin 2cos OC OH CH αα=-=（1）平行四边形OCPD 的周长为f (α) 83sin 33πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. （2）4323()sin 2363S OC PH παα⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，因为OP =2，∠AOP =α，则PH =2sin α，OH =2cos α，2sin 43sin sin3PC ααπ=，123sin 2CH PC α== 所以23sin 2cos OC OH CH αα=-= （1）设平行四边形OCPD 的周长为f (α)， 则43sin 83sin 43sin ()2()4cos 4cos f OC PC αααααα=+=833πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为点P 异于A ､B 两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 83. （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则23sin ()2cos 2sin S OC PH αααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭243sin 4sin cos ααα=23(1cos 2)2sin 2αα-=432326πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<， 所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD21．（1）见详解；（23）(]1,11,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数解析式，直接作差比较()()1222f x f x +与()122f x x +的大小，即可证明结论成立；（2）根据题中条件，由指数幂运算性质，直接计算，即可得出结果； （3）先由不等式恒成立，得到x ∀∈R ，212x xx a -+≤恒成立；不等式两边同时取对数，得到x ∀∈R ，22log 1x a x x ≤-+恒成立，讨论0x =，0x >，0x <三种情况，分别求出对应的a 的范围，再求交集，即可得出结果.【详解】（1）因为()xf x a =，所以()()()()111222222121222220x x x x x x f x f x f x x a a a a a ++-+=+-=-≥显然恒成立， 所以()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）由()12f x =，()23f x =得1223x x a a ⎧=⎨=⎩，所以()212122x x x x x a a ==，又()1221228x x xf x x a ===，所以23x =，则233x a a ==，因此a =（3）若x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，即x ∀∈R ，212x xx a -+≤恒成立；则x ∀∈R ，2122log log 2x xx a -+≤恒成立，即x ∀∈R ，22log 1x a x x ≤-+恒成立，当0x =时，不等式可化为01<，显然恒成立；所以0a >，且1a ≠；当0x >时，不等式可化为21log 1a x x ≤+-，而1111y x x =+-≥=在0x >上恒成立，当且仅当1x =时，取等号；所以只需2log 1a ≤，解得12a <≤或01a <<； 当0x <时，不等式可化为21log 1a x x≥+-，而()111113y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+-=--+--≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在0x <上恒成立，当且仅当1x =-时，取等号；所以只需2log 3a ≥-，解得118a ≤<或1a >，综上，118a ≤<或12a <≤，即a 的取值范围是(]1,11,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于将不等式两边同时取对数，化为22log 1x a x x ≤-+恒成立，再对x 分段讨论，求解a 的范围，即可得解.22．（1）23411),1()(()f x f x x xx x f -=-==。

上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（12分×5=60分）1．设集合x x M ≤-=4|{<2}，集合xx N 3|{=<}91，则N M 中所含整数的个数为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）A.1y x -= B.ln y x = C.||y x = D.3y x =3.设8.012.1og a =，8.017.0og b =，8.02.1=c ,则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.c a b <<4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m m αβαβ若则‖‖‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m n m nαα⊥⊥若则‖5．两条直线3)1(:1=++y a ax l ，2)23()1(:2=-++y a x a l 互相垂直，则a 的值是A ．3B ．1-C ．1- 或3D ．0 或 36．若函数⎩⎨⎧≥-<+-=)0()24()0()(2x a x a ax x x f x是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A.)2,0[B.)2,23( C.]2,1[ D.]1,0[7已知a ,b ,c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，若点),(n m M 在直线03:=++c by ax l 上，则22n m +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．98.如图，在棱长为4的正四面体A­BCD 中，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题： ①BC ⊥平面AMD ；②Q 点一定在直线DM 上； ③VC­AMD＝4 2.其中正确命题的序号是( )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知圆1)2()(:221=-++y a x C 与圆4)2()(:222=-+-y b x C 相外切, ,a b 为正实数,则ab 的最大值为 （ ）A. 23B.94 C. 32 D. 6210.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(]0-，∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()210f x ->解集为（ ）A ．()()6,01,3-B ．()(),01,-∞+∞ C.()(),13,-∞+∞ D ．()(),13,-∞-+∞11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的 外接球表面积为A ．29πB ．30π C.29π2 D ．216π12．已知幂函数2422)1()(+--=m m xm x f 在()0,+∞上单调递增，函数t x g x-=2)(，)6,1[1∈∀x 时，总存在)6,1[2∈x 使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ）A ．∅B ．128≤≥t t 或C ．128<>t t 或D ．128t ≤≤二、填空题（4分×5=20分）13.函数1()lg(5)2=+--f x x x 的定义域为 ． 14．点A(1，a,0)和点B(1－a,2,1)的距离的最小值为________．15.三条直线12110230,50l x y l x y l x my +-=-+=--=:，::围成一个三角形，则m 的取值范围是 . 16. 已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数构成的集合为 .三、解答题（10分+12分×5=70分）17．集合(]2,3A =,()1,3B =,[),C m =+∞,全集为R . (1)求()R C A B ;(2)若()A B C ≠∅,求实数m 的取值范围.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，PA =E ，F 分别为BC ，PA （1）求证：//BF 面PDE ； （2）求点C 到面PDE 的距离．19．已知函数()4f x x x=+(1) 用函数单调性的定义证明()x f 在区间[)2,+∞上为增函数 (2) 解不等式:()()2247f x x f -+≤20．已知圆M 上一点A (1，－1)关于直线y x =的对称点仍在圆M 上，直线10x y +-=截得圆M 14(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线20x y ++=上的动点，PE PF 、是圆M 的两条切线，E F 、为切点，求四边形PEMF 面积的最小值．21. 如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD=1，求三棱锥A ﹣BFE 的体积．22.已知函数112()log x x f x -+=,()31g x ax a =+-,()()()h x f x g x =+.(1)当1a =时,判断函数()h x 在(1,)+∞上的单调性及零点个数;(2)若关于x 的方程2()log ()f x g x =有两个不相等实数根,求实数a 的取值范围.上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（12分×5=60分）1．设集合x x M ≤-=4|{<2}，集合xx N 3|{=<}91，则N M 中所含整数的个数为( C ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ D ）A.1y x -= B.ln y x = C.||y x = D.3y x =3.设8.012.1og a =，8.017.0og b =，8.02.1=c ,则a ，b ，c 的大小关系是（ A ）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.c a b <<4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m m αβαβ若则‖‖‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m n m nαα⊥⊥若则‖5．两条直线3)1(:1=++y a ax l ，2)23()1(:2=-++y a x a l 互相垂直，则a 的值是 (C)A ．3B ．1-C ．1- 或3D ．0 或 36．若函数⎩⎨⎧≥-<+-=)0()24()0()(2x a x a ax x x f x是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是（ B ）A.)2,0[B.)2,23( C.]2,1[ D.]1,0[7已知a ,b ,c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，若点),(n m M 在直线03:=++c by ax l 上，则22n m +的最小值为（ D ）A ．2B ．3C ．4D ．98.如图，在棱长为4的正四面体A ­BCD 中，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题： ①BC ⊥平面AMD ；②Q 点一定在直线DM 上； ③V C ­AMD ＝4 2.其中正确命题的序号是( A )．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知圆1)2()(:221=-++y a x C 与圆4)2()(:222=-+-y b x C 相外切, ,a b 为正实数,则ab 的最大值为 （ B ）A. 23B.94 C. 32 D. 6210.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(]0-，∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()210f x ->解集为（ B ）A ．()()6,01,3-B ．()(),01,-∞+∞ C.()(),13,-∞+∞ D ．()(),13,-∞-+∞11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的 外接球表面积为AA ．29πB ．30π C.29π2 D ．216π12．已知幂函数2422)1()(+--=m m xm x f 在()0,+∞上单调递增，函数t x g x-=2)(，)6,1[1∈∀x 时，总存在)6,1[2∈x 使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ D ）A ．∅B ．128≤≥t t 或C ．128<>t t 或D ．128t ≤≤二、填空题（4分×5=20分）13.函数1()lg(5)2=+--f x x x 的定义域为 (2,5) ． 14．点A(1，a,0)和点B(1－a,2,1)的距离的最小值为___3_____．15.三条直线12110230,50l x y l x y l x my +-=-+=--=:，::围成一个三角形，则m 的取值范围是 1,4,2m ≠-- .16. 已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数构成．．的集合为．．．．{}2,3,4,5,6,8三、解答题（10分+12分×5=70分）17．集合(]2,3A =,()1,3B =,[),C m =+∞,全集为R .(1)求()R C A B ;(2)若()AB C ≠∅,求实数m 的取值范围.17解：（1）(]1,2,（2）3m ≤18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，PA =E ，F 分别为BC ，PA （1）求证：//BF 面PDE ； （2）求点C 到面PDE 的距离．18.解（1）如图所示，取PD 中点G ，连结GF ，GE ，∵E ，F 分别为BC ，PA 的中点，∴可证得//FG BE ，FG BE =，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴//BF EG ，又∵EG ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴ //BF 面PDE ；（2）∵P CDE C PDE V V --=，∴11213372CDE CDE PDE PDE S PA S PA S h h S ∆∆∆∆⨯⨯=⨯⇒=== 19．已知函数()4f x x x=+(1) 用函数单调性的定义证明()x f 在区间[)2,+∞上为增函数 (2) 解不等式:()()2247f x x f -+≤19解: (1) 略(2) 2242x x -+≥, 所以2247x x -+≤[]1,3x ⇒∈-20．已知圆M 上一点A (1，－1)关于直线y x =的对称点仍在圆M 上，直线10xy +-=截得圆M (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线20x y ++=上的动点，PE PF 、是圆M 的两条切线，E F 、为切点，求四边形PEMF 面积的最小值．20．解 (1)圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2) |PM |min ＝22,得|PE |min ＝2.知四边形PEMF 面积的最小值为4.21. 如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD=1，求三棱锥A ﹣BFE 的体积．21解：（1）证明：在图甲中，∵AB=BD ，且∠A=45°， ∴∠ADB=45°，∠ABC=90° 即AB ⊥BD ．在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD ∩平面BDC=BD ， ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．又∠DCB=90°， ∴DC ⊥BC ，且AB ∩BC=B ，∴DC ⊥平面ABC ． （2）31222.已知函数112()log x x f x -+=,()31g x ax a =+-,()()()h x f x g x =+.(1)当1a =时,判断函数()h x 在(1,)+∞上的单调性及零点个数;(2)若关于x 的方程2()log ()f x g x =有两个不相等实数根,求实数a 的取值范围.22解:(1)在(1,)+∞上为增函数，22(1.1) 3.3log 210,(2)6log 30h h =-<=->，所以有一个零点.(2) 方程2()log ()f x g x =化简为2(31)(1)x x a -=-+,画图可知24a->,解得a 的取值范围是1(,0)2-.。

