[精品]2019高考数学大一轮复习升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧文91

升级增分训练 简化解析几何运算的5个技巧1．(2016·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．33 B ．23C ．22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p ．设M (x ′，y ′)， 由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎨⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．2．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝14x 2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A ．54x 2－5y 2＝1B ．5y 2－54x 2＝1C ．5x 2－54y 2＝1D ．54y 2－5x 2＝1解析：选D 因为x 2＝4y 的焦点为(0,1)， 所以双曲线的焦点在y 轴上． 因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ， 所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ＞0)， 即y 2λ－x 2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为54y 2－5x 2＝1，故选D ．3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．2，2]C ．(0，2]D ．2，＋∞)解析：选B 设P (x 0，y 0)，则PF 1―→·PF 2―→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0) ＝x 20－c 2＋y 20＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 20b 2－c 2＋y 20，上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2， 根据已知－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2， 即2≤c 2a 2≤4，即2≤ca ≤2，所以所求离心率的取值范围是2，2]．4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4C ．43D ．52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2．设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程， 消元得y 2－32py －p 2＝0．故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94， 即－λ－1λ＋2＝－94．又λ＞1，解得λ＝4．5．(2015·四川高考)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 228，y 1＋y 22，C (5,0)为圆心，当y 1≠－y 2时，k AB ＝4y 1＋y 2，k CM ＝4(y 1＋y 2)y 21＋y 22－40，由k AB ·k CM ＝－1⇒y 21＋y 22＝24，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋y 22，又r 2＝|CM |2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝10＋12y 1y 2，所以(2r 2－20)2＝y 21y 22，所以y 21，y 22是方程t 2－24t ＋(2r 2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r ＜4．综上，r 的取值范围是(2,4)．6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A ．2x 275＋2y 225＝1B ．x 275＋y 225＝1C ．x 225＋y 275＝1D ．2x 225＋2y 275＝1解析：选C 由已知得c ＝52， 设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450， 由题意知x 1＋x 2＝1， 即12(a 2－50)10a 2－450＝1， 解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1．7．已知双曲线C ：x 22－y 2＝1，点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP ―→·MQ ―→，则λ的取值范围是________．解析：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)， λ＝MP ―→·MQ ―→＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2．因为|x 0|≥2，所以λ的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]8．(2017·长春质检)已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)， ∴PA ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)， ∴PA ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)(－sin θ－x －2) ＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ ＝2x 2＋4x ＋3 ＝2(x ＋1)2＋1， 当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，PA ―→·PB ―→取最小值1． 答案：19．设抛物线⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ．若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(p ＞0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，|AB |＝|AF |＝12|CF |＝32p ，可得A (p ，2p )．易知△AEB ∽△FEC ， ∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12， 故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6．∵p ＞0，∴p ＝6． 答案： 610．(2016·河北三市二联)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233． (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ， ∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33，由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点， 所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0， 解得k 2＞1．设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k2， 若以CD 为直径的圆过E 点， 则PB ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1．11．(2016·山东高考节选)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程．(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ．直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．求证：点M 在定直线上．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32， 可得a 2＝4b 2．因为抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1．所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1． (2)证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m ＞0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m ．因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，联立方程⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0． 由Δ＞0，得0＜m 2＜2＋5．(*)由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1．将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)．因为y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx ．联立方程⎩⎨⎧y ＝－14mx ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．12．(2016·合肥质检)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． 解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知2a ＝4，c a ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1， 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，① 设△OAB 的面积为S ， 由x 1x 2＝－3k 2＋4＜0， 知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，令k 2＋3＝t ，知t ≥3， ∴S ＝21t ＋1t ＋2． 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2＞0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈3，＋∞)上单调递增， ∴t ＋1t ≥103，∴0＜1t ＋1t ＋2≤316，∴0＜S ≤32，即△OAB 面积的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32．。

