2018-2019学年海淀区(理)高三第一学期期末数学试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C ）32-（D ）32（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =. 下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12[,)22；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区2024—2025学年第一学期期中练习高三数学2024.11本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

海淀区2021-2022学年第一学期期末练习高三数学 2022. 01本试卷共6页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,0,1,2},{|(2)0}A B x x x =−=−<，则AB =(A) ∅ (B) {0} (C) {1} (D) {01}，（2）抛物线22x y =的准线方程为(A) 1x =− (B) 1y =− (C) 12x =− (D) 12y =−（3）复数52i+的虚部为 (A) 2− (B) 2 (C) 1− (D) 1（4）在421()x x−的展开式中，x 的系数为(A) 4− (B) 4 (C) 6− (D) 6 （5）已知角α的终边在第三象限，且tan 2=α，则sin cos −=αα(A) 1− (B) 1 (C) 5 (D)5（6）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和. 则“43a a >”是“对于任意*N n ∈且3n ≠，3n S S >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）若函数πsin(π)6y x =−在[0,]m 上单调递增，则m 的最大值为(A) 13(B) 12 (C) 23 (D) 1（8）已知圆C 过点(1,2),(1,0)A B −，则圆心C 到原点距离的最小值为(A) 12(B) 2 (C) 1 (D)（9）如图，,A B 是两个形状相同的杯子，且B 杯高度是A 杯高度的34，则B 杯容积与A 杯容积之比最接近的是 （A ）1:3 （B ）2:5 （C ）3:5 （D ）3:4（10）已知函数()2x f x =，()log a g x x =. 若对于()f x 图象上的任意一点P ，在()g x 的图象上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且||||OP OQ =，则实数a = (A)14 (B)12(C)2 (D)4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学2024.01（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A .i- B.1- C.3i - D.3-【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数1z ，2z ，计算12z z ⋅，得复数12z z ⋅的虚部.【详解】在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则112z i =+，22z i =-+，得()()1212i 2i 43i z z ⋅=+-+=--，所以复数12z z ⋅的虚部为3-.故选：D3.已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则=a （）A.1 B.1- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由题意直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，所以()11202a ⨯--⨯=，解得1a =-.故选：B.4.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A. B.4C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出MO .【详解】设()00,Mxy ，2008y x =，又因为024MF x =+=，所以2002,16x y ==，故MO ===故选：D.5.在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A.4B.2C.43D.23【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案.【详解】连接,AC BD ，相交于点H ，则H 为正方形ABCD 的中心，故PH ⊥底面ABCD ，取CD 的中点Q ，连接,HQ PQ ，则,HQ CD PQ CD ⊥⊥，112HQ AD ==，故PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，故1PH HQ ==，所以该四棱锥的体积为21433AB PH ⨯⋅=.故选：C6.已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC 为直角三角形，则（）A.0mn =B.0-=m nC.0m n +=D.2230m n -=【答案】A 【解析】【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =.【详解】因为圆22:210C x x y ++-=，圆心为()1,0C -，半径为r =CA CB ==因为ABC为直角三角形，所以2AB ==,设圆心()1,0C -到直线()10mx n y +-=的距离为d，d ==由弦长公式AB =1d =1=，化简得0mn =.故选：A.7.若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A.10B.eC.2D.54【答案】D 【解析】【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数()xf x a =与直线y x =相交即可.【详解】对比选项可知我们只需要讨论1a >时，关于x 的方程log 0xa x a -=的解的情况，若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，因为()xf x a =与()log a g x x =互为反函数，所以()xf x a =与()log a g x x =的图像关于直线对称，如图所示：设函数()xf x a =与直线y x =相切，切点为()00,P x y ，()ln xf x a a '=，则有000ln 1xx a a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：0ex a =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图像可知，当(a ∈时，曲线()x f x a =与直线y x =有交点，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，即方程log 0xa x a -=有解.故选：D.8.已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>，所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>，综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件.故选：B.9.已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A.{}n a 是递增数列B.{}n a 是递减数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列【答案】B 【解析】【分析】先根据等比数列前n 项和()111nn a q S q-=-,结合11na Sq<-恒成立，得出,a q 的取值范围，得到{}n a 是递减数列.【详解】{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和()111nn a q S q-=-,()1111111n n n a q a a S S q q q-<∴=<--- ，恒成立,101n a q q ⨯>-恒成立,若0q <，则n q 可能为正也可能为负，不成立所以10,01na q q>>-,当{}10,01,n a q a ><<是递减数列,当10,1,a q {}n a 是递减数列,故选:B .10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A. B.332C.922D.924【答案】D 【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】由于10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，所以10928GHI θ'∠=≈ ,连接G I ,取其中点为O ，连接OH ,所以2224tan2GO OH θ===,由1BC =，且多边形ABCDEF为正六边形，所以2sin 60AC AB == ，由于GI AC =,所以=44OH =，故一个菱形的面积为163222244GHI S GI OH =⨯⨯⋅= =，因此上顶的面积为344⨯=，故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为__________.【答案】5-【解析】【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可.【详解】51x x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()53521551C 1C rrrr rrr T x x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令5312r-=得1r =，所以125C 5T x x =-⋅=-，x 的系数为5-.故答案为：5-.12.已知双曲线221x my -=30y -=,则该双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于m 的方程,再结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得0m >，易知双曲线221x my -=，即2211y x m-=的渐近线方程为1,y m =13,m=得13,m =所以该双曲线的离心率11 2.c e a m==+=故答案为：2.13.