高一数学试卷（人教版）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{lg 0},{0,1,2,3} A xx B =>=∣，则A B =（ ）A ．{2,3}B ．{1,2,3}C ．(1,)+∞D ．(2,3)2.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ） A ．1213-B ．513-C ．1213D ．1253.已知13x x -+=，则22x x -+=（ ）A ．3B ．5C ．7D ．94. 已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2+3πα⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．23-C ．23D ．795．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．3π-B. 6π- C ．6πD.3π6．已知cos1a =，2(log sin1)b =，cos12c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>7. 设()f x 是定义在R 上的函数且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，2()20221xf x =+，则(2022)f =（ ） A ．2022 B ．2023C ．2021D ．08．若函数()f x 图象上存在不同两点,M N 关于原点对称，则称点对[],M N 是函数()f x 的一对“和谐点对”（点对[],M N 与[],N M 看作同一对“和谐点对”），已知函数()lg(),0sin ,0x x f x x x --<⎧=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0＜1C. yx＞1D. yx16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a，设a∈R．2x+1（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x）|成立，其中k为正（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2整数，求k的值．2020-2021学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{2，5}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-1，1，2，5}，B={x|2≤x≤6}，∴A∩B={2，5}．故答案为：{2，5}．【点评】：本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，0分）函数y=lg（2-x）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2）【解析】：直接由对数式的真数大于0求解一元一次不等式得答案．【解答】：解：由2-x＞0，得x＜2．∴函数y=lg（2-x）的定义域是（-∞，2）．故答案为：（-∞，2）．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.（填空题，0分）已知a＞0，b＞0，化简：4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)=___ ．【正确答案】：[1] −6b 1 6【解析】：利用指数的性质、运算法则直接求解．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，∴ 4a 23b2(a 16b56)(−23a12b)= −6a23−16−12b2−56−1 =-6 b16．故答案为：-6 b 1 6．【点评】：本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，0分）已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，则1α+1β=___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：利用一元二次方程根与系数的关系可得答案．【解答】：解：已知α、β是方程2x2+4x-3=0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：α+β=-2，αβ=- 32；则1α+1β= α+βαβ= −2−32= 43．故答案为：43．【点评】：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．5.（填空题，0分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），若函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则f(2√2) =___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：根据题意得到log a4=2，然后求出a，再求出f(2√2)的值．【解答】：解：∵f（x）=log a x的图象经过点（4，2），∴log a4=2，∴a2=4，且a＞0，∴a=2，∴ f(2√2)=log2232=32．故答案为：32．【点评】：本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．6.（填空题，0分）设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，结合f（x+2）=-f（x）可得f（-2）=-f（-2+2）=f（0），即可得答案．【解答】：解：根据题意，y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，又由f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=-f（-2+2）=f（0）=0，故答案为：0．【点评】：本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．7.（填空题，0分）若a，b都是正数，且a+b=1，则（a+1）（b+1）的最大值___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：先利用基本不等式可得ab≤14，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】：解：∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴ 1=a+b≥2√ab，即ab≤14，当且仅当a=b时取等号，∴ (a+1)(b+1)=ab+1+1≤14+2=94，即（a+1）（b+1）的最大值为94．故答案为：94．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．8.（填空题，0分）已知函数y1=k（x-3），y2=x a的图象如图所示，则不等式y1y2≥0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（0，3]【解析】：利用数形结合对x分段讨论即可求解．【解答】：解：由图象可得：当x＜0时，y1y2＜0，当x=0时，y1y2无意义，当0＜x＜3时，y1y2＞ 0，当x=3时，y1y2=0，当x＞3时，y1y2＜0，综上，y1y2≥0的解集为（0，3]，故答案为：（0，3]．【点评】：本题考查了函数的图象的问题，考查了学生的数形结合思想的能力，属于基础题．9.（填空题，0分）关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：由绝对值三角不等式即可求得a的取值范围．【解答】：解：|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3，因为关于x的不等式|x+2|-|x-1|≤a的解集为R，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，属于基础题．10.（填空题，0分）已知函数y=a•b x+c（b＞0，b≠1）（x∈[0，+∞））的值域为[-1，2），则该函数的一个解析式可以为y=___ ．【正确答案】：[1]-3• (12)x+2【解析】：根据题意求出a、c的值，再判断b的取值范围，即可写出函数的一个解析式．【解答】：解：函数y=a•b x+c中，x∈[0，+∞）的值域为[-1，2），所以x=0时，y=a+c=-1；x→+∞时，y=a•0+c=2，所以c=2，a=-3，且b∈（0，1），所以该函数的一个解析式可以为y=-3• (12)x+2．故答案为：-3• (12)x+2．【点评】：本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11.（填空题，0分）若函数y=k|x|与y=2|log2(x+1)|的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]{4}【解析】：作出两函数的图象，当x≥0时，k＞1，在[0，+∞）上有一个交点，只需当x＜0时两函数图象有且只有一个交点，最后根据一元二次方程只有一个根建立关系式，从而可求出所求．【解答】：解：由 y =2|log 2(x+1)| 得 y ={1x+1，−1＜x ＜0x +1，x ≥0，由y=k|x|得 y ={−kx ，x ＜0kx ，x ≥0 ，作出两函数的图象如下图：当x≥0时，k ＞1，在[0，+∞）上有一个交点，而函数y=k|x|与 y =2|log 2(x+1)| 的图象恰有两个公共点， 所以当x ＜0时两函数图象有且只有一个交点，即y=-kx 与y= 1x+1相切， 即-kx=1x+1（x ＜0），即kx 2+kx+1=0，Δ=k 2-4k=0，解得k=4或0（舍去） 所以实数k 的取值范围为{4}． 故答案为：{4}．【点评】：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题．12.（填空题，0分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（2，1），（2，3），（-2，4），（4，5），（6，6）为垃圾回收点，请确定一个格点 ___ （除回收点外）为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短． 【正确答案】：[1]（2，4）【解析】：首先表示横轴和纵轴方向的距离之和，再根据含有绝对值的三角不等式进行求解最值，即可得到答案．【解答】：解：设格点的坐标为（x，y），则-2≤x≤6，1≤y≤6，根据含有绝对值三角式|a|+|b|≥|a-b|可得横轴方向距离和为d（x）=2|x+2|+2|x-2|+|x-4|+|x-6|=（|x+2|+|x-6|）+（|x+2|+|x-4|）+2|x-2|≥|（x+2）-（x-6）|+|（x+2）-（x-4）|+2×0=14，此时d（x）的最小值时14，此时三个等号成立的条件是-2≤x≤6，-2≤x≤4，x=2，所以x=2时，d（x）的最小值时14，纵轴方向的距离和为f（y）=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|≥|（y-1）-（y-6）|+|（y-2）-（y-5）|+|（y-3）-（y-4）|=9，此时d（y）的最小值是9，三个等号成立的条件是1≤y≤6，2≤y≤5，3≤y≤4，即y=3或4，当y=3时，此时格点的位置是（2，3），是垃圾回收点，故舍去；当y=4时，此时格点的位置是（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】：本题是具有实际应用背景的习题，涉及了含有绝对值问题的求解，解题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离进行研究，属于中档题．13.（单选题，0分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A.y=x2B.y=2xC.y=lnxD.y=x+ 1x【正确答案】：B【解析】：根据函数性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答】：解：y=x2≥0，即函数的值域为[0，+∞），不满足条件．y=2x＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y=lnx的值域为R，不满足条件．当x＜0时，y＜0，则函数的值域不是（0，+∞），不满足条件．故选：B．【点评】：本题主要考查函数值域的判断，结合函数的值域性质是解决本题的关键，是基础题．14.（单选题，0分）用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为（）A.a、b都能被5整除B.a、b不都能被5整除C.a、b至多有一个能被5整除D.a、b至少有一个都能被5整除【正确答案】：D【解析】：根据用反证法证明数学命题的方法，命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，从而得出结论．【解答】：解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”，故选：D．【点评】：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．15.（单选题，0分）若实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，则（）A.x-y＜0B.x-y＞0C. y＜1xD. y＞1x【正确答案】：A是R 【解析】：条件即2020x-2021-x＜2021y-2021-y，由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t上的增函数，f（x）＜f（y），可得结论．【解答】：解：实数x、y满足2020x-2020y＜2021-x-2021-y，∴2020x-2021-x＜2021y-2021-y，是R上的增函数，f（x）＜f（y），由于f（t）=2020t-2021-t=2020t- 12021t∴x＜y，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．16.（单选题，0分）对于定义在R上的函数y=f（x），考察以下陈述句：q：y=f（x）是R上的严格增函数；p1：任意x1，x2∈R，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，都有f（x）＞0；p2：当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2．关于以上陈述句，下列判断正确的是（）A.p1、p2都是q的充分条件B.p1、p2中仅p1是q的充分条件C.p1、p2中仅p2是q的充分条件D.p1、p2都不是q的充分条件【正确答案】：B【解析】：根据函数的奇偶性与单调性的定义判定函数的性质，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】：解：对于p1：令x1=x2=0，则f（0）=2f（0），所以f（0）=0；令x1=x，x2=-x，则f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，所以此函数为奇函数；设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1），因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在R上单调递增，故p1是q的充分条件；对于p2，不能表示任意性，不符合单调性的定义，故p2不是q的充分条件；综上所述，p1、p2中仅p1是q的充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数的单调性，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．≥0}，B={x∈R|x2-2（a+1）x+a（a+2）≤0}．17.（问答题，0分）已知集合A={x| x−21+x（1）当a=1时，求A∩B；（2）若B⊂ A，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）把a的值代入集合B解出集合B，再解出集合A，即可求解；（2）分别解出集合A的补集，以及集合B，根据集合的包含关系即可求解．【解答】：解：（1）当a=1时，B={x|x2-4x+3≤0}=[1，3]，A={x|x≥2或x＜-1}，所以A∩B=[2，3]，（2）A=[−1，2)，B=[a，a+2]，因为B ⊂A，则{a≥−1a+2＜2，解得-1≤a＜0，即实数a的取值范围为[-1，0）．【点评】：本题考查了集合间的交并补运算以及集合间的包含关系，涉及到解分式不等式以及一元二次不等式，考查了学生的运算能力，属于基础题．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1，设a∈R．（1）是否存在a，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，判断函数y=f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）利用函数为奇函数，则有f（0）=0，求出a的值，再利用奇函数的定义进行检验即可；（2）求出当a=0时f（x）的解析式，然后利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）= 2x+a2x+1，定义域为R，且为奇函数，所以f（0）=0，即1+a1+1=0，解得a=-1，经检验，此时对任意的x都有f（-x）=-f（x），故存在a=1，使y=f（x）为奇函数；（2）当a=0时，f(x)=2x2x+1=1−12x+1，函数f（x）在R上为单调递增函数，证明如下：设x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(1−12x1+1)−(1−12x2+1)= 12x2+1−12x1+1=2x1−2x2(2x2+1)(2x1+1)，因为x1＜x2，所以2x1−2x2＜0，(2x2+1)(2x1+1)＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上为单调递增函数．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数奇偶性的应用、函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数的性质并能够进行灵活的运用，属于中档题．19.（问答题，0分）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ 8x （千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元），1≤x≤30，x∈N．