直线与圆定点定值问题(1)

微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题真题感悟(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1.因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.考点整合1.最值与范围问题(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.(2)常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.2.定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).(3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.3.定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.热点一 最值与范围问题【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方.(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，∴|8a －3|82＋（－6）2＝12，又∵M (a ，0)在l 的下方，∴8a －3＞0，∴8a －3＝5，a ＝1.故圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2(k 1＞k 2)，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6， 得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2. ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ， 同理，k 2＝1－（t ＋6）22（t ＋6），∴k 1－k 2＝3（t 2＋6t ＋1）t 2＋6t， ∴S ＝6（t 2＋6t ）t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1. ∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274， ∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k ，b ，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k 或(x ，y )的函数，运用函数或基本不等式求最值.【训练1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由x 2＋y 2－4x ＋1＝0得(x －2)2＋y 2＝3，它表示以(2，0)为圆心，3为半径长的圆.(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x 2＋y 2取得最值.因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.热点二 与圆有关的定点问题【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1).设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则解方程得 x 1，2＝－2k ±2k 2＋1，从而x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1， 同理得B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 故以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.【训练2】 已知圆x 2＋y 2＝9的圆心为P ，点Q (a ，b )在圆P 外，以PQ 为直径作圆M 与圆P 相交于A ，B 两点.(1)试判断直线QA 与圆P 的位置关系；(2)若QA ＝QB ＝4，试问点Q 在什么曲线上运动？(3)若点Q 在直线x ＋y －9＝0上运动，问：直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解 (1)因为以PQ 为直径的圆M 与圆P 相交于A ，B ，所以P A ⊥QA ，又AP 为圆P 的半径，所以AQ 为圆P 的切线，从而直线QA 与圆P 相切.(2)因为P A ⊥QA ，AP ＝3，AQ ＝4，所以PQ ＝32＋42＝5，故点Q 在以P 为圆心，5为半径的圆上运动.(3)因为点Q (a ，b )在直线x ＋y －9＝0上，所以点Q (a ，9－a )，所以，以PQ 为直径的圆M 的方程为x 2＋y 2－ax －(9－a )y ＝0，又AB 为圆P 与圆M 的公共弦，所以直线AB 的方程为ax ＋(9－a )y －9＝0，即a(x－y)－9y－9＝0，从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).热点三与圆有关的定值问题【例3】(2018·高邮调研)如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x－y＋22＝0，点P是直线l上的动点，过点P作圆O的切线P A，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，对于圆O上任意一点M，平面内是否存在一定点R，使MR MP为定值？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.解(1)连接OP，OA，OB，因为P A，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B，所以OA⊥P A，OB⊥PB.因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2.设点P的坐标为(t，t＋22)，则t2＋(t＋22)2＝4，t2＋22t＋2＝0，即(t＋2)2＝0，解得t＝－2，所以点P的坐标为(－2，2).(2)假设存在符合条件的定点R.设点M(x，y)，R(x0，y0)，MR2MP2＝λ，则x2＋y2＝1，即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋2)2＋(y－2)2]，整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(22x－22y＋5)，上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，则⎩⎨⎧－2x 0＝22λ，－2y 0＝－22λ，x 20＋y 20＋1＝5λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，x 0＝－24，y 0＝24或⎩⎨⎧λ＝1，x 0＝－2，（舍去）y 0＝2.所以R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24， 经检验，符合条件MR MP ＝12，所以对于圆O 上任意一点M ，平面内存在一定点R ，使MR MP 为定值，且R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24. 探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M 的坐标为元的方程问题，利用该方程的解与点M 的坐标无关来研究问题.【训练3】 (2019·泰州中学检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与坐标轴交于点A 1，A 2，B 1，B 2(如图).(1)点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，A 2Q ，A 1Q 与直线y ＋3＝0交于不同的两点M ，N ，求MN 的最小值；(2)点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.(1)解 由题意可设直线A 2Q 的方程为y ＝k ′(x －2)，直线A 1Q 的方程为y ＝－1k ′(x＋2)，k ′≠0.由⎩⎨⎧y ＝k ′（x －2），y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3k ′，y ＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k ′（x ＋2），y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3k ′－2，y ＝－3. 所以直线A 2Q 与直线y ＋3＝0的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ′，－3， 直线A 1Q 与直线y ＋3＝0的交点为N (3k ′－2，－3)，所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4. 当k ′＞0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥6－4＝2，当且仅当k ′＝1时等号成立； 当k ′＜0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥|4－(－6)|＝10，当且仅当k ′＝－1时等号成立. 故线段MN 长度的最小值是2.(2)证明 由题意可知点A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，A 2P 的斜率为k ，所以直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 2＋y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＋1，－4k k 2＋1， 则直线B 2P 的方程为y ＝－k ＋1k －1x ＋2， 令y ＝0，则x ＝2（k －1）k ＋1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k －1）k ＋1，0. 因为直线A 1B 2的方程为x －y ＋2＝0，由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋2k －1，y ＝4k k －1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k －1，4k k －1， 所以EF 的斜率m ＝4kk －12k ＋2k －1－2（k －1）k ＋1＝k ＋12， 所以2m －k ＝2·k ＋12－k ＝1(定值).【新题感悟】 (2019·苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________.解析 直线l 的斜率k 不存在或为0时均不成立，设直线l 的方程为kx －y －km ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 的距离d 1＝|km |k 2＋1，圆心C (4，0)到直线l 的距离d 2＝|4k －km |k 2＋1.因为l 被两圆截得的弦长相等，所以21－d 21＝24－d 22，即d 22－d 21＝3，所以16k 2＋k 2m 2－8k 2m －k 2m 2k 2＋1＝3，化为：16k 2－8k 2m ＝3k 2＋3，k 2＝313－8m＞0，得：m ＜138.又d 21＝k 2m 2k 2＋1＝m 21＋1k 2＝m 21＋13－8m 3＝3m 216－8m ＜1，即3m 2＋8m －16＜0，解得：－4＜m ＜43.综上，－4＜m ＜43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，43一、填空题1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22.(2019·靖江调研)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：3x＋4y－17＝0.若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为________.解析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos θ＝ACCM＝1CM，知当θ最小时，cos θ最大，即CM最小，那么CM⊥l，所以k AB＝k l＝－34.设直线AB的方程为3x＋4y＝m.又由CM＝|3＋4－17|5＝2，此时cos θ＝12，则点C到直线AB的距离为AC cos θ＝12，即1 2＝|3＋4－m|5，解得m＝192或m＝92，经检验m＝192，则直线AB的方程为6x＋8y－19＝0.答案6x＋8y－19＝03.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.解析由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D 为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与直线2x＋y－4＝0垂直时，OD最小(D为切点)，即圆C的直径最小，此时OD＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝4 5π.答案4 5π4.(2018·全国Ⅲ卷改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________.解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝ 2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝22，所以2≤S△ABP≤6. 答案[2，6]5.(2019·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________.解析圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－4 3.答案－4 36.(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.解析设P(x0，2ln x0)，x0>0，则函数y＝2ln x在点P处的切线斜率为2x0，则2x0·2ln x0x0－3＝－1，即4ln x0＝－x0·(x0－3)①.由二次函数y＝f(x)的图象经过点O和M可设f (x )＝ax (x －3)，代入点P (x 0，2ln x 0)，x 0>0，得2ln x 0＝ax 0(x 0－3) ②.由①②比较可得a ＝－12，则f (x )＝－12x (x －3)，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98.答案 987.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________.解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心(0，0)到直线2ax ＋by ＝1的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数图象为对称轴为b ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数.∴f (b )min ＝f (2)＝12(2－2)2， ∴d 的最小值为12（2－2）2＝（2－1）2＝2－1.答案2－18.(2019·南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________. 解析 设AB 的中点为D ，则OA→＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即|OD →|2≥18|AB →|2.再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d ＜r ，得|b |2＜3，所以－32＜b ＜32，根据|OD→|2≥18|AB →|2，|AB →|2＝4(9－OD →2)，得|OD →|2≥3.由点到直线的距离公式可得|OD →|2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－ 6.综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32). 答案 (－32，－6]∪[6，32) 二、解答题9.如果实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值； (2)求2x －y 的最小值.解 (1)问题可转化为求圆(x ＋2)2＋y 2＝3上任意一点到原点连线的斜率k ＝yx 的最大值，由图形性质可知，由原点向圆(x ＋2)2＋y 2＝3作切线，其中切线斜率的最大值即为yx 的最大值.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由|－2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝3或k ＝－3，所以yx 的最大值为 3.(2)将2x －y 看作直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的纵截距的相反数，当直线y ＝2x ＋b 与圆(x ＋2)2＋y 2＝3相切时，纵截距b 取得最大值或最小值.此时|－4＋b |22＋1＝3，所以b ＝4±15，所以2x －y 的最小值为－4－15. 10.(2019·扬州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度； (2)如图，设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，点M关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于(0，m )和(0，n )，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由于圆心(0，0)到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|2＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1(－x 1，－y 1)，M 2(x 1，－y 1)， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，可得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0，求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0，求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.所以mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝x 22（4－x 21）－x 21（4－x 22）x 22－x 21＝4. 故mn 为定值.11.如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP→是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.解 (1)由圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上.由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1，2). 设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连接AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP→＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP →＝2BA →·BP →； 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1，2)， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10. 综上所述，(BM →＋BN →)·BP→为定值－10.。

