高考数学二轮复习 专题八 概率与统计第一讲 统计、统计案例、概率课件 理

《计数原理与概率》高考复习指导一、考试说明：1．考试内容（1）分类计数原理与分步计数原理，排列与组合．（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率．2．考试要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率．（4）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．（5）了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．二、高考试题分析排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容．一方面，这部分内容占用教学时数多达36课时，另一方面，这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识，因此，它是高考数学命题的重要内容．从近三年全国高考数学（新材）试题来看，主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力．试题特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是两小（9分～10分）一大（12分），解答题通常是概率问题．试题难度多为低中档．为了支持高中数学课程的改革，高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定．例1．（1999年全国）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_______种（用数字作答）．[解析]A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有一种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2(3＋2＋1)=12种不同的选垄方法．∴应填12.例2．（2003年新教材）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种（以数字作答）．[解析]将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊，3种作物依次看作A、B、C，则3种作物都可以种植在甲试验田里，由于相邻的试验田不能种植同一种作物，从而可知在乙试验田里只能有两种作物．同理，在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植．由分步计数原理，不同的种植方法共有3×2×2×2=48种．∴应填：48例3．（2003年全国高考题）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法有_______种．[解析]由于第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法，所以共有4×3×2=24种不同种法．下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，若第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法．综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．例4．（2003年春季考试题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为A 、42B 、30C 、20D 、12[解析]将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况：（1）两个新节目相邻的插法种数为226A ；（2）两个节目不相邻的插法种数为26A ；由分类计数原理共有2226642A A +=种方法，选A.例5．（2004重庆）（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。

考点一概率的计算［冲关锦囊］1.古典概型、几何概型及互斥事件的概率2.几何概型其实质是把问题转化为各种几何概率问题.主要有面积型、体积型、长度型.3.对于互斥事件有一个发生的概率事件实质上是分类思想的应用.要注意分类时缎到不重不漏，也可以利用对立事件求概率，即P⑷=1—P(A).［考题剖析］【例1】(1)(2013-新课标全国卷I )从1,2,3,4中任取2 个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是B 3解析：所有取法为：1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4,满2 1足条件的有1、3,2、4,故概率P=^=y选B.答案：B(2)(2013-湖南卷)己知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使AAPB的最大边是AB”发生的概率为扌，则霁=()B解析：如图，由已知点P在CD上的取值范围EF的长度是CD 长度的一半，设AB=Ah则EF=2k, DE=CF=h AF =AB=4k,在RtAADF中，可得AD=^AF2~DF2=A J(4Q2-(3Q2=所以等普品故选D答案：D(3)(2013-辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答•试求：⑴所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率.解析：⑴将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6,任取2道题，基本事件为：{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6},共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4},共6 个，所以P⑷令了⑵基本事件同⑴,用B表示“不是同一类题”这一事件, 则B 包含的基本事件有{1,5}, {1,6}, {2,5}, {2,6}, {3,5},Q{3,6}, {4,5}, {4,6},共8 个,所以P⑹苹.［对点训练］1.(2013-安徽卷喏某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()人2 “2厂3小9A-3 B5 C5 D-10解析：记“甲或乙被录用”为事件A,则只为“甲、乙都— 1 1 1 Q未被录用”，P(A)=^J=J Q,/.P(A)=1-J Q=J Q,选D.5答案：D2.(2013•江西卷)集合A二{2,3}, B={1,2,3},从A, B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是() A| B 2 C1 D-6解析：从A、B中各任意取一个数，共有2X3=6种情形, 其中这两数之和等于4的情形有(2,2), (3,1)两种…••所求概率答案：C3.（2013•湖北卷）在区间［—2,4］上随机地取一个数x,若x 满足的概率为*,则m= _______________.I Illi 、~~0~2 3 4 x解析：如图，当m=3时，LxIW/n的概率为答案：3考点二统计［冲关锦囊］1.抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值.2.频率分布直方图中⑴各矩形的面积和为1.(2)纵轴的含义为频率/组距.(3)样本数据的平均数为组中值乘以各组的频率的和.(4)众数为最高矩形的底边中点的坐标.(5)中位数，等分面积对应的横坐标.3.茎叶图没有数据的流失・4.样本平均数：7=尹1+花+・・・+讪样本方差孑=打＞1_汀+ （七_汀（X厂X）］•I L5.⑴众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（或出现次数最多的那个数据）.⑵中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数.