高中数学-选修2-3-第八章统计和概率

8．1_&_8.2随机对照试验__概率8．2.1概率的加法公式[读教材·填要点]1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．概率的加法公式如果Ω的事件A1，A2，…，A m两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪A m)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A m)．我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．[小问题·大思维]1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥．[例1](1)则至多2A．0.3B．0.43C ．0.57D ．0.27(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235 C.1735D ．1[解析] (1)记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A ，B ，C 彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E .则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.(2)设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.[答案] (1)C (2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率．解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率约为611 000.[例2] 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率； (2)射中的环数低于7环的概率．[解] (1)设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，由于在这次射击中，事件A 与事件B 不可能同时发生，故事件A 与事件B 是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A ∪B .∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．故P (E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而P (E )＝1－P (E )＝1－0.97＝0.03. ∴射中的环数低于7环的概率为0.03.解决此类问题的规律是：(1)①必须分清事件A 、B 是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；②所求事件必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．2．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．解：这2人血型不同的情况有：1人A 型1人B 型；1人A 型1人AB 型；1人A 型1人O 型；1人B 型1人AB 型；1人B 型1人O 型；1人AB 型1人O 型．共6种情况，而其反面是血型相同，只有4种情况．法一：从36人中任选2人，共有C 236种选法，2人血型不同的概率为：P ＝C 112C 110C 236＋C 112C 18C 236＋C 112C 16C 236＋C 110C 18C 236＋C 110C 16C 236＋C 18C 16C 236＝3445.法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对立事件，因而2人血型不同的概率为：P ＝1－C 212＋C 210＋C 28＋C 26C 236＝1－1145＝3445.随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．[尝试][巧思] 每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日月份共有129个．至少有2个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率．其对立事件为“所有人的出生月份都不同”有A 912种可能．[妙解] 总事件数为129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，则其概率为1－A 912129≈1－0.0155＝0.9845≈0.985.答案：0.9851．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对解析：选A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．2．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.56 B.45 C.23D.12解析：选C 共90个数字，被2或3整除的数有45＋30－15＝60，故概率为6090＝23.3．从5张500元，3张800元，2张1 200元演唱会的门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )A.14B.79120C.34D.2324解析：选C 3张中没有价格相同的取法有C 15C 13C 12＝30，则3张中至少有2张相同的概率为1－30C 310＝34. 4．从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45 g 的概率是0.22，重量不小于2.50 g 的概率是0.20，那么重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是________．解析：重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是1－0.22－0.20＝0.58. 答案：0.585．同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为________．解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为C 13·C 13，因此向上的一面数之积为奇数的概率P ＝C 13·C 136×6＝14，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：1－P ＝1－14＝34.答案：346．银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的ATM机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面．经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：计算：(1)(2)至少11人但不超过40人排队的概率．解：记“有0～10人排队”、“有11～20人排队”、“有21～30人排队”、“有31～40人排队”、“至多20人排队”、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则A与B是互斥事件，事件B，C，D两两互斥，从而(1)P(E)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.27＝0.39；(2)P(F)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.30＋0.23＝0.80.一、选择题1．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，其中事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品．4组事件中是互斥事件的有()A．1组B．2组C．3组D．4组解析：选B对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件都是次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故是互斥事件的是①、④.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为()A．0.09 B．0.98C．0.97 D．0.96解析：选D 1－0.03－0.01＝0.96.3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( ) A ．60% B ．30% C ．10%D ．50%解析：选D “甲不输”事件是事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥．所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.4．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.929B.1029C.1929D.2029解析：选D 既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为C 320C 330，全为女同学的概率C 310C 330，故所求事件概率为1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.二、填空题5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．①A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 ②B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 ③A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 ④A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：④6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.037．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1415.答案：81514158．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，则x＋y的最小值为________．解析：由题意，x>0，y>0，4x＋1y＝1.则x＋y＝(x＋y)·⎝⎛⎭⎫4x＋1y＝5＋⎝⎛⎭⎫4yx＋xy≥9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.答案：9三、解答题9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.10．袋中有12只小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件A＝{摸得红球}，事件B＝{摸得黑球}，事件C＝{摸得黄球}，事件D＝{摸得绿球}，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝23.解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.。