圆中的定值问题(一）探究a b⋅型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例1.如图，圆心M的坐标（3，0），半径为5。

点P是上一动点，连接CP并延长交x轴⋅为定值，并求其于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在上运动时，试探究MQ MH值。

练习2、（2010•深圳）如图1所示，以点M（-1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分x交y轴于点F．（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M 于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足M N•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．练习3——已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB 于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．（1）求证：BE=IE；（2）若AI⊥CE，①求⊙A的半径；②设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G 点，求AT•AG的值；4、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠BAP的值；（3）AD•AE的值．圆中的定值问题（二）探究a b 型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P 是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.变式练习.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.例.如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，当点P在上运动时，探究PC PDPB+为定值，并求其值.练习1、如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，若点P在上运动时，探究PC PDPB-为定值，并求其值.练习2、如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC 上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论:①确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值。

第 1 页 共 2 页圆中的定点问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(1，1)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，－2y +3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝32．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m 1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B（不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A 为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标．解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A 为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． B AP OMy xB A P OM EFyx第 2 页 共 2 页∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2t －10λ2＝0，t 2－3－6λ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝15，t ＝95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－3(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫0，95对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15． 练习：1．过直线l ：x ＝－1上的动点Q 向⊙M ：(x －2)2＋y 2＝4作切线，切点分别为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：由题意，点Q ，M ，S ，T 四点共圆，且QM 为该圆直径，则线段ST 即为该圆与⊙M 的公共弦，设点Q (－1，t )，所以此圆方程为(x ＋1)(x －2)＋(y －t )y ＝0，两圆作差，从而直线ST 的方程为3x －ty －2＝0，令y ＝0，x ＝23，所以直线ST 恒过一个定点，且该定点坐标为⎝⎛⎭⎫23，0． 2．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，M ，N 是直线x ＝4上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0，以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．解：由题可设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，则以MN 为直径的圆的圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，y 1＋y 22，半径r ＝|y 2－y 1|2，从而圆C 的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎫y －y 1＋y 222＝(y 2－y 1)24，整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0，由F 1M →·F 2N →＝0得y 1y 2＝－15， 所以x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0，令y ＝0得x 2－8x ＋1＝0，所以x ＝4±15， 所以圆C 过定点(4±15，0)．3．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：法一：假设存在这样的点B (t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB P A ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB P A ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)，或t ＝－95．下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数．设P (x ，y )， 则y 2＝9－x 2，∴PB 2P A 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2x ＋52＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825(5x ＋17)2(5x ＋17)＝925，∴PB P A ＝35为常数． 法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得， x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35．。

圆中的定点定值问题问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故2220,220.x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩，或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(45，25)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故220,230.x y y +-=⎧⎨-+=⎩解得1432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标． 解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． BAP OM yxB A P OM EFyx∴22242100,360.t t λλ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩解得1,59.5t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,3.t λ=⎧⎨=-⎩(舍去)， 所以存在点B (0，95)对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15．例4． 已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：（1）设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2．（2）由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0．因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2．同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．例5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．（1）若l 1与圆相切，求l 1的方程；（2）若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由． 解：（1）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0．由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34． ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0．（2）(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)， 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．∴AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM ·AN 是定值，且为6．(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，(x －3)2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0．∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k ＋61＋k 2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．以下同解法1．。

直线与圆定值定点最值经典题训练1．已知过点A(0,1)，且斜率为k 的直线与圆相交于M,N 两点.（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为定值； 2．已知圆C：：x：a：2+：y：b：2=1：a：0）关于直线3x：2y=0对称，且与直线3x：4y+1=0相切．：1）求圆C 的方程；：2）若直线l：y=kx+2与圆C 交于M：N 两点，是否存在直线l ，使得OM →⋅ON →=6：O 为坐标原点）若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 3．已知圆O:x 2+y 2=1，直线l 过点A(3,0)且与圆O 相切 . （I ）求直线l 的方程；（II ）如图，圆O 与x 轴交于P,Q 两点，点M 是圆O 上异于P�Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 1，直线PM 交直线l 1于点E ，直线QM 交直线l 1于点F ，求证：以EF 为直径的圆C 与x 轴交于定点B ，并求出点B 的坐标 .4．已知圆C:(x −4)2+(y −1)2=4,直线l:2mx −(3m +1)y +2=0 （1）若直线l 与圆C 相交于两点A,B ，弦长AB 等于2√3，求m 的值；（2）已知点M(4,5)，点C 为圆心，若在直线MC 上存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有|PM||PN|为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及改常数．5．如图在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+(y −2)2=1，且圆C 与y 轴交于M,N 两点（点N 在点M 的上方），直线l:y =kx(k >0)与圆C 交于A ，B 两点。

（1）若AB =2√55，求实数k 的值。

（2）设直线AM ，直线BN 的斜率分别为k 1,k 2，若存在常数a 使得k 1=ak 2恒成立？若存在，求出a 的值.若不存在请说明理由。

（3）若直线AM 与直线BN 相较于点P ，求证点P 在一条定直线上。

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a由于CM ⊥l ，∴k CM ⋅k l = －1 ∴k CM =112-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2= m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2= m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2= m 2与线段AB 无交点.4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。