增分点 简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[解题师说]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[应用体验]1．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||PA |的最小值为________．对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1[解题师说]本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[应用体验]2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题师说]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k21＋4k 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[应用体验]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1[解题师说]本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[应用体验]4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题师说]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [应用体验]5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23C.22D ．12．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝14x 2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.54x 2－5y 2＝1 B ．5y 2－54x 2＝1C ．5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(0，2]D ．[2，＋∞)4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43 D.525．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝17．已知双曲线C ：x 22－y 2＝1，点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P关于原点的对称点．记λ＝MP ―→·MQ ―→，则λ的取值范围是________．8．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．9．设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．11.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .求证：点M 在定直线上．12．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．答 案[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[方法演示]解析：由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 答案：D [解题师说]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[应用体验]1．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||PA |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||PA |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22. 答案：22或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [方法演示]解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b2＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：D [解题师说]本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[应用体验]2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22. 即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[方法演示]解：(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k21＋4k2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可计算得k PN ＝5k4－4k2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.[解题师说]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k21＋4k 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[应用体验]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327， 所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t2. 而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [方法演示]解析：由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9， 所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.答案：B [解题师说]本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[应用体验]4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0， 其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[方法演示]证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b2＝1，消去y 0并整理，得x 2＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2， 整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2， 整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cos θ，b2sin θ.|AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1.又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ .从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ， 解得|k AQ |＜33，故|k |＝1|k AQ |＞ 3. [解题师说]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [应用体验]5．(2018·长春质检)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3. (1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m4＋3m2，①y 1y 2＝－94＋3m2，② 直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2， F 2R ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9，将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0， 即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0.1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．2．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝14x 2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.54x 2－5y 2＝1 B ．5y 2－54x 2＝1C ．5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝1 解析：选D 因为x 2＝4y 的焦点为(0,1)， 所以双曲线的焦点在y 轴上． 因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ， 所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ＞0)，即y 2λ－x 2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45， 所以双曲线的方程为54y 2－5x 2＝1.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(0，2]D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (x 0，y 0)，则PF 1―→·PF 2―→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20b 2－c 2＋y 20，上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2，根据已知－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，所以14c 2≤a 2≤12c 2，即2≤c 2a 2≤4，即2≤c a ≤2，所以所求离心率的取值范围是[2，2]．4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ―→＝λFB ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2. 设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94， 即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.5．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，M y 21＋y 228，y 1＋y 22，C (5,0)为圆心，当y 1≠－y 2时，k AB ＝4y 1＋y 2，k CM ＝4(y 1＋y 2)y 21＋y 22－40，由k AB ·k CM ＝－1⇒y 21＋y 22＝24，所以M 3，y 1＋y 22，又r 2＝|CM |2＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝10＋12y 1y 2，所以(2r 2－20)2＝y 21y 22，所以y 21，y 22是方程t 2－24t ＋(2r 2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r ＜4.所以r 的取值范围是(2,4)．6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450， 由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75， 所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.7．已知双曲线C ：x 22－y 2＝1，点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P关于原点的对称点．记λ＝MP ―→·MQ ―→，则λ的取值范围是________．解析：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，λ＝MP ―→·MQ ―→＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2.因为|x 0|≥2，所以λ≤－1， 所以λ的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]8．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴PA ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2) ＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ ＝2x 2＋4x ＋3 ＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，PA ―→·PB ―→取最小值1. 答案：19．设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p ＞0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p＞0)，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，|AB |＝|AF |＝12|CF |＝32p ，可得A (p ，2p )．易知△AEB ∽△FEC ， ∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12， 故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6.∵p ＞0，∴p ＝ 6. 答案： 610．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝ca ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33， ∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程， 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1.11.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .求证：点M 在定直线上．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.因为抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1.所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m ＞0)． 由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )， 即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22， 得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m 2＜2＋ 5.(*)由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1， 因此x 0＝2m 34m 2＋1. 将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1). 因为y 0x 0＝－14m， 所以直线OD 的方程为y ＝－14m x . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14， 所以点M 在定直线y ＝－14上． 12．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意可知2a ＝4，c a ＝32，又a 2＋b 2＝c 2， 解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，① 设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4＜0， 知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2. 令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2＞0， ∴y ＝t ＋1t在t ∈[3，＋∞)上单调递增， ∴t ＋1t ≥103， ∴0＜1t ＋1t＋2≤316，∴0＜S ≤32， 故△OAB 面积的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。

2019-2020年高考数学大一轮复习升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧文1. （xx •四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2= 2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM = 2| MF，则直线D. 1解析：选C如图所示，设P(X0, y°)( y°> 0), 则y0= 2px o,2y。

