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关于liénard方程存在极限环的两个定理1. Liénard方程极限环定义Liénard方程极限环是指满足Liénard方程的解的极限环，即当x，y 满足Liénard方程时，存在一个极限环，使得x，y收敛到该极限环上。
2. Liénard方程极限环存在性定理Liénard方程极限环存在性定理认为，Liénard方程的解存在极限环，即存在某个有限的时间段内，解的轨迹在某一点上重复。
此外，该定理还指出，Liénard方程的极限环的轨迹在某一点上重复的次数是有限的。
3. Liénard方程极限环稳定性定理Liénard方程极限环稳定性定理指出，Liénard方程的极限环是稳定的，即它们不会被任何小的外力扰动。
另外，它们也不会受到任何未知的内部力的影响，即它们是恒定的。
## 4. Liénard方程极限环的应用Liénard方程极限环的应用主要包括：1. 用于描述振荡系统的特性，如振荡器、滤波器、振荡器等；2. 在混沌理论中，Liénard方程极限环被用来描述混沌系统的行为；3. 在经济学中，Liénard方程极限环可以用来描述货币市场的行为；4. 在生物学中，Liénard方程极限环可以用来描述生物系统的行为；5. 在物理学中，Liénard方程极限环可以用来描述物理系统的行为，如热力学、电磁学等；6. 在数学中，Liénard方程极限环可以用来描述数学模型的行为。
5. Liénard方程极限环的研究进展Liénard方程是一个非线性的微分方程，它的极限环研究已经有一段时间了。
在过去的几十年里，有许多研究者对Liénard方程的极限环进行了深入的研究，并取得了一些重要的成果。
首先，许多研究者对Liénard方程的极限环进行了深入的分析，并发现了一些重要的定理。
liénard方程极限环存在定理等廓尔喷方程，是在不受外界输入力的情况下，由一个二阶微分方程描述某个系统的运动状态的重要模型。
1890年，这一模型被法国数学家P. H. Liénard以求解飞轮与减速机结合系统动作状态时提出，故而以此人命名。
此模型在很多领域，如生物动力学，机械，国际经济以及系统科学等有着广泛应用。
由于这一模型的应用范围广泛，因此许多学者研究，致力于探讨其特性及行为规律。
最初，西班牙数学家Romero de la Fuente和Bogomolniy的研究表明，Liénard方程的解的存在性与主数的值有关，某个特定区域的变量大于一定值后，方程的解就不存在了。
另一位西班牙数学家Mategakis，在此基础上更进一步，指出，Liénard方程存在一个极限环，满足特定条件的变量值再在该极限环内滚动，便构成一个神奇的状态，系统就处于一个稳定状态。
他根据极限环理论，分析研究了系统变量的变化规律，并提出了关于极限环的极限定理，即存在某种数学函数的条件下，其极限环的频率会是一个常数。
Liénard方程的极限环定理，可以为各个领域提供一种新的科学探讨和分析工具。
在机械、生物及经济等领域，可以运用此理论实现系统性研究，以便达到更快更有效的运行状态。
而在流形动力学、家喻户晓的滑轮机构、卡尔曼滤波器、奖励机制及复杂离散时间系统的研究中，其应用也相当普遍，以帮助人们了解系统的机构特征、行为模式以及预测性能。
因此，Liénard方程的极限环存在定理，不仅提高了系统的计算能力，更在复杂系统当中构建了一个新的科学框架，使得有效的理解、控制和仿真受到了非常大的帮助。
因此，Liénard方程极限环存在定理，在科学研究，实践应用中具有极为重要的作用，对于系统行为分析和把握运行特征有着深远意义。
一类三次lienard方程的极限环分析以《一类三次lienard方程的极限环分极限分析》为标题，本文将对一类三次Lienard方程的极限环分极限分析进行剖析，以深入了解其结构，特征与性质。
一类三次lienard方程是由Lienard在1927年提出的常微分方程。
它有以下基本形式：$$frac{d^3y}{dt^3}+a(t)frac{d^2y}{dt^2}+b(t)frac{dy}{dt}+c( t)y=f(t)$$其中，a(t)、b(t)、c(t)和f(t)是连续并且在某一区间上可导的函数；解析解的极限分析可以归纳为几个基本的步骤：1.上述方程分解为：$frac{d^2y}{dt^2}+a(t)frac{dy}{dt}+(b(t) + c(t))y=f(t)$ 2.换后的方程可以写为：$[T(t)+c(t)]frac{dy}{dt}+[b(t)+c(t)]y=f(t)$3.换成只含有y的方程：$frac{dy}{dt}+p(t)y = q(t)$4. 使用环分方法，将方程积分两次得到：$y=int(q(t)-p(t))e^{int p(t)dt}dt+C_1e^{int p(t)dt}+c_2$ 5.恒等变换找出原方程的解：$tilde y=y+C_1e^{int p(t)dt}+c_2$6.取有界的解：$tilde y=int(q(t)-p(t))e^{int p(t)dt}dt+C_2$此外，若p(t)和q(t)都是常数，那么通过积分可以得到解析解，即：$tilde y=int(q-p)e^{pt}dt+C_2$最后，体现出一类三次Lienard方程极限环分极限分析的重要性，其在工程应用中有着重要的地位。
例如，可以用它：1.决工程设计中存在的稳定性问题；2.悉系统动力学及控制；3.据有关参数的系统特性，以此构建模型以预测模型的行为。
因此，通过仔细研究一类三次Lienard方程的极限环分极限分析，不仅可以深入了解其结构，特征与性质，也可以有效的解决工程中广泛存在的诸多问题。
作者： 庾建设;钱祥征
作者机构： 长沙水电师院湖南大学;长沙水电师院湖南大学
出版物刊名： 长沙理工大学学报：社会科学版
页码： 17-26页
主题词： Lienard方程;极限环;Филиппов变换;发散量
摘要：Lienard方程(1)是工程数学中一类极为重要的方程。
对方程(1)的极限环的存在性及唯一性问题的研究引起了国内外许多数学工作者的高度重视,至今已得到了许多好的结果。
但是,由于这一理论本身的复杂性及其重要的应用,致使这一理论还有待于更进一步的研究。
本文通过使用估计发散量沿闭轨线积分一周的值的正负符号的方法,证明了方程(1)的极限环的两个唯一性定理,减弱了不少常见的唯一性定理的条件,包括了在此以前的多个唯一性定理。
关于具有交变阻尼的Liénard方程存在多个极限环的条件黄启昌;杨思认
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】1981(0)1
【摘要】由于Liénard 方程■+f(x)■+g(x)=0(1)与振动问题紧密相关,因此很为人们所重视。
关于(1)存在极限环的研究工作已经很多(参看[1],[2]),但关于(1)存在多个极限环的工作却并不多见。
近年来。
【总页数】9页(P11-19)
【关键词】极限环;极限圈;nard;方程;变阻尼;Li
【作者】黄启昌;杨思认
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类广义Liénard方程极限环的不存在性 [J], 吕宝红
2.Liénard方程多个极限环的计算 [J], 林结贤
3.Liénard方程至多存在n个极限环的充分条件 [J], 陈秀东;陈勇
4.一类具有偏差变元的p-Laplacian Liénard型方程在吸引奇性条件下周期解的存在性 [J], 程志波;毕中华;姚绍文
5.关于Liénard型方程极限环个数的唯n性条件(Ⅱ) [J], 陈朝怡
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偏微分方程极限环极限环是偏微分方程中一个重要的概念，它在动力系统和非线性控制理论中有广泛应用。