考点46 三定问题（定点、定值、定直线）一．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 二．直线定点问题的求解的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.考向一 定值【例1】（2021·北京丰台区·高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；知识理解考向分析（2）P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP PB 分别交直线6x =-于,M N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（ⅰ）求证：直线,AP AN 的斜率之积为定值； （ⅱ）判断,,M B Q 三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析. 【解析】（1）由题意得2,c a e a ===所以2221==-=c b a c ，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）证明：设00(,)P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=.因为直线AP 的斜率为002y x +，直线BP 的斜率为002y x -，所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为008(6,)2y N x ---. 所以直线AN 的斜率为0000822622y x y x --=-+-. 所以直线,AP AN 的斜率之积为： 20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---. （ⅱ）,,M B Q 三点共线.设直线AP 斜率为k ，易得(6,4)M k --. 由（ⅰ）可知直线AN 斜率为12k -，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立22440,22,x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩可得22(44)80k y ky ++=.解得Q 点的纵坐标为221kk-+， 所以Q 点的坐标为222222(,)11k kQ k k--++. 所以，直线BQ 的斜率为22220122221kk k k k--+=--+，直线BM 的斜率为40622k k --=--. 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率， 所以,,M B Q 三点共线. 【举一反三】1．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，G 是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【答案】（1）221123x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为12GF F △的周长为6+，所以226a c +=+，即3a c +=+又离心率c e a ==，解得a =3c =， 2223b a c =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y+=消去y 并整理得()2221484120kxkmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k -⋅=+，()121222214my y k x x m k+=++=+， ∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++，得2282,1414km m G k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+， 点O 到直线AB的距离为d =12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为12S d AB m x x =⋅=-=====.故平行四边形OAGB 的面积为定值为2．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）为定值5.【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，所以()231a a =>，故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而220033x y +=，即()22000050y x y y y +--=，从而D y =.同理BE：00x x y y =E y =从而5E D E D y y y y +=-.于是00000000055E D DE E D E D E DE D y y y k kx x x y y y y y y -====⋅=--.所以DE ，BC 的斜率之比为定值5.考向二 定点【例2】（2021·河南月考（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（Ⅰ）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时12PF F △的面积最大，此时122b ⨯⨯=b = 由222a bc =+得：2314a =+=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430m k k m =-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+． ()()1212y y kx m kx m ∴=++()221212k x x mk x x m =+++()2223434m k k-=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()2222234433434m k m k k --∴+++2164034mkk ++=+．整理可得：2271640m km k ++=， 解得：12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0). 【解析】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠， 所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-， 所以直线l 过定点(6,0).2．（2021·全国高三月考（文））已知斜率为的34的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于点,A B ，线段AB 中点为()11D -,，直线l 在y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的716倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点,,,P Q M N 都在椭圆上，且,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点F ，设直线,PQ MN 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，线段的中点分别为,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2x x y y +=-+=，且2222112222221,1x x x x a b a b+=+= 两式相减得2222121222x x y y a b--=- 即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-， 即222324b a -⋅=-，所以2234b a =又直线l 的方程为()3114y x -=+， 令0x =，得74y =所以772,2,164a ab ⨯===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意得()1,0F ，直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，设()()3344,,,P x y Q x y ，联立122(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22121213484120k k k xx +-+-=，所以212341834x k k x +=+，则2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++ 由121k k +=- 得()11314GH k k k =++， 所以直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得()21133144y k k x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 所以直线GH 过定点31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考向三 定直线【例3】（2021·深圳实验学校高中部）如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）证明：OA OB ⊥；（2）设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】1）设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=. 由韦达定理得122x x k +=，124x x =-.()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以OA OB ⊥ （2）212y x =，y x '∴=， 故经过点211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-， 即21112y x x x =-，①同理，经过点222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②21x x ⨯-⨯①②，得12122y x x ==-. 即点M 在直线:2l y =-上. 【举一反三】1．（2021·浙江温州市）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点. （i ）求证：点P 在一条定直线上； （ii ）求PAB △面积的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）（i ）证明见解析；（ii ）)⎡+∞⎣.【解析】（1）抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，可得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =.（2）联立方程组24,2x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得，2480x kx --=， ∴124x x k +=，128x x =- 由24x y =得，12y x '=，所以切线PA 方程为()111112:l y y x x x -=- 切线PB 方程为()22221:2l y y x x x -=- 联立直线PA ､PB 方程可解得1222x x x k +==，1224x xy ⋅==-. （i ）所以点P 的坐标为()2,2k -. 所以点P 在定直线2y =-上 （ii ）点P 到直线AB 的距离为2d =所以AB ==PAB △的面积为()322214422PABS d AB k =⋅==+△所以当0k =时，PABS有最小值PAB △面积的取值范围是)⎡+∞⎣.2．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:()0O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （1）求证：点M 在定直线上；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM △面积比的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m >，显然切线l 的斜率存在且不为零，由22x y =，求导得：y x '=，所以切线l 的斜率为m ，因为D 是弦AB 的中点，所以OD l ⊥，所以直线OD 方程：1y x m=-， 联立方程1y xm x m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得1y =-，所以点M 在定直线1y =-上．（2）由（1）知切线l 的方程：2()2m y m x m -=-，化简得：22m y mx =-， 令0x =，得20,2m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程221m y mx y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()()3222,2121m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭， 而()211||124PFNSFN m m m ==+，()()()2232221||22181PDMm m mS PM m m m +=-=++， 所以222122PFN PDM S m S m ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，令222t m =+>，得1102t <<， 则22111221,22PFN PDM S t S t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以PFN 与PDM △面积比的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．1．（2021·江苏常州市·高三一模）已知O 为坐标系原点，椭圆2214x C y +=：的右焦点为点F ，右准线为强化练习直线n .（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点，且以线段DE 为直径的圆经过原点O ，求该直线的方程；（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n的距离之比为2.直线l 与直线n 交于点N ，过F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：||||FM FN 为定值. 【答案】（1）4)y x =-；（2）证明见解析. 【解析】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()1122,,D x y E x y联立2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()222241326440k x k x k +-+-=()221222121212221223212414164164441k x x k k y y k x x x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎡⎤∴=-++=⎨⎣⎦+-⎪=⎪+⎩又因为以线段DE 为直径的圆经过原点，则212122764·0,4119k OD OE x x y y k k -=+==∴=±+则所求直线方程4)y x =- （2）已知椭圆2214x y +=n的方程为x =， 因为直线l 上只有一点到F 的距离与到直线n的距离之比为2， 所以直线l 与椭圆相切，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得到：()222418440k x kmx m +++-=()()222222 6444144041k m k m m k=-+-=∴=+①联立xxFM my kx my kx m⎧⎧==⎪⎪∴=+∴⎨⎨=+⎪⎪=+⎩⎩点N坐标为m⎫+⎪⎭得到||FN=222222||31168||33FM k mkmFN k m++=++,由①22||3||||4||2FM FMFN FN⇒=⇒=2（2021·山西临汾市·高三一模（理））已知椭圆()22122:0x yC a ba b+=>>与双曲线222:14-=xC y有两个相同的顶点，且2C的焦点到其渐近线的距离恰好为1C的短半轴的长度．（1）求椭圆1C的标准方程；（2）过点()()()(),0,00,T t t a a∈-⋃作不垂直于坐标轴的直线l与1C交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使得MT平分AMB∠？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=；（2）存在点4,0Mt⎛⎫⎪⎝⎭，使得MT平分AMB∠．