［考题剖析］【例2】（1）（2013•江西卷）总体由编号为01,02,…，19,20 的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A. 08B. 07C. 02D. 01才65X )丿 72x )©(002(e63(x)，14(J)O7(J )o 2(x )k3x y 69x h 97x h 28x )o l(J )s 玮 59®血® 淳 E S O（2）（2013-重庆卷）下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间［22,30）内的频率为（）1 8 92 1 2 2 7 93 0 0 3A.0.2B. 0.4 C .0.5 D. 0.6解析:落在［22,30 ）内的数据有4, 故频率为:4旷04答案；B(3)(2013-辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40), [40,60), [60,80), [80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()A. 45B. 50C. 55D. 60解析：低于60分的人数的频率为0.005X20+0.01X20=・：该班的学生人数是15v0.3 = 15Xy=50(A).答案：B［对点训练］4. （2013-湖南卷）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为〃的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则〃=()A. 9B. 10C. 12D. 13解析:由题思可得：丽=120+80+60’解得n=13.故选D.答案：D5. （2013-山东卷）将某选手的9个得分去掉］个最高分，去掉、1个最低分，7个剩余分数的平均分为91,现场作的9 个少数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以兀表示：0x9则7个剩余分数的方差为（B.学A晋解析：若x为9,则平均数为87+94+90+91+90+99+91吗,故详：87+94+90+91+90+(90+X)+91=91，得x=4.7方差"=*(87—9厅 + (94—91)2+(90—9厅+(91—91)2 +(90-91)2+(94—9厅+(91—91)沪罗，选B.答案：B考点三回归分析［冲关锦囊］1.判断两变量是否有线性相关关系的方法: ⑴作散点图.(2)利用相关系数判断相关性的强弱., A A A ——t2.回归直线方^y=bx+a必过定点(兀，y)・［考题剖析］【例3】（2013-重庆卷）从某居民区随机抽取10个家庭, 获得第i 个家庭的月收入珈单位：千元）与月储蓄升（单位：千 10 1010 10 兀）的数据资料，算得80, 20,右妙=184,為/= 720.AAA附：线性回归方程尸加中,n ___A ^xiy-n x y b~ n ~~ nx 2— — A A其中X, y 为样本平均值，线性回归方程也可写A — A — a —y~bx,为『=加A+o.⑴求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄._ 1 10 QA解析：⑴由题意知〃=10, 厶心=仍=8,-_e_20y~n^yi~10~2,2=720-10X82=80,10 _ 又HXIO ________l^^Xiy—nx y =184—10X8X2=24, 由此得鈴=0.3,社了一亦=2—0.3X8 = —0.4,A故所求回归方程为y=0・3x—04⑵由于变量y的值随％的值增加而增加（b=o.3〉o）,故x 与y之间是正相关.⑶将兀=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为尸0.3X7—0・4=1.7（千元）.［对点训练］6.在一组样本数据（兀1，为）,（兀2,力），…,⑴，齐）（〃22, Xp X2，…X"不全相等）的散点图中，若所有样本点（珞，X）（i= 1,2,…，〃都在直线尸刍+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. -1B. 0C.扌D. 1解析：因为点比，j/）（f=l,2, ・・・，〃）都在直线y=^x+l 上，所以r=b所以选D.答案：D7.（2013-湖北卷）四名同学根据各自的样本数据研究变量x, y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：A①y与x负相关且尸2.347x—6.423；A②y与x负相关且y= — 3.476x+5.648；A③y 与x 正相关 >=5.437x+8.493；A④y与x正相关且y=—4.326*—4.578・其中一定不正确的结论的序号是（）• • •A.①②B.②③C.③④D.①④解析：回归方程k〉0,正相关，回归方程k<0,负相关. 答案：D考点四独立性检验［冲关锦囊］2X2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为匕1，七｝和｛刃，力｝，其样本频数列联表为：川=@+0）（；第）器c）e+rf）（其中“o+0+c+d 为样本容量）.[考题剖析]【例4】（2013-福建卷）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60）, [60,70）, [70,80）, [80,90）, [90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.A频率/组距0.035 00.02000.005 0^50 60 70 8090 10025周岁以上组A频率/组距⑴从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽取一名“25周岁以下组”工人的概率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” ？随 2 = ________________ 〃（血1〃22 一山2^21）2 ____：1一（〃11+〃21）（〃12 + 〃22）（〃11+血2）（〃21+〃22）（注：此公式也可以写成宀丄眯u解析：⑴由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名, 25周岁以下组工人40名.所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60X0.05=3（人），记为Ai，A2, A3； 25周岁以下组工人有40X0.05=2（人），记为Bi，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，人2），⑷，人3）（人2，人3），⑷，B]）,（A1，Bj,（人2, 〃1）'（人2‘ 〃2）'（人3‘ 〃1）'（人3‘ Bj,（B],场）.其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7 种，它们是：（Ai，Bi）, （A P伤），⑷，5），@2, Bj,（A3, 7B）（A3, B2）, （J?P B2）,故所求的概率P=J Q.（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25 周岁以上组”中的生产能手60X0.25 = 15（人），“25周岁以下组”中的生产能手40X0.375 = 15（人），据此可得2X2列联表如下：100X(15X25 — 15X45)2 25〜 —60X40X30X70— = 14^1,79因为 1.79<2.706, 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄 组有关”・所以得K 2 = ______ fi(ad_bcY (o+0)(c+d)(o+c)@+d)［对点训练］8.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:频率▲将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷” •(1)根据己知条件完成下面的2X2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？⑵将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”・已知“超级体育迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附.2 二 _________ 一〃12^21）2 ___________________■ X（〃11+险1）（〃12+血2）（山1+〃12）（〃21+〃22）'解析：⑴由频率分布直方图可知，在抽取的100人中, “体育迷”有25人，从而2X2列联表如下：将2X2列联表中的数据代入公式计算，得 2 〃（〃11〃22 —〃12〃21）2 V = ------------------------------------------ （〃11+〃21）仙2 + 〃22）（山1+〃12）（〃21+〃22） 100X （30X10—45X15）2 =75X25X45X55因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别 有关. （2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而100 33" ^3.030.一切可能结果所组成的基本事件为0=｛（。