（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用题意得到p（x）=f（x）g（x），然后去掉绝对值化为分段函数表示即可；（2）分类讨论，分别利用基本不等式和函数的单调性求解分段函数两段的最值，分别比较即可得到答案．【解答】：解：（1）根据题意可得，p（x）=f（x）•g（x）= (8+8x)(143−|x−22|) ={8x+968x+976，1≤x≤22，x∈N∗−8x+1320x+1312，22＜x≤30，x∈N∗；（2）① 当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）= 8x+968x +976≥2√8x•968x+976=1152，当且仅当x=11时取等号，所以p（x）min=p（11）=1152，② 当22＜x≤30，x∈N*时，p(x)=−8x+1320x+1312在（22，30]上单调递减，所以p（x）min=p（30）=1116，又1152＞1116，所以日最低收入为m=1116千元，又0.3m=33.48千元＞30千元，所以该园区能收回投资成本．【点评】：本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了分段函数的应用、基本不等式求最值的应用、函数单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型进行研究，属于中档题．20.（问答题，0分）已知f（x）=x2-2ax+5，a∈R．（1）当a=3时，作出函数y=|f（x）|的图象，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，直接写出m的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（3）若y=f（x）是（-∞，2]上的严格减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总|f（x1）-f （x2）|≤4，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入a的值，画出函数y=|f（x）|的图象，结合图象求出m的范围即可；（2）根据一元二次函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴x=a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求出值域．（3）由于要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，则必有[f（x）]max-[f （x）]min≤4，即因此需求出函数在[1，a+1]上的最大最小值．【解答】：解：（1）a=3时，f（x）=x2-6x+5，画出函数y=|f（x）|的图象，如图示：，若关于x的方程|f（x）|=m有四个解，则0＜m＜4，即m∈（0，4）；（2）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]是单调减函数，∴f（x）的最大值为f（1）=6-2a，f（x）的最小值为f（a）=5-a2，∴6-2a=a，且5-a2=1，∴a=2．（3）函数f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+5-a2，开口向上，对称轴为x=a，∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1≥3，f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，f（x）在x=a处取得最小值，f（x）min=f（a）=5-a2，f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=6-2a，∴5-a2≤f（x）≤6-2a，∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，∴6-2a-（5-a2）≤4，解得：-1≤a≤3；综上：2≤a≤3．【点评】：本题考查二次函数的最值问题，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键，此题是一道函数的恒成立问题，第二问难度比较大，充分考查了函数的对称轴和二次函数的图象问题，是中档题．21.（问答题，0分）已知f（x）=log2x．（1）若log516=m，试用m表示f（10）；（2）若g(x)=2f(x)+f(1x+t)，函数y=g（x）只有一个零点，求实数t的取值范围；（3）若存在正实数a、b（a≠b），使得|f（a）|=|f（b）|=|f（√k(a+b)2）|成立，其中k为正整数，求k的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用换底公式得到log25= 4m，化简f（10）=log210=1+log25，即可得出答案．（2）方程转化为若x+tx2=1，讨论参数t的值得解．（3）利用已知和函数单调性得到ab=1，把等式转化为√k（a2+1）=2a2，对k取值讨论得解．【解答】：解：（1）因为log516=m，所以log216log25 =m，即4log25=m，所以log 25= 4m ，所以f （10）=log 210=1+log 25=1+ 4m ．（2）g （x ）=2f （x ）+f （ 1x +t ）=2log 2x+log 2（ 1x +t ）=log 2（ 1x +t ）x 2=log 2（x+tx 2）， 令g （x ）=log 2（x+tx 2）=0，所以x+tx 2=1（x ＞0，t+ 1x ＞0）只有一个正根，当t=0时，x=1满足题意，当t ＞0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上单调递增，且h （0）=-1＜0，所以满足题意有一个正根，当t ＜0时，h （x ）=tx 2+x-1的对称轴为x=- 12t ＜0，所以h （x ）=tx 2+x-1在（0，+∞）上不单调，若有一个正根，则Δ=1+4t=0，解得t=- 14 ，综上，m 的取值范围为{- 14 }∪[0，+∞）．（3）f （x ）=log 2x ，因为a≠b ，|f （a ）|=|f （b ）|，所以f （a ）=-f （b ），所以f （a ）+f （b ）=0，即log 2ab=0，解得ab=1，|f （a ）|=|f （b ）|=|f （√k (a+b )2 ）|， 不妨设 √k (a+b )2 =a= 1b， 所以 √k （a+b ）=2a ，所以 √k （a+ 1a ）=2a ，即 √k （a 2+1）=2a 2，当k=1时，a 2+1=2a 2，所以a=1，此时b=1与已知矛盾，舍去，当k=2时， √2 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √2 ）a 2= √2 ，此时a 有正解，满足题意， 当k=3时， √3 （a 2+1）=2a 2，所以（2- √3 ）a 2= √3 ，此时a 有正解，满足题意， 当k≥4时， √k （a 2+1）=2a 2，所以（2- √k ）a 2= √k ，此时2- √k ≤0无解，不满足题意， 综上得k=2或k=3．【点评】：本题考查函数的性质，零点，参数的取值，属于解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．4.（填空题，0分）设a＞0且a≠1，b＞0，若log a b•log5a=3，则b=___ ．5.（填空题，0分）函数y=x2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．6.（填空题，0分）不等式log2x+2x＜2的解集为 ___ ．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（-1）的值为___ ．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f （ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．12.（填空题，0分）设f（x）=x-1，g（x）=- 4x ，若存在x1，x2，…，x n∈[ 14，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n-1）+g（x n）=g（x1）+g（x2）+…+g（x n-1）+f（x n）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=016.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件17.（问答题，0分）设m为实数，f（x）=（m2-m-1）x-2m，已知幂函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f（x）＞x13的x的取值范围．18.（问答题，0分）设f（x）=2x+a•2-x，其中a∈R．（1）若函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入aa+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每（单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．f(b)=2f(a+b2（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x实数k的取值范围．2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．【正确答案】：[1]{1，3}【解析】：利用补集定义直接求解．【解答】：解：∵全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，2}，∴ A ={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】：本题考查了补集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-3，2）【解析】：把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式组{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，求出解集即可．【解答】：解：不等式2−xx+3＞0可化为{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，解得-3＜x＜2，或∅；∴不等式的解集为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式（组），求出解集即可，是基础题．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥-2且x≠1}【解析】：由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】：解：由题意，要使函数有意义，则 {x −1≠0x +2≥0， 解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．【点评】：本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．4.（填空题，0分）设a ＞0且a≠1，b ＞0，若log a b•log 5a=3，则b=___ ．【正确答案】：[1]125【解析】：利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【解答】：解：∵log a b•log 5a=3，∴ lgb lga • lga lg5 =3，∴ lgb lg5 =3，∴lgb=3lg5=lg125，∴b=125，故答案为：125．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则及换底公式的应用，属于基础题．5.（填空题，0分）函数y=x 2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．【正确答案】：[1]- √x +1 ，x∈（-1，+∞）【解析】：由y=x 2-1，x∈（-∞，0）知y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，得其反函数．【解答】：解：由y=x²-1，x∈（-∞，0），可得y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，可得其反函数为y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．故答案为：y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．【点评】：本题考查反函数的定义，属于基础题．6.（填空题，0分）不等式log 2x+2x ＜2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：可设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞），判断f（x）的单调性，求出f（x）的零点，从而求出不等式的解集．【解答】：解：由题意，设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞）；则f（x）在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f（1）=log21+2-2=0，所以f（x）在定义域（0，+∞）有唯一的零点是1，所以f（x）＜0的解集为（0，1），即不等式log2x+2x＜2的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的应用问题，是基础题．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-1）∪（0，+∞）【解析】：直接利用指数函数的性质的应用求出结果、【解答】：解：由于2x∈（0，+∞），故2x-1∈（-1，0）∪（0，+∞）；12x−1∈(−∞，−1)∪(0，+∞)．故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：指数函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（-∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】：解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=-x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（-∞，0）递增，∴f（x）=-x2+m＜m，函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．【正确答案】：[1]e-x-1【解析】：根据题意，由已知可得将函数y=e x的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度，可得函数f（x）的解析式．【解答】：解：根据题意，函数y=2x的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y=e-x，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：y=e-（x+1）=e-x-1，即f（x）=e-x-1，故答案为：e-x-1．【点评】：本题考查函数解析式的计算，涉及函数图象的平移变换规律，属于基础题．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（-1）的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出b的值，利用函数的奇偶性将f（-1）转化为f（-1）=-f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】：解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=-1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x-1，∴f（-1）=-f（1）=-（2+2-1）=-3，故答案为：-3．【点评】：本题考查了奇函数的结论：f（0）=0的灵活应用，以及函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（-1）转化到已知条件上求解．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][- 32，12]【解析】：由题意可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即x-3≤ax+1≤3-x ，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，运用函数的单调性求得最值，即可得到a 的取值范围．【解答】：解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，由f （ax+1）≤f （2）对于任意x∈[1，2]恒成立，可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即-2≤ax+1≤2在x∈[1，2]恒成立，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，由y=- 3x 在x∈[1，2]上单调递增，可得y 的最大值为- 32 ；y= 1x 在x∈[1，2]上单调递减，可得y 的最小值为 12 ，则- 32 ≤a≤ 12 ，即实数a 的取值范围是[- 32 ， 12 ]．故答案为：[- 32 ， 12 ]．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设f （x ）=x-1，g （x ）=- 4x ，若存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：把已知等式变形，可得f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立，利用基本不等式求得f （x n ）-g （x n ）≥3，可得f （x n ）-g （x n ）≥3（n-1），由x n 的范围求得f （x n ）-g （x n ）∈[3， 654 ]，问题转化为3（n-1）≤ 654 ，由此即可求得正整数n 的最大值．