即X°=-.2P设Mx', y'),-- > ---- >由PM= 2 MF,得严'-x0- 2g-x')y' —yo—2 0 —y ,[x '=宁，化简可得|y '= y0. 3y0 2pp+ X。

y。

2p丁p+茹亦+ y0OM的斜率的最大值为（•••直线OM勺斜率为2 22.设双曲线x+b=1的一条渐近线为y=—2x,且一个焦点与抛物线y=4x2的焦点相同，则此双曲线的方程为（解析：选D 因为x 2— 4y 的焦点为（0,1）, 所以双曲线的焦点在 y 轴上.A. 4x 2 — 5y 2= 14B .5y 2— |x 2= 1425 2C. 5x — yD .5 2 25y — 5x =1因为双曲线的一条渐近线为 y =— 2x ,5所以双曲线的方程为”y 2— 5x 2= 1，故选D.―> 7 3 21 21双曲线上任一点，且PF • PF 最小值的取值范围是 卜-c ，— ^c ，则该双曲线的离心率的 取值范围为()A (1 , ,2] B. [ ,2, 2] C. (0,2]D. [2 ,+s)解析：选B 设F ( x o , y o ),-- > --- >贝U PF • PF> = （ — c —X 。

，一 y 。

）•（ c — X 。

，一 y 。

）2 2 2 2y02 2 =X 0 — c + y 0 = a |1 + R — c + y 0,上式当y 0= 0时取得最小值a 2— c 2, 3 1根据已知一［c 2w a 2 — c 2w — -c 2, 12” 2 1 2即4c W a W 尹,2c即 2W rW 4,a ，即■■■.■.;：2W ^W 2, 所以所求离心率的取值范围是 [,2, 2].4.过抛物线y 2= 2px (p > 0)的焦点F ,斜率为3的直线交抛物线于 A , B 两点，若 AF =入"FB (入〉1), 则入的值为()A. 5解析：选B 根据题意设A (X 1, y 1) , 0X 2, y 2),所以设双曲线的方程为2 2y — 4x =入（入〉0）,3.已知双曲线 x y孑-孑=1（a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F i （ — c , 0）, F 2（c, 0）, P为B. 475由AF =入F B , y 1 故一 y 1 =入y 2,即卩入=—.y 2设直线AB 的方程为y = 3 >x — p , 联立直线与抛物线方程， 一 2 3 2消元得 y — ^py — p = 0.又入〉1，解得入=4.5. (xx •四川高考)设直线l 与抛物线y 2= 4x 相交于A,B 两点，与圆(x — 5)2 + y 2= r 2(r >0) 相切于点M 且M 为线段AB 的中点•若这样的直线I 恰有4条，贝U r 的取值范围是( )A. (1,3)=| CM 2= 4 +i 1= 10 + 尹1『2，所以(2 r 2— 20) 2= y 1y 2,所以 y 1, y 2 是方程 t 2 — 24t + (2 r 2—20) 2= 0的两个不同的正根，由 △> 0得2v r v 4.综上，r 的取值范围是(2,4).6.中心为原点，一个焦点为 F (0,5 .2)的椭圆，截直线y = 3x — 2所得弦中点的横坐标 1为2，则该椭圆方程为()故 y 1+y 2 =2y 1y 2= — p ,9 - 4 -=2+ B. (1,4) C. (2,3) 解析：选Dy 2,D (2,4)y 1+ y 2 y 1 + yMp^, 产,C (5,0)为圆心，当沪一y 2 4 时，kA B = R ，2kcM= y 2+ y 2 — 40M 3,宁，又rA.If +2y25C.2 2x y+ 一 = 1 25 75D .22x 25 +得 2 - X 1, 2 - 1 y- y+22yy2 1+yyy y2解析：选C由已知得c= 5 .2 ,752 2设椭圆的方程为亍鑰+£= 1,. 2 2X y 联立丿云^而+孑=1,y = 3X - 2,消去 y 得(10a 2— 450) x 2—12( a 2- 50)x + 4( a 2-50) - a 2( a 2- 50) = 0，设直线 y = 3x- 2与椭圆的交点坐标分别为(x i, y i) , (X 2, y 2),由根与系数关系得Xi + X 2」；0；-450，由题意知X i + X 2= 1 , 12 a 2- 50 10a - 450 解得a 2= 75,2 2所以该椭圆方程为辛+X =1.75 252X o7.已知双曲线 C ： --y 2= 1,点M 的坐标为(0,1).设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P关于原点的对称点•记 入=*尺lQ,贝U 入的取值范围是 __________________.解析：设 P (X G , y o )，则 Q -X 0,- y o ),--- > ---- >入=MP • MQ=(x o , y o -1) • ( — x o ,- y o - 1) 2 2一=-x o — y o + 13 2 c=-云0+ 2. 