【解析】（1）由题意可得2a=，双曲线2C的焦点为()，渐近线方程为：12y x=±，则焦点到渐近线的距离为d b==，所以1b=，则椭圆1C的标准方程为2214xy+=；（2）存在点M使得MT平分AMB∠，由题知，直线l的斜率存在且不为0，又直线过点(),0T t，则设直线l的方程为()y k x t=-，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M m ， 联立方程()2214y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理可得： ()22222148440k xk tx k t +--+=，所以2122814k t x x k +=+，221224414k t x x k-=+， 因为11AM y k x m =-，22BM y k x m=-，0AM BM k k +=，所以()()()()()()1221120k x t x m k x t x m x m x m --+--=--，即()()()()12210k x t x m k x t x m --+--=，因为0k ≠，所以()()()()()12221x t x m x m x t x m ---+--()()2100x t x m =+--=，即()()1212220x x t m x x tm -+++=，则()222224482201414k t k tt m mt k k -⋅-+⨯+=++，化简可得4mt =，因为0t ≠，所以4m t=， 综上，存在点4,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MT 平分AMB ∠． 3．（2021·漠河市高级中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点恰好是抛物线2:4D x y =的焦点，其离心率与双曲线22162x y -=的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，定点为3Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由题意，抛物线2:4D x y =，可得焦点为()0,1，所以1b =，又由双曲线22162x y -=的离心率为3e =，可得椭圆C的离心率2c a =，可得120b c a a ⎧==⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）由直线l 不与坐标轴垂直，可设直线l的方程为x ty =+，其中0t ≠， 设点()11,A x y ､()22,B x y ，则点()11,P x y -，联立直线l 与椭圆C的方程2244x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22410t y ++-=， 由0∆>恒成立，且12y y +=12214y y t =-+， 由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上， 故假设存在定点(),0Qq ，使得P ､B ､Q 三点共线，则PB PQ k k =，即211211y y yx x q x +=--，可得12211212x y x y q y y +====+.故存在定点3Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，使得P ､B ､Q 三点共线.4．（2021·山东烟台市·高三一模）已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点， A 为椭圆的上顶点，12AF F △是面积为4的直角三角形. （1）求椭圆C 的方程； （2）设圆228:3O x y +=上任意一点P 处的切线l 交椭圆C 于点,M N ，问：PM PN ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，定值为83-. 【解析】（1）由12AF F △为直角三角形，故b c =， 又121242AF F Sc b =⨯⨯=， 可得4,bc = 解得2,b c == 所以28a =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）当切线l 的斜率不存在时，其方程为x =将x =±22184x y +=，得y =，不妨设M ⎝⎭，N ⎝⎭，又3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以83PM PN ⋅=-同理当x =时，也有83PM PN ⋅=-.当切线l 的斜率存在时，设方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，因为l 与圆22:184x y O +=相切，3=即22388m k =+，将y kx m =+代入22184x y+=，得()222214280k x kmx m +++-=，所以2121222428,,2121km m x x x x k k --+==++ 又()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+2PO OP ON OP OM ON OM =-⋅-⋅+⋅， 222PO PO PO ON OM =--+⋅ 2ON OM PO =⋅-又()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()()222222212842121k m k m m k k +--=++++， 22238821m k k --=+ 将22388m k =+代入上式，得0OM ON ⋅=，综上，83PM PN ⋅=-. 6．（2021·四川遂宁市·高三二模（理））如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2）过定点，定点为⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将3k =代入，得222413a a a =-+，即42230a a --=，所以23a =或21a =-（舍），故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，消去x并整理得(2002200310x x y y y y ⎡⎤⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2222000000(32)0y x y x y y y +++--=， 而220033x y +=，所以()22000050y x y y y +--=，由韦达定理得20D y y =，所以D y =同理BE：00x x y y -+=-，即00x x y =E y =所以0020258E D y y y x +==-，2010258E D y y y x -=-=-所以0002105258E D E D y y y y y x +==--，于是0000000000000555E D DE E D E D E D E D y y y k kx x x y y y y y y y y -=====⋅=--.所以直线DE ：()05D D y y y x x x -=-. 令0y =，得00000055D D D D x x x x x y y y y y y =-=-0045D x y y +=将D y =x = 所以DE经过定点⎛⎫⎪⎝⎭. 7．（2021·广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，P为坐标原点，)M ，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2过)M作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；①证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）①证明见解析，定点坐标为5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②3225. 【解析】（1）设点(),P x y ，依题意4MP ON OP OM OP OM +=-++=，4=>，所以动点P 的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则24a =，c =1b ∴==，∴动点P 的轨迹方程是()22104x y y +=≠； （2）①若1l 与x 轴重合，则直线1l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意； 若2l 与x 轴重合，则直线2l 与动点P 的轨迹没有交点，不合乎题意；设直线1l 的方程为30xmy m，则直线2l 的方程为1x y m=-直线1l 、2l 均过椭圆的焦点（椭圆内一点），1l 、2l 与椭圆必有交点．设()11,A x y 、()22,B x y ，由()222241044x my m y x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，由韦达定理可得1224y y m +=-+，则()1212x x m y y +=++=，所以点E 的坐标为⎝⎭，同理可得点F ⎝⎭，直线EF的斜率为()()25141EFm k m m ==≠±-， 直线EF的方程是()2541m y x m ⎛+=- -⎝⎭， 即())()()222222155415441m m m y x x m m m ⎡⎤-⎛⎢⎥=-= -+-⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当1m =±时，直线EF的方程为x =EF过定点⎫⎪⎪⎝⎭． 综上，直线EF过定点⎫⎪⎪⎝⎭；②由①可得12y y +=，12214y y m =-+，()2122414m AB y y m +∴=-==+，同理可得()2222141411414m m CD m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++， 所以，四边形ACBD 的面积为()()()()22222222281813225441441221m m S AB CD m m m m ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⋅⎭==⎝，当且仅当21m =取等号．因此，四边形ACBD 的面积的最小值为3225. 8．（2021·河南平顶山市·高三二模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，过右焦点(),0F c 的直线y x c =-与椭圆交于A ，B 两点，A在第一象限，且AF =（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，满足对于过点F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点P ，Q ，都有MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）221189x y +=；（2）存在点15,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足MP MQ ⋅为定值．. 【解析】（1）由2e =，及222a b c =+，得a ==，设椭圆方程为222212x y b b +=，联立方程组22222x y b y x b ⎧+=⎨=-⎩得2340x bx -=．则43A bx =，所以3A F bAF x =-==3b =．所以椭圆C 的方程为221189x y +=．（2）当直线l 不与x 轴重合时，设:3l x ny =+，联立方程组222183x y x ny ⎧+=⎨=+⎩得()222690n y ny ++-=． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),0M t ，则有12262n y y n +=-+，12292y y n ⋅=-+． 于是()()()()1212121233MP MQ x t x t y y ny t ny t y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()()()()2222221212211339163322n y y n t y y t n n t t n n ⎡⎤=++-++-=-+--+-+⎣⎦+()()()22222222627323918212922t t n t t n t t n n ⎡⎤-+-+---+-+⎣⎦==++， 若MP MQ ⋅为定值，则有()222129218t t t -+=-，得1245t =，154t =． 此时218MP MQ t ⋅=-：当直线l 与x轴重合时，()P -，()Q ，也有()()()()21218MP MQ x t x t t t t ⋅=--=-=-．综上，存在点15,04M⎛⎫⎪⎝⎭，满足MP MQ⋅为定值．9．（2021·北京平谷区·高三一模）已知椭圆2222:1(0,0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，并且经过(0P点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B'，直线PB'交x轴于点M，求证：OM ON⋅为定值．【答案】（1）22143x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知23112bca⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩C：22143x y+=．（2）证明：由已知斜率存在以下给出证明：由题意，设直线PB的方程为0)y kx k=+≠，(P，()11,B x y，则()11,B x y'-，由223412,x yy kx⎧+=⎪⎨=⎪⎩得()223480k x++=，所以(280∆=>，1+=x12834=-+xk，12834=-+yk，所以B⎛⎝，即B⎛⎝⎭，直线PB'的方程为2223834434y xk k k⎛⎫---=-⎪⎪++⎝⎭，令0y =得(()224334k x k --=+所以(()2240334k M k ⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭，， 令0y =由y kx =+x =0N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以OM ON ⋅=4. 10．（2021·河南新乡市·高三二模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4.（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q .试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，【解析】（1）设()00,E x y ，则2200221x y a b+=，故(,0),(,0)A a B a -，∴2202220002222200001AE BEx b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， 又()()()()22200000021x AE BE x a x a y x a x a b a ⎛⎫⋅=+-+=+-+- ⎪⎝⎭222202c x c c a=-≥-，由题意知：222124b ac ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）根据椭圆的对称性，可知OM ON =，OP OQ =， ∴四边形MPNQ 为平行四边形，所以4MPNQ OMP S S=.设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，()11,M x y ，()22,P x y ，则111y k x =①，222y k x =②. 又1//l AE ，2//l BE ，即1212AE BE k k k k ⋅=⋅=-. 当MP 的斜率不存在时，12y y =-，12x x =.由①⨯②，得2221121112y k k x x -==-，结合2211184x y +=，解得12x =，1y =∴1114422MPNQ OMPS Sy x ==⨯⨯⨯=当MP 的斜率存在时，设直线MP 的方程为y kx m =+，联立方程组得22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214280k x kmx m +++-=，则()()()22222(4)421288840km k m k m ∆=-+-=+->，即122421km x x k +=-+，21222821m x x k -=+.∵()22121212121212121212k x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-， ∴22222222841212128221m km k km m k k m k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--+，整理得：2242m k =+. 由直线MP 过(0,)m ，12144||2||2MPNQ OMPS Sm x x m ==⨯⨯-=2|2||21m m k ==+， 将2242m k=+代入，整理得MPNQ S =综上，四边形MPNQ 的面积为定值，且为。