【解答】：解：由题意知，存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立， 即f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立．而f （x n ）-g （x n ）= x n −1+4x n ≥2√x n •4x n −1=3 ， 当且仅当x n =2∈[ 14 ，4]时等号成立，又f（x1）-g（x1）+f（x2）-g（x2）+…+f（x n-1）-g（x n-1）=f（x n）-g（x n），∴f（x n）-g（x n）≥3（n-1），而x n∈[ 14，4]，即f（x n）-g（x n）∈[3，654]．∴仅需3（n-1）≤ 654成立即可，有n ≤7712，故正整数n的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解【正确答案】：C【解析】：利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即可得到结论．【解答】：解：因为函数y=f（x）有反函数为y=f-1（x），所以y=f（x）是一个单射函数，设其定义域为I，故若0∈I，设f（0）=a∈R，由函数定义知a有唯一值，故f-1（a）=0只有一实数a，若0∉I，f（0）无意义，故不存在x，使得f-1（x）=0，故方程f-1（x）=0无解，综上：f-1（x）=0至多有一个实数解，故选：C．【点评】：本题考查反函数的定义，考查分类讨论思想，属于基础题．14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab【正确答案】：C【解析】：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】：解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为1ab2＜1a2b⇔a＜b，故当a＜b时一定有1ab2＜1a2b；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；故选：C．【点评】：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【正确答案】：B【解析】：画满足条件的函数图象排除不正确的选项【解答】：解：首先，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，故A错误，B正确；其次，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＜0，但C都错误，D、根据零点存在定理，一定存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，所以D错误，故选：B．【点评】：本题主要考查函数零点存在定理，画函数的图象研究函数的性质是常见的方法，突出说明数形结合思想的重要性．16.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件【正确答案】：A【解析】：先由命题q1成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题p成立，再由命题q2成立时，利用单调性和函数零点，推出命题p成立，即得结果．【解答】：解：命题q1成立，即y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立，故取a＞0时，对任意的x∈R，x+a＞x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＞0 即0＜f（a），故f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x0）=0，故取a=x0＜0时，对任意的x∈R，x+a＜x，则f（x+a）＜f（x），f（a）=f（x0）=0，f （x+a）＜f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件．故选：A ．【点评】：本题考查充分条件与必要条件，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．17.（问答题，0分）设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，已知幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【正确答案】：【解析】：利用幂函数的定义和性质列方程组，求出m=-1．从而f （x ）=x 2，由此能求出满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【解答】：解：设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，∵幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，∴ {m 2−m −1=1，−2m ＞0，解得m=-1． ∴f （x ）=x 2，∵f （x ）＞ x 13 ，∴ x 2＞x 13，∴当x ＞0时，x ＞1；当x ＜0时，成立，∴满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查幂函数的运算，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，0分）设f （x ）=2x +a•2-x ，其中a∈R ．（1）若函数y=f （x ）的图像关于原点成中心对称图形，求a 的值；（2）若函数y=f （x ）在（-∞，2]上是严格减函数，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可知f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），从而可求得a的值；（2）由题意可得对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，从而可得2x1• 2x2＜a恒成立，求出2x1• 2x2的最大值，即可求解a的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，所以f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），即2-x+a•2x=-2x-a•2-x，即（a+1）（2x+2-x）=0，因为2x+2-x＞0，解得a=-1．（2）函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，所以对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，）＞0恒成立，即f（x1）-f（x2）=（2x1 - 2x2）（1- a2x12x2＜0恒成立，即2x1• 2x2＜a恒成立，由2x1 - 2x2＜0，知1- a2x12x2由于当x1＜x2≤2时，（2x1• 2x2）max＜16，所以a≥16，即a的取值范围是[16，+∞）．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据对数函数，指数函数的图象与性质求出A，B，再由子集的定义即可求解；（2）先得到2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，再求出g（x）=-x2+5x-3在1＜x＜3上的值域即可，【解答】：解：（1）A={x|y=f（x）}={x|y=lg（2a-x）}={x|x＜2a}，B={y|y=-2x，x≤0}={y|-1≤y＜0}，又B⊆A，∴2a≥0，∴a≥0，∴a的取值范围为[0，+∞）．（2）由C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}，得2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，设g（x）=-x2+5x-3，对称轴x= 52，则g（x）在（1，52）上单调递增，在（52，3）上单调递减，且g（52）= 134，g（1）=1，g（3）=3，若直线y=2a与函数g（x）=-x2+5x-3在（1，3）上恰有两个交点时，则3＜2a＜134，∴ 32＜a＜138．∴a的取值范围为（32，138）．【点评】：本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，也考查了集合的运算问题，二次函数求值域问题，属于中档题．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a （单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【正确答案】：【解析】：（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴ f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5万元．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，故f(x)=−14x+4√2x+250(20≤x≤180)．令t=√x∈[2√5，6√5]，则f(x)=−14t2+4√2t+250=−14(t−8√2)2+282，当t=8√2，即x=128时，f（x）max=282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．【点评】：本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)= f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用反证法思想，假设y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，由已知条件得关于a，b的方程组，求解a，b的值，得到f（a）或f（b）=0，与已知矛盾；（2）对k分类讨论函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)的单调性，可得只有当k＞0时符合题意，再由f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0运算得到a，b，k三者间的关系，结合题意得到关于a的不等式，进一步求得k的取值范围．【解答】：解：（1）若y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，则满足(a−1)2=(b−1)2=2(a+b2−1)2，∴ {a2−b2−2a+2b=0a2−b2−2ab+4b−2=0，两式相减得-2a+2ab+2b-4b+2=0，即ab-a-b+1=0．∴（b-1）（a-1）=0，则b=1或a=1，与f（a）=f（b）≠0矛盾，故y1=(x−1)2，x∈R不是“P函数”；（2）y2=|2x−k|，x∈(0，n)是“P函数”．① 若k≤0，则2x −k＞0，则y2=|2x−k|=2x−k在x∈（0，n）上单调递减，故不满足存在实数a、b满足b＞a＞1且f（a）=f（b），不合题意；② 若k＞0，∵g（x）= 2x −k，x∈（0，n）单调递减，且g（2k）=0，故x∈（0，2k ）时，f（x）=| 2x−k |单调递减，x∈（2k，+∞）时，f（x）=| 2x−k |单调递增，故a∈（0，2k ），b∈（2k，+∞），∴f（a）= 2a −k =f（b）=k- 2b=2f（a+b2），则k= 1a+1b，∴f（a）= 2a −1a−1b=1a−1b，则2f（a+b2）=2| 4a+b−k |=2| 4a+b−(1a+1b) |．若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1a−1b，则8a+b=3a+1b=3b+aab，整理可得a2+3b2-4ab=0，得a=3b，不合题意；若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1b−1a，则8a+b=3b+1a=3a+bab，整理可得3a2+b2-4ab=0，得b=3a，故k= 1a +1b=43a，2k=3a2，a= 43k．由（0，n）中存在实数a、b满足b＞a＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，n的最小值为5，故在（0，5）中存在a满足f（a）=f（3a）=2f（2a），且4≤3a＜5，故4≤ k4＜5，得45＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（45，1]．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性及其应用，考查逻辑思维能力及推理论证能力，考查运算求解能力，属难题．。

2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。

2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是（1，3）．解：因为函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1），当x＝1时，y＝3，所以函数的图象恒过定点P（1，3）．故答案为：（1，3）．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．解：∵α与﹣终边相同，∴α＝2kπ﹣，k＝2时，α＝∈[0，2π]，故答案为：．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为[3，+∞）．解：由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，可得B＝（﹣1，3）．∵B⊆A．∴a≥3．∴实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为[3，+∞）．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log524＝＝＝，故答案为：．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．解：当x＞0时，不等式化为，两边三次方得x4＜1，解得0＜x＜1；当x＜0时，不等式化为，两边三次方得x4＞1，解得x＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．解：因为tanα＝2，所以sinαcosα+cos2α+2sin2α＝＝＝＝．故答案为：．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．解：∵x+2y＝1，x，y＞0，∴+＝（x+2y）＝+＝，当且仅当x＝y＝时取等号．故答案为：．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为（1，4）．解：不等式式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x变形为x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2，令u＝x，v＝（x﹣2）2，则x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2⇔u3+u＞v3+v；考察函数f（x）＝x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；不等式x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2可化为x＞（x﹣2）2，解得1＜x＜4；∴不等式的解集为：（1，4）．故答案为：（1，4）．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为3．解：因为y＝2x在[0，2]上为增函数，y＝x在[0，2]上为增函数，故f（x）＝2x+x在x∈[0，2]上为增函数，所以其值域为[1，6]，所以y＝f﹣1（x）定义域为[1，6]，且在[1，6]上为增函数，因此y＝f（x）+f﹣1（x）在[1，6]上为增函数，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为f（1）+f﹣1（1）＝2+1+0＝3．故答案为：3．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为4．解：∵a，b∈[﹣2，5]，且x1，x2∈[a，b]，∴a＜b，∵恒成立，∴g（x）在区间[a，b]上单调递增，∵函数，∴g（x）＝，当x∈[﹣2，0）时，g（x）＝+1，单调递增；当x∈（0，1]时，g（x）＝1﹣x，单调递减；当x∈[1，）时，g（x）＝x﹣1，单调递增；当x∈[，5]时，g（x）＝+1，单调递增．∴当a＝1，b＝5时，b﹣a取得最大值为5﹣1＝4．故答案为：4．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为52.5．解：由题意可知|x﹣1|+|y﹣3|＝|x﹣6|+|y﹣9|，x，y∈[0，10]，①当x≤1，y≤3时，1﹣x+3﹣y＝6﹣x+9﹣y，∴4＝13，无解，②当x≤1，3＜y≤9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴y＝8.5，③当x≤1，y＞9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴﹣2＝﹣3，无解，④当1＜x≤6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝6﹣x+y﹣9，∴x＝6.5＞6，无解，⑤当1＜x≤6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴x+y＝，⑥当1＜x≤6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴x＝＜1，无解，⑦当x＞6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝x﹣6+9﹣y，∴2＝7，无解，⑧当x＞6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+9﹣y，∴y＝，⑨当x＞6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+y﹣9，∴﹣4＝﹣15，无解，综上，符合条件线段有：x∈[0，1]，y＝8.5；x∈（1，6]，y∈（3，9]，x+y＝；x∈（6，10]，y∈（3，9]，y＝，∴如图所示：，∴图中阴影部分面积为所求面积，∴面积S＝1×8.5+×（6﹣1）+（10﹣6）×3.5＝8.5+30+14＝52.5．