七年级数学下册13二元一次方程组的应用中考命题探究素材湘教版.

七年级数学下册13二元一次方程组的应用典型例题素材湘教版. -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《二元一次方程组的应用》典型例题例1 小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入与支出各是多少？例2要配制成浓度为30％的烧碱溶液50千克，需要浓度为10％和60％的两种烧碱溶液多少千克？例3一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时，上坡的速度为20千米/时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？例4 某中学初三（1）班计划用66元钱同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加艺术节活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，那么可有几种购买方案每种方案中，购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件例5某工程队计划在695米线路上分别装25.6米长两种规格的水管.8米和25共100根，问这两种水管各需多少根？例6 若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的32，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？例7 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度.例8 通讯员在规定的时间内由A 地前往B 地.如果他每小时走35公里，那么他就要迟到2小时；如果他每小时走50公里，那么他就可以比规定时间早到1小时，求A 、B 两地间的距离.例9 某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？例10 要修一段420千米长的公路.甲工程队先干2天乙工程队加入，两队再合干2天完成任务；如果乙队先干2天，甲、乙两队再合干3天完成任务，问甲、乙两个工程队每天各能修路多少千米？例11 甲乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两物体反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两物体同向运动时，每1分钟相遇一次，求各物体的速度？参考答案例1 分析 若设去年收收x 元，支出y 元，则可由去年结余5000元，今年结余9500元这两个条件列出两个方程.解 设去年收入x 元，支出y 元，根据题意，得⎩⎨⎧=--+=-)2( .9500%)101(%)151()1( ,5000y x y x 解得⎩⎨⎧==.15000,20000y x 答：去年小明家收入20000元，支出15000元.例2 分析 本题中要抓住两个数量关系，一是两种烧碱溶液重量和为50千克，二是10％和60％的烧碱溶液中纯烧碱的量的和等于50千克30％的烧碱溶液中的纯烧碱量.解 设需要浓度为10％的烧碱溶液x 千克，浓度为60％的烧碱溶液y 千克，根据题意，得 ⎩⎨⎧+=+=+)2( ).%(30%60%10)1( ,50y x y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.20,30y x答：需要浓度为10％的烧碱溶液30千克，浓度为60％的烧碱溶液20千克.例3 解 设甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，则平路为)70(y x --千米， 根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++=--++.3.230702040,5.230704020y x y x y x y x解得 ⎩⎨⎧==,4,12y x 则.5470=--y x答：从甲地到乙地上坡路12千米，下坡路4千米，平路54千米.例4 分析 可设购买甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x 、y 、z .在题目中有两个相等关系：“购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件”，“购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱”.根据这两个相等关系可以列出两个关于x 、y 、z 的方程.但这里有三个未知数，只列出了两个方程是无法求出它们的解的，注意到题目中还有两个限制条件：“购买甲种纪念品的件数不少于10件”，“购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半”.有了这两个条件，就确定了x 的取值范围，而x 必为正整数，因此可求出x 的值，从而求出另外两个求知数.