本文将从理论和实际应用两个方面，介绍极限环的概念、性质和应用。
一、极限环的概念极限环是指在非线性系统中存在的一种特殊的稳定环，其特点是系统状态沿着环上的轨道无限趋近于环上的某一点。
换句话说，当系统状态偏离极限环时，系统会受到一个力的作用，使得状态回到极限环上。
极限环的存在使得系统能够实现期望的稳定性和性能要求。
二、极限环的性质1. 稳定性：极限环是一种稳定的环，当系统状态偏离极限环时，会受到一个稳定的力的作用，使得状态回到极限环上。
2. 唯一性：在一定条件下，一个非线性系统可能存在多个极限环，但每个系统只有一个稳定的极限环。
3. 可控性：极限环可以通过设计控制器来实现系统状态的稳定和性能要求，因此具有良好的可控性。
4. 近似性：在实际应用中，由于系统模型的不完全性或复杂性，很难精确设计出理想的极限环，因此常常需要近似的极限环来满足系统的需求。
三、极限环的应用极限环的概念和性质使得它在动力系统和非线性控制中有广泛的应用。
以下是极限环在一些实际问题中的应用示例：1. 机器人控制：极限环可以用于机器人的轨迹跟踪控制，通过设计极限环控制器，使得机器人能够按照预定的轨迹进行运动。
2. 航天器姿态控制：在航天器的姿态控制中，通过设计极限环控制器，可以实现航天器的稳定飞行和姿态调整。
3. 电力系统稳定控制：在电力系统中，通过设计极限环控制器，可以实现系统电压和频率的稳定控制，提高电力系统的稳定性和可靠性。
4. 无人驾驶车辆：在无人驾驶车辆的控制中，通过设计极限环控制器，可以实现车辆的路径跟踪和避障控制，提高车辆的安全性和性能。
5. 生物医学工程：在生物医学工程中，极限环可以应用于心脏起搏器和神经刺激器等医疗设备的控制，实现对生物系统的精确控制。
总结：极限环是偏微分方程中的一个重要概念，具有稳定性、唯一性、可控性和近似性等性质。
［收稿时间］2020-09-23［基金项目］东北大学理学院课程思政立项建设项目（2020007）；中国建设教育协会教育教学科研课题（2019149）；沈阳建筑大学研究生“课程思政”立项（2019-KCSZ-002）；沈阳建筑大学课程思政立项建设项目（20200202）。
［作者简介］李宁（1980-），女，辽宁人，博士，副教授，研究方向：大学数学教育研究。
通信作者：孙海义（1977-），男，辽宁人，博士，教授，研究方向：大学数学教育研究。
2022年4University Education［摘要］文章以数学类专业本科生必修课常微分方程为例，深入研究将课程思政融入常微分方程课程体系的必要性。
文章深入挖掘并凝练常微分方程课程各部分内容的思政元素，把立德树人的思想渗透于教学体系的每一个环节。
文章将渗透和灌输、理论与实际、科学家的事迹与知识引领、现实与历史、隐性教育与显性教育、个性与共性、正面教育与纪律约束等七个维度相结合，阐述了将课程思政融入常微分方程课程体系的具体实施方案。
对常微分方程课程思政建设的探索与实践，为数学类本科生其他课程的课程思政建设提供了相关思政元素和理论保障。
［关键词］常微分方程；课程思政；探索；教学改革；教学实践［中图分类号］G642［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2022）04-0040-032016年，在全国高校思想政治工作会议上习近平总书记发表了关于高等院校开展思政工作要求的重要讲话，拉开了高校课程思政的序幕[1]。
在近几年的时间里，课程思政犹如星星之火在全国各大高校生根、发芽，取得丰硕的成果[2]。
2020年，教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》明确指出课程思政建设的总体规划目标以及重点研究内容，高校要充分挖掘各类课程思想政治资源，充分发挥好每门课的德育功能，全方位提高人才培养质量[3]。
至此，课程思政已作为高校的一项长期工作有条不紊地深入开展。
近几年，学校党委开展了多项课程思政立项建设工作，并完成了各专业主干课程融入课程思政教学大纲的修订，构筑起全方位、全员、全程立德树人的长效机制，并取得了良好的效果。
摘要自1900年德国数学家Hilbert D.在第二届国际数学家大会上提出著名的“23个数学问题”后，许多从事常微分方程与动力系统研究的数学学者便开始对Hilbert第16问题展开研究，其中确定Hamilton系统在分段多项式扰动下极限环个数的上确界，是弱Hilbert第16问题的重要延伸课题之一．本文研究了将平面分为左右两个区域时，在分段n次多项式扰动下的Bogdanov-Takens系统⎧⎨⎩˙x=y+εP n(x,y),˙y=−x+x2+εQ n(x,y),极限环个数的上确界，其中0<ε≪1，且P n(x,y)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩P−n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Np−ijx i y j,x<0, P+n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Np+ijx i y j,x≥0,Q n(x,y)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩Q−n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Nq−ijx i y j,x<0, Q+n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Nq+ijx i y j,x≥0.第一章首先介绍了常微分方程及其定性理论研究的背景与发展历程，对Bogdanov-Takens系统以及分段光滑微分系统的研究现状进行了简单的总结，并介绍了本文的主要研究结果：Bogdanov-Takens系统在非连续(连续，即P+n(0,y)≡P−n(0,y),Q+n(0,y)≡Q−n(0,y))分段n次多项式扰动下极限环个数的上确界B2(n)(B2c(n))满足当n∈{1,2,3,4,5,6}时，[5n2]≤B2(n)≤[7n2]；当n≥7时，B2(n)≤16n+[n2]−10．当n=1时，B2c(1)=1；当n∈{2,3,4,5,6}时，[5n−32]≤B2c(n)≤[7n−32]；当n≥7时，B2c(n)≤16n+[n−32]−10．第二章计算了近Bogdanov-Takens系统的一阶Melnikov函数并介绍了与本文相关的引理与命题．第三、四、五、六章分别证明了当n=1,2,3,4,5,6以及n≥7时本文的主要研究结果定理1,2成立．关键词:Bogdanov-Takens系统;分段多项式扰动;一阶Melnikov函数;微分算子;极限环个数的上确界Estimation of the lowest upper bounds for the number of limit cycles of Bogdanov-Takens system under piecewise polynomialperturbationAbstractSince the German mathematician Hilbert D.presented the23famous math problems at the Second International Congress of Mathematicians in1900,many mathematicians who engaged in the study of ordinary differential equations and dynamic systems began to study Hilbert’s16th problem.One of the important extended research topics of the