故答案为：52.5．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．解：当k＝﹣1时，y＝x﹣1为奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；当k＝2时，y＝x2为偶函数，不符合题意；当k＝时，y＝＝为非奇非偶函数，不符合题意；当k＝3时，y＝x3为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意；当k＝时，y＝为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意．故实数k的值是3，．故选：B．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为＝＝2+，所以当函数在区间（﹣∞，1）上严格减时，有：2﹣a＞0，即a＜2．由于集合A＝{a|a＜1|⊊B＝{a|a＜2}，所以“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的充分不必要条件，故选：A．15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）解：∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∴二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣1，0），（，0）且a＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c在（，+∞）上为减函数，∵10x＞0，f（10x）＞0＝f（），∴10x＜，∴x＜lg＝﹣lg2，∴不等式f（10x）＞0的解集为（﹣∞，﹣lg2）．故选：D．16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③解：①若x为有理数，则D（x）＝1是有理数，则D（D（x））＝1，若x为无理数，则D（x）＝0是有理数，则D（D（x））＝1；故①错误，②若x为有理数，则﹣x为有理数，此时D（x）＝1，D（﹣x）＝1，即D（x）＝D（﹣x）成立，若x为无理数，则﹣x为无理数，此时D（x）＝0，D（﹣x）＝0，即D（x）＝D（﹣x）成立，综上对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；故②正确，③若x为有理数，则x+T为有理数，此时D（x+T）＝1，D（x）＝1，即D（x+T）＝D（﹣）成立，若x为无理数，则x+T为无理数，此时D（x+T）＝0，D（x）＝0，即D（x+T）＝D（x）成立，综上任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；故③正确，④对任意有理数x，存在三个点A（x，1）、B（x﹣，0）、C（x+，0）是边长为的等边三角形，故④正确，故选：C．三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．解：（1）因为，所以两边平方，可得1+2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝﹣，所以＝cosα（﹣sinα）＝．（2）由（1）可得（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，又，所以sinα﹣cosα＞0，可得sinα﹣cosα＝，又β终边经过P（﹣3，4），所以cosβ＝＝﹣，＝﹣+＝+＝+＝﹣．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）不等式f（x）+g（x）≥3可化为|2x﹣1|+|2x﹣a|≥3﹣a，即，当a≥3时，原不等式成立．当a＜3时，由绝对值三角不等式可得，∴，平方得（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴实数a的取值范围是[2，+∞）．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？解：（1）由题意可得，除尘后y＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8+kx＝2x2+（15﹣3k）x+120k+8，∵当日产量x＝1时，总成本为142，∴2+15﹣3k+120k+8＝142，解得k＝1．（2）由（1）y＝2x2+12x+128，∵总利润L＝48x﹣（2x2+12x+128）＝36x﹣2x2﹣128，（x＞0），∴每吨产品的利润＝4，当且仅当时，即x＝8时，等号成立，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1），∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴函数h（x）的值域为[0，2]．（2）由得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k⋅log2x，令t＝log2x，∵x∈[2n，2n+1]，∴t＝log2x∈[n，n+1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞k⋅t对一切的t∈[n，n+1]恒成立，①当n＝0时，若t＝0时，k∈R；当t∈（0，1]时，恒成立，即，函数在t∈（0，1]单调递减，于是t＝1时取最小值﹣2，此时x＝2，于是k∈（﹣∞，﹣2）；②当n＝1时，此时t∈[1，2]时，恒成立，即，∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为﹣3，k∈（﹣∞，﹣3）；③当n≥2时，此时t∈[n，n+1]时，k＜恒成立，即，函数在t∈[n，n+1]单调递增，于是t＝n时取最小值，此时x＝2n，于是．由于4n﹣15+在n≥2递增，可得4n﹣15+≥﹣＞﹣3，综上可得，k的范围是（﹣∞，﹣3）．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．解：（1）若假设f（x）∈M，则存在x0＞0有lg（x0+1）＝lgx0⋅0＝0⇒x0＝0与x0＞0矛盾，所以f（x）∉M，假设存在x0∈R，有．易知x0＝0是其解，所以g（x）∈M；（2）因为，所以存在x∈R有①当a＝0，①式是恒成立．当a≠0，由①式可以得到有解．令t＝2x+1∈（1，+∞），则，所以，综上所述，；（3）任意x∈（﹣1，0），x+1∈（0，1）x∈（﹣1，0），且有f（x+1）＝f（x）f（1），则有，令x＝0得到f（1）＝f（0）f（1），又因为f（1）＝2≠0，所以f（0）＝1，所以f（x），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1＝0，当x＝0，h（0）＝0，所以x＝0是h（x）的零点，当x≠0时，k＝g（x）＝＝，当x∈（0，1]时，g（x）＝8x+﹣8≥4﹣8，其图象为：有图象易知，当k∈（﹣∞，4﹣8）有1个零点，当k∈{4﹣8}∪[4，+∞）有2个零点，当k∈（4﹣8，0]∪（1，4）有3个零点，当k∈（0，1]，有4个零点．。

2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。

2023高一数学上册期末测试题及答案考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )．A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}2．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )．A B C D 3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )．A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋14．下列等式成立的是( )．A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4B ．＝4log 8log 2248log 2C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 45．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2xB ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝，g (x )＝x ＋11＋1＋2x x D ．f (x )＝·，g (x )＝ 1＋x 1＋x 1＋2x 6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ).A ．一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1)7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：运送距离x (km)O ＜x ≤500500＜x ≤1 000 1 000＜x ≤1 500 1 500＜x ≤2000…邮资y (元)5.006.007.008.00…如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ).A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元8．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ).A ．(－1，0)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)9．若log 2 a ＜0，＞1，则( ).b⎪⎭⎫⎝⎛21A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜010．函数y ＝的值域是( ).x 416－A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4)11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ).A ．f (x )＝x1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ).A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)13．已知函数f (x )＝，则f (－10)的值是( ).⎩⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，A ．－2B ．－1C ．0D ．114．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，x－11＋∞)，则有( ).A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．15．A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |x ＞a }，若A B ，则a 取值范围是 ．⊆16．若f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则函数f (x )的增区间是 ．17．函数y ＝的定义域是 ．2＋log 2x 18．求满足＞的x 的取值集合是 ．8241－x ⎪⎭⎫⎝⎛x －24三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(8分) 已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x )．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．20．(10分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋ax(x∈R)．(1)证明：当a＞2时，f(x)在R上是增函数．(2)若函数f(x)存在两个零点，求a的取值范围．21．(10分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案一、选择题1．B解析：U B ＝{x |x ≤1}，因此A ∩U B ＝{x |0＜x ≤1}．2．C3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D解析：由log 2 a ＜0，得0＜a ＜1，由＞1，得b ＜0，所以选D 项．b⎪⎭⎫⎝⎛2110．C解析：∵ 4x ＞0，∴0≤16－ 4x ＜16，∴∈[0，4)．x 416－11．A解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确．12．A 13．D 14．B解析：当x ＝x 1从1的右侧足够接近1时，是一个绝对值很大的负数，从x－11而保证f (x 1)＜0；当x ＝x 2足够大时，可以是一个接近0的负数，从而保证f (x 2)＞0x－11．故正确选项是B ．二、填空题15．参考答案：(－∞，－2)． 16．参考答案：(－∞，0)． 17．参考答案：[4，＋∞)．18．参考答案：(－8，＋∞)．三、解答题19．参考答案：(1)由，得－3＜x ＜3，⎩⎨⎧0303＞－＞＋x x ∴ 函数f (x )的定义域为(－3，3)． (2)函数f (x )是偶函数，理由如下：由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝lg(3－x )＋lg(3＋x )＝f (x )， ∴ 函数f (x )为偶函数．20．参考答案：(1)证明：化简f (x )＝⎩⎨⎧1221≥22＜－，－)－(－，＋)＋(x x a x x a 因为a ＞2，所以，y 1＝(a ＋2)x ＋2 (x ≥－1)是增函数，且y 1≥f (－1)＝－a ；另外，y 2＝(a －2)x －2 (x ＜－1)也是增函数，且y 2＜f (－1)＝－a ．所以，当a ＞2时，函数f (x )在R 上是增函数．(2)若函数f (x )存在两个零点，则函数f (x )在R 上不单调，且点(－1，－a )在x 轴下方，所以a 的取值应满足 解得a 的取值范围是(0，2)．⎩⎨⎧0022＜－)＜－)(＋(a a a 21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车．500003600 3－(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝(x －150)－×50＝－(x －4 050)2＋307 ⎪⎭⎫⎝⎛50000 3100－－x 50000 3－x 501050．所以，当x ＝4 050 时，f (x )最大，其最大值为f (4 050)＝307 050．当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．。

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()()12f x f x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 解：由题意，函数()f x 是R 上的偶函数，若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=成立，即充分性成立； 若()()12f x f x =，则12x x =-或12x x =，即必要性不一定成立， 所以“120x x +=”是“()()12f x f x =”的充分不必要条件. 故选：A.点评：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 2．函数2(0)1axy a x =>+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 解：记2()1axf x x =+，函数定义域为R ，则2()1ax f x x -=-+()f x =-，函数为奇函数，排除BC ，又0x >时，()0f x >，排除D ． 故选：A ．点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．设集合{}2230A x x x =+->，集合{}2210,0B x x ax a =--≤>，若A B 中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞答案：B先化简集合A ，再根据函数2()21y f x x ax ==--的零点分布，结合A∩B 恰有一个整数求解.解：{}{22303A x x x x x =+->=<-或}1x >，函数2()21y f x x ax ==--的对称轴为0x a =>， 而(3)680f a -=+>，(1)20,(0)0f a f -=><，故其中较小的零点为(1,0)-之间，另一个零点大于1，(1)0f <， 要使A∩B 恰有一个整数，即这个整数解为2，(2)0f ∴≤且(3)0f >，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，解得：3443a ≤< ，则a 的取值范围为34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：B.点评：关键点睛：本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，解题的关键是根据二次函数的性质得出AB 中的整数为2，利用零点存在性定理求解.4．