因为 | X o | > 2,所以入的取值范围是(一a, — 1]. 答案：(-a, - 1]& (xx •长春质检)已知AB 为圆X + y = 1的一条直径，点P 为直线x — y + 2= 0上任意 一点，贝U "P A • "PB 的最小值为 ____ .解析：由题意，设 A (cos 0 , sin 0 ) , P (x , x + 2), 则 B ( — cos 0，— sin 0 ),--- A PA = (cos 0 — x , sin 0 — x — 2),-- APB ( — cos 0 — x , — sin 0 — x — 2),123，3，--- A ---- A••• PA • PB=(cos 0 — x )( — cos 0 — x ) + (sin 0 — x — 2)( — sin 0 — x — 2) 2 2 2 2=x + (x + 2) — cos 0 — sin 02 =2x + 4x + 32=2(x + 1) + 1, 当且仅当x =— 1,即P ( — i , i)时，"P A • "PiB 取最小值i . 答案：ix = 2pt 2 3,9.设抛物线(t 为参数，p > 0)的焦点为F ,准线为I .过抛物线上一点 Al y =2pt,0 , AF 与BC 相交于点E.若| CF = 2| AF ，且△ ACE 勺面积为3寸2,则p 的值为 _________x = 2pt ,2解析：由(p >0)消去t 可得抛物线方程为 y = 2px (p >l y = 2 ptp1 30)，二 F 2, 0 j |AB = |AF = ?CF =尹，可得 A (p ，谑 p ).易知△ AEB^A FEC • |AE _ | AB = 1 ••|FE — |FC — 2，亠1 1厂1 yJ2 2厂故 S ^ACE — 3 S A AC — 3 X3 p X 2p X 2=亍 p = 3 2 ,• - p — 6.T p >0, • p =J 6.答案：•. 62 求此椭圆的方程；3 已知直线y = kx + 2与椭圆交于 C, D 两点，若以线段 CD 为直径的圆过点 日一1,0), 求k 的值.解：(1)设焦距为2c ,作I 的垂线，垂足为B.设10. (xx •河北三市二联—1( a > b > 0) 的一个焦点为F,过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ,B 两点, |AB —)已知离心率为2 2的椭圆a 2+b 2b '.?3 b2• a=w，由题意可知bac3，3，…b = 4, a = • _ 3,2x 2•••椭圆的方程为-3+ y = 1.⑵将y = kx + 2代入椭圆方程，得(1 + 3k 2) x 2 + 12kx + 9= 0, 又直线与椭圆有两个交点，2 2所以△ = (12 k ) — 36(1 + 3k ) > 0, 解得k 2> 1.设 C (X 1, y 1), Q X 2, y 2),4X 1+ X 2= — 12k1 + 3k 2， X 1X2 = 1 +3k 2， 若以CD 为直径的圆过E 点, 则"PB • "E D=0,即(X 1+ 1)(X 2+ 1) + y 1y 2= 0,2而 yw = ( kX 1+ 2)( kx 2 + 2) = k X 1X 2+ 2k (X 1 + X 2) + 4, 则(X 1+ 1)( X 2+ 1) + yy2=(k + 1)X 1X 2+ (2 k +1)( X 1 + X 2) + 59 k 2+i 1 + 3k 212k 2k+l1 + 3k 2+ 5 = 0,解得k = f ,满足k 2> 1.2x11. (xx •山东高考节选)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： r +a2y 2= 1(a >b >0)的离心率是-扌，抛物线一个顶点.(1) 求椭圆C 的方程.(2) 设P 是E 上的动点，且位于第一象限， E 在点P 处的切线IB,线段AB 的中点为D.直线0D 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点 上. 与C 交于不同的两点 A , M 求证：点M 在定直线解: (1)由题意知 Q a 2— b 2=a —可得 a 2— 4b 2.因为抛物线E 的焦点为F 0,,E ： x 2= 2y 的焦点F 是C 的11 =—丄 x 联立方程y = 4m<，x = m1得点M 的纵坐标y M = — 4,所以 b = 2， a = 1.所以椭圆C 的方程为x 1 2+ 4y 2= 1. ⑵证明：设P'm m (m>0). 由 x 2= 2y ,可得 y '= x , 所以直线l 的斜率为m2因此直线l 的方程为y —等=m (x — n ),2亦 m 即 y = mx--.设 A (x i , y i ) , B (x 2, y 2), Qx 。