weak Hilbert’s16th problem is determining the lowest upper bound for the number of limit cycles of the Hamilton system under the piecewise polynomial perturbation.In this paper,the lowest upper bound for the number of limit cycles of Bogdanov-Takens system which under the piecewise n-degree polynomial perturbation⎧⎨⎩˙x=y+εP n(x,y),˙y=−x+x2+εQ n(x,y),is studied when the plane is divided into left and right regions.In which0<ε≪1,P n(x,y)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩P−n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Np−ijx i y j,x<0, P+n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Np+ijx i y j,x≥0,Q n(x,y)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩Q−n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Nq−ijx i y j,x<0, Q+n(x,y)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Nq+ijx i y j,x≥0.In the first chapter,the background and development on the research of ordinary differential equations and qualitative theory of differential equation are introduced,the research status of Bogdanov-Takens system and piecewise smooth differential system are summarized,and the main results of this paper are as follows:Under the non-continuous or continuous(i.e.P+n(0,y)≡P−n(0,y),Q+n(0,y)≡Q−n(0,y))piece-wise n-degree polynomial perturbation,the lowest upper bound B2(n)or B2c(n)for the number of limit cycles of Bogdanov-Takens system satisfies[5n2]≤B2(n)≤[7n2](n∈{1,2,3,4,5,6});B2(n)≤16n+[n2]−10(n≥7);B2c(1)=1(n=1);[5n−32]≤B2c(n)≤[7n−32](n∈{2,3,4,5,6});B2c(n)≤16n+[n−32]−10(n≥7).In the second chapter,the first-order Melnikov function of the near Bogdanov-Takens system is calculated and the lemmas and propositions related to this paper are introduced.In the third,fourth,fifth and sixth chapters,the theorem1and theorem2are proved when n=1,2,3,4,5,6and n≥7respectively.Key words:Bogdanov-Takens system;Piecewise polynomial perturbation;First-order Mel-nikov function;Differential operator;Lowest upper bound of the number of limit cycles目录第1章绪论 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究现状 (1)1.3本文的主要工作 (3)第2章预备工作 (5)第3章n=1,2时定理1,2的证明 (27)3.1n=1时定理1的证明 (27)3.2n=1时定理2的证明 (27)3.3n=2时定理1的证明 (28)3.4n=2时定理2的证明 (30)第4章n=3,4时定理1,2的证明 (31)4.1n=3时定理1的证明 (31)4.2n=3时定理2的证明 (33)4.3n=4时定理1的证明 (35)4.4n=4时定理2的证明 (39)第5章n=5,6时定理1,2的证明 (42)5.1n=5时定理1的证明 (42)5.2n=5时定理2的证明 (49)5.3n=6时定理1的证明 (51)5.4n=6时定理2的证明 (62)第6章n≥7时定理1,2的证明 (66)6.1n≥7时定理1的证明 (66)6.2n≥7时定理2的证明 (69)结论 (72)参考文献 (73)致谢 (75)攻读学位期间发表的学术论文 (76)第1章绪论1.1研究背景常微分方程是一个历史悠久的数学学科分支，在科技飞速发展的今天，常微分方程已与其它学科不断交叉融合，在机械工程、物理、生物、经济、电力电子、航空航天等领域扮演着越来越重要的角色．正如我国著名常微分方程领域数学家秦元勋所说：“常微分方程，是一个有长期历史，而又正在不断发展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个既得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科”．1675年Leibniz G.W.写下方程∫︀x d x =12x 2，该方程的出现标志着常微分方程研究的开始，此后许多数学工作者纷纷致力于寻找常微分方程的通解．19世纪40年代，Liouville J.证明了Riccati 方程没有初等函数形式的解，这使数学工作者们意识到绝大多数形式的非线性微分方程并不能用初等积分法求出通解，而工程、物理、天体力学等领域又迫切需要研究微分方程解在其存在范围内的性质，因此19世纪80年代，法国数学家Poincar éJ.H.引入几何方法对非线性方程进行定性研究，开辟了微分方程研究的新方向，即不求解微分方程而从微分方程本身的结构特点来研究解的性质，这成为新时代研究非线性微分方程的重要工具．1900年，Hilbert D.在第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，其中第16问题的后半部分为：右端为n 次多项式的平面系统极限环的最小上界是多少？可能出现的极限环的相对位置又如何？为解决该问题，一个多世纪以来，许多数学工作者进行了大量的工作，但对全体n 次多项式系统而言，其极限环个数的上界如何估计，仍是一个有待解决的问题．由于研究Hilbert 第16问题对于数学工作者而言是一项重大挑战，学者们进而把目光转向了一类特殊的n 次系统，即Hamilton 向量场的扰动系统．1977年，前苏联数学家Arnold V.I.首次提出计算Hamilton 系统的一阶Melnikov 函数孤立零点的最大个数问题，该问题被称为弱Hilbert 第16问题．