第八章8.3.2A级——基础过关练1．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( )A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关【答案】D 【解析】独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设．2．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了 3 000人，计算发现χ2的观测值χ＝6.023，则市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )A．90% B．95%C．99% D．99.5%【答案】B 【解析】因为χ2＝6.023>3.841＝x0.05，所以可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为95%.3．下列选项中可以有95%以上的把握认为“X与Y有关系”的χ2的值为( )A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014【答案】D 【解析】因为5.014>3.841，所以D正确．4．某卫生机构抽取了366人进行健康体检，阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人，阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，则认为糖尿病与遗传有关系出错的概率不超过( )A．0.001 B．0.005C．0.01 D．0.05【答案】D 【解析】可先作出如下列联表：根据列联表中的数据，得到χ2的观测值χ2＝×172109×257×33×333≈6.067＞3.841＝x0.05.故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．5．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的【答案】B 【解析】由χ2＝407×32×213－61×101293×314×133×274≈0.164＜2.706＝x0.1，即没有把握认为种子是否经过处理跟是否生病有关．6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________(填“有关的”或“无关的”)．【答案】有关的【解析】χ2＝27.63＞10.828＝x0.001，有99.9%以上的把握认为这两个量是有关的．7．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：①性别与知道想学专业有关；②性别与知道想学专业无关；③女生比男生更易知道所学专业．【答案】②【解析】χ2＝304×63×82－42×1172180×124×105×199≈0.041≤2.706＝x0.1，所以性别与知道想学专业无关．8．某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示：能按时完成销售任务是有关系的”．【答案】99% 【解析】χ2＝200×57×65－42×36299×101×93×107≈9.67＞6.635＝x 0.01，所以有99%以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．9．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的题目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断．解：建立性别与态度的2×2列联表如下：根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为22110＝0.2，女生中作肯定态度的频率为2260≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．假设H 0：性别和态度无关．根据列联表中的数据得到χ2的观测值χ2＝170×22×38－22×882110×60×44×126≈5.622＞3.841＝x 0.05.根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05.B 级——能力提升练10．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生情况，经过计算得到x 2＝4.844>3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性约是( )A ．0.5%B ．1%C ．5%D ．10%【答案】C 【解析】∵P (χ2≥3.841)≈0.05，∴判断出错的可能性有5%. 11．(多选)有两个分类变量X ，Y ，其列联表为：其中a,15－a 均为大于5Y 与X 有关，则a 的可能取值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】CD 【解析】根据a >5且15－a >5，a ∈Z ，知a 可取6,7,8,9，由表中数据及题意，得χ2＝13×13a －60220×45×3×2≥3.841＝x 0.05，知a 可能取值为8,9.12．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：经计算得χ2＝7.8A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】根据独立性检验的定义，由χ2＝7.8＞6.635＝x 0.01可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”．13．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是________． ①若χ2的观测值χ＝6.635，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．【答案】③ 【解析】χ2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.14．为研究患肺癌与吸烟是否有关，有人做了一次相关调查，其中部分数据丢失，但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相等，吸烟患癌人数占吸烟总人数的45，不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的人数之比为1∶4.若研究得到在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟人数至少有多少？解：设吸烟人数为5x ，由题意可得列联表如下：χ2＝10x 16x 2－x225x4＝3.6x .由题意知3.6x ≥10.828，故x ≥3.008. 因为x 为整数，故x 最小值为4. 故5x ＝20，吸烟人数至少为20人．C 级——探究创新练15．某学校为了解该校高三年级学生在市一模考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如图，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表．若按是否优秀来判断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异？(2)某高校派出2140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试．若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和均值．解：(1)由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成绩优秀的人数为(0.010＋0.004＋0.002)×10×50＝8，故非优秀人数为50－8＝42.该校理科学生中数学成绩优秀的人数为(0.020＋0.014＋0.006)×10×50＝20，故非优秀人数为50－20＝30.则2×2列联表如下：∴χ2＝100×8×50×50×28×72≈7.143＞6.635，故有99%的把握认为该校文理科数学成绩有差异．(2)由(1)知，该校随机抽取的学生成绩中一模数学成绩在140分以上的学生为4人，ξ的可能取值为1,2,3.将4人分给两名教授每名教授至少1名学生的不同分法种数为C 14C 33＋C 24C 22＋C 34C 11＝14，则P (ξ＝1)＝C 1414＝27，P (ξ＝2)＝C 2414＝37，P (ξ＝3)＝C 3414＝27.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×27＋2×37＋3×7＝2.。

