三角函数 历年高考题

历年三角函数高考真题第一部分：选择题1、（2010浙江理数）（9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（A）（B）（C）（D）2、（2010浙江理数）（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3、（2010四川理数）（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A）（B）（C）（D）4.（浙江理6）若，，，，则A．B．C．D．4.（四川理6）在ABC中．．则A的取值范围是A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）5.（辽宁理4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，则（A）（B）（C）（D）6.（全国新课标理11）设函数的最小正周期为，且则（A）在单调递减（B）在单调递减（C）在单调递增（D）在单调递增7.（安徽理9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（A）（B）（C）（D）8.【2012高考新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）9.【2012高考陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A.B.C.D.10.【2012高考江西理4】若tan+=4,则sin2=A．B.C.D.11.【2012高考上海理16】在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定12．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知,则A.B.C.D.13 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定14 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(A)(B)(C)0 (D)15 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））在,内角所对的边长分别为且,则A.B.C.D.16 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数,下列结论中错误的是(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称(C)的最大值为(D)既奇函数,又是周期函数17（2014湖南9）．已知函数则函数的图象的一条对称轴是A．B．C．D．18（2014江西）在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A.3B.C.D.（2014重庆）已知的内角满足，面积满足，记分别为所对的边，则下列不等式一定成立的是（A）（B）（C）（D）a第二部分：填空题1（2010福建文数）16.观察下列等式：K^S*5U.C#O① cos2a=2-1;② cos4a=8- 8+ 1;③ cos6a=32- 48+ 18- 1;④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1．可以推测，m – n + p = ．2. （2010福建理数）14．已知函数和的图象的对称轴完全相同。

三角函数 历年高考文科题1、 （全国Ⅰ卷文1）cos 300︒=（ ）A ．2-B ．-12C ．12D ．22、 （福建卷文2）计算12sin 22.5- 的结果等于( )A ．12B ．2C 3D 23、 （全国Ⅱ卷文3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=（ ）A ．3- B ．19- C ．19D 34、 （陕西卷文3）函数f (x)=2sinxcosx 是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数5、 （浙江卷理4文6）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、 （江西卷文6）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．[1,1]-B ．5[,1]4-- C ．5[,1]4-D ．5[1,]4-7、 （辽宁卷理5文6）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A ．23B ．43C ．32D ．38、 （重庆卷文6）下列函数中，周期为π，且在42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数的是（ ） A ．sin(2)2y x π=+ B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+9、 （四川卷理6文7）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-（天津卷文8）5y A sin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ． 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10、（福建卷文10）将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。

历年高考三角函数专题一，选择题1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ）A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ） A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin 330︒等于 （ ） A．2-B ．12-C ．12D．214.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ） A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 二，填空题19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

高考文科数学试题分类汇编：三角函数一、选择填空题1.[2014·全国新课标卷Ⅰ2]若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0【答案】C2.[2014·全国卷2]已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A.B.C．－D．－【答案】D3.[2014·陕西卷2]函数f(x)＝cos的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π【答案】B4.[2014·四川卷3]为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度【答案】A5.[2014·浙江卷4]为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像()A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】A6.[2014·福建卷7]将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称D．y＝f(x)的图像关于点对称【答案】D7.[2014·全国新课标卷Ⅰ7]在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③【答案】A8.[2014·天津卷8]已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A.B.C．πD．2π【答案】C9.[2014·安徽卷7]若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是()A.B.C.D.【答案】C10.[2014·辽宁卷11]将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B11．[2014·江苏卷5]已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐π标为的交点，则φ的值是________．【答案】612．[2014·山东卷12]函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．【答案】π13．[2014·重庆卷13]将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f＝________．【答案】214．[2014·新课标全国卷Ⅱ14]函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcos x的最大值为________．【答案】115．[2014·全国卷14]函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________．【答案】3216．[2014·全国卷16]直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43 二、解答题：1．[2014·江苏卷15]已知α∈，sin α＝.(1)求sin 的值；(2)求cos 的值．解：（1）∵()sin 2ααπ∈π，，，∴cos α== ()sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=++=； （2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-= 2．[2014·江西卷16]已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ＝－，α∈，求sin 的值．解：（1）因为()f x ()()22cos cos 2a x x θ=++而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以y 1=()cos 2x θ+为奇函数，又()0,θπ∈，得.2πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）由04=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，得-（a+1）=0，即 1.a =-（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 3.[2014·四川卷17]已知函数()sin(3)4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。

1、函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2、已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）4.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =5.函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为( )A ．2π B ．32π C ．π D ．2π6.若3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，则φ的最小值为A.6πB.4πC. 3πD. 2π 7.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3，32 D. －2，321、已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。

（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈， 且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值。

8.函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）1.已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。

2.函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .3.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示,则ω ＝12、已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值；(III)若3()4f α=，求sin2α的值. 30.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.答案1.A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.A 7.C 8.A 二1．0 2. 1 3.32。

2024年高考数学三角函数空间向量历年真题详解为了帮助广大高中生备战2024年高考数学考试，本文将详细解析数学科目中的三角函数和空间向量部分的历年真题。

通过对每道题目的解析和详细讲解，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分知识点，并提供备考的指导。