对Hamilton 系统在扰动下极限环个数的研究是常微分方程定性研究的热门课题之一，因为它不仅与弱Hilbert 第16问题密切相关，而且还有很强的实用价值，因此越来越受到数学工作者的青睐．1.2研究现状在常微分方程分岔理论中，Bogdanov-Takens 系统具有极其重要的地位．对于Bogdanov-Takens 系统的研究，文献[1,2]证明了在二次多项式扰动下，当一阶Melnikov 函数M 1(ℎ)≡0时，极限环个数的上确界为1．文献[3]证明了在三次多项式扰动下，当M 1(ℎ)≡0时，极限环个数的上确界为2．文献[4]证明了在四次多项式扰动下，当M 1(ℎ)≡0时，极限环个数的上确界为3．文献[5,6]证明了在n 次多项式扰动下，当M 1(ℎ)≡0时，M 1(ℎ)的孤立零点个数（计重数）的上界为n−1，进一步文献[7]证明了在n次多项式扰动下，当M1(ℎ)≡0时，极限环个数的上确界为n−1．文献[8]证明了在n次多项式扰动下，当M1(ℎ)≡0，而二阶Melnikov函数M2(ℎ)≡0时，极限环个数的最小上界为2n−2(n为正偶数)或2n−3(n为大于1的奇数)．文献[9]证明了当前k−1阶Melnikov函数M i(ℎ)≡0(1≤i≤k−1)，而k阶Melnikov函数M k(ℎ)≡0时，M k(ℎ)零点个数的上界为k(n−1)．文献[10]证明了将平面分为上下两个区域，当M1(ℎ)≡0时，在分段n次多项式扰动下极限环个数的上界为12n+6．近年来，由于分段光滑微分系统在控制理论、电子电路、机械工程等领域的广泛应用，对于分段光滑微分系统极限环个数的研究成为一个热门课题．对于二次等时中心(S1):⎧⎨⎩˙x=−y+x2−y2,˙y=x+2xy,(S2):⎧⎨⎩˙x=−y+x2,˙y=x+xy,当平面分为上下两个区域时，文献[11]与文献[12]分别证明了在二次多项式扰动下，S1极限环个数的上确界属于{4,5}，S2极限环个数的上确界属于{5,6}．除此之外，文献[12]还证明了当平面分为上下两个区域时，二次可逆中心(r19):⎧⎨⎩˙x=y−12x2+16y2,˙y=−x−16xy,(r20):⎧⎨⎩˙x=y+4x2,˙y=−x+16xy,在n次多项式扰动下极限环个数的上界分别为4n−3(n≥4)和4n+3(n≥3)．文献[13]分别证明了当平面分为上下(G±={(x,y)|y∈R±})或左右(G±={(x,y)|x∈R±})两个区域时，在分段多项式扰动下的Liénard系统⎧⎨⎩˙x=y,˙y=−x−εQ(x,y),其中Q(x,y)=⎧⎨⎩yf(x)+g(x),(x,y)∈G+, yf(x)−g(x),(x,y)∈G−,的极限环个数上确界分别为[m2]+2[n2]+1(m,n∈N)和2[m2]+[n+12](m∈N,n≥1),2[m2]+1(m∈N,n=0)，其中m,n分别为扰动多项式中f(x)和g(x)的多项式次数．其他有关平面分段光滑微分系统的研究详见文献[18-27]．1.3本文的主要工作本文研究了将平面分为左右两个区域时，在分段n 次多项式扰动下的Bogdanov-Takens 系统⎧⎨⎩˙x =y +εP n (x,y ),˙y =−x +x 2+εQ n (x,y ),(1.1)ε极限环个数的上确界，其中0<ε≪1，且P n (x,y )=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩P −n (x,y )=∑︁0≤i +j ≤n,i,j ∈N p −ij x i y j ,x <0,P +n (x,y )=∑︁0≤i +j ≤n,i,j ∈Np +ij x i y j ,x ≥0,Q n (x,y )=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩Q −n (x,y )=∑︁0≤i +j ≤n,i,j ∈N q −ij x i y j ,x <0,Q +n (x,y )=∑︁0≤i +j ≤n,i,j ∈Nq +ij x i y j ,x ≥0.当ε=0时，系统(1.1)ε=0的Hamilton 函数为H (x,y )=12x 2+12y 2−13x 3=ℎ.图1:系统(1.1)ε=0轨线图当ℎ∈(0,16)时，系统(1.1)ε=0存在顺时针走向的周期闭轨族Γℎ=Γ+ℎ∪Γ−ℎ，其中Γ+ℎ={︂(x,y )|H (x,y )=ℎ∈(0,16),0≤x <1}︂,Γ−ℎ={︂(x,y)|H(x,y)=ℎ∈(0,16),−12<x<0}︂.如图1所示，设Γℎ与y轴正半轴交于点A+ℎ(0,√2ℎ)，与y轴负半轴交于点A−ℎ(0,−√2ℎ)，与x轴正半轴交于点B+ℎ(︀s+ℎ,0)︀，与x轴负半轴交于点B−ℎ(︀s−ℎ,0)︀．并记B2(n)(B2c(n))为系统(1.1)ε=0在非连续(连续，即P+n(0,y)≡P−n(0,y),Q+n(0,y)≡Q−n(0,y))分段n次多项式扰动下极限环个数的上确界．本文主要结论为：定理1对于系统(1.1)ε，当扰动为n次非连续多项式且M1(ℎ)≡0时，(1)当n∈{1,2,3,4,5,6}时，[5n2]≤B2(n)≤[7n2]；(2)当n≥7时，B2(n)≤16n+[n2]−10．定理2对于系统(1.1)ε，当扰动为n次连续（即P+n(0,y)≡P−n(0,y),Q+n(0,y)≡Q−n(0,y)）多项式且M1(ℎ)≡0时，(1)当n=1时，B2c(1)=1；(2)当n∈{2,3,4,5,6}时，[5n−32]≤B2c(n)≤[7n−32]；(3)当n≥7时，B2c(n)≤16n+[n−32]−10．本文的结构如下：第二章计算了近Bogdanov-Takens系统的一阶Melnikov函数并介绍了与本文计算相关的引理与命题；第三章证明了当n=1,2时定理1,2成立；第四章证明了当n=3,4时定理1,2成立；第五章证明了当n=5,6时定理1,2成立；第六章证明了当n≥7时定理1,2成立．第2章预备工作本章将给出在分段n次多项式扰动下Bogdanov-Takens系统的一阶Melnikov函数计算公式，并介绍定理证明中需要用到的几个引理和命题．设I+k (ℎ)=∫︀Γ+ℎx k y d x，I−k(ℎ)=∫︀Γ−ℎx k y d x，I k(ℎ)=I+k(ℎ)+I−k(ℎ)，其中k∈N．引理2.1当k∈N时，I±k =f[k3](ℎ)I±0+˜f[k−13](ℎ)I±1±g[k−23](ℎ)ℎ32，其中f m(ℎ)，˜f m(ℎ)，g m(ℎ)表示关于ℎ的次数不超过m的多项式（0次多项式为常值多项式，-1次多项式为零多项式）．证明当k=0,1时，引理2.1显然成立．下证k≥2的情况．当x≥0时，结合沿系统(1.1)ε=0的轨线Γℎ有d x=y d t，d y=(−x+x2)d t可得I+2−I+1=∫︁Γ+ℎ(x2−x)y d x=∫︁Γ+ℎ(x2−x)y2d t=∫︁Γ+ℎy2d y=−43√2ℎ32,因此I+2=I+1−43√2ℎ32，引理2.1结论成立．当k≥3时，I+ k −I+k−1=∫︁Γ+ℎ(x k−x k−1)y d x=∫︁Γ+ℎ(x2−x)x k−2y2d t=∫︁Γ+ℎx k−2y2d y=13∫︁Γ+ℎx k−2d y3=13x k−2y3⃒⃒⃒⃒A−ℎA+ℎ−k−23∫︁Γ+ℎx k−3y3d x =−k−23∫︁Γ+ℎx k−3y(2ℎ−x2+23x3)d x=−2k−43ℎI+k−3+k−23I+k−1−2k−49I+k,即I+ k =−6k−122k+5ℎI+k−3+3k+32k+5I+k−1(k≥3).