五大技巧，简化解析几何运算解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性．解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键． 技巧一 利用定义，回归本质例1 (1)已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且AF ＝4，则P A ＋PO 的最小值是__________． 答案 213解析 如图，可求A ()－2，4，再求A ()－2，4关于抛物线的准线x ＝2的对称点A ′()6，4，因此P A ＋PO ＝P A ′＋PO ，当O ，P ，A ′三点共线时P A ＋PO 取到最小值．即()P A ＋PO min ＝A ′O ＝62＋42＝213.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．答案62解析 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧AF 1＋AF 2＝4，AF 2－AF 1＝2a ，AF 21＋AF 22＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 跟踪演练1 (1)已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1,3)，B (3,0)，P 为椭圆上一点，则P A ＋PB的最大值为______． 答案 15解析 由椭圆方程可知点B 为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B ′，由椭圆的定义可知PB ＝2a －PB ′＝10－PB ′， 则P A ＋PB ＝10＋()P A －PB ′， 很明显，()P A －PB ′max ＝AB ′ ＝()－3－12＋()0－32＝5，据此可得P A ＋PB 的最大值为10＋5＝15.(2)抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则PFP A 的最小值为______． 答案22解析 设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义， 知PF ＝x P ＋m ，又P A 2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫PF P A 2＝(x p ＋m )2(x p ＋m )2＋4mx P＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)， 所以PF P A ≥22，所以PF P A 的最小值为22.技巧二 设而不求，整体代换例2 (1)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是___________________________． 答案 6x －5y －28＝0解析 由4x 2＋5y 2＝80得x 220＋y 216＝1，∴椭圆上顶点为B (0,4)，右焦点F (2,0)为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C (3，－2)． 直线l 的斜率存在，设为k ， ∵点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋5y 21＝80，4x 22＋5y 22＝80，∴4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋5(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45·6－4＝65.∴直线l 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤38，34解析 由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称， 设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则x 214＋y 213＝1，x 204＋y 23＝1， 即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)， 两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34×x 0－x 1y 0－y 1＝－34×1kP A 1.因为直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1，所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34跟踪演练2 (2018·全国大联考江苏卷)已知椭圆M: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过其左焦点F (－c,0)的直线交椭圆M 于A ，B 两点，若弦AB 的中点为D (－4,2)，则椭圆M 的方程是________．答案 x 272＋y 236＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式得x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝4.将A ，B 的坐标分别代入M 的方程中得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减，化简得y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，又因为A ，B ，D ，F 四点共线，所以2－0c －4＝y 1－y 2x 1－x 2＝2b 2a2，所以a 2＝b 2(c －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2(c －4)，c 2a 2＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝72，b 2＝36，c ＝6，所以椭圆M 的方程为x 272＋y 236＝1.技巧三 根与系数的关系，化繁为简例3 已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形．(1)求椭圆Γ的方程；(2)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →＝611OF 2→，求直线l 的方程．解 (1)因为椭圆C 的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以b ＝c ， 因为S ＝a 2＝2，所以a ＝2，b ＝c ＝1， 故椭圆Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋m ，显然k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0， 因为x 1,2＝－4km ±8(2k 2－m 2＋1)2(1＋2k 2)所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2，Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0，(*)y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2，由PF 2→·QF 2→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝0，得3m 2－1＋4km ＝0，即k ＝1－3m 24m，PQ 的中点为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km2k 2＋1，m 2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 的方程为y －m2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2km 2k 2＋1，令y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－km 2k 2＋1，0，由OA →＝611OF 2→，得－km 2k 2＋1＝611，将k ＝1－3m 24m 代入上式，得3m 4－m 29m 4＋2m 2＋1＝311， 即6m 4－17m 2－3＝0，解得m 2＝3，所以m ＝3，k ＝－233或m ＝－3，k ＝233，经检验满足(*)式，所以直线PQ 的方程为 2x ＋3y －3＝0或2x －3y －3＝0.跟踪演练3 (2018·连云港期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与抛物线交于A, B 两点，若F A →＝2BF →，则直线AB 的斜率为________． 答案 ±2 2解析 当直线AB 的斜率不存在时，不满足题意．∵抛物线C 的焦点F (1,0)， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝2(2＋k 2)±4(2＋k 2)2－4k 42k 2，则x 1＋x 2＝2()2＋k 2k 2，x 1·x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k，①∵F A →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴F A →＝2BF →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－1＝2(1－x 2)，y 1＝－2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2，②①②联立可得，x 2＝k 2－4k 2，y 2＝－4k ，代入抛物线方程y 2＝4x 可得k 2＝8， 故 k ＝±2 2.技巧四 平几助力，事半功倍例4 (1)已知直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交抛物线x 2＝4y 于E ，F 两点，以EF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为27，则k ＝________. 答案 ±1解析 直线y ＝kx ＋1()k ≠0恒过定点()0，1， 则EF ＝y E ＋y F ＋p ，圆心到x 轴的距离为d ＝y E ＋y F 2，圆的半径为r ＝EF2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去x 得，y 2－2()1＋2k 2y ＋1＝0，则y E ＋y F ＝2()1＋2k 2，所以根据垂径定理有⎝⎛⎭⎫EF 22＝⎝⎛⎭⎫y E ＋y F 22＋()72， 代入计算得k ＝±1.(2)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点Q 在圆C ：()x ＋32＋()y －32＝1上，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ ＋PR 的最小值是________． 答案 3解析 根据抛物线的定义，可知PR ＝PF －1，而PQ 的最小值是PC －1， 所以PQ ＋PR 的最小值就是PF ＋PC －2的最小值，当C ，P ，F 三点共线时，PF ＋FC 最小，最小值是CF ＝(－3－1)2＋(3－0)2＝5 ， 所以PQ ＋PR 的最小值是3.跟踪演练4 已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为___________． 答案 32解析 双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为点(4,0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以p2＝4，即p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4,0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则AM ＝AF ，所以AK ＝2AM ，所以∠MAK ＝45°，所以AM ＝MK ＝AF ，从而易知四边形AMKF 为正方形，所以KF ＝AF ，所以△AFK 的面积为12KF 2＝32.技巧五 巧设参数，方便计算例5 (2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上位于第一象限的点，O 为坐标原点，A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为________． 答案2解析 S 四边形OAMB ＝S △OAB ＋S △AMB ＝12()2＋AB ·d ＝12(2＋5d )，其中d 为点M 到直线AB 的距离，当M 到直线AB 距离最远时S 四边形OAMB 取得最大值，设M (2cos θ，sin θ)，直线AB ：x＋2y －2＝0，所以d ＝||2cos θ＋2sin θ－25＝⎪⎪⎪⎪22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－25≤22－25，故S 四边形OAMB 的最大值为 2.跟踪演练5 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若AF ＝3，则△AOB 的面积为________．答案322解析 设∠AFx ＝θ(0＜θ＜π)及BF ＝m ， ∵AF ＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，∴cos θ＝13，∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∵cos θ＝13，0＜θ＜π，∴sin θ＝223，∴△AOB 的面积为S ＝ 12×OF ×AB ×sin θ＝ 12×1×⎝⎛⎭⎫3＋32×223＝322.。