解 设购买的甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x 、y 、z ，根据题意，有 ⎩⎨⎧+==++.2,6623x y z y x 则⎩⎨⎧-=+=.562,2x z x y ∵ 10≥x ，且2663≤x ，∴ 1110≤≤x ，又∵ x 为整数，∴ 10=x 或11=x . （1）当10=x 时，;121056212210=⨯-==+=z y ，（2）当11=x 时，.71156213211=⨯-==+=z y ，答：可有两种购买方案：第一种方案：购买甲种纪念品10件、乙种12件、丙种12件；第二种方案：购买甲种纪念品11件、乙种13件、丙种7件. 例5 分析 本题中有两个未知数——规格为25.8米长水管的根数与规格为25.6米长水管的根数.题目中恰有两个相等关系：（1） 25.8米长的水管根数十25.6米长水管根数=100根（2） 25.8米长水管总米数十25.6米长水管的总米数=线路的总米数 解 设25.8米长规格的水管需x 根，25.6米长规格的水管y 根，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+69525.625.8100y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==6535y x答：需规格为25.8米长的水管35根，需规格为25.6米长的水管65根.说明：在实际生活中，我们常常遇到象例1这样的问题，我给出的解法是列出二元一次方程组求解.同学们想一想，还有没有其他的方法能不能列出一元一次方程来解呢如果能，比较两者的不同，看一看哪种方法简单然后自己归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤.例6 分析 本题有两个未知数——甲仓库原存粮与乙库原存粮；有两个相等关系：（1）甲仓库原存粮吨数＋乙仓库原存粮吨数=95吨（2）乙仓库剩余粮食吨数=2倍甲库剩余粮食吨数解 设甲仓库原存粮食x 吨，乙仓库原存粮食y 吨， 根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+x y y x )321(2%)401(95 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==4045y x 答：甲仓库原存粮食45吨，乙仓库原存粮食50吨.例7 分析 这里有两个未知数——甲、乙两人的速度.有两个相等关系：（1）甲先走2小时的行程+甲乙在2.5小时内走的行程=36千米（2）甲乙3小时走的行程+乙在2小时内走的行程=36千米解 设甲的速度为x 千米/小时，乙的速度为y 千米/小时，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+3653365.25.4y x y x 解方程组，得 ⎩⎨⎧==6.36y x答：甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3.6千米/小时.例8 分析 这里有两个未知数——规定时间和A 、B 两地间距离.有两个相等关系：（1）员速度以35公里/小时走完全程用的时间－2小时=规定时间（2）通讯员速度为50公里/小时走完全程用的时间+1小时=规定时间 解 设A 、B 两地间的距离为x 公里，规定时间为y 小时.根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x y x 150235 解方程组，得 ⎩⎨⎧==8350y x答：A 、B 两地间的距离为350公里.例9 分析 这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：（1）生产螺钉的人数＋生产螺母的人数=总人数（81名）（2）每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数解 设生产螺钉的工人有x 名，生产螺母的工人有y 名，根据题意，得⎩⎨⎧==+y x y x 9612081 解方程组，得 ⎩⎨⎧==4536y x答：生产螺钉的工人有36名，有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.例10 分析 这里有两个未知数——甲工程队每天修路的千米数和乙工程队每天修路的千米数；有两个相等关系：（1）甲2天修路的长＋甲、乙合修2天的公路长=公路总长（2）乙2天修路的长＋甲、乙合修3天的公路长=公路总长解 设甲每天修公路x 千米，乙每天修公路y 千米，根据题意，得 ⎩⎨⎧=++=++420)(32420)(22y x y y x x 解方程组，得 ⎩⎨⎧==3090y x答：甲每天修公路90千米，乙每天修公路30千米.例11 分析 题中有两个未知数，即甲乙两物体速度，题中“每15秒相遇一次”就是15秒两物体经过路程之和是600米，“每分钟相遇一次”就是60秒甲物体要比乙物体多运动一周，故有两个等量关系.解 设甲物体速度为x 米／秒，乙物体为y 米／秒.根据题意得解得⎩⎨⎧=-=+,60060606001515y x y x 解得⎩⎨⎧==.1525y x答：甲乙两物体速度为25米／秒，15米／秒.说明：解此题关键是找出甲、乙两物体同向、反向运动路程之间的相等关系，必要时可画出两物体运动的轨迹示意图，帮助找相等关系.。