已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=__________；点C 到直线AB 的距离为__________.【答案】①.1-②.55755【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】以B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意()()()2,1,0,0,1,3A B C -，所以()()2,11,3231AB BC ⋅=-⋅=-=-，而直线AB 的表达式为12y x =-，即20x y +=所以点C 到直线AB 的距离为21235512d +⨯==+.故答案为：1-，55.14.已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数,公差为d ,则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和()1,2,n = 的一组1a ,d 的值为1a =__________,d =__________.【答案】①.1②.1（答案不唯一）【解析】【分析】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,根据题意可得123,,b b b .根据2132,b b b =+结合等差数列的通项公式,可得关于1,a d 的方程,解方程即可.【详解】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,则1,n n n S a a +=112223334,,.S a a S a a S a a ∴===又{}n a 是公差为d 的等差数列,11122212312233234233,2,2,b S a a b S S a a a a da b S S a a a a da ∴===-=-==-=-=2132,b b b =+ 即()()()21231111222,422,da a a da d a d a a d d a d ⨯=+∴+=+++整理得()110,a a d -=由题知110,.a a d >∴=故满足题意的一组1a ,d 的值为11a =,1d =.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）15.已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+-=f x f x a ；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】取0a =可判断①，取1a =化简后可判断②，先化简，取πx =可判断③，取π2T =可判断④.【详解】对于①，当0a =时()cos f x x =，其最大值为1，最小值为0，()f x 的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当1a =时，()cos 11cos =+=+f x x x ，()()π-cos π-11cos 1cos =+=-=-f x x x x ，因此对任意x ∈R ，()()π22+-==f x f x a ，故②正确；对于③，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，当πx =时ππ22⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x a ，故③错误；对于④，当0a =时()cos f x x =，取π2T =，0π=4x ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+，故正确.故答案为：②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥.（1）求证：1//C M 平面11ADD A ；（2）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）69【解析】【分析】（1）连接1AD ，由四棱柱性质可得11MAD C 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11ADD A ；（2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得1,,AD AB AA 三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果.【小问1详解】连接1AD ，如下图所示：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =,因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =，所以11C D AM ∥，11C D AM =,所以四边形11MAD C 为平行四边形，所以11MC AD ∥，因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ，【小问2详解】在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥⋂平面ABCD AB =；所以1AA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，即可得1AA AD ⊥，因为1AD B M ⊥，11,AA B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ，而AB ⊂平面11ABB A ，即AD AB ⊥；如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M .所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =.设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z =，则111020n C B x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则1y =-，2z =，于是()2,1,2n =-；因为111cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C所成角的正弦值为9.17.在ABC 中，2cos 2c A b a =-.（1）求C ∠的大小；（2）若c =ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC的面积为；条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】17.π318.不能选①，选②或③，答案均为1【解析】【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线；选③，由余弦定理得到223a b ab +-=，设AC 边上的中线长为d ，再由余弦定理得到AC 边上的中线的长为1.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-.①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.②由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠.所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为即1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =222cos 2a b c C ab +-=，即2231162a b +-=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1sin sin 2B A -=.由（1）知，π33ππ2B A A ∠=--∠=-∠.所以2π1sin sin sin sin sin sin 322B A A A A A A⎛⎫-=--=+-⎪⎝⎭31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.所以π3π6A -=，即π6A =.所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以32πsin sin 3AB AC C ===.所以AC 边上的中线的长为112AC =.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223122a b ab +-=，即223a b ab +-=.设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=.所以AC 边上的中线的长为1.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.【答案】（1）310（2）分布列见解析，43（3）()()()213D Y D Y D Y >>【解析】【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ 或，k ∈Z ，∵φ＞0，∴φ的最小值为． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题． 6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由“x ＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x ＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x ＜0，﹣x ＞0，则：；∴“x ＜0“是““的充分条件；若，则；解得x ＜0； ∴“x ＜0“是““的必要条件；综上得，“x ＜0”是“”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a，3故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S＝55+20＝25，5故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长. 【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。