圆上到直线的距离为定值的点的个数问题
1.圆上到直线的距离为的点的个数是4 _.
解析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，
半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离
，由右图
所示，圆上到直线的距离为的点有4个．
1.已知直线l：，圆上恰有3个点到直线l的距离都等于1，则b=（C ）。

3.已知圆，直线.设圆上到直线的距离等于的点的个数为，则___4_____.
解析：设直线与直线的距离为，则
，解得或，直线与圆相交，则直线与圆的两个公共点到直线的距离为，直线与圆相交，则直线与圆的两个交点到直线的距离也为，因此.。

2.1 直线与圆的位置关系（1）一、选择题1．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是( )A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能2．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( ) A．0＜r<6 B．r＝6C．r>6 D．r≥63．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C 与直线AB相切，则r的值为( )A．2 cm B．2.4 cmC．3 cm D．4 cm4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．无法确定5．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是( )A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交D ．当BC 不为1时，l 与⊙O 不相切 二、填空题6．若⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，且8－2r ＋||d －4＝0，则直线l 与⊙O 有________个公共点．7．如图所示，已知∠AOB ＝45°，以点M 为圆心，2 cm 为半径作⊙M ，若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________cm 时，⊙M 与射线OA 相切．8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，以点A 为圆心，4为半径作的⊙A 与直线BC 的位置关系是________．9．在△ABO 中，若OA ＝OB ＝2，⊙O 的半径为1，当∠AOB ＝________时，直线AB 与⊙O 相切；当∠AOB 满足________时，直线AB 与⊙O 相交；当∠AOB 满足________时，直线AB 与⊙O 相离.链接学习手册例1归纳总结10．如图，给定一个半径为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM ＝d .我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m .如d ＝0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m ＝4，由此可知：(1)当d ＝3时，m ＝________；(2)当m ＝2时，d 的取值范围是________．三、解答题11．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d .根据下列条件判断直线l 与⊙O 的位置关系：(1)d ＝5，r ＝4；(2)d ＝73，r ＝6；(3)d ＝2 2，r ＝4sin45°.12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，以点C为圆心，r为半径画圆．若⊙C与斜边．．AB只有一个公共点，求r的取值范围．13．如图，已知⊙O与BC相切，点C不是切点，AO⊥OC，∠OAC＝∠ABO，且AC＝BO，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？15．如图，要在某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知点C 周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上．请判断公路MN 是否会穿过原始森林保护区，并说明理由．(参考数据：3≈1.732)16阅读学习已知点P (x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b |1＋k2计算．例如：求点P (－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7， 所以点P (－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为：d ＝|kx 0－y 0＋b |1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P (1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 的坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系，并说明理由．参考答案1．C [解析]过点C 作CD⊥A O 于点D ，∵∠O＝30°，OC ＝6，∴DC＝3，∴以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是相切．故选C. 2．C 3．B4．B 过点A 作AM⊥BC 于点M ，交DE 于点N ，∴AM·BC＝AC·AB，∴AM＝3×45＝2.4.∵D，E 分别是AC ，AB 的中点，∴DE∥BC，DE ＝12BC ＝2.5，∴AN＝MN ＝12AM ＝1.2.∵以DE 为直径的圆的半径为1.25，1．25>1.2，∴以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是相交．5．D [解析] A ．∵BC＝0.5，∴OC＝OB ＋CB ＝1.5.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC ＝0.75＜1，∴l 与⊙O 相交，故A 错误；B ．∵BC＝2，∴OC＝OB ＋CB ＝3.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC ＝1.5＞1，∴l与⊙O 相离，故B 错误；C ．∵BC＝1，∴OC＝OB ＋CB ＝2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC ＝1，∴l 与⊙O相切，故C 错误；D ．∵BC≠1，∴OC＝OB ＋CB≠2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO ＝12OC≠1，∴l 与⊙O不相切，故D 正确． 故选D. 6． 17． 2 2 [解析] 过点M 作MD⊥OA，垂足为D.由于⊙M 与OA 相切，故MD ＝2 cm.因为∠BOA＝45°，所以OD ＝MD ＝2 cm ，所以OM ＝22＋22＝2 2(cm)． 8．相切9． 120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°[解析] 通过画草图，过点O 作OC⊥AB 于点C ，由直线AB 与⊙O 相切，可得OC ＝1，不难求得∠AOC＝60°，故∠AOB＝120°；另两种情况也不难确定．10．(1)1 (2)1＜d ＜311．解：(1)∵d>r，∴直线l 与⊙O 相离． (2)∵d<r，∴直线l 与⊙O 相交． (3)∵d＝r ＝2 2，∴直线l 与⊙O 相切． 12.解：如图所示，过点C 作CD⊥AB 于点D.在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴AB＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm)． ∵S △ABC ＝12AB·CD＝12AC·BC，∴AB·CD＝AC·BC， ∴10×CD＝6×8， ∴CD＝4.8 cm.观察图知，当⊙C 的半径r ＝4.8 cm 时，⊙C 与斜边AB 只有一个公共点； 当6 cm<r≤8 cm 时，⊙C 与斜边AB 只有一个公共点，∴当⊙C 与斜边AB 只有一个公共点时，半径r 的取值范围是r ＝4.8 cm 或6 cm<r≤8 cm.13．解：相离．理由：如图，延长BA 至点D ，使得BD ＝OA ，连结OD.在△OAC 与△DBO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BO ，∠OAC＝∠DBO，OA ＝BD ，∴△OAC≌△DBO(SAS)， ∴OC＝OD ，∠AOC＝∠ODB. ∵AO⊥OC， ∴∠ODB＝90°.∵⊙O 与BC 相切，点C 不是切点， ∴OC＞半径， ∴OD＞半径，∴直线AB 与⊙O 的位置关系是相离． 14．解：如图，过点E 作EF⊥CD 于点F.∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴EA＝EF ＝EB ＝12AB ，∴以AB 为直径的圆，即⊙E 的圆心E 到直线CD 的距离等于半径， ∴以AB 为直径的圆与边CD 相切．15．[解析] 过点C 作CH⊥MN，比较CH 的长与200米的大小即可，即判断直线MN 与以点C 为圆心，200米为半径的圆的位置关系． 解：公路MN 不会穿过原始森林保护区． 理由如下：如图所示，过点C 作CH⊥AB 于点H. 设CH ＝x 米，由已知得∠HAC＝45°，∠HBC＝30°. 在Rt△ACH 中，AH ＝CH ＝x 米． 在Rt△HBC 中，tan∠HBC＝CHBH ，∴BH＝CH tan30°＝x33＝3x(米)．又∵AH＋BH ＝AB ，∴x＋3x ＝600， 解得x ＝6001＋3≈220(米)>200米，故公路MN 不会穿过原始森林保护区．16.解：(1)因为直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， 所以点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为：d ＝||kx 0－y 0＋b 1＋k2＝||1×1－（－1）＋（－1）1＋12＝12＝22. (2)⊙Q 与直线y ＝3x ＋9相切． 理由如下：圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为：d ＝||3×0－5＋91＋（3）2＝42＝2. 因为⊙Q 的半径r 为2，即d ＝r ， 所以⊙Q 与直线y ＝3x ＋9相切．2.1 直线与圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质一、选择题1．经过⊙O 的直径的一端能作⊙O 的切线( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条D ．3条2．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形3．在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则直线AC 与△BDC 的外接圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．无法确定4．在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的任意一点(不包括端点)，以点P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C ．相交D ．不能确定5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若OC ＝AB ，则∠C 的度数为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA ＝4，OB ＝3，则cos∠APO 的值为( )A.34B.35C.45D.437．如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，∠ACB ＝90°，∠A ＝25°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是( )A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°8．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB ，CD 与小圆分别相切于点E ，F ，则弦AB 与CD 的大小关系是( )A ．AB >CD B ．AB ＝CDC ．AB <CDD ．无法确定9．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD ＝2，tan ∠OAB＝12，则AB 的长是( )A ．4B ．2 3C ．8D ．4 3二、填空题10．在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1为半径的圆必与________轴相切． 11．如图，⊙O 的半径为4 cm ，BC 是直径，若AB ＝10 cm ，则当AC ＝________cm 时，AC 与⊙O 相切．12．如图，已知∠MAN ＝30°，O 为AN 边上一点，以点O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD ＝x ，当x ＝________时，⊙O 与AM 相切．13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是________．(不添加其他字母和线段)14．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：已知：如图K－47－4，在△ABC中，∠A＝90°.求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．图K－47－4小轩的主要作法如下：如图，(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；(2)以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.