湘教版七年级数学下册1.3二元一次方程组的应用1.3.1二元一次方程组的应用教学设计一. 教材分析湘教版七年级数学下册1.3节主要讲解二元一次方程组的应用。

这部分内容是在学生掌握了二元一次方程组的基本知识基础上进行的，旨在让学生能够将理论知识运用到实际问题中，培养学生的解决问题的能力。

本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过具体的实例来帮助学生理解和掌握。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二元一次方程组的概念和基本解法有一定的了解。

但是，对于如何将方程组应用于实际问题中，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例，让学生逐步理解和掌握如何将方程组应用于实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二元一次方程组的应用，能够将实际问题转化为方程组，并求解。

2.过程与方法：通过具体的实例，让学生学会如何将实际问题转化为方程组，培养学生的解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生体验数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握二元一次方程组的应用，能够将实际问题转化为方程组，并求解。

2.难点：如何将实际问题转化为方程组，让学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的实例，引导学生逐步理解和掌握二元一次方程组的应用。

同时，运用合作学习的方法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解二元一次方程组的应用。

2.准备PPT，用于展示和解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二元一次方程组的应用。

例如，某商店同时出售两种商品，商品A售价10元，商品B售价15元。

若商店想要通过出售这两种商品获得利润最大化，应该如何设定商品A和商品B的售价？2.呈现（10分钟）呈现这个问题，让学生思考如何解决。

引导学生将这个问题转化为方程组，并求解。

例谈构造二元一次方程组解题二元一次方程是解决有关数学问题的重要工具．本文通过例题谈如何利用已知条件构造二元一次方程组解有关数学题．一、利用非负数的性质构造方程组例1． 若()063222=+-+-+y x y x ，求x ，y 的值． 解：()0632,022≥+-≥-+y x y x ()063222=+-+-+y x y x 所以202360x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩二、利用定义新运算构造方程组例2． 对有理数x ，y 定义新运算：⊗by ax y x +=⊗（a ，，b 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算），已知2525=⊗，1543=⊗，求11⊗=_______解：由新定义知：52253415a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得50a b =⎧⎨=⎩所以x y x 5=⊗ 所以11⊗=515=⨯三、利用方程的定义构造方程组例3． 方程020082007724953=---++n m n m y x是关于x ，y 的二元一次方程． 求nm 的值． 解：由二元一次方程的定义，有35914271m n m n ++=⎧⎨--=⎩，即358428m n m n +=-⎧⎨-=⎩， 解得12132813m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以n m =73-四、利用方程组的解的定义构造方程组例4． 已知方程组52ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩，求a ，b 的值．解：由方程组的解的定义，有435432a b b a +=⎧⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩五、利用代数式的值的概念构造方程组例5． 已知c bx x ++2，当1=x 时，它的值是2；当1-=x 时，它的值是8，求b ，c 的值． 解：由代数式的值的概念，有22112(1)(1)8b c b c ⎧+⨯+=⎪⎨-+⨯-+=⎪⎩， 即17b c b c +=⎧⎨-+=⎩,解得34b c =-⎧⎨=⎩六、利用几何图形构造方程组例6．用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，如图所示，求每块地砖的长与宽．解：设每块地砖的长为xcm ，宽为ycm根据题意，得32()8x y x x y xy =⎧⎨+=⎩解这个方程组，得即每块地砖的长为1m ，宽为13m七、利用实际问题构造方程组例7．在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3 分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？ 解：设这支足球队胜x 场，平y 场由题意得212322x y x y ++=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得64x y =⎧⎨=⎩利用方程b ax =的性质构造方程组我们知道：若方程b ax =有无穷多个解，则有00==b a 且．利用这一性质可以构造方程组．例8．如果关于x 的方程()1722++=+x b ax 有无穷多个解，试求a ，b 的值． 解：将方程整理，得()b x a -=-154，因为方程有无穷多个解，所以有：⎩⎨⎧=-=-01504b a 解得⎩⎨⎧==154b a八、利用相反数的性质构造方程组 例9．a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，求22b a +的值．解：由互为相反数的性质：互为相反数的两数之和等于0， 有：⎩⎨⎧=++=++013012a b b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5251b a所以22b a +=51525122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-。

《二元一次方程组的应用》中考命题探究【例1】商店新进一批商品准备出售，若打八折出售则10天可售完并能获利10000元；若打七五折出售8天可售完，可获利8000元。

另外货物存放一天需要100元的存货费。

求这批货的本钱（购货钱）和预售价钱各是多少。

分析：本题明显有两个未知数,商品本钱和预售价，也有两个相等关系，分别是两种打折销售获利情况。

解：设这批商品的本钱为x 元，预售价为y 元,根据题意列得⎩⎨⎧=⨯--=⨯--8000810075.010*********.0x y x y 解得 ⎩⎨⎧==4400024200y x 答：这批货的本钱为24200元，预售价为44000元。