运用数学归纳法，若对k≤M(M≥2)均有引理2.1成立，则当k=M+1时，I+M+1=−6M−62M+7ℎI+M−2+3M+62M+7I+M=f+(ℎ)I+0+˜f+(ℎ)I+1+g+(ℎ)ℎ32,其中f+(ℎ)=−6M−62M+7ℎf+[M−23](ℎ)+3M+62M+7f+[M3](ℎ),˜f+(ℎ)=−6M−62M+7ℎ˜f+[M−33](ℎ)+3M+62M+7˜f+[M−13](ℎ),g+(ℎ)=−6M−62M+7ℎg+[M−43](ℎ)+3M+62M+7g+[M−23](ℎ),并且deg{f+(ℎ)}≤max{[M−23]+1,[M3]}=[M+13],deg{˜f+(ℎ)}≤max{[M−33]+1,[M−13]}=[M3],deg {g +(ℎ)}≤max {[M −43]+1,[M −23]}=[M −13].引理2.1结论成立．同理可证当x <0时引理2.1成立．综上所述，引理2.1得证．特别地，I +3=−611ℎI +0+1211I +2=−611ℎI +0+1211I +1−1611√2ℎ32,I +4=−1213ℎI +1+1513I +3=−90143ℎI +0+(180143−1213ℎ)I +1−240143√2ℎ32,I +5=−65ℎI +2+65I +4=−108143ℎI +0+(216143−3013ℎ)I +1−288143√2ℎ32+85√2ℎ52,I +6=−2417ℎI +3+2117I +5=−22682431ℎI +0+(45362431−106742431ℎ+144187ℎ2)I +1−60482431√2ℎ32+3768935√2ℎ52,I +7=−3019ℎI +4+2419I +6=(−5443246189ℎ+9082846189ℎ2)I +0+(10886446189−34797646189ℎ+360247ℎ2)I +1−14515246189√2ℎ32+1787616230945√2ℎ52.引理2.2I +′0,I +′1,I +′′0,I +′′1满足Picard-Fuchs 方程组⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩I +′0=a 0,0(ℎ)Δ(ℎ)I +0+a 0,1(ℎ)Δ(ℎ)I +1+b 0(ℎ)Δ(ℎ),I +′1=a 1,0(ℎ)Δ(ℎ)I +0+a 1,1(ℎ)Δ(ℎ)I +1+b 0(ℎ)Δ(ℎ),(2.1)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩I +′′0=c 0,0(ℎ)Δ(ℎ)I +0+d 0(ℎ)Δ(ℎ),I +′′1=c 1,0(ℎ)Δ(ℎ)I +0+c 1,1(ℎ)Δ(ℎ)I +1+d 1(ℎ)Δ(ℎ),(2.2)其中Δ(ℎ)=ℎ(6ℎ−1)，a 0,0(ℎ)=5ℎ−1，a 0,1(ℎ)=76，a 1,0(ℎ)=−ℎ，a 1,1(ℎ)=7ℎ，b 0(ℎ)=−2√2ℎ32，c 0,0(ℎ)=−56，c 1,0(ℎ)=−1，c 1,1(ℎ)=76，d 0(ℎ)=−23√2ℎ12，d 1(ℎ)=−√2ℎ12．证明考虑∫︁Γ+ℎy 3d x =∫︁Γ+ℎ(2ℎ−x 2+23x 3)y d x =2ℎI +0−I +2+23I +3=1811ℎI +0−311I +1+4√211ℎ32,(2.3)注意到d(∫︀Γ+ℎy 3d x )d ℎ=2d(∫︀A +ℎB +ℎy 3d x )d ℎ=2d(∫︀s +ℎ0y 3d x )d ℎ=2d s +ℎd ℎy 3|y =0+2∫︁s +ℎ03y 2ðy ðℎd x =6∫︁s +ℎ0y d x =3I +0,则(2.3)式两边同时对ℎ求导可得3I +0=1811I +0+1811ℎI +′0−311I +′1+6√211ℎ12,则I +=65ℎI +′0−15I +′1+2√25ℎ12.(2.4)6考虑∫︁Γ+ℎxy3d x=∫︁Γ+ℎ(2ℎ−x2+23x3)xy d x=2ℎI+1−I+3+23I+4=18143ℎI+0+(−36143+1813ℎ)I+1+48√2143ℎ32,(2.5)注意到d(∫︀Γ+ℎxy3d x)dℎ=2d(∫︀A+ℎB+ℎxy3d x)dℎ=2d(∫︀s+ℎxy3d x)dℎ=2d s+ℎdℎxy3⃒⃒⃒⃒⃒x=s+ℎy=0+2∫︁s+ℎ3xy2ðyðℎd x=6∫︁s+ℎxy d x=3I+1,则(2.5)式两边同时对ℎ求导可得3I+1=18143I+0+18143ℎI+′0+1813I+1+(−36143+1813ℎ)I+′1+72√2143ℎ12,将(2.4)式代入，则I+1=635ℎI+′0+(−635+67ℎ)I+′1+12√235ℎ12,(2.6)联立(2.4)式，(2.6)式解方程组可得I+′0=5ℎ−1ℎ(6ℎ−1)I+0+76ℎ(6ℎ−1)I+1−2√26ℎ−1ℎ12,(2.7)I+′1=−16ℎ−1I+0+76ℎ−1I+1−2√26ℎ−1ℎ12,(2.8)引理2.2结论(2.1)成立．下面对(2.4)式两边同时对ℎ求导可得I+′0=65ℎI+′′+65I+′0−15I+′′1+√25ℎ−12,则I+′0=−6ℎI+′′0+I+′′1−√2ℎ−12.(2.9)对(2.6)式两边同时对ℎ求导可得I+′1=635I+′0+635ℎI+′′+67I+′1+(−635+67ℎ)I+′′1+6√235ℎ−12,将(2.9)式代入，则I+′1=−6ℎI+′′0+6ℎI+′′1.(2.10)分别将(2.9)式，(2.10)式带入(2.4)式，(2.6)式并解方程组可得I+′′0=−56ℎ(6ℎ−1)I+0−2√23ℎ(6ℎ−1)ℎ12,(2.11) 7I+′′1=−1ℎ(6ℎ−1)I+0+76ℎ(6ℎ−1)I+1−√2ℎ(6ℎ−1)ℎ12,(2.12)引理2.2结论(2.2)成立．综上所述引理2.2得证．同理可得推论2.2和推论2.2*．推论2.2I−′0,I−′1,I−′′,I−′′1满足Picard-Fuchs方程组⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩I−′0=a0,0(ℎ)Δ(ℎ)I−0+a0,1(ℎ)Δ(ℎ)I−1−b0(ℎ)Δ(ℎ), I−′1=a1,0(ℎ)Δ(ℎ)I−0+a1,1(ℎ)Δ(ℎ)I−1−b0(ℎ)Δ(ℎ),⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩I−′′=c0,0(ℎ)Δ(ℎ)I−0−d0(ℎ)Δ(ℎ),I−′′1=c1,0(ℎ)Δ(ℎ)I−0+c1,1(ℎ)Δ(ℎ)I−1−d1(ℎ)Δ(ℎ),其中系数多项式定义同引理2.2．推论2.2*I′,I′1,I′′0,I′′1满足Picard-Fuchs方程组⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩I′0=a0,0(ℎ)Δ(ℎ)I0+a0,1(ℎ)Δ(ℎ)I1, I′1=a1,0(ℎ)Δ(ℎ)I0+a1,1(ℎ)Δ(ℎ)I1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩I′′0=c0,0(ℎ)Δ(ℎ)I0,I′′1=c1,0(ℎ)Δ(ℎ)I0+c1,1(ℎ)Δ(ℎ)I1,其中系数多项式定义同引理2.2．做极坐标变换，设x=ρcosθ，y=ρsinθ，将其代入H(x,y)=12x2+12y2−13x3=ℎ得ρ2−23ρ3cos3θ=2ℎ．设δ=√2ℎ，则ℎ→0+⇔δ→0+，因此在ℎ=0+附近ρ关于δ的泰勒展开可表示为ρ=δ+a2(θ)δ2+a3(θ)δ3+o(δ3).(2.13)将(2.13)式代入ρ2−23ρ3cos3θ=2ℎ=δ2可得δ3的系数2a2(θ)−23cos3θ=0，即a2(θ)=13cos3θ；δ4的系数2a3(θ)+a22(θ)−23cos3θ·3a2(θ)=0，即a3(θ)=518cos6θ．因此ρ=δ+13cos3θ·δ2+518cos6θ·δ3+o(δ3).