则⊙P即为所求．老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是________________________________________________. 15．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°.16．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O 的半径为________．17．如图，点A，B，C均在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D，连结OC.若∠A＝30°，CD＝2 3，则⊙O的半径为________．18．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①△CPD∽△DPA；②若∠A＝30°，则PC＝3BC；③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP的度数为定值．19．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图．⊙O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且⊙O与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为________.三、解答题20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，BO的长为半径作圆．求证：AC是⊙O的切线．21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E 在边AC上，且满足ED＝EA.(1)求∠DOA的度数；(2)求证：直线ED与⊙O相切.22．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC 交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．23．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB 是圆的切线；(2)若E 是BC 上一点，已知BE ＝4，tan∠AEB ＝53，AB ∶BC ＝2∶3，求圆的直径．24．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F . (1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若BD ＝2 3，BF ＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).25探究应用：如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为N ，连结AC ，点E 在AB 上，且AE ＝CE .(1)求证：AC2＝AE·AB；(2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；(3)设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ长的最小值．26．如图，已知AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，AB＝3 cm，BC＝1 cm，求⊙O 的半径．27．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连结OD.作BE⊥CD 于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.(1)求证：△COD∽△CBE；(2)求半圆O的半径r.28．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE ＝EC ＝2，求⊙O 的半径．29．如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连结CD ，求证：∠A＝2∠CDE； (3)若∠CDE＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．30．综合探究如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC 为直径，过点A 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F(靠近点C)作CE 的平行线交AB 于点G ，连结CG.(1)求证：AB ＝CD ； (2)求证：CD 2＝BE·BC；(3)当CG ＝3，BE ＝92时，求CD 的长．参考答案1．B 2．B 3．B 4． B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．C 10． X 11． 6 12． 2 13． 答案不唯一，如CD ＝BD14．角平分线上的点到角两边的距离相等；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线(或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切) 15． 50 16． 5 17．2 18．②③④ 19． （π＋2）2820．证明：过点O 作OE⊥AC 于点E ， ∵AO 平分∠BAC，∠B＝90°，∴OE＝OB ， ∴AC 是⊙O 的切线．21．解：(1)∵OD＝OB ，∴∠DBO＝∠ODB＝50°， ∴∠DOA＝2∠DBO＝100°. (2)证明：连结OE.在△EAO 与△EDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝DO ，EA ＝ED ，EO ＝EO ，∴△EAO≌△EDO，∴∠EAO＝∠EDO. ∵∠BAC＝90°，∴∠EDO＝90°， ∴直线ED 与⊙O 相切．22．解：(1)证明：如图，连结OD. ∵AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB. ∵OA＝OD ， ∴∠ODA＝∠DAO， ∴∠ODA＝∠DAE， ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE.又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线．(2)过点O 作OF⊥AC 于点F ，∴AF＝CF ＝3， ∴OF＝OA 2－AF 2＝52－32＝4. ∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四边形OFED 是矩形，∴DE＝OF ＝4.23．解：(1)证明：∵BC 是直径，∴∠BDC＝90°， ∴∠ACB＋∠DBC＝90°. ∵∠ABD＝∠ACB， ∴∠ABD＋∠DBC＝90°， ∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB 是圆的切线． (2)在Rt△AEB 中，∵tan∠AEB＝53，∴AB BE ＝53，即AB ＝53BE ＝203. 在Rt△ABC 中，AB BC ＝23，∴BC＝32AB ＝32×203＝10，∴圆的直径为10.24．解：(1)直线BC 与⊙O 相切． 理由：连结OD.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA ，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°， 即OD⊥BC.又∵BC 过半径OD 的外端点D ， ∴直线BC 与⊙O 相切．(2)设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF ＋BF ＝x ＋2，根据勾股定理，得OB 2＝OD 2＋BD 2，即(x ＋2)2＝x 2＋12，解得x ＝2，即OD ＝OF ＝2， ∴OB＝2＋2＝4.2∴∠DOB＝60°，∴S 扇形DOF ＝60π×4360＝2π3， ∴S 阴影＝S △ODB －S 扇形DOF ＝12×2×23－23π＝23－23π. 故阴影部分的面积为23－23π. 25解：(1)证明：如图，连结BC ，∵CD⊥AB，∴CB＝CA ，∴∠CAB＝∠CBA.又∵AE＝CE ，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠ABC.又∵∠CAE＝∠BAC，∴△CAE∽△BAC，∴AC AB ＝AE AC，即AC 2＝AE·AB.(2)PB ＝PE.理由如下：如图，连结BD ，OB.∵CD 是直径，∴∠CBD＝90°.∵BP 是⊙O 的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠BCD＋∠D＝∠PBC＋∠OBC＝90°.∵OB＝OC ，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PBC＝∠D.又∵∠A＝∠D，∴∠PBC＝∠A.∵∠ACE＝∠ABC，∠PEB＝∠A＋∠ACE，∠PBN＝∠PBC＋∠ABC，∴∠PEB＝∠PBN，∴PE＝PB.(3)如图，连结PO 交⊙O 于点Q ，则此时线段PQ 的长有最小值．∵N 是OC 的中点，∴O N ＝2.∵OB＝4，∴∠OBN＝30°，∴∠PBE＝60°.又∵PE＝PB ，∴△PEB 是等边三角形，∴∠PEB＝60°，PB ＝BE.在Rt△BON 中，BN ＝OB 2－ON 2＝42－22＝23，tan60°33∴BE＝BN ＋EN ＝833，∴PB＝BE ＝833. ∴PQ＝PO －OQ ＝OB 2＋PB 2－OQ ＝42＋（83 3）2－4＝4321－4. 即线段PQ 长的最小值为4321－4. 26．解：连结OA ，因为AB 是⊙O 的切线，所以∠OAB＝90°.在Rt△OAB 中，设⊙O 的半径为r cm ，则有(r ＋1)2＝r 2＋32，解得r ＝4.故⊙O 的半径是4 cm.27．解：(1)证明：∵CD 切半圆O 于点D ，OD 为半圆O 的半径，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°. ∵BE⊥CD 于点E ，∴∠E＝90°，∴∠CDO＝∠E.又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE.(2)∵在Rt△BEC 中，CE ＝12，BE ＝9， ∴CB＝15.∵△COD∽△CBE，∴OD BE ＝CO CB， 即r 9＝15－r 15，∴r＝458. 28．(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°.∵AC 为⊙O 的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°.∵OA＝OD ，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BDO＝∠CAD.又∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD.(2)解：∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD 2＝CA·CE.∵AE＝EC ＝2，∴AC＝AE ＋EC ＝4，∴CD＝2 2.设⊙O 的半径为x ，则OA ＝OD ＝x ，在Rt△AOC 中，OA 2＋AC 2＝OC 2，∴x 2＋42＝(2 2＋x)2，解得x ＝ 2.∴⊙O 的半径为 2.29． (1)证明：如图，连结OD ，BD.∵AB 是半圆O 的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.∵AB＝AD ，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD ，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AD.又∵OD 是半圆O 的半径，∴AD 是半圆O 的切线．(2)证明：由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD，即∠A＝∠DOC. ∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC 是半圆O 的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°，∴∠BDO＝∠CDE.∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO，∴∠DOC＝2∠CDE.∴∠A＝2∠CDE.(3) 解：∵∠CDE＝27°，∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，∴∠BOD＝180°－54°＝126°.∵OB＝2，∴BD ︵的长＝126×π×2180＝75π.30. (1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC＝90°， ∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，∴AB＝CD.(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°.而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA.而∠EBA＝∠ABC＝90°，∴△EBA∽△ABC，∴BE BA ＝BA BC， ∴BA 2＝BE·BC.由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE·BC.(3) 解：由(2)知CD 2＝BE·BC，即CD 2＝92BC.① ∵FG∥BC，且F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG. 在Rt△CBG 中，有CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CD 2＋BC 2.② 把①代入②，消去CD ，得BC 2＋12BC －3＝0， 解得BC ＝32或BC ＝－2(舍去)， 将BC ＝32代入①，得CD ＝332.。