点拨：本题没给出商品的数量，所以没法设单价,所以只能以面代点。

以本钱代进价，欲售钱数代替预售价.还要注意，在两次获利中都不含有存货费，即两种获利均为纯利.【例2】已知代数式ax 2+bx+c,当x=—1时,其值为4；当x=1时，其值为8；当x=2时，其值为25；当x=3时,其值为（ D ）A. 23B. 36C. 27D.52分析：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-252484c b a c b a c b a ,由加减法解方程组，得 ⎪⎩⎪⎨⎧===125c b a当x=3时,其值为9a+3b+c=52故答案选D点拨：本题的关键是会解三元一次方程组，其解法类似于二元一次方程组的解法，即设法把三元化为二元，再把二元化为一元。

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用二元一次方程组研究生活中的问题学习了二元一次方程组与实际问题，同学们一定对用二元一次方程组研究我们日常生活中的问题非常感兴趣．本文采撷几例中考试题，愿大家扬起思维的风帆，深刻体会二元一次方程组在生活中的作用吧！一、义务教育的学杂费问题例1、（莱芜市）某市2007年秋季开始，减免学生在义务教育阶段的学杂费，并按照每学期小学生每生250元，初中生450元的标准，由财政拨付学校作为办公经费，该市一学校小学生和初中生共有840人，2007年秋季收到当学期该项拨款290000元，该学校小学生、初中生各有多少人？解：设该学校小学生有x 人，初中生有y 人，根据题意，列方程组得840250450290000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得440400x y =⎧⎨=⎩．答该学校有小学生440人，初中生400人．评注：自2007年秋季起，减免义务教育阶段学生的学杂费是山东省的一件大事，是党和政府切实解决“上学难”问题的具体措施之一．通过这一考题，使广大学生在享受实惠的同时，进一步了解这一伟大举措，树立学好文化知识，服务于社会的远大理想．二、洗涤问题例2、（烟台市）据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2％～0.5％之间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时活性较大．现将4.9千克的衣服放入最大容量为15千克的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到0.4％，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1匙洗衣粉约为0.02千克，假设洗衣机以最大容量洗涤）解：设洗衣机中加入x 千克水，y 匙洗衣粉．由题意，得000.02 4.94150.02150.4x y y ++=⎧⎨=⨯⎩，解得103x y =⎧⎨=⎩．所以洗衣机中需要加入10千克水，3匙洗衣粉．评注：这一考题，不但考查了学生二元一次方程组这一部分知识的掌握情况和运用知识解决实际问题的能力，而且使学生了解了生活中洗衣服效果最佳的常识，令人耳目一新．三、工厂生产问题例3、（德州市）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套．解：设生产奥运会标志x套，奥运会吉祥物y套，根据题意，得4520000 31030000x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得20002400xy=⎧⎨=⎩．答该厂能生产奥运会标志2000套，奥运会吉祥物2400套．2。

湘教版七年级数学下册1.3二元一次方程组的应用1.3.2二元一次方程组的应用说课稿一. 教材分析《湘教版七年级数学下册1.3二元一次方程组的应用1.3.2二元一次方程组的应用》这一节的内容，主要介绍了二元一次方程组在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，学生能够理解二元一次方程组的含义，掌握二元一次方程组的解法，并能运用二元一次方程组解决实际问题。

教材通过丰富的实例，引导学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了方程和方程组的基本概念，对一元一次方程的解法有一定的了解。

但是，对于二元一次方程组的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。

学生在学习过程中，可能对二元一次方程组的解法感到困惑，难以将实际问题转化为数学模型。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习难点，引导学生理解和掌握二元一次方程组的解法，并能够运用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二元一次方程组的含义，掌握二元一次方程组的解法，并能运用二元一次方程组解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过实例分析，学生能够感受数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学的重要性和实用性。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二元一次方程组的含义，掌握二元一次方程组的解法，并能运用二元一次方程组解决实际问题。

2.教学难点：学生对二元一次方程组的解法的理解和运用，以及将实际问题转化为数学模型的能力。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生主动探究，积极参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示实例和解题过程，引导学生直观理解二元一次方程组的概念和应用。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决问题，激发学生的学习兴趣。