直线与圆复习

高中数学直线和圆知识点复习总结
1.直线方程⑴点斜式；⑵斜截式；⑶截距式；⑷两点式；⑸一般式(A，B不全为0)。

(直线的方向向量，法向量）
2.求解线性规划问题的步骤是：(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数；(3)确定目标函数的最优解。

3.两条直线的位置关系：
4.直线系。

5.几个公式⑴设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，⊿ABC的重心G是：()；⑵点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离：；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；
6.圆的方程：⑴标准方程：①；②。

⑵一般方程：(注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E2-4AF
7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

8.圆系：⑴；注：当时表示两圆交线。

⑵。

9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离)①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离)①相切；②相交；③相离。

⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且)①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。

直线和圆一、直线 （一）、倾斜角α：①定义：把x 轴正方向饶交点逆时针旋转到直线，转出的角；② 范围：（二）、斜率k 的计算： ①当2πα=时，k 不存在；当2πα≠时，tan k α=；②过两点1122(,),(,)A x y B x y 的斜率2121AB y y k x x -=-（三）斜率与倾斜角的关系练习：1、已知[1,1]k ∈-，则倾斜角α∈2、已知点(1,1),(1,1)A B ---，如直线l 过原点且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角α∈ （四）、直线的五种方程1、点斜式：过点00(,)P x y ，斜率为k 的直线方程00()y y k x x -=--------最主要 看到含参数的直线方程-------想到过定点 练习：1、已知直线 :2l y kx k =+，则过定点2、已知直线 :10l ax y -+=，则过定点2、斜截式：斜率为k ，y 轴截距为b ----看成过(0,)b ，斜率为k ，则(0)y b k x -=-，即方程为y kx b =+3、两点式：过点1122(,),(,)A x y B x y ，2121112121,()y y y y k y y x x x x x x --=-=---∴ ， 即方程为112121y y x x y y x x --=--4、截距式：x 轴的截距为a ，y 轴的截距为b -------看成过两点(,0),(0,)a b ， 即方程为1x ya b+= 注意：以上四种都是默认斜率k 存在的情况下，得出方程形式；k 不存在的情况下，结合图形 方程为0x x = 5、一般式：0Ax By C++=-----突出体现了方程的特征形式 注意：答案要化为一般式或斜截式---------这两种形式最简练习：1、直线3x =的倾斜角是（ ） A.0 B.2πC.πD.不存在 2、若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.)3,6[ππ B.)2,6(ππ C.)2,3(ππ D.]2,6[ππ3、图7—1中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 24、直线620x y ++=在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 5、直线310x y ++=和直线6210x y ++=的位置关系是（ ） A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直6、直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ） A. 230x y -= B. 50x y ++= C. 230x y -=或50x y ++= D. 50x y ++=或50x y -+=7、直线30x y -+=的倾斜角是8、经过点)1,2(的直线l 到A )1,1(、B )5,3(两点的距离相等，则直线l 的方程为 （ ）A ．032=--y xB ．2=xC ．032=--y x 或2=xD ．都不对9、已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ） A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(-10、设A 、B 两点是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则PB 的方程为（ ） A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--x yD ．072=-+y x11、若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是（ ） A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1 B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10 C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0 D ．k ∈R 且k ±≠ 5 12、直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 13、已知点(1,2)A ，直线:8l x y +=，某直线过A 且和直线l 平行，则方程为 若过A 且和直线l 垂直，则方程为（五）、平行与垂直111222:,:l y k x b l y k x b =+=+的平行或垂直----化为斜截式来判定①1212l l k k ⇔= 且12b b ≠或12,k k 都不存在且在x 轴截距不等；②12121l l k k ⊥⇔⋅=-或12,k k 一个为0，一个不存在练习：1、直线240(1)20ax y x a y ++=+-+=∥，则a = 2、直线240(1)20ax y x a y ++=⊥+-+=，则a =3、若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15②30③45④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 4、已知△ABC 中A )1,4(-，B )3,2(-，C )1,3(，则△ABC 的垂心是 ．5、已知两直线12:40,:(1)0l ax by l a x y b -+=-++=,求分别满足下列条件的 a 、b 的值．（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l 、2l 的距离相等．6、设a 、b 、c 分别为 ABC 中∠A 、∠B 、∠C 对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系（ ）A 、平行；B 、重合；C 、垂直；D 、相交但不垂直 7、若N a ∈，又三点A(a ，0)，B （0，4+a ），C （1，3）共线，则a 的值是（六）、几种距离1、点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：||AB =2、点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =3、两平行线间的距离转化到点线距离4、点1122(,),(,)A x y B x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++练习：1、点),(m n m P --到直线1=+nym x 的距离为（ ） A ．22n m ±B ．22n m -C ．22n m +-D ．22n m +2、若点),4(a 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则a 的取值范围为（ ）A ．)10,0(B ．]10,0[C ．]331,31[ D ．),(+∞-∞3、已知(1,1)A -、(3,3)B 、(5,3)C -，则AC 边上的中线所在的直线方程是 AC 边上的高所在的直线方程是 ABC ∆的面积是4、过点)2,1(-A ，且与原点距离等于22的直线方程为 ． 5、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数11y z x =-的范围是则221(1)z x y =-+的范围是二、圆（一）圆的方程：①标准式：222()()x a y b r -+-= 突出圆心和半径（有用形式）②一般式：220x y Dx Ey F ++++= 突出方程的形式（考题形式）化为的标准式：22224()()224D E D E Fx y +-+++=圆心：(,)22D E --半径：2条件：2240D E F +->成圆练习：1、已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ） （A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-=(D) 22(1)(1)2x y +++= 2、圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 3、以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . 4、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，则圆的方程是5、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 6、与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是（二）、点、线、圆和圆的位置关系 1、点00(,)P x y 与圆(,)0f x y =的位置系：2、直线和圆的位置关系--------圆心到直线的距离和半径比较3、圆圆关系：练习：1、圆O 1:0222=-x y x ＋和圆O 2: 0422=-y y x ＋的位置关系是 2、已知直线 :2l y kx k =+,当直线 l 与 圆22x y a +=相交，则a 的范围是 3、圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ） A．(k ∈ B．()k ∈-+ C．(k ∈ D．()k ∈-+ 4、直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离5、若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为6、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的斜率的取值范围是7、已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______（三）、弦长公式：12212()()()00x x x x x x +=⎧⎧ ⇒++=⇒∆> ⇒⎨⎨=⎩⎩直线当时，圆（或其他的二次曲线）弦长||AB =练习：过原点且倾斜角为60︒的直线被圆学2240x y y +-=所截得的弦长为 （四）、注意数形结合，充分利用初中所学的几何性质1、圆心确定位置，半径决定大小，圆关于过圆心的直线对称练习：1、已知直线 :2l y kx k =+,当直线 l 与 圆22240x y x y +-+=分成面积相等的两部分， k =2、已知直线0a x by c ++=与圆22:240O x y x y +-+=相交于A 、B 两点，如C 是圆上动点，且||AB =则CA CB ⋅＝3、221x y +=关于点(1,1)A 对称的图像的方程是 关于直线1x y +=对称的图像的方程是2、如垂径定理 切割线定理 切线长公式练习：1、由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是2、设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是3、已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为4、直线l 与圆22240(0)x y x y a a +=<＋＋－相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为5、过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 。

专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。