引理2.3(1)在ℎ=0+附近，I+0,I−0满足I±0=πℎ+∞∑︀k=0αkℎk±ℎ32+∞∑︀k=0γkℎk，其中α0=1，γ0=8 9√2，当k∈N时，αk+1=36k2+36k+56k2+18k+12αk,γk+1=72k2+144k+6412k2+48k+45γk.(2)在ℎ=0+附近，I+1,I−1满足I±1=π2ℎ2+∞∑︀k=0α*kℎk±ℎ32+∞∑︀k=0γ*kℎk，其中α*0=1，γ*0=43√2，当k∈N时，α*k+1=36k2+72k+356k2+24k+18α*k,γ*k+1=72k2+72k+16 12k2+36k+15γ*k.证明令x=ρcosθ，y=ρsinθ，因为dθ=x d y−y d xx2+y2=(−1+ρcos3θ)d t,所以d t=1−1+ρcos3θdθ,因此I+0=∫︁Γ+ℎy d x=∫︁Γ+ℎy2d t=∫︁−π2π2ρ2sin2θ−1+ρcos3θdθ=∫︁π2−π2ρ2sin2θ1−ρcos3θdθ=∫︁π2−π2ρ2sin2θ(1+ρcos3θ+ρ2cos6θ+o(ρ2))dθ.将(2.13)式代入I+0可得δ2的系数∫︀π2−π2sin2θdθ=π2，δ3的系数∫︁π2−π2(2·13cos3θ·sin2θ+sin2θcos3θ)dθ=49,因此I+0=π2δ2+49δ3+o(δ3)=πℎ+8√29ℎ32+o(ℎ32).由引理2.2中(2.11)式可知I+满足6ℎ(6ℎ−1)I+′′0+5I+0=−4√2ℎ12,(2.14)其对应的齐次方程为6ℎ(6ℎ−1)I+′′+5I+0=0,(2.15)根据文献[17]的广义幂级数理论可得，(2.15)式在ℎ=0+的领域内存在收敛的幂级数解Y1=ℎ+∞∑︀k=0αkℎk，其中α0=1，αk+1=36k2+36k+56k2+18k+12αk，因此当ℎ∈(0,16)时，Y1(ℎ)>0．又由文献[17]中二次齐次线性微分方程通解的公式可得齐次方程(2.15)存在另一个基本解Y2=Y1∫︁1Y21dℎ=Y1∫︁(1++∞∑︀k=1αkℎk)−2ℎ2dℎ=−+∞∑︁k=0αkℎk−2α1ℎlnℎ+∞∑︁k=0αkℎk+(3α21−2α2)ℎ2+∞∑︁k=0αkℎk+o(ℎ2)+βY1.又因为常微分方程(2.14)存在一个特解˜Y=ℎ32+∞∑︀k =0γk ℎk ，其中γ0=89√2，γk +1=72k 2+144k +6412k 2+48k +45γk，所以常微分方程(2.14)的通解Y =λ1Y 1+λ2Y 2+˜Y =πℎ+8√29ℎ32+o (ℎ32),注意到lim ℎ→0+Y 2=−α0=−1，比较对应项系数可得λ2=0，λ1=π，因此I +=πℎ+∞∑︀k =0αk ℎk +ℎ32+∞∑︀k =0γk ℎk ，同理可得I −0=πℎ+∞∑︀k =0αk ℎk −ℎ32+∞∑︀k =0γk ℎk ，其中α0=1，γ0=89√2，当k ∈N 时，αk +1=36k 2+36k +56k 2+18k +12αk，γk +1=72k 2+144k +6412k 2+48k +45γk．因此引理2.3结论(1)得证．又由于I +2=∫︁Γ+ℎx 2y d x =∫︁Γ+ℎx 2y 2d t =∫︁−π2π2ρ4sin 2θcos 2θ−1+ρcos 3θd θ=∫︁π2−π2ρ4sin 2θcos 2θ1−ρcos 3θd θ=∫︁π2−π2ρ4sin 2θcos 2θ(1+ρcos 3θ+ρ2cos 6θ+o (ρ2))d θ.将(2.13)式代入I +2可得δ4的系数∫︀π2−π2sin 2θcos 2θd θ=π8，δ5的系数∫︁π2−π2(4·13cos 3θ·sin 2θcos 2θ+sin 2θcos 5θ)d θ=1645,因此I +2=π8δ4+1645δ5+o (δ5)=π2ℎ2+64√245ℎ52+o (ℎ52),因为I +2=I +1−4√23ℎ32，所以I +1=4√23ℎ32+π2ℎ2+64√245ℎ52+o (ℎ52)．由引理2.2中(2.8)式可得I +0=−(6ℎ−1)I +′1+7I +1−2√2ℎ12，代入(2.12)式可得6ℎ(6ℎ−1)I +′′1−6(6ℎ−1)I +′1+35I +1=6√2ℎ12,(2.16)其对应的齐次方程为6ℎ(6ℎ−1)I +′′1−6(6ℎ−1)I +′1+35I +1=0,(2.17)根据文献[17]的广义幂级数理论可得，(2.17)式在ℎ=0+的领域内存在收敛的幂级数解Y *1=ℎ2+∞∑︀k =0α*k ℎk ，其中α*0=1，α*k +1=36k 2+72k +356k 2+24k +18α*k．又由文献[17]中二次齐次线性微分方程通解的公式可得齐次方程(2.17)存在另一个基本解Y *2=Y *1∫︁e−∫︀−1ℎd ℎY *21d ℎ=Y *1∫︁(1++∞∑︀k =1α*kℎk )−2ℎ3d ℎ=−12+∞∑︁k =0α*k ℎk +2α*1ℎ+∞∑︁k =0α*k ℎk +(3α*21−2α*2)ℎ2ln ℎ+∞∑︁k =0α*k ℎk+o (ℎ2ln ℎ)+β*Y *1.又因为常微分方程(2.16)存在一个特解˜Y*=ℎ32+∞∑︀k =0γ*k ℎk ，其中γ*0=43√2，γ*k +1=72k 2+72k +1612k 2+36k +15γ*k，所以常微分方程(2.16)的通解Y *=λ*1Y *1+λ*2Y *2+˜Y *=4√23ℎ32+π2ℎ2+64√245ℎ52+o (ℎ52),注意到lim ℎ→0+Y *2=−12α*0=−12，比较对应项系数可得λ*2=0，λ*1=π2，因此I +1=π2ℎ2+∞∑︀k =0α*k ℎk +ℎ32+∞∑︀k =0γ*k ℎk ，同理可得I −1=π2ℎ2+∞∑︀k =0α*k ℎk −ℎ32+∞∑︀k =0γ*k ℎk ，其中α*0=1，γ*0=43√2，当k ∈N 时，α*k +1=36k 2+72k +356k 2+24k +18α*k ，γ*k +1=72k 2+72k +1612k 2+36k +15γ*k．引理2.3结论(2)得证．综上所述，引理2.3得证．引理2.4I 0(ℎ),I 1(ℎ)满足lim ℎ→16−I 0(ℎ)=65，lim ℎ→16−I 1(ℎ)=635．证明由于I 0(ℎ)=∫︁Γℎy d x=∫︁B +ℎB −ℎy d x +∫︁B −ℎB +ℎy d x=∫︁s +ℎs −ℎ√︂2ℎ−x 2+23x 3d x +∫︁s −ℎs +ℎ−√︂2ℎ−x 2+23x 3d x=2∫︁s +ℎs −ℎ√︂2ℎ−x 2+23x 3d x.当y =0时，令H (x,y )=12x 2+12y 2−13x 3=ℎ=16，解得x =1或x =−12．则当ℎ→16−时，s +ℎ→1，s −ℎ→−12，I 0(ℎ)→2∫︁1−12√︂2·16−x 2+23x 3d x =2∫︁1−12√33√︀1−3x 2+2x 3d x=2√33∫︁1−12√︀(2x +1)(x −1)2d x=2√33∫︁1−12(1−x )√2x +1d xu =√2x +1=2√33∫︁√30(32−12u 2)u 2d u=2√33(12u 3−110u 5)⃒⃒⃒√30=65,因此lim ℎ→16−I 0(ℎ)=65得证．同理由于I 1(ℎ)=∫︁Γℎxy d x =∫︁B +ℎB −ℎxy d x +∫︁B −ℎB +ℎxy d x=∫︁s +ℎs −ℎx √︂2ℎ−x 2+23x 3d x +∫︁s −ℎs +ℎ−x√︂2ℎ−x 2+23x 3d x=2∫︁s +ℎs −ℎx √︂2ℎ−x 2+23x 3d x.当ℎ→16−时，I 1(ℎ)→2∫︁1−12x√︂2·16−x 2+23x 3d x =2∫︁1−12√33x √︀1−3x 2+2x 3d x=2√33∫︁1−12x √︀(2x +1)(x −1)2d x=2√33∫︁1−12x (1−x )√2x +1d xu =√2x +1=2√33∫︁√30(12u 2−12)(32−12u 2)u 2d u=2√33(−128u 7+15u 5−14u 3)⃒⃒⃒√3=635,因此lim ℎ→16−I 1(ℎ)=635得证．