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用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
氢原子的能级:1、氢原子的能级图2ﻫﻫ、光子的发射和吸收①原子处于基态时最稳定，处于较高能级时会自发地向低能级跃迁,经过一次或几次跃迁到达基态，跃迁时以光子的形式放出能量。
ﻫ②原子在始末两个能级E m和E n（ｍ＞n)间跃迁时发射光子的频率为ν，：ｈυ＝E m-E n。
ﻫ③如果原子吸收一定频率的光子,原子得到能量后则从低能级向高能级跃迁。
④原子处于第n能级时,可能观测到的不同波长种类N为：。
ﻫ⑤原子的能量包括电子的动能和电势能(电势能为电子和原子共有)即:原子的能量Eｎ=E Kn＋E Pn。
轨道越低,电子的动能越大，但势能更小,原子的能量变小。
电子的动能：，r越小，E K越大。
⑥电离：就是从外部给电子以能量，使其从基态或激发态脱离原子核的束缚而成为自由电子。
例1．对于基态氢原子,下列说法正确的是( ）ﻫ A.它能吸收12．0９eｖ的光子ﻫB．它能吸收11ev的光子Ｃ.它能吸收13.６ev的光子ﻫD．它能吸收具有11eｖ动能的电子部分能量A、基态的氢原子吸收12.09eV光子，能量为-13.6＋１2．０9eV=-１.51eV,可以从基态氢原子发生跃迁到n=３能级,故A正确;ﻫB、基态的氢原子吸收1１ｅＶ光子，能量为-13.６+11e Ｖ=-２.6ｅＶ，不能发生跃迁,所以该光子不能被吸收.故B错误；C、基态的氢原子吸收1３.6eＶ光子，能量为-13.6＋13．６ｅV＝０，发生电离，故Ｃ正确;D、与11eV电子碰撞，基态的氢原子吸收的能量可能为10．2ｅＶ，所以能从n=1能级跃迁到n=2能级，故D正确;ﻫ故选:AＣD例２.氢原子的能级图如图所示．欲使一处于基态的氢原子释放出一个电子而变成氢离子，该氢原子需要吸收的能量至少是（ )A.13.60eVＢ.10.2０ｅVＣ．0.54ｅV D.２7．2０eV例3．氢原子的部分能级如图所示,下列说法正确的是（）ﻫﻫＡ.大量处于n=5能级氢原子向低能级跃迁时,可能发出10种不同频率的光ﻫB．大量处于n＝4能级的氢原子向低能级跃迁时,可能发出的最长波长的光是由n=４直接跃到n=1的结果ﻫＣ．大量处于n=3能级的氢原子向低能级跃迁时,可能发出的不同频率的光中最多有3种能使逸出功为2.23eｖ的钾发射光电子ﻫ D.处于基态的氢原子可以吸收能量为1０.5ev的光子而被激发A、根据C52==10知，这些氢原子可能辐射出１0种不同频率的光子．故Ａ正确；B、氢原子由n=４向n=１能级跃迁时辐射的光子能量最大,频率最大，波长最短,故Ｂ错误;Ｃ、氢原子由ｎ=3能级的氢原子向低能级跃迁时,n=3→n＝1辐射的光子能量为13.６－1．５1eV=1２.０9eV，n=３→n＝２辐射的光子能量为3.40－1.5１＝1.89eV，n=2→n=1辐射的光子能量为13.６-3.40＝10．20eＶ,1.８9＜２.2３不能发生光电效应,故有两种光能使逸出功为2.2３ｅｖ的钾发射光电子，故C错误；D、只能吸收光子能量等于两能级间的能级差的光子，ｎ=1→n＝2吸收的光子能量为13.6-3．40＝１0.20eV,n=１→n=３吸收的光子能量为1３.6-1．51ｅＶ=１2.0９eＶ,故能量为1０.５ev的光子不能被吸收,故Ｄ错误.故选：A．例４.如图为氢原子能级示意图的一部分,已知普朗克常量h=6.６3×1０-3４J·s,则氢原子( )Ａ.从ｎ＝４能级跃迁到n=３能级比从n=３能级跃迁到n=２能级辐射出电磁波的波长长B.从n=5能级跃迁到ｎ=1能级比从ｎ＝５能级跃迁到n＝4能级辐射出电磁波的速度大C．一束光子能量为1２.09eV的单色光照射到大量处于基态的氢原子上,受激的氢原子能自发地发出3种不同频率的光,且发光频率的最大值约为2.9×1015HzD．一束光子能量为15eＶ的单色光照射到大量处于基态的氢原子上,能够使氢原子核外电子电离试题分析:从n=4能级跃迁到n=３能级比从n＝3能级跃迁到ｎ=2能级辐射出电磁波的能量要小，因此根据可知,因此A说法正确；从n=5能级跃迁到n=１能级比从n=5能级跃迁到n=4能级辐射出电磁波的速度一样都是光速,B错。