1. 试题一第一道题目涉及三角函数的求解，题目如下：已知三角函数$\sin\theta = \frac{1}{2}$，求$\cos\theta$的值。

解析：根据已知信息，我们可以利用三角函数的定义来求解。

由于$\sin\theta = \frac{1}{2}$，我们可以根据单位圆上的特点得出$\sin$对应的坐标为$\left(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$。

根据单位圆上的关系，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

因此，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2. 试题二第二道题目涉及空间向量的投影问题，题目如下：已知向量$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$，向量$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$，求向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。

解析：首先，我们需要计算向量$\overrightarrow{AC}$的模长。

根据向量的定义，$\overrightarrow{AC}$的模长为$\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$。

接下来，我们需要计算向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．2024年高考真题汇总一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。

三角函数历年高考题(总13页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除三角函数题型分类总结一． 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：a) 常数代换法：如：αα22cos sin 1+=b) 配角方法：ββαα-+=)(,()βαβαα-++=)(2,22βαβαα-++=,22βαβαβ--+=1、sin330︒= tan690° = o 585sin =2、（1）(10全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α=__________ （2）（11北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .(3) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+=3、(1) (09陕西)已知sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)（12全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+= .（3）（08福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=4. (1)(10福建) sin15cos75cos15sin105+= (2)（11陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。

（3）sin163sin 223sin 253sin313+= 。

5.(1) 若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ=（2）已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为(3) 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=6. （10北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 7．（09浙江）已知cos()22πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝8.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 9.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<10．已知53)2cos(=-πα，则αα22cos sin -的值为 （ ） A ．257 B ．2516- C ．259 D ．257-11．已知sin θ=－1312，θ∈（－2π，0），则cos （θ－4π）的值为 （ ）A ．－2627 B ．2627 C ．－26217 D ．26217 12．已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30°）的值是 （ ）A ．1B ．23C ．0D ．－113．已知sin x －sin y = －32，cos x －cos y = 32，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )的值是 ( ) A ．5142 B ． －5142 C ．±5142 D ．28145±14．已知tan160o ＝a ，则sin2000o 的值是 ( )A.a 1＋a 2B.－a 1＋a 2C.11＋a 2D.－11＋a 215.若02,sin 3cos απαα≤≤>，则α的取值范围是： ( )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭16.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα+ ( ) （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 5417.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （ ）（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-二.最值1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。

近三年三角函数的图像和性质高考真题和答案一、填空题1.(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 3.(2019·北京高考)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________．二、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1 D.122.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为44.(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π三、大题 1.(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．2.（2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．3.(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．参考答案填空1.②③2.－43. π2选择BACBC大题1.解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －32sin2x ＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因此所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32. 2.解：(1)f (x )＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即需sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3. 3.解：(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. (2)由cos2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos2x －3sin2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．。

三角函数十年高考题精选1 ．sin 47sin17cos 30cos17-（ ）A．B ．12-C ．12D2．已知sin cos αα-α∈(0,π),则tan α=（ ）A ．-1B．-CD ．13 ．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45C．4D ．344．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-5．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-6．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π7． 04cos50tan 40-= ( )2D.18．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.12πB.6πC.3πD.56π9. 设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>10.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增11.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位12 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 (B)13设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则B A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=14.函数f (x )=cos xA（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减 15函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 C(A) 4π (B)2π（C ）π （D ）2π 16.已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 B（A ）0 <ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -117.锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有 C（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 18.已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 D （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限19.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤20.22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1221．已知==ααcos ,32tan则（ B ）A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－53 22.设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ A ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数23函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B ）22,1- （C ）22- （D ）22,1 24.要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（C ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度25函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ A ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y（C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y26.（福建卷）已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于A.32 B.23C.2D.3 27.（湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=A.3 B．3- C ．53 D ．53-28.（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4π 29.（辽宁卷）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是(A)[]1,1-(B) ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C) ⎡-⎢⎣⎦(D)1,⎡-⎢⎣⎦30.（全国卷I ）函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭31.（全国II ）若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 32.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭33.（天津卷）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 34.(重庆卷)若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于 （A） （B ）12- （C ）12 （D35．（宁夏，海南）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥，的简图是（ Ａ ）xＡ．Ｂ．36．（宁夏，海南）9．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ Ｃ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．237．（广东文）9．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ D ） A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==38．（全国Ⅰ）（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ A ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，39.（全国二8）若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ） A ．1BCD ．240.（天津卷9）设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）41.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）442.（海南卷7）0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B.2C. 2D.243.（2009浙江理）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( D )44. （2009全国卷Ⅱ理）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为DA ．16 B.14C.13D.1245.（辽宁卷16）已知()sin (0)363f x x ff ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14346.（湖南卷）若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .-347.(陕西卷)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 -1/248.(重庆卷)已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=____5665-49．（上海）6．函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T π 50.函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________。