已知函数111,22(),1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则方程()10xf x -=的解得个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：C化简得出函数()f x 的表达式，方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数，作出函数()f x 和1y x=的图象，结合函数图象可得出答案. 解：当2x ≤时，()31212111122x x f x x x x -⎧⎪≤≤⎪=--=⎨+<⎪⎪⎩ 当24x <≤时，()12314(2)53424x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩当46x <≤时，()34518(2)75628x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数. 在同一坐标系中作出()y f x =与1y x=的图象， 由()()()11112424f f f ===，，， 如图：函数()y f x =的图象与1y x=的图象有7个交点. 所以函数()()1g x xf x =-的零点个数是：7 故选：C点评：关键点点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数()f x 的表达式，作出函数()f x 的图象，将问题转化为方程1()f x x=的实数根的个数，即函数()y f x =的图象与1y x=的图象的交点个数，数形结合可解.二、填空题5．计算：2233318log 752log 52-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________．答案：9根据分数指数幂的运算、对数的运算性质求解出结果. 解：原式=()()232333333212log 3552log 542log 32log 52log 512++⨯⨯-=+++-⎛⎫ ⎪⎝⎭4419=++=，故答案为：9.6．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________． 答案：22-利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值.解：,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin 3α∴==-，因此，sin tan cos ααα==- 故答案为：-．7．不等式2411x x x --≥-的解集为______.答案：[1,1)[3,)-+∞把分式不等式转化为整式不等式，然后利用高次不等式的结论求解．解：不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩， 解得3x ≥或11x -≤<． 故答案为：[1,1)[3,)-+∞．点评：方法点睛：解分式不等式的方法：把分式不等式移项，不等式右边化为0，左边通分，然后化为整式不等式，要注意分母不为0，对一元二次不等式易得解，对高次的不等式可利用序轴标根法写出不等式的解．解题中多项式的最高次项系数正数． 8．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 答案：32π 先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.解：因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π. 9．已知幂函数()f x 的图象过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.答案：3由条件求出()12f x x-=，然后可求出答案.解：因为幂函数()f x x α=的图象过点⎛ ⎝⎭所以22α=，解得12α=-，即()12f x x -=所以()1233f -==10．已知函数12()log (21),()f x x y f x -=-=是其反函数，则1(1)f -=__________.答案：32令2log (21)1x -=即可求出1(1)f-解：解：令22log (21)1log 2x -==，所以212x -=，解得32x =，即1(1)f -=32. 故答案为:32. 11．方程()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x 的解集为_________.答案：132⎧⎫⎨⎬⎩⎭根据对数运算法则，先将方程化为()()2lg102lg 26+=+-x x x ，得到()210226+=+-x x x ，求解，再由对数的性质，得到x 的范围，即可得出结果.解：因为()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x ，所以()()2lg102lg 26+=+-x x x ，所以()210226+=+-x x x ，整理得：292602--=x x ，解得2x =-或132x =； 又由220260x x x +>⎧⎨+->⎩解得 32x >；所以132x =，原方程的解集为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 故答案为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭点评：本题主要考查解对数方程，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型. 12．若关于x 的方程9(4)340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是__________. 答案：8a ≤-令30x t =>，方程转化为2(4)40t a t +++=有正根，由根的判别式结合根与系数关系，建立关于a 的不等式，求解即可. 解：方程9(4)340x xa ++⋅+=有解，令30x t =>，则方程2(4)40t a t +++=有正根， 又两根的积为4，()()2416040a a ⎧∆=+-≥⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得8a ≤-.故答案为：8a ≤-.点评：本题考查一元二次方程根的分布，应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.13．已知0a >，0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.答案：2令2019a x +=，2020b y +=，从而可得1()14042x y +=，再利用基本不等式即可求解. 解：令2019a x +=，2020b y +=， 则2019x >，2020y >且4042x y +=， ∴1()14042x y +=， ∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y x x y ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭≥，当且仅当y xx y=取等号，即2021,2,1x y a b ====时成立. 故答案为：2点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 14．已知122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，()()F x f x m n =+-，若函数()y F x =为奇函数，则2||x m x n ++-的最小值是___________.答案：2021利用已知条件得到()()20224042f x f x +--=，又利用()y F x =为奇函数，即可求出,m n 的值，代入2||x m x n ++-，分四种情况去绝对值，利用二次函数的单调性求最值即可得出结果.解：由122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++， 得()111112320211111f x x x x x =-+-+-++-++++ 1112021122021x x x ⎛⎫=-+++⎪+++⎝⎭，又()11120222021202120211f x x xx ⎛⎫--=-+++⎪------⎝⎭1112021202120211x x x ⎛⎫++++⎪+++⎝⎭， 则()()20224042f x f x +--=，因为()()F x f x m n =+-，又函数()y F x =为奇函数，()()()()()()0222F x F x f x m f x m n f x f x m n -+=⇒-+++=⇒+-+=，故22022,240421011,2021m n m n =-=⇒=-=； 所以()221011|||2021|x m x n x x g x ++-=+-=-，当2021x ≥时，原式22101120213032x x x x =-+-=+-， 对称轴为12x =-，故函数()g x 在[)2021,+∞上为增函数， 所以()g x 的最小值为：220211011-；2021x ≤<时，原式22101120211010x x x x =-+-=-+， 对称轴为12x =，故函数()g x 在)上为增函数，所以()g x 的最小值为：2021-当x <≤22101120213032x x x x =-++-=--+， 对称轴为12x =-，故函数()g x 在12⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，在12⎛- ⎝上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021-当x ≤22101120211010x x x x =-+-=-+， 对称轴为12x =，故函数()g x 在(,-∞上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021+综上：2||x m x n ++-的最小值是2021-故答案为：2021点评：方法点睛：形如()20x a x b a b -+-<<求最值的问题.分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(((),,,,,b b ⎤-∞+∞⎦四个部分，在每个部分上去掉绝对值符号，研究二次函数的单调性即可求解最值. 三、解答题15．已知函数2()21x x a f x -=+为奇函数.（1）求实数a 的值并证明()f x 是增函数；（2）若实数满足不等式1(1)02f f t ⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭，求t 的取值范围. 答案：（1）1a =，证明见解析；（2）(2,3)t ∈.（1）依题意可得()()f x f x -=-，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；解：（1）因为()y f x =是定义域为R 奇函数，由定义()()f x f x -=-，所以222121x x x xa a ----=-++ 所以2(1)1xa a -=-， ∴1a =. 所以21()21x x f x 证明：任取12x x -∞<<<+∞，121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++．12x x -∞<<<+∞，1222x x ∴<．12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <． ()f x ∴在定义域上为增函数．（2）由（1）得()y f x =是定义域为R 奇函数和增函数1(1)(1)2f f f t ⎛⎫>--= ⎪-⎝⎭112t ⇒>- 302t t -⇒>- (2)(3)0t t ⇒--<23t ⇒<<所以(2,3)t ∈.点评：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．16．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间](1,3上严格增，求实数a 的取值范围．答案：（1）20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,a ∈+∞． （1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围.解：（1）当0a =时，2log (46)y x =-+满足题意； 当0a ≠时，要使得2log ()y f x =的值域为R ， 只需要满足016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得203a <≤，综上20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）2log ,46a y t t ax x ==-+，当1a >时，外层函数为严格增，所以只需满足212460a aa ⎧≤⎪⇒≥⎨⎪-+≥⎩； 当01a <<时，外层函数为严格减，所以只需满足22332912603a a a a ⎧≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+>>⎩⎪⎩，此时不存在，舍去； 综上[)2,a ∈+∞．点评：思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有00a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有00a >⎧⎨∆≥⎩.17．新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭(万件)，其中([0.5,1])k k ∈为工人的复工率.公司生产t 万件防护服还需投入成本(20850)x t ++(万元).（1）将公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）当复工率0.7k =时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01).答案：（1）3601807204ky k x x =---+，[]0,10x ∈；（2）2；（3）0.58 （1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可； （2）当0.7k =时，可得()2527+4+134+4y x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式即可求出； （3）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到36018072004kk x x ---≥+在x∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果． 解：（1）依题意，()3608020850302071807204ky x t x t t x k x x =+-++=--=---+，[]0,10x ∈； （2）当0.7k =时，3600.71800.77204y x x ⨯=⨯---+()25225271067+4+1344+4x x x x ⎡⎤=--+=-+⎢⎥+⎣⎦50≤-=， 当且仅当()2527+4+4x x =，即2x =时等号成立， 所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元； （3）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，则36018072004kk x x ---≥+在[]0,10x ∈恒成立，∴21748802180x x k x ++≥⋅+，令[]22,12t x =+∈，2172012112720180180t t k t t t ++⎛⎫∴≥⋅=++ ⎪⎝⎭，设()12720f t t t =++在[]2,12上递增，∴()()max 12127122010512f t f ==⨯++=，∴1105180.580k ≥⨯≈. 即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损.点评：结论点睛：本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，解决此类问题的关键是根据条件准确的求出关系式，对于实际问题的最值问题，常用基本不等式或函数单调性的办法求解，注意实际问题中的取值范围．18．已知函数()32723x xf x ⋅-=-，()2log g x x =． （1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）已知存在实数a ，使得对任意]1[0m ∈，，关于x 的方程()()()244310g x ag x a f m -+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有．．3个不等根1x ，2x ，3x ，求出实数a 的取值范围．答案：（1）[]1,2；（2）1a β=；（3）141153a <≤． （1）将函数()f x 化简再根据单调性即可得函数()f x 的值域； （2）根据()g x 的解析式，将,αβ代入化简，即可得到αβ的值.（3）令()p f m =，()t x g =，2()4431h t t at a =-+-，根据]1[0m ∈，得出p 的取值范围，由题意可得关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3有两解12,t t ，且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根，列出不等式组得出a 的范围. 解：（1）()()3232232323x x x f x -+==+--在区间[]0,1x ∈上严格减，而()02f =，()11f =，故函数()f x 的值域为[]1,2．（2）因为()2|log |g x x =在[]0,1x ∈单调递减，在[)1,+∞单调递增，()()t g g αβ== 01αβ∴<<<，则有22log log αβ=，即22log log αβ-=故2220log log log αβαβ=+=，所以1a β= （3）令()p f m =，由（1）知()[]1,2p f m =∈令()t x g =，因为()2log g x x =在1,18x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调减，在[]1,4单调递增，且138g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =，()42g = 则当(]0,2t ∈时，方程()t x g =有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1； 当(2,3]{0}t ∈时，方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1. 令2()4431h t t at a =-+-，由二次函数()h t 与()g x 的图象特征，原题目等价于： 对任意[]1,2p ∈，关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3上总有2个不等根()1212,t t t t <， 且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根， 则必有12023t t <≤<≤或102t <≤且20t =，当12023t t <≤<≤时，结合二次函数()h t 的图象，则有(0)312(2)1551(3)3592h a h a h a =->⎧⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解之得141153a <≤， 当102t <≤且20t =，则()()1020221222h a a h h ⎧≤≤⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围为141153a <≤. 点评：关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.。