氢原子的能级结构与光谱线的解析氢原子是最简单的原子之一，由一个质子和一个电子组成。
它的能级结构和光谱线的解析对于理解原子结构和光谱学有着重要的意义。
本文将探讨氢原子的能级结构以及与之相关的光谱线的解析。
一、氢原子的能级结构氢原子的能级结构是由其电子的能量水平所决定的。
根据量子力学理论，氢原子的电子存在于不同的能级上，每个能级都对应着不同的能量。
这些能级按照能量的高低被编号为1, 2, 3...，其中1级能级具有最低的能量，被称为基态。
氢原子的能级结构可以通过求解薛定谔方程来获得。
薛定谔方程描述了系统的波函数和能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子的波函数和能量本征值，即能级。
氢原子的能级结构可以用能级图表示。
能级图通常以基态能级为起点，向上依次排列其他能级。
不同能级之间的跃迁会伴随着能量的吸收或释放，产生光谱线。
二、光谱线的解析光谱线是指物质在吸收或发射光时产生的特定波长的光线。
氢原子的光谱线是由电子在不同能级之间跃迁所产生的。
氢原子的光谱线可以分为吸收光谱和发射光谱。
当氢原子吸收能量时，电子从低能级跃迁到高能级，产生吸收光谱。
吸收光谱是连续的，呈现出一条宽带。
当电子从高能级跃迁回低能级时，会发射出光子，产生发射光谱。
发射光谱是分立的，呈现出一系列锐利的谱线。
氢原子的光谱线可以用波长或频率来描述。
根据氢原子的能级结构，可以计算出各个能级之间的跃迁所对应的光谱线的波长或频率。
这些光谱线的波长或频率可以通过实验进行观测，从而验证理论计算的结果。
光谱线的解析对于研究物质的组成和性质具有重要意义。
通过分析光谱线的特征，可以确定物质的化学成分和结构。
光谱学在天文学、化学、物理学等领域都有广泛的应用。
三、氢原子的光谱线系列氢原子的光谱线系列是指在氢原子的能级结构中，特定能级之间跃迁所产生的光谱线的集合。
氢原子的光谱线系列主要包括巴尔末系列、帕舍尼系列、布拉开特系列等。
巴尔末系列是指电子从高能级跃迁到第二能级（巴尔末系列基态）所产生的光谱线。
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
氢原子能级解氢原子能级解是一个复杂的科学问题，它涉及到量子力学和计算物理学等多个学科领域，需要通过数学模型和实验验证等手段来解决。
接下来，我们将分步骤阐述如何解析氢原子能级。
首先，我们需要了解什么是氢原子能级。
氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
当电子在氢原子中运动时，它将被束缚在一定的区域内，形成离散的能级。
这些能级的大小和位置由电子的能量和运动状态决定，而能量和运动状态则受到量子力学的规律限制。
其次，我们需要知道如何计算氢原子能级。
在量子力学中，我们使用薛定谔方程来描述电子的运动和能量状态。
然而，由于氢原子的运动具有球对称性，因此我们可以使用径向方程和角向方程来简化计算。
径向方程描述电子的运动轨迹和能量分布，而角向方程则描述电子的角动量和唯一方向性。
然后，我们需要确定氢原子的能级数。
只有当电子的能量满足一定的条件时，才能形成能级。
对于氢原子而言，它的能级总数是无限的，但只有最低能量的$n=1$能级是稳定的。
其他更高能量的能级都是不稳定的，电子会很快跃迁到$n=1$能级。
最后，我们可以用实验来验证氢原子能级解。
通过光谱分析等手段，我们可以测量氢原子在不同能级状态下的辐射和吸收光谱，从而得到能级的大小和位置。
与理论计算结果进行比较，可以验证氢原子能级解的正确性。
总之，氢原子能级解是一个涉及量子力学、计算物理学和实验验证等多个领域的复杂问题。
只有通过深入理解理论模型和运用实验手段，才能解决这个问题，并对原子结构和性质有更深入的认识。
氢原子的解析解法摘要本文利用分离变量法和级数解法在球坐标系下求解薛定谔方程，得到了氢原子的本征值......)3,2,1(21==n nE E n ，本征态为拉盖尔多项式和球谐函数的组合[]),()2()2()!(2)!1()2(121/33φθψm l l l n l na r nlm Y na r L na r e l n n l n na ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+---。