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析： 设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

微专题17 与圆相关的定点、定值问题圆的综合问题还可能会考查与圆有关的定点、定值问题，这类问题的解决往往先从特例题：已知圆O ：x 2＋y 2＝9.点A (－5，0)，在x 轴上存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆O 上任一点P ，都有PBP A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．变式1已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A(3，0)，且与圆O 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P′，直线QM 交直线l 2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．变式2已知过点A(0，1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．求证：AM →·AN →为定值7.串讲1如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P.BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．串讲2设O 为坐标原点，F(1，0)，M 是l ：x ＝2上的点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点．(1)若PQ ＝6，求圆D 的方程；(2)若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．(2018·江苏模拟卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点(点B 在点A 右侧)，点Q(－2，0)，x 轴上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列．(1)求证：动点P 的横坐标为定值；(2)设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ，求证：点Q ，S ，T 三点共线．(2017·江苏模拟卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)，B(0，－2)，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.(1)若r ＝2，求圆M 的方程； (2)当r 变化时，是否存在定直线与圆相切？如果存在，求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由．答案：(1)(x －1)2＋(y －5)2＝4；(2)存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与圆相切．解析：(1)设圆心M(m ，n)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫32r 2＋m 2＝r 2，m ＞0，（m ＋4）2＋n 2＝m 2＋（n ＋2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12r ，n ＝r ＋3，4分∴圆M 的方程为(x －1)2＋(y －5)2＝4.5分(2)设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪k·r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立，7分由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋b －3＝r 1＋k 2，得⎝⎛⎭⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2 ＝r 2(1＋k 2)，9分∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k 2，（k －2）（b －3）＝0，（b －3）2＝0，计算得出⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3，13分 ∴存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与圆相切.14分微专题17 与圆相关的定点、定值问题巩固练习1.圆C ：x 2＋y 2－2tx －2t 2y ＋4t －4＝0，则圆过定点________．2．已知以曲线y ＝2x 上任意点C 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点，则△AOB 的面积为________．3．已知直线l ：mx －y ＋m ＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝4.若对任意a ∈[1，＋∞)，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是________．4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则2P A ＋PB 的最大值是________．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m)x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(－1，1)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．6．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为________．7．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6，0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有GF GP ＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4，0)，F 2(4，0)，A(0，8)，直线y ＝t(0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q ，过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C.(1)求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上；(2)圆C 是否恒过异于点F 1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．微专题17参考答案例题答案：B ⎝⎛⎭⎫－95，0. 解法1如图，假设存在这样的点B(t ，0)，当P 为圆O 与x 轴左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆O 与x 轴右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得，t ＝－5(舍去)，或t ＝－95.下面证明：点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆O 上任一点P ，都有PBPA为一常数． 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，从而PB PA ＝35为常数．解法2假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得，x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎨⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95，或⎩⎨⎧λ＝1，t ＝－5，(舍去)，所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆O 上任一点P ，都有PB PA 为常数35. 变式联想变式1 答案：(1)y ＝±24(x －3)；(2)(3±22，0)． 解析：(1)因为直线l 1过点A(3，0)，且与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k(x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O(0，0)到直线l 1的距离为d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)对于圆方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，得x ＝±1，即P(－1，0)，Q(1，0)， 又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，所以直线l 2方程为x ＝3，设M(s ，t)，则直线PM 的方程为y ＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝t s ＋1（x ＋1）， 得P′⎝⎛⎭⎫3，4t s ＋1同理可得，Q ′⎝⎛⎭⎫3，2t s －1.所以以P′Q′为直径的圆C 的方程为(x －3)(x －3)＋⎝⎛⎭⎫y －4t s ＋1⎝⎛⎭⎫y －2ts －1＝0，又s 2＋t 2＝1，所以整理得x 2＋y 2－6x ＋1＋6x －2t y ＝0，若圆C 经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22，所以，圆C 总经过定点坐标为(3±22，0)．变式2证法1设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，（x －2）2＋（y －3）2＝1，得(k 2＋1)x 2－4(k ＋1)x ＋7＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4（k ＋1）k 2＋1，x 1x 2＝7k 2＋1.因为AM →＝(x 1，y 1－1)，AN →＝(x 2，y 2－1)，所以AM →·AN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)71＋k 2＝7.所以AM →·AN →为定值7.证法2由于M ，N 共线，所以AM →·AN →＝AM·AN ＝(AC －1)(AC ＋1)＝AC 2－1＝7.串讲激活串讲1答案：BQ →·BP →＝－5.