高考数学五大增分技巧
高考数学是高考的重要科目之一，因为它的成绩直接影响着学生的升学和就业。

而数学成绩的高低则往往关系到考生最终能否考入理想的大学或专业，因此，高中阶段要努力积累数学学科知识，提高数学成绩，针对这一问题，以下介绍高考数学五大增分技巧。

一、题型认识数学高考题分为两种，一种是知识点重点固定题，另一种是解题思路性题，前者多是大题，考察学生解决具体问题的方法，后者都是小题，考察学生综合运用各知识点的能力，不同的题型要有不同的应对策略，这样才能更好地掌握题目。

二、套路分析学生经常会犯的一个毛病就是没有深入理解问题，快速推导解答，而一个好的解题方法就是套路分析，通常的问题一般都有一些套路可循，答案也和用的是一样的套路密不可分。

三、画图法有些数学问题看似复杂，但只要运用适当的画图方法，就可以用简单明了的方式解决。

画图法可以帮助学生更好地理解问题，找到问题的关键点，从而更好地解决问题。

四、对数学的透彻理解很多学生在学习数学时，往往只是半记半猜解题，而真正的数学学习需要通过透彻的理解，掌握数学核心知识，掌握了数学核心知识才能快速发现问题，并找到解题思路。

五、误区纠正在日常的学习中，很多学生会有一些错误的观念，这些错误的观念必须及时纠正，不然就会形成错误的思维定势，影响后面学习的效果，更会影响高考成绩。

总之，数学是数理化学的基础科目，而且是所有考试中最具挑战性的科目之一。

因此，一定要认真练习，用不同的技巧和方法解决问题，一步一步提高数学水平，从而在高考数学中得到理想的成绩。