同时证明了氢原子内部能量、角动量以及角动量空间取向都是量子化的，核外电子的位置只能用概率描述。
关键词：氢原子；分离变量法；球坐标系；薛定谔方程1引言氢原子是由一个质子和一个电子构成的最简单原子，是研究物质结构的基础。
从1885年瑞士数学教师约翰·雅各布·巴尔末（J.J.Balmer ）发现氢原子可见光波段的光谱并给出经验公式开始，人们对其的研究就没有松懈过：1908年，德国物理学家弗里德里希·帕邢（Friedrich Paschen ）发现了氢原子光谱的帕邢系；1914年，莱曼系被物理学家西奥多·莱曼（Theodore Lyman ）发现；1922年，弗雷德里克·萨姆那·布拉克（ Frederick Sumner Brackett ）发现布拉克线系，位于红外光波段；1924年，物理学家奥古斯特·赫尔曼·蒲芬德（ August Herman Pfund ）发现氢原子光谱的蒲芬德线系；1953年，科斯蒂·汉弗莱（Curtis J. Humphreys ）发现氢原子光谱的汉弗莱线系。
对于这些现象，经典解释是认为电子在原子核的库伦场中运动。
但它与实际中氢原子的稳定性和观测到的线状光谱相矛盾，为此引入新观念是必要的。
玻尔的原子理论是建立在三个基本假设的基础上：定态假设、频率假设和角动量量子化条件。
这些假想是其模型的基石，虽并不是完全的正确，但是可以得到正确的能量答案。
氢谱解析知识点总结一、氢谱解析的原理氢谱解析是利用核磁共振(NMR)技术对物质中氢原子进行分析的一种方法。
其原理基于氢原子核在外加磁场下发生的磁共振现象，通过测量氢原子核的共振频率和强度，可以得到有关样品组成和结构的信息。
在氢谱解析中，采用的主要是质子核磁共振(1H-NMR)技术，即利用氢原子核的磁共振进行分析。
1.1 原子核的磁矩氢原子核由一个质子组成，其核自旋为1/2，因此具有磁矩。
在外加磁场下，氢原子核会产生磁偶极矩，这导致核在磁场中存在能级分裂现象，从而引起共振现象。
1.2 核磁共振现象当氢原子核处于外部磁场中时，其核磁矩会与外部磁场发生相互作用，导致核的能量发生分裂，分裂的能级差与外部磁场的强度成正比。
当外部磁场的强度等于核的共振频率时，会发生共振吸收，此时氢原子核会发生能级跃迁，产生共振信号。
通过测量共振频率，可以得到氢原子核的化学环境和结构信息。
1.3 化学位移在氢谱解析中，样品中的不同氢原子会由于其化学环境不同而呈现出不同的共振频率。
这是因为，氢原子的共振频率与其周围的化学环境有关，如化学键的种类和数目、邻近的官能团等。
这种现象称为化学位移，通过化学位移可以对不同氢原子进行识别和定量分析。
1.4 耦合效应在一些情况下，样品中的氢原子之间会发生相互耦合，使得它们的共振频率发生变化。
这种现象称为耦合效应，通过耦合效应可以得到关于氢原子之间的相互作用和化学键的信息，进一步帮助解析样品的结构和成分。
以上是氢谱解析的基本原理，了解这些知识点有助于加深对氢谱解析技术的理解，为后续的仪器分析和谱图解析打下基础。
二、氢谱解析的仪器分析氢谱解析的仪器主要是核磁共振谱仪，利用核磁共振谱仪可以对样品进行快速准确的分析。
核磁共振谱仪通常由磁体、射频系统、梯度磁场和检测器等部分组成，其工作原理是利用外部静态磁场和射频辐射来引起样品中核的共振现象。
2.1 磁体核磁共振谱仪中的磁体是用来产生外部静态磁场的装置，常见的磁体有永磁体和超导磁体。
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。
第 3 节氢原子光谱1．光谱：用光栅或棱镜可以把各种颜色的光按波长展开，获得光的波长(或频率)和强度分布的记录。
2．线状谱：光谱是一条条的亮线。
3．连读谱：光谱为连在一起的光带。
4．各种原子的发射光谱都是线状谱，不同原子的亮线位置不同，这些亮线称为原子的特征谱线。
5．巴耳末公式： 1 λ＝R212－n12n＝3,4,5，…一、光谱1．定义用光栅或棱镜可以把各种颜色的光按波长展开，获得光的波长(频率)和强度分布的记录，即光谱。
2．分类(1)线状谱：由一条条的亮线组成的光谱。
(2)连续谱：由连在一起的光带组成的光谱。
3．特征谱线各种原子的发射光谱都是线状谱，且不同原子的亮线位置不同，故这些亮线称为原子的特征谱线。