高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。

北京市海淀区北京师大附中2024年数学高三第一学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎡⎤⎣⎦D ．3,6⎡⎤⎣⎦2．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<3．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．212 B ．212C ．612D ．3124．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35B ．25C ．4D ．55．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}6．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）A ．13B ．310C ．25D ．347．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥8．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．169．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 10．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( )A ．29B ．30C ．31D ．3211．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元12．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．674二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

海淀区2020—2021学年第一学期期末练习高三语文2021．01(考试时间150分钟，满分150分)本试卷共7页。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

—、本大题共5小题，共18分。

阅读下面材料，完成1-5题。

材料一长江是我国第一长河、全球第三长河，国家战略水源地，是货运量位居全球内河第一的黄金水道，在维护我国生态和水安全方面的地位无可替代。

依托长江黄金水道，建设长江经济带是新时期国家重大区域发展战略，也是我国走绿色发展之路的重要示范。

习近平同志指出，长江经济带发展必须坚持生态优先、绿色发展，把生态环境保护摆在优先位置，共抓大保护，不搞大开发。

改革开放后的很长时间内，长江沿线省市曾过度追求经济指标的快速增长，忽视了长江流域生态容量的有限性和环境承载力的脆弱性。

经济发展目标与生态发展目标长期不平衡，导致长江流域的生态文明建设严重滞后于物质文明建设，生态“账户”透支严重。

长江流域已遭到破坏的生态容量和环境承载力，需要较长时间才能有效恢复。

更严峻的是，在长江生态需求与生态供给重新实现平衡之前，长江生态“赤字”仍会持续增长。

因此，“大开发”带来的后果必须通过“大保护”来弥补，而且刻不容缓。

“不搞大开发”，要求长江流域各省市在生态环境保护上加强自律。

自律意味着取舍，背后是对生态价值的充分认可和高度重视。

一些地方之所以面临转型困难，本质上是因为还在传统的发展路径上一意孤行。

对这些地方而言，当务之急是严格以生态红线为标尺，明确什么不能做。

减掉一项破坏生态环境的政策，就是增加一项建设生态文明的举措；这种“减法”正是实现“绿水青山”和“金山银山”有机统一的开端。

“共抓大保护”，要求长江流域各省市加强沟通合作，形成保护长江生态的合力。

长江经济带涉及11个省市，是全世界人口最多、产业规模最大的沿江经济带。

沿线省市因长江而构成了统一的生态整体。

这就决定了任何一个省市都无法在长江生态环境破坏中独善其身，也无力独自承担保护长江流域生态环境的重任。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。

【详解】，解得，所以，故选D。

【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。

（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。