人教版新课标高中数学A版选修2-3课本人教版新课标高中数学A版选修2-3课本是为高中阶段的学生设计的，旨在帮助学生深入理解数学知识，培养数学思维能力，并为进一步的学习打下坚实的基础。

本课本涵盖了概率论、统计学、算法初步等重要数学分支，是高中数学学习的重要组成部分。

首先，概率论部分介绍了随机事件及其概率，包括古典概型、几何概型和条件概率等基本概念。

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此外，课本还介绍了概率的加法和乘法规则，以及独立事件和相互独立事件的概念，这些都是解决概率问题的重要工具。

在统计学部分，课本从数据的收集、整理和描述入手，介绍了数据的图表表示方法，如条形图、折线图和饼图等。

这些图表能够帮助学生直观地理解数据的特点和趋势。

课本还涉及了数据的集中趋势和离散程度的度量，包括平均数、中位数、众数、方差和标准差等统计量。

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算法初步部分则让学生初步了解算法的概念和重要性。

课本介绍了算法的基本特征，包括有限性、确定性和有效性，并展示了如何设计简单的算法来解决实际问题。

此外，课本还探讨了算法的效率问题，包括算法的时间复杂度和空间复杂度，帮助学生理解算法性能的评估方法。

在整本书的学习过程中，课本通过大量的例题和习题来巩固学生的理论知识，并提高他们的解题能力。

每个章节后都配有相应的习题，这些习题从易到难，逐步提升难度，旨在帮助学生逐步掌握数学知识，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

总之，人教版新课标高中数学A版选修2-3课本是高中数学教育的重要资源，它不仅提供了丰富的数学知识，还通过各种练习和应用，帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们的未来发展奠定坚实的基础。

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。

组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

高三数学选修2-3知识点高三数学选修2-3是高中数学课程中的一部分，主要讲解了数学中的一些应用问题和数学建模的技巧。

这一部分的内容比较具体，其中包括了概率统计、三角函数、向量和解析几何等知识点。

下面我将分别介绍这些知识点的重点内容和应用。

一、概率统计概率统计是实际生活中常常用到的一门数学知识。

它主要研究随机事件的发生概率及其统计规律。

在概率统计中，最常见的一种问题是求解事件发生的概率。

为了求解概率，我们需要掌握一些基本概念和方法。

首先，我们需要了解事件的概念以及事件之间的关系。

事件通常用一个大写字母表示，而事件之间的关系通过并、或等运算来描述。

例如，如果事件A和事件B是互不相容的，那么它们的并就是两事件之和;如果它们是相容的，那么它们的并就是两事件的交集。

其次，我们需要学会如何计算概率。

概率有两种计算方法，一种是几何概率，一种是统计概率。

几何概率常用来解决几何问题，并通过实验次数的频率来估计概率。

统计概率则是通过一系列试验结果的频率来估计概率，常用于描述随机事件在长期实验中出现的可能性。

在实际生活中，概率统计可以应用于很多领域，例如金融、保险、科学实验等。

它可以帮助我们评估风险、预测趋势，对决策和规划起到重要的指导作用。

二、三角函数三角函数是数学中的一类特殊函数，它们描述的是角度和长度之间的关系。

在高三数学选修2-3中，我们主要学习了正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数描述的是一个角对应的直角三角形中，斜边与对边的比值。

余弦函数描述的是一个角对应的直角三角形中，斜边与邻边的比值。

正切函数则描述的是一个角对应的直角三角形中，对边与邻边的比值。

三角函数的应用广泛，包括工程、物理、天文等多个领域。

例如在三角测量中，可以利用三角函数计算出不可达区域的高度和距离;在物理中，三角函数可以用于描述波动、振动等现象。

三、向量和解析几何向量和解析几何是高三数学选修2-3中比较抽象和复杂的一部分。

它们主要研究的是空间中的点和直线的性质以及它们之间的关系。

高中数学选修2-3知识点高中数学选修2-3知识点第一章：计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事情，有N类方法，第一类方法有M1种不同的方法，第二类方法有M2种不同的方法，以此类推，第N类方法有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有M1+M2+。

+MN种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成N个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有M2种不同的方法，以此类推，第N步有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有XXX种不同的方法。