4．光谱分析由于每种原子都有自己的特征谱线，可以利用它来鉴别物质和确定物质的组成成分，这种方法称为光谱分析，它的优点是灵敏度高，样本中一种元素的含量达到 10－10_g 时就可以被检测到。
二、氢原子光谱的实验规律1．许多情况下光是由原子内部电子的运动产生的，因此光谱研究是探索原子结构的一条重要途径。
1 2．巴耳末公式：λ＝R212－n12(n＝3,4,5，…)。
3．巴耳末公式的意义：以简洁的形式反映了氢原子的线状光谱，即辐射波长的分立特征。
三、经典理论的困难1．核式结构模型的成就：正确地指出了原子核的存在，很好地解释了 α 粒子散射实验。
2．经典理论的困难：经典物理学既无法解释原子的稳定性，又无法解释原子光谱的分立特征。
1．自主思考——判一判 (1)各种原子的发射光谱都是线状谱，并且只能发出几个特定的频率。
(√) (2)可以利用光谱分析来鉴别物质和确定物质的组成成分。
(√) (3)光是由原子核内部的电子运动产生的，光谱研究是探索原子核内部结构的一条重要途径。
(×) (4)稀薄气体的分子在强电场的作用下会变成导体并发光。
(√) (5)巴耳末公式中的 n 既可以取整数也可以取小数。
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氢原子的解析解法摘要本文利用分离变量法和级数解法在球坐标系下求解薛定谔方程，得到了氢原子的本征值......)3,2,1(21==n nE E n ，本征态为拉盖尔多项式和球谐函数的组合[]),()2()2()!(2)!1()2(121/33φθψm l l l n l na r nlm Y na r L na r e l n n l n na ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+---。
同时证明了氢原子内部能量、角动量以及角动量空间取向都是量子化的，核外电子的位置只能用概率描述。
关键词：氢原子；分离变量法；球坐标系；薛定谔方程1引言氢原子是由一个质子和一个电子构成的最简单原子，是研究物质结构的基础。
从1885年瑞士数学教师约翰·雅各布·巴尔末（J.J.Balmer ）发现氢原子可见光波段的光谱并给出经验公式开始，人们对其的研究就没有松懈过：1908年，德国物理学家弗里德里希·帕邢（Friedrich Paschen ）发现了氢原子光谱的帕邢系；1914年，莱曼系被物理学家西奥多·莱曼（Theodore Lyman ）发现；1922年，弗雷德里克·萨姆那·布拉克（ Frederick Sumner Brackett ）发现布拉克线系，位于红外光波段；1924年，物理学家奥古斯特·赫尔曼·蒲芬德（ August Herman Pfund ）发现氢原子光谱的蒲芬德线系；1953年，科斯蒂·汉弗莱（Curtis J. Humphreys ）发现氢原子光谱的汉弗莱线系。
对于这些现象，经典解释是认为电子在原子核的库伦场中运动。
但它与实际中氢原子的稳定性和观测到的线状光谱相矛盾，为此引入新观念是必要的。
玻尔的原子理论是建立在三个基本假设的基础上：定态假设、频率假设和角动量量子化条件。
这些假想是其模型的基石，虽并不是完全的正确，但是可以得到正确的能量答案。
1926年，埃尔文·薛定谔应用他发现的薛定谔方程，以严谨的量子力学分析，清楚地解释了玻耳答案的正确性。
氢原子的薛定谔方程的解答有解析法和代数法两种方法，也可以得出氢原子的能级与光谱谱线的频率。
薛定谔方程的解答比波耳模型更为精确，能够得到许多电子量子态的波函数（轨域），也能够解释化学键的各向异性。
本文介绍了运用解析法求解氢原子的波函数的具体过程。
2球坐标系中的薛定谔方程 2.1角动量方程三维情况下的薛定谔方程为：ψψE r V m=+∇-))(2(22 （2-1）其中2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇是直角坐标系中的拉普拉斯算符。
一般情况下，势能仅是到原点距离的函数。