高三数学第二轮专题讲座复习：概率与统计高考要求概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法重难点归纳本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维典型题例示范讲解例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系解(1)由所给数据，计算得如下频率分布表数据段频数频率累积频率［10,15) 4 0.08 0.08［15,20) 5 0.10 0.18［20,25)10 0.20 0.38［25,30)11 0.22 0.60［30,35)9 0.18 0.78［35,40)8 0.16 0.94［40,45) 3 0.06 1总计50 1(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下例2袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p 的值． 命题意图本题考查利用概率知识和期望的计算方法 知识依托概率的计算及期望的概念的有关知识错解分析在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误 技巧与方法 可借助n 次独立重复试验概率公式计算概率解 (Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kk kn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2 3P32243 80243 80243 17243ξ的数学期望是 32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球由122335m mpm +=，得1330p = 例3如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作 已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N 1，N 2正常工作的概率P 1、P 2(N 2)AB C(N 1)CB A解 记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ， 由已知条件P (A )=0.80, P (B )=0.90,P (C )=0.90(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P (C B ⋅)］=P (A )·［1－P (B )P (C )］ =0 80×［1－(1－0 90)(1－0 90)］=0 792 故系统N 2正常工作的概率为0 792 学生巩固练习1 甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是31，41现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )107 D. 54C. 32 B. 43A. 2 已知随机变量ζ的分布列为 P (ζ=k )=31,k =1,2,3,则P (3ζ+5)等于A 6B 9C 3D 43 1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望E ζ=_________4 某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________5 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算 (1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率6 已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-≤2 021 1 0x x a x x(1)求常数a 的值，并画出ζ的概率密度曲线； (2)求P (1＜ζ＜23) 参考答案:1 解析 设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生.41)411)(311)(211()](1[)](1[)](1[)()()()(=---=-⋅-⋅-=⋅⋅=⋅⋅∴C P B P A P C P B P A P C B A P故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )=1－4341= 答案 A 2 解析 E ξ=(1+2+3)·31=2，E ξ2=(12+22+32)·31=314∴D ξ=E ξ2－(E ξ)2=314－2232∴D (3ξ+5)=9E ξ=6答案 A3 解析 由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P (ξ=0)=43C C 11219=,3.02201322092449143022012C C C )3(,22092C C C )2(,4492C C C )1(412193331219232121913=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴===ξ=⋅==ξ===ξE P P P 答案 0.34 解析 因为每组人数为13，因此，每组选1人有C 113种方法，所以所求概率为P 4524113)C ( 答案 4524113C )C ( 5 解 (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A ，“乙射击一次击中目标”叫做事件B 显然事件A 、B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P (A ·B ) =P (A )·P (B )=0.6×0.6=0.36答 两人都击中目标的概率是0.36(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是P (A ·B)=P (A )P (B )=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A ·B 与A ·B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P (A ·B )+P (A ·B )=0.24+0.24=0.48(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P =P (A ·B )+［P (A ·B )+P (A )·B ］=0.36+0.48=0.84答 至少有一人击中目标的概率是0.846 解 (1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，所以21 (1－a +2－a )·1=1,∴a =21概率密度曲线如图 (2)P (1＜ξ＜23)=9323)121(21=⋅+⋅。

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。