综上所述，引理2.4得证．命题2.1(1)若扰动为非连续的，则系统(1.1)ε的一阶Melnikov 函数可以表示为M 1(ℎ)=u +(ℎ)I +0+v +(ℎ)I +1+u −(ℎ)I −0+v −(ℎ)I −1+w (ℎ)ℎ12,其中系数多项式满足deg {u ±(ℎ)}≤α=[n −12]，deg {v ±(ℎ)}≤β=[n 2]−1，deg {w (ℎ)}≤γ=[n 2]．(2)若扰动为连续的，则系统(1.1)ε的一阶Melnikov 函数可以表示为M 1c (ℎ)=u +(ℎ)I +0+v +(ℎ)I +1+u −(ℎ)I −0+v −(ℎ)I −1+w c (ℎ)ℎ32,其中系数多项式满足deg {u ±(ℎ)}≤α，deg {v ±(ℎ)}≤β，deg {w c (ℎ)}≤γc =[n −32]．证明(1)当x≥0时，注意到∫︁Γ+ℎP+n(x,y)d y=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Np+ij∫︁Γ+ℎx i y j d y=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Np+ij1j+1(x i y j+1⃒⃒⃒⃒A−ℎA+ℎ−i∫︁Γ+ℎx i−1y j+1d x) =−∑︁0≤j=2l≤n,l∈Np+0,2l2l+1√22l+1ℎ2l+12−∑︁1≤i+j≤n,i∈N,j∈N+p+*ij∫︁Γ+ℎx i y j d x,其中p+*ij =p+i+1,j−1i+1j，因此M+1(ℎ)=∫︁Γ+ℎQ+n(x,y)d x−P+n(x,y)d y=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈Nq+*ij∫︁Γ+ℎx i y j d x+¯w+(ℎ)ℎ12,(2.18)其中q+*ij =q+ij+p+*ij，补充定义p+*i,0=0，¯w+(ℎ)=∑︀0≤2l≤n,l∈Np+0,2l2l+1√22l+1ℎl．以下通过数学归纳法证明F+(ℎ)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈N q+*ij∫︁Γ+ℎx i y j d x=u+(ℎ)I+0+v+(ℎ)I+1+˜w+(ℎ)ℎ32,(2.19)其中系数多项式满足deg{u+(ℎ)}≤α，deg{v+(ℎ)}≤β，deg{˜w+(ℎ)}≤γc．当n=1时，M+1(ℎ)=∫︁Γ+ℎQ+1(x,y)d x−P+1(x,y)d y=∫︁Γ+ℎ(q+00+q+10x+q+01y)d x−(p+00+p+10x+p+01y)d y=q+01I+0+2√2p+00ℎ12+p+10I+0,显然(2.19)式成立．当n=2时，M+1(ℎ)=∫︁Γ+ℎQ+2(x,y)d x−P+2(x,y)d y=∫︁Γ+ℎ(q+00+q+10x+q+01y+q+20x2+q+11xy+q+02y2)d x−(p+00+p+10x+p+01y+p+20x2+p+11xy+p+02y2)d y=q+01I+0+q+11I+1+2√2p+00ℎ12+p+10I+0+2p+20I+1+4√23p+02ℎ32,显然(2.19)式成立．假设n≤2k时(2.19)式成立，则n=2k+1时，(2.19)式右侧新增加的项为ΔF+(ℎ)=∑︁i+j=2k+1q+*ij∫︁Γ+ℎx i y j d x=∑︁i+2j*=2kq+*i,2j*+1∫︁Γ+ℎx i y(2ℎ−x2+23x3)j*d x=∑︁i+2j*=2k q+*i,2j*+1∫︁Γ+ℎx i y∑︁a+b+c=j*j*!a!b!c!(2ℎ)a(−x2)b(23x3)c d x=∑︁i+2j*=2k,a+b+c=j*δ(i,a,b,c)∫︁Γ+ℎx2k−2j*+2b+3c y d x=∑︁i+2j*=2k,a+b+c=j*δ(i,a,b,c)I+2k−2a+c引理2.1=∑︁i+2j*=2k,a+b+c=j*δ(i,a,b,c)(f[2k−2a+c3](ℎ)I+0+˜f[2k−2a+c−13](ℎ)I+1+g[2k−2a+c−23](ℎ)ℎ32)=φ+1(ℎ)I+0+φ+2(ℎ)I+1+φ+3(ℎ)ℎ32,其中δ(i,a,b,c)=q+*i,2(a+b+c)+1(a+b+c)!a!b!c!(2ℎ)a(−1)b(23)c，i,j,j*,a,b,c∈N，系数多项式满足deg{φ+1(ℎ)}≤maxa+b+c≤k,a,b,c∈N {a+[2k−2a+c3]}≤k,deg{φ+2(ℎ)}≤maxa+b+c≤k,a,b,c∈N {a+[2k−2a+c−13]}≤k−1,deg{φ+3(ℎ)}≤maxa+b+c≤k,a,b,c∈N {a+[2k−2a+c−23]}≤k−1,因此当n=2k+1时，F+(ℎ)=u+(ℎ)I+0+v+(ℎ)I+1+˜w+(ℎ)ℎ32+φ+1(ℎ)I+0+φ+2(ℎ)I+1+φ+3(ℎ)ℎ32 =(u+(ℎ)+φ+1(ℎ))I+0+(v+(ℎ)+φ+2(ℎ))I+1+(˜w+(ℎ)+φ+3(ℎ))ℎ32,其中系数多项式满足deg{u+(ℎ)+φ+1(ℎ)}≤max{[2k−12],k}=[(2k+1)−12],deg{v+(ℎ)+φ+2(ℎ)}≤max{[2k2]−1,k−1}=[2k+12]−1,deg{˜w+(ℎ)+φ+3(ℎ)}≤max{[2k−32],k−1}=[(2k+1)−32],即当n=2k+1时(2.19)式成立．假设n≤2k+1时(2.19)式成立，当n=2k+2时，(2.19)式右侧新增加的项为ΔF+(ℎ)=∑︁i+j=2k+2q+*ij∫︁Γ+ℎx i y j d x=∑︁i+2j*=2k+1q+*i,2j*+1∫︁Γ+ℎx i y(2ℎ−x2+23x3)j*d x=∑︁i+2j*=2k+1q+*i,2j*+1∫︁Γ+ℎx i y∑︁a+b+c=j*j*!a!b!c!(2ℎ)a(−x2)b(23x3)c d x=∑︁i+2j*=2k+1,a+b+c=j*δ(i,a,b,c)∫︁Γ+ℎx2k−2j*+2b+3c+1y d x=∑︁i+2j*=2k+1,a+b+c=j*δ(i,a,b,c)I+2k−2a+c+1引理2.1=∑︁i+2j*=2k+1,a+b+c=j*δ(i,a,b,c)(f[2k−2a+c+13](ℎ)I+0+˜f[2k−2a+c3](ℎ)I+1+g[2k−2a+c−13](ℎ)ℎ32)=φ+*1(ℎ)I+0+φ+*2(ℎ)I+1+φ+*3(ℎ)ℎ32,其中δ(i,a,b,c)=q+*i,2(a+b+c)+1(a+b+c)!a!b!c!(2ℎ)a(−1)b(23)c，i,j,j*,a,b,c∈N，且系数多项式满足deg{φ+*1(ℎ)}≤maxa+b+c≤k,a,b,c∈N {a+[2k−2a+c+13]}≤k,deg{φ+*2(ℎ)}≤maxa+b+c≤k,a,b,c∈N {a+[2k−2a+c3]}≤k,deg{φ+*3(ℎ)}≤maxa+b+c≤k,a,b,c∈N {a+[2k−2a+c−13]}≤k−1,因此当n=2k+2时，F+(ℎ)=u+(ℎ)I+0+v+(ℎ)I+1+˜w+(ℎ)ℎ32+φ+*1(ℎ)I+0+φ+*2(ℎ)I+1+φ+*3(ℎ)ℎ32 =(u+(ℎ)+φ+*1(ℎ))I+0+(v+(ℎ)+φ+*2(ℎ))I+1+(˜w+(ℎ)+φ+*3(ℎ))ℎ32,其中系数多项式满足deg{u+(ℎ)+φ+*1(ℎ)}≤max{[(2k+1)−12],k}=[(2k+2)−12],deg{v+(ℎ)+φ+*2(ℎ)}≤max{[2k+12]−1,k}=[2k+22]−1,deg{˜w+(ℎ)+φ+*3(ℎ)}≤max{[(2k+1)−32],k−1}=[(2k+2)−32],即当n=2k+2时(2.19)式成立．