3.排列：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

4.排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的m个排列。

从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示。

An=m!/(n-m)!(m≤n，n，m∈N)。

5.公式：A(n+m)=An+Am*m!(m≤n，n，m∈N)；An=m*(m-1)*。

*(n-m+1)=n!/(n-m)。

6.组合：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

7.公式：C(m,n)=C(n,n-m)=m!/[(n-m)!*m!]；C(m,n)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)；C(n,m)=C(n-1,m-1)*(n-m+1)/m。

8.二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+。

+C(n,n)*a^0*b^n。

9.二项式通项公式展开式的通项公式：T=C(n,r)*a^(n-r)*b^r (r=0,1.n)，其中C(n,r)为二项式系数。

10.二项式系数Cn：C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(r!(n-r)!)，其中r为从n个元素中取出的元素个数。

11.杨辉三角：杨辉三角是一种数学图形，由二项式系数构成，XXX的数为C(n,0)，C(n,1)。

2．2．1条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。

过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 ()3 P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n A B n A B P A B n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =.由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅. 并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ .更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω.(2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω.(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===.例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A = 表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯.(2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。

•绪论•概率论基础•数理逻辑初步•数列与数学归纳法•复数与三角函数•导数与微分•总结与展望目录01绪论数学的意义和作用数学是自然科学的基础01数学是工程技术的支撑02数学是社会科学的重要工具03高中数学选修2的目的和内容目的内容学习方法和要求学习方法学生应该注重课堂听讲，积极参与课堂讨论，及时完成课后作业和练习。

同时，学生还应该学会自主学习，通过阅读教材、参考书和网上资源等途径加深对知识点的理解和掌握。

要求学生应该掌握每个模块的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决实际问题。

此外，学生还应该具备一定的数学思维和创新能力，能够独立思考和解决问题。

同时，学生还应该注重数学在实际生活中的应用，将数学知识与实际生活相结合。

02概率论基础随机事件与概率随机事件在一定条件下并不总是发生，而且我们不能预知其结果的事件。

例如，抛掷一枚硬币出现正面或反面是一个随机事件。

概率用来量化随机事件发生的可能性的数值。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

概率的基本性质包括非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）和可加性（互斥事件的概率之和等于它们各自概率的和）。

古典概型与几何概型古典概型01几何概型02古典概型与几何概型的区别03条件概率与独立性条件概率事件的独立性条件概率与独立性的关系两个事件的相互独立性多个事件的相互独立性相互独立性的应用事件的相互独立性03数理逻辑初步命题与逻辑联结词命题陈述句，可以判断真假。

逻辑联结词包括“且”、“或”、“非”等，用于连接命题构成复合命题。

真值表用于判断复合命题真假的表格，列出所有可能的命题组合及其对应的真假值。

充分条件、必要条件和充要条件必要条件充分条件如果A是B的必要条件，那么必然需要A发生，但导致B发生。

充要条件推理规则反证法归纳法030201简单的逻辑推断04数列与数学归纳法数列的概念和通项公式数列的定义按照一定顺序排列的一列数。

2013年高中数学 2.2 3概率论与数理统计教案新人教A版选修选修2-31、大纲用于数学教育专业（专科）《概率论与数理统计》课程之教学。

2、课程教学目的与要求：概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课程。

专科开设概率论与数理统计，教学内容偏重于概率论部分，使学生较好的掌握概率论特有的分析概念。

数理统计部分只讲授数理统计基本知识、参数估计、假设检验三章节。

每章配备习题课，帮助学生加深对基本概念的理解和掌握，熟悉各种公式的应用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

学习本课程，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。

3、大纲内容包括各章节教学内容、教学要求、教学重点及难点。

4、课程涉及到的基础知识有：排列组合、高等数学、线性代数等基础课程。

5、学时安排：本课程总学时为72学时，各部分学时安排如下：教学内容第一章随机事件及其概率[本章教学目的及要求]学习本章，要求掌握随机事件、事件概率、独立性及条件概率等基本概念；掌握概率的性质，概率乘法公式，掌握古典概型及其解题方法，掌握伯努利概型。