在这种情况下很自然要用到球坐标系),,(φθr ,如图2-1，在球坐标系下拉普拉斯算符的形式为：22222222sin 1)(sin sin 11φθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇r r r r r r （2-2） 所以定态薛定谔方程为：ψψφθθθθθE V r r r r r r m h =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22222222sin 1)(sin sin 112- （2-3）将氢原子的波函数分离变量可写作：),(),,(φθφθψY r R r ）（= （2-4） 将（2-4）式带入（2-3）式可得：角度方程： k Y Y Y -=∂∂+∂∂∂∂)sin 1)(sin sin 1(1222φθθθθθ（2-5） 径向方程： （2-6）其中k 为一分离常数，我们令)1(+=l l k [1]。
将波函数进一步分离：)()()(),,(φϕθφθψΘ=r R r 代入角度方程中：常数=∂∂-=+∂Θ∂∂∂Θ2221sin )(sin sin 1φϕϕθθθθθk （2-7） 由于等式左边的变量是θ，而右边的变量为φ，要两者和为零，只有各自都为常数才行。
∴ 222-m 1==∂∂常数φϕϕ （2-8） 解上述微分方程可得：φφϕim e =)( （2-9） 其中m 为整数，由旋转不变性12=πim e ，所以 ,2,1,0±±=m 。
这样由方程（2-7）可得只关于θ的方程：0)sin ()(sin sin 22=Θ-+Θm k d d d d θθθθθ 带入)1(+=l l k 得：图2-1k E r V mr dr dR r dr d R =--))((2)(12220]sin )1([)(sin sin 22=Θ-++∂Θ∂m θl l θd θθd θ（2-10） 其解为：)(cos P )(θθm l A =Θ[2] （2-11） 上式中m l P 是关联勒让德函数，其定义为：)()()1(2)(2x dxd x l mmm x l P -=P （2-12） 其中)(x P l 是勒让德多项式即：l l ll x dx d l x P )1()(121)(2-=在物理中l 表示角量子数，m 代表磁量子数。
它们取值为:都为整数，l m l ≤≥0 一些关联勒让德函数)(cos P θm l 及其图像如图2-2所示：因此有： )(cos ),(θφθφm l im m l P Ae Y = （2-13）在球坐标中体积元为：θφθd drd r r d sin 2=归一化条件为：1sin sin 22222==⎰⎰⎰φθθθφθψd d Y dr r R d drd r 即：1sin 1022022==⎰⎰⎰+∞φθθππd d Y dr r R 与这样可求得：⎩⎨⎧<≥-=+--=0,10,)1(,)!(4)!)(12(m m m l m l l A m επε（2-14）归一化的波函数又称为球谐函数：)(cos )!(4)!)(12(),(θπεφθφm l im m l P e m l m l l Y +--= （2-15）图2-2表2-3为前几个球谐函数)cos (θm l Y2.2径向波函数对于径向方程先令)(r rR u =，其中)1(+=l l R则径向方程为：Eu u r l l m r V dr u d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-22222)1(2)(2 [3]（2-16） 与薛定谔方程对比发现势能22)1(2)(r l l m r V V Rff++= 为有效势。
对氢原子而言，质子与电子间为库仑势。
如图2-4：re r V 024)(πε-=因此上式为:Eu u r l l m r e dr u d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-2202222)1(242 πε （2-17） 令r k '=ρ， mE k 2'-=，k me '= 0202περ 上式可化为:u l l d u d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=2022)1(1ρρρρ （2-18） 下面用级数法解此微分方程：当∞→ρ时，括号里的常数项起主要作用近似有： u d ud =22ρ它的一般解为ρρρBe Ae u +=-)(表2-3图2-4但当∞→ρ时，ρe 趋于无穷大，不满足波函数归一化，所以B=0 。