解析：因为AQ ⊥BP ，所以AQ →·BP →＝0，所以BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP →＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎫－2，－52.则BP →＝⎝⎛⎭⎫0，－52， 又BA →＝(1，2)，所以BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .所以BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k .所以BQ →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.串讲2答案：(1)圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2； (2)点P 在定圆x 2＋y 2＝2上． 解析：(1)设M(2，t)，则圆D的方程：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝1＋t 24， 直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0，由PQ ＝6， 2⎝⎛⎭⎫1＋t 24－⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6，解得t ＝±2. 所以圆D 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)解法1设P(x 0，y 0)，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－1）2＋⎝⎛⎭⎫y 0－t 22＝1＋t 24，2x 0＋ty 0－2＝0，即⎩⎨⎧x 02＋y 02－2x 0－ty 0＝0，2x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得x 02＋y 02＝2.所以点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．解法2设P(x 0，y 0)，则直线FP 的斜率为k FP ＝y 0x 0－1，因为FP ⊥OM ，所以直线OM 的斜率为k OM ＝－x 0－1y 0，所以直线OM 的方程为y ＝－x 0－1y 0x.点M 坐标为⎝⎛⎭⎫2，－2（x 0－1）y 0.因为MP ⊥OP ，所以OP →·MP →＝0，所以x 0(x 0－2)＋y 0⎣⎡⎦⎤y 0＋2（x 0－1）y 0＝0，所以x 02＋y 02＝2，所以点P在定圆x 2＋y 2＝2上．解法3设直线PQ 与OM 交于点H ，A(2，0)，由射影定理知OP 2＝OH·OM ，由此知，OH ·OM ＝OF·OA ＝2，所以OP 2＝2，所以点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．新题在线证明：(1)由题设知A(－1，0)，B(1，0)． 设P(x 0，y 0)(y 0＞0)，则k PQ ＝y 0x 0＋2，k PA ＝y 0x 0＋1，k PB ＝y 0x 0－1. 因为直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列，所以2k PQ ＝k PA ＋k PB ，即2y 0x 0＋2＝y 0x 0＋1＋y 0x 0－1，解得x 0＝－12，即动点P 的横坐标为定值．(2)由(1)知P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，k PA ＝2y 0，k PB ＝－23y 0，直线PA 的方程为y ＝2y 0(x ＋1)，代入x 2＋y 2＝1得(x ＋1)[(1＋4y 02)x －(1－4y 02)]＝0，所以点S 的横坐标x S ＝1－4y 021＋4y 02，从而y S ＝4y 01＋4y 02. 同理：x T ＝－9＋4y 029＋4y 02，y T＝12y 09＋4y 02， 所以k QS ＝4y 01＋4y 021－4y 021＋4y 02＋2＝4y 03＋4y 02，k QT ＝12y 09＋4y 02－9＋4y 029＋4y 02＋2＝4y 03＋4y 02，所以k QS＝k QT，所以点Q，S，T三点共线．微专题17巩固练习参考答案1．答案：(2，0)． 解析：圆C 的方程可以改写为(x －2)(x ＋2－2t )＋y (y －2t 2)＝0，表示以(2，0)，(2t －2，2t 2)为直径的圆． 2．答案：4.解析：设C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)，由题意知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4. 3．答案：[－3，0)∪(0，3]． 解法1由题意可得，圆心C 到l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫222＝3，即|am ＋m |m 2＋1＝3，所以m 2＝3（a ＋1）2－3，又因为a ≥1，所以0＜m 2≤3，－3≤m ＜0或0＜m ≤ 3.解法2由题意可得，圆心C 到l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫222＝3，又l ：mx －y ＋m ＝0恒过定点A (－1，0)，a ≥1，所以AC ≥2，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin θ＝3AC ∈⎝⎛⎦⎤0，32，所以l 的斜率m ＝tan θ∈[－3，0)∪(0，3]．4．答案：5 2.解析：由条件知定点A (0，0)，B (1，3)，且P A ⊥PB ，所以P A 2＋PB 2＝10(定值)，所以(2P A ＋PB )2≤(P A 2＋PB 2)(22＋12)＝50，即2P A ＋PB ≤5 2.5．答案：2x ＋y ＋1＝0.解析：由条件知圆心C (3－m ，2m )在直线2x ＋y －6＝0上，若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 与圆心所在直线平行，再代入点(－1，1)得直线l 的方程为2x ＋y ＋1＝0.6．答案：(x －1)2＋y 2＝1.解析：设定圆圆心M (a ，b )，半径为r ，动点P (x ，y )，由题意知MP ＝2r ，即(x －a )2＋(y －b )2＝4r 2，由于点P 在圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上，所以(2－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－4r 2＋3＝0，对任意x ，y 都成立，所以a ＝1，b ＝0，r 2＝1，所求圆方程为(x －1)2＋y 2＝1.7．答案：(1)直线FG 被圆C 截得的弦长为7；(2)平面上存在定点P (－12，0)，使得结论成立． 解析：(1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4，0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152.则直线FG 被圆C 截得的弦长为26－⎝⎛⎭⎫1522＝7.故直线FG 被圆C 截得的弦长为7. (2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由GF GP ＝12，得（x 0＋6）2＋y 02（x 0－s ）2＋（y 0－t ）2＝12，整理得3(x 02＋y 02)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.① 又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 02＋y 02＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，11 / 11 ⎩⎪⎨⎪⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0.解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12，0)，使得结论成立． 8．答案：(1)略；(2)圆C 恒过异于点F 1的一定点，该点坐标为⎝⎛⎭⎫413，3213.解析：(1)解法1：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以P ⎝⎛⎭⎫t －82，t ，Q ⎝⎛⎭⎫8－t 2，t ，再由QR ∥AF 1，得R (4－t ，0)，则线段F 1R 的中垂线方程为x ＝－t 2，线段PF 1的中垂线方程为y ＝－12x ＋5t －168，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋5t －168，x ＝－t 2，得△PRF 1的外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－t 2，7t 8－2， 经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解法2：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以P ⎝⎛⎭⎫t －82，t ，Q ⎝⎛⎭⎫8－t 2，t ，再由QR ∥AF 1，得R (4－t ，0)，设△PRF 1的外接圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧（4－t ）2＋（4－t ）D ＋F ＝0，（－4）2－4D ＋F ＝0，⎝⎛⎭⎫t －822＋t 2＋t －82D ＋tE ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －16，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－t 2，7t 8－2，经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上． (2)由(1)可得圆C 的方程为x 2＋y 2＋tx ＋⎝⎛⎭⎫4－74t y ＋4t －16＝0，该方程可整理为(x 2＋y 2＋2y －16)＋t ⎝⎛⎭⎫x －74y ＋4＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4y －16＝0，x －74y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝413，y ＝3213，或⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝0，所以圆恒过异于点F 1的一个定点，该点坐标为⎝⎛⎭⎫413，3213.。