2004——2011全国卷高考三角函数题1.（2004全国卷1）17． 求函数xx x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值. 2.（2004全国卷2）（17）已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．3.（2004全国卷3）⒄已知α为锐角，且tg α=12，求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. 4.（2004全国卷4）17． 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 5.（2005全国卷1）17．设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=ϕπϕπ图象的一条对称轴是直线.8π=x （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.6.（2005全国卷2）（14）设a 为第四象限的角，若sin 313sin 5a a =，则t a n2a =_____________． 7（2005全国卷3）19、ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B = （Ⅰ）求cot cot AC +的值 （Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值。

8.（2006全国卷1）（17）△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时,2cos 2cos C B A ++取得最大值,并求出这个最大值.9.（2006全国卷2）（17）已知向量.22),cos ,1()1,(sin πθπθθ<<-=⋅=b a（Ⅰ）若,b a ⊥求θ；（Ⅱ）求b a +的最大值。

1.（上海，15)把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是（ ） A 。

（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C 。

（y +1）sin x +2y +1=0D.－（y +1)sin x +2y +1=02.（北京,3）下列四个函数中，以π为最小正周期,且在区间（2π,π）上为减函数的是（ ） A.y =cos 2xB.y ＝2｜sin x ｜C.y ＝（31)cos xD.y =－cot x3。

（全国，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f (x ）可以是（ ） A 。

sin x B 。

cos x C.sin2x D.cos2x4.（全国，6)已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限,则在[0,2π］内α的取值范围是（ ） A.（2π,43π）∪(π，45π） B.（4π，2π)∪(π，45π） C.（2π，43π)∪（45π，23π）D 。

（4π,2π）∪（43π，π） 5.（全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）A.{x |2k π－43π〈x 〈2k π+4π,k ∈Z }B 。

{x ｜2k π+4π<x 〈2k π+45π,k ∈Z } C.｛x |k π－4π<x 〈k π+4π，k ∈Z ｝ D.{x ｜k π+4π<x 〈k π+43π，k ∈Z ｝ 6.(全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π)的最小正周期是（ ）A 。

6πB 。

2π C.32πD 。

3π7。

（全国，9）已知θ是第三象限角,若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ) A 。

322 B.－322 C 。

32D.－32 8。

(全国，14)如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（ ） A.2B.－2C 。

历届高考中的“三角函数的图像与性质”试题精选（自我测试）(卷A)一、选择题：（每小题5分，计50分）题号12345678910答案１．（2009陕西理科）若3s i n c o s 0αα+=,则 21c o s s in2αα+的值为 （A ）103（B ） （C ）23 (D) 2-２．（2007江苏）下列函数中，周期为2π的是（ ）A ．s in 2x y =B ．s in2y x =C ．co s 4xy = D ．c o s4y x =３．（2007江西文）若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是（ ） A ．sin x ＜x π2 B ．sin x ＞x π2 C ．sin x ＜x π3 D ．sin x ＞xπ3４．（2009山东）将函数y=sin2x 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(A) y=2cos 2x（B ）y=2sin 2x (C) y=1+sin(2x+4π)(D)y=cos2xi5 .（2007福建理)已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A 关于点（，0）对称B 关于直线x ＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x ＝对称6（2007江苏）函数()s i n 3c o s ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ-- B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-7．（2005福建理）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==８．(2009辽宁)已知函数()s i n ()(0)f x x ωϕω-+>的图象如图所示， 则ω =９．（2009宁夏）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2s i n+2c o s =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p10.(2009宁夏)已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则ϕ=________________4．（2009江西）若函数()f x =（1+ 3tanx ）cos, 0≤x ＜2π,则()f x 的最大值为A ．1 B. 2 C. 3+1 D. 3+25.(2010天津)在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b b c -=，s i n 23s i n C B =，则A=6．（2003全国理，广东）函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ） A ．21+B ．12-C ．2D ．27.( 2007广东文)已知简谐运动()2s i n ()(||)32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ）8.（2005浙江理）已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．（2005全国Ⅰ卷文、理）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）3410. (2002年广东、江苏、河南，全国文、理，全国新课程文、理，天津文、理)在)2,0(π内，使xx cos sin >成立的x 的取值范围是（ ） (A))45,()2,4(ππππ (B)),4(ππ (C))45,4(ππ (D))23,45(),4(ππππ 二.填空题: （每小题5分，计20分）11.（2006湖南文） 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .12.（2004全国Ⅲ卷理）函数xx y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为 .13.（2005上海文、理）函数()[]s i n2s i n 0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________14.（2007四川理）下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数).2sin(π-=x y 在（0，π）上是减函数。

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

新课标近三年三角函数文科高考题（解析版）1、（2011.11）．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ D ）A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称2、（2011.15）ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为___4315______． 3、（2012.9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ A. ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π44、(2012.16)设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =__2.__5、（2012.17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c (Ⅰ)由3sin sin c a C c A =-及正弦定理得3s i n s i n s i n s i n s i nA C A C C -= 由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ) ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =3,故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8，解得b c ==2.6、(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5 答案：D 解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15.∵cos A＝2364926bb+-⨯，∴b＝5或135b=-(舍)．故选D.7、(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______.解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝5sin(x－φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55.当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)．∴cos θ＝πcos2ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－sin φ＝255-.。