有 ρρ-Ae u ~)(当0→ρ时，离心项起主要作用，近似的有： u l l d u d 222)1(ρρ+= 它的一般解为l l C u -++=ρρρD )(1 同理可知：D=0，1`C ~+l u ρ为此u 可写成：)(1ρνρρ-+=e u l 。
代入（2-18）式的微分方程中有：0))1(2()1(2022=+-+-++νρρνρρνρl l d d l d d （2-19） 将 )(ρν 以ρ的幂级数展开：∑∞==0j )(j j c ρρν代入（2-19）式中，要等式两边相等，则同幂次项的系数应该相等：j j C l j j l j C )22)(1()1(201+++-++=+ρ （2-20）当j 较大时： j j C j C 121+≈+0!2C j j C j =⇒ 这样可得：ρρν20C )(e =，10C )(+=l e u ρρρ当ρ趋于无穷大时，)(ρu 趋于无穷大，这在物理上是无意义的。
因此须在某处做截断:对某个最大整数 max j 必须有0)1(max =+j C ，这样以后的系数都为零。
即：0)1(20max =-++ρl j定义：1max ++=l j n ，n 代表主量子数 （2-21） 其中n 20=ρ，它决定了能量E ：......)3,2,1(,14282'2122022202202422==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=n n E n e m me m k E περεπ （2-22） 其中eV E 6.131-=，为氢原子基态能量。
an n me k 11*4'02== πε，其中m me a 10-0210529.04⨯==πε。
称为玻尔半径这样可得：)()(1)(1ρνρr k l nl e rr R '-+= （2-23）jj j C v ∑∞==0)()(ρρj j C l j j n l j C )22)(1()1(21++'+-++=+)2(L )(121ρρ+--=l l n v其中)()()1()(x L dxd x L q qpp p q -=-为关联拉盖尔多项式，且)()()(L q x q x q x e dx d e x -=是q 阶拉盖尔多项式。
综上可知归一化氢原子波函数是：[]),()2()2()!(2)!1()2(121/33φθψml l l n l na r nlm Y na r L na r e l n n l n na ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+--- （2-24） 前几个径向波函数)(r R nl 的表达式和图像如表2-5和图2-6所示。
[1]图2-5 表2-6前几个拉盖尔多项式)(x L q 和关联拉盖尔多项式)(x L pp q -如表2-7和表2-8所示。
前几个氢原子波函数的等2ψ面如图2-9所示。
[1]表2-7 拉盖尔多项式)(x L q表2-8 关联拉盖尔多项式)(x L pp q -表2-8 关联拉盖尔多项式)(x L pp q -3结论利用分离变量法和级数解法，在球坐标系中求解薛定谔方程，得到了氢原子系统的本征值即能量21nE E n 。
其中1E 表示基态n 为主量子数，其能级图为如图3-1所示：随着n 增大， 能级间隔减小；n 很大时,间隔非常小，可看成连续变化。
图2-9图3-1本征态为[]),()2()2()!(2)!1()2(121/33φθψm l l l n l na r nlm Y na r L na r e l n n l n na ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+---，其中)(cos )!(4)!)(12(),(θπεφθφm l im m l P e m l m l l Y +--=，m a 10-10529.0⨯=为玻尔半径，l 为角量子数 ）（1,......3,2,1,0-=n l 用来描述波函数的空间对称性，而且一般用s 、p 、d 、f 、g 等字母表示 l=0,1,2，3等。