要求在掌握有关基本概念和方法的基础上能解答一些常见的、一般性的概率问题。

第一节样本空间、随机事件一、必然现象和随机现象：用例子说明。

二、随机试验与事件：随机试验应满足的三个条件，频率、统计规律性。

三、样本空间：例题说明怎样选择和确定样本空间。

四、事件的关系和运算：利用集合论中集合的关系和运算并结合图形，讲叙随机事件的关系和运算。

第二节概率的定义及性质一、频率及概率：由频率的几条性质，引出概率的定义。

二、概率定义：给出定义，强调其中可列可加性。

三、概率的性质：规范性、非负性、加法公式等。

第三节古典概型一、古典概型：给出古典概型应满足的条件及计算公式。

二、古典概型：关于古典概型的几个例题，其中有超几何分布。

中学教材全解:高中数学(选修2-3)(人教版b)电子版篇一：P121-180 中学教材全解高中数学选修2-3P121知识点1 条件概率在很多实际问题中，需要考虑一个事件在“某事件已发生”这个附加条件下的概率，我们来看下面的问题.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A?“蓝骰子的点数为3或6”，事件B?“两颗骰子的点数之和大于8”.我们用x代表抛掷红骰子所得到的点数，用y代表抛掷蓝骰子所得到的点数，则这个试验的基本事件空间为S?{(x,y)|x?N,y?N,1?x?6,1?y?6}.作图2?2?1，容易看出，基本事件空间的元素与图中的点一一对应，所以抛掷红、蓝两颗骰子这一试验的基本事件总数为36，事件B所包含的基本事件对应图中10三角实线所包围的点，个数为10．所以，事件B发生的概率P(B)?. 36当已知蓝色骰子的点数为3或6时，事件B所发生的概率是多少呢?也就是要求事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率是多少．事件A已发生的所有可能的结果对应图中长条虚线所包围的12个点．其中三角实线框内的5个点的5“点数之和大于8”，所以事件B在“事件A已发生”条件下的概率是. 12一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)=P(AB)事件A发生的P(A)条件下，事件B发生的条件概率．一般地，把P(B|A)读作“A发生的条件下B发生的概率”．条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0?P(B|A)?1如果B和C是两个互斥事件，则P(B?C|A)=P(B|A)+P(C|A)评注（1）事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．（2）应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．（3）已知A发生，在此条件下B发生，相当于发生，要求P(B|A)相当于把A看做新的基本事件空间来计算AB发生的概率，即n(AB)n(AB)P(AB)n(?)P(B|A). n(A)n(A)P(A)n(?)例1一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个女孩，问这是另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，3题意可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意，设基本事件空间为?，A表示“其中一个是女孩”，B表示“其中一个是男孩”，则{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A?{(男，女)，(女，男)，(女，女) )}，B?{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A?B?{(男，女)，(女，男)}．问题是求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即求P(B|A).32P(A)?,P(A?B)?,44 P(AB)2?P(B|A)??.P(A)3因此所求条件概率为2．3P122知识点2事件的相互独立性我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时，条件概率P(B|A).和概率P(B)一般是不相等的，但有时事件A 的发生看上去对事件B的发生没有影响，比如依次抛掷两枚硬币，抛掷第1枚硬币的结果(事件A)对抛掷第2枚硬币的结果(事件B)没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗?让我们先来看一个例子．2个白皮蛋，例2 在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率．解：设A一“第一次取到红皮蛋”，B一“第二次取到红皮蛋”，则33P(A)?，由于是有放回的抽取，所以P(B)?. 55 A?B?“两次都取到红皮蛋”，由于第一次取一个鸡蛋有5种取法，第二次取一个鸡蛋也有5种取法，于是两次共有5?5种取法．其中都取到红皮蛋的取法有3?3种，因此，两次都取到红皮蛋的概率为3?39?. P(A?B)?5?525所以P(B|A)?P(AB)3?. P(A)5在该列中，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即p(B|A)?P(B).设A、B为两个事件，如果P(AB)?P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立.P123评注(1)对于事件A、B，如果事件A (或) B是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如果甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．(2)一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A 与B，万与百也都是相互独立的．(3)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)?P(A)?P(B) ____在实际问题中，对于竹个事件，通常是考虑这些事件的含义，用日常生活或生产中得到的经验来分析它们之间有没有影响，如果没有影响，或者影响可以忽略不计，就可以判断这”个事件是相互独立的．如果事件A1,A2…An相互独立，那么这”个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1?A2?…An)?PA(1?)PA(2?…)?PAn( )并且上式中任意多个事件A。