类似于(2.18)式证明可得M−1(ℎ)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈N q−*ij∫︁Γ−ℎx i y j d x+¯w−(ℎ)ℎ12,(2.20)其中q−*ij =q−ij+p−i+1,j−1i+1j，补充定义p−i+1,−1=0，¯w−(ℎ)=−∑︀0≤2l≤nl∈Np−0,2l2l+1√22l+1ℎl．类似于(2.19)式证明可得F−(ℎ)=∑︁0≤i+j≤n,i,j∈N q−*ij∫︁Γ−ℎx i y j d x=u−(ℎ)I−0+v−(ℎ)I−1+˜w−(ℎ)ℎ32,(2.21)其中系数多项式满足deg{u−(ℎ)}≤α，deg{v−(ℎ)}≤β，deg{˜w−(ℎ)}≤γc．综上所述M1(ℎ)=M+1(ℎ)+M−1(ℎ)=u+(ℎ)I+0+v+(ℎ)I+1+u−(ℎ)I−0+v−(ℎ)I−1+w(ℎ)ℎ12,其中w(ℎ)=¯w+(ℎ)+¯w−(ℎ)+˜w+(ℎ)ℎ+˜w−(ℎ)ℎ，且deg{w(ℎ)}≤max{[n2],γc+1}=γ．(2)若扰动是连续的，即P+n(0,y)≡P−n(0,y)，Q+n(0,y)≡Q−n(0,y)，则¯w+(ℎ)+¯w−(ℎ)≡0，此时M1c(ℎ)=u+(ℎ)I+0+v+(ℎ)I+1+u−(ℎ)I−0+v−(ℎ)I−1+w c(ℎ)ℎ32,其中w c(ℎ)=˜w+(ℎ)+˜w−(ℎ)，且deg{w c(ℎ)}≤γc．综上所述，命题2.1得证．特别地，当n=1时，系统(1.1)ε的一阶Melnikov函数可以表示为M+1(ℎ)=∫︁Γ+ℎQ+1(x,y)d x−P+1(x,y)d y=(q+01+p+10)I+0+2√2p+00ℎ12,同理M−1(ℎ)=(q−01+p−10)I−0−2√2p−00ℎ12,因此M1(ℎ)=M+1(ℎ)+M−1(ℎ)=c+0I+0+c−0I−0+d00ℎ12,(2.22)其中c+0=q+01+p+10，c−0=q−01+p−10，d00=2√2(p+00−p−00)．通过MATLAB计算可知c±,d00关于p+ij,p−ij,q+ij,q−ij(i+j≤1,i,j∈N)独立．当n=2时，系统(1.1)ε的一阶Melnikov函数可以表示为M+1(ℎ)=∫︁Γ+ℎQ+2(x,y)d x−P+2(x,y)d y=(q+01+p+10)I+0+(q+11+2p+20)I+1+2√2p+00ℎ12+4√23p+02ℎ32,同理M−1(ℎ)=(q−01+p−10)I−0+(q−11+2p−20)I−1−2√2p−00ℎ12−4√23p−02ℎ32,因此M1(ℎ)=M+1(ℎ)+M−1(ℎ)=c+0I+0+c+1I+1+c−0I−0+c−1I−1+d00ℎ12+d01ℎ32,(2.23)其中c+0=q+01+p+10，c+1=q+11+2p+20，c−0=q−01+p−10，c−1=q−11+2p−20，d00=2√2(p+00−p−00)，d01=4√23(p+02−p−02)．通过MATLAB计算可知c±k(k=0,1),d0l(l=0,1)关于p+ij,p−ij,q+ij,q−ij(i+j≤2,i,j∈N)独立．当n=3时，系统(1.1)ε的一阶Melnikov函数可以表示为M+1(ℎ)=∫︁Γ+ℎQ+3(x,y)d x−P+3(x,y)d y=(q+01+p+10)I+0+(q+11+2p+20+q+21−311q+03+3p+30−111p+12)I+1+(1811q+03+611p+12)ℎI+0+2√2p+00ℎ12+4√23(p+02−q+21+311q+03−3p+30+111p+12)ℎ32,同理M−1(ℎ)=(q−01+p−10)I−0+(q−11+2p−20+q−21−311q−03+3p−30−111p−12)I−1+(1811q−03+611p−12)ℎI−0−2√2p−00ℎ12−4√23(p−02−q−21+311q−03−3p−30+111p−12)ℎ32,因此M1(ℎ)=M+1(ℎ)+M−1(ℎ)=c+0I+0+c+1I+1+c+2ℎI+0+c−0I−0+c−1I−1+c−2ℎI−0+d00ℎ12+d01ℎ32,(2.24)其中c+0=q+01+p+10,c+1=q+11+2p+20+q+21−311q+03+3p+30−111p+12,c+2=1811q+03+611p+12,c−0=q−01+p−10,c−1=q−11+2p−20+q−21−311q−03+3p−30−111p−12,c−2=1811q−03+611p−12,d00=2√2(p+00−p−00),d01=4√23(p+02−q+21+311q+03−3p+30+111p+12−p−02+q−21−311q−03+3p−30−111p−12).通过MATLAB计算可知c±k(k=0,1,2),d0l(l=0,1)关于p+ij,p−ij,q+ij,q−ij(i+j≤3,i,j∈N)独立．当n=4时，系统(1.1)ε的一阶Melnikov函数可以表示为M+1(ℎ)=∫︁Γ+ℎQ+4(x,y)d x−P+4(x,y)d y=(q+01+p+10)I+0+(q+11+2p+20+q+21−311q+03+3p+30−111p+12+1211q+31−36143q+13+4811p+40−24143p+22)I+1+(1811q+03+611p+12−611q+31+18143q+13−2411p+40+12143p+22)ℎI+0+(1813q+13+1213p+22)ℎI+1+2√2p+00ℎ12+4√23(p+02−q+21+311q+03−3p+30+111p+12−1211q+31+36143q+13−4811p+40+24143p+22)ℎ32+8√25p+04ℎ52,同理M−1(ℎ)=(q−01+p−10)I−0+(q−11+2p−20+q−21−311q−03+3p−30−111p−12+1211q−31−36143q−13+4811p−40−24143p−22)I−1+(1811q−03+611p−12−611q−31+18143q−13−2411p−40+12143p−22)ℎI−0+(1813q−13+1213p−22)ℎI−1−2√2p−00ℎ12−4√23(p−02−q−21+311q−03−3p−30+111p−12−1211q−31+36143q−13−4811p−40+24143p−22)ℎ32−8√25p−04ℎ52,因此M1(ℎ)=M+1(ℎ)+M−1(ℎ)=c+0I+0+c+1I+1+c+2ℎI+0+c+3ℎI+1+c−0I−0+c−1I−1+c−2ℎI−0+c−3ℎI−1+d00ℎ12+d01ℎ32+d02ℎ52,(2.25)其中c+0=q+01+p+10,c+1=q+11+2p+20+q+21−311q+03+3p+30−111p+12+1211q+31−36143q+13+4811p+40−24143p+22,c+2=1811q+03+611p+12−611q+31+18143q+13−2411p+40+12143p+22, c+3=1813q+13+1213p+22,c−0=q−01+p−10,c−1=q−11+2p−20+q−21−311q−03+3p−30−111p−12+1211q−31−36143q−13+4811p−40−24143p−22,c−2=1811q−03+611p−12−611q−31+18143q−13−2411p−40+12143p−22, c−3=1813q−13+1213p−22,d00=2√2(p+00−p−00),d01=4√23(p+02−q+21+311q+03−3p+30+111p+12−1211q+31+36143q+13−4811p+40+24143p+22−p−02+q−21−311q−03+3p−30−111p−12+1211q−31−36143q−13+4811p−40−24143p−22),d02=8√25(p+04−p−04).。