2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知扇形的圆心角为 π4 ，半径为2 √2 ，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，0分）已知lga+lgb=1，则2a+b 的最小值为 ___ ．3.（填空题，0分）集合A={x|y= x 12 }，集合B={y|y=lg （x 2-1）}，则A∩B=___ ．4.（填空题，0分）已知集合A={x|x 2-px+6=0}，若3∈A ，则方程5x-1=p 的解为___ ．5.（填空题，0分）若函数y= x m 2−4m−5 （m∈Z ）在区间（0，+∞）上是严格减函数，且图像关于y 轴对称，则实数m 的值是 ___ ．6.（填空题，0分）已知log 32=a ，则log 296=___ .（用含a 的代数式表示）7.（填空题，0分）已知f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x+2020，则f （2019）=___ ．8.（填空题，0分）若方程f （x ）=ax 2+bx+c 是定义域为（2a-3，1）的偶函数，则a+b=___ ．9.（填空题，0分）已知函数f （x ）=a x -4a+3的反函数的图象经过点（-1，2），那么a 的值等于___ ．10.（填空题，0分）函数y=3x -x 5-1有___ 个零点．11.（填空题，0分）已知集合{x|（x-1）（x 2-x+a ）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为___ ．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {|x +a |，x ≤0x +4x+a ，x ＞0 ，若f （0）是该函数的最小值，则实数a 的取值范围是___ ．13.（单选题，0分）终边在直线 y =√3x 上的角的集合为（ ）A. {α|α=2kπ+π3，k ∈z}B. {α|α=kπ+π3，k ∈z}C. {α|α=2kπ±π3，k ∈z}D. {α|α=kπ±π3，k ∈z}14.（单选题，0分）如图为函数f （x ）=t+log a x 的图象（a ，t 均为实常数），则下列结论正确的是（ ）A.0＜a ＜1，t ＜0B.0＜a＜1，t＞0C.a＞1，t＜0D.a＞1，t＞015.（单选题，0分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A.y=x 13B.y= √x2−2x−3C.y=3|x|-1D.y=x-216.（单选题，0分）已知不等式ax2+2y2≥xy，若对于任意x∈[1，2]，y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a≥-3B.a≥-1C. a≥18D. −1≤a≤1817.（问答题，0分）已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，求tanα的值．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= √1−x2．求：|x|（1）函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明．（a是常数）．19.（问答题，0分）已知函数f（x）= 1−22x+a（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值，并证明f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方．20.（问答题，0分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R （元）与年产量x （台）的关系是R （x ）= {500x −12x 2(0≤x ≤500)125000(x ＞500)，x∈N ． （1）把该产品的年利润y （元）表示为年产量x （台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入-总成本）21.（问答题，0分）设集合M={f （x ）|存在正实数a 使得定义域内任意x 都有f （x+a ）-f （x ）＞0}．（1）若g （x ）=x 3- 14 x+3，且g （x ）∈M a ，求a 的取值范围；（2）若h （x ）=log 3（x+ k x ），x∈[1，+∞）（k∈R ），且h （x ）∈M 2，求h （x ）的最小值．2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知扇形的圆心角为π4，半径为2 √2，则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：利用S扇形= 12α•R2即可得出．【解答】：解：S扇形= 12α•R2 = 12×π4×(2√2)2=π．故答案为：π．【点评】：本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．2.（填空题，0分）已知lga+lgb=1，则2a+b的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：利用对数的运算法则得到ab=10，且a＞0，b＞0，再利用基本不等式的性质即可求解．【解答】：解：∵lga+lgb=1，∴ab=10，且a＞0，b＞0，∴2a+b≥2 √2ab =2 √20 =4 √5，∴当且仅当2a=b，即a= √5，b=2 √5时取等号，∴2a+b的最小值为 4 √5．故答案为：4 √5．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，对数的运算法则，属于基础题．3.（填空题，0分）集合A={x|y= x12 }，集合B={y|y=lg（x2-1）}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1][0，+∞）【解析】：求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】：解：集合A={x|y= x 12}={x|x≥0}，集合B={y|y=lg（x2-1）}={y|y∈R}，则A∩B=[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】：本题考查了交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，0分）已知集合A={x|x2-px+6=0}，若3∈A，则方程5x-1=p的解为___ ．【正确答案】：[1]x=2【解析】：根据题意，由元素与集合的关系可得9-3p+6=0，解可得p=5，进而可得5x-1=5，解可得x的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，集合A={x|x2-px+6=0}，若3∈A，则有9-3p+6=0，解可得p=5，若5x-1=p，即5x-1=5，解可得x=2，故答案为：x=2【点评】：本题考查集合的表示方法，涉及函数的零点，属于基础题．5.（填空题，0分）若函数y= x m2−4m−5（m∈Z）在区间（0，+∞）上是严格减函数，且图像关于y轴对称，则实数m的值是 ___ ．【正确答案】：[1]1或3【解析】：根据幂函数在区间（0，+∞）上为减函数求得m的取值范围，再由m∈Z，结合函数图象关于y轴对称，求出m的值．【解答】：解：幂函数y= x m2−4m−5（m∈Z）在区间（0，+∞）上为减函数，∴m2-4m-5＜0，解得：-1＜m＜4，又m∈Z，∴m=0或m=1或m=2或m=3；当m=0时，y=x-5，图象不关于y轴对称；当m=1时，y=x-8，图象关于y轴对称；当m=2时，f（x）=x-9，图象不关于y轴对称；当m=3时，f（x）=x-8，图象关于y轴对称；综上，m的值为1或3．故答案为：1或3．【点评】：本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6.（填空题，0分）已知log32=a，则log296=___ .（用含a的代数式表示）【正确答案】：[1]5+ 1a【解析】：直接根据对数的运算性质求解即可．，【解答】：解：由log32=a，则log296=log2（32×3）=log232+log23=5+ 1a．故答案为：5+ 1a【点评】：本题考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，属于基础题．7.（填空题，0分）已知f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x+2020，则f（2019）=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（-2019）的值，进而结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】：解：根据题意，x＜0时，f（x）=x+2020，则f（-2019）=-2019+2020=1，又由f（x）为奇函数，则f（2019）=-f（-2019）=-1；故答案为：-1．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．8.（填空题，0分）若方程f（x）=ax2+bx+c是定义域为（2a-3，1）的偶函数，则a+b=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据题意，由偶函数的性质可得（2a-3）+1=0，且b=0，解可得a的值，相加即可得答案．【解答】：解：根据题意，若f（x）=ax2+bx+c是定义域为（2a-3，1）的偶函数，则有（2a-3）+1=0，且b=0，解可得：a=1，则a+b=1；故答案为：1．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．9.（填空题，0分）已知函数f（x）=a x-4a+3的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，利用函数f（x）=a x-4a+3的反函数的图象经过点（-1，2）可知点（2，-1）在函数f（x）=a x-4a+3的图象上，由此代入数值即可求得．【解答】：解：依题意，点（-1，2）在函数f（x）=a x-4a+3的反函数的图象上，则点（2，-1）在函数f（x）=a x-4a+3的图象上将x=2，y=-1，代入y=a x-4a+3中，解得a=2故答案为：2【点评】：本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷！这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便的多，不妨一试进行比较．10.（填空题，0分）函数y=3x-x5-1有___ 个零点．【正确答案】：[1]4【解析】：函数y=3x-x5-1的零点个数即函数f（x）=3x-1与g（x）=x5的交点个数，在同一坐标系内画出两函数的图象，结合图象得答案．【解答】：解：函数y=3x-x5-1的零点个数即为方程3x-x5-1=0的根的个数，也就是函数f（x）=3x-1与g（x）=x5的交点个数．作出函数f（x）=3x-1与g（x）=x5的图象如图：由图可知已有3个交点，当x→+∞时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，故还有一交点，∴函数y=3x -x 5-1有4个零点．故答案为：4．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.（填空题，0分）已知集合{x|（x-1）（x 2-x+a ）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{0}∪（ 14 ，+∞）【解析】：利用分类讨论的思想 ① 当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1． ② 当f （x ）=x 2-x+a 没有零点，即）x 2-x+a=0没有实根，故△＜0，进一步求出结果．【解答】：解：集合{x|（x-1）（x 2-x+a ）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则： ① 当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．② 当f （x ）=x 2-x+a 没有零点，即）x 2-x+a=0没有实根．故△＜0，即1-4a ＜0解得：a ＞14 ．综合 ① ② 得： a ∈{0}∪(14，+∞) ，故答案为：{0}∪（ 14 ，+∞）【点评】：本题考查的知识要点：集合的性质的应用，函数和方程的关系．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {|x +a |，x ≤0x +4x +a ，x ＞0，若f （0）是该函数的最小值，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-2，0]【解析】：由题意知当x≤0时，|x+a|≥|a|，且x+ 4x +a≥2 √4 +a=4+a ，从而解出实数a 的取值范围．【解答】：解：∵f （0）是该函数的最小值，∴当x≤0时，|x+a|≥|a|，∴a≤0；又∵x+ 4x+a≥2 √4 +a=4+a，（当且仅当x=2时，等号成立）；∴|a|≤4+a，即-a≤4+a，故a≥-2；故实数a的取值范围是[-2，0]；故答案为：[-2，0]．【点评】：本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．13.（单选题，0分）终边在直线y=√3x上的角的集合为（）A. {α|α=2kπ+π3，k∈z}B. {α|α=kπ+π3，k∈z}C. {α|α=2kπ±π3，k∈z}D. {α|α=kπ±π3，k∈z}【正确答案】：B【解析】：由直线方程求出直线的倾斜角，分别写出终边落在直线向上和向下方向上角的集合，求并集即可．【解答】：解：由直线y= √3 x的斜率为√3，则倾斜角为60°，∴终边落在射线y= √3 x（x≥0）上的角的集合是S1={α|α= π3+2kπ，k∈Z}，终边落在射线y= √3 x（x≤0）上的角的集合是S2={α|α= 4π3+2kπ，k∈Z}，∴终边落在直线y= √3 x上的角的集合是：S={α|α= π3+2kπ，k∈Z}∪{α|α= 4π3+2kπ，k∈Z}={α|α= π3+2kπ，k∈Z}∪{α|α= π3+（2k+1）•π，k∈Z}={α|α= π3+kπ，k∈Z}．故选：B．【点评】：本题考查了终边相同角的集合求法与并集的运算问题，是基础题．14.（单选题，0分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A.0＜a＜1，t＜0B.0＜a＜1，t＞0C.a＞1，t＜0D.a＞1，t＞0【正确答案】：C【解析】：根据对数函数的图象和性质即可得到答案【解答】：解：因为对数函数y=t+log a x的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，由图象可知当x=1时，y=t＜0，故选：C．【点评】：本题考查了对数函数的图象与性质，是基础的概念题．15.（单选题，0分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A.y=x 13B.y= √x2−2x−3C.y=3|x|-1D.y=x-2【正确答案】：D【解析】：分别求出四个函数的值域得答案．【解答】：解：函数y=x 13的值域为R；由x2-2x-3≥0，得x≤-1或x≥3，则函数y= √x2−2x−3的值域为[0，+∞）；∵|x|≥0，∴3|x|≥1，则函数y=3|x|-1的值域为[0，+∞）；y= x−2=1x2＞0，则函数y=x-2的值域为（0，+∞）．∴值域是（0，+∞）的是y=x-2．故选：D．【点评】：本题考查函数的值域及其求法，是基础的计算题．16.（单选题，0分）已知不等式ax2+2y2≥xy，若对于任意x∈[1，2]，y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a≥-3B.a≥-1C. a≥18D. −1≤a≤18【正确答案】：B【解析】：由已知不等式分离参数a，得到a≥-2（yx - 14）²+ 18，在坐标平面内画出不等式组{1＜x＜2 2≤y≤3表示的平面区域，求出yx的取值范围，则答案可求．【解答】：解：依题意得，当x∈（1，2）时，且y∈[2，3]时，不等式ax2+2y2≥xy，即a≥ xy−2y 2x2 = yx-2 (yx)2=-2（yx- 14）²+ 18．在坐标平面内画出不等式组{1＜x＜22≤y≤3表示的平面区域，注意到yx 可视为该区域内的点（x，y）与原点连线的斜率，结合图形可知，yx的取值范围是（1，3），此时-2（yx - 14）²+ 18＜-1，因此满足题意的实数a的取值范围是a≥-1．