第八章 8.3.1A 级——基础过关练1．可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是( ) A ．散点图 B ．等高堆积条形图 C ．假设检验的思想D ．以上都不对【答案】B 【解析】用等高堆积条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，体现了数形结合思想，但是无法给出结论的可信程度，故选B ．2．在2×2列联表中，下列两个比值相差越大，两个分类变量之间的关系越强的是( ) A ．a a ＋b 与c c ＋d B ．a c ＋d 与c a ＋b C ．aa ＋d 与cb ＋cD ．ab ＋d 与ca ＋c【答案】A 【解析】aa ＋b 与cc ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个分类变量之间的关系越强．3．(多选)为了解户籍、性别对生育三胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人．绘制不同群体中倾向选择生育三胎与倾向选择不生育三胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育三胎的对应比例，则下列叙述中正确的是( )A ．是否倾向选择生育三胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育三胎与性别无关C ．倾向选择生育三胎的人员中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育三胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】ABD 【解析】由不同群体中倾向选择生育三胎与倾向选择不生育三胎的人数比例图知，在A 中，∵城镇户籍倾向选择生育三胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育三胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育三胎与户籍有关，故A 正确；在B 中，∵男性倾向选择生育三胎的比例为60%，女性倾向选择生育三胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育三胎与性别无关，故B 正确；在C 中，∵男性倾向选择生育三胎的比例为60%，人数为60×60%＝36，女性倾向选择生育三胎的比例为60%，人数为40×60%＝24，∴倾向选择生育三胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C 错误；在D 中，∵倾向选择不生育三胎的人员中，农村户籍人数为50×(1－80%)＝10，城镇户籍人数为50×(1－40%)＝30，∴倾向选择不生育三胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 正确．4．用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是( )【答案】D 【解析】由等高条形图易知，D 选项两个分类变量关系最强．5．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是____________________________________．【答案】男正教授人数，副教授人数；女正教授人数，副教授人数．6．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)． 【答案】是 【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．7．下图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高堆积条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600人(所有学生都参加了调查)，现从参加社团的同学中按分层随机抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为________．【答案】27 【解析】根据等高堆积条形图可知，参加社团的高一和高二年级学生的人数比为2∶3，由分层随机抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为45×35＝27.8．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？解：等高堆积条形图如图所示：其中两个白色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率． 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．9．当某矿石粉厂生产一种矿石粉时，在数天内就有部分工人患职业性皮肤炎．在生产季节期间，随机抽取车间工人抽血化验，75名穿新防护服的车间工人中5例阳性，70例阴性，28名穿旧防护服的车间工人中10例阳性，18例阴性，请用图形判定这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效．(注：显阴性即未患皮肤炎)解：由题目所给的数据得2×2列联表：图中两个深色的高分别表示穿新、旧防护服样本中呈阳性的频率，从图中可以看出，穿旧防护服呈阳性的频率高于穿新防护服呈阳性的频率．因此，可以认为新防护服比旧防护服对预防这种皮肤炎有效．B 级——能力提升练10．(多选)分类变量X 和Y 的列联表如下：A ．ad －bc 越小，说明X 与Y 关系越弱B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 关系越强C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强【答案】ABD 【解析】|ad －bc |越小，说明X 与Y 关系越弱，|ad －bc |越大，说明X 与Y 关系越强．11．分类变量X 和Y 的列联表如下：A ．200B ．720C ．100D ．180【答案】B 【解析】由于X 和Y 没有任何关系，根据列联表可知2001 000和180180＋a 基本相等，检验可知，B 满足条件，故选B ．12．假设有两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4【答案】D 【解析】比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d .选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝245；选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝124；选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝245；选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝745.故选D ． 13．为了考查长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空.；④________. 【答案】86 180 229 301 【解析】最右侧的合计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的合计是相应的列上两个数据的和，由①和②的结果可求得③④.14．某学校对学生课外活动内容进行调查，结果整理成下表：解：其等高堆积条形图如图所示．由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文娱在性别上有较大差异，说明课外活动的类别与性别在某种程度上有关系．C 级——探究创新练15．某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜欢情况，其二维堆积条形图如图(阴影部分代表喜欢，白色代表不喜欢)．(1)写出2×2列联表；(2)在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率．解：(1)观察二维堆积条形图可得，经调查的男生总共45人，其中喜欢这项运动的有15人，不喜欢的有30人； 经调查的女生总共45人，其中喜欢这项运动的有5人，不喜欢的有40人． 由此写出列联表如下：(2)所求概率为p ＝C 11C 12C 23＝3，即恰是一男一女的概率为23.。