故选：B．【点评】：本题考查函数恒成立问题，简单的线性规划，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，属于中档题．17.（问答题，0分）已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，求tanα的值．【正确答案】：【解析】：将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式化简可得tan 2α+2tanα+1=0，解方程可得tanα的值．【解答】：解：因为 sinα−cosα=√2，α∈(0，π) ， 所以两边平方，可得1-2sinαcosα=2，可得sinαcosα= sinαcosαsin 2α+cos 2α = tanαtan 2α+1 =- 12，整理可得tan 2α+2tanα+1=0， 所以解方程可得tanα=-1．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．18.（问答题，0分）已知函数f （x ）= √1−x 2|x|．求： （1）函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得， {1−x 2≥0x ≠0，解不等式即可求解； （2）只要检验f （-x ）与f （x ）的关系即可判断．【解答】：解：（1）由题意可得， {1−x 2≥0x ≠0，解可得，-1≤x≤1且x≠0，故函数的定义域[-1，0）∪（0，1]； （2）因为f （x ）= √1−x 2|x|， 所以f （-x ）= √1−(−x)2|−x| = √1−x 2|x| =f （x ），故f （x ）为偶函数．【点评】：本 题主要考查了函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属于基础试题．19.（问答题，0分）已知函数f（x）= 1−22x+a（a是常数）．（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值，并证明f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方．【正确答案】：【解析】：（1）求f（x）=1- 22x+1的值域转化为先求2x+1的范围，即可解得；（2）由函数f（x）= 1−22x+a 是奇函数知1−22x+a=-（1- 22−x+a）恒成立，化简求解得a=1，f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方转化为g（x）-f（x）＞0，化简，结合基本不等式求解．【解答】：解：（1）f（x）=1- 22x+1，∵2x+1＞1，∴0＜22x+1＜2，∴-1＜1- 22x+1＜1，故函数f（x）的值域为（-1，1）；（2）∵函数f（x）= 1−22x+a是奇函数，∴ 1−22x+a =-（1- 22−x+a），即2x+a−22x+a= −(2−x+a−2)2−x+a，即（2x+2-x）（a-1）+a（a-2）+1=0，故a-1=0且（a-1）2=0，解得，a=1，f（x）=1- 22x+1，g（x）=2x+1-1，g（x）-f（x）=2x+1-1-（1- 22x+1）=2x+1+ 22x+1-2=2（2x+1）+ 22x+1-4，∵2（2x+1）= 22x+1时，x不存在，∴2（2x+1）+ 22x+1-4＞2• √4 -4=0，即g（x）-f（x）＞0，故f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方．【点评】：本题考查了函数的性质的应用及转化思想方法的应用，同时考查了作差法及基本不等式，属于中档题．20.（问答题，0分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R （元）与年产量x （台）的关系是R （x ）= {500x −12x 2(0≤x ≤500)125000(x ＞500) ，x∈N ．（1）把该产品的年利润y （元）表示为年产量x （台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？ （注：利润=销售收入-总成本）【正确答案】：【解析】：（1）利用y=R （x ）-100x-20000分0≤x≤400、x ＞500两种情况讨论即可把该产品的年利润y （元）表示为年产量x （台）的函数； （2）分段求最大值，即可得出结论．【解答】：解：（1）由题意y=R （x ）-100x-20000元，当0≤x≤500时，y=500x- 12 x 2-100x-20000=- 12 （x-400）2+60000， 当x ＞500时，y=125000-100x-20000=105000-100x ， ∴y= {−12(x −400)2+60000(0≤x ≤500)105000−100x(x ＞500) ；（2）当0≤x≤500时，y=- 12 （x-400）2+60000 显然当x=400时，y 取最大值60000元； 当x ＞500时，y=105000-100x ，显然y 随着x 的增大而减小，y ＜105000-100•500=55000∴每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．【点评】：本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21.（问答题，0分）设集合M={f （x ）|存在正实数a 使得定义域内任意x 都有f （x+a ）-f （x ）＞0}．（1）若g （x ）=x 3- 14x+3，且g （x ）∈M a ，求a 的取值范围；（2）若h （x ）=log 3（x+ k x），x∈[1，+∞）（k∈R ），且h （x ）∈M 2，求h （x ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义，求得g （x+a ）-g （x ）＞0，转化成关系x 的一元二次不等式，利用判别式求得a 的取值范围；（2）同理根据定义，求得h （x+2）-h （x ）＞0，根据对数的运算，求得k 的取值范围，再根据k 的范围求得h （x ）的最小值．【解答】：解：（1）由g （x+a ）-g （x ）=（x+a ）3-x 3- 14（x+a ）+ 14x=3ax 2+3a 2x+a 3- 14a ＞0，所以Δ=9a 4-12a （a 3- 14 a ）＜0， 故 a ＞1．所以a 的取值范围为（1，+∞）（3）由h （x+2）-h （x ）=log 3[（x+2）+ k x+2 -log 3（x+ kx）＞0， 即：log 3[（x+2）+k x+2 ]＞log 3（x+ k x ） 所以x+2+ kx+2 ＞x+ kx ＞0对任意x∈[1，+∞）都成立 所以 {k ＜x (x +2)k ＞−x 2，则 {k ＜3k ＞−1 ，所以-1＜k ＜3，当-1＜k≤0时，h （x ）min =h （1）=log 3（1+k ）； 当0＜k ＜1时，h （x ）min =h （1）=log 3（1+k ）； 当1≤k ＜3时，h （x ）min =h （ √k ）=log 3（2 √k ） 综上： ℎ(x )min ={log 3(1+k )，−1＜k ＜1log 3(2√k)，1≤k ＜3 ．【点评】：本题考查分段函数的应用，函数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

2020-2021学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为．3．函数的定义域是．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是．二、选择题（共4小题）.13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．三、解答题（共5小题）.17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{1，2}．解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故答案为：{1，2}．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为{0}．解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为：∁U（A∪B）＝{0}．故答案为：{0}．3．函数的定义域是（，1）．解：由题意得：，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝2．解：函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，可得：1＝a﹣1，解得：a＝2．∴f（x）＝2x﹣1那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1＝3时，x的值．由2x﹣1＝3，解得：x＝2．∴f﹣1（3）＝2．故答案为2．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．解：因为f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28，所以f（1）＝9＞0，f（2）＝﹣4＜0，f（1.5）＝1＞0，由零点的存在性定理可得，f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣2﹣x+1．解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）﹣2﹣x+1＝﹣x﹣2﹣x+1，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，故答案为：﹣x﹣2﹣x+1．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（﹣，﹣）．解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则ax2+5x+b＝0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2＝﹣，3×2＝，解得a＝﹣1，b＝﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．解：当x≤2时，y＝﹣x+8≥6，要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则有x＞2时，函数y＝log a x+5≥6，∴，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝1．解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1，故答案为：1．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是8．解：函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣3＝1，即x＝4时，y＝1，故定点A（4，1），又点A在一次函数的图象上，所以有，即2m+n＝1，所以＝，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是8．故答案为：8．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为（﹣∞，5）．解：由题意可得：|x﹣2|＞﹣|x+3|+m在R上恒成立，即m＜|x﹣2|+|x+3|在R上恒成立，只需m＜（|x﹣2|+|x+3|）min即可，又|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，当且仅当x﹣2与x+3的符号异号取等号，所以m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是4．解：若[t]＝1，则t∈[1，2），若[t2]＝2，则t∈[），（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]＝3，则t∈[，），若[t4]＝4，则t∈[，），若[t5]＝5，则t∈[，），其中，，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，综上，当t＝4时，可以找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）上，但当t＝5时，无法找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）∩[）上，∴正整数n的最大值为4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数解：因为“全称量词命题”的否定是“存在量词命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：D．14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B．f（x）＝x﹣2，（x≠﹣2），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，D．f（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，g（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，因为log a3＜log b3，①当a＞1，b＞1时，则有a＞b＞1；②当0＜a＜1，0＜b＜1时，则有0＜b＜a＜1，所以“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的必要不充分条件．故选：B．16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．解：根据题意，由于m为正数，y＝（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y＝+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y＝（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3，综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．解：由已知可得A＝{﹣2，1}，因为B⊆A，则B＝∅或{﹣2}或{1}或{﹣2，1}，当B＝∅时，△＝a2﹣4（2a﹣2）＝a2﹣8a+8＜0，无解，当B＝{﹣2}时，则，解得a＝4，当B＝{1}时，则，无解，当B＝{﹣2，1}时，则，解得a＝1，综上，实数a的值为1或4．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．【解答】证明：假设x+y是有理数，则x+y＝（m，n∈Z）．∵x是有理数，∴x＝（p，q∈Z），∴x+y＝+y＝，∴y＝﹣＝，∵m，n，p，q∈Z，∴mp∈Z，mq﹣pm∈Z，∴y是有理数，与y是无理数相矛盾．∴假设错误，x+y是无理数，得证．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．解：（1）因为幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，所以（m﹣1）2＝1且m2﹣4m+2＞0，解得m＝0．（2）由（1）得f（x）＝x2，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为0，f（x）的最大值为4，故A＝[0，4]，因为g（x）＝2x﹣k在x∈[﹣1，2]上单调递增，故g（x）的最小值为，g（x）的最大值为4﹣k，故B＝，因为命题p：x∈A，命题：q：x∈B，且命题p是q成立的必要条件，故B⊆A，所以，解得，所以实数k的取值范围为．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．解：（1）若不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集，即f（x﹣1）≤0恒成立，由f（﹣1）＝0，所以函数f（x）不可能单调递增或单调递减，所以①②都不能选，只能选③④，此时f（x）＝0，不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集；所以选③④；（2）若不等式f（x﹣1）＞0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤；（3）若选①③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，解得x＜0或1＜x＜2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；若选①④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）；若选②③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜或x﹣1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞）；若选②④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．解：（1）∵f（x）＝f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．∴f（x）的对称轴为x＝﹣2，可得x1＝﹣3，x2＝﹣1（不妨设x1＜x2），设f（x）＝a（x+3）（x+1）（a≠0），由f（0）＝3a＝3，得a＝1，∴f（x）＝x2+4x+3（2）∵＝＝x++4，当x＞0时，x++4≥2+4，当且仅当x＝时取等号，此时g（x）∈[2+4，+∞）；当x＜0时，x++4≤﹣2+4，当且仅当x＝﹣时取等号，此时g（x）∈（﹣∞，﹣2+4]，∴函数g（x）的值域是（﹣∞，﹣2+4]∪[2+4，+∞）．（3）不等式g（2x）﹣k•2x≥0可化为2x++4﹣k•2x≥0，即k≤1+3+4•恒成立，令t＝，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，令h（t）＝3t2+4t+1，t∈[，2]，图象开口向上对称轴为t＝﹣，∴当t＝时，h（t）取得最小值为h（）＝，∴k≤．